Download - Tipuri si notiuni de semnale
Noiunea de semnal
Noiunea de semnal
Se numete semnal o mrime fizic msurabil, purttoare de informaie, care poate fi:
transmis la distan sau recepionat
prelucrat.
Obiectivul cursului: modelarea formei semnalelor.
Un semnal unidimensional, numit i semnal 1D, este o funcie de timp, notat generic prin x(t), . Fie suportul semnalului x(t), adic intervalul de timp finit n care se observ (msoar) semnalul. Funcia x(t) se consider de modul integrabil:
(1.1) ,
Fig. 1.1 Sistem dinamicSemnalele se pot aplica unor circuite sau, mai general, unor sisteme dinamice.
Sistemele dinamice realizeaz prelucrarea semnalelor, conform cu funciunile realizate de echipamentele electronice n care sunt nglobate. Exemple:
integrarea unui semnal,
derivarea acestuia,
filtrarea (extragerea unor componente spectrale ale semnalului sau, dup caz, eliminarea componentelor parazite),
modularea semnalelor, etc.
Echipamente electronice sunt formate din lanuri de sisteme dinamice, care realizeaz prelucrri consecutive ale semnalelor, conform unei tehnologii care determin funciunile realizate de echipamentul respectiv.
Semnalele pot fi:
cu timp continuu, numite semnale analogice (utilizate n circuitele analogice)
cu timp discret, utilizate n cadrul semnalelor numerice.
Semnalele numerice sunt generate prin dou operaii:
eantionarea semnalului, adic discretizarea timpului t cu un pas Te, numit perioad de eantionare. Semnalul cu timp discret, , este notat cu sau xk (k - timpul discret);
cuantizarea semnalului, adic discretizarea amplitudinii eantioanelor . Se alege un pas de cuantizare, , iar rezultatul operaiei de cuantizare este un numr ntreg, , astfel nct produsul s fie ct mai apropiat de amplitudinea eantionului cuantizat.
Cele dou operaii se realizeaz uzual n cadrul unui convertor analogic/numeric (A/N). La ieirea acestuia se obine un ir de valori numerice, , aferente momentelor de timp discrete k. Acest ir reprezint un semnal numeric
Fig. 1.2 Sistem numeric
. ntr-un sistem numeric (fig. 1.2), procesarea semnalului de intrare, , n vederea obinerii rspunsului se realizeaz prin mijloace software.Din clasa semnalelor unidimensionale menionm: semnalul vocal, semnalul radio (modulat n amplitudine sau n frecven), semnalele furnizate de traductoare ale mrimilor fizice uzuale (temperatur, vitez .a.) etc.
Semnalele care au o evoluie ce nu este supus hazardului se numesc semnale deterministe. Alturi de acestea, se ntlnesc i semnalele aleatoare, a cror evoluie n timp este supus hazardului (aa cum sunt perturbaiile)
Fig. 1.3 Sistem 2D
Semnalele bidimensionale, numite i semnale 2D, sunt de regul imagini. Fie un semnal bidimensional, n raport cu coordonatele spaiale x1 i x2. Mrimea u reflect valoarea nivelului de gri n punctul de coordonate x1 i x2. Operaiile de prelucrare a acestor semnale se realizeaz cu ajutorul sistemelor 2D (fig. 1.3). Semnalul de ieire din sistem, , se obine prin aplicarea unor operaii specifice (filtrare, extragere contur, etc.) aplicate semnalului de intrare .Capitolul 2 MODELAREA SEMNALELOR PERIODICE 1.1. Seria Fourier generalizat (SFG)
Instrumentul general de modelare a semnalelor periodice este seria Fourier generalizat (SFG).
Fie un semnal u(t) observat ntre momentele t0 i t0+T (fig. 2.1). Acest semnal se consider periodic.
Fig. 2.1 Semnal periodic
Fie u(t) un semnal n tensiune electric, rezult c puterea instantanee dezvoltat n rezistena R este . Se consider c energia dezvoltat n decursul perioadei T este finit, adic
(2.1)
;
SFG utilizeaz descrierea funciei u(t) cu ajutorul unui sistem de funcii liniar independente , unde i=0,1,2,3,.... Exprimarea lui u(t) prin SFG este:
(2.2)
n practic, limita superioar a sumei este ntotdeauna finit.
O prim problem care se pune este alegerea funciilor . Prima condiie necesar este ca funciile s fie liniar independente. Cerinele suplimentare pe care le avem n vedere cnd alegem sistemul de funcii sunt enunate mai jos:
s realizeze o bun aproximare, atunci cnd limita superioar din sum, N, este dat; adic eroarea: s fie ct mai mic;
s poat fi uor generate. Din acest punct de vedere, se recomand funciile trigonometrice;
determinarea rspunsului unui sistem, cnd la intrare se aplic semnalul modelat, s se realizeze cu uurin. Fie un sistem liniar, la intrarea cruia se aplic semnalul u(t), prezentat ca o dezvoltare dup sistemul de funcii (fig. 2.2).
Fig. 2.2 Rspunsul sistemului liniar
Conform principiului superpoziiei, rspunsul y(t) = , n care este rspunsul sistemului la intrarea (). Scopul este de a obine rspunsul y(t) cu un volum de calcul ct mai redus. Pentru aceasta, transferul s se obin ct mai uor posibil. Din acest punct de vedere, funciile trigonometrice sunt cele mai avantajoase;
determinarea parametrilor s se realizeze cu uurin.
Se va arta n cele ce urmeaz c, dac sistemul de funcii este ortogonal, calculul parametrilor devine facil.
Determinarea parametrilor
Vom considera c modelul conine un numr finit de parametri:
(2.3)
Cazul sistemului de funcii ortogonaleFunciile sunt ortogonale dac:
(2.4)
,
unde Ci reprezint norma funciei . Notm: .
Fie j ( {1,2,N} fixat. Prin nmulirea relaiei (2.3) cu i integrare pe intervalul [t0;t0+T], se obine:
,
sau, innd cont de proprietatea de ortogonalitate (2.4),
(2.5)
Observaii:
Parametrii {ai}i=1,2, se calculeaz n mod independent, fiecare fa de ceilali.
Dac, pentru un N adoptat arbitrar, rezult o eroare de modelare inacceptabil, se adaug noi termeni i se calculeaz parametrii , pn se obine precizia dorit, fr ca parametrii determinai anterior s fie afectai.
Cazul sistemelor de funcii neortogonaleRelaia (2.3) se nmulete cu , unde j=0,1,2,N. Cele relaii astfel obinute se integreaz pe intervalul T. Folosind notaiile:
,
,
rezult un sistem de ecuaii liniare cu necunoscutele :
Acest sistem este compatibil determinat (sistem Cramer), dac funciile sunt liniar independente. Parametrii {ai}i=0,1,N se obin ca fiind unica lui soluie.
Observaii:
Volumul de calcul este foarte important. Parametrii nu se obin n mod independent, ci se obine ntregul set, {ai}i=0,1,2,N. Dac eroarea de aproximare la valoarea adoptat a lui N nu este acceptabil, atunci trebuie adugai termeni. n acest caz trebuie recalculai toi parametrii din model (se reface toat procedura).
Noiunea de spectru
Ansamblul parametrilor se reprezint grafic ntr-o manier specific, reprezentarea respectiv numindu-se spectru (fig. 2.3).
Fig. 2.3 Spectrul SFG al unui semnal
Unicitatea reprezentrii semnalelor prin SFGPresupunem un semnal u(t), modelat printr-un sistem de funcii ortogonale , de norm C. SFG are expresia teoretic:
(1.2)
Presupunem c se utilizeaz pentru modelare un numr finit de termeni, i anume N. n mod riguros, nu ar trebui s acceptm c n suma respectiv parametrii sunt identici cu ; de aceea, parametrii din suma finit se noteaz cu . Se obine:
Se definete eroarea (instantanee) de modelare:
(1.3)
Calitatea aproximrii pe intervalul [t0;t0+T] este dat de integrala ptratului erorii:
(1.4)
Din (2.8), folosind (2.7), rezult succesiv:
n partea dreapt a acestei relaii, termenul al doilea conine integrale care sunt egale cu (conform cu relaia 2.5). Dezvoltarea ptratului din ultimul termen conduce la integrale ce reprezint produse scalare ale funciilor i , care sunt nule pentru , i la integrale care reprezint ptratul normelor funciilor , adic . Rezult:
Adugnd i scznd , se obine:
Se pune problema s determinm parametrii bi care minimizeaz criteriul de calitate I. Valoarea minim a acestui criteriu se obine atunci cnd bi=ai unde i=0,1,2,,N. Prin urmare, parametrii modelului cu numr finit de termeni de dezvoltare sunt unici, indiferent de N, i sunt cei din expresia teoretic (2.2). Integrala ptratului erorii are expresia:
(1.5)
ntruct I(0 pentru N finit, rezult:
(1.6)
Relaia (2.10) poart denumirea de inegalitatea lui Bessel.
Vom pune acum primul termen din relaia (2.9), sub forma:
,
unde unul din factorii u(t) se nlocuiete prin modelul (2.2). Rezult:
n relaia de mai sus se utilizeaz relaia (2.5) i rezult:
(1.7)
Aceast relaie reprezint egalitatea lui Parseval. Ea are o interpretare energetic: dac u(t) este un semnal n tensiune, atunci integrandul este puterea instantanee pe o rezisten unitar, iar integrala este energia dezvoltat n intervalul de timp T. Se constat c aceast energie se repartizeaz pe componentele dezvoltrii din SFG, proporional cu ptratele parametrilor ai, i=0,1,2,Problema de analiz a semnalelor
Problema se formuleaz astfel: se d semnalul u(t) i se cere spectrul su. Un analizor de semnal este un aparat care, primind la intrare semnalul u(t), i furnizeaz la ieire spectrul. n structura analizorului intr un generator de funcii care furnizeaz setul de funcii . Analizorul implementeaz fie analogic, fie numeric, expresia:
Fig. 2.4 Schema de principiu a unui analizor spectral
Problema de sintez a semnalelor
n acest caz, se d spectrul semnalului u(t) i se cere s se sintetizeze semnalul. Echipamentul care realizeaz operaia se numete sintetizor; acesta implementeaz relaia (2.3) i are schema de principiu dat n fig. 2.5.
Fig. 2.5 Schema de principiu a unui sintetizor de semnalParticularizarea sistemului de funcii ortogonale folosit n modelare conduce la obinerea diverselor instrumente de modelare concrete. Astfel, rezult urmtoarele tipuri de modelri:
cu funcii trigonometrice, ceea ce conduce la analiza Fourier clasic;
cu funcii binare: funcii Walsh, funcii Rademacher, funcii Haar, funcii Hadamard etc.;
cu polinoame ortogonale: Legendre, Laguerre, Hermite, Cebev etc.
1.2. Analiza Fourier a semnalelor periodice
Seria Fourier trigonometric (SFT)
n acest caz sistemul de funcii ortogonale este
(2.12)
,
cu
(2.13)
, (T este perioada semnalului periodic, iar este pulsaia)Funciile din acest sistem de funcii nu au aceeai norm. Pentru funciile trigonometrice sunt valabile relaiile:
;
;
n sistemul de funcii este i o constant, i anume . Norma acesteia se obine din:, Componenta din sistem i are ptratul normei
Prin considerarea sistemului de funcii (2.12) n seria Fourier generalizat (SFG), rezult urmtoarea relaie:
(2.14)
Utiliznd notaiile: , relaia (2.14) devine:
(2.15)
Calculul parametrilor se face aplicnd relaiile generale (2.5), adic adaptate la sistemul de funcii (2.12).Rezult:
(2.16)
Semnificaia fizic a parametrului C0 este aceea de valoare medie a semnalului. Ceilali parametri se obin conform relaiilor:
(2.17)
(2.18)
Relaia (2.15) reprezint expresia semnalului u(t) n seria Fourier trigonometric (SFT), iar relaiile (2.16), (2.17) i (2.18) servesc la determinarea spectrului din SFT (fig. 2.6).
Fig. 2.6 Spectrul SFT al unui semnal periodic
Seria Fourier armonic (SFA)
Seria Fourier armonic (SFA) se obine din SFT printr-o transformare simpl asupra termenului general , i=1,2:
(2.19)
,
unde:
(2.20)
,
(2.21)
n aceste condiii, seria Fourier trigonometrica (relaia (2.15)) se poate re-scrie astfel:
(2.22)
Relaia (2.22) reprezint expresia semnalului u(t) n SFA, adic sub form de sum de armonici, la care se adaug componenta continu . O armonic de ordinul i are expresia i reprezint o component cosinusoidal avnd pulsaia cunoscut, . Aceast armonic este determinat prin doi parametri: amplitudinea i faza iniial. Valoarea i=1 corespunde componentei fundamentale, numit simplu fundamental.
Spectrul SFA include spectrul de amplitudini i spectrul fazelor iniiale, ca n figura (2.7).
Fig. 2.7 Spectrul de amplitudini i de faze iniiale la SFA
Seria Fourier complex (SFC)
Fie armonica din SFA. Reprezentarea nesimplificat n planul complex a acestei armonici se face printr-un vector rotitor de lungime i de argument :
(2.23)
,
unde este reprezentarea n complex simplificat a armonicii i.n relaia (2.23) vom da indicelui i i valori negative. nlocuind n relaiile (2.17) i (2.18) pe i cu i, se obine i respectiv . Din relaiile (2.20) i (2.21) rezult c, dac schimbm i n i, avem (conjugata lui ). Se obine:
n expresia , fiecare termen din sum se poate nlocui cu semi-suma a dou exponeniale, conform cu relaia de mai sus. Se obine:
(2.24)
Notnd , expresia (2.24) devine:
(2.25)
Relaia (2.25) reprezint expresia modelului semnalului n seria Fourier complex (SFC). n aceast expresie, factorii nu introduc nici o informaie. ntreaga informaie despre model este inclus n parametrii . Calculul parametrilor compleci . Se ine cont de relaiile i , din care rezult c:
Vom utiliza n aceast relaie expresiile parametrilor Ci i Si ai SFT (relaiile 2.17 i 2.18) :
sau:
(2.26)
SFC este complet definit de relaiile (2.25) i (2.26). Examinnd acest model se constat prezena n prima relaie a factorului , iar n a doua relaie a factorului 2. Este evident faptul c modelul poate fi pus sub o form mai simpl, utilizat uzual n aplicaii:
(2.27)
(2.28)
Reprezentarea spectral a semnalului n SFC este ilustrat n fig. 2.8. Aici s-a considerat c semnalul are n SFA spectrul din figura 2.7. Spectrul de amplitudini din SFC are simetrie par. Trecerea de la spectrul de amplitudini din SFA la cel din SFC se face diviznd la 2 amplitudinile i atribuind amplitudinile njumtite inclusiv frecvenelor discrete negative, . Spectrul fazelor iniiale n SFC are simetrie impar, iar pentru frecvene pozitive el este identic cu cel din SFA. Deci legtura dintre SFC i SFA este dat de relaiile:
(2.29)
;
Fig. 2.8 Spectrul unui semnal periodic n SFC
Observaii:
1. Pentru simplificarea exprimrii, s-a utilizat noiunea de spectru i n cadrul SFC, chiar dac aici reprezentarea spectral include mrimi fr corespondent fizic (frecvene negative).
2. La calculul parametrilor SFT cu relaiile (2.17) i (2.18) se ine cont de urmtoarele reguli de calcul:
dac u(t) este funcie par, adic , rezult:
(2.30)
dac u(t) este funcie impar, adic , rezult:
(2.31)
3. Fie u(t) semnalul modelat prin SFC, conform relaiei . Presupunem c semnalul este ntrziat cu timpul (. Pentru obinerea modelului semnalului ntrziat, u(t-(), se nlocuiete t cu t-( n SFC, rezultnd:
,
unde . Constatm c , deci spectrul de amplitudini nu se modific, dar fazele iniiale sunt afectate de ntrziere:
(2.32)
S se determine SFT, SFA i SFC pentru semnalul din fig. 2.9.
Fig. 2.9 Semnal de tip sinus ptrat
ntruct funcia are simetrie impar, se aplic relaiile (2.31):
nlocuind se obine: Spectrul SFT este dat n fig. 2.10.
Fig. 2.10 Spectrul SFT al semnalului din fig. 2.9
Valorile nenule ale parametrilor se obin pentru i au expresia Cu parametrii i dedui, expresia SFT, adic: devine: (2.33)
Fig. 2.11 Spectrul SFA al semnalului din fig. 2.9
Dac se exprim funcia sinus prin funcia cosinus, se obine SFA (Fig. 2.11):
(2.34)
,
Exist numai armonici de ordin impar, caracterizate de relaiile:
Fig. 2.12 Spectrul SFC al semnalului din fig. 2.9
n conformitate cu relaiile existente ntre spectrele SFA i SFC, se deduce spectrul SFC, reprezentat n fig. 2.12.
n fig. 2.13 sunt prezentate graficele semnalului u(t) i ale semnalului calculat cu SFA coninnd numai armonica 1 (), respectiv coninnd 2 armonici (), 3 armonici () i 4 armonici ().
Programul Matlab utilizat pentru generarea aproximrilor lui u(t) prin SFA este:
clear all;
T=1;w=2*pi/T;
t=0:0.01:T;u=sign(sin(w*t));
plot(t,u);grid;hold on;
for i=1:4,
u=0;
for k=1:i,
u=u+sin((2*(k-1)+1)*w*t)/(2*(k-1)+1);
end;
u=u*4/pi;
plot(t,u,'k');
end;
hold off;
Fig. 2.13 Semnalul u(t) i diferite aproximri ale sale prin SFA
Observaie:
Spectrul unor semnale se poate obine din spectrul cunoscut al unui semnal de referin, prin nsumarea unei constante i/sau modificarea scrii i/sau operaie de ntrziere. De exemplu, considernd u(t) din fig. 2.9 ca semnal de referin, semnalul periodic din fig. 2.14 se scrie:
Avnd n vedere relaiile (2.32) i (2.34), spectrul SFA al semnalului este:
,
deci:
; ;
Fig. 2.14 Semnal derivat din semnalul u(t), dat n fig. 2.9
Sistem dinamic
u(t)
y(t)
Sistem numeric (realizare software)
uk
yk
Sistem 2D
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
T
-T
T
T
0
T
2T
u(t)
t
u(t)
EMBED Equation.3
y(t)
EMBED Equation.3
Sistem
liniar
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
SFA
SFC
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
_1284629778.unknown
_1284705066.unknown
_1284707935.unknown
_1284708548.unknown
_1284709319.unknown
_1284709590.unknown
_1284713150.unknown
_1284716040.unknown
_1284716087.unknown
_1284716382.unknown
_1284716070.unknown
_1284716067.unknown
_1284716019.unknown
_1284709800.unknown
_1284709910.unknown
_1284709607.unknown
_1284709431.unknown
_1284709564.unknown
_1284709378.unknown
_1284708722.unknown
_1284708807.unknown
_1284708982.unknown
_1284709024.unknown
_1284708956.unknown
_1284708753.unknown
_1284708583.unknown
_1284708653.unknown
_1284708568.unknown
_1284708339.unknown
_1284708449.unknown
_1284708472.unknown
_1284708108.unknown
_1284708179.unknown
_1284708314.unknown
_1284707956.unknown
_1284707316.unknown
_1284707554.unknown
_1284707899.unknown
_1284707916.unknown
_1284707575.unknown
_1284707434.unknown
_1284707498.unknown
_1284707390.unknown
_1284705845.unknown
_1284706064.unknown
_1284707093.unknown
_1284707131.unknown
_1284707262.unknown
_1284707191.unknown
_1284707096.unknown
_1284706523.unknown
_1284706682.unknown
_1284706795.unknown
_1284706559.unknown
_1284706073.unknown
_1284705885.unknown
_1284705917.unknown
_1284705936.unknown
_1284705958.unknown
_1284705926.unknown
_1284705907.unknown
_1284705895.unknown
_1284705865.unknown
_1284705875.unknown
_1284705855.unknown
_1284705728.unknown
_1284705779.unknown
_1284705824.unknown
_1284705835.unknown
_1284705800.unknown
_1284705812.unknown
_1284705790.unknown
_1284705751.unknown
_1284705768.unknown
_1284705740.unknown
_1284705674.unknown
_1284705711.unknown
_1284705091.unknown
_1284705645.unknown
_1284632669.unknown
_1284632769.unknown
_1284632949.unknown
_1284705040.unknown
_1284704878.unknown
_1284704980.unknown
_1284632839.unknown
_1284632895.unknown
_1284632792.unknown
_1284632802.unknown
_1284632813.unknown
_1284632781.unknown
_1284632728.unknown
_1284632748.unknown
_1284632759.unknown
_1284632738.unknown
_1284632707.unknown
_1284632718.unknown
_1284632684.unknown
_1284632160.unknown
_1284632520.unknown
_1284632583.unknown
_1284632658.unknown
_1284632630.unknown
_1284632544.unknown
_1284632567.unknown
_1284632532.unknown
_1284632452.unknown
_1284632487.unknown
_1284632499.unknown
_1284632509.unknown
_1284632464.unknown
_1284632175.unknown
_1284630372.unknown
_1284631926.unknown
_1284632036.unknown
_1284630212.unknown
_1284630224.unknown
_1284630289.unknown
_1284629833.unknown
_1112097284.unknown
_1284628001.unknown
_1284628620.unknown
_1284629524.unknown
_1284629653.unknown
_1284629737.unknown
_1284629623.unknown
_1284629371.unknown
_1284629463.unknown
_1284629369.unknown
_1284628450.unknown
_1284628499.unknown
_1284628516.unknown
_1284628469.unknown
_1284628430.unknown
_1284628065.unknown
_1284628323.unknown
_1113032908.unknown
_1284627280.unknown
_1284627844.unknown
_1284627935.unknown
_1284627953.unknown
_1284627914.unknown
_1284627332.unknown
_1284627823.unknown
_1284627118.unknown
_1284627207.unknown
_1113034268.unknown
_1113034276.unknown
_1113034281.unknown
_1113034121.unknown
_1113033311.unknown
_1113033317.unknown
_1113033305.unknown
_1113031359.unknown
_1113032854.unknown
_1113032872.unknown
_1113032879.unknown
_1113031452.unknown
_1113032176.unknown
_1113032182.unknown
_1113032066.unknown
_1113031445.unknown
_1112097370.unknown
_1113029822.unknown
_1113031012.unknown
_1113031156.unknown
_1113030771.unknown
_1113030923.unknown
_1113029830.unknown
_1112097371.unknown
_1112097367.unknown
_1112097368.unknown
_1112097366.unknown
_1112097365.unknown
_1109492791.unknown
_1109500768.unknown
_1109500838.unknown
_1109500865.unknown
_1109500900.unknown
_1112081983.unknown
_1112082324.unknown
_1109501057.unknown
_1109501279.unknown
_1109501345.unknown
_1109501045.unknown
_1109500875.unknown
_1109500882.unknown
_1109500870.unknown
_1109500852.unknown
_1109500860.unknown
_1109500843.unknown
_1109500814.unknown
_1109500827.unknown
_1109500833.unknown
_1109500822.unknown
_1109500790.unknown
_1109500802.unknown
_1109500810.unknown
_1109500796.unknown
_1109500784.unknown
_1109500620.unknown
_1109500654.unknown
_1109500672.unknown
_1109500724.unknown
_1109500667.unknown
_1109500635.unknown
_1109500649.unknown
_1109500626.unknown
_1109497003.unknown
_1109497033.unknown
_1109497710.unknown
_1109500581.unknown
_1109498408.unknown
_1109497370.unknown
_1109497023.unknown
_1109492852.unknown
_1109493003.unknown
_1109493071.unknown
_1109493077.unknown
_1109493615.unknown
_1109493020.unknown
_1109492864.unknown
_1109492869.unknown
_1109492858.unknown
_1109492809.unknown
_1109492814.unknown
_1109492802.unknown
_1045577192.unknown
_1104899937.unknown
_1105346269.unknown
_1109420337.unknown
_1109492774.unknown
_1109492781.unknown
_1109421539.unknown
_1105346389.unknown
_1105346873.unknown
_1105348943.unknown
_1105355001.unknown
_1105348935.unknown
_1105346773.unknown
_1105346288.unknown
_1104904036.unknown
_1104905380.unknown
_1104906090.unknown
_1105346259.unknown
_1104905996.unknown
_1104904044.unknown
_1104905378.unknown
_1104905379.unknown
_1104905152.unknown
_1104905377.unknown
_1104904119.unknown
_1104901089.unknown
_1104901419.unknown
_1104901698.unknown
_1104901857.unknown
_1104903058.unknown
_1104903146.unknown
_1104903689.unknown
_1104903218.unknown
_1104903065.unknown
_1104903115.unknown
_1104902324.unknown
_1104902329.unknown
_1104902246.unknown
_1104902318.unknown
_1104901858.unknown
_1104901711.unknown
_1104901717.unknown
_1104901705.unknown
_1104901425.unknown
_1104901431.unknown
_1104901181.unknown
_1104901348.unknown
_1104901354.unknown
_1104901360.unknown
_1104901182.unknown
_1104901179.unknown
_1104901180.unknown
_1104901095.unknown
_1104900279.unknown
_1104900638.unknown
_1104901039.unknown
_1104901048.unknown
_1104901030.unknown
_1104900945.unknown
_1104900286.unknown
_1104900516.unknown
_1104900532.unknown
_1104900549.unknown
_1104900293.unknown
_1104900040.unknown
_1104900089.unknown
_1104900225.unknown
_1104900073.unknown
_1104899972.unknown
_1104853827.unknown
_1104854939.unknown
_1104899430.unknown
_1104899448.unknown
_1104899460.unknown
_1104899711.unknown
_1104899742.unknown
_1104899454.unknown
_1104899442.unknown
_1104899177.unknown
_1104899423.unknown
_1104854963.unknown
_1104854859.unknown
_1104854898.unknown
_1104854811.unknown
_1046169698.unknown
_1055693688.unknown
_1101737987.unknown
_1101738249.unknown
_1055779492.unknown
_1045577195.unknown
_1045577200.unknown
_1045577203.unknown
_1045577198.unknown
_1045576917.unknown
_1045576929.unknown
_1045577165.unknown
_1045577182.unknown
_1045577187.unknown
_1045577190.unknown
_1045577185.unknown
_1045577171.unknown
_1045577177.unknown
_1045577179.unknown
_1045577174.unknown
_1045577168.unknown
_1045577134.unknown
_1045577157.unknown
_1045577160.unknown
_1045577163.unknown
_1045577146.unknown
_1045577154.unknown
_1045577141.unknown
_1045576923.unknown
_1045576926.unknown
_1045576920.unknown
_1045576865.unknown
_1045576895.unknown
_1045576903.unknown
_1045576911.unknown
_1045576914.unknown
_1045576907.unknown
_1045576900.unknown
_1045576880.unknown
_1045576886.unknown
_1045576891.unknown
_1045576883.unknown
_1045576874.unknown
_1045576877.unknown
_1045576868.unknown
_1044003700.unknown
_1045576847.unknown
_1045576862.unknown
_1044003633.unknown
_1043916825.unknown
_1044003609.unknown
_1043916793.unknown
_1043916805.unknown
_1043916785.unknown