Download - RMM 1.pdf
-
CUPRINS
- 0 -
H S S M
Ce este R.M.M. i ce vrea ea ________________________________ 1 n competiie cu elevii din S.U.A ________________________________ 2 Note matematice Lema chinezeasc a resturilor ________________________________ 3 Polinoamele lui Legendre ________________________________ 4 O extindere a unei probleme de olimpiad ____________________ 6 Mic radiografie a greelilor tipice ____________________ 7 Principiul lui Dirichlet (al cutiei) ____________________ 11 Teme pentru grupele de performan Numrul divizorilop i suma divizorilor unui numr natural __ 14 Inegaliti __________________________________________________ 16 Probleme de numrare ______________________________________ 21 Calculul unor sume ______________________________________ 24 Tratarea analitic a locurilor geometrice. ____________________ 27 O metod de calcul a matricei An ____________________ 29 Calculul unor integrale definite ____________________ 31 Monotonia, mrginirea i convergena irurilor recurente definite de funcii continue monotone ____________________ 32 Limite de funcii calculate elementar ____________________ 35 Teste pentru examene Capacitate ____________________________________________ 38 Bacalaureat ____________________________________________ 40 Admitere ____________________________________________ 42 Probleme propuse Clasa a V-a ____________________________________________ 47 Clasa a VI-a ____________________________________________ 47 Clasa a VII-a ____________________________________________ 48 Clasa a VIII-a ____________________________________________ 49 Clasa a IX-a ____________________________________________ 49 Clasa a X-a ____________________________________________ 50 Clasa a XI-a ____________________________________________ 50 Clasa a XII-a ____________________________________________ 51 Concursul revistei ____________________________________________ 52 Test Kangourou ____________________________________________ 54 Concursuri colare 2001-2002 ______________________________________ 60
-
DEBUTUL
- 1 -
H S S M
CE ESTE R.M.M. I CE VREA EA Colectivul redacional
Revista de matematic mehedinean este o modalitate de exprimare a preocuprilor matematice ale elevilor i profesorilor de matematic din judeul Mehedini , coordonat de Comitetul S.S.M.R. Filiala Mehedini i I.S.J.Mehedini. Revista noastr nu nlocuiete n niciun caz pe masa matematicienilor mehedineni alte reviste de prestigiu cum ar fi Gazeta Matematic, R.M.T., Cardinal, Plus, etc. Ca o exprimare practic a conceptului general de dezvoltare regional, revista noastr dorete s completeze peisajul publicaiilor matematice prin urmtoarea schem de rubrici: -competiii sau schimburi de experien cu matematica de gimnaziu i liceu din alte ri; -note, articole metodice sau de cultur general matemetic; -teme pentru grupele de performan -probleme propuse pentru clasele V-XII; -concurs pentru rezolvarea unor probleme inedite; -rubrica de popularizare a rezultatelor deosebite obinute de elevii notri i profesorii lor n diverse competiii matematice; ncercnd s pstrm un standard tiinific corespunztor, vom considera c demersul nostru a reuit din momentul n care lista colaboratorilor va depi 100 de nume. Menionm c paginile revistei sunt deschise n primul rnd membrilor activi ai filialei Mehedini a S.S.M.R.
-
INTERNATIONAL
2- 2 -
N COMPETIIE CU ELEVII DIN S.U.A Prof.drd. Gh.Ciniceanu
n data de 12-02-2002 s-a desfurat n Colegiul Naional Traian concursul de matematic AMC 10 i AMC 12. Am primit personal invitaia de participare pentru 20 de elevi din partea domnului profesor Titu Andreescu, director al centrului olimpic al S.U.A. Concursurile AMC sunt prima faz dintr-un ir de 4 competiii desfurate cu scopul de a selecta lotul olimpic american ce particip la OIM. Ele, (AMC 10 ,AMC 12) constau
n propunerea a 25 de probleme cu gril de raspunsuri; fiecare raspuns corect se puncteaz cu 6 puncte, un raspuns alb se noteaz 2,5puncte ,iar
un rspuns greit primete 0 puncte. Din participanii la AMC 10, 1% sunt
calificai la faza a doua iar la AMC 12, 5% se calific la faza a doua.Dintre cei 20 de elevi ai notri, selecionai cte 5 de la fiecare clas de la a IX-a la a XII-a s-au calificat pentru faza a doua AIME 7. Iat elevii notri:
IX Booaca Ducu 123 p (prof. Gh. Ciniceanu) Mitroi Dan 117p (prof. Manuela Prajea)
X Zaharia Claudia 140,5p (prof. Gh. Ciniceanu) Pi Rada Cosmin 119,5p (prof. Paponiu Dana)
XI Palaca Oana 101p (prof. Paponiu Dana) XII Szeckely Daniel 111,5p (prof. Nnui Ion )
Doandei Victor 105p (prof. Popescu Eleodor) Pe 8 martie am primit prin Internet rezultatele, iar pe 15 martie am
primit de la Universitatea din Nebraska raportul scris i plicul cu subiectele
pentru cei 7 elevi calificai la AIME. Concursul s-a desfurat ca i n SUA pe 26-03-2002 orele 10-13, i a constat ntr-un numr de 15 probleme fiecare dintre ele avnd un rezultat numeric din trei cifre.
Pentru americani selecia continua cu USAMO pe 3-4 mai 2002 i apoi baraj de selecie pentru lotul participant la OIM. n finalul raportului primit am primit urmatorul mesaj din partea d-lui director : ,,I send my congratulations to your students for their performance on the contest and gratitude to you for providing this opportunity for them. ,,Would like to express their thanks and appreciation to Colegiul National Traian for dedication to excellence in education and their participation in the American High School Mathematics Examination.
A vrea s inchei prin a sublinia dou lucruri : -concursul ,,american nu l-am desfurat pentru a nlocui
olimpiadele ,,romneti ci pentru a oferi o competiie n plus elevilor notri, pentru ca ei s cunoasc i alte moduri de evaluare dect cele pe care le-au probat n concursurile noastre;
-concursul este un prilej excepional pentru a cuprinde elevii ntr-o activitate educativ complex interdisciplinar: limba englez, matematica, informatica(accesare Internet). Din aceste motive i mai ales din cauz c elevilor le-a plcut vom continua aceast aciune i n anii viitori, avnd deja invitaia i pentru 2003. Pe data de 29 aprilie am avut deosebita bucurie s primim pe numele elevului Booac Ducu din clasa a IX-a, care a obinut i la AIME cel mai bun rezultat la clasa lui o invitaie pentru tabra de matematic din 07.07 11.08.2002 de la Colegiul Colorado din Colorado Springs. Amnunte despre aceast tabr, probleme propuse spre rezolvare vom publica n numrul
viitor.
-
NOTE MATEMATICE
3 - 3 -
H S S M
LEMA CHINEZEASC A RESTURILOR Gheorghe Ciniceanu Prof.,Colegiul Naional Traian Drobeta Tr. Severin TEOREMA 1. Fie mN* ,aiN, riZ ,ai2 ,i{1,2,m} ,(ai,aj)=1 oricare ar fi ij .Atunci exist x1,x2,xmZ ,cu proprietatea c: (1) a1x1+r1 =a2x2+r2 =.=amxm+rm. Demonstraie. Teorema este adevrat pentru m=2, cci dac a1, a2 sunt relativ prime, ecuaia: a1x-a2y = r2-r1 are soluie ntreag. ntr-adevr, a1, a2 fiind prime exist , Z a.i. a1+a2=1. Prin nmulire cu (r2-r1) obinem de fapt c x=(r2-r1) si y=-(r2-r1). Fie acum m2 natural arbitrar.Presupunem teorema adevrat pentru m. Considerm acum a1,a2,am,am+1 prime ntre ele dou cte dou i r1,r2,.. rm,rm+1Z. Din presupunerea de inducie, exist x1,x2,xm numere ntregi care verific (1). Deoarece fiecare din numerele a1,a2,.am este relativ prim cu am+1 atunci produsul lor este de asemenea prim cu acesta. De aceea exist t, uZ cu proprietatea : a1a2..amt am+1u = rm+1-a1x1-r1.
Punem acum : xi =i
m
aaaa ...21 t+xi , unde i=1,2,m , iar xm+1=u.
Desigur c xiZ ,i=1,2,..m+1 i verific a1x1+r1=a2x2+r2==am+1xm+1+rm+1. Conform Principiului induciei matematice rezult afirmaia teoremei. OBSERVAIA 2. Din Teorema 1 deducem c dac a1,a2,am sunt numere relativ prime dou cte doua (m2) iar r1,r2,rm sunt ntregi arbitrari atunci exist un ntreg k care mprit la numerele a1,a2,am s dea resturile r1,r2,rm. De aici denumirea de lem a resturilor. OBSERVAIA 3. Dac la numrul k de mai sus adunm un multiplu de a1a2am ,obinem un ntreg care mprit la numerele a1,a2,am d de asemenea resturile r1,r2,.rm. Deci exist o infinitate de numere ntregi cu proprietatea de mai sus. LEMA 4. Pentru m>n0 numere naturale, numerele 2
m2 +1 si 2
n2+1
sunt relativ prime. Demonstraie. Se tie c x-1| xk-1. Aplicm aceasta pentru x=2
12 +n i k=2m-n-1 Deducem c 2
12 +n
-1 | 2m2-1 deoarece Fn= 2
n2+1 | 2
12 +n
-1 i 2m2-1=Fm-2.
Deducem c Fn | Fm-2. Deci dac d|Fn , d|Fm deducem c d|2. Dar d nu poate fi par. COROLAR 5. Oricare ar fi s,mN , exist m numere ntregi consecutive a.i. fiecare dintre ele se divide cu puterea s a unui numr natural mai mare ca 1. Demonstraie. Considerm ai =Fsi i ri =-i pentru i{1,2,m}. Pentru c=a1x1+r1 , din (1) deducem c : Fsi xI = aixi = a1x1+r1-ri = c+I deci
-
NOTE MATEMATICE
4- 4 -
Fsi | c+I , i{1,2,m}. Deoarece Fi >1 pentru i=1,2,.., fiecare din numerele c+1,c+2,c+m se divide cu o putere s a unui numr natural mai mare ca 1. TEOREMA 6. (Thue) Dac mN ,aZ ,(a,m)=1 ,atunci exist x,yN x m ,y m ,a.i. axy se divide cu m pentru o alegere convenabil a semnului . Demonstraie. Teorema e adevrat pentru m=1, cci n acest caz putem lua x = y = 1. Presupunem c mN, m>1. Fie q = [ m ]. Atunci q + 1 > m i deci (q+1)2 >m. Consider expresia ax-y pentru x,y lund valorile 0,1,q. Vor fi un numr de (q+1)2 >m valori i deci prin mprire la m se obin dou resturi egale. Deci: ax1-y1-(ax2-y2) = a(x1-x2) (y1-y2) se divide cu m. Nu putem avea x1 = x2 deoarece atunci numrul y1 - y2 ar trebui s se divid cu m i acest lucru nu este posibil cci sunt prea mici. Egalitatea y1 = y2 este de asemenea imposibil cci atunci numrul a(x1-x2) s-ar divide cu m i cum (a,m)=1 rezult c m|x1-x2, lucru din nou imposibil. Deci x1x2 si y1y2 . Deoarece am ales x1x2 deducem c numrul x=x1-x2 N. Numrul y1-y2 poate fi ntreg negativ dar diferit de 0 ,deci y=|y1-y2|N. Se observ c : X=x1-x2 x1 q m ,y q m , i pentru un semn convenabil numrul ax y se divide cu m.
BIBLIOGRAFIE [1] Constantin P.Popovici Teoria numerelor ,E.D.P. Bucureti 1973 [2] Waclaw Sierpinski Elementary Theory Of Numbers ,Polska Akademia Nauk, Monografie Matematyczne ,Warszawa 1964
POLINOAMELE LUI LEGENDRE Viorel Sahagia Prof.,Colegiul Naional Traian Drobeta Tr. Severin Polinoamele lui Legendre fac parte din categoria polinoamelor ortogonale, mpreun cu polinoamele lui Cebev, polinoamele lui Hermite i polinoamele lui Laguerre. n articolul de fa vom prezenta cteva aspecte legate de polinoamele lui Legendre. n teoria potenialului se ntlnete funcia g:[0,1]*[-1,1] ->R definit prin:
G(r,x)=rrx 221
1
+ (1)
Se observ c x[-1,1] implic existena unui unghi [0,], a..:
x=cos =2ii ii + , deci
-
NOTE MATEMATICE
5 - 5 -
H S S M
rrx 221
1
+=
ree iir 2)(11
++ =
ee ii rr 11
*1
1
Deci |rei|=|re-i|=r, [0,], fiecare dintre aceti factori poate fi dezvoltat n serie binomial, serie de puteri ale lui r, pentru r[0,1] cu x[-1,1] arbitrar. Se obine o serie de forma: G(r,x)= rP n
nn x *)(
0>
, r[0,1], x[-1,1] (2)
Vom obine coeficienii Pn(x) pe ceale indirect.Notm cu u=r*(2x-r) i g(r,x)=(1-2rx+r2)-1/2 devine (1-n)-1/2 Pentru |n|
-
NOTE MATEMATICE
6- 6 -
O EXTINDERE A UNEI PROBLEME DE OLIMPIADA Manuela Prajea Prof.,Colegiul National Traian Drobeta Tr. Severin
La etapa local a Olimpiadei de Matematic 2001, Bucureti ,a fost
propus la clasa a XII-a urmtoarea problem : S se arate c pentru orice numere naturale nenule m,n are loc :
U mU n =U ],[ nm ,unde am notat U n ={xC|x n =1}, U mU n ={xyC|x U m ,yU n }, iar [m,n] este cel mai mic multiplu comun al lui m i n.
Marcel ena Vom arta c un rezultat asemntor are loc ntr-un cadru mai larg, i anume :
Fie (G, ) grup abelian i m,nN * . S se arate c H mH n =H ],[ nm , unde am notat H n ={xG| x n =1}, H mH n ={xy| xH m , yH n }, [m,n]=cmmmc(m,n).
Demonstratie : Fie xH m , yH n i din G abelian avem (xy) ],[ nm =x ],[ nm y ],[ nm =1, deci xyH ],[ nm i vom avea H mH n H ],[ nm . (I) Fie acum z H ],[ nm (1) i d :=cmmdc(m,n).Avem m=du, n=dv cu (u,v)=1 (2) i [m,n]=duv (3). Din (2) a,b Z a.i. 1=au+bv (4). Din (1), (2) ,(3) se obine succesiv : z=z ],[ nm z=z 1+duv =z bvauduv ++ =z bv z auduv+ (5). Alegem x :=z bv , y :=z auduv+ (6) i cu (3) , (1) avem : x m=x du=(z bv ) du=(z duv ) b=1 i y n =y dv =(z auduv+ ) dv =(z duv ) adv+ =1 deci xH m , yH n i din (5),(6): z=xy. Astfel H ],[ nm H mH n . (II) n final , din (I), (II) avem H mH n =H ],[ nm . COMENTARII ADIACENTE UNEI PROBLEME DE OLIMPIADA Manuela Prajea Prof.,Colegiul National Traian Drobeta Tr. Severin
La Olimpiada de Matematic, faza judeean 2001 a fost propus la clasa a XII-a urmatoarea problem :
Fie K un corp comutativ cu 8 elemente.Sa se demonstreze ca exista aK astfel incat a3=a+1.
Mircea Becheanu Vom prezenta cteva din posibilele generalizri i extinderi.
1.Dac K e corp comutativ cu n elemente i n=8(mod 14) atunci exist aK astfel nct a3=a+1.
Din (K,) grup ,|K*|=n-1 xn-1=1, () xK* i -1=1 n K. Polinomul f=xn-1 -1 are cele n-1 rdcini exact toate elementele lui K* i se va descompune n factori de gradul I.
-
NOTE MATEMATICE
7 - 7 -
H S S M
Cum f admite i descompunerea : f=(x3+x+1)(xn-4 +an-5xn-5 + an-6xn-6 +...+a1x+a0 ) cu a7k=a7k+1 = a7k+2 = a7k+4 =1 i a7k+3 = a7k+5 = a7k+6 =0 (k0,(n-8)/14)
deducem c x3+x+1 are exact trei rdcini distincte n K* deci avem cel puin trei elemente a K cu a3 =a+1.
2.Dac K e corp comutativ cu n elemente , n=16(mod 30), exist a K a.i. a4=a+1.
Din aceleai considerente avem xn-1 -1 =(x4+x+1)((xn-5+an-6xn-6 +... +a1x+a0)) unde a30k+p =1, p{0,1,2,3,5,7,8,11,15,16,17,18,20,22,23,26} si
a30k+q =0, qp , q429 ; k0(n-16)/30. 3. Dac K e corp comutativ cu n elemente , n>42 si n 1(mod 42)
atunci exist a K astfel nct a 5 =a+1. Se alege f=(x5 +x+1)( xn-6 +an-7 x n-7 +...+a1x+a0 ), unde a42k+p=1, p {0,1,2,3,4,6,8,11,12,16,21,22,23,24,25,27,29,32,33,37} i a42k+q =0, qp , q 5..41; k 0..(n-1)/42.
Mic radiografie a greelilor tipice n analiza matematic
Strategii de evitare
Motto:Matematica (i) din greeli se inva !
Prof. Pupz Ecaterina Statutul greelii n cunoaterea uman este eterogen, variabil i nuanat, avnd un substrat psihologic complex, n bun msur neexplorat. Avnd ca premis ideea c a evita cu desvrire greala este aproape imposibil, ne rmne sarcina de a-i reduce frecvena prin narmarea elevilor cu deprinderi, de a o sesiza, de a o analiza i a o nelege.
Identificnd trei tipuri de greeli tipice: - greeli lingvistice; - greeli de logic; - greeli de coninut
propunem o microradiografie a acestora, exemplificat prin coninutul
capitolulu Calculul diferenial i integral, precum i ilustrarea ctorva
strategii de evitare, fr pretenii de completitudine. O posibil clasificare a erorii, n cadrul capitolului amintit (i nu numai) ar fi:
Greeli lingvistice 1. de exprimare 2. de redactare
B. Greeli de logic 1. Distincia ntre ipotez i concluzie 2. Greeli de raionament 3. Distincia ntre necesar i suficient 4. Distincia ntre cuantificatorii logici i/sau combinarea lor
-
NOTE MATEMATICE
8- 8 -
C. Greeli de coninut 1. Erori de asimilare a conceptelor de baz 2. Erori de memorare/rememorare 3. Erori de clasificare 4. Erori de calcul Ilustrm cele trei categorii prin cteva exemple i propunem o list minimal a strategiilor de evitare. A1. Erori lingvistice de exprimare Exemple: 3 S rezolvm integrala 3 S calculm primitiva 3 x0 este minimul (max) lui f 3 x0 este punctul de inflexiune al graficului Strategii de evitare: nelegerea naturii erorii; corectarea de profesor; evaluarea prin chestionare de tip corectai greala sau gril (ncercuii rspunsul corect) A2. Erori lingvistice de redactare Exemple: 3enunuri incomplete; 3abunden de consideraii n afara subiectului; 3irelevan n raionamente Strategii de evitare: Respectarea unor reguli ca: - ofer informaia cerut (nici mai mult, nici mai puin) - susine informaiile prin argumente - evit dezlnarea n redactare - fii scurt i ordonat - verific cele scrise, dar i soluiile Modele de redactare oferite elevilor Identificarea individual (n grup) a erorilor pe un text dat.
Greeli de logic B1. Distincia ntre ipotez i concluzie poate conduce la aplicaea
incorect a unei teoreme fr verificarea tuturor condiiilor din enun Exemple:
1. 01lim...1lim1...11lim =++=
+++
nnnnn nnn
2. HospitalcuLxxsau
xx
x
xx'sinlim
sin
1sinlim
0
2
0
3. Dac ( ) [ ]bapefrezultadxxfsif ba
,000 == 4.Dac
IpeDarbouxluioprietateaarefrezultaIpemonotonastrictfIf Pr,: Strategii de evitare: Contraexemple suficiente la predarea i evaluarea enunurilor Exerciii de tip Unde este greala Recomandri bibliografice, exerciii selectate Fie didactice cu situaii problem la fiecare concept fundamental
-
NOTE MATEMATICE
9 - 9 -
H S S M
B2. Greeli de raionament Exemple:
1. xx
x
sinlim0
(cu LHospital)
2. Dac f e integrabil, ( ) barezultadxxff ba
==> 0,0 (cu Leibniz-Newton f ar avea primitive apoi formula lui Langrange) cu formula de medie (subnelegnd continuitatea)
3. Calculai +
0 2cos1 xdx cu aplicarea direct a formulei lui
Leibniz-Newton pe [ ] definitaenuxindesi2
,0 = ) Strategii de evitare: Elevii s cunoasc i s poat exemplifica tipurile de raionament i schemele logice de raionament, s le poat deosebi de cele care nu sunt.
Exemplu:
1. falssauatadefipoateqfalspqp
var|
1.1 ( )
/
ileprimitivabediscontinufunctiiexistaPifCifPifCif
(A)
2. qp q adevrat / p poate fi adevrat sau fals
2.1 ( )
/
ileprimitivabediscontinufunctiiexistaCifRifRifCif
(A)
Notaii CI - clasa funciilor continue RI clasa funciilor integrabile PI clasa funciilor primitivabile ntocmirea de lanuri de incluziuni ntre clasele de funcii cu
proprieti diferite, diagrame integratoare, fie cu contraexemple
semnificative. B3. Distincia ntre necesar i suficient Exemple:
1. ( ) ( )suficientnudarnecesarextremdepunctexxf 00' 0 = 2. f monoton pe [a,b] f integrabil pe [a,b] ( suficient dar nu necesar ) 3. f e bijectiv pe [a,b] f e integrabil pe [a,b] (nici necesar, nici suficient) 4. Orice ir de sume Riemann ataat oricrui ir de diviziuni n are limit finit ( necesar i suficient) Strategii de evitare: Exemple i contraexemple semnificative Liste de enunuri necesare, suficiente, necesare i suficiente Bibliografie i lucru suplimentar cu coninut dirijat
-
NOTE MATEMATICE
10- 10 -
B4. Distincia ntre cuantificatorii ( ) ( ) ; Exemple: 3necunoaterea sensului cuantificrii universale i/sau
existeniale 3necunoaterea semnificaiei combinrilor de tipul
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ;;; 3nestpnirea regulilor de negare ce conduc la
nonsensuri [ ] ( )( )( )( ) ( ) ( )yfxfbyxayxbaf
-
NOTE MATEMATICE
11 - 11 -
H S S M
Strategii de evitare: Lanuri de incluziuni Diagrame integratoare Monitorizarea lucrului suplimentar al elevilor C4. Erori de calcul Exemple: 3Se aplic mecanic, chiar defectuos rezultatele teoretice ori algoritmii 3Calculele nu sunt finalizate Strategii de evitare: Evaluarea tip gril cu rezultate ce cuprind erorile de calcul tipice Temele pentru acas n concordan cu obiectivul propus Stimularea muncii individuale suplimetare (evaluarea prin not) Exerciii de tipul: Unde e greala n calculul .... Cauzele care genereaz greala fiind multiple, fiecare dascl cu vocaie i propune cel puin reducerea substanial a frecvenei ei prin narmarea
elevilor cu deprinderea de a sesiza greala proprie, a altora, greala n
general.
Principiul lui Dirichlet (al cutiei) Prof. Nicolae Bogdan
Prof. Vasile Greccu Enun: Dndu-se n cutii, n care trebuie aezate n + p obiecte, atunci cel
puin o cutie va conine dou obiecte (n, p N*).
Principiul lui Dirichlet are aplicaii diverse mergnd pn la nivelul
gimnazial, ba chiar primar. Pentru exemplificare vom da, n mod gradat, cteva probleme culese:
1. tiind c un om are maxim 200000 de fire de par pe cap, s se arate n ce orae de pe glob vor fi n mod sigur doi oameni cu acelai numr
de fire de par pe cap. Soluie. Considernd ca un om poate avea un numr de fire de pr ce
aparine mulimii {0; 1; 2; ; 200000}, n oraele cu mai mult de 200001
locuitori cor fi cel puin doi oameni cu acelai numr de fire de pr pe cap,
deoarece al 200002-lea locuitor va avea numr de fire ca unul din primii 200001 locuitori.
2. Fiind date n + 1 numere naturale, cel puin dou dintre ele, mprite prin n vor da acelai rest.
Soluie. Obiectele de aezat n cutii sunt resturile. Cutiile vor fi n numr de n, deoarece prin mprirea unui numr la n pot aprea n feluri de resturi distincte 0, 1, 2,, n 1. Din cele n + 1 resturi cel puin dou vor fi la fel (adic se vor afla n aceeai cutie).
3. Punnd 5 puncte n interiorul unui triunghi echilateral cu latura 2, artai c exista dou din ele cu distana mai mic dect 1.
Soluie. Cele 4 cutii sunt triunghiurile echilaterale obinute cu ajutorul liniilor mijlocii, cele 5 puncte fiind obiectele. Punnd cte un punct n fiecare din cele 4 triunghiuri echilaterale de latur 1, cel de-al cincilea l vom pune n interiorul triunghiului dat tot intr-unul din cele 4
-
NOTE MATEMATICE
12- 12 -
triunghiuri mici (de latur 1). Deci exist cel puin dou puncte care au
ntre ele o distan mai mica dect 1. 4. ntr-un triunghi echilateral de latur 1 se aleg la ntmplare 49 de
puncte distincte. S se arate c cel puin 4 dintre ele se afl n interiorul
unui cerc de raz
341 .
Soluie. njumtind fiecare latur a triunghiului i unind punctele
respective, obinem 4 triunghiuri echilaterale de latur 21
. Procedm analog
cu fiecare dintre aceste 4 triunghiuri i obinem 16 triunghiuri echilaterale
de latur 41
. Conform principiului Dirichlet, cel puin un triunghi mic va
conine cel puin 4 puncte distincte. Dar raza cercului circumscris
triunghiului echilateral obinut este
341
. Deci cel puin 4 dintre cele 49
puncte distincte se gsesc n interiorul unui cerc de raz
341 . (q. e. d.).
5. n interiorul unui cub cu latura l zboar haotic 28 de albine. S se arate c n orice moment exist dou albine cu distana dintre ele mai mic
dect 33 .
Soluie. mprim cubul n 27 cubulee cu latur 31 . Distana maxim
intre oricare dou albine A1 A28 este mai mic dect diagonala cubuleului
A1A28 = 33 .
Am folosit principiul lui Dirichlet: dac n fiecare cubule ar fi cte o albin, a 28-a albin ar fi n mod sigur n acelai cubule cu o alt albin i
ar avea deci, ntre ele, o distan mai mic dect 33 . (q. e. d.).
Generalizare. Se d un cub cu latura l. n interiorul cubului zboar n3 + 1 albine. S
se demonstreze c n orice moment exist cel puin dou albine care au
ntre ele o distan mai mic dect nl 3 . (q. e. d.).
Soluie. mprind fiecare latur a cubului n n pri de lungimi egale
i formm n3 cubulee de muchie nl i diagonala d =
nl 3
. Aeznd cte o
albin n fiecare cubule, cea de-a (n3 + 1) albin va fi n acelai cubule cu
-
NOTE MATEMATICE
13 - 13 -
H S S M
o alt i deci distana dintre ele vi fi mai mic dect diagonala d = nl 3 . (q.
e. d.). 6. Pe o sfer de raz 1 se iau la ntmplare 9 puncte. S se
demonstreze c dintre acestea exist dou a cror distan nu depete
numrul 2. Soluie. mprim sfera n 8 regiuni egale; astfel exist dou puncte ce
intr intr-o aceeai regiune. Evalum arcul de cerc mare cuprins ntre ele i-l comparam cu arcele de meridian i ecuator ce mrginesc regiunea. Apoi comparm coardele respective.
7. Fie 2n+1 numere reale mai mari ca 1 i mai mici ca 2n. S se demonstreze c exist 3 dintre ele care pot fi lungimile laturilor unui
triunghi. Soluie. Partiionm intervalul (1, 2n) n intervalele: (1, 2), [2, 22), [22,
23), , [2n-2, 2n-1), [2n-1, 2n). Conform principiului lui Dirichlet, exist un interval ce conine cel
puin 3 din cele 2n+1 numere. Fie numerele a, b, c situate n intervalul [2k, 2k+1), unde k{0, 1, ., n
1}. Vom avea: 2k a < 2k+1 2k b < 2k+1
2k c < 2k+1 Dar : a + b 2.2k = 2k+1 > c b + c 2.2k = 2k+1 > a
c + a 2.2k = 2k+1 > b Deci numerele a, b, c, pot fi laturile unui triunghi. (q. e. d.).
TEOREM: Toate numerele ntregi pozitive sunt egale. Demonstraie: Artm prin inducie c pentru orice ntreg pozitiv n, i pentru orice ntregi pozitivi a, b cu max(a,b)=n avem
a=b. I. Dac n=1, atunci a=b=1. II. Presupunem c teorema este adevrat pentru k. Fie a, b cu max(a,b)=k+1. Atunci max(a-1,b-1)=k, deci a-1=b-1, deci a=b.
QED
U
M
O
R
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 14 -
TEME PENTRU GRUPELE DE PERFORMAN
1. NUMRUL DIVIZORILOR I SUMA DIVIZORILOR UNUI NUMR NATURAL
Prof. Rodica Antonie Fie a un numr natural compus care admite urmtoarea descompunere n factori primi: a=dk11 *dk 22 *dknn unde d1,d2,,dn sunt numere prime, iar k1,k2,,kn N,nN. Pentru a remarca cu mai mare uurin care sunt toi divizorii lui a, formm tabelul: d 01 d11 d 21 dk 11 d 02 d12 d 22 dk 22 dn0 dn1 dn2 dknn
Cercetnd acest tabel constatm c: -oricare numr din acest tabel este un divizor al lui a; -linia I a tabelului conine k1+1 divizori ai lui a, linia a-II-a a tabelului
conine k2+1 divizori ai lui a, ultima linie conine kn +1 divizori ai lui a. -nmulind fiecare numr din prima linie cu fiecare numr din linia a-
II-a, se obin (k1+1)( k2+1) divizori ai lui a.nmulind apoi fiecare din aceste numere cu fiecare numr din linia a-III-a, se obin (k1+1)( k2+1)(k3+1) numere i fiecare dintre acestea sunt divizori ai lui a. Continund raionamentul, se obin (k1+1)(k2+1)(kn+1) numere care sunt divizorii lui a.
-n numrul acestor divizori este inclus i divizorul 1 i numrul nsui.
Deci notnd n(a)=numrul divizorilor numrului natural a= dk11 dk 22 dknn , avem n(a)= (k1+1) (k2+1) (kn+1)
APLICAIE Aflai numrul divizorilor numrului 540.
Soluie: Deoarece 540=22*32*5, n(540)=(2+1)(3+1)(1+1)=24 deci 540 are 24 divizori. Cercetnd tabelul anterior, se constat c fcnd produsul sumelor numerelor de pe fiecare linie , se obine suma tuturor divizorilor numrului natural a. Deci, suma tuturor divizorilor numrului a este egal cu : (d 01 + d11 +d 21 +dk11 )*(d 02 + d12 + d 22 +dk 22 )*(dn0 + dn1 + dn2 +dknn ) Notm s1=1+d11 +d 21 +dk11 =1+d1*(1+d 21 +dk 11 1 )=1+d1*(s1-dk11 ).
Din aceste egaliti obinem s1=1
1
1
1
11
+
ddk .
Analog se calculeaz celelalte sume, obinndu-se Si=1
11
+
dd
i
ik i
, i=1,2,3,,n
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 15 -
H S S M
Notam s(a)=suma divizorilor numrului natural a= dk11 *dk 22 *dknn , avem :
S(a)= 1
1
1
1
11
+
ddk *
11
2
1
22
+
ddk **
111
+
dd
n
nkn
APLICAIE S se afle suma divizorilor numrului 504. Soluie:
504=23*32*7, deci k1=3,k2=2,k3=1;
s(504)= 12
12 13+
*13
13 12+
*17
17 11+
=1560
Definiia 1. Un numr natural se numete numr perfect dac este egal cu suma
divizorilor si exceptnd numrul nsui. Exemple: a)6 este un numr perfect, deoarece 6=1+2+3; b)28 este unn numr perfect, deoarece 28=1+2+4+7+14 Observaie: Un numr perfect se poate defini i astfel: Numrul natural a se numete perfect dac s(a)=2*a
Propoziie (Euclid, sec. 3 .e.n.) Numerele de forme 2n-1*(2n-1), unde n i 2n -1 sunt numere prime,
sunt numere perfecte. Demonstraie
Vom demonstra c a este un numr perfect artnd c s(a)=2*a=2*2n-1*(2n-1)= 2n*(2n-1). Folosind expresia sumei divizorilor lui a, avem:
S(a)= 12
12n
*1
1
2)12(
2
n
n=(2n-1)*
2
)2(*
222
n
nn
=2n*(2n-1).
Not Matematicianul elveian Leonhard Euler (1707-1783) a demonstrat n anul 1750 c aceast form suficient ca un numr s
fie perfect, este i necesar cnd numrul a este numr par.Nici pn n
prezent nu s-a demonstrat c nu exist numere perfecte impare. Definiia 2.
Dou numere naturale cu proprietatea c fiecare dintre ele este egal cu suma divizorilor celuilalt (exceptnd numrul nsui), se numesc prietene ( sau numere amiabile).
APLICAIE S se stabileasc ca numerele 220 i 284 sun numere prietene.
Soluie: Divizorii lui 220 sunt : 1,2,4,5,10,11,20,22,45,55,110, iar divizorii lui 284 sunt: 1,2,4,71,142 s(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+45+55+110=284; s(284)=1+2+4+71+142=220 Sau aplicnd formula anterioar avem:
s(220)=s(22*5*11)= 12
123
*15
152
*111
1112
=7*6*12=504
s(220)-220=284.
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 16 -
s(284)=s(22*71)= 12
123
*171
1712
=7*72=504
s(284)-284=220. Observaii:
1.Numerele a i b se numesc prietene dac s(a)=s(b)=a+b. 2.Perechea de numere prietene (220,284) este cunoscut nc din timpul
colii lui Pitagora (sec. 6 I.e.n.)
Probleme propuse: 1.S se determine numrul natural mpreun cu numrul 17296 formeaz o pereche de numere prietene. 2.S se determine numrul natural par ,m, tiind c n(m)=6 i s(n)=63. 3.Dac d1,d2,d3,,dk sunt divizorii naturali ai numrului natural n, s
se arate c : d11 +d 21 ++
dk1 =
n1 *s(n), kN*
2. INEGALITATI Constantin Ptrcoiu
Scopul acestei teme este de a prezenta ntr-o manier coerent (pe parcursul a mai multor numere ale acestei reviste) inegaliti clasice, aplicaii i idei originale legate de acest subiect. Dorina noastr este de a arunca o privire ntr-un domeniu foarte vast n care pot s apar oricnd surprize. Vom porni la drum cu dou inegalitai foarte cunoscute care pot fi angrenate ntr-un cerc vicios ntruct se pot deduce foarte uor una din cealalt. Dac xi , i=1,2,...,n (nN, n 2) sunt numere reale pozitive atunci:
(1) n
xxxxxx nn n+++ ...... 2121 (Inegalitatea mediilor),
egalitatea are loc dac i numai dac nxxx === ...21 .
Dac xi , i=1,2,...,n (nN, n 2) sunt numere reale pozitive i nxxx ...21 =1 atunci:
(2) nxxx n +++ ...21 , egalitatea are loc dac i numai dac nxxx === ...21 .
Acceptnd ca adevrat inegalitatea (1), dac produsul numerelor xi ,
i=1,2,...,n este egal cu 1, obinem 1...... 2121 =+++
nn
n xxxn
xxx.
Eliminnd numitorul rezult nxxx n +++ ...21 . (Inegalitatea (2) este o consecin imediat a inegalitatii(1))
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 17 -
H S S M
Acceptm ca fiind adevrat inegalitatea 2. Fie g= n nxxx ...21
nn xxxg ...21= g
xgx
gx n= 211 i aplicm inegalitaea (2) numerelor
gx
gx
gx n,,, 21 al cror produs este egal cu 1, obinem:
ngx
gx
gx n +++ 21 +++
nxxx n...21 g= n nxxx ...21
( Inegalitatea (1) este o consecin imediat a inegalitii (2)).
Att inegalitatea (1) ct i inegalitatea (2) pot fi demonstrate direct prin inducie.
Dac xi , i, i=1,2,...,n sunt numere reale pozitive i 1...21 =+++ n atunci:
(3) nnn xxxxxx n +++ ...... 221121 21 Observm c inegalitatea (1) rezult imediat din (3) lund
nn1...21 ==== .
Deci, putem demonstra mai nti inegalitatea (3) a crei consecin imediat este (1) cu consecin imediat (2).
Inegalitatea (3) se demonstreaz prin inducie ceea ce necesit verificarea faptul c aceast inegalitate are loc pentru n=2, deci trebuie verificat inegalitatea:
(4) 221121 21 xxxx + pentru xi ,i >0 , i=1,2 ; 121 =+ . Demonstrarea inegalitii (4) este uoar doar n situaia utilizrii derivatelor: (4) 0)1( 2111121 11 xxxx Considerm funcia de variabil x1[0,], f(x1)= 2111121 )1(11 xxxx a crei
derivat f(x1)= ]1)[()1( 12
11
12
111
111 = xxxx se anuleaz n 21 xx = .
Cum 1-10 q.e.d De altfel, dup cum vom vedea aceast inegalitate este fundamental i are drept consecine alte inegaliti cunoscute. Ea poate fi obinut imediat i din inegalitatea lui Young ( [1]) dar aceast inegalitate se demonstreaz cu ajutorul calculului integral.
Datorit faptului c demonstrarea prin inducie a inegalitii (1) constituie o experien util, vom prezenta n detaliu acest demonstraie.
Pasul I- Inainte: Vom demonstra prin inducie c inegalitatea are loc pentru orice numr natural care este o putere a numrului 2.
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 18 -
Pasul II-Inapoi: Vom arta c dac inegalitatea are loc pentru un numr natural m atunci are loc i pentru m-1, n consecin are loc pentru toate numerele mai mici sau egale dect m.
Pasul III-Combinn rezultatele
Pasul I. Pentru n=2 inegalitatea (1) devine:
2121
2xxxx + 02 2211 + xxxx 0)( 221 xx care evident este
adevarat i egalitatea se realizeaz dac i numai dac 21 xx = Presupunem c inegalitatea are loc pentru oricare 2k numere pozitive yi,
deci: k kk
yyyyyy
k2
221221 ...
2...
+++
Atunci
++++++
=+++
++
+
+ kk
kk
k
xxxxxxxxx
22
...22
2...
11
1
2124321
1221 k kk
xxxxxx2 2124321
2...
2211 ++ +++
kkk xxxxxx2 2124321 11.... ++ =
11
2221
...+ +k kxxx
Am aplicat ipoteza induciei pentru cele kk
22
2 1 =+
numere
y1=2
,...,2
,2
11 2122
432
21 ++++=+ kkkxx
yxx
yxx i cazul n=2 demonstrat la etapa
verificrii. Egalitatea are loc dac i numai dac nume respective sunt egale.
Pasul II. Presupunem c inegalitatea are loc pentru oricare m numere pozitive yi, deci
mm
m yyym
yyy...
...21
21 +++ Fie x1,x2,...,xm-1 numere pozitive oarecare.
Notm: y1=x1 , y2=x2 , ... ym-1=xm-1 , ym=1... 121
+++ n
xxx n i aplicm inegalitaea
precedent. Rezult:
+++++++
mm
xxxxxx mm 1...
... 121121m m
m mxxxxxx
1...
... 121121 +++
+++ 1
... 121m
xxx m mmmm m
xxxxxx
1121
1
121 )1...
()...(+++
+++ mm
m
mxxx 1121 )
1...
( mmxxx1
121 )...( +++
1... 121
mxxx m 1
1
121 )...( mmxxx
Pasul III Dac n este un numr natural oarecare, conform pasului I inegalitatea are loc pentru 2n. Dar n2n( iari innducie!), conform pasului II inegalitatea are loc pentru toate numerele mai mici dect 2n deci i pentru n. q.e.d.
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 19 -
H S S M
Aplicaie. Utiliznd metoda induciei n maniera precedent s se demonstreze:
(5)
=
=
=
=
n
i
ni
n
ii
n
i
ni
n
ii
x
x
x
x
1
1
1
1
)]1([
)1(
)(pentru ni
nxi ,...2,1;
10 =< , egalitatea avnd loc
dac i numai dac nxxx === ...21 (Inegalitatea Ky Fan). Fie xi , i=1,2,...,n (nN, n 2) numere reale pozitive i R. Aplicnd inegalitatea mediilor obinem
nxxx
xxx nn n
+++ ...... 2121 . Ridicnd
ambii membri la puterea 1 obinem:
(6) 1
2121 )
...(...
nxxx
xxx nn n+++ , dac >0
(7) n nn xxx
nxxx
...)...
( 211
21 +++
, dac 1.
Inlocuind n inegalitatea (4) =
= n
i
pi
pi
a
ax
1
1 ,=
= n
i
qi
qi
b
bx
1
2 , qp1,1 21 == obinem:
=
n
i
ppi
i
a
a
1
1
)( ===+ n
i
qi
qi
n
i
pi
pi
n
i
qqi
i
b
bqa
ap
b
b
111
1
11
)(
, i=1 ,2 , ... ,n. Adunnd aceste inegaliti
obinem: 11111
)()(1
1
1
1
1
1
1
11 =+=+
=
=
=
=
==
=
qpb
b
qa
a
pba
ba
n
i
qi
n
i
qi
n
i
pi
n
i
pi
n
i
qqi
n
i
ppi
i
n
ii
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 20 -
(10) ===
n
i
qqi
n
i
ppii
n
ii baba
1
1
1
1
1)()( ai , bi >0 i=1 ,2 , ... ,n (nN, n 2); p>1,q>0
astfel nct 111 =+qp
. ( Inegalitatea Hlder)
Se verific faptul c n relaia (10) se obine egalitate dac si numai dac sistemele (ai),(bi) sunt proporionale. Pentru p=2 i q=2 se obine
(11) ===
n
ii
n
iii
n
ii baba
1
2
1
22
1)()()( (Inegalitatea Cauchy Buniakowski
Schwartz)
Scriind =
=
=+++=+
n
i
piii
n
i
piii
n
i
pii yxyyxxyx
1
1
1
1
1)()()( i aplicnd termenilor din
membrul doi inegalitatea lui Hlder cu exponeni p,q cupq111 = , obinem:
qn
i
pii
n
i
ppi
qn
i
pii
n
i
ppi
n
i
pii yxyyxxyx
1
1 1
11
1 1
1
1])([)(])([)()(
= == ==++++
Simplificnd rezult
(12) ===
+n
i
ppi
n
i
ppi
n
i
ppii yxyx
1
1
1
1
1
1
)()(])([ , xi ,yi>0 , i=1,2,...,n ( n2), p>1.
(Inegalitatea Minkowsky) Se verific deasemenea c n relaia (12) se obine egalitate dac i numai dac sistemele (xip) ,(yip) sunt proporionale cu sistemul ((xi+yi) p) ceea ce este echivalent cu faptul c sistemele (xip) ,(yip) sunt proporionale ntre ele. Aplicaii imediate ale inegalitii (1):
i. 2,)2
1(! +< nnn n , n N.
Soluie: 2
12
)1(...321321! +=+=++++0 , n N
Soluie: 11
...1
1
++=
+++++=
+
+
nnba
nbbbabbbaab
orin
norin
n n
iii. 21
22002
2002
++
xx , xR.
Soluie: 21
111
11
11
22002
2002
20022002
2002
2002
2002
+
++=+
+++=
++
xx
xxx
xx
iv. qxx q ++ 1)1( , xR, 1x , qQ, 10
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 21 -
H S S M
Soluie: Fie nmq = cu m,n N, nm
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 22 -
Teorema 1.2 Daca numarul natural n contine in descompunerea sa factorii primi p1,p2,..pr la puterile k1,k2,..kr ,atunci numarul divizorilor lui n este: (k1+1)(k2+1)...(kr+1). Demonstratie Numarul p1 k 1 are divizorii 1,p11,.. p1 k 1,deci k1+1.Analog pentru fiecare din factorii primi ai lui n ,si deci numarul total al divizorilor va fi egal cu cardinalul unui produs cartezian de r multimi ,avand k1+1 ,k2+1 , ...respectiv kr+1 elemente deci se obtine rezultatul dorit. APLICATIE Aflati cel mai mic numar natural a care satisface conditiile : A se divide cu 11 ,a=m.p ,unde m,p sunt numere naturale astfel incat numarul divizorilor lui m este 3 ,iar numarul divizorilor lui p este 6. Cati divizori are a ? Solutie Pentru ca produsul m.p sa fie cat mai mic va trebui sa luam p=2 ,iar m=11.Numarul divizorilor lui n va fi 18 ,conform Teoremei 2. 2 NUMARARE DE SUBMULTIMI Teorema 2.1 Daca notam cu P (A) multimea partilor multimii A, atunci are loc formula: Card P (A)=2. (fara demonstratie) APLICATIE Enumerati elementele multimii P (P ({a,b})).
Solutie Conform Teoremei 2.1 multimea va avea 16 elemente. P ({a,b})={,{a},{b},{a,b}} P (P ({a,b}))={,{},{{a}},{{b}},{{a,b}},{,{a}},{,{b}},{,{a,b}}
{{a},{b}},{{a,{a,b}},{{b},{a,b}},{,{a},{b}},{,{a},{a,b}}, {,{b},{a,b}},{{a},{b},{a,b}},{,{a},{b},{a,b}}} Propozitia 2.2 Numarul submultimilor de doua elemente ale unei
multimi cu n elemente este 2
)1( nn . Demonstratie Facand perechi primul element cu celelalte ,apoi al doilea cu cele de dupa el ,si asa mai departe ,se vor obtine:
(n-1)+....+2+1=2
)1( nn . Submultimi. APLICATIE Cate diagonale are un poligon cu 7 laturi? Solutie Cu cele 7 varfuri ale poligonului se pot determina 7.6:2=21 segmente ,conform Propozitiei 2.2. Din acestea 7 sunt laturi iar restul de 14 sunt diagonale. Propozitia 2.3 Numarul submultimilor de 3 elemente ale unei
multimi cu n elemente este6
)2)(1( nnn . Demonstratie De la fiecare submultime de doua elemente prin adaugarea unui element se obtine o submultime de 3 elemente.Prin acest procedeu se obtine fiecare submultime de trei elemente de trei ori ,deci rezultatul se va imparti la 3.
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 23 -
H S S M
APLICATII 1)Cate segmente pot forma varfurile unui cub? 2)Cate triunghiuri diferite se pot forma cu varfurile unui cub? Solutii Se vor aplica Propozitia 2.2 ,respectiv Propozitia 2.3. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
1) Determinati numarul natural A=2a 3b ,stiind ca 2A are cu 3 divizori mai mult decat A ,iar 3A are cu 4 divizori mai mult decat A.
2) Determinati cardinalul multimilor: A ={xN | 22000< x 22001}
B ={ xN | x 31334 } Comparati card A si card B.
3) Se considera un poligon cu 19 varfuri si toate segmentele determinate de varfurile sale .Care este probabilitatea ca luand la intamplare un segment acesta sa fie diagonala?
4) O multime AN areproprietatea ca pentru orice xA ,patratul sumei cifrelor sale apartine de asemenea multimii A. Se stie ca 1998A. a) determinati un alt element al multimii A (diferit de 1998) b) stabiliti care este numarul minim de elemente pe care poate sa
le aiba multimea A. 5) Care este probabilitatea ca aruncand doua zaruri sa obtinem suma
punctelor 8? 6) Pentru scrierea numerelor paginilor unei carti s-au folosit 1212
cifre. Cate pagini are cartea? 7) Multimile A, B au ca elemente numere naturale consecutive. Daca
AB={1997} si diferenta dintre cel mai mare element din AB si cel mai mic element din AB este 1997 ,aratati ca multimile A si B nu pot avea acelasi numar de elemente.
8) Pentru scrierea numarului 2531 se folosesc m cifre ,iar pentru scrierea numarului 5531 se folosesc n cifre. Determinati m+n.
9) Sa se arate ca un numar natural care are un numar impar de divizori este patrat perfect.
10) Cate elemente are sirul : 2,5,8,....6005? Care este cel de-al 201-lea termen al sirului?
BIBLIOGRAFIE [1] Dan Branzei & colectiv Matematica in concursurile scolare ,clasele
V-VIII,Editura Paralela 45 ,1999 [2] Virgiliu Schneider & colectiv 525 probleme date la olimpiadele de matematica 1990-1998 ,Ed. Valeriu ,Craiova 1998
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 24 -
4. CALCULUL UNOR SUME TEMA PENTRU GRUPA DE PERFORMANTA CLS. A-VI-A
Prof. Gheorghe Cainiceanu TESTARE 1) Se considera sirul 3,8,13,....,7498.Cati termeni are sirul? Care este cel
de-al 1289-lea termen? 2) Se dau sase puncte in spatiu.Cate segmente au capetele in aceste
puncte? Daca toate segmentele se coloreaza in rosu si albastru sa se arate ca exista cel putin un triunghi cu laturi de aceeasi culoare.
Timp de lucru 30 minute PROBLEME :
1) Care este suma primelor 150 de numere impare? 2) Care este suma primelor 50 de patrate perfecte?
Pentru solutionarea problemelor propuse mai sus si a altora din aceeasi gama propunem urmatoarele consideratii teoretice:
Teorema 1 Suma primelor n numere naturale este 2
)1( +nn . Demonstratie Scriem suma in doua moduri: S = 1 + 2 +... + (n-1) + n S = n+(n-1) +....+ 2+ +1 Si obtinem 2S=n(n+1). APLICATII
1)Calculati =
+n
kk
0
)12( .
Solutie Dupa desfasurare suma devine: (2.0+1)+(2.1+1)+....+(2.n+1)=2(0+1+..+n)+(n+1)= n(n+1) +(n+1) =(n+1)(n+2) 2)Calculati suma primilor 151 de termeni ai sirului : 1,8,15,.... Solutie Se observa ca suma se mai poate scrie: (7.0+1) +(7.1+1)+....+(7.150+1) =7(0+1+...+150)+151= 7.151.75+151=151(7.75+1)=.. Teorema 2 (Formule de calcul prescurtat) a) a2-b2=(a-b)(a+b) b) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) c) an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+....+abn-2+bn-1). Demonstratie Vom demonstra doar punctul c) care este o generalizare a celorlalte subpuncte. (a-b)(an-1+an-2b+......+abn-2+bn-1)= = an+an-1b+...........+a2bn-2+abn-1-ban-1-.......................-babn-2-bn =an-bn.
(se foloseste comutativitatea inmultirii si adunarii si faptul ca x-x=0)
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 25 -
H S S M
APLICATII 1)Determinati numerele naturale n pentru care 2n +1 se divide cu 3. Solutie Putem scrie: 2n- (-1)n =3A Deci 2n +1 =3A +1 +(-1)n. Deducem ca pentru n impar se intampla cerinta problemei. 2)Aratati ca 8n 1 se divide cu 7 ,pentru orice n natural. Solutie Avem folosind Teorema 2 ca : 8n 1=(8-1) (8n-1+8n-2+.....+8+1), deci se divide cu 7. 3)Calculati suma : 1+a+a2+...+an-1 , daca a este numar rational diferit de 1. Solutie Folosim Teorema 2 c) ,pentru b=1 . Teorema 3 Are loc formula :
12+22+32+....+n2 =6
)12)(1( ++ nnn . Demonstratie Ne folosim de formula de calcul prescurtat (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 si vom avea: (1+1)3 =13 +3.12+ 3.1 +1 (2+1)3 =23 +3.22 +3.2 +1 ............. (n+1)3 =n3 +3.n2 +3.n +1 Adunand cele n relatii si scazand din fiecare membru numerele egale se va obtine : (n+1)3 =3(12+22+...n2) + 3(1+2+....+n) +(n+1). Prin calcule se obtine acum formula dorita. APLICATIE Scrieti urmatorii 3 termeni ai sirului :2,5,10,17,....Faceti suma primilor 43 de termeni. Solutie Se observa ca termenii sunt de forma n2+1 ,deci urmatorii 3 termeni sunt 52+1 ,62+1 ,72+1. S=12+22+......+432+43=43.44.87:6+43.
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE 1) Apa cand ingheata isi mareste volumul cu 9%. Cu cat la suta isi
micsoreaza volumul gheata care se topeste?
2) Sa se arate ca ecuatia 22111yxyx
++ =1 nu are solutii in N2.
3) Un om vasleste contra curentului apei. La un moment dat ii cade din barca o ladita. Dupa zece minute observa si se intoarce dupa ladita pe care o gaseste la un kilometru distanta de locul pierderii.Ce viteza are curgerea raului?
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 26 -
4) Avem doua solutii de acid. Una cu concentratia 35% iar alta cu concentratia 55%. In ce raport trebuie sa facem un amestec pentru a obtine o solutie cu concentratia 42%?
5) Sa se arate ca oricare ar fi n numar natural,n2 ,avem ca 2n>n+1. 6) Sa se arate ca oricare ar fi n numar natural,n2 ,avem n! > 2n-1. 7) Sa se arate ca oricare ar fi n numar natural,n2 ,avem
23
21...
111
21
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 27 -
H S S M
5. Tratarea analitic a locurilor geometrice. Prof. CHILEA ION.
Una din cele mai dificile probleme din geometria sintetic este determinarea locurilor geometrice. Geometria analitic face de multe ori posibil determinarea locurilor geometrice mult mai uor.
Se tie c prin loc geometric se nelege totalitatea punctelor care se bucur de aceeai proprietate. Se cunosc locuri geometrice ca: cercul,
bisectoarea, mediana, mediatoarea etc. Locul geometric este n general o curb, putndu-se reduce la o dreapt.
Problemele de loc geometric se pot mpari n doua categorii, dup
modul cum se obin punctele cutate ,i anume: a) Cnd punctele cutate se bucur de o anumit proprietate metric; b) Cnd punctele cutate apar ca intersecie a dou drepte sau curbe
variabile. A gsi locul geometric al unui punct variabil nseamn a gsi o relaie
fix ntre coordonatele acestui punct. Cum procedm? n primul caz vom exprima proprietatea metric de care se bucur
punctul variabil cu ajutorul coordonatelor acestui punct. Rezultatul va fi relaia cutat intre coordonatele acestui punct, deci locul geometric cutat.
n cazul al doilea , vom scrie ecuaiile curbelor i dreptelor variabile, a
cror intersecie dau punctul variabil. Aceste relaii depind in general de unul
sau mai muli parametri variabili. Dac locul geometric exist, aceti parametri se vor reduce la unul singur , i eliminarea lui ntre ecuaiile
curbelor sau dreptelor , ne va conduce la o relaie fix ntre coordonatele
punctului variabil, care va constitui locul geometric cutat. n orice problem de loc geometric vom proceda n urmtoarea ordine: 1. Alegerea axelor de coordonate. Vom alege ca ax OX , de obicei, una din dreptele fixe dat n cadrul
problemei. Ca axa OY vom alege perpendiculara pe OX dintr-un punct fix sau ridicat n mijlocul unui segment fix de pe OX.
2. Stabilire coordonatelor punctelor date. Vom nsemna mai nti coordonatele punctelor fixe, apoi pe cele mobile ,
cuprinse n datele problemei. 3. Scrierea ecuaiilor dreptelor sau curbelor. Vom scrie la nceput ecuaiile dreptelor sau curbelor fixe , apoi ale
dreptelor sau curbelor mobile ,care prin intersecia lor dau locul geometric ce
se cere. 4. Scrierea condiiilor ndeplinite de datele problemei . Vom exprima cu ajutorul celor de mai sus, eventualele condiii pe care le
satisfac punctele sau datele problemei. 5. Eliminarea parametrilor ntre ecuaiile si relaiile verificate de
coordonatele punctului mobil. 6. Discuia locului geometric.
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 28 -
1. S se determine locul geometric al punctelor din plan care au puteri egale fa de dou cercuri date .
Y M(x,y) T2 T1
O2(-a,0) O O1(a,0) X
Fie C1 de raz r1 i C2 de raz r2. Alegem ca ax OX linia centrelor i ca ax OY perpendiculara pe [O1O2] n mijlocul acestuia. Dac M(x, y) este punct curent al locului geometric, vom avea: 22
22
21
21
2 rdrd == ),( 11 OMdistd = , ),( 22 OMdistd = ( ) ( ) 22222122 ryaxryax ++=+ sau
+++=++ 2222221222 22 ryaxaxrayxax arrxrrxa
==
44
21
222
12
2 .
O paralel la axa OX prin punctul
arr
4,0
21
22 .
Obs. Aceeai ecuaie se obine dac scdem ecuaiile normale ale cercurilor. 2. Fie punctele A1 , A2, , An fixate n plan. Se cere locul geometric al
punctelor M, din plan, pentru care aMAn
kkk
==
1
2 , ( 0>a i *+k ),
Soluie.
. ( ) ( ) = ====
=+++=n
k
n
kkkkkk
n
kkk
n
kk
n
kkk ayxyyxxyxMA
1 1
22
11
22
1
2 22
Normaliznd, obinem:
022
1
1
1
122 =+
+
=
=
=
= py
yx
xyx n
kk
n
kkk
n
kk
n
kkk
.
Deci, locul geometric cutat este un cerc cu centrul n baricentrul sistemului de puncte {A1 , A2, , An } cu ponderile {1 , 2, , n}.
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 29 -
H S S M
6. O METOD DE CALCUL A MATRICEI An Prof. Ionel Ciuc
Cutm un alt procedeu pentru ridicarea unei matrice de ordinul al II lea la puterea n.
Fie A =
dcba
. Notm Ak =
kk
kk
dcba
, unde k N, iar pentru k = 1
admitem c a1=a, b1 = b, c1 = c i d1 =d.
Deoarece An+1=
++
++
11
11
nn
nn
dcba
i n acelai timp A n+1= A n. A=
nn
nn
dcba
.
dcba
,
obinem:
++
++
11
11
nn
nn
dcba
=
++++
nnnn
nnnn
ddcbdccabdabbcaa
........
.
Deci determinarea matricei An se reduce la rezolvarea sistemelor de
relaii de recuren:
+=+=
+
+
nnn
nnn
bdabbbcaaa....
1
1 i
+=+=
+
+
nnn
nnn
ddcbddccac....
1
1
Constatm c acestea sunt asemntoare, fiind diferite doar prin valorile iniiale ale irurilor (an ), (bn ) i respectiv (cn ), (dn ). Eliminnd pe bn ntre relaiile din primul sistem, obinem: a 2+n = (a + d). a 1+n - (ad bc).a n ; n = 1, 2, 3, Observm c tiind pe a1 i a2 se poate determina forma general a irului (an ). Presupunnd c rdcinile ecuaiei caracteristice asociate x2 = (a + d)x (ad bc) sunt reale i diferite ntre ele, notndu-le cu u i v obinem: an = . un + . vn, unde i sunt dou numere care pot fi determinate n funcie de a1 i a2 (care se cunosc din matricele A i A2 ).
Scriind c bn = caaa nn .1 + , obinem: bn =.
cavv
cauu nn + ....
Analog din al doilea sistem obinem: cn = nn vu .. + (unde u i v sunt rdcinile aceleiai ecuaii caracteristice) i respectiv:
dn = cavv
cauu nn + .... .
Aadar:An=
++
++
cavv
cauuvu
cavv
cauuvu
nnnn
nnnn
......
......
=un.
caucau
.
.
+vn.
cavcav
.
.
.
n concluzie, orice matrice de ordinul al doilea de forma:
dcba
,
pentru care ecuaia x2 - (a + d)x + (ad bc) = 0 are rdcini reale i diferite, se poate scrie sub forma: An = un . B + vn . C (1), unde B i C sunt:
B =
caucau
.
.
i C =
cavcav
.
.
.
n practic ns, ele pot fi determinate fcnd n = 1 i n = 2 n relaia (1)
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 30 -
1) Dac A =
3212
, s se calculeze An.
Soluie. Considerm ecuaia caracteristic: x2 - (a + d)x + (ad bc) = 0, care n cazul nostru devine: x2 5x + 4 = 0, cu rdcinile u = 1 i v = 4.
Aadar An = 1n . B + 4n . C , unde B =
43
21
bbbb
i C =
43
21
cccc
, care
se pot determina particulariznd pe n cu 1 i apoi cu 2.
A1 =
3212
=
43
21
bbbb
+ 4.
43
21
cccc
; A2 =
111056
=
4321bbbb
+ 16.
43
21
cccc
.
Dup rezolvarea sistemelor, obinem:
b1= 32 , b2= -
31 , b3= -
32 , b4=
31 , c1 =
31 , c2 =
31 , c3 =
32 , c4 =
32
An =
31
32
31
32
+ 4n.
32
32
31
31
=
++++
nn
nn
4.214.224142
.31
2) Fie A =
abba
, a, b R . S se calculeze An.
Problema A5, punctul e din manual, autori M.Burtea i G.Burtea) Soluie. Ecuaia caracteristic devine: x2 2ax + a2 b2 = 0, cu soluiile u = a + b i v = a b.
Deci: An = (a + b)n .
43
21
bbbb
+ (a b)n.
43
21
cccc
. Rezolvnd sistemele obinute
pentru n=1 i n=2, avem: b1= b2=b3=b4=21 , c1=c4=
21 i c2=c3= -
21
, adic:
B =
21
21
21
21
i C =
21
21
21
21
An = 21 .
++++++
nnnn
nnnn
babababababababa
)()()()()()()()(
3) Fie A o matrice ptratic de ordinul al doilea astfel nct A3 = 0. S se arate c i A2 = 0 Soluie. Deoarece det A3 = (det A)3, rezult c det A = 0. Dar A3 = u3 . B + v3 . C, unde u i v sunt rdcinile ecuaiei: x2 - (a + d)x + (ad bc) = 0. Cum det A = ad bc = 0, rezult c u = a + d i v = 0. Deci A3 =u3 . B + v3 . C =(a + d)3 . B=0 A2 = u2 . B + v2 . C=(a + d)2 .B=0.
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 31 -
H S S M
7. Calculul unor integrale definite Prof. Daniel Sitaru
Fie F : [-1,1]2 R o funcie de clas C1 cu proprietatea c exist un numr k R astfel nct:
F(u,v) + F(v,u) = k, ()(u,v) [-1,1] x [-1,1]. n cele ce urmeaz ne vom ocupa de calculul integralelor de forma:
( )=2
0
,cos,sin
dxxxFI (1)
i vom exemplifica prin cteva aplicaii din culegeri cunoscute sau aplicaii mai noi. Efectum n (1) schimbarea de variabil: x = /2 - y i deducem:
( ) ( ) ( ) ,sin,cossin,cos2
cos2
sin2
0
0
2
0
2
==
=
dyyyFdyyyFdyyyFI
deci: ( )=2
0
.sin,cos
dxxxFI (2).
Adunm relaiile (1) i (2) i obinem:
( ) ( )[ ] +=2
0
sin,coscos,sin2
dxxxFxxFI .42
1 2
0
kkdxI == APLICAII:
1. S se calculeze .cossin
cos2
033
3
dxxx
xI +=
(Gh. Sirechi, Calcul diferenial i integral vol. 2)
Soluie: Fie ( ) ., 333
vuuvuF+
= Constanta k este dat de:
1),(),( 333
33
3
=+
++
=+=vu
vvu
uuvFvuFk
i deci .44 == kI
2. S se calculeze: +++=
2
0
2
.1cossin
sinsin
dxxxxxI
(V. ifui, Culegere de probleme pentru concursurile de matematic vol. 5)
Soluie: Fie .1
),(2
+++=vuuuvuF Dac u= sinx, v = cosx i u2 + v2 = 1.
Astfel F(u,v) + F(v,u) = 111
1
22
=++++=
+++++
vuvu
vuvvuu i deci .
44 == kI
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 32 -
PROBLEME PROPUSE: 1. S se calculeze:
+++=
2
019981998
21998
.cossin1cossin
dxxx
xxI
(Florin Nicolaescu) 2. S se calculeze:
+=2
055
5
cossinsin
dxxx
xI i +=2
055
5
.cossin
cos
dxxx
xJ
(Admitere Politehnic Timioara) 3. S se calculeze:
;)(1
2
0 +=
atgxdxI a R* .
(Admitere Politehnic Timioara) 4. S se calculeze:
.2sin25
22sinsin2
0
2
+++=
dxxxxI
(Daniel Sitaru) 5. S se calculeze:
.)cos(cos)cos(sin)sin(cos)sin(sin
)cos(cos)sin(sin2
0 +++
+=
dxxxxx
xxI
8. Monotonia, mrginirea i convergena irurilor recurente
definite de funcii continue monotone prof. Manuela Prajea
n cele ce urmeaz vom prezenta o metod rapid i elegant de stabilire a monotoniei, mrginirii i convergenei irurilor (x n ) 1n definite de
x 1+n =f(x n )
unde f :I I este o funcie continu strict monoton, x 1 I i I un interval nchis din R (i.e. un interval de forma : [a,b] , (- ,a] , [a, ) , (- , ) ). I. Cazul funciei f strict cresctoare. Prop.1.1. Monotonia:
(i) x 1x 1+n (iii) x 1=x 2 x n =x 1+n ,( )n1
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 33 -
H S S M
Prop.1.2. Mrginirea. Dac c este un punct fix al funciei f i.e. f(c)=c atunci :
(i) (i) x 1c (iii) (i) x 1=c x n =c ,( )n1
Demonstraie 1.1. , 1.2. : inducie matematic i f cresctoare. Prop.1.3. Convergena. Dac c,d sunt dou puncte fixe consecutive ale funciei f i x1(c,d) atunci :
(i) x 1x 2 nlim x n = c (iii) x 1=x 2 nlim x n = x 1
Demonstraie: Monotonia i mrginirea se obin din 1.1. i 1.2., deci ( ) n
lim x n R i prin trecerea la limit n relaia de recuren se obine (i) i (ii) . Obs.1.4. Despre existena punctelor fixe ale funciei f :I I continue sau monotone avem : T.1.4.1. T.Knaster : Dac f:[a,b] [a,b] cresctoare (strict cresctoare) atunci exist (i e unic) c [a,b] astfel nct f(c)=c. Demonstraie: v[3] T.1.4.2. T. Brouwer: Dac f:[a,b] [a,b] continu atunci c [a,b] astfel ncat f(c)=c Demonstraie: v[3] Corolar 1.4.3. Dac f :I I (I interval nchis din R ) , f continu i mrginit, atunci exist c R astfel nct f(c)=c. Demonstraie: Fie m, M margini ale lui f f(I) [m,M] f ( [m,M] ) [m,M] i se aplic T.1.4.2. Remarca 1.5. Dac f :I I continu, strict cresctoare i mrginit (deci I interval nchis mrginit din R) atunci
xlim f(x) = (sau
xlim f(x) =- ) i vom spune prin
extensie c (sau - ) este punct fix pentru f. n aceste condiii Prop.1.3. rmne valid i n cazul c,d R . Aplicaia 1.
S se calculeze n
lim baaa ++++ ... (n radicali) unde a,b>0 date . Etapa judeean 2002
Soluie :
Cu x n = baaa ++++ ... (n radicali) obinem :
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 34 -
Din f(x)>0 f strict cresctoare i din f(x)=x c=2
411 a+ , d=2
411 a++
i e=singurele puncte fixe ale lui f in R . Cum x n >0 si x 1 x 0 x n k . b)dac sin x 0
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 35 -
H S S M
4. x 0 R, x n =e 1nx -1.
5. x 0>0, x 1+n =n
n
xaax+
2 (a>0);
6. x 0 R, x 1+n =a 3 nx . 7. x 0 R + , x 1+n =ln(1+ x n ). 8. x 0 [0,1], x 1+n =cos[(1- x n ) 2 ]. 9. x 0 R + , x 1+n =a+arctg x n (a>0). 10. x 0 R, x 1+n =ln(1+arctg x n ). 11. x 0 R, 2 x 1+n =3 nx -1. 12. x 0=a, x 1+n =x 2n +(1-2b) x n +b 2 (b R) ;s se determine relaiile
ntre a,b R astfel nct irul s fie convergent i s se afle limita sa. 13. x 0 [3, ) , x 1+n = 8x 1n ++ - 3x n + .
14. x 1+n = 22 aaxxax
nn
n
++, a [
31 , ) , x 0>0.
15. x 0 [0,1], 3 nx =2 1+nx +1. -continuarea n numarul viitor-
Bibliografie : [1] Revista de Matematica din Timisoara 1997-2002. [2] Gazeta Matematica 1996-2002 [3] Gh. Siretchi - Calcul diferential si integral [4] Virgil Nicula - Analiza matematica pentru clasa a XI-a
9. Limite de funcii calculate elementar Porf. Constantin M. Giugiuc
Exist limite de funcii n manuale, culegeri i reviste de specialitate, a cror determinare nu este imediat i de multe ori, nu dorim s aplicm regulile lui lHospital, sau chiar ni se impune acest lucru. Avem convingerea intim c aplicarea metodelor elementare n calcularea limitelor de funcii ne oblig s inventm, s rememorm proprietai i reguli, s aplicm diverse raionamente. Mai mult, dac i reuim finalizri elegante i spectaculoase, ne bucurm de satisfacii proprii nvingtorilor. n cele ce urmeaz m voi opri la cteva exemple, care, cred c vor convinge.
?)1()4?)1()3
?)1ln()2?)1()1
1
0
ln
0
2220
limlim
limlim
=+=+
=+=
>
xex
xx
xxxxxctg
x
x
x
xx
xox
xx
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 36 -
Rezolvri :
.321lim
31
278
9
491
274
912sinsin2lim
91
274
91
3coscos91sin
274cossin
91lim
273cos3cos3cos3sin4sin3lim
)3(3cos33sinlimcossinlim
212)cos(sinlimsinsin
)cos(sin)cos(sinlim
sin)cos)(sincos(sinlim)
sincos1(lim)1
220
20
2
3
30
3
3
0
3030
3030
2202
2
20
=
=+=
+=+=
=
+
=
=+=
===
==+=
=+=
xctgx
deci
LLL
Ly
yyL
yyy
yy
yyyy
yyyyyyyyy
yyyy
xxxxLdar
Lx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
xx
x
x
y
y
y
yx
xx
xx
( )( )
( ) .2111lim1lim
1lim1lim11
lim)1(
1lim
111
1lim1ln1lim)2
2020
20202
2
020
0
2
===++=
=+==
=
=
=+=
=
+
LLLzez
zez
zze
yye
yye
ey
eye
exxnotatamye
exx
xx
z
z
z
z
z
z
y
y
y
yyy
y
y
yyyyx
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) 12
11
1lim
1lnlim
1lim)3
210
2002
00
1lnlnlim
1lnlnlimln1ln
lnlimln
00
200
00
00
===+=+
====+
++
+
eLe
eyx
xx
Leeexx
y
y
yy
xx
xxx
xx
xxxxx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
ff
f
fff
( ) ( ) ( )
( )( )
( ).
211ln
lim1
11ln1
11ln1limlim1lim)4
20
11ln1
0
1ln1
0
1
0
=+=
=+
+
==+
+
+
xxx
x
xx
xx
eex
eex
ex
x
xx
x
xx
x
x
x
-
CERCUL DE MATEMATICA
- 37 -
H S S M
Probleme propuse : S se calculeze prin metode elementare :
axax
xxx
xxe
xxx
ax xa
xx
x
xx
030
2020
lim)4;arcsinlim)3
;sin
1lim)2;
sin1lim)1
BIBLIOGRAFIE: - Analiza matematic, clasa a XI-a - manual ; - Siretki Gheorghe, Culegere de probleme ;
- Megan Mihail, Bazele Analizei Matematice .
Doi matematicieni stau ntr-un bar. Primul i spune celuilalt
c omul mediu cunoate foarte puin din bazele matematicii. Cel de-al doilea l contrazice, pretinznd c majoritatea
oamenilor pot face fa unei cantiti rezonabile de matematic Primul matematician merge pn la baie i, n absena sa, cel
de-al doilea cheam osptria. i spune acesteia c n cteva minute, dup ce se va ntoarce prietenul su de la baie, o va chema i i va pune o ntrbare. Tot ce are de fcut este s rspund x3/3. Dup cteva ncercri, chelneria reuete s rein corect rspunsul i pleac repetnd .
Cel plecat la baie se ntoarce, iar cellalt revine la subiect propunndu-i o demonstraie practic asupra faptului c majoritatea oamenilor chiar cunosc bazele matematicii: va chema osptria cea blond i i va pune o ntrebare primul zmbete. Cnd osptria vine i se pune ntrebarea: ct este integral din x2? Aceasta rspunde x3/3 i pleac napoi la lucru, completnd peste umr: plus o constant.
De ci logicieni e nevoie s nlocuiasc un bec? Niciunul. Ei nu pot s o fac, dar pot demonstra c se poate nlocui. De ci analiti numerici este nevoie pentru a nlocui un bec? 3,9967 (dup ase iteraii). Ci geometri clasici pot nlocui un bec? Niciunul. Nu se poate face cu rigla i compasul. De ci teoreticieni e nevoie pentru a nlocui un bec? Un numr infinit. Fiecare poate construi un model complet i valid, dar lumina tot nu va merge.
U
M
O
R
-
EXAMENE
- 38 -
CAPACITATE Prof. Eleodor Popescu
Partea I (45p)
(5p) 1. Un cltor a parcurs 12 km, ceea ce reprezint 43 din lungimea
drumului. Cltorul mai are de parcurs km. (5p) 2. Rezultatul mpririi 0,00017 : 0,25 este . (5p) 3. Numerele naturale distincte care au media geometric egal cu 2
sunt i . (5p) 4. Calculnd 76,5 % din 24 tone se obin kg. (5p) 5. Diametrul cercului circumscris triunghiului echilateral cu latura de
1 m este egal cu dm . (5p) 6. Dac 3 timbre identice cost 5,1 $, atunci dou dintre aceste timbre
cost $ . (5p) 7. Ecuaia (1 + x) (m + 1) = 2 ( m + x) are soluia x = 5 pentru m = . (5p) 8. Un trunchi de piramid patrulater regulat are nlimea de 6 cm,
iar laturile bazelor de 2 cm i respectiv 8 cm . Volumul trunchiului de piramid este egal cu cm3 .
(5p) 9. Dintre numerele 999 i 999 cel mai mare este . Partea a II-a (45p) 1.Trei muncitori, cu aceeai calificare, execut o lucrare astfel: primul
25 % din lucrare, al doilea 31 din rest plus 5 % din toat lucrarea, iar
al treilea restul. ntreaga lucrare cost 152 486 000 lei. (5p) a) Cte procente din lucrare a executat al treilea muncitor ? (5p) b) Ci lei a primit primul muncitor ? (5p) c) Care dintre muncitori a fost cel mai bine pltit i ci lei a primit el ?
2.Un triunghi dreptunghic are perimetrul de 36 cm i aria de 54 cm2. S se calculeze :
(5p) a) ipotenuza triunghiului ; (5p) b) raza cercului nscris n triunghi; (5p) c) raza cercului circumscris triunghiului .
3.ntr-un trunchi de con seciunea axial este un trapez isoscel cu AB=BC=CD= 6 cm i AD=12 cm .
(5p) a) S se afle aria trunchiului de con. (5p) b) S se afle volumul trunchiului de con. (5p) c) Dac din trunchiul de con se decupeaz un corp sferic de volum
maxim s se afle volumul deeului obinut.
-
EXAMENE
- 39 -
H. S.S.M.
CAPACITATE Prof. Victor Sceanu
Partea I (45p)
1). a). Rezultatul calculului: 21 +
31 +
61 este .
b). A 100-a zecimala a lui 71 este .
2). Un cub are diagonala egala 10 3 cm : a). Aria totala a cubului este.cm ; b). Diagonala unei fete este... cm .
3). Fie ecuatia : x-5x+6=0 a). Suma radaciniloe este.. ; b). Produsul radacinilor este.. .
4). Un triunghi echilateral are inaltimeade 9 3 cm a). Raza cercului circumscris este cm b). Aria triunghiului este .cm.
5). Un trapez este inscriptibil daca si numai daca este .. .
6). Fie numerele : a=2- 3 si b= 347 + a). Media aritmetica a lor este b). Media geometrica a lor este .
7). Un dreptunghi are latimea de 8cm si diagonala de 10cm . a). Perimetrul dreptunghiului este...cm b). Latura patratului cu aceeasi arie ca dreptunghiului estecm.
8). Un con are raza de 4cm si masura unghiului format de doua generatoare 60. a). Generatoarea sa este egala cu .cm b). Volumul sau este egal cu.cm3.
9). Intr-o urna sunt 10 bile albe si 20 bile negre. Probabilitatea ca la o extragere sa avem :
a). O bila alba este. b). O bila neagra este. .
Partea a II-a (45p)
1). Fie functia liniara f :R R al carei grafic trece prin punctele A(0 ;9) si B(2 ;0). a). Determinati functia f.
b). Aflati distanta de la originea sistemului de axe la Gf. c). Aflati coordonatele punctului simetric a lui o fata de Gf. 2). a). Rezolvati sistemul in R x + [j] = 2 unde [j] este partea intreaga a lui j; 2x + [j] = 3 b). Aflati o solutie naturala a sistemului 3). Demonstrati ca un paralelipiped dreptunghic de dimensiuni a,b,c este cub daca si numai daca diagonala sa d indeplineste conditia : d ab + ac + bc.
-
EXAMENE
- 40 -
BACALAUREAT Prof. Eleodor Popescu
Subiectul I (30p)
1. Se consider polinomul f (X) = X4 + 2X3 + mX2 + 2X + 1 , aR . (3p)a) S se determine m astfel nct f (X) s se divid prin X-1. (3p)b) Pentru m = 3 s se rezolve ecuaia f (x) = 0 . (4p)c) S se determine toate valorile reale ale parametrului m astfel nct
ecuaia f (x) = 0 s aib toate rdcinile reale.
2. Se consider funcia g: R R , g(x) = 1
22 +xx .
(4p)a) S se determine asimptotele la graficul lui g . (4p)b) S se determine punctele de extrem ale graficului lui g.
(2p)c) S se calculeze 0
1
g(x) dx .
3. n sistemul de coordonate carteziene XOY se consider punctele A(1,2) , B(2,3) i C(3,1) . (3p)a) S se calculeze aria suprafeei triunghiulare [ABC] . (3p)b) S se determine centrul i raza cercului circumscris triunghiului ABC. (4p)c) S se gseasc ecuaiile tangentelor duse din punctul P(4,4) la cercul
circumscris triunghiului ABC . Subiectul II (20p)
1. Pe R se definete legea de compoziie: x y=xy +mx+ny, ( ) x,y R. (4p)a) S se determine m,n R astfel nct legea s fie comutativ i
asociativ. (3p)b) S se determine m,n R* astfel nct legea s admit element
neutru. (3p)c) S se determine m, n R astfel nct (R, ) s fie grup abelian.
2. Se consider irul:
a nnn
= +
+ +
+ ++
4 14 1 1
4 24 2 1
44 14 4 4
. . . , n N*.
(2p)a) S se calculeze a1 i a2 .
(3p)b) S se demonstreze c an = 122
)1(22 ++
+nn
nn .
(2p)c) S se calculeze limn an. (3p)d) S se calculeze limn (an)n. Subiectul III (20p)
Se consider ecuaia x3+mx+n = 0, m, n R , cu rdcinile x1, x2, x3. (4p)a) S se determine m i n astfel nct ecuaia s aib o rdcin dubl,
egal cu 1. (4p)b) S se determine m i n astfel nct ecuaia s aib rdcina complex
1+ i.
-
EXAMENE
- 41 -
H. S.S.M.
(4p)c) Dac 3333231 =++ xxx i 5535251 =++ xxx , atunci s se gseasc valoarea expresiei m2 + n2.
(4p)d) S se calculeze n funcie de m i n determinantul :
23
22
21
321
111
xxxxxx= .
(4p)e) S se formeze ecuaia cu necunoscuta y care are rdcinile
11
11 +=x
y , 1
1
22 +=x
y , 1
1
33 +=x
y .
Subiectul IV (20 p)
Se consider irul de integrale:
Iox
dx Inxn
xdx=
+ =
+12 10
1
2 10
1, , n N*.
(4p)a) S se calculeze I0 i I1. (4p)b) S se gseasc relaia dintre In+2 i In . (4p)c) S se demonstreze c In+1 In , n N*. (4p)d) S se deduc inegalitile :
)1(21
)1(21
+ nI
n n, n N*.
(4p)e) S se calculeze limn (n In - 21 ) ln n .
-
EXAMENE
- 42 -
ADMITERE Prof. Eleodor Popescu
1. Dac
=++=++
84
1422 xyyx
xyyx, atunci x3 + y3 + x2 y2 este egal cu :
a) 486 ; b) 594 ; c) 688 ; d) 776 ; e) 824 ; f) altul. 2. ntr-o progresie geometric se cunosc a5=61 i a11=1647. Termenul a7
este egal cu: a) 122 ; b) 154 ; c) 183 ; d) 198 ; e) 244 ; f) altul.
3. n dezvoltarea ( xx+1 )n raportul dintre coeficienii binomiali ai celui de-al
patrulea i celui de-al aselea termen este egal cu 185 . Termenul liber al
dezvoltrii este egal cu: a) 66 ; b) 220 ; c) 495 ; d) 792 ; e) 924 ; f) altul.
4. Pentru funcia f : DR , f (x)= xx
3
4 4, unde D este domeniul maxim de
definiie, se noteaz cu m, n i respectiv p numrul asimptotelor verticale, orizontale i respectiv oblice. Valoarea expresiei 2m+3n+4p este egal cu : a) 4 ; b) 7 ; c) 8 ; d) 10 ; e) 12 ; f) altul.
5. Ecuaia 10122 2 =+ xxx CA are soluia n intervalul: a) [4,5] ; b) [6,7] ; c) [8,10] ; d) [11,13] ; e) [15,20] ; f) altul.
6. Se consider irul cu termenul general Sn n n= + + + +
11 3
12 4
12
...( )
, nN*.
Calculnd limn 2n (Sn - 41 )n obinem:
a) 1 ; b) 21e
; c) e1 ; d) e ; e) 2e ; f) altul.
7. Dac o funcie de gradul al doilea admite un minim egal cu 9 i graficul ei trece prin punctele P(-1,13) i Q(2,10) atunci graficul ei va trece i prin punctul:
a) A(-3,20) ; b) B(0,9) ;c) C (1,5) ;d) D (3,17) ; e) E(5,23) ; f) altul. 8. Ecuaia x + ln x2 = m are trei rdcini reale pentru orice valoare a lui m
din intervalul: a) (-2,-1) ; b) (-1,0) ; c) (0,1) ; d) (1,2) ; e) (2,3) ; f) altul.
9. Inecuaia 14
452
2
+
xxx este verificat de toate numerele din intervalul:
a) (-7,-6) ; b) (-2,-1) ; c) (-1,1) ; d) (1,2) ; e) (6,7) ; f) altul. 10. n planul complex imaginile geometrice ale numerelor complexe z1=1 - 2i, z2 = 1 + 2i, z3 = -2 + i , z4 = -2 - i sunt puncte ale unui cerc de
raz egal cu: a) 2 ; b) 3 ; c) 2 ; d) 5 ; e) 3 ; f) altul.
-
EXAMENE
- 43 -
H. S.S.M.
11. Se consider polinomul P(X) = X4 - a4. Dac mulimea rdcinilor polinomului este parte stabil a mulimii C a numerelor complexe, n raport cu nmulirea, atunci numrul complex a are modulul n intervalul:
a) (0,31 ) ; b) (
21,
31 ) ; c) ( 1,
21 ) ; d) (1,2) ; e) (2,4) ; f) altul.
12. Aria suprafeei cuprins ntre parabolele de ecuaii y2 = x i x2 = 8y este egal cu :
a) 2 ; b) 38 ; c) ; d)
43
; e) 163
; f) altul.
13. Aducnd la forma cea mai simpl expresia 3
8
)3()1(ii+
se obine:
a) -1 ; b) 1 ; c) 1 - i; d) 1 + i ; e) 2i ; f) altul.
14. Fie funcia f : RR, f (x)=1
32
2
+++
xnmxx
. Dac Im f = [-3,5], atunci m2+n2
este egal cu: a) 10 ; b) 13 ; c) 25 ; d) 34 ; e) 49 ; f) altul. 15. Toate soluiile reale ale ecuaiei 1821 22 ++= xxx sunt n
intervalul: a) (-9,-6] ; b) (-6,-2] ; c) (-2,2] ; d) (2,6] ; e) (6,9] ; f) altul. 16. Se consider funcia f: *+R R , f (x) = x2 lnx . Aria poriunii din plan,
determinat de graficul funciei f , axa Ox i dreptele de ecuaii x = 1, x = e, este un numr din intervalul:
a) (1,3) ; b) (3,5) ; c) (5,6) ; d) (6,8) ; e) (8,10) ; f) altul.
17. Ecuaia 3 4 2 9 5 6 + = x x x are soluia n intervalul : a) (-4,-2) ; b) (-2,0) ; c) (0,2) ; d) (2,4) ; e) (6,8) ; f) altul. 18. Volumul corpului de rotaie determinat de funcia f : [0, ] [0,1] f (x)
= sin x este egal cu :
a) 2 ; b)2
2; c)
32
; d) 24
; e) 34
; f) altul.
19. Considerm funciile f, g: RR , i f x x dac xx dac x( ),,=
>
2 3 07 0
g x x dac x
x dac x( ) ,
,=
>
2 2
2 1 2. Funcia compus g o f ia valoarea 1
pentru un anumit x din intervalul: a) [-5,-4] ; b) [-3,-2] ; c) [-1,1] ; d) [2,3] ; e) [4,5] ; f) altul.
20. Fie Z 9 inelul claselor de resturi modulo 9. Numrul soluiilor ecuaiei
+
=
7 3 2x n Z 9 este:
a)0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3 ; e) 4 ; f) altul.
-
EXAMENE
- 44 -
ADMITERE Universotatea din Craiova
Colegiul Universitar Tehnic Drobeta-T. Severin Examen de admitere, Septembrie 2002
Algebra si Elemente de analiza matematica I. Sa se arate ca ecuatia
x2-(m+1)x+m=0, m , are radacini reale pentru orice valoare reala a parametrului m. II. Fie polinomul
f=x3+px2+x+1, p . a)Sa se determine p astfel incat x= -1 sa fie radacina a lui f. b)Sa se calculeze
S=x12+x22+x32, unde x1,x2,x3 sunt radacinile lui f pentru p calculate la punctul a). III. Sa se traseze graficul functiei f: -{-1} , definite prin:
1)(
+=xxxf .
IV. Sa se calculeze integrala:
+=1
0
.1dx
xxI
NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore. ADMITERE
Universitatea din Craiova Concurs admitere Ingineri, Septembrie 2002
Algebra si Elemente de analiza matematica. I. Se da progresia geometrica a1, a2,an, in care
,131 =+ aa .21
42 =+ aa 1. Sa se determine primul termen si ratia progresiei. 2. Sa se calculeze in functie de n, Sn=a1+a2+a3++an si apoi
nlim Sn.
II. Se considera sitemul:
=+=+
=+
242
32
zymxyx
mzyx, unde m .
1. Sa se rezolve sistemul pentru m= -4. 2. Sa se studieze compatibilitatea sistemului pentru m . III. Fie f:
1)(, 2 +
+=xaxxf , unde a .
1. Sa se arate ca functia f are doua puncte de extreme local, pentru oricare a . 2. Sa se determine a astfel incat unul dintre punctele de extrem sa fie x1= -1. 3. Pentru a=0, sa se studieze variatia sis a se repreznite graficul functiei f.
IV. Sa se caluleze dxxx
12
2
1
0 ++
NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 3 ore.
-
EXAMENE
- 45 -
H. S.S.M.
ADMITERE Universotatea din Craiova
Facultatea de tiine Economice Concurs de admitere, Septembrie 2002
Algebra si Elemente de analiza matematica 1). Daca polinomul P(X)=X4+4X3-X2+6X-m se divide prin X-2, atunci: a) m=0 b) m=1 c) m=56 d) m=46 e) m=66 2). Solutiile ecuatiei logaritmice lg2x-4lg x +3=0 sunt: a) x1=10, x2=103 b) x1=10, x2=104 c) x1=10, x2=102 d) x1=1, x2=10 e) x1=10, x2=1
3). Valoarea determinantului 2......1.......11......1....11...........1
=a
d , a , este:
a) d=3(a-1) b) d=a+5 c) d=1 d) d=0 e) d=3(a+1)
4). Fie f ),1[: ,
>+++
=
+
=
0,3122
0,
)0,1[,11
)(
2
2
xxxxx
xa
xxx
xf
a) f este continua pentru a
31,
21
b) f nu este continua pentru nici o valoare a lui a
c) f este continua pentru a=21
d) f este continua oricare ar fi a e) f este continua pentru a=
31
5). Ecuatia ,112 =++ xx a) are 4 radacini reale b) nu are radacini reale c) are 2 radacini reale d) are o radacina reala e) are 3 radacini reale 6). Fie ,lim nn xL = unde xn= .32
2 nnn + Atunci: a) L=1 b) L = c) L=0 d) L= -1 e) L =
7). Sistemulde ecuatii
=+=764823
yx
yx
are urmatoarea solutie:
a) x=4, y=3 b) x=1, y=6 c) x=3, y=4 d) x=0, y=7 e) x=3, y=5
-
EXAMENE
- 46 -
8). Daca x1 si x2 sunt radaciniile ecuatiei x2-x+1=0 , atunci valoarea
expresiei 22
21
11xx
+ este:
a) 1 b) 0 c) -1 d) 7 e) -2 9). Polinomul aX4+bX3-3 este divizibil cu (x-1)2 pentru: a) a=10, b=1 b) a=1, b=10 c) a= -9, b=12 d) a=9, b=12 e) a= -9, b= -12 10). Fie ][)( xRxf , f(x)=x4-4x3+3x2+mx+n. Atunci f(x) de divide cu x-2 si are radacina x=1, daca: a) m=0, n=0 b) m=0, n=4 c) m= -4, n=0 d) m=4, n=-4 e) m=-4, n=4 11). Fie functia f: , f(x)=ex-2x2+1. Atunci: a) f(0)=0 b) f(0)= -5 c) f(0)=2 d) f(0)=1 e ) f(0)=-3
12). Se considera sirul de termen general .73654
725332nnn
nnn
na ++++= Limita
sirului este:
a) 97 b) c)
53 d) 2 e)
32
13). Daca ,: Df ,52)( 2 ++= xxxf unde D este domeniul maxim de definitie, atunci: a) D= b) D= ),1[ c) D= ),0[ d) D= e) D= ),1[
14). Rangul matricei
=
4.....2.....01....0...13....2......1
A este:
a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5 15). Punctele de extrem ale functiei ,: f f(x)=x3-3x2+2 sunt: a) (2,2) b) nu admite puncte de extrem c) (0,-2) si (-2,2) d) (0,2) si (2,-2) e) (2,0)
-
PROBLEME PROPUSE
- 47 -
H S S M
Clasa a V -a
1. S se demonstreze inegalitatea 1110 + 675 < 178 + 377 . Eleodor Popescu
2. Aflai numrul natural x care verific egalitatea : x(3+5+7+ +2003-2-4- -202)=288-1487-1486-1485- -148-1480
Ciupagea Maria 3. Determinati numarul natural ab pentru care 74n+2+ ab divizibil cu 100, ( ) n N*.
Victor Sceanu Clasa a VI -a
1. Se consider egalitatea 45
75
3 15
+ + + + =... n m . S se arate c m N dac i numai dac 5 | n .
Eleodor Popescu
2. Fie 2002...321
2001...4321
3321
221
1
++
+
+
=E . Demonstrai c 2002
1-1>E . Ciupagea Maria
3. Dac Nn , )1(...4)1(3)1(2)1(1 132 +++++= na nn , calculai media
aritmetic a numerelor a2001 i a2002 . Ciupagea Maria
4. Podeaua unei camere dreptunghiulare are dimensiunile de 5m si 4m.Poate fi ea pardosita cu placi de forma ? Fiecare placa este formata din 3 patrate avand latura de 25 cm.
Manuela Prajea 5. Sa se determine numarul elementelor multimii :
A={ xyzt N | }.2x
tzz
tyy
tx +==+
Manuela Prajea
-
PROBLEME PROPUSE
- 48 -
Clasa a VII-a 1. Cu trei cifre consecutive se formeaz numere de trei cifre care sunt ptrate perfecte. Gsii toate aceste numere.
Eleodor Popescu 2. In patrulaterul convex ABCD, fie E,F (AC) cu AE=EF=FC,
{M}=DEAB,{n}=BFCD. Daca E este centrul de greutate al triunghiului AMN, aratati ca ABCD este parallelogram.
Victor Sceanu 3. tiind c x - 7y + 2=0 i x [-2,5] , atunci 25)2()1()5( 2222 =++++ yxyx
Ciupagea Maria 4. Fie M mijlocul bisectoarei (AD a triunghiului ABC cu AB=2AC. Ducem prin Mdreapta (d)AC care taie pe AB in N si prin B ducem BPAD, P(d). Aratati ca SAMP = SACD.
Victor Sceanu 5. Rezolvati in N ecuatia:
5x +
zy 14
1
+ =
9451
Victor Sceanu
6. Fie A={xR | +
343
xx N }. Sa se determine AI Z si AIQ.
Manuela Prajea 7. In exteriorul triunghiului dreptunghic isoscel ABC (AB=AC) se construiesc triunghiurile ascutitunghice PAB si CQA astfel ca PAB CQA i PB I CQ ={M}. Sa se arate ca : a) PA | QC . b) MA | PQ .
Manuela Prajea 8. S se arate c ecuaia x2+y2+y=z2 admite o infinitate de soluii n mulimea numerelor naturale, x
-
PROBLEME PROPUSE
- 49 -
H S S M
}
== Zx
xxaaA ,
3223 | Q
== +Zyy
ybbB ,5445 | Q
Clasa a VIII-a 1. Se consider mulimile S se afle elementele mulimii A I B.
Eleodor Popescu 2. Fie expresia : E (x) = ax2 + bx + c Dac E ( m - n) = 0 unde m - n R Q artai c E (-n) = -am.
Victor Sceanu 3. Fie expresia : E(a)=4a6 - 4a5 + 2a4 2a3 4a + 4 ; a R Aflati minimul lui )(aE
Victor Sceanu 4. Rezolvati ecuatia : n [x+1] + (n+2) {x}=n (x+1)+1 unde [x] este partea intreaga a lui x, iar {x} este partea fractionara a lui x si nN.
Victor Sceanu 5. Fie punctele M, N, P, Q situate de aceeasi parte a planului patratului ABCD astfel incat planele (MAB), (NCB), (PCD) si (QAD) sa fie perpendiculare pe planul (ABC) si MABNCBPCDQAD. Sa se arate ca MNPQ este dreptunghi.
Manuela Prajea 6. Fie x,y R si expresia E = x .432234 yxyyxyx ++ Sa se arate ca exista a,b,c,dR astfel incat E= 2222 dcba +++ si a+b=c+d.
Manuela Prajea 7. S se rezolve n mulimea numerelor ntregi ecuaia : x2001+(x+1)2001+ +(x+2000)2001=y2000-2000
Dana Paponiu Clasa a-IX-a 1. Fie [AB],[CD] doua coarde congruente intr-un cerc de centru O astfel ca [AB] I [CD]={P}, m(APC)=60 o si propozitiile : p : OA+OB +OC +OD =OP q : OA+OB +OC +OD =3 OP Sa se arate ca propozitia pq este adevarata.
Manuela Prajea
-
PROBLEME PROPUSE
- 50 -
2. Daca x, y, z, t (0,21 ) atunci :
1 < xy + (1-y)(1-z) + (1-x)(1-t) + zt < 2. Manuela Prajea
Clasa a-X-a 1. Sa se demonstreze ca din orice sir de numere naturale in progresie aritmetica de ratie r >0, se poate extrage un subsir in progresie geometrica de ratie q > 1, cu acelasi prim element nenul.
M. Giugiuc 2. Daca a, b, d, m, n sunt numere naturale astfel incat :
(a 1+d + b d ) m =( 1+d + d ) n atunci m|n si exista qN : ( 1+d + d ) q =a 1+d + b d .
Manuela Prajea 3. Sa se determine polinoamele f, g din R[X] care satisfac relatia : f(g(X))-f(X)=k, unde k este constanta reala.
Manuela Prajea 4. Pe laturile patrulaterului convex ABCD, se consider punctele E AB, F BC, g CD, H AD astfel nct::
1, ==== abbHADH
FCBFia
GDCG
EBAE
n ce situaie patrulaterul EFGH devine paralelogram ? (aplicaie a numerelor complexe)
Rodica Popescu
Clasa a-XI-a 1. Se considera sirul (an)n0 ,dat de formula an = 3 sin n + cos n.Sa se arate ca : a) sirul este marginit, b) sirul nu este convergent.
Gh. Cainiceanu 2. Fie f : R + R continua in x=0 astfel ca f(x+y) f(x)+f(y) , ( )x,y R + . Sa se arate ca exista a,b numere pozitive astfel incat f(x)0.
Manuela Prajea 3. Fie a>1, a N si (x n ) 1n sirul definit prin relatia de recurenta :
x 1+n = 1+aa ( x n + x
1a
n
) ( ) n N * (x1>0).
Sa se arate ca sirul este convergent si sa se afle limita sa. Manuela Prajea
-
PROBLEME PROPUSE
- 51 -
H S S M
Clasa a-XII-a 1. Fie f :[0,a] R , g : RR functii continue cu
xlim g(x)= . Daca k>0 si
( )nN avem a