Download - 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
1/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
1
4. MODULAȚIA SEMNALELOR
1. Probleme rezolvate
Problema 1
Se consideră sistemul din figură:
unde sistemele cu răspunsurile în frecvență ( )1 H ω și ( )2 H ω sunt filtre trece-jos ideale cu
pulsațiile de tăiere 1ω și 2ω .
a. Determinați expresia lui ( )1Y ω în funcție de ( ) X ω dacă ( ) x t este un semnal de bandă
limitată, M ω ω ≤ și dacă: 2 cω ω < , 1c M cω ω ω ω − < < , 2 12 M cω ω ω ω < < − .
b. Schițați spectrele semnalelor ( )1r t , ( )2r t și ( )1 y t pentru semnalul ( ) x t cu spectrul dinfigură:
Rezolvare Problema 1
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1cos 2c c cr t x t t R X X ω ω ω ω ω ω = ⋅ ←→ = − + + F
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]cc X X H
H R R ω+ω+ω−ωω
=ωω=ω2
1112
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 21
cos2c c c
r t r t t R R Rω ω ω ω ω ω = ⋅ ←→ = − + + F
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
2/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 11 1
2 24 4c c c c
R H X X H X X ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = − − + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 21 3 2 1 12 24 c c c c H
Y R H H X X H X X ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = = − − + + + + +
Dar:
( ) 0 X ω ≠ pentru ( )2 0 M c X ω ω ω ω < ⇒ − ≠ pentru
( ) ( )2 2 , 2 2 ,2c M c M c M c M c M ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − < ⇔ ∈ − − − + ∪ − + și
( )2 0 H ω ≠ pentru 2ω ω <
Întrucât ( ) ( )2 22 2 0c M c X H ω ω ω ω ω ω < − ⇒ − ⋅ = .La fel se poate demonstra că:
( ) ( )22 0c X H ω ω ω + ⋅ = De aceea, se obține în final:
( ) ( )
( ) ( ) ( )21 1 14 c c H
Y H H X ω
ω ω ω ω ω ω = − + +
b.
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
3/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
3
Problema 2
Fie ( )t un semnal de bandă limitată, M ω . Se construiește semnalul:
( ) ( ) ( )sin
cos cos cc ct
g t x t t x t t
t
ω ω ω
π
= − ∗
cu c M ω ω > .
a. Desenați schema sistemului care transformă semnalul ( )t în semnalul ( )t .b. Determinați valoarea constantei A pentru care este valabilă relația:
( ) ( )sin
cos M c A t
x t g t t t
ω ω
π = ∗
c. Desenați schema sistemului care implementează relația de la punctul b.d. Ce funcţii implementează sistemele de la punctele a şi b ?
Rezolvare Problema 2
a.( ) ( ) ( )
sinc
cc c
t p
t ω
ω ω σ ω ω σ ω ω
π ←→ = − − +F
b.
( ) ( ){ }( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( )
sincos cos
1
cos21
12
c
c
cc c
c c c
c c
t G x t t x t t
t
X X x t t p
X X p
ω
ω
ω ω ω ω ω ω
π
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
= − ∗ =
= − + + − ⋅ =
= − + + ⋅ −
F F
F
Transformata Fourier a membrului drept al relației din membrul drept este:
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
4/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
4
( ) ( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )
sincos cos
1
2
2 1 2 14
M
M
c c M
M c c
c c
c c c c
A t g t t g t t A p
t
G G A p
A X X p X X p p
ω
ω
ω ω ω
ω ω ω ω ω
π
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
∗ = ⋅ ⋅ =
= − + + ⋅ ⋅ =
= − + ⋅ − − + + + ⋅ − + ⋅
F F
Dar,
( ) ( )2 0cc
X pω ω ω ω − ⋅ = și ( ) ( )2 0cc X pω ω ω ω + ⋅ = .
Ultima relație devine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )sin
cos 1 14 2c c
M c c c
A t A A g t t p X p X X
t ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
π
∗ = − − + − + = F
Pentru ca să fie valabilă relația din enunţ este necesar ca: 2= A .c.
d.
Primul sistem realizează o modulație de amplitudine cu bandă laterală unică. Extrage bandalaterală superioară. Cel de al doilea sistem realizează demodularea corespunzătoare modulațieiefectuate de primul sistem.
Problema 3
Se consideră sistemul din figură:
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
5/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
5
a. Determinați și schițați spectrele ( ) R ω și ( )Q ω .
b. Considerând că sistemul cu răspunsul în frecvență ( ) M ω este un filtru adecvat (trece-
jos), să se determine valoarea maximă a lui ∆ , astfel încât ( ) ( )w t x t = .
c. Să se determine și să se schițeze răspunsul în frecvență ( ) M ω al unui filtru de
compensare astfel încât ( ) ( )w t x t =
.
Rezolvare Problema 3
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )T k
r t x t t x t t kT δ δ ∞
=−∞
= ⋅ = ⋅ −∑
( ) ( )1 2 2 1 2
2 k k R X k X k
T T T T
π π π ω ω δ ω ω
π
∞ ∞
=−∞ =−∞
= ∗ − = −
∑ ∑ cu reprezentarea grafică din
figura următoare.
Avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t r t h t Q R H ω ω ω = ∗ ←→ = ⋅F
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
6/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
6
( ) ( )2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 121
2
1 2 sin 2
j j j t j t j t
j j
H e dt d e e e e j j j
e e j
ω ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
∆ ∆
∆ ∆−
− − −
∆ ∆− −
∆ ∆−
∆
= ⋅ = − = − ⋅ = − ⋅ − = ∆ −
∆= ⋅ − =
∫ ∫
( )1 2 2 2 2 2
sin sin sin2 2 2k k k
Q X k X k c X kT T T T T T
π ω ω π ω πω ω ω ω
ω ω
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
∆ ∆ ∆ ∆ = − ⋅ = ⋅ − = ⋅ −
∑ ∑ ∑
( )2
sin2 k
Q c X k T T
ω π ω ω
∞
=−∞
∆ ∆ = ⋅ −
∑
Deci
b.Avem:
( ) ( ) ( )W M Qω ω ω = ⋅
Considerând, că ( ) M ω descrie un filtru trece-jos ideal cu pulsația de tăiere,T
π , rezultă că:
( ) ( ) ( )sin2
W M c X T
ω ω ω ω
∆ ∆ = ⋅ ⋅
Pentru că ( )W ω să poate fi egal cu ( ) X ω este necesar că produsul ( ) sin
2
M c
T
ω ω
∆ ∆ ⋅
să fie
unitar. Această condiție este îndeplinită dacă în intervalul ,T T
π π −
, funcția sin2
cT
ω ∆ ∆
, nu
se anulează, adică2
T
π π ≤
∆, rezultă că: 2T ∆ = .
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
7/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
7
c.
După cum s-a arătat deja egalitatea ( ) ( )W X ω ω = presupune că:
( ) ( ) ( )2sin
2 1
2sin 2 T
T M M p
T π
ω ω
ω ω ω ω ω
∆
⋅ = ⇒ = ⋅∆
.
Problema 4
În figura 1 este prezentată o modalitate de generare a semnalului MA-BLU.
Figura 1
Spectrul semnalului de la intrare este prezentat în figura 2:
Figura 2
Determinați și reprezentați grafic spectrul semnalului ( )t .
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
8/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
8
Rezolvare Problema 4
( ) ( ) ɶ ( )cos sin p p y t x t t x t t ω ω = +
( ) ( ){ }( ) ɶ ( ){ }( )cos sin p pY x t t x t t ω ω ω ω ω = +F F
( ){ }( )1
cos2
p x t t ω ω π
=F ( ) X ω π ∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1
2 2 p p p p X X Y δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω − + + = − + + =
ɶ ( ){ }( )1
sin2
p x t t ω ω π
=F ( ) X π
ω ∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 21 1
2 2 p p p p X X Y
j j jδ ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω − − + = − − + =
Dar
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1sgn sgn
2 2 2
1sgn sgn
2
p p p p p p
p p p p
X X j X j X j j j
X X
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω
− − + = − − − − − + +
= − − − + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
sgn sgn2 2 2 p p p p p p
Y X X X X ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = − + + + − − − + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) p p p p
p p p p p p
X X X X
X X X X X X Y
ω+ω+ω−ω=ω+ω−ω+ω+
+ω−ω+ω−ω−ω+ω+ω+ω+ω−ω+ω−ω=ω
+−−+
−+−+−+
2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
În final:
( ) ( ) ( ) p pY X X ω ω ω ω ω + −= + + −
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
9/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
9
Problema 5
În figură se dă schema bloc a unui modulator ”echilibrat”. Cele două modulatoare MA suntexcitate cu semnale modulatoare în antifază. Pentru spectrul lui ( ) x t , ( ) X ω , din figură
determinați ( )S ω , spectrul semnalului ( ) s t .Arătați că se obține un semnal MA cu purtătoare suprimată.
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
10/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
10
Rezolvare Problema 5
La ieșirea modulatorului de amplitudine 1 (MA1) se obține semnalul ( )1 s t :
( ) ( )1 1 cosc a c s t A k x t t ω = +
în timp ce la ieșirea modulatorului de amplitudine 2 (MA2) se obține semnalul ( )2 s t :
( ) ( )2 1 cosc a c s t A k x t t ω = −
Cele două semnale se scad pentru a obține semnalul de ieșire al modulatorului echilibrat:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 cos 1 cos 2 cosc a c c a c c a c s t s t s t A k x t t A k x t t A k x t t ω ω ω = − = + − − =
Am obținut un modulator de produs, între purtătoare și semnalul modulator.
Spectrul ( )S ω este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
22c a c c c a c c a c
S A k X A k X A k X ω ω π δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω π
= ∗ − + + = − + +
Problema 6
Să se determine răspunsul sistemului din figura de mai jos, ( )t la semnalul:
( ) ( )0 0 02
2cos 4cos 3cos3 3
t t t t
ω ω ω
= + +
, știind că:
• ( ) 0cos z t t ω =
• ( ) ( )1 0cosh t f t t ω =
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
11/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
11
• ( ) ( )2 0sinh t f t t ω =
• ( )302
h t t π
δ ω
= −
• ( )
05sin6
t
f t t
ω
π
=
Rezolvare Problema 6
Avem:
( ) ( ) ( )0
0
5
6
5sin
6
t
f t F pt
ω
ω
ω ω π
= ←→ =F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 0 0 01 1
cos 2 2h t f t t H F F F ω ω ω π δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω π = ⇒ = ∗ − + − = − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 0 0 0 01 1
sin2 2
h t f t t H F F F j j
π ω ω ω δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω
π
= ⇒ = ∗ − − − = − − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 x t x t h t X X H ω ω ω = ∗ ←→ = ⋅F
( ) ( )0 01 02 3
cos 2cos cos3 3 2
t t t t
ω ω ω
= + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 x t x t h t X X H ω ω ω = ∗ ←→ = ⋅F
( ) ( )0 02 02 3
sin 2sin sin3 3 2
t t t t
ω ω ω
= + +
( ) ( ) ( )3 1t x t z t = ⋅
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
12/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
12
( ) ( )0 03 0 0
0 0 0 00
2 3cos 2cos cos cos
3 3 2
2 4 51 3 3cos cos 2cos 2cos cos 2
2 3 3 3 3 2 2
t t x t t t
t t t t t
ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
= + + =
= + + + + +
Fie ( )t z 1 semnalul de la ieşirea sistemului cu răspunsul la impuls ( )t h3 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) t t z
j j jee
e H Z Z t ht z t z
j j
j
01
000002
02
2003131
sin
2
1
2
1
2
1
2
10
ω=⇒
⇒ω+ωδ−ω−ωδ=ω+ωδ+ω−ωδ−=
ω+ωδ+ω−ωδ=
=⋅ω+ωδ+ω−ωδ=ω⋅ω=ω⇒∗=
ππ−
ω
ωπ−
( ) ( )0 0
4 0 0
0 0 0 00
0 0 0 0
2 3
sin 2sin sin sin3 3 2
2 4 51 3 3cos cos 2cos 2cos cos 2
2 3 2 3 3 2 2
2 4 51 1cos cos cos cos
2 3 2 2 3 3
t t
x t t t
t t t t t
t t t t
ω ω
ω ω
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
= + + =
= − + − + − =
= − + −
0
3 3cos2
4 4 t ω + −
Rezultă în final:
( ) ( ) ( ) 0 03 42 3
cos 2cos3 3 2
t t y t x t x t
ω ω = + = + +
Problema 7
Prin modulația de amplitudine a semnalului 0cos t ω , folosind semnalul ( ) f t , de bandă limitată
la pulsația maximă, M ω , se obține semnalul modulat în amplitudine ( ) ( ) 0cos x t f t t ω = ,
0 M ω ω > . Semnalul analitic asociat lui ( ) x t se notează cu ( )c t :
( ) ( ) ( ){ }c t x t j x t = + H
a. Să se demonstreze, că: ( ) ( ) 0 j t c x t f t e ω = ⋅ . Semnalul ( ) x t este trecut prin sistemul cu
răspunsul la impuls ( )h t .
b. Să se demonstreze că răspunsul sistemului considerat la ( )c t este de forma:
( ) ( ) 0t c t g t e ω = ⋅ .
c. Demonstrați, că: ( ) ( ) ( ) JF g t h t f t = ∗ , unde ( ) ( ) 0 j t
JF h t h t e ω −= ⋅ .
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
13/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
13
Rezolvare Problema 7
a.
( ){ }{ }( ) ( )sgn x t j X ω ω ω = −F H
( ) ( ){ }( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
1 1cos cos2 21
2
X f t t F t F
F F
ω ω ω ω ω ω ω π δ ω ω δ ω ω π π
ω ω ω ω
= = ∗ = ∗ − + +
= − + +
F F
Dar:
( ) ( )0 0sgn F F ω ω ω ω ω ⋅ − = − și
( ) ( )0 0sgn F F ω ω ω ω ω ⋅ + = − + De aceea:
( ){ }{ }( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )0 0 01
sin2 x t F F x t f t t jω ω ω ω ω ω = − − + ⇒ = ⋅ F
H H
.Deci
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) 00 0cos sin j t
c x t x t j x t f t t j f t t f t e ω
ω ω = + = + ⋅ =H c.c.t.d.
b.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0 0 0 0 j t t j j t c c
g t
t x t h t h f t e d e h f t e d g t eω τ ω ω τ ω
τ τ τ τ τ τ
∞ ∞− −
−∞ −∞
= ∗ = − = − = ⋅∫ ∫
c.c.t.d
c.La punctul anterior s-a demonstrat, că:
( ) ( ) ( ) 0 j g t h f t e d ω τ τ τ τ ∞
−
−∞
= −∫ .
Folosind relația: ( ) ( ) 0 j t JF h t h t e ω −= ⋅ , ultima relație devine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) JF JF t h f t d h t f t τ τ τ ∞
−∞
= ⋅ − = ∗∫ c.c.t.d.
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
14/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
14
Problema 8
În figură este prezentată metoda Weaver de generare a semnalului modulat în amplitudine cu bandă laterală unică.
Filtrele trece-jos se consideră ideale cu pulsația de tăiere 1 M ω ω − , unde1 2
2 M ω ω
ω +
= și
răspunsul în frecvență din figură:
Spectrul semnalului de intrare este prezentat în figură:
Să se reprezinte grafic spectrul semnalului ( )t . Să se impună, dacă sunt necesare, condiții
asupra frecvențelor M ω și pω astfel încât ( ) y t să reprezinte un semnal modulat în amplitudinecu bandă laterală unică.
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
15/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
15
Rezolvare Problema 8
Se observă analizând schema că:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11
cos2 M M M
x t x t t X X X ω ω ω ω ω ω = ←→ = − + + F
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1sin 2 M M M x t x t t X X X
jω ω ω ω ω ω = ←→ = − − +
F
Filtrele trece jos ideale de pe cele două ramuri ale schemei rejectează benzile centrate pe pulsaţiile pω± din spectrele ( )ω2,1 X păstrând doar banda de joasă frecvenţă. Spectrele ( )ω2,1Y vorfi centrate pe 0.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 11 1 11
cos2 p p M
y t y t t Y Y Y ω ω ω ω ω ω = ←→ = − + + F
În ultima ecuaţie este o greşeală. Forma sa corectă este:
( ) ( ) ( )[ ] p p Y Y Y ω+ω+ω−ω=ω 1111 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2 12 2 2 2 21 1sin 2 2 p p p p p y t y t t Y Y Y jY jY
jω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = ←→ = − − + = − − + +
F
În figura următoare se reprezintă diferitele spectre obţinute. Se constată că a fost obţinut unsemnal modulat în amplitudine cu bandă laterală unică. A fost selectată banda laterală superioară.
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
16/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
16
Problema 9
Se consideră semnalul modulat în frecvență ( ) ( ) j t s t e Φ= , cu ( )2
0 2
t t ω Φ = ⋅ , numit
semnal ”chirp”.a. Determinați frecvența instantanee a acestui semnal.b. Folosind relația:
( )
2
12
jz e dz jπ
∞
−∞
= +
∫,
demonstrați că spectrul semnalului ”chirp” este dat de relația:
( ) ( )
2
02
0
1 j
S e j
ω
ω π ω
ω
−
= ⋅ + .
c. Schițați spectrul de amplitudini al semnalului ”chirp”.
Rezolvare Problema 9 a.
( ) ( ) 20
0
2i
d t t d t t
dt dt
ω ω ω
Φ = = =
.
b.
( ) ( )
2220 0
0 00
22 22
j t t j t j j t S s t e dt e dt e e dt
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
∞ ∞ ∞− −− −
−∞ −∞ −∞
= = =∫ ∫ ∫
Se face schimbarea de variabilă:
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
17/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
17
2
20
02 t z
ω ω
ω
− =
rezultă, că: 0
0 0 0 0
2 2
2 z t t z dt dz
ω ω ω
ω ω ω ω
= − ⇒ = + ⋅ ⇒ =
Se obține:
( ) ( )
2 2
20 02 2
0 0
2
1
j j
jz
S e e dz e j
ω ω
ω ω π
ω ω ω
∞− −
−∞
= = +
∫ c.c.t.d.c.
( )0
2S
π ω
ω =
Problema 10
Se consideră un sistem de modulare în frecvență de tip FSK (Frequency Shift Keying). Se
transmit mesajele: ( ) ( ) ( )0 0cosm t t t t T ω σ σ = − − sau ( ) ( ) ( )1 1cosm t t t t T ω σ σ = − − cu
0
2 p
T
π ω = și 1
2q
T
π ω = , , p q ∈ ℕ .
a. Pentru 5 p = și 7q = , reprezentați grafic semnalele ( )0m t și ( )1m t .b. Sistemul de modulare corespunzător este prezentat în figura următoare:
unde ( )b t reprezintă unul dintre mesajele ( )0m t sau ( )1m t . Calculați diferența, ( ) 0 1e t x x= − ,
în cazurile ( ) ( )0b t m t = și ( ) ( )1b t m t = . Care este valoarea absolută a acestei diferențe, dacă:
0 1
0
cos cos 0T
t tdt ω ω =∫ (1)
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
18/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
18
c. Este posibil să se aleagă 0ω și 1ω astfel încât să nu existe nici un interval de lungime T ,
pentru care să fie îndeplinită relația (1) ?
Rezolvare Problema 10
a.
( ) ( ) ( )02
5 cos 5 p m t t t t T T
π σ σ
= ⇒ = ⋅ − −
( ) ( ) ( )12
7 cos 7q m t t t t T T
π σ σ
= ⇒ = ⋅ − −
Semnalele ( )0m t și ( )1m t sunt reprezentate mai jos pentru 1T = .
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
timp
m 0
( t )
m 0
( t )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
timp
m 1
( t )
b.
Cazul I
( ) ( )0b t m t =
( ) 2 00 0 0 0 00 00 0 0
0 0
1 cos 2 1 1cos cos sin 2 sin 2
02 2 4 2 4
1 sin42 4 2
T T T T t T T b t tdt tdt dt t T
T T p
ω ω ω ω ω
ω ω
π ω
=
+= = = = + = +
= + =
∫ ∫ ∫
( )1 1 0 10 0
cos cos cosT T
b t t dt t t dt I ω ω ω = = =∫ ∫
2
T e I = −
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
19/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
19
Cazul II
( ) ( )1b t m t =
( )0 0 0 10 0
cos cos cosT T
b t t dt t t dt I ω ω ω = = =∫ ∫
( ) 2 11 1 1 1 11 10 0 0
1 0
1 cos 2 1 1cos cos sin 2 sin 202 2 4 2 4
1sin4
2 4 2
T T T
T t T T b t tdt tdt dt t T
T T q
ω ω ω ω ω ω ω
π ω
=
+= = = = + = +
= + =
∫ ∫ ∫
2
T e I = −
0
2 2
I T T e I
=
= − =
c.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 1 0 1
0 0 0
0 1 0 10 1 0 1
0 1 0 1
0 0
1cos cos cos cos
2
1 1 1sin sin
2
sin sin sin 2 sin 2 02 2
T T T
I t tdt tdt tdt
T T
T T c T c T c p q c p q
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω π π
= =
= = − − + =
= − − + = − +
= − − + = − ⋅ − + ⋅ =
∫ ∫ ∫
,
pentru ∀ , p q ∈ ℕ .
Nu este posibil în ipotezele problemei.
Problema 11
Se generează semnalul MF, conform relației:
( ) ( )0
10cost
MF p f x t t k x d ω τ τ
= +
∫ ;32.4 10 f k π = ⋅ iar
42 10 / p rad sω π =
a. Dacă semnalul modulator este ( ) 02cost t ω = ,3
0 2 10 /rad sω π = , scrieți expresia
semnalului modulat și calculați indicele de modulație β .b. Precizați banda de frecvențe efectiv ocupată de semnalul modulat, indicând și , limitasuperioară a indicelui în suma ce reprezintă spectrul semnalului modulat în frecvenţă cumodulator armonic.
c. Desenați spectrul de amplitudini al semnalului modulat, limitându-vă la banda defrecvență efectiv ocupată.
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
20/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
20
d. Calculați puterea semnalului MF, MF P . Calculați puterea componentelor din banda
efectiv ocupată, e P . Cât la sută din puterea semnalului se află în banda efectivă?
Se dau:
x ( )0
J x ( )1
J x ( )2
J x ( )3
J x ( )4
J x ( )5
J x
2.02.12.2 0.1104 0.5560 0.39506 0.16233 0.04765 0.010942.3 0.0555 0.5399 0.41391 0.17998 0.05560 0.013402.4 0.0025 0.5202 0.43098 0.19811 0.06431 0.016242.5 -0.0484 0.4971 0.44606 0.22160 0.07378 0.019502.6 -0.0968 0.4708 0.45897 0.23529 0.08401 0.02321
( ) ( ) ( )1 k
k k J x J x− = −
Rezolvare Problema 11
a.3
0 0 0 0300
2 2 2.4 102cos sin sin 2.4sin
2 10
t f
f
k k d t t t
π ω τ τ ω ω ω
ω π
⋅ ⋅= = =
⋅∫
( ) ( )4 310cos 2 10 2.4sin 2 10 MF x t t t π π = ⋅ + ⋅ Indicele de modulație este: 2.4 β =
b.
( ) 0 0 02 1 2 3.4 6.8 Bω β ω ω ω ≅ + = ⋅ ⋅ = Cum liniile spectrale sunt echidistante, plasate la distanța 0ω între ele, vom considera o bandă de
07ω . Această bandă corespunde lui 1 3.4 β ≅ + = . Dacă luăm 3 = , avem o lăţime de bandă
de transmisie de numai 06ω . Dacă luăm 4 = banda devine 0 08 7ω ω > , ceea ce este acoperitor.
Prin urmare:
( ) ( ) ( )4
4 3
4
10 2, 4 cos 2 10 2 10 MF k k
x t J t k t π π =−
≅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∑
c.Avem
( ) ( )4 42.4 2.4 0.06431 J J − = =
( ) ( )3 32.4 2.4 0.19811 J J − = =
( ) ( )2 22.4 2.4 0.43098 J J − = =
( ) ( )1 12.4 2.4 0.5202 J J − = =
( )0 2.4 0.0025 J =
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
21/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
21
d.
Puterea semnalului MF este2
502
p A = . Puterea componentelor din banda efectivă este calculată
cu relația:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
0 1 1 2 2
2 2 2 2
3 3 4 4
10 2.4 10 2.4 10 2.4 10 2.4 10 2.4
2 2 2 2 2
10 2.4 10 2.4 10 2.4 10 2.4
2 2 2 2
e
J J J J J P
J J J J
− −
− −
= + + + + +
+ + + +
Sau încă:( )
( ) ( ) ( ) ( )20 2 2 2 2
1 2 3 4
2.4100 2.4 2.4 2.4 2.4 49.97
2e J
P J J J J
= + + + + ≅
.
Puterea cuprinsă în bandă reprezintă49.97
100 99.94%50
⋅ = din puterea întregului semnal. Dacă
ne limităm la 3 = , ' 49.56e P ≅ sau procentual 99.12% din P (încă acceptabil). Se acceptă deci
și soluția cu 3 = .
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
22/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
22
2. Probleme propuse
Problema 1 Se consideră sistemul din figură:
unde ( )3 H ω este un filtru trece-jos ideal cu pulsaţia de tăiere 3ω .
a.
Determinaţi expresia lui ( )ω Y în funcţie de ( )ω X dacă ( )t este un semnal de bandă
limitată, M ω ω ≤ şi c M ω ω < , cω ω
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
23/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
23
Problema 2 Se consideră sistemul din figură:
unde 0ω este o pulsaţie constantă.
Spectrul semnalului de intrare este reprezentat în figura de mai jos:
Se mai dau: ( )1sin 7 sin 3t t
h t t π
−= , respectiv ( )2
4, 5
0, în rest H
ω ω
≤=
a. Să se determine şi să se reprezinte grafic spectrele ( )ω 1 X şi ( )ω 2 X .
b.
Pentru 20' =
ω să se determine şi să se reprezinte grafic ( )ω 3 X şi ( )ω Y . c. Care ar trebui să fie valoarea pulsaţiei 0ω astfel încât ( )ω Y să fie identic cu ( )ω X ?
Pentru această valoare reprezentaţi grafic ( )ω 3 X .
Problema 3
Se consideră sistemul din figura 1, unde ( )t este un semnal de bandă limitată, cu spectrul prezentat în figura 2.
Figura 1
-
8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor
24/24
Probleme propuse pentru examenul de
PRELUCRAREA SEMNALELOR
Figura 2
a. Determinați expresiile semnalelor ( )1 t și ( )2 x t .
b. Determinați și reprezentați grafic spectrele ( )1 X ω și ( )2 X ω .
c. Determinați parametrii filtrului trece-bandă: A , 1ω și 2ω astfel încât ( ) y t să reprezinte
semnalul obținut prin modularea în amplitudine a semnalului ( )t , adică
( ) ( ) cos pt x t t ω = ⋅ . Specificați condițiile necesare pentru pω și M ω .
Problema 4
Semnalul purtător real: ( ) c jk t k k
p t a e ω
∞
=−∞
= ∑ unde 0 0a = și 1 0a ≠ , este modulat în amplitudine cu
semnalul de bandă limitată la pulsația2
cω , ( ) x t , obținându-se semnalul ( ) ( ) ( ) y t x t p t = ⋅ .
a. Semnalul ( )t este prelucrat cu un filtru trece-bandă ideal, obținându-se semnalul:
( ) ( ) ( )1 1c c j t j t
t a e a e x t ω ω −∗= +
Specificați banda de trecere și amplificarea filtrului folosit.b. Demonstrați că:
( ) ( ) ( )cos ct A t x t ω ϕ = +
și exprimați A și ϕ în funcție de 1a și { }1arg a .