04ps-2011 modulatia semnalelor

8/17/2019 04PS-2011 Modulatia Semnalelor

1/24

Probleme propuse pentru examenul de

PRELUCRAREA SEMNALELOR

1

4. MODULAȚIA SEMNALELOR

1. Probleme rezolvate

Problema 1

Se consideră sistemul din figură:

unde sistemele cu răspunsurile în frecvență ( )1 H ω și ( )2 H ω sunt filtre trece-jos ideale cu

pulsațiile de tăiere 1ω și 2ω .

a. Determinați expresia lui ( )1Y ω în funcție de ( ) X ω dacă ( ) x t este un semnal de bandă

limitată, M ω ω ≤ și dacă: 2 cω ω < , 1c M cω ω ω ω − < < , 2 12 M cω ω ω ω < < − .

b. Schițați spectrele semnalelor ( )1r t , ( )2r t și ( )1 y t pentru semnalul ( ) x t cu spectrul dinfigură:

Rezolvare Problema 1

a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1cos 2c c cr t x t t R X X ω ω ω ω ω ω = ⋅ ←→ = − + + F

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]cc X X H

H R R ω+ω+ω−ωω

=ωω=ω2

1112

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 21

cos2c c c

r t r t t R R Rω ω ω ω ω ω = ⋅ ←→ = − + + F


2/24



2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 11 1

2 24 4c c c c

R H X X H X X ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = − − + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 21 3 2 1 12 24 c c c c H

Y R H H X X H X X ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = = − − + + + + +

Dar:

( ) 0 X ω ≠ pentru ( )2 0 M c X ω ω ω ω < ⇒ − ≠ pentru

( ) ( )2 2 , 2 2 ,2c M c M c M c M c M ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − < ⇔ ∈ − − − + ∪ − + și

( )2 0 H ω ≠ pentru 2ω ω <

Întrucât ( ) ( )2 22 2 0c M c X H ω ω ω ω ω ω < − ⇒ − ⋅ = .La fel se poate demonstra că:

( ) ( )22 0c X H ω ω ω + ⋅ = De aceea, se obține în final:

( ) ( )

( ) ( ) ( )21 1 14 c c H

Y H H X ω

ω ω ω ω ω ω = − + +

b.


3/24



3

Problema 2

Fie ( )t un semnal de bandă limitată, M ω . Se construiește semnalul:

( ) ( ) ( )sin

cos cos cc ct

g t x t t x t t

t

ω ω ω

π

= − ∗

cu c M ω ω > .

a. Desenați schema sistemului care transformă semnalul ( )t în semnalul ( )t .b. Determinați valoarea constantei A pentru care este valabilă relația:

( ) ( )sin

cos M c A t

x t g t t t

ω ω

π = ∗

c. Desenați schema sistemului care implementează relația de la punctul b.d. Ce funcţii implementează sistemele de la punctele a şi b ?


a.( ) ( ) ( )

sinc

cc c

t p

t ω

ω ω σ ω ω σ ω ω

π ←→ = − − +F

b.

( ) ( ){ }( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( )

sincos cos

1

cos21

12

c

c

cc c

c c c

c c

t G x t t x t t

t

X X x t t p

X X p

ω

ω

ω ω ω ω ω ω

π

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

= − ∗ =

= − + + − ⋅ =

= − + + ⋅ −

F F

F

Transformata Fourier a membrului drept al relației din membrul drept este:


4/24



4

( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

sincos cos

1

2

2 1 2 14

M

M

c c M

M c c

c c

c c c c

A t g t t g t t A p

t

G G A p

A X X p X X p p

ω

ω

ω ω ω

ω ω ω ω ω

π

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

∗ = ⋅ ⋅ =

= − + + ⋅ ⋅ =

= − + ⋅ − − + + + ⋅ − + ⋅

F F

Dar,

( ) ( )2 0cc

X pω ω ω ω − ⋅ = și ( ) ( )2 0cc X pω ω ω ω + ⋅ = .

Ultima relație devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )sin

cos 1 14 2c c

M c c c

A t A A g t t p X p X X

t ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

π

∗ = − − + − + = F

Pentru ca să fie valabilă relația din enunţ este necesar ca: 2= A .c.

d.

Primul sistem realizează o modulație de amplitudine cu bandă laterală unică. Extrage bandalaterală superioară. Cel de al doilea sistem realizează demodularea corespunzătoare modulațieiefectuate de primul sistem.

Problema 3

Se consideră sistemul din figură:


5/24



5

a. Determinați și schițați spectrele ( ) R ω și ( )Q ω .

b. Considerând că sistemul cu răspunsul în frecvență ( ) M ω este un filtru adecvat (trece-

jos), să se determine valoarea maximă a lui ∆ , astfel încât ( ) ( )w t x t = .

c. Să se determine și să se schițeze răspunsul în frecvență ( ) M ω al unui filtru de

compensare astfel încât ( ) ( )w t x t =

.


a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T k

r t x t t x t t kT δ δ ∞

=−∞

= ⋅ = ⋅ −∑

( ) ( )1 2 2 1 2

2 k k R X k X k

T T T T

π π π ω ω δ ω ω

π

∞ ∞

=−∞ =−∞

= ∗ − = −

∑ ∑ cu reprezentarea grafică din

figura următoare.

Avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t r t h t Q R H ω ω ω = ∗ ←→ = ⋅F


6/24



6

( ) ( )2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 121

2

1 2 sin 2

j j j t j t j t

j j

H e dt d e e e e j j j

e e j

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω

∆ ∆

∆ ∆−

− − −

∆ ∆− −

∆ ∆−

∆

= ⋅ = − = − ⋅ = − ⋅ − = ∆ −

∆= ⋅ − =

∫ ∫

( )1 2 2 2 2 2

sin sin sin2 2 2k k k

Q X k X k c X kT T T T T T

π ω ω π ω πω ω ω ω

ω ω

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

∆ ∆ ∆ ∆ = − ⋅ = ⋅ − = ⋅ −

∑ ∑ ∑

( )2

sin2 k

Q c X k T T

ω π ω ω

∞

=−∞

∆ ∆ = ⋅ −

∑

Deci

b.Avem:

( ) ( ) ( )W M Qω ω ω = ⋅

Considerând, că ( ) M ω descrie un filtru trece-jos ideal cu pulsația de tăiere,T

π , rezultă că:

( ) ( ) ( )sin2

W M c X T

ω ω ω ω

∆ ∆ = ⋅ ⋅

Pentru că ( )W ω să poate fi egal cu ( ) X ω este necesar că produsul ( ) sin

2

M c

T

ω ω

∆ ∆ ⋅

să fie

unitar. Această condiție este îndeplinită dacă în intervalul ,T T

π π −

, funcția sin2

cT

ω ∆ ∆

, nu

se anulează, adică2

T

π π ≤

∆, rezultă că: 2T ∆ = .


7/24



7

c.

După cum s-a arătat deja egalitatea ( ) ( )W X ω ω = presupune că:

( ) ( ) ( )2sin

2 1

2sin 2 T

T M M p

T π

ω ω

ω ω ω ω ω

∆

⋅ = ⇒ = ⋅∆

.

Problema 4

În figura 1 este prezentată o modalitate de generare a semnalului MA-BLU.

Figura 1

Spectrul semnalului de la intrare este prezentat în figura 2:

Figura 2

Determinați și reprezentați grafic spectrul semnalului ( )t .


8/24



8


( ) ( ) ɶ ( )cos sin p p y t x t t x t t ω ω = +

( ) ( ){ }( ) ɶ ( ){ }( )cos sin p pY x t t x t t ω ω ω ω ω = +F F

( ){ }( )1

cos2

p x t t ω ω π

=F ( ) X ω π ∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1

2 2 p p p p X X Y δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω − + + = − + + =

ɶ ( ){ }( )1

sin2

p x t t ω ω π

=F ( ) X π

ω ∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 21 1

2 2 p p p p X X Y

j j jδ ω ω δ ω ω ω ω ω ω ω − − + = − − + =

Dar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1sgn sgn

2 2 2

1sgn sgn

2

p p p p p p

p p p p

X X j X j X j j j

X X

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω

− − + = − − − − − + +

= − − − + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

sgn sgn2 2 2 p p p p p p

Y X X X X ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = − + + + − − − + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) p p p p

p p p p p p

X X X X

X X X X X X Y

ω+ω+ω−ω=ω+ω−ω+ω+

+ω−ω+ω−ω−ω+ω+ω+ω+ω−ω+ω−ω=ω

+−−+

−+−+−+

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

În final:

( ) ( ) ( ) p pY X X ω ω ω ω ω + −= + + −


9/24



9

Problema 5

În figură se dă schema bloc a unui modulator ”echilibrat”. Cele două modulatoare MA suntexcitate cu semnale modulatoare în antifază. Pentru spectrul lui ( ) x t , ( ) X ω , din figură

determinați ( )S ω , spectrul semnalului ( ) s t .Arătați că se obține un semnal MA cu purtătoare suprimată.


10/24



10


La ieșirea modulatorului de amplitudine 1 (MA1) se obține semnalul ( )1 s t :

( ) ( )1 1 cosc a c s t A k x t t ω = +

în timp ce la ieșirea modulatorului de amplitudine 2 (MA2) se obține semnalul ( )2 s t :

( ) ( )2 1 cosc a c s t A k x t t ω = −

Cele două semnale se scad pentru a obține semnalul de ieșire al modulatorului echilibrat:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 cos 1 cos 2 cosc a c c a c c a c s t s t s t A k x t t A k x t t A k x t t ω ω ω = − = + − − =

Am obținut un modulator de produs, între purtătoare și semnalul modulator.

Spectrul ( )S ω este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

22c a c c c a c c a c

S A k X A k X A k X ω ω π δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω π

= ∗ − + + = − + +

Problema 6

Să se determine răspunsul sistemului din figura de mai jos, ( )t la semnalul:

( ) ( )0 0 02

2cos 4cos 3cos3 3

t t t t

ω ω ω

= + +

, știind că:

• ( ) 0cos z t t ω =

• ( ) ( )1 0cosh t f t t ω =


11/24



11

• ( ) ( )2 0sinh t f t t ω =

• ( )302

h t t π

δ ω

= −

• ( )

05sin6

t

f t t

ω

π

=


Avem:

( ) ( ) ( )0

0

5

6

5sin

6

t

f t F pt

ω

ω

ω ω π

= ←→ =F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 0 0 01 1

cos 2 2h t f t t H F F F ω ω ω π δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω π = ⇒ = ∗ − + − = − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 0 0 0 01 1

sin2 2

h t f t t H F F F j j

π ω ω ω δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω

π

= ⇒ = ∗ − − − = − − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 x t x t h t X X H ω ω ω = ∗ ←→ = ⋅F

( ) ( )0 01 02 3

cos 2cos cos3 3 2

t t t t

ω ω ω

= + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 x t x t h t X X H ω ω ω = ∗ ←→ = ⋅F

( ) ( )0 02 02 3

sin 2sin sin3 3 2

t t t t

ω ω ω

= + +

( ) ( ) ( )3 1t x t z t = ⋅


12/24



12

( ) ( )0 03 0 0

0 0 0 00

2 3cos 2cos cos cos

3 3 2

2 4 51 3 3cos cos 2cos 2cos cos 2

2 3 3 3 3 2 2

t t x t t t

t t t t t

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

= + + =

= + + + + +

Fie ( )t z 1 semnalul de la ieşirea sistemului cu răspunsul la impuls ( )t h3 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) t t z

j j jee

e H Z Z t ht z t z

j j

j

01

000002

02

2003131

sin

2

1

2

1

2

1

2

10

ω=⇒

⇒ω+ωδ−ω−ωδ=ω+ωδ+ω−ωδ−=

ω+ωδ+ω−ωδ=

=⋅ω+ωδ+ω−ωδ=ω⋅ω=ω⇒∗=

ππ−

ω

ωπ−

( ) ( )0 0

4 0 0

0 0 0 00

0 0 0 0

2 3

sin 2sin sin sin3 3 2

2 4 51 3 3cos cos 2cos 2cos cos 2

2 3 2 3 3 2 2

2 4 51 1cos cos cos cos

2 3 2 2 3 3

t t

x t t t

t t t t t

t t t t

ω ω

ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

= + + =

= − + − + − =

= − + −

0

3 3cos2

4 4 t ω + −

Rezultă în final:

( ) ( ) ( ) 0 03 42 3

cos 2cos3 3 2

t t y t x t x t

ω ω = + = + +

Problema 7

Prin modulația de amplitudine a semnalului 0cos t ω , folosind semnalul ( ) f t , de bandă limitată

la pulsația maximă, M ω , se obține semnalul modulat în amplitudine ( ) ( ) 0cos x t f t t ω = ,

0 M ω ω > . Semnalul analitic asociat lui ( ) x t se notează cu ( )c t :

( ) ( ) ( ){ }c t x t j x t = + H

a. Să se demonstreze, că: ( ) ( ) 0 j t c x t f t e ω = ⋅ . Semnalul ( ) x t este trecut prin sistemul cu

răspunsul la impuls ( )h t .

b. Să se demonstreze că răspunsul sistemului considerat la ( )c t este de forma:

( ) ( ) 0t c t g t e ω = ⋅ .

c. Demonstrați, că: ( ) ( ) ( ) JF g t h t f t = ∗ , unde ( ) ( ) 0 j t

JF h t h t e ω −= ⋅ .


13/24



13


a.

( ){ }{ }( ) ( )sgn x t j X ω ω ω = −F H

( ) ( ){ }( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0

1 1cos cos2 21

2

X f t t F t F

F F

ω ω ω ω ω ω ω π δ ω ω δ ω ω π π

ω ω ω ω

= = ∗ = ∗ − + +

= − + +

F F

Dar:

( ) ( )0 0sgn F F ω ω ω ω ω ⋅ − = − și

( ) ( )0 0sgn F F ω ω ω ω ω ⋅ + = − + De aceea:

( ){ }{ }( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )0 0 01

sin2 x t F F x t f t t jω ω ω ω ω ω = − − + ⇒ = ⋅ F

H H

.Deci

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) 00 0cos sin j t

c x t x t j x t f t t j f t t f t e ω

ω ω = + = + ⋅ =H c.c.t.d.

b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )0 0 0 0 j t t j j t c c

g t

t x t h t h f t e d e h f t e d g t eω τ ω ω τ ω

τ τ τ τ τ τ

∞ ∞− −

−∞ −∞

= ∗ = − = − = ⋅∫ ∫

c.c.t.d

c.La punctul anterior s-a demonstrat, că:

( ) ( ) ( ) 0 j g t h f t e d ω τ τ τ τ ∞

−

−∞

= −∫ .

Folosind relația: ( ) ( ) 0 j t JF h t h t e ω −= ⋅ , ultima relație devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) JF JF t h f t d h t f t τ τ τ ∞

−∞

= ⋅ − = ∗∫ c.c.t.d.


14/24



14

Problema 8

În figură este prezentată metoda Weaver de generare a semnalului modulat în amplitudine cu bandă laterală unică.

Filtrele trece-jos se consideră ideale cu pulsația de tăiere 1 M ω ω − , unde1 2

2 M ω ω

ω +

= și

răspunsul în frecvență din figură:

Spectrul semnalului de intrare este prezentat în figură:

Să se reprezinte grafic spectrul semnalului ( )t . Să se impună, dacă sunt necesare, condiții

asupra frecvențelor M ω și pω astfel încât ( ) y t să reprezinte un semnal modulat în amplitudinecu bandă laterală unică.


15/24



15


Se observă analizând schema că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11

cos2 M M M

x t x t t X X X ω ω ω ω ω ω = ←→ = − + + F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1sin 2 M M M x t x t t X X X

jω ω ω ω ω ω = ←→ = − − +

F

Filtrele trece jos ideale de pe cele două ramuri ale schemei rejectează benzile centrate pe pulsaţiile pω± din spectrele ( )ω2,1 X păstrând doar banda de joasă frecvenţă. Spectrele ( )ω2,1Y vorfi centrate pe 0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 11 1 11

cos2 p p M

y t y t t Y Y Y ω ω ω ω ω ω = ←→ = − + + F

În ultima ecuaţie este o greşeală. Forma sa corectă este:

( ) ( ) ( )[ ] p p Y Y Y ω+ω+ω−ω=ω 1111 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2 12 2 2 2 21 1sin 2 2 p p p p p y t y t t Y Y Y jY jY

jω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = ←→ = − − + = − − + +

F

În figura următoare se reprezintă diferitele spectre obţinute. Se constată că a fost obţinut unsemnal modulat în amplitudine cu bandă laterală unică. A fost selectată banda laterală superioară.


16/24



16

Problema 9

Se consideră semnalul modulat în frecvență ( ) ( ) j t s t e Φ= , cu ( )2

0 2

t t ω Φ = ⋅ , numit

semnal ”chirp”.a. Determinați frecvența instantanee a acestui semnal.b. Folosind relația:

( )

2

12

jz e dz jπ

∞

−∞

= +

∫,

demonstrați că spectrul semnalului ”chirp” este dat de relația:

( ) ( )

2

02

0

1 j

S e j

ω

ω π ω

ω

−

= ⋅ + .

c. Schițați spectrul de amplitudini al semnalului ”chirp”.

Rezolvare Problema 9 a.

( ) ( ) 20

0

2i

d t t d t t

dt dt

ω ω ω

Φ = = =

.

b.

( ) ( )

2220 0

0 00

22 22

j t t j t j j t S s t e dt e dt e e dt

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

∞ ∞ ∞− −− −

−∞ −∞ −∞

= = =∫ ∫ ∫

Se face schimbarea de variabilă:


17/24



17

2

20

02 t z

ω ω

ω

− =

rezultă, că: 0

0 0 0 0

2 2

2 z t t z dt dz

ω ω ω

ω ω ω ω

= − ⇒ = + ⋅ ⇒ =

Se obține:

( ) ( )

2 2

20 02 2

0 0

2

1

j j

jz

S e e dz e j

ω ω

ω ω π

ω ω ω

∞− −

−∞

= = +

∫ c.c.t.d.c.

( )0

2S

π ω

ω =

Problema 10

Se consideră un sistem de modulare în frecvență de tip FSK (Frequency Shift Keying). Se

transmit mesajele: ( ) ( ) ( )0 0cosm t t t t T ω σ σ = − − sau ( ) ( ) ( )1 1cosm t t t t T ω σ σ = − − cu

0

2 p

T

π ω = și 1

2q

T

π ω = , , p q ∈ ℕ .

a. Pentru 5 p = și 7q = , reprezentați grafic semnalele ( )0m t și ( )1m t .b. Sistemul de modulare corespunzător este prezentat în figura următoare:

unde ( )b t reprezintă unul dintre mesajele ( )0m t sau ( )1m t . Calculați diferența, ( ) 0 1e t x x= − ,

în cazurile ( ) ( )0b t m t = și ( ) ( )1b t m t = . Care este valoarea absolută a acestei diferențe, dacă:

0 1

0

cos cos 0T

t tdt ω ω =∫ (1)


18/24



18

c. Este posibil să se aleagă 0ω și 1ω astfel încât să nu existe nici un interval de lungime T ,

pentru care să fie îndeplinită relația (1) ?


a.

( ) ( ) ( )02

5 cos 5 p m t t t t T T

π σ σ

= ⇒ = ⋅ − −

( ) ( ) ( )12

7 cos 7q m t t t t T T

π σ σ

= ⇒ = ⋅ − −

Semnalele ( )0m t și ( )1m t sunt reprezentate mai jos pentru 1T = .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

timp

m 0

( t )

m 0

( t )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

timp

m 1

( t )

b.

Cazul I

( ) ( )0b t m t =

( ) 2 00 0 0 0 00 00 0 0

0 0

1 cos 2 1 1cos cos sin 2 sin 2

02 2 4 2 4

1 sin42 4 2

T T T T t T T b t tdt tdt dt t T

T T p

ω ω ω ω ω

ω ω

π ω

=

+= = = = + = +

= + =

∫ ∫ ∫

( )1 1 0 10 0

cos cos cosT T

b t t dt t t dt I ω ω ω = = =∫ ∫

2

T e I = −


19/24



19

Cazul II

( ) ( )1b t m t =

( )0 0 0 10 0

cos cos cosT T

b t t dt t t dt I ω ω ω = = =∫ ∫

( ) 2 11 1 1 1 11 10 0 0

1 0

1 cos 2 1 1cos cos sin 2 sin 202 2 4 2 4

1sin4

2 4 2

T T T

T t T T b t tdt tdt dt t T

T T q

ω ω ω ω ω ω ω

π ω

=

+= = = = + = +

= + =

∫ ∫ ∫

2

T e I = −

0

2 2

I T T e I

=

= − =

c.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0 1 0 1

0 0 0

0 1 0 10 1 0 1

0 1 0 1

0 0

1cos cos cos cos

2

1 1 1sin sin

2

sin sin sin 2 sin 2 02 2

T T T

I t tdt tdt tdt

T T

T T c T c T c p q c p q

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω π π

= =

= = − − + =

= − − + = − +

= − − + = − ⋅ − + ⋅ =

∫ ∫ ∫

,

pentru ∀ , p q ∈ ℕ .

Nu este posibil în ipotezele problemei.

Problema 11

Se generează semnalul MF, conform relației:

( ) ( )0

10cost

MF p f x t t k x d ω τ τ

= +

∫ ;32.4 10 f k π = ⋅ iar

42 10 / p rad sω π =

a. Dacă semnalul modulator este ( ) 02cost t ω = ,3

0 2 10 /rad sω π = , scrieți expresia

semnalului modulat și calculați indicele de modulație β .b. Precizați banda de frecvențe efectiv ocupată de semnalul modulat, indicând și , limitasuperioară a indicelui în suma ce reprezintă spectrul semnalului modulat în frecvenţă cumodulator armonic.

c. Desenați spectrul de amplitudini al semnalului modulat, limitându-vă la banda defrecvență efectiv ocupată.


20/24



20

d. Calculați puterea semnalului MF, MF P . Calculați puterea componentelor din banda

efectiv ocupată, e P . Cât la sută din puterea semnalului se află în banda efectivă?

Se dau:

x ( )0

J x ( )1

J x ( )2

J x ( )3

J x ( )4

J x ( )5

J x

2.02.12.2 0.1104 0.5560 0.39506 0.16233 0.04765 0.010942.3 0.0555 0.5399 0.41391 0.17998 0.05560 0.013402.4 0.0025 0.5202 0.43098 0.19811 0.06431 0.016242.5 -0.0484 0.4971 0.44606 0.22160 0.07378 0.019502.6 -0.0968 0.4708 0.45897 0.23529 0.08401 0.02321

( ) ( ) ( )1 k

k k J x J x− = −


a.3

0 0 0 0300

2 2 2.4 102cos sin sin 2.4sin

2 10

t f

f

k k d t t t

π ω τ τ ω ω ω

ω π

⋅ ⋅= = =

⋅∫

( ) ( )4 310cos 2 10 2.4sin 2 10 MF x t t t π π = ⋅ + ⋅ Indicele de modulație este: 2.4 β =

b.

( ) 0 0 02 1 2 3.4 6.8 Bω β ω ω ω ≅ + = ⋅ ⋅ = Cum liniile spectrale sunt echidistante, plasate la distanța 0ω între ele, vom considera o bandă de

07ω . Această bandă corespunde lui 1 3.4 β ≅ + = . Dacă luăm 3 = , avem o lăţime de bandă

de transmisie de numai 06ω . Dacă luăm 4 = banda devine 0 08 7ω ω > , ceea ce este acoperitor.

Prin urmare:

( ) ( ) ( )4

4 3

4

10 2, 4 cos 2 10 2 10 MF k k

x t J t k t π π =−

≅ ⋅ ⋅ + ⋅ ∑

c.Avem

( ) ( )4 42.4 2.4 0.06431 J J − = =

( ) ( )3 32.4 2.4 0.19811 J J − = =

( ) ( )2 22.4 2.4 0.43098 J J − = =

( ) ( )1 12.4 2.4 0.5202 J J − = =

( )0 2.4 0.0025 J =


21/24



21

d.

Puterea semnalului MF este2

502

p A = . Puterea componentelor din banda efectivă este calculată

cu relația:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

0 1 1 2 2

2 2 2 2

3 3 4 4

10 2.4 10 2.4 10 2.4 10 2.4 10 2.4

2 2 2 2 2

10 2.4 10 2.4 10 2.4 10 2.4

2 2 2 2

e

J J J J J P

J J J J

− −

− −

= + + + + +

+ + + +

Sau încă:( )

( ) ( ) ( ) ( )20 2 2 2 2

1 2 3 4

2.4100 2.4 2.4 2.4 2.4 49.97

2e J

P J J J J

= + + + + ≅

.

Puterea cuprinsă în bandă reprezintă49.97

100 99.94%50

⋅ = din puterea întregului semnal. Dacă

ne limităm la 3 = , ' 49.56e P ≅ sau procentual 99.12% din P (încă acceptabil). Se acceptă deci

și soluția cu 3 = .


22/24



22

2. Probleme propuse

Problema 1 Se consideră sistemul din figură:

unde ( )3 H ω este un filtru trece-jos ideal cu pulsaţia de tăiere 3ω .

a.

Determinaţi expresia lui ( )ω Y în funcţie de ( )ω X dacă ( )t este un semnal de bandă

limitată, M ω ω ≤ şi c M ω ω < , cω ω


23/24



23

Problema 2 Se consideră sistemul din figură:

unde 0ω este o pulsaţie constantă.

Spectrul semnalului de intrare este reprezentat în figura de mai jos:

Se mai dau: ( )1sin 7 sin 3t t

h t t π

−= , respectiv ( )2

4, 5

0, în rest H

ω ω

≤=

a. Să se determine şi să se reprezinte grafic spectrele ( )ω 1 X şi ( )ω 2 X .

b.

Pentru 20' =

ω să se determine şi să se reprezinte grafic ( )ω 3 X şi ( )ω Y . c. Care ar trebui să fie valoarea pulsaţiei 0ω astfel încât ( )ω Y să fie identic cu ( )ω X ?

Pentru această valoare reprezentaţi grafic ( )ω 3 X .

Problema 3

Se consideră sistemul din figura 1, unde ( )t este un semnal de bandă limitată, cu spectrul prezentat în figura 2.

Figura 1


24/24



Figura 2

a. Determinați expresiile semnalelor ( )1 t și ( )2 x t .

b. Determinați și reprezentați grafic spectrele ( )1 X ω și ( )2 X ω .

c. Determinați parametrii filtrului trece-bandă: A , 1ω și 2ω astfel încât ( ) y t să reprezinte

semnalul obținut prin modularea în amplitudine a semnalului ( )t , adică

( ) ( ) cos pt x t t ω = ⋅ . Specificați condițiile necesare pentru pω și M ω .

Problema 4

Semnalul purtător real: ( ) c jk t k k

p t a e ω

∞

=−∞

= ∑ unde 0 0a = și 1 0a ≠ , este modulat în amplitudine cu

semnalul de bandă limitată la pulsația2

cω , ( ) x t , obținându-se semnalul ( ) ( ) ( ) y t x t p t = ⋅ .

a. Semnalul ( )t este prelucrat cu un filtru trece-bandă ideal, obținându-se semnalul:

( ) ( ) ( )1 1c c j t j t

t a e a e x t ω ω −∗= +

Specificați banda de trecere și amplificarea filtrului folosit.b. Demonstrați că:

( ) ( ) ( )cos ct A t x t ω ϕ = +

și exprimați A și ϕ în funcție de 1a și { }1arg a .

04ps-2011 modulatia semnalelor

Documents