Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

Soluţie

1.a) 1( ) nf x nx n−′ = − şi 2( ) ( 1) 0, 0nf x n n x x−′′ = − ≥ ∀ ≥ , deci f este convexă.

b) Şirul lui Rolle ataşat ecuaţiei 1 0, 0nx nx x− − = ≥ este: x 0 1 ∞

( )f x − − +

de unde concluzia.

c) Avem ( )1 0nf < şi ( ) 2 1 0nnf n n n= − − > pentru 3n ≥ , deci 1 nx n< < . Din 1n

n nx nx= + rezultă

21 1 ,nnx n≤ ≤ + de unde lim 1n

nx

→∞= .

2.a) ( )1

0

1( ) ln 1

0xf x dx e= +∫ =

1ln

2

e+.

b) ( ) ( ) ( )' cos cos cosg x f x x f x x x= + − = , deci g este crescătoare pe 0,2

π

şi descrescătoare pe , .2

π π

c) Din ( )' cosg x x= şi ( )0 0g = , rezultă ( ) sin ,g x x= deci 1.2

gπ =