DIVIZIBILITATEA POLINOAMELOR N INELE EUCLIDIENE1. PreliminariiDou dintre cele mai importante teoreme din algebr sunt teorema mpririi cu rest pentru numerentregi ct i teoremampririi curest pentrupolinoame. Samintimaceste teoreme:Teorema mpririi cu rest pentru numere ntregiFie a i b dou numere ntregi cu b diferit de zero. Atunci exist dou numere ntregi q i r astfel nct r bq a + i r 0 >+ n nr r r r i cum Neste bine ordonat,exist un numr natural n astfel nct 0 nr i01 + nr. Vom arta cnr este c.m.m.d.c. al lui f i g . Cum 1 1 + n n nq r r, rezult c1 n nr r. Dar deoarece n n n nr q r r + 1 2rezult c 2 n nr r. n continuare folosimegalitatea 1 1 2 3 + + n n n nr q r ri innd cont c 1 n nr r i2 n nr r, rezult c3 n nr r. Din aproape n aproape, innd cont de egalitile 17(3E), rezult c nr divide elementele 1 2 2 1, ,..., , r r r rn n . Din egalitatea (2E) rezult c b rn , iar din egalitatea (1E) obinem c a rn .Deci nr este un divizor comun al elementelor a i b . Fie 'deste un divizor comun al lui aib. Din egalitatea (2E) obinem 2 1 2q r b r . Cum 1'r dib d', atunci2'r d. Acum, folosind egalitile (3E), din aproape n aproape, obinem c 'ddivide elementele n nr r r r , ,..., ,1 4 3 .Aadarnr (ultimul rest nenul) este un c.m.m.d.c. al elementelor a i b.irul de egaliti(1E),(2E) i (3E) poart denumirea dealgoritmul lui Euclid.Acest ir de egaliti ne permite s determinm pentru un inel euclidian un c.m.m.d.c. a dou elemente. Ultimul rest nenul din acest ir de egaliti este un c.m.m.d.c. alelementelor date.Teorema 3.2.2. ne asigur c pentru un inel euclidian existun c.m.m.d.c. a dou elemente. Se pune ntrebarea dac c.m.m.d.c. este unic determinat.Acest lucru este lmurit de urmtoarea teorem:Teorema 3.2.3. Fie a i b dou elemente din inelul euclidian R i d un c.m.m.d.c. al lui a i b . Atunci:1. DacU u (R), atunci ud este un c.m.m.d.c. al elementelor a i b.2. Invers, dac 'deste un c.m.m.d.c. al lui a i b, existU u (R) astfel nct 'd = ud (adic d i 'd sunt asociate n divizibilitate).Demonstraie.1. Cum 1) ( u ud datunci d ud. Cum a d i b d, atunci a ud ib ud. Fie'dRastfel ncta d'ib d'. Atuncid d'. Cum ud d, atunci ud d' i deci ud este un c.m.m.d.c. al elementelor a i b. 2. Presupunemci'd esteunc.m.m.d.c. al luiaib.Cumd esteundivizor comun al lui a i b , rezult c 'd d. Cum la rndul sudeste un c.m.m.d.c. al lui a i b, avem i d d'. Decideste asociat n divizibilitate cu 'd .Teorema3.2.4.FieRuninel euclidianiR b a ,. Dacdesteunc.m.m.d.c. al elementelor a i b , exist elementele R l k , astfel nct lb ka d + Demonstraie. Fie irul mpririlor successive din algoritmul lui Euclid:1 1r bq a + cu 01 r sau ) ( ) (1b r < (1E)2 2 1r q r b + cu 02 r sau ) ( ) (1 2r r < (2E)183 3 2 1r q r r + cu 03 r sau ) ( ) (2 3r r < (3E)...n n n nr q r r + 1 2 cu 0 nr sau ) ( ) (1