factorizarea polinoamelor de o variabilĂfliacob/an2/2013-2014/resurse mcm/pent… · 1...
TRANSCRIPT
1
UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ-INFORMATICĂ
ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ
FACTORIZAREA POLINOAMELOR DE O VARIABILĂ
CU COEFICIENŢI ÎNTREGI
Rezumat
Conducători Prof. Univ. Dr. L. Panaitopol Prof. Univ. Dr. Constantin Năstăsescu Doctorand Zamfir Rică
2008
Cuprins
Prefaţă Capitolul 1 Mărimi ataşate polinoamelor care apar în descrierea unor algoritmi
de factorizare a polinoamelor cu coeficienţi întregi 1.1. Mărimi ataşate polinoamelor.
1.1.1. Definiţia şi principalele proprietăţi ale măsurii Mahler a unui polinom 1.1.2. Margini superioare pentru măsura Mahler
1.2. O rafinare a inegalităţilor lui Mignotte, Williams şi Montel
1.2.1. Rafinarea inegalităţii lui Mignotte
1.2.2. Rafinarea inegalităţilor lui Williams şi Montel
1.3. Margini pentru lungimea unui polinom în funcţie de măsura Mahler
1.4. Aplicaţii numerice Capitolul 2 Margini pentru rădăcini utilizând metoda matriceală
2.1 Margini pentru rădăcini folosind matricea companion Frobenius
2.1.1.Noţiuni de analiză matriceală utilizate în studiul marginilor rădăcinilor
2.1.2.Margini clasice obţinute folosind matricea companion Frobenius
2.1.3. Margini noi obţinute prin metoda matriceală
2.1.4. Aplicaţii numerice
2.2 Margini pentru rădăcinile polinoamelor ortogonale clasice
2.2.1. Margini generale pentru rădăcinile polinoamelor ortogonale
2.2.2. Aplicaţii numerice pentru polinoamele ortogonale clasice
Capitolul 3 Margini pentru rădăcini utilizând matrice companion Frobenius generalizate
3.1 Matrice companion generalizate în sensul lui Linden
3.2 Margini noi pentru rădăcinile lui nf
3.3 Alegeri speciale ale matricelor Frobenius generalizate
3.4 Inegalităţi pentru partea reală a rădăcinilor
3.5 Margini obţinute folosind puteri ale matricelor Frobenius generalizate
3.6 Margini inferioare pentru modulele rădăcinilor
2
3
Capitolul 4 Criterii de ireductibilitate deduse din studiul marginilor rădăcinilor
4.1. Trei criterii de ireductibilitate
4.2. Aplicaţii numerice
Bibliografie selectivă
Prefaţă
Proprietăţile analitice ale polinoamelor reprezintă una dintre temele care se află în atenţia
specialiştilor în algebră, analiză numerică, statistică, ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale,
biomatematică, informatică, fizică, etc. Ele au căpătat un nou impuls odată cu apariţia Algebrei
Computaţionale, datorită posibilităţii implementării algoritmilor şi a utilizării calculatoarelor
electronice.
Un reputat matematician, M. Mignotte, a afirmat că problema cea mai importantă a Algebrei
computaţionale o reprezintă factorizarea polinoamelor. Găsirea unor algoritmi noi de factorizare este o
preocupare permanentă a cercetătorilor. Importante reviste de matematică, ca de exemplu Journal of
Symbolic Computer, SIAM, J. Math. Analysis, CR de l’Academie des Sciences Paris, Applic Math
and Computation, cât şi unele de fizică - J Physics A - publică rezultate privind rezolvarea numerică a
ecuaţiilor algebrice şi proprietăţilor polinoamelor. De asemenea, în paginile unor reviste de la noi
precum Mathematica (Cluj), Bulletin Mathematique (Bucureşti) sunt publicate lucrări din acest
domeniu recezate favorabil în MR şi Zbl Math, unele dintre ele fiind deja citate în reviste cotate ISI.
Importanţa acestui subiect este subliniată şi de numele unor cercetători care au studiat proprietăţile
analitice ale polinoamelor, printre care amintim doar în epoca modernă pe B. Beauzamy, E. R.
Berlekamp, E. Bombieri, 1.P. Borwein, D. W. Boyd, D.H. Lehmer, A. K. Lenstra, N.W. Lenstra, L.
Lovasz, K Mahler , A. Schinzel, H.Zassenhaus, sau din ţara noastră L.Panaitopol şi D. Ştefănescu.
Teza de doctorat intitulată Factorizarea polinoamelor cu coeficienţi întregi de una sau mai
multe variabile cuprinde patru capitole şi în cea mai mare parte tratează problema localizării
rădăcinilor unui polinom cu coeficienţi complecşi. Această problemă este foarte importantă în
conceperea algoritmilor de factorizare a polinoamelor cu coeficienţi întregi, care, aşa cum am amintit,
este probabil tema centrală a algebrei computaţionale.
CAPITOLUL 1
MĂRIMI CARE APAR ÎN DESCRIEREA ALGORITMILOR DE FACTORIZARE A
POLINOAMELOR CU COEFICIENŢI ÎNTREGI
1.1. Mărimi ataşate polinoamelor
Fie f un polinom de gradul n cu coeficienţi complecşi
4
11 1 0 ( )( ) ( )1 2 ...n na x x x( ) ...n n
n n α α α− − − x a x a x a x a−−= + + + + = f
unde 1 2, ,... nα α α ∈ sunt rădăcinile polinomului. Mărimile ataşate polinomului sunt:
• Măsura Mahler ( )M f = na . { }1
max 1,n
kk
α=∏
• Lungimea 0
( )n
kk
L f a=
= ∑
• Înălţimea ( )H f = 0max k n≤ ≤ { }ka
• Norma pătratică f =
122
0
n
kk
a=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑
• Norma Bombieri [ ]1
10 ( )
p pnk
k ppk n
af
C −=
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎟ =
⎜⎝ ⎠∑ ( )1p ≥
În prima secţiune am arătat relaţiile care există între aceste mărimi numerice. În general, rezultatele
din această secţiune sunt cunoscute.
1.2. O rafinare a inegalităţilor lui Mignotte, Williams şi Montel Rezultatele din a doua secţiune sunt originale şi reprezintă rafinări aduse inegalităţilor lui Mignotte,
Williams şi Montel. Aceste cercetări legate de rafinarea inegalităţilor citate mai sus s-au concretizat
întru-un articol intitulat Refining some inequalities care a apărut în JIPAM Vol 9 Issue 3 (2008).
În anul 1950 V. Gonçalves a demonstrat o teoremă în care stabileşte o inegalitate între măsura Mahler
( )M f a unui polinom şi norma sa pătratică.
Teoremă (Gonçalves)
5
0Fie 11 1( ) ...n n
n nf x a x a x a x a−−= + + + + un polinom neconstant cu coeficienţi complecşi. Atunci:
2( )M f + 2 20 ( )na a M f − 2f≤
M. Mignotte a generalizat teorema lui Gonçalves sub forma următoare:
Teoremă (Mignotte)
Dacă 11 1 0( ) ...n n
n nx a x a x a x−−= + + + + a ∈ [X] atunci avem : f
222
1 2 01 1( ) ...n nn nM f f a a a a a a− −−≤ − + + + 2−f
( ) ...n nn n
Folosind o metodă unitară, am reuşit să rafinez atât inegalitatea lui Mignotte cât şi pe cea a lui
Williams.
Dacă 1
1 1 0x a x a x a x−−= + + + + a ∈ [X] este un polinom neconstant, vom nota: f
2 2 20 2 ... n
2A f a a a= = + + +
1 20 1 1... nnB a a a a a a−= + + +
2 30 1 2... nnC a a a a a a−= + + +
BA
α =
Cu aceste notaţii inegalitatea lui Mignotte se scrie:
(1) 2
2 ( )B
M f AA
≤ −
Deoarece membrul stâng al acestei inegalităţi este pozitiv, deducem de aici că 22 0,A B− > deci
1.α <
Considerăm polinomul
(2) ( ) ( ) ( ) [ ]F x x f x C Xα= − ∈
şi observăm că M(F) = M( f ) deoarece am văzut că 1.α <
Calculăm şi avem:
11 0 1
1
0
( ) ( ) ... ( )n nn n n
nk
kk
F x a x a a x a a x a
d x
0α α α+−
+
=
= + − + + − −
=∑
Aplicăm inegalitatea lui Mignotte polinomului F şi obţinem:
(3) 222 2
1 20 121( ) ( ) ... nnM f M F F d d d d d d
F+= ≤ − + + + 1
Avem succesiv egalităţile:
( )( )
( )
2 2 2 20 1 1
12 2 2
0 1 10
2 21 1 12 2 2 2
10 1 10 0 0
... n
n
n k k k kk
n n n
k kn k k kk k k
F d d d
a a a a a a
a a a a a a a a
α α α
α α α
+
−
+ +=
− − −
++ += = =
= + + +
= + + − −
= + + + − +
∑
∑ ∑ ∑ kα
12 2 2
10
2
2
2 Re( )
2Re
(1.21)
n
kkk
f f a a
B BA BA A
BA
A
α α−
+
=
= + −
⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
∑
2
1 2 10 1 2
( )... nnB B ACd d d d d d
A+
−+ + + =
de unde găsim că
(4) 22 2
21 2 10 1 4... nn
B B ACd d d d d d
A+
−+ + + =
Folosind relaţiile (2), (3) şi (4) obţinem că:
(5) ( )
222 22
23 2( )
B B ACBM f A
A A A B
−≤ − −
−
care este mai tare decât inegalitatea lui Mignotte, dacă ( )2 0B B AC− ≠ .
Am demonstrat prin urmare următoarea teoremă, care îmbunătăţeşte inegalitatea lui Mignotte:
Teorema 1
Dacă 11 1 0( ) ...n n
n nx a x a x a x−−= + + + + a ∈ [X] este un polinom neconstant avem inegalitatea: f
( )
222 22
23 2( )
B B ACBM f A
A A A B
−≤ − −
−
6
Corolar 1
7
( ) ...n nn nDacă 1
1 1 0x a x a x a x−−= + + + + a [ ]X∈ este un polinom neconstant avem inegalitatea: f
( )( )
22 222
3 2 2( )
B B ACBM f AA A A B
−≤ − −
−
Enunţul inegalităţii lui Williams este următorul :
Teoremă (Williams)
Dacă 11 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x−−= + + + + a ∈ [X] este un polinom neconstant, iar z este o rădăcină
oarecare a lui f, atunci :
2 2
2 0 1 0 11 ... n n
n n n
a a a a aza a a
−− −≤ + + + +
2
( ) ...n nn n
Teorema care urmează imbunătăţeşte inegalitatea din teorema lui Williams şi are o demonstraţie
asemănătoare cu demonstraţia teoremei 1..
Teorema 2
Dacă 11 1 0x a x a x a x−−= + + + + a ∈
1
[X] este un polinom neconstant, notăm: f
0 0 1 1 0, ,..., n n nb a b a a b a a −= = − = −
Atunci pentru orice rădăcină z a lui f are loc inegalitatea:
( )( )
22 2 21 20 1 12 0 1
2 2 2 2 20 1
Re( ... )1 ...
...
n nn nn
n n n n n n
b b b b b b b ab bbza a a b b b a a
−+ + + −≤ + + + + −
+ + + +
Teorema lui Montel are următorul enunţ:
Teoremă (Montel)
Dacă 11 1 0( ) ...n n
n nx a x a x a x−−= + + + + a ∈f [X], 0na ≠ iar { }1,2,...,p n∈ atunci f are cel puţin p
rădăcini în interiorul discului
(6)
12 21
0
1p
k
k n
aza
−
=
⎛ ⎞⎜ ⎟≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠∑
Teorema care urmează imbunătăţeşte inegalitatea (6).
Teorema 3
8
( ) ...n nn nDacă 1
1 1 0x a x a x a x−−= + + + + a ∈f [X], 0na ≠ iar { }1,2,...,p n∈ atunci f are cel puţin p
rădăcini în interiorul discului.
( )( )
12221 1 20 1 1
22 2 20
0 1
Re( ... )1
...
p ppk
k n p n
a a a a a aaza a a a a
−−
=
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟≤ + −⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
Demonstraţia acestei teoreme este bazată pe aceeaşi idee ca şi demonstraţia teoremei lui Mignotte.
Corolar 2
Dacă 11 1 0( ) ...n n
n nx a x a x a x−−= + + + + a ∈f [X], 0na ≠ atunci toate rădăcinile lui f se găsesc in
interiorul discului
( )( )
12 221 1 20 1 1
2 2 2 20 0 1
Re( ... )1
...
n nnk
k n n n
a a a a a aaza a a a a
−−
=
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟≤ + −⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠∑
Corolar 3
Dacă 11 1 0( ) ...n n
n nx a x a x a x−−= + + + + a ∈ [X], 0 0a ≠ şi f
( )
( )
12221 11 1
2 2 2 20 0 1 0
Re( ... )
...
n p p p np p nn k
kp p n
a a a a a aaMa a a a a
− − +− −−
=+
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟= −⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
atunci f are cel mult p rădăcini în interiorul discului.
11
zM
≤+
1.3. Margini pentru lungimea unui polinom în funcţie de măsura Mahler
In secţiunea a treia am stabilit unele inegalităţi care apar între lungimea unui polinom şi măsura
Mahler a polinomului. Rezultatele sunt în general originale, iar cele mai interesante sunt următoarele:
Teorema 4
9
nFie polinomul . [ ] \f X∈ 1 2( ) ( )( )...( )nf x a x x xα α α= − − − . Presupunem că există numărul
natural astfel încât 1k ≥ 1 2 1... 1 ...k k nα α α α +≥ ≥ ≥ > ≥ ≥ ≥ α
n
.
Dacă 1 2( ) ( )( )...( )k kg x x x xα α+ += − − −α , avem inegalitatea
( ) ( ) ( 1) ( )kM f L g n L f⋅ ≤ − ⋅
Corolar 4
Dacă α este un număr Salem care are polinomul minimal f , avem inegalitatea:
( ) ( )1( )
L fnL g
α ≤ − ⋅
unde 2 1 21 1 2 1( ) 1 ... ...n n
n n n n 2 1L g a a a a aα α α α α α− −− − − −= + + + + + + + + + + + a
n
.
Propoziţia 1
Fie polinomul 1 2( ) ( )( )...( ) [ ]nf x a x x x Xα α α= − − − ∈ şi presupunem că există numărul natural
astfel încât: 1k ≥
1 2 1... 1 ...k k nα α α α +≥ ≥ ≥ > ≥ ≥ ≥ α
Avem inegalitatea:
( ) ( )k kkna M f R f+ ≤
(aici (1
( ) 1n
ni
R f a )iα=
= ⋅ +∏ este o mărime introdusă de V. Flammang în articolul Comparaison de
deux mesures de polynomes, Canad. Math. Bull. vol 38(4), 1995 care generalizează noţiunea de
lungime.)
1.4. Aplicaţii numerice
Capitolul 1 se încheie cu secţiunea a patra în care am prezentat unele aplicaţii numerice menite să
ilustreze faptul că rezultatele obţinute de noi îmbunătăţesc rezultatele numerice obţinute folosind
teoremele clasice pe care le-am rafinat.
CAPITOLUL 2 MARGINI PENTRU RĂDĂCINI UTILIZÂND METODA MATRICEALĂ
2.1. Noţiuni de analiză matriceală utilizate în studiul marginilor rădăcinilor
La începutul primei secţiuni am prezentat metoda matriceală de aflare a marginilor rădăcinilor unui
polinom cu coeficienţi complecşi. Aceasta constă în aflarea marginilor valorilor proprii ale matricei
companion ataşată polinomului. Cea mai folosită metodă de mărginire a valorilor proprii este dată de
teorema lui Gershgorin. O altă teoremă utilă în localizarea valorilor proprii ale unei matrice pe care am
folosit-o este teorema lui Ostrowski, care generalizează teorema lui Gershgorin..
Folosind inegalităţi între raza spectrală a matricei companion şi diverse norme matriceale am
demonstrat teoremele clasice ale lui Cauchy, Montel, Enestrom-Kakeya, Ballieu, Kojima, Carmichael-
Mason, pe care le-am comparat apoi cu rezultate originale gasite de noi. Aceste cercetări s-au finalizat
cu un articol, intitulat Bounds for polynomials zeros using the companion matrix, care a fost
acceptat spre publicare în Mathematika Balcanica. Rezultatele cele mai interesante pe care le-am
obţinut sunt următoarele:
Teorema 5
Considerăm polinomul
[ ]11 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a X−−= + + + + ∈
cu toţi coeficienţii nenuli. Dacă z este o rădăcină oarecare a lui f , avem inegalitatea:
0 21
1 2 1
max , ,..., ,n n
n n
a a aaz na a a a
− −
−
⎧ ⎫⎪ ⎪≤ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
1
Teorema 6
Considerăm polinomul
[ ]11 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a X−−= + + + + ∈
cu toţi coeficienţii nenuli. Dacă z este o rădăcină oarecare a lui f , avem inegalitatea:
1 0 1
1 2 1
max , ,...,n n
n n
a a aaza a a a− −
−
2⎧ ⎫⎪ ⎪≤ + ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
10
Corolar 5
Considerăm polinomul
[ ]11 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a X−−= + + + + ∈
cu toţi coeficienţii nenuli şi în progresie aritmetică. Dacă z este o rădăcină oarecare a lui f , avem
inegalitatea:
1 0
1 1
max ,n n
n n
a a aza a a− −
−
⎧ ⎫⎪ ⎪≤ + ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
2
Teorema care urmează generalizează o teoremă a lui J:L.Diaz-Barrero.( J. L. Diaz-Barrero, A bound
for the square of the zeros, Missouri Journal of Mathematical Sciences, 16 no 1 (2004) 3-7).
Teorema 7
Fie ( ) ( ) ( )11 1( ) ...m mn n
m nP x x a x a x a−−= + + + + 0
m
m
polinomul monic ale cărui rădăcini sunt
2 2 21 2, ,...,
m m
nz z z . Pentru orice 1,i = n avem inegalităţile:
( )( )
201 1
1 1
max ,m
mk n kmn
i k nk
p p apz ap p≤ ≤ −
+
⎧ ⎫+⎪ ⎪≤ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Corolar 6
Considerăm polinomul
[ ]11 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a X−−= + + + + ∈
cu toţi coeficienţii nenuli. Pentru orice , toate rădăcinile lui 1m ≥ f se găsesc în interiorul discului
( )1
22 mz r≤
unde
( ) ( ) ( )
( )
121 1
120 1 1
1
max
n km m
k k j kj
k n mk
a a ar
a
− +− −
− +=
≤ ≤ − −+
⎧ ⎫+⎪ ⎪
⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ 1mj−
cu ( )1 0mla − = dacă . 0l sau l< > n
11
Observaţie
Pentru m = 1 se obţine teorema lui Diaz-Barrero.
Secţiunea se încheie cu unele rezultate numerice în care marginile găsite de noi sunt comparate cu
unele margini clasice.
2.2 Margini pentru rădăcinile polinoamelor ortogonale clasice
În secţiunea a doua am stabilit margini pentru rădăcinile polinoamelor ortogonale.
12
>
≥
Un rezultat foarte important din teoria polinoamelor ortogonale este aşa numita relaţie de recurenţă cu
trei termeni care afirmă că dacă este un şir de polinoame ortogonale, atunci există
, astfel încât:
0{ }n np ≥
1, , , 0n n n n na b c R a c +∈
(7) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n n n nxp x a p x b p x c p x n+ −= + +
unde Dacă în plus polinoamele sunt ortonormale, atunci .01 =−p 1−= nn ac .
Teorema care ne permite să aplicăm metoda matriceală în stabilirea marginilor rădăcinilor
polinoamelor ortogonale este următoarea:
Teoremă
Dacă este un şir de polinoame ortonormale, zerourile lui sunt valorile proprii ale matricei
Jacobi :
0}{ ≥nnp np
0 0
0 1 1
3 2 2
2 1
0. . .
( ). . .
0
n n
n n n
n n
b aa b a
J M
a b aa b
− − −
− −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
unde sunt daţi de relatia de ( 7 ). 00 )(,)( ≥≥ nnnn ba
Folosind aceste rezultate din teoria polinoamelor ortogonale, am demonstrat următoarele teoreme
generale care localizează rădăcinile acestor polinoame:
Teorema 8
Fie 0,....,2,1 >nμμμ . Dacă α este o rădăcină a lui atunci: np~
),min(|| 21 MM≤α unde
3 22 11 0 0 1 0 1 2 3 2 1
1 2 2 1 1
max{| | |,| | | | | |,.....,| | | | | |,| | | |}n n nn n n n
n n n
M b a b a a b a a b a12n
μ μ μ μμ μμ μ μ μ μ μ
− −− − − −
− −
= + + + + + + −
1 11 2 22 0 0 1 0 1 2 3 2 1
2 1 3 2 1
max{| | |,| | | | | |,.....,| | | | | |, | | | |}n n nn n n n
n n n
M b a b a a b a a b a 2nμ μ μμ μ μ
μ μ μ μ μ μ− −
− − − −− −
= + + + + + + −
Corolar 7
Pentru orice rădăcină α a lui există inegalitatea: np~
0 0 0 1 1 3 2 2 1 1| | max(| | | |,| | | | | |,.....,| | | | | |, | | | |)n n n n na b a a b a a b a bα − − − − −≤ + + + + + +
Corolar 8
Dacă în relaţia de recurenţă cu trei termeni avem crescător iar nna |}{| 0,0 ≥= nbn , atunci pentru
orice rădăcină α a lui există inegalitatea: np~
3 2 1| | max(| | | |,| |) ( 3)n n na a a nα − − −≤ + ≥
Corolar 9
Fie μ > 0 şi
3 0 0 1 0 1 2 3 2 11 1max(| | | |,| | | | | |,.......,| | | | | |,| | | |)n n n n nM b a b a a b a a b aμ μ μμ μ− − − −= + + + + + + 2
1μ −
4 0 0 1 0 1 2 3 2 11 1 1max(| | | |,| | | | | |,.......,| | | | | |, | | | |)n n n n nM b a b a a b a a b aμ μμ μ μ− − − −= + + + + + + 2μ −
Atunci pentru orice rădăcină α a lui avem np~
),min(|| 43 MM≤α
Teorema 9
Fie 0,....,2,1 >nμμμ şi 1,0[∈α ]. Atunci toate rădăcinile polinomului se află în reuniunea de
discuri
np~
11
0
{ | | |n
i i ii
x R x b R C }α α−
−
=
∈ − ≤∪ unde am notat:
13
20
1
21
1 1
12
| | 0
| | | | 1
| | 1
i ii i i
i i
nn
n
a i
R a a i
a i
μμ
μ μμ μ
μμ
+−
+ +
−−
⎧⎧=⎪⎨
⎩⎪⎪⎧⎪= + ≤ ≤⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪ = −⎨⎪⎩⎩
2n
n
−
10
2
1 11
2
21
| | 0
| | | | 1
| | 1
i ii i i
i i
nn
n
a i
C a a i
a i
μμ
μ μμ μ
μμ
+ +−
+
−−
⎧⎧=⎪⎨
⎩⎪⎪⎧⎪= + ≤ ≤⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪ = −⎨⎪⎩⎩
2n
n
−
Corolar 10
Dacă 1| | , 0,i i i 1R a a i n−= + = − cu 021 == −− naa atunci rădăcinile lui se găsesc în reuniunea de
discuri
np~
1
0
{ | | |n
i ii
}x R x b R−
=
∈ − ≤∪
În încheierea acestei secţiuni, am aplicat teoremele generale prezentate mai sus în cazul polinoamelor
ortogonale clasice.
1. Considerăm şirul al polinoamelor lui Laguerre, care verifică relaţia de recurentă cu trei
termeni:
0)( ≥nnL
)()()12()()1()( 11 xnLxLnxLnxxL nnnn −+ −+++−=
unde . xxLxL −== 1)(,1)( 10
Aceste polinoame sunt ortonormale şi avem
⎩⎨⎧
+=+−=12
)1(nbna
n
n
Pentru , aplicăm Corolarul 7 şi găsim că pentru orice rădăcină 5≥n α a lui există inegalitatea: nL
(8) 64|| −≤ nα
14
Folosind tabelele din D. Ştefănescu (Bounds for Real Roots and Applications to Orthogonal
Polynomials, Computer Algebra in Scientific Computing, vol 4770 (2007) 377-391) putem compara
marginea dată de (8) cu alte margini cunoscute.
Dacă pe îl scriem sub forma: nL
01
1 .........)( aXaxaxaxL mnm
mnm
nnn ±±−++= −−
+−
cu toţi , iar 0,,0 1 >≥ +mni aaa
max{ | ( ) 0}n iiA a coef x −= <
vom nota:
1
1
1 1)(+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
m
nn a
ALL ( marginea lui Lagrange )
( marginea lui D. Ştefănescu ) 2)( nLS n =
LPR ( cea mai mare rădăcină pozitivă a lui ) nL
În tabelul de mai jos am comparat marginea M = 4n - 6 cu celelalte margini:
n )(1 nLL )( nLS M LPR
5 60 25 14 12.61
8 376321 64 26 22.86
15 137, 44 10i 225 54 48.026
50 686,027 10i 2500 194 180.698
55 775.11 10i 3025 214 199.987
100 1644,86 10i 1000 394 374.984
2. Să considerăm şirul polinoamelor lui Hermite, care verifică relaţia :
RxxnHxHxxH nnn ∈+= −+ ),()(21)( 11
Şirul nu este ortonormal, iar prin ortonormalizare obţinem şirul care satisface relaţia
de recurenţă cu trei termeni:
0}{ ≥nnH 0
~}{ ≥nnH
15
)(22)(1
22)( 1
~
1
~~xHnxHnxHx nnn −+ +⋅+=
deci în acest caz pentru orice avem: 0≥n
2 12
0
n
n
a n
b
= +
=
Aplicăm Corolarul 8 şi găsim că pentru orice rădăcină α a lui există inegalitatea nH
3 2 12| | max{| | | |,| |} ( 2 1) ( )
2n n na a a n n M Hα − − −≤ + = − + − = n
Marginea pe care am găsit-o este mai bună decât cea găsită de I. Krasilov:
( ) 2 2nKras H n= −
CAPITOLUL 3 MARGINI PENTRU RĂDĂCINI UTILIZÂND MATRICE COMPANION
FROBENIUS GENERALIZATE
3.1. Matrice companion generalizate în sensul lui Linden
Există multe moduri în care putem generaliza noţiunea de matrice companion. Am preferat să folosim
generalizările date de H. Linden (H.Linden - Bounds for the zeros of polynomials from eigenvalues
and singular values of the some companion matrices, Linear Algebra and its applications, 271: 41-82
(1998)) deoarece ea ne-au permis să generalizăm atât o teoremă clasică (Carmichael- Mason) cât şi
unele teoreme recente.
Conform lui Linden, fie polinomul:
11 1( ) ... [ ]n n
n n nf x x a x a x a X−−= − − − − ∈ cu 0≠na
Presupunem că există numerele complexe astfel încât: nn cccbbb ,...,,,,...,, 21121 −
16
(9)
1 1
2 2 1
3 3 1 2
1 2 1
.
...........................n n n
a ca c ba c b b
a c b b b −
=⎧⎪ =⎪⎪ =⎨⎪⎪
=⎪⎩
şi fie matricea
(10)
1
2
1
1 2 2 1
0 0 ... 0 00 0 ... 0 0... ... ... ... ... ... ( )0 0 0 ... 0
...
n
n
n
n n n
bb
A Mb
c c c c c
−
−
− −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Atunci are loc egalitatea :
)det()( AxIxf nn −=
care arată că rădăcinile polinomului coincid cu valorile proprii ale matricei A. nf
Descompuneri de tipul (9) sunt totdeauna posibile. Cea mai simplă descompunere este când alegem:
(11) ....,,2,1
1... 121
nkacbbb
kk
n
====== −
iar în acest caz matricea A coincide cu matricea Frobenius clasică. Vom numi matricea (10) matrice
Frobenius generalizată.
3.2 Margini noi pentru rădăcinile lui nf
În această secţiune am utilizat diverse partiţii ale matricei Frobenius generalizate pentru a găsi noi
margini pentru rădăcinile polinomului . nf
Teorema 10 Dacă z este o rădăcină oarecare a polinomului , atunci există inegalitatea: nf
(12) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−++≤ 11
21111 4
21 SbcMcMz
unde { }1 max ; 2 1kM b k n= ≤ ≤ − şi 2
12
n
jj
S c=
= ∑
Putem extinde acest rezultat în cel puţin trei moduri:
1) Considerăm partiţii ale unei matrice de forma D-1AD unde 1 2( , ,......., )nD diag p p p=
17
2) Aplicăm teorema 10 polinomului )()()( xfxxg nαα −= , care ne va permite ca pentru diferite alegeri ale lui α să obţinem rezultate mai bune decât (12).
3) Încercăm alte moduri de partiţionare a matricei A
Am obţinut în acest mod următoarele teoreme:
Teorema 11
Dacă , orice rădăcină z a lui 1 2, ,......., 0np p p > nf verifică inegalitatea:
2
2 1 2 1 1 21
1| | | | ( | |) 4 | |2
n
n
pz M c M c b Sp −
⎛ ⎞≤ + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
unde 12 2 1
max { | |}n kkk n
n k
pM bp− +
≤ ≤ −−
= şi 2
1 22
2| |
nn j
jj n
pS c
p− +
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
Teorema 12
Orice rădăcină z a polinomului verifică inegalitatea : nf
( )23 1 3 1 1 3
1| | | | ( | |) 4 | |2
z M c M c b Sα α≤ + + + − + +
unde { }3 1 2max | |,| |,| |,.....,| |n n 2M b b bα − −= şi
22 2
211 23 2 3
1 2 1
...... nn n
n
cc cS c c c cb b b
α α α −
−
= − + − + + − +
Teorema 13
Dacă z este o rădăcină a lui atunci are loc inegalitatea nf
(13) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−++≤ 4
244 4
21 mSsMsMz
unde { }4 1max , ,.......,k k nM b b b+ −= 1
2 2
4 1
2 2 21 2 1
......
......
k n n
k
S c c c
s c c c
+
−
= + +
= + +
2
18
Corolar 11
Dacă z este o rădăcină a lui atunci : nf
22 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 11 1 .... .... 1 4 ....2 k k kz a a a a a a a a− −
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟≤ + + + + + + + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠n
3.3 Alegeri speciale ale matricelor Frobenius generalizate
În prima parte a acestei secţiuni am particularizat rezultatele din secţiunea 3.2, obţinâmd unele
generalizări ale câtorva rezultate demonstrate de F: Kittaneh.
Cu notaţiile din Teorema 11 considerăm
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1... ... ,...,n n np b b b p b b b p b− − −= = = , 0np ≠
Avem , pentru că 12 =M
1 2 11
1 2
.....1
.....kn k
k kn k k
b b bpb b
p b b b−− +
−
= =
De asemenea, avem
2
2 2 212 1 2 1
2 2
1 1....n n
n jj j j
j jn n n
pS c b b b c
p p P− +
−= =
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑
2
2
n
jj
a=∑
Utilizăm acum Teorema 11 şi găsim că pentru orice rădăcină z a lui nf avem:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−+≤ ∑
n
jjaaax
02
2211 411
21
adică am obţinut Teorema 1 a lui Kittaneh
Teorema 14
Dacă z este o rădăcină a lui atunci: nf
(14) ( )2
221 1 2
3
1 cos cos2
n
jj
z c c c b cn nπ π
=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟≤ + + − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑
Observaţie
Dacă b=1, (14) se reduce la teorema 2 din [Kittaneh, pag 605] care la rândul ei generalizase o
inegalitate atribuită lui A.A.Abdurakhmanov.
19
În a doua parte a secţiunii, am generalizat teorema clasică a lui Carmichael-Mason. Descompunem
matricea Frobenius generalizată astfel:
20
R= +
1
2
1
1 2 1
0 0 0 ... 00 0 ... 00 0 0 ... 00 0 ... 00 0 0 ... 00 0 0 ... 0... ... ... ... ...... ... ... ... ...0 0 0 ... 00 0 0 ...
...0 0 0 ... 0
n
n
n n n
bb
A S
bc c c c
−
−
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Observăm că şi prin calcul obţinem că: * * 0S R R S= =
{ }*1 2 1max , ,...., nS S b b b −=
2 2*1 2 ,...., n
2R R c c c= + + +
Avem deci:
( ) ( )2 **
* * * *
* *
* *
A A A S R S R
S S S R R S R R
S S R R
S S R R
= = + +
= + + +
= +
≤ +
adică
{ } 222
21121
2....,.....,,max nn cccbbbA ++++≤ −
Am demonstrat astfel:
Teorema 15
Dacă z este o rădăcină a lui atunci: nf
{ }( )21222
21121 ......,.....,,max nn cccbbbz ++++≤ −
Observaţie
Dacă alegem , din teorema 15 se obţine teorema
Carmichael-Mason.
1 2 1... 1 1,2,..., .n k kb b b şi c a k n−= = = = = =
3.4 Inegalităţi pentru partea reală a rădăcinilor
21
n
Rezultatul principal al acestei secţiuni este o inegalitate pentru partea reală a rădăcinilor polinomului 1
1 1( ) ... [ ]n nn nf x x a x a x a X−
−= − − − − ∈ , unde în formulele (9) alegem .
Rezultatul găsit de noi generalizează o teoremă a lui Kittaneh din articolul Bounds and a majorization
for the real parts of the zeros of polynomials, Proceedings of Amer Math Soc 135(2007) p 659-664.
1 2 1... nb b b b−= = = = ∈
Teorema 16
Pentru orice rădăcină a polinomului jz nf avem inegalitatea:
(15) Re jzα β≤ ≤
unde am notat:
( ) 221 1
2
1 Re Re cos2 1
n
jj
nc c c bnπα
=
⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠
∑
( ) 221 1
2
1 Re Re cos2 1
n
jj
c c c bnπβ
=
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠
∑
3.5 Margini obţinute folosind puteri ale matricelor Frobenius generalizate
În această secţiune am utilizat diverse partiţionări ale matricei unde mA { }2,3m∈ pentru a găsi noi
margini pentru rădăcinile polinomului nf . Rezultatele găsite sunt următoarele:
Teorema 17
Dacă z este o rădăcină a polinomului f atunci :
( ) ( ) 4
1
1
221
221
2
21max ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++≤ ∑
=+−≤≤
n
jjjkknk
cbbbz α
Teorema 18
Dacă z este rădăcină a lui nf ,
122
112
,n
ij
Aβ γ α=
⎛ ⎞= = ⎜
⎝ ⎠∑ ⎟ atunci avem inegalitatea :
( )122 22
1 1 11 42
z bα β α β γ⎛ ⎞⎛ ⎞
≤ + + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
b c
Teorema 19
Dacă z este o rădăcină oarecare a lui nf atunci avem inegalitatea:
( ) ( )162 2 2 2 2
1 2 1 1 21 3 1max
n
k k k k k kk n kz b b b b b b cβ α+ +≤ ≤ − =
⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ 2
Aplicaţiile numerice pe care le prezentăm mai jos, arată că marginile obţinute în această secţiune sunt
mai bune decât marginile obţinute aplicând multe dintre teoremele clasice şi totodată sunt destul de
apropiate de valorile exacte.
1. Să considerăm polinomul . Utilizând programul Mathematica, găsim că
rădăcinile polinomului sunt:
5 4 2( ) 2 1f x x x x= + − +
1 41 2 3 4z = - 0,915974-1,07179 i, z =z , z = -0,733892, =0,78292 -0,269331i, z =zz 5
deci { }max ; 1, 2,3, 4,5 1, 409kz k = ≈ .
Dacă alegem:
1
31 2 3 4 max ; 2,3, 4,5 2k
kb b b b a k b⎧ ⎫= = = = = = =⎨ ⎬⎩ ⎭
1k
k k
acb −= 1,5k =
utilizând Teorema 17, vom găsi că pentru orice rădăcină z a lui f avem inegalitatea:
4 12,23355 1,87z ≤ ≈
Pentru , din Teorema 17 se obţine Corolarul 2.2 din F.Kittaneh, K. Shebrawi,
Bounds for the zeros of polynomials from matrix inequalities II ( nepublicat), care aplicat polinomului
1 2 1... 1nb b b −= = = =
f de mai sus ne dă marginea mai slabă:
4 18 2,059z ≤ ≈
Dacă aplicăm Teorema 19 vom găsi marginea:
6 19,31725 1,638z ≤ ≈
care este mai bună decât cea dată de Teorema 17
22
2. Considerăm polinoamele:
23
15 4 31 2 3f x x x x= + + − −
4 3 22 2 4 1f x x x x= − + − +
6 23 2 1f x x x= + + +
5 4 34 4 3 2 1f x x x x= − − − +
5 4 35 2 3 2 1f x x x x= − + − +
4 3 26 2 3 4 1f x x x x= − − − +
În tabelul de mai jos, am notat 1M , 2M , M marginile date de Teoremele 17, 19, respectiv valoarea
maximă a modulului rădăcinilor. Avem următoarele valori numerice:
Polinomul 1M 2M M
1f 2,577 2,298 1,655
2f 2,682 2,545 1,860
3f 1,934 1,733 1,305
4f 4,675 4.671 4,661
5f 2,580 2,305 1,691
6f 3,332 3.321 3,265
Să remarcăm că marginea 2M este cu doar 10 miimi mai mare decât cea mai mare rădăcină a
polinomului 4f .
În continuare vom compara marginea 2M cu câteva margini clasice. Vom nota:
0 11 max i
C i nn
aMa≤ ≤ −
⎧ ⎫⎪= + ⎨⎪ ⎪⎩ ⎭
⎪⎬ ( marginea lui Cauchy)
12 2 2 2
0 11 ... nCM
n n n
a aaMa a a
−⎛ ⎞⎜= + + + +⎜⎝ ⎠
1 ⎟⎟
( marginea lui Carmichael-Mason)
12 2 2
0 1 0 11 ... n nW
n n n
a a a a aMa a a
−⎛ ⎞− −⎜ ⎟= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
2
(marginea lui Williams)
( )21 1
1 1 12JLRM a a 4δ⎛ ⎞= + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
unde { }max ; 2,3,...,ka k nδ = =
(marginea lui Joyal, Labelle şi Rahman, care îmbunătăţeşte marginea clasică a lui Cauchy).
Rezultatele sunt prezentate în tabelul următor:
Polinomul 2M CM CMM WM JLRM
1f 2,298 4 4 3,741 3,302
2f 2,545 5 4,795 8,717 3,561
3f 1,733 3 2,645 2,828 2
4f 4.671 5 5,567 7,071 4,791
5f 2,305 4 4,358 6,928 4,791
6f 3.321 5 5,567 6,164 3,561
Se observă că în fiecare caz, marginea 2M este mai bună decât fiecare dintre marginile cu care este
comparată.
Polinoamele 2f şi 6f au toţi coeficienţii nenuli, deci pentru ele putem considera încă o margine clasică
şi anume marginea lui Kojima:
0 21
1 2 1
max , 2 ,..., 2 , 2n nK
n n
a aaMa a a a
− −
−
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
1a
Comparând marginile 2M şi KM vom găsi următoarele rezultate:
Polinomul 2M KM
2f 2,545 4
6f 3.321 4
24
3.6 Margini inferioare pentru modulele rădăcinilor
În această secţiune am găsit margini inferioare pentru rădăcinile lui nf folosind matricea 1A−
CAPITOLUL 4
CRITERII DE IREDUCTIBILITATE DEDUSE DIN STUDIUL MARGINILOR
RĂDĂCINILOR
Rezultatele din acest capitol sunt incluse în articolul An irreducibility criterion for polynomials
with integers coefficients (care a apărut in Analele Universităţii nr. 2/ 2008).
4.1. Trei criterii de ireductibilitate
Legătura dintre studiul marginilor rădăcinilor polinoamelor cu coeficienţi întregi şi criteriile de
ireductibilitate care pot fi deduse cunoscând aceste margini este dată de următoarea teoremă a lui
Polya şi Szego.
Teoremă (Polya-Szego)
Dacă f este un polinom cu coeficienţi întregi şi există un întreg q 2 astfel încât: ≥
a) f (q-1)≠ 0
b) f (q) este un număr prim
c) Rez < 12
q − pentru orice rădăcină z a lui f .
atunci f este ireductibil în [X].
Un prim criteriu de ireductibilitate se poate obţine dacă utilizăm majorarea pentru partea reală a
rădăcinilor dată de inegalitatea (15). Cu notaţiile din capitolul precedent, acest criteriu se poate
formula astfel:
Teorema 20
Dacă 11 1( ) ... [ ]n n
n n nx x a x a x a X−−= − − − − ∈ 0b >, , şi există un întreg q astfel încât: 2≥f
25
26
f q1) − 0≠ ( 1)
2) ( )f q este număr prim
3) ( ) 221 1
2
1 1 Re Re cos2 1
n
jj
q c c c bnπ
=
⎛ ⎞> + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠
∑
atunci f este ireductibil în [X].
Utilizând teorema Polya-Syego, J Brillhart, M Filaseta şi A Odlyzko au demonstrat în articolul On an
irreducibility theorem of A Cohn, Can. J, Math, 5 (1981) 1055-1059 o teoremă care poate fi
reformulată astfel:
Teoremă (Brillhart, Filaseta şiOdlyzko)
Fie f un polinom cu coeficienţi întregi, şi . Dacă există un întreg b 2 astfel încât: 0na > 1 0na − ≥ ≥
1) f (b-1)≠ 0
2) f (b) este un număr prim
3) 2 4 12
mb + +≥
unde {1 max ; 0, 2kn
m a k na
= = }− , atunci f este ireductibil în [X].
Al doilea criteriu de ireductibilitate, dedus din studiul marginilor rădăcinilor îmbunătăţeşte rezultatul
lui Brillhart, Filaseta şiOdlyzko. Avem nevoie pentru început de două leme.
Lemă ( L. Panaitopol )
Fie numerele reale 1 2, ,..., nx x x şi 1 2, ,..., ny y y astfel încât:
1) 1 2 ... 0nx x x≥ ≥ ≥ ≥
2) 1 21
...min ; 1ny y ym kk
+ + +⎧ ⎫= ≤⎨ ⎬⎩ ⎭
n≤
3) 1 21
...max ; 1ny y yM k nk
+ + +⎧ ⎫= ≤ ≤ ⎨ ⎬⎩ ⎭
k
Atunci avem inegalitatea:
1 11 1 1
n n n
k k kk k k
m x x y M x= = =
≤ ≤∑ ∑ ∑
Lema 4
Fie f este un polinom cu coeficienţi întregi, şi şi fie 0na > 1 0na − ≥
1 2...1 max ; 1,2,..., 1n k n k n
n
a a aM k
a k− − − −⎧ ⎫+ + +
= =⎨ ⎬⎩ ⎭
n −
Dacă q este un întreg şi 2≥2 4 1
2Mq + +
> , atunci f nu are rădăcini în mulţimea:
1; Re( )2
A z z b⎧ ⎫= ∈ ≥ −⎨ ⎬⎩ ⎭
Acum suntem în măsură să enunţăm criteriul de ireductibilitate.
Teorema 21
Fie f un polinom cu coeficienţi întregi, şi . Considerăm numărul 0na > 1 0na − ≥
1 2...1 max ; 1,2,..., 1n k n k n
n
a a aM k
a k− − − −⎧ ⎫+ + +
= =⎨ ⎬⎩ ⎭
n −
Dacă există un întreg q 2 astfel încât: ≥
1) f (q-1)≠ 0
2) f (q) este un număr prim
3) 2 4 12Mq + +
≥
atunci f este ireductibil în [X].
Observaţie
Condiţia 3) din teorema 21 este mai puţin restrictivă decât condiţia 3) din teorema lui Brillhart,
Filaseta şiOdlyzko, pentru că este clar că avem inegalitatea M m≤ .
Al treilea criteriu utilizeză norma Bombieri şi are următorul enunţ.
Teorema 22
Fie [ ]f X∈ monic care nu admite rădăcini reale. Dacă există un număr întreg astfel încât. 2q ≥
1) 0− ≠ ( 1)f q
27
2) ( )f q este număr prim
3) [ ]22
112nq C f> ⋅ − +
atunci f este ireductibil în [ ]X .
Teorema 22 poate fi aplicată chiar în condiţii mai generale. Mai precis, avem următorul rezultat.
Propoziţia 1
Fie [ ]f X∈ monic. Dacă există un număr întreg astfel încât. 2q ≥
1) ( 1)f q − ≠ 0
2) ( )f q este număr prim
3) [ ]22
112nq C f> ⋅ − +
4) ( ) 0f z ≠1 ,2
z q⎡ ⎞∀ ∈ − +∞⎟⎢⎣ ⎠
atunci f este ireductibil în [ ]X .
4.2. Aplicaţii numerice In această secţiune am prezentat unele aplicaţii numerice ale rezultatelor din 4.1.
Bibliografie selectivă
[1.] H.E. Bell, Gershgorin's theorem and the zeros of polynomials, Amer. Math. Monthly 72 (1965)
292-295.
[2.] J. Brillhart, M. Filaseta, A. Odlyzko, On an irreducibility theorem of A Cohn, Can. J, Math, 5
(1981) 1055-1059.
[3.] R.D. Carmichael, T.E. Mason, Note on the roots of algebraic equations, Bull. Amer. Math. Soc. 21
(1914) 14-22.
[4.] E. Deutsch, Matricial norms and zeros of polynomials, Linear Algebra Appl. 3 (1970) 483-489;
ibid. 6 (1973) 143-148.
[5.] J. L. Diaz-Barrero, A bound for the square of the zeros, Missouri Journal of Mathematical
Sciences, 16 no 1 (2004) 3-7.
[6.] P. Erdös, On the distribution of roots of polynomials, Ann. of Math. (2) 51 (1950) 105-119.
28
29
[7.] M. Fujii, F. Kubo, Operator norms as bounds for roots of algebraic equations, Proc. Japan Acad.
Sci. 49 (1973) 805-808.
[8.] J.V. Gonçalves, L'inégalité de W. Specht, Univ. Lisbon Rev. Fac. Ci. II A 1 (1950) 167-171.
[9.] P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Vol. I (Wiley, New York, 1974) 433-
552.
[10.] R.A.Horn, RC Johnson Analiza matricială Editura Theta, Bucureşti 2001.
[11.] J. C. Hou, H. K. Du, Norm inequalities of positive operator matrices, Integral Equations Operator
Theory 22 (1995) 281-294.
[12.] E.K. Ifantis. C.B. Kouris, A Hilbert space approach to the localization problem of the roots of
analytic functions, Indiana Univ. Math. J. 23 (1973) 11.
[13.] E.K. Ifantis, C.B. Kouris, Lower bounds for the zeros of analytic functions, Numer. Math. 27
(1977) 239-247.
[14.] A. Joyal, G. Labelle, Q.I. Rahman, On the location of zeros of polynomials, Canad. Math. Bull. 10
(1967) 53-63.
[15.] L. Laszlo, Matrix methods for polynomials, Linear Algebra Appl. 36 (1981) 129-131.
[16.] H.Linden - Bounds for the zeros of polynomials from eigenvalues and singular values of the some
companion matrices , Linear Algebra and its applications, 271:41-82(1998).
[17.] H. Linden, Numerical radii of some companion matrices and bounds for the zeros of polynomials,
în Analitic and Geometric Inequalities and Applications (T. M. Rassias, H. M. Srivastava-editori),
Kluwer Academic Publishers (1999) 205-229.
[18.] H. Linden, Some matrix methods in the location of the zeros of generalized polynomials,
Seminarberichte Fachb. FeU Math. Hagen 78 (2007) 145-156.
[19.] F.Kittaneh - Bounds for the zeros of polynomials from matrix inequalities, Arch der Mathematik
81(2003) p 601-608.
[20.] F.Kittaneh – Bounds and a majorization for the real parts of the zeros of polynomials, Proceedings
of Amer Math Soc 135(2007) p 659-664.
[21.] M. Marden, The Geometry of the Zeros of a Polynomial in a Complex Variable (Amer.
Mathematical Soc., Providence, RI, 1949).
[22.] M. Mignotte, Mathematics for Computer Algebra (Springer, New York, 1992).
[23.] M. Mignotte, An inequality on the greatest roots of a polynomial, Elem. Math. 46 (1991) 85-86.
[24.] M. Mignotte, D. Ştefănescu, polynomials, an algorithmic approach, Springer Singapore, (1999).
[25.] L.Panaitopol, Minorations pour les measures de Mahler de certains polynomes particuliers, Journal
de Theorie des Nombres de Bordeaux vol 12 nr 1 (2000).
30
[26.] L. Panaitopol, D. Ştefănescu, Some criteria for irreducibility of polynomials, Bull. Math. Soc. Sc.
Math. Roumanie, 29(77), (1985), 69-74.
[27.] L. Panaitopol, D. Ştefănescu, On generalized difference polynomials, Pacific J. Math., 143, (1990)
341-348.
[28.] L. Panaitopol, D. Ştefănescu, Inequalities on polynomial heights, JIPAM, vol 2, issue 1 article 7
(2001).
[29.] L. Panaitopol, D. Ştefănescu, New inequalities on polynomial divisors, JIPAM, vol 5, issue 4
article 89 (2004).
[30.] D. Ştefănescu, Bounds for Real Roots and Applications to Orthogonal Polynomials, Computer
Algebra in Scientific Computing, vol 4770 (2007) 377-391.
[31.] D. Ştefănescu, Inequalities on polynomial roots, MIA,vol 5 no 3 (2002) 335-347.
[32.] G. Szegö, Orthogonal Polynomials, AMS (1975).
[33.] A. van der Sluis, Upper bounds for roots of polynomials, Numer. Math. 15 (1970) 250-262.
[34.] J.L. Walsh, On the location of roots of certain types of polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 24
(1922) 163-180.
[35.] R. Zamfir, Refining some inequalities, JIPAM Vol 9 Issue 3 (2008).
[36.] R. Zamfir, An irreducibility criterion for polynomials with integers coefficients, Analele
Universităţii nr 2/ 2008.
[37.] R. Zamfir, Bounds for polynomials zeros using the companion matrix ( va apare in Mathematica
Balkanica).