SISTEME LINIARE CU 1 GLDVibraii libere amortizate. Soluii n domeniul timp

n cazul n care sistemul posed capacitate de amortizare micarea acestuia nceteaz dup un anumit interval de timp. Prezena amortizrii se manifest prin disiparea energiei n timp.Modelul de calcul pentru un sistem cu 1GLD care vibreaz liber amortizat este prezentat n fig. 1a i 1b,

Fig. 1 Modelul sistemului cu 1 GLD n vibraia liber amortizat

Forele care i fac echilibru n vibraia liber amortizat sunt: Fi(t) + Fa(t) + Fe(t) = 0

Ecuaia micrii este dat de relaiile (1) sau (2)(1) sau

(2)

c este coeficientul de proporionalitate al amortizrii sau coeficientul de amortizare vscoas.Se propune o soluie particular de forma (3)Ecuaia caracteristic a ecuaiei (2) are forma: (4) i are soluiile: (5) Funcie de raportul dintre b i w se disting urmtoarele trei cazuri:

b.1. Amortizare critic Valoarea coeficientului de amortizare pentru care descriminantul este nul se numete coeficient de amortizare critic, ccr. bcr=w ; c=ccr (6)

n = x fraciunea din amortizarea criticccr amortizarea critic

Coeficientul de amortizare critic este o caracteristic proprie a sistemului oscilant i se exprim funcie de caracteristicile acestuia: mas i rigiditate. Soluia ecuaiei micrii amortizate critic este: (7)

Constantele C1 i C2 se determin din condiiile iniiale: (8)

Soluia final a ecuaiei de micare este: (9)

Relaia (9) arat c micarea corespunztoare acestui caz este aperiodic, dup cum se poate observa i din fig. 2 unde este reprezentat grafic micarea amortizat critic.

b.2. Amortizare supracritic Atunci cnd valoarea coeficientului de amortizare este mai mare dect coeficientul de amortizare critic se consider c sistemul are amortizare supracritic. c>ccr ; b>w ; x=n>1 Rdcinile ecuaiei caracteristice (4) sunt reale i negative: (10)Se propune o soluie de forma (11)

sau (12)

Constantele M i N se determin din condiiile iniiale

(13)

b.3. Amortizare subcritic Acesta este cazul care intereseaz pentru structurile de construcii c

n care M, N sau C1 i C2 se determin din condiiile iniiale:

(18)

Soluia ecuaiei se mai poate scrie sub forma: (19)

unde

(20)Micarea descris de ecuaia (19) este o micare armonic de pulsaie w* i de amplitudine Ae-bt care descrete exponenial cu timpul (o asemenea micare se mai numete pseudoarmonic).

Fig.4. Curba deplasrilor n vibraia liber amortizat subcritic

Decrementul logaritmic al amortizrii, L, reprezint logaritmul natural al raportului dintre dou amplitudini succesive decalate cu o perioad (21)

unde T* este pseudoperioada

Structurile de construcii au fraciunea din amortizarea critic mai mic de 20% (tabelul nr.1) i deci se poate neglija influena amortizrii asupra caracteristicilor proprii ale sistemului, astfel ca: (22)

Nr.crt. Tipul structurii Fraciunea din amortizarea critic, x 1Construcii cu structura din beton armat monolit 0.02...0.14 2Construcii cu structura din zidrie sau prefabricate 0.06...0.18 3Construcii cu structur metalic 0.02...0.08 4Poduri de beton armat 0.03...0.16 5Poduri metalice 0.02...0.08 6Construcii masive 0.05...0.10 7Terenuri de fundaie 0.06...0.30 8Nisip compact 0.10