8/7/2019 DIFERENTE_FINITE

http://slidepdf.com/reader/full/diferentefinite 1/2

Aproximarea cu diferenţe

S-a observat că derivarea numerică a funcţiilor aproximate prin polinoame deinterpolare sau de regresie nu ridică probleme, dacă gradul polinomului nu este prea

ridicat. Totuşi, în practica analizei numerice nu toate derivatele numerice sînt necesare,dar există derivate de ordin relativ scăzut care trebuiesc calculate pentru funcţii de formenecunoscute.

Formulele pentru aproximarea derivatelor se numesc aproximări cu diferenţefinite. Vom construi aproximarea cu diferenţe finite prin interpolarea polinomială.

Pentru a ilustra derivarea cu aproximarea prin diferenţe finite, vom considera ofuncţie f(x) şi presupunem că prima derivată a ei, pe punctul x=x0 urmează a fi evaluată.Dacă se cunosc valorile f -1=f(x0-h), f 0=f(x0) şi f 1=f(x0+h), unde h este intervalul cuprinsîntre două puncte consecutive pe axa x-ilor, atunci f 0’=f’(x0) poate fi aproximat pringradientul interpolării liniare ( trei linii de interpolare).

Aceste trei aproximări folosind linile de interpolare sînt numite aproximarea cu

diferenţe înainte, înapoi, respectiv centrale. Formulele matematice corespunzătoare sînt:

Aproximarea cu diferenţe înainte:h

  f    f    f   01

0'

−

≈

Aproximarea cu diferenţe înapoi:h

  f    f    f   10

0'

−−

≈

Aproximarea cu diferenţe centrale:h

  f    f    f  

2'

11

0

−−

≈

Aproximarea cu diferenţe finite este închisă relativ la interpolarea polinomială. Săconsiderăm p+1 abscise xa, x b, …,xg cu ordonatele corespondente f a, f  b, …,f g.Interpolarea polinomială potrivită pe aceste puncte poate fi exprimată prin interpolarea

Lagrange. Interpolarea polinomială potrivită pe p+1 puncte este de ordin p cel mult.Aşadar pînă la derivata de ordin p, pot fi evaluate derivatele. Derivata polinomului deinterpolare pe punctele a,b,…, g se numeşte aproximare cu diferenţe finite. Depinzîndfată de care abscise xa, x b,…,xg, este evaluată derivata şi de ordinul derivatei, pot fiobţinute o serie de formule de aproximare cu diferenţe.

-h 0 h

f(x)

f(x)

x

Diferenţa înainte

-h 0 h

f(x)

f(x)

x

Diferenţa înapoi

-h 0 h

f(x)

f(x)

x

Diferenţa centrală

8/7/2019 DIFERENTE_FINITE

http://slidepdf.com/reader/full/diferentefinite 2/2