Raport stiintific

privind implementarea proiectului in perioada Ianuarie – Decembrie 2014

Determinarea tensorului mediu al macrotensiunilor in modelul armonicelor

sferice generalizate cu starea fundamentala de tip Voigt: program de calcul.

Derivarea acestui model a fost Obiectivul 2 al proiectului propus si poate fi gasita in

articolul publicat recent de Popa et. al. (2014) in Journal of Applied Crystallography (factor

de impact 3.95). Potrivit acestui model tensorul deformarii ponderat de textura in sistemul de

referinta legat de proba poate fi reprezentat dupa cum urmeaza:

evenlgRggegfl

l

l

lili ==∑ ∑=

+

=

,)()()(0

2

0

)12(

1n

nn (1)

In aceasta ecuatie prin ),,( 201 ϕϕ Φ=g am notat unghiurile Euler ce descriu orientarea

cristalitelor in sistemul probei, prin )(gRln sistemul ortonormat complet de functii sferice

generalizate definite in spatiul real si simetrizate conform cu grupurile punctuale ale probei si

cristalului. Coeficientii nilg sunt obtinuti prin fitarea deformarilor calculate cu acest model

functie de directiile in proba si in cristalit cu deformrile masurate. Exista doua moduri de

fitare: prin cele mai mici patrate, dupa determinarea in prealabil a deplasarilor maximelor de

difractie prin fitarea picuilor individuale sau prin fitarea intregului spectru de difractie, in

particular prin fitarea Rietveld.

Tinind cont de legea Hooke putem scrie imediat dependenta de orientare a tensorului

macrotensiunilor ponderat de textura:

evenlggRgCgsgfl

l

l

jjlljiji ==∑ ∑ ∑

=

+

= =

,)()()()(0

2

0

)12(

1

6

1n

nnρ (2)

1

Aici )(gCij este tensorul modulilor “stiffness” pentru monocristal in sistemul probei ce se

determina din tensorul constantelor elastice ijC in sistemul cristalului prin formula:

∑∑= =

−=6

1

6

1

1 )()()(m k

kjkmkimjij gQCgPgC ρρ (3)

Aici (si in (2)) am notat )2,2,2,1,1,1(=iρ iar prin )(gPim si )(gQkj matricile transformarii

tensorilor deformarii si tensiunii din sistemul cristalului in sistemul probei si invers.

Elementele acestor matrici sunt sume de produse de cite doua elemente ale matricii Euler.

Integrind ecuatiile (1) si (2) pe spatiul Euler gasim tensorii medii ai deformarilor si

tensiunilor. Avind in vedere ortogonalitatea functiilor sferice nnnn δδ ′′′′ =∫∫∫ llll RgdgR )( este de

asteptat ca prin integrare pe spatiul Euler in ecuatia (1) sa fie diferit de zero doar termenul cu

indicele 0=l iar in ecuatia (2) doar termenii cu 4≤l caci functile )(gCij pot fi dezvoltate in

baza )(gRln pina la indicele 4=l . Deci tensorii medii ai deformarii si tensiunii sunt:

)6,1(10 == ige ii (4)

evenlgCsl

l

jjljijli ==∑ ∑ ∑

=

+

= =

,4

0

)12(

1

6

1

2

n

nn ρ (5)

Aici nijlC sunt coeficientii Fourier in baza n

lR ai modulelor “stiffness”:

∫∫∫= )()( gRgCdgC lijijlnn (6)

Sunt 3852 coeficienti care, in principiu, pot fi calculate analitic. Desi cei mai multi au

valoarea zero, efortul calculului analitic este prea mare. Ramine calculul numeric pentru care

a fost elaborat programul de calcul descris pes curt in continuare.

Programul “CIJRLN.FOR” citeste fisierul de intrare “CSC.TXT” continind

constantele elastice de monocristal ijC si calculeaza cei 3852 coeficienti Fourier conform cu

formula (6) prin integrarea numerica (subroutina INTEUL) a functiei (CR=CIJ*RLNIU).

Integrarea dupa unghiurile 21,ϕϕ se realizeaza foosind un algoritm Simpson cu un numar

2

impar de noduri determinat prin citeva incercari successive si un algoritm Gauss-Legendre cu

10 noduri pentru integrarea dupa 0Φ . Armonicele sferice generalizate in spatiul sunt calculate

conform cu Tabelul 7 din articolul Popa et. al. (2014) (rutinele GMNV, RLNIU, QLMN).

Mai departe, matricea modulilor “stiffness” in sistemul de referinta al probei (CIJ) este

calculata din constantele elastic din fisierul de intrare si matricile de transformare (P si Q) ale

tensorilor deformare/tensiune intre cele doua sisteme de referinta. Aceste matrici sunt

calculate din matricea Euler (A) folosind formulele (2), (71) si (72) din Popa (2008) (de

asemenea in Popa (2000)).

Programul sursa, fisierul de intrare si segmente din fisierul de iesire sunt date in

materialul insotitor al acestui raport.

Bibliografie

Popa, N. C., Balzar, D and Vogel S. C. (2014). J. Appl. Cryst., 47, 154-159.

Popa, N. C. (2000). J. Appl. Cryst. 33, 103 - 107.

Popa, N. C. (2008) Microstructural Properties: Texture and Macrostress Effects, Chapter 12,

p. 332-375 in Powder Diffraction, Theory and Practice, eds. R. E. Dinnebier and

S. J. L. Billinge, RSC, Cambridge

3