despre complementarea about … complementarea... · informaticĂ / informatics revista / journal...

INFORMATICĂ / INFORMATICS

Revista / Journal „ECONOMICA” nr. 3 (85) 2013

118

DESPRE COMPLEMENTAREA METODELOR JEFFERSON,

ADAMS, WEBSTER ŞI HUNTINGTON-HILL

Dr. hab., prof. univ. Ion BOLUN, ASEM

Sunt propuse complementări de depăşire a situaţiilor, în care folosirea metodelor Jefferson, Adams, Webster şi Huntington-.Hill de luare a deciziilor colective multiopţionale prin votare cu reprezentare proporţională nu permite obţinerea soluţiei scontate.

Cuvinte-cheie: luarea de decizii, metodă, votare, reprezentare proporţională, situaţie, complementare.

1. Introducere. La luarea de decizii colective

multiopţionale prin votare cu reprezentare proporţională, se folosesc ori s-au folosit asemenea metode (reguli „voturi-decizie”) ca: Jefferson [2] propusă în 1792, Webster [1, 2] propusă în 1832, Huntington-.Hill [2] propusă în 1911 ş.a. În acelaşi scop, în 1822, a fost propusă [2] şi metoda Adams.

Cele mai cunoscute practici privind folosirea sistemelor de votare sunt, probabil, cele ce ţin de scrutinele electorale. De aceea, în continuare, aspectele abordate privind asemenea sisteme se vor cerceta, fără a diminua din universalitate, prin prisma scrutinelor electorale cu reprezentare proporţională de liste de partid (coaliţii, blocuri).

Fie: M – numărul total de mandate în organul electiv; n – numărul de partide care au atins sau depăşit pragul electoral; V – numărul total de voturi exprimate valabil pentru cele n partide; Vi – numărul de voturi exprimate în favoarea partidului i, xi –

numărul de mandate ce se alocă partidului i, ni ,1= . Toate cele patru metode nominalizate mai sus au la bază găsirea unui astfel de divizor Q*, ca suma

valorilor rapoartelor Vi/Q*, ni ,1= , rotunjite până la

întregi obţinând şirul de valori xi, ni ,1= , să satisfacă egalitatea x1 + x2 + … + xn = M. Deosebirea dintre ele constă doar în modalitatea rotunjirii până la întregi a acestor rapoarte: prin lipsă – la metoda Jefferson, prin adaos – la metoda Adams, în mod ordinar – la metoda Webster şi în baza mediei geometrice – la metoda Huntington-Hill.

După cum este demonstrat în [3], în unele cazuri, de exemplu la valori Vi egale pentru două sau mai multe partide, se poate întâmpla ca un asemenea divizor Q* să nu existe. Aceasta însă nu înseamnă că în aşa cazuri nu poate fi obţinută soluţia scontată, determinată de valorile respective ale mărimilor xi,

ni ,1= . Doar că în acest scop sunt necesare operări

ABOUT COMPLEMENTATION OF JEFFERSON, ADAMS,

WEBSTER AND HUNTINGTON-HILL METHODS

Hab.Dr., Professor Ion BOLUN, ASEM

Complementation to avoid situations, in which

the use of Jefferson, Adams, Webster and Huntington-.Hill methods when taking collective multi optional decisions by voting with proportional representation does not lead to the desired solution are proposed.

Key words: taking decisions, method, voting, proportional representation, situation, complementation.

1. Introduction. When taking collective multi

optional decisions by voting with proportional representation, are being used or were used such methods (“votes-decision” rules) as: Jefferson [2] proposed in 1792, Webster [1, 2] proposed in 1832, Huntington-.Hill [2] proposed in 1911, etc. With the same aim, in 1822, the Adams method was proposed, too [2].

The most known practices with reference to the use of voting systems are, probably, the ones related to elections. Therefore, further, the addressed aspects, referring the indices of disproportionality will be investigated (not harming the universality) through the party-lists (blocks, coalitions) elections with proportional representation.

Let: M – number of seats in the elective body; n – number of parties that have reached or exceeded the representation threshold; V – total valid votes cast for the n parties; Vi – total valid votes cast for party i, xi – number of seats to be allocated to party i, ni ,1= . All the four nominated methods are based on the retrieve of a such divisor Q*, that the sum of ratios Vi/Q*,

ni ,1= , values, rounded to integers obtaining the set

of values xi, ni ,1= , will satisfy the equality x1 + x2 + … + xn = M. The distinction between them consists in the modality of rounding to integer of these ratios only: down – at Jefferson method, up – at Adams method, in the ordinary mode – at Webster method and basing on geometry average – at Huntington-Hill method.

As shown in [3], in some cases, by example at values of Vi equal for two or more parties, it may happen that such a divisor Q* does not exist. This is not to say that in such cases the expected solution, determined by the respective values of quantities xi,

ni ,1= , cannot be obtained. But in this purpose additional operations are needed. Two such procedures are proposed in [3]. Both of these procedures shall provide, first, the interval [Q*(-);



119

suplimentare. Două asemenea proceduri sunt propuse în [3]. Ambele aceste proceduri prevăd determinarea, mai întâi, a intervalului [Q*(-); Q*(+)], suficient de îngust pentru confirmarea faptului că divizorul Q* nu există. Nu este propus însă cum trebuie determinat acest interval. În această lucrare, se propun complementări de depăşire a situaţiilor, pentru care divizorul Q* nu există, fără a fi necesară determinarea intervalului [Q*(-); Q*(+)]. Fără a pierde din universalitatea rezultatelor, se va considera că au loc inegalităţile V1 ≥ V2 ≥ … ≥ Vn – inegalităţi ce pot fi obţinute prin renumerotarea partidelor.

2. Metoda Jefferson şi complementarea acesteia Metoda Jefferson este descrisă la paşii 1, 2, 3-

Jefferson, iar complementarea acesteia constă în înlocuirea pasului 3-Jefferson cu cel 3 şi, de asemenea, paşii suplimentari 4 şi 5.

1. Se calculează [2] divizorul standard (în unele lucrări acesta se numeşte cotă-standard) Q = V/M; apoi

fiecărui partid ni ,1= i se alocă, iniţial, un număr de mandate egal cu partea întregilor raportului Vi/Q, adică xi = ai = ⎣Vi/Q⎦.

2. Dacă x1 + x2 + … + xn = M, atunci distribuirea mandatelor s-a încheiat, fiind proporţională.

3-Jefferson. La metoda Jefferson, dacă a1 + a2 + … + an ≠ M, atunci, în mod iterativ, folosind mai multe încercări, se găseşte un nou divizor Q* < Q, valoarea împărţirii la care a mărimii Vi rotunjită până la întregi prin lipsă şi se va considera numărul de mandate de distribuit partidului i; valoarea Q* se va alege astfel ca să aibă loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M. Distribuirea mandatelor s-a încheiat (se poate întâmpla ca un asemenea divizor Q* să nu existe).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn). 4. Determinarea noii valori a mărimii Q şi a

mulţimii G de partide, pretendente la creşterea xi cu o

unitate: Qi := Vi/(xi + 1), ni ,1= ; Q := max{Q1, Q2,

…, Qn}; G := {k1, k2, …, kr}, unde rlQQlk ,1, == .

5. Redistribuirea mandatelor conform noii valori a mărimii Q:

5.1. Dacă r < ΔM, atunci rlxxll kk ,1,1: =+= ,

ΔM := ΔM – r şi trecere la pasul 4. 5.2. Altfel, Mlxx

ll kk Δ=+= ,1,1: . Distribuirea mandatelor s-a încheiat, fiind, totuşi, neproporţională.

Expunerea desfăşurată, cu argumentarea obţinerii noii valori a mărimii Q la pasul 4 de complementare a metodei Jefferson, este următoarea.

Pasul 4. Reducerea mărimii Q cu cea mai mică valoare δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, care deja conduce la creşterea xi cu o unitate pentru un singur partid, cel j, sau pentru câteva partide cu valori ale δi egale cu δj. Aici δi este valoarea minimă, micşorarea cu care cea a mărimii Q ar conduce la creşterea xi cu o unitate:

Q*(+)], narrow enough to confirm that the divisor Q* does not exist. It is not proposed, however, how to determine this interval. In this paper complementations to overcome situations, when the divisor Q* Q* does not exist, without the need to determine the interval [Q*(-); Q*(+)], are proposed. Without losing the universality of results, it will be considered that take place inequalities V1 ≥ V2 ≥ … ≥ Vn - inequalities that can be achieved by renumbering the parties.

2. Jefferson method and its complementation Jefferson method is described in steps 1, 2, 3-

Jefferson, and its complementation consists of replacing the step 3-Jefferson with the step 3, and also the additional steps 4 and 5.

1. Calculate [2] the standard divisor (in some papers it is called standard quota) Q = V/M, then to

each party ni ,1= to allocate, initially, a number of seats equal to the integer part of the ratio Vi/Q, ie xi = ai

= ⎣Vi/Q⎦.. 2. If x1 + x2 + … + xn = M, then the distribution

of seats ended, this being proportional. 3-Jefferson. At Jefferson method, if a1 + a2 + …

+ an ≠ M, then, iteratively, using several attempts, it finds a new divisor Q* < Q, the value of the division to which of Vi rounded down to integer will be considered the number of seats to be distributed to party i; the value of Q* will be chosen so as to have the equality x1 + x2 + … + xn = M. The distribution of seats is completed (it may happen that such a divisor Q* does not exist).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn). 4. Determining the new value of Q and the set G

of parties, candidates for the increase of xi by one unit:

Qi := Vi/(xi + 1), ni ,1= ; Q := max{Q1, Q2, …, Qn}; G

:= {k1, k2, …, kr}, where rlQQlk ,1, == .

5. Redistribution of seats according to the new value of Q:

5.1. If r < ΔM, then rlxxll kk ,1,1: =+= , ΔM :=

ΔM – r and proceed to step 4.

5.2. Otherwise, Mlxxll kk Δ=+= ,1,1: .

Distribution of seats ended, this being, however, non proportional.

The detailed exposure, with arguments for obtaining the new value of Q in step 4 of complementing the Jefferson method, is the following.

Step 4. Decreasing the size of Q with the lowest value δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, which already leads to the increase of xi by one for a single party, the j one, or for several parties with values of δi equal to δj. Here δi is the minimum value, the decreasing with which of Q would lead to the increase of xi with one unit:



120

4.1. Se determină δi conform formulei 4.1. Determining δi according to the formula

δi := Q – Vi/(xi + 1), ni ,1= , (1) obţinute din condiţia evidentă

Vi /(Q – δi) = xi + 1. (2) Astfel, cea mai mare valoare a mărimii Qi < Q,

care deja conduce la creşterea xi cu o unitate, faţă de folosirea mărimii Q, este

Qi = Q – δi = Vi/(xi + 1), ni ,1= . (3) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, căreia îi corespunde

Q := max{Q1, Q2, …, Qn} = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= 1max

,1 i

i

ni xV

. (4)

Este uşor de observat că regula (4) de determinare a noii valori a mărimii Q şi, respectiv, a partidului, căruia trebuie alocat următorul mandat, este similară regulii „voturi-decizie” a metodei d’Hondt [1]. Astfel, metoda Jefferson complementată presupune alocarea iniţială

fiecărui partid ni ,1= a unui număr de mandate, egal cu valoarea raportului Vi/Q rotunjită până la întregi prin lipsă, adică xi = ai = ⎣Vi/Q⎦; apoi, dacă a1 + a2 + … + an ≠ M, atunci consecutiv pentru unele partide se măreşte xi cu o unitate în ordinea determinată de regula (4), adică de fiecare dată se măreşte xi cu o unitate pentru partidul cu cea mai mare valoare a raportului Vi/(xi + 1), până va avea loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M. Metoda descrisă coincide cu algoritmul respectiv propus în [4].

3. Metoda Adams şi complementarea acesteia Metoda Adams este descrisă la paşii 1, 2, 3-

Adams, iar complementarea acesteia constă în înlocuirea pasului 3-Adams cu cel 3 şi, de asemenea, paşii suplimentari 4 şi 5.

1. Se calculează [2] divizorul standard Q = V/M;

apoi fiecărui partid ni ,1= i se alocă, iniţial, un număr de mandate, egal cu valoarea raportului Vi/Q rotunjită până la întregi prin adaos, adică xi = gi = ⎡Vi/Q⎤.

2. Dacă g1 + g2 + … + gn = M, atunci distribuirea mandatelor s-a încheiat, fiind proporţională.

3-Adams. La metoda Adams, dacă g1 + g2 + … + gn ≠ M, atunci, în mod iterativ, folosind mai multe încercări, se găseşte un nou divizor Q* > Q, valoarea împărţirii la care a mărimii Vi rotunjită până la întregi prin adaos şi se va considera numărul de mandate de distribuit partidului i; valoarea Q* se va alege astfel ca să aibă loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M. Distribuirea mandatelor s-a încheiat (se poate întâmpla ca un asemenea divizor Q* să nu existe).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn); evident are loc ΔM < 0. 4. Determinarea noii valori a mărimii Q şi a

mulţimii G de partide, pretendente la micşorarea xi cu

o unitate: Qi := Vi/( xi – 1), ni ,1= ; Q := min{Q1, Q2,

…, Qn}; G := {k1, k2, …, kr}, unde rlQQlk ,1, == .

5. Redistribuirea mandatelor conform noii valori a mărimii Q:

δi := Q – Vi/(xi + 1), ni ,1= , (1) obtained from the evident condition

Vi /(Q – δi) = xi + 1. (2) Thus, the highest value of Qi < Q, which already

leads to the increase of xi by one, to the use of Q, is

Qi = Q – δi = Vi/(xi + 1), ni ,1= . (3) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, to which

corresponds

Q := max{Q1, Q2, …, Qn} = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= 1max

,1 i

i

ni xV

. (4)

It is easy to see that the rule (4) of determining the new value of Q and, respectively, of the party, to which to allocate the next seat, is similar with the "vote-decision" rule of the d'Hondt method [1]. So, the complemented Jefferson method involves the initial

allocation to each party ni ,1= of a number of seats, equal to the value of ratio Vi/Q rounded down to integer, ie xi = ai = ⎣Vi/Q⎦; after, if a1 + a2 + … + an ≠ M, then consecutive for some parties xi increases by one in the order determined by rule (4), ie every time xi increases by one for the party with the highest value of ratio Vi/(xi + 1), till it will take place the equality x1 + x2 + … + xn = M. The described method coincides with the algorithm proposed in [4].

3. Adams method and its complementation Adams method is described in steps 1, 2, 3-

Adams, and its complementation consists of replacing the step 3-Adams with the step 3, and also the additional steps 4 and 5.

1. Calculate [2] the standard divisor Q = V/M;

then to each party ni ,1= to allocate, initially, a number of seats equal to the integer part of the ratio Vi/Q, rounded up to integer, ie xi = gi = ⎡Vi/Q⎤.

2. If g1 + g2 + … + gn = M, then the distribution of seats ended, this being proportional.

3-Adams. At Adams method, if g1 + g2 + … + gn ≠ M, then, iteratively, using several attempts, it finds a new divisor Q* > Q, the value of the division to which of Vi rounded up to integer will be considered the number of seats to be distributed to party i; the value of Q* will be chosen so as to have the equality x1 + x2 + … + xn = M. The distribution of seats is completed (it may happen that such a divisor Q* does not exist).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn); evidently it takes place ΔM < 0.

4. Determining the new value of Q and the set G of parties, candidates for the decreasing of xi by one

unit: Qi := Vi/( xi – 1), ni ,1= ; Q := min{Q1, Q2, …,

Qn}; G := {k1, k2, …, kr}, where rlQQlk ,1, == .

5. Redistribution of seats according to the new value of Q:



121

5.1. Dacă r < –ΔM, atunci rlxxll kk ,1,1: =+= ,

ΔM := ΔM + r şi trecere la pasul 4. 5.2. Altfel, Mlxx

ll kk Δ−=+= ,1,1: . Distribuirea mandatelor s-a încheiat.

Expunerea desfăşurată, cu argumentarea obţinerii noii valori a mărimii Q la pasul 4 de complementare a metodei Adams, este următoarea.

Pasul 4. Creşterea mărimii Q cu cea mai mică valoare δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, care deja conduce la micşorarea xi cu o unitate pentru un singur partid, cel j, sau pentru câteva partide cu valori ale δi egale cu δj. Aici δi este valoarea minimă, creşterea cu care a mărimii Q ar conduce la micşorarea xi cu o unitate:

4.1. Se determină δi conform formulei

δi := Vi/(xi – 1) – Q , ni ,1= , (5) obţinute din condiţia evidentă

Vi /(Q + δi) = xi – 1. (6) Astfel, cea mai mică valoare a mărimii Qi > Q,

care deja conduce la micşorarea xi cu o unitate, faţă de folosirea mărimii Q, este

Qi = Q + δi = Vi/(xi – 1), ni ,1= . (7) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, căreia îi corespunde

Q := min{Q1, Q2, …, Qn} = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 1min

,1i

i

ni xV . (8)

Astfel, metoda Adams complementată

presupune alocarea iniţială fiecărui partid ni ,1= a unui număr de mandate, egal cu valoarea raportului Vi/Q rotunjită până la întregi prin adaos, adică xi = gi = ⎡Vi/Q⎤; apoi, dacă g1 + g2 + … + gn ≠ M, atunci consecutiv pentru unele partide se micşorează xi cu o unitate în ordinea determinată de regula (8), adică de fiecare dată se micşorează xi cu o unitate pentru partidul cu cea mai mică valoare a raportului Vi/(xi – 1), până va avea loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M.

4. Metoda Webster şi complementarea acesteiaMetoda Webster este descrisă la paşii 1, 2, 3-

Webster, iar complementarea acesteia constă în înlocuirea pasului 3-Webster cu cel 3 şi, de asemenea, paşii suplimentari 4-7.


apoi fiecărui partid ni ,1= i se alocă, iniţial, un număr de mandate egal cu partea întregilor raportului Vi/Q, adică xi = ai = ⎣Vi/Q⎦, dacă Vi/Q – ai < 0,5, sau cu xi = ai + 1, dacă Vi/Q – ai ≥ 0,5. Astfel, xi ia valoare egală cu valoarea raportului Vi/Q, rotunjită până la întregi în mod ordinar.

2. Dacă x1 + x2 + … + xn = M, atunci distribuirea mandatelor s-a încheiat.

3-Webster. La metoda Webster, dacă x1 + x2 + … + xn ≠ M, atunci, în mod iterativ, folosind mai multe încercări, se găseşte un nou divizor Q*, astfel ca suma valorilor

rapoartelor Vi/Q*, ni ,1= , rotunjite până la întregi în mod

ordinar, obţinând un nou şir de valori xi, ni ,1= , să fie

5.1. If r < –ΔM, then rlxxll kk ,1,1: =+= , ΔM

:= ΔM + r and proceed to step 4. 5.2. Otherwise, Mlxx

ll kk Δ−=+= ,1,1: . Distribution of seats ended.

The detailed exposure, with arguments for obtaining the new value of Q in step 4 of complementing the Adams method, is the following.

Step 4. Increasing the size of Q with the lowest value δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, which already leads to the decrease of xi by one for a single party, the j one, or for several parties with values of δi equal to δj. Here δi is the minimum value, the inreasing with which of Q would lead to the decrease of xi with one unit:

4.1. Determining δi according to the formula

δi := Vi/(xi – 1) – Q , ni ,1= , (5) obtained from the evident condition

Vi /(Q + δi) = xi – 1. (6) Thus, the highest value of Qi > Q, which already

leads to the decrease of xi by one, to the use of Q, is

Qi = Q + δi = Vi/(xi – 1), ni ,1= . (7) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, to which corresponds

Q := min{Q1, Q2, …, Qn} = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 1min

,1i

i

ni xV . (8)

Thus, the complemented Adams method

involves the initial allocation to each party ni ,1= of a number of seats, equal to the value of ratio Vi/Q rounded up to integer, ie xi = gi = ⎡Vi/Q⎤; after, if g1 + g2 + … + gn ≠ M, then consecutive for some parties xi decreases by one in the order determined by rule (8), ie every time xi decreases by one for the party with the lowest value of ratio Vi/(xi – 1), till it will take place the equality x1 + x2 + … + xn = M.

4. Webster method and its complementation Webster method is described in steps 1, 2, 3-

Webster, and its complementation consists of replacing the step 3-Webster with the step 3, and also the additional steps 4-7.


then to each party ni ,1= to allocate, initially, a number of seats equal to the integer part of ratio Vi/Q, ie xi = ai = ⎣Vi/Q⎦, if Vi/Q – ai < 0,5, or equal to xi = ai + 1, if Vi/Q – ai ≥ 0,5. Thus, xi takes a value equal to the value of ratio Vi/Q, rounded to integer in an ordinary mode.

2. If x1 + x2 + … + xn = M, then the distribution of seats ended.

3-Webster. At Webster method, if x1 + x2 + … + xn ≠ M, then, iteratively, using several attempts, it finds a new such divisor Q* < Q, that the sum of ratios Vi/Q*,

ni ,1= values, rounded to integer in an ordinary

mode, obtaining a new set of values xi, ni ,1= , be equal with M, ie x1 + x2 + … + xn = M. The distribution



122

egală cu M, adică x1 + x2 + … + xn = M. Distribuirea mandatelor s-a încheiat (se poate întâmpla ca un asemenea divizor Q* să nu existe).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn). Dacă ΔM < 0, atunci trecere la pasul 6.

4. Determinarea noii valori a mărimii Q şi a mulţimii G de partide pretendente la creşterea xi cu o

unitate: Qi := 2Vi/(2xi + 1), ni ,1= ; Q := max{Q1, Q2, …, Qn}; G := {k1, k2, …, kr}, unde rlQQ

lk ,1, == . 5. Redistribuirea mandatelor conform noii

valori a mărimii Q la ΔM > 0: 5.1. Dacă r < ΔM, atunci rlxx

ll kk ,1,1: =+= , ΔM := ΔM – r şi trecere la pasul 4.

5.2. Altfel, Mlxxll kk Δ=+= ,1,1: . Distribuirea

mandatelor s-a încheiat. 6. Determinarea noii valori a mărimii Q şi a

mulţimii G de partide pretendente la micşorarea xi cu

o unitate: Qi := 2Vi/(2xi – 1), ni ,1= ; Q := min{Q1, Q2, …, Qn}; G := {k1, k2, …, kr}, unde

rlQQlk ,1, == .

7. Redistribuirea mandatelor conform noii valori a mărimii Q la ΔM < 0:




Expunerea desfăşurată, cu argumentarea obţinerii noii valori a mărimii Q la paşii 4 şi 6 de complementare a metodei Webster, este următoarea.

Pasul 4. Reducerea mărimii Q cu cea mai mică valoare δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, care deja conduce la creşterea xi cu o unitate pentru un singur partid, cel j, sau pentru câteva partide cu valori ale δi egale cu δj. Aici δi este valoarea minimă, micşorarea cu care a mărimii Q ar conduce la creşterea xi cu o unitate:


δi: = Q – 2Vi/(2xi + 1), ni ,1= , (9) obţinute din condiţia evidentă

Vi /(Q – δi) = xi + 1/2. (10) Astfel, cea mai mare valoare a mărimii Qi < Q,


Qi = Q – δi = 2Vi/(2xi + 1), ni ,1= . (11) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, căreia îi

corespunde Q := max{Q1, Q2, …, Qn} =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= 122

1 i

i

n,i xV

max . (12)

Din (12) este uşor de observat că regula de determinare a noii valori a mărimii Q şi, respectiv, a partidului, căruia trebuie alocat următorul mandat, este similară regulii „voturi-decizie” a metodei Sante-

of seats is completed (it may happen that such a divisor Q* does not exist).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn). If ΔM < 0, then proceed to step 6.

4. Determining the new value of Q and the set G of parties, candidates for the increase of xi by one unit:

Qi := 2Vi/(2xi + 1), ni ,1= ; Q := max{Q1, Q2, …, Qn};

G := {k1, k2, …, kr}, where rlQQlk ,1, == .

5. Redistribution of seats according to the new value of Q at ΔM > 0:


ΔM – r and proceed to step 4.

5.2. Otherwise, Mlxxll kk Δ=+= ,1,1: .

Distribution of seats ended. 6. Determining the new value of Q and the set G

of parties, candidates for the decrease of xi by one unit:

Qi := 2Vi/(2xi – 1), ni ,1= ; Q := min{Q1, Q2, …, Qn};

G := {k1, k2, …, kr}, where rlQQlk ,1, == .

7. Redistribution of seats according to the new value of Q at ΔM < 0:

7.1. If r < –ΔM, then rlxxll kk ,1,1: =+= , ΔM :=

ΔM + r and proceed to step 6. 7.2. Otherwise, Mlxx


The detailed exposure, with arguments for obtaining the new value of Q in steps 4 and 6 of complementing the Webster method, is the following.



δi: = Q – 2Vi/(2xi + 1), ni ,1= , (9) obtained from the evident condition

Vi /(Q – δi) = xi + 1/2. (10) Thus, the highest value of Qi < Q, which already


Qi = Q – δi = 2Vi/(2xi + 1), ni ,1= . (11) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, to which

corresponds Q := max{Q1, Q2, …, Qn} =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= 122

1 i

i

n,i xV

max . (12)

It is easy to see from (12) that the rule (4) of determining the new value of Q and, respectively, of the party, to which to allocate the next seat, is similar with the "vote-decision" rule of the Sante-Laguë



123

Laguë [1]. Pasul 6. Creşterea mărimii Q cu cea mai mică

valoare δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, care deja conduce la micşorarea xi cu o unitate pentru un singur partid, cel j, sau pentru câteva partide cu valori ale δi egale cu δj. Aici δi este valoarea minimă, creşterea cu care a mărimii Q ar conduce la micşorarea xi cu o unitate:


δi: = 2Vi/(2xi – 1) – Q, ni ,1= , (13) obţinute din condiţia evidentă

Vi /(Q + δi) = xi – 1/2. (14) Astfel, cea mai mică valoare a mărimii Qi > Q,


Qi = Q + δi = 2Vi/(2xi – 1), ni ,1= . (15) 6.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, căreia îi

corespunde

Q := min{Q1, Q2, …, Qn} = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 12min2

,1i

i

ni xV

. (16)

Astfel, metoda Webster complementată presupune

alocarea iniţială fiecărui partid ni ,1= a unui număr de mandate, egal cu valoarea raportului Vi/Q rotunjită până la întregi în mod ordinar, adică xi = ai = ⎣Vi/Q⎦, dacă Vi/Q – ai < 0,5, sau xi = ai + 1, dacă Vi/Q – ai ≥ 0,5). Apoi,dacă x1 + x2 + … + xn ≠ M, atunci: (a) la x1 + x2 + … + xn < M, consecutiv pentru unele partide se măreşte xi cu o unitate în ordinea determinată de regula (12), adică de fiecare dată se măreşte xi cu o unitate pentru partidul cu cea mai mare valoare a raportului Vi/(2xi + 1), până va avea loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M; (b) la x1 + x2 + … + xn > M, consecutiv pentru unele partide se micşorează xi cu o unitate în ordinea determinată de regula (16), adică de fiecare dată se micşorează xi cu o unitate pentru partidul cu cea mai mică valoare a raportului Vi/(2xi – 1), până va avea loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M.

5. Metoda Huntington-Hill şi complementarea acesteia

Metoda Huntington-Hill este descrisă la paşii 1, 2, 3-Huntington-Hill, iar complementarea acesteia constă în înlocuirea pasului 3-Huntington-Hill cu cel 3 şi, de asemenea, paşii suplimentari 4-7.


apoi fiecărui partid ni ,1= i se alocă, iniţial, un număr de mandate egal cu partea întregilor raportului Vi/Q, adică xi =

ai = ⎣Vi/Q⎦, dacă Vi/Q < )1( +ii aa , sau xi = ai + 1,

dacă Vi/Q ≥ )1( +ii aa . Astfel, xi ia valoare egală cu valoarea raportului Vi/Q, rotunjită până la întregi în baza mediei geometrice respective.

2. Dacă x1 + x2 + … + xn = M, atunci distribuirea mandatelor s-a încheiat.

3-Huntington-Hill. La metoda Huntington-Hill, dacă x1 + x2 + … + xn ≠ M, atunci, în mod iterativ, folosind mai

method [1]. Step 6. Increasing the size of Q with the lowest

value δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, which already leads to the decrease of xi by one for a single party, the j one, or for several parties with values of δi equal to δj. Here δi is the minimum value, the increasing with which of Q would lead to the decrease of xi with one unit:


δi: = 2Vi/(2xi – 1) – Q, ni ,1= , (13) obtained from the evident condition

Vi /(Q + δi) = xi – 1/2. (14) Thus, the lowest value of Qi > Q, which already

leads to the decrease of xi by one, to the use of Q, is

Qi = Q + δi = 2Vi/(2xi – 1), ni ,1= . (15) 6.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, to which

corresponds

Q := min{Q1, Q2, …, Qn} = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 12min2

,1i

i

ni xV

. (16)

Thus, the complemented Webster method

involves the initial allocation to each party ni ,1= of a number of seats, equal to the value of ratio Vi/Q rounded to integer in an ordinary mode, ie xi = ai = ⎣Vi/Q⎦, if Vi/Q – ai < 0,5, or xi = ai + 1, if Vi/Q – ai ≥ 0,5). After, if x1 + x2 + … + xn ≠ M, then: (a) at x1 + x2 + … + xn < M, consecutive for some parties xi increases by one in the order determined by rule (12), ie every time xi increases by one for the party with the highest value of ratio Vi/(2xi + 1), till it will take place the equality x1 + x2 + … + xn = M; (b) at x1 + x2 + … + xn > M, consecutive for some parties xi decreases by one in the order determined by the rule (16), ie every time xi decreases by one for the party with the lowest value of ratio Vi/(2xi – 1), till it will take place the equality x1 + x2 + … + xn = M.

5. Huntington-Hill method and its complementation

Huntington-Hill method is described in steps 1, 2, 3-Huntington-Hill, and its complementation consists of replacing the step 3-Huntington-Hill with the step 3 and also the additional steps 4-7.


then to each party ni ,1= to allocate, initially, a number of seats equal to the integer part of ratio Vi/Q, ie xi = ai = ⎣Vi/Q⎦, if Vi/Q < )1( +ii aa , or xi = ai +

1, if Vi/Q ≥ )1( +ii aa . Thus, xi takes a value equal to the value of ratio Vi/Q, rounded to integer in base of the respective geometric mean.

2. If x1 + x2 + … + xn = M, then the distribution of seats ended.

3-Huntington-Hill. At Huntington-Hill method, if x1 + x2 + … + xn ≠ M, then, iteratively, using several attempts, it finds a new such divisor Q*, that the sum of



124

multe încercări, se găseşte un nou divizor Q*, astfel ca suma

valorilor rapoartelor Vi/Q*, ni ,1= , rotunjite până la întregi în baza mediei geometrice respective, obţinând un

nou şir de valori xi, ni ,1= , să fie egală cu M, adică x1 + x2

+ … + xn = M. Distribuirea mandatelor s-a încheiat (se poate întâmpla ca un asemenea divizor Q* să nu existe).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn). Dacă ΔM < 0, atunci trecere la pasul 6.

4. Determinarea noii valori a mărimii Q şi a mulţimii G de partide pretendente la creşterea xi cu o unitate: Qi := Vi/ )1( +ii xx , ni ,1= ; Q := max{Q1, Q2, …, Qn}; G :=

{k1, k2, …, kr}, unde rlQQlk ,1, == .

5. Redistribuirea mandatelor conform noii valori a mărimii Q la ΔM > 0:

5.1. Dacă r < ΔM, atunci rlxxll kk ,1,1: =+= ,

ΔM := ΔM – r şi trecere la pasul 4. 5.2. Altfel, Mlxx

ll kk Δ=+= ,1,1: . Distribuirea mandatelor s-a încheiat.

6. Determinarea noii valori a mărimii Q şi a mulţimii G de partide, pretendente la micşorarea xi cu o unitate: Qi := Vi/ )1( −ii xx , ni ,1= ; Q := min{Q1, Q2, …, Qn}; G :=

{k1, k2, …, kr}, unde rlQQlk ,1, == .

7. Redistribuirea mandatelor conform noii valori a mărimii Q la ΔM < 0:




Expunerea desfăşurată, cu argumentarea obţinerii noii valori a mărimii Q la paşii 4 şi 6 de complementare a metodei Huntington-Hill, este următoarea.

Pasul 4. Reducerea mărimii Q cu cea mai mică valoare δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, care deja conduce la creşterea xi cu o unitate pentru un singur partid, cel j, sau pentru câteva partide cu valori ale δi egale cu δj. Aici δi este valoarea minimă, micşorarea cu care a mărimii Q ar conduce la creşterea xi cu o unitate:


δi := Q – Vi/ )1( +ii xx , ni ,1= , (17) obţinute din condiţia evidentă

Vi /(Q – δi) = )1( +ii xx . (18) Astfel, cea mai mare valoare a mărimii Qi < Q,


Qi = Q – δi = Vi/ )1( +ii xx , ni ,1= . (19) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, căreia îi

corespunde

ratios Vi/Q*, ni ,1= values, rounded to integer in base of the respective geometric mean, obtaining a new set

of values xi, ni ,1= , be equal with M, ie x1 + x2 + … + xn = M. The distribution of seats is completed (it may happen that such a divisor Q* does not exist).

3. ΔM := M – (x1 + x2 + … + xn). If ΔM < 0, then proceed to step 6.

4. Determining the new value of Q and the set G of parties, candidates for the increase of xi by one unit:

Qi := Vi/ )1( +ii xx , ni ,1= ; Q := max{Q1, Q2, …,


5. Redistribution of seats according to the new value of Q at ΔM > 0:


ΔM – r and proceed to step 4. 5.2. Otherwise, Mlxx

ll kk Δ=+= ,1,1: . Distribution of seats ended.

6. Determining the new value of Q and the set G of parties, candidates for the decrease of xi by one unit:

Qi := Vi/ )1( −ii xx , ni ,1= ; Q := min{Q1, Q2, …,


7. Redistribution of seats according to the new value of Q at ΔM < 0:

7.1. If r < –ΔM, then rlxxll kk ,1,1: =+= , ΔM :=

ΔM + r and proceed to step 6. 7.2. Otherwise, Mlxx


The detailed exposure, with arguments for obtaining the new value of Q in steps 4 and 6 of complementing the Huntington-Hill method, is the following.



δi := Q – Vi/ )1( +ii xx , ni ,1= , (17) obtained from the evident condition

Vi /(Q – δi) = )1( +ii xx . (18) Thus, the highest value of Qi < Q, which already


Qi = Q – δi = Vi/ )1( +ii xx , ni ,1= . (19) 4.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, to which

corresponds

Q := max{Q1, Q2, …, Qn} = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+= )1(max

,1ii

i

ni xxV . (20)



125

Q := max{Q1, Q2, …, Qn} = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+= )1(max

,1ii

i

ni xxV . (20)

Pasul 6. Creşterea mărimii Q cu cea mai mică valoare δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, care deja conduce la micşorarea xi cu o unitate pentru un singur partid, cel j, sau pentru câteva partide cu valori ale δi egale cu δj. Aici δi este valoarea minimă, creşterea cu care a mărimii Q ar conduce la micşorarea xi cu o unitate:


δi :=Vi/ )1( −ii xx – Q, ni ,1= , (21) obţinute din condiţia evidentă

Vi /(Q + δi) = )1( −ii xx . (22) Astfel, cea mai mică valoare a mărimii Qi > Q,


Qi = Q + δi = Vi/ )1( −ii xx , ni ,1= . (23) 6.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, căreia îi corespunde

Q := min{Q1, Q2, …, Qn} = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−= )1(min

,1ii

i

ni xxV . (24)

Astfel, metoda Huntington-Hill complementată

presupune alocarea iniţială fiecărui partid ni ,1= a unui număr de mandate, egal cu valoarea raportului Vi/Q rotunjită până la întregi în baza mediei geometrice respective, adică xi = ai = ⎣Vi/Q⎦, dacă Vi/Q <

)1( +ii aa , sau xi = ai + 1, dacă Vi/Q ≥

)1( +ii aa ; apoi, dacă x1 + x2 + … + xn ≠ M, atunci: (a) la x1 + x2 + … + xn < M, consecutiv pentru unele partide se măreşte xi cu o unitate în ordinea determinată de regula (20), adică de fiecare dată se măreşte xi cu o unitate pentru partidul cu cea mai mare valoare a

raportului Vi/ )1( +ii xx , până va avea loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M; (b) la x1 + x2 + … + xn > M, consecutiv pentru unele partide se micşorează xi cu o unitate în ordinea determinată de regula (24), adică de fiecare dată se micşorează xi cu o unitate pentru partidul

cu cea mai mică valoare a raportului Vi/ )1( −ii xx , până va avea loc egalitatea x1 + x2 + … + xn = M.

6. Concluzii Pentru fiecare din metodele Jefferson, Adams,

Webster şi Huntington-.Hill de luare a deciziilor colective multiopţionale prin votare cu reprezentare proporţională, sunt propuse complementări de depăşire a situaţiilor, în care folosirea metodelor nominalizate nu permite obţinerea soluţiei scontate, din cauza că nu există nici un divizor Q* respectiv. Complementările includ acţiuni de modificare consecutivă a valorii divizorului Q şi a mulţimii G de partide, pretendente la modificarea (mărirea sau micşorarea, în funcţie de situaţie) treptată a numărului de mandate a cărora cu o unitate, până la

Step 6. Increasing the size of Q with the lowest value δ = δj = min{δ1, δ2, …, δn}, which already leads to the decrease of xi by one for a single party, the j one, or for several parties with values of δi equal to δj. Here δi is the minimum value, the increasing with which of Q would lead to the decrease of xi with one unit


δi :=Vi/ )1( −ii xx – Q, ni ,1= , (21) obtained from the evident condition

Vi /(Q + δi) = )1( −ii xx . (22) Thus, the lowest value of Qi > Q, which already

leads to the decreasing of xi by one, to the use of Q, is

Qi = Q + δi = Vi/ )1( −ii xx , ni ,1= . (23) 6.2. δ := min{δ1, δ2, …, δn}, to which

corresponds

Q := min{Q1, Q2, …, Qn} = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−= )1(min

,1ii

i

ni xxV . (24)

So, the complemented Huntington-Hill method involves the initial allocation to each party

ni ,1= of a number of seats, equal to the value of ratio Vi/Q rounded to integer in base of the respective geometric mean, ie xi = ai = ⎣Vi/Q⎦, if Vi/Q < )1( +ii aa , or xi = ai + 1, if Vi/Q ≥

)1( +ii aa . After, if x1 + x2 + … + xn ≠ M, then: (a) at x1 + x2 + … + xn < M, consecutive for some parties xi increases by one in the order determined by the rule (20), ie every time xi increases by one for the party with the highest value of ratio Vi/ )1( +ii xx , till it will take place the equality x1

+ x2 + … + xn = M; (b) at x1 + x2 + … + xn > M, consecutive for some parties xi decreases by one in the order determined by the rule (24), ie every time xi decreases by one for the party with the lowest value of ratio Vi/ )1( −ii xx , till it will take place the equality x1 + x2 + … + xn = M;

6. Conclusions For each of the Jefferson, Adams, Webster

and Huntington-Hill methods of multioptional collective decision-making by voting with proportional representation, are proposed complementary actions to overcome situations, in which the use of mentioned methods can not give the desired solution, because the respective divisor Q* does not exist. Complementation includes actions of consecutive modification of the divisor Q value and of the set G of parties, candidates for the gradually change (increase or decrease, depending on the situation) by one unit of the number of seats, till the satisfying of the condition of equality



126

satisfacerea condiţiei de egalitate a numărului sumar x1 + x2 + … + xn de mandate alocate celor n partide cu numărul M de mandate disponibile.

between the summary number of seats x1 + x2 + … + xn, allocated to the n parties, and the number M of available seats.

Referinţe bibliografice / Bibliographic references:

1. GALLAGHER, M. Proportionality, Disproportionality and Electoral Systems. In: Electoral Studies (1991),

10:1, pp. 33-51. 2. TANNENBAUM, P. Excursions in Modern Mathematics, Seventh Edition. Pearson, 2008, 704 p. 3. BOLUN, I. Despre “echivalenţa” metodelor Jefferson şi dHondt şi, respectiv, a celor Webster şi Sainte-

Laguë. În: Competitivitatea şi inovarea în economia cunoaşterii, confer. şt. intern., 28-29 sept. 2012. Vol. II. – Chişinău: Editura ASEM, 2012, p. 10-13.

4. BOLUN, I. Minimization of disproportionality in PR voting systems. In: International Workshop on Intelligent Information Systems: Proceedings IIS, 13-14 sept. 2011. Chişinău: Inst. of Mathematics and Computer Science, 2011, p. 127-130.

despre complementarea about … complementarea... · informaticĂ / informatics revista / journal...

Documents