cursurile 7 si 8 statistica.pdf

8/10/2019 Cursurile 7 si 8 statistica.pdf

1/16

1

STATISTIC

CURSURILE 7 si 8Msuri statistice descriptive pentru date

univariate

- Media si dispersia unei variabile alternative

- Regula de compunere a variabilitii unei serii mpriten mai multe subserii


2/16

2

Media i dispersia unei variabile de tip alternativ

Dac variabila este alternativ celor dou variante de

rspuns li se vor acorda, convenional, valorile numerice1 i 0.

Datele pot fi sistematizate astfel:

Varianta de rspuns xi Frecveneni

Frecvene relative*in

Afirmativ 1 m fn

m=

Negativ 0 n-m fn

mn=

1

Total n 1


3/16

3

Media i dispersia unei variabile de tip alternativ

Media esteproporia rspunsurilor afirmative (care posed

caracteristica studiat), n totalul unitilor statistice:

Dispersia este:

Dispersia maxim pentru o variabil alternativ este 0,25,(ponderea rspunsurilor afirmative este egal cu cea arspunsurilor negative )

( )f

n

m

n

mnm

n

nx

x iii

==+

==

=

01

2

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )ffffffff

n

mnfmfss f +=+=

+== 1111

01 2222

22

( )ffs f = 12

5,01 == ff


4/16

4

Exemplu 200 de turiti dintr-o staiune balnear au fost ntrebai

dac sunt mulumii de serviciile de cazare. Dintreacetia 160 au rspuns afirmativ (m) i 40 negativ.

Media variabilei alternative este:

f=m/n=160/200=0,8,

adic 80% dintre persoanele anchetate (intrebate) suntmulumite de serviciile de cazare.

Dispersia este:

( ) 16,02,08,012 === ffs f


5/16

5

ExempluPentru adecvarea promoiilor la cadourile de srbtori, un magazinrealizeaz un studiu referitor la veniturile clienilor, nivelul sumelor pe

alocate pentru cadouri si categoria socio-profesional.Datele referitoare la cheltuielile pentru cadouri, in sute lei, nregistratepentru 14 clieni, sunt:

6,5 2,5 3 3,2 2,2 2,3 3 5 4 5,5 6,5 8 2 7

Media de selectie 4,3357 sute leiDispersia de selectie 4,1686Abaterea standard 2,0417sute lei

Coeficientul de variatie 47,09%


6/16

6

Regula de compunere a variabilitii

Deoarece seria are un grad redus de omogenitate, clienii au fostmprii n 2 grupe, n funcie de categoria socio-profesional astfel:

Cheltuieli pentru cadouri (sute lei)

Pensionari (Grupa 1) Salariati (Grupa 2 )2 3

2,5 5

3 4

3,2 5,52,2 6,5

2,3 8

6,5

7

Pensionari (Grupa 1) Salariati (Grupa 2)Media de selectie 2,5333 sute lei 5,6875 sute lei

Dispersia de selectie 0,2227 2,7098

Abaterea standard 0,4719 sute lei 1,6462 sute lei

Coeficient de variatie 18,63% 28,94%


7/16

7


Consideram ca o unitate statistica este caracterizata de doua variabileXsi Y.

VariabilaX, in general nenumerica, are rcategorii sau variante de raspuns:Categoria 1, Categoria 2,, Categoria r, care vor determina impartireacolectivitatii generale in rgrupe astfel:

Grupa 1 (unitatile colectivitatii generale care au ca raspuns Categoria 1 pentru var. X

Grupa 2 (unitatile colectivitatii generale care au ca raspuns Categoria 2 pentru var. X)

Grupa r (unitatile colectivitatii generale care au ca raspuns Categoria r pentru var. X)

Grupele sunt disjuncte iar reuniunea lor este colectivitatea statistica.

VariabilaXse mai numeste si variabila independenta sau factor de grupare. Cealalta variabila de interes, Y, este variabila numerica, numita si variabila

dependenta.

Suntem interesati sa evaluam influenta factorului de grupareXasupra variatieitotale a variabilei numerice Y.


8/16

Regula de compunere a variabilitatii Dac populatia statistica este alctuit din mai multe grupe

componente, variaia total a variabilei numerice Yse poate

calcula dupa o schem cunoscut sub numele de regula decompunere a variabilitii totale.

Din fiecare Grupa i, i=1,,r, se extrage cate un subesantion devolum n

iunitati statistice, pentru care se inregistreaza valorile

observate asupra variabilei numerice Y.

Volumul esantionului extras din populatia statistica esten=n1+n2+...+nr

Abaterea fiecrei valori observate de la media total a seriei de

date numerice este explicat prin influena factorului degrupare i a altor factori ce acioneaz la nivelul fiecrei grupe.

Putem cuantifica, astfel, ct din variaia caracteristicii numericestudiate este explicat de factorul de grupare ales.

8


9/16

9


Dac esantionul de volum neste alcatuit din rsubesantionare extrase din cele rgrupe, volumul

fiecarui subesantion fiindrin

i

,1, =(

r

r

i

i nnnnn +++==

=...

21

1 ) se pot determina mediile de selectie degrupa ( iy ) i dispersiile de selectie de grupa (

2

is ) astfel:

Grupele Volumul

subesantionului

( in ) extras din Grupa i

Valorile

observate in

subesantion

Media de selectie a

Grupei i

( iy )

Dispersia de selectie a

Grupei i

(2

is )

Grupa 1 1n 1,12,11,1 ;;; nyyy K

=

=

1

1

,1

1

11

n

j

jy

ny ( )

=

=

1

1

21,1

1

21

1

1 n

j

j yy

ns

Grupa 22

n 2,22,21,2 ;;; nyyy K =

=

2

1

,2

2

2

1 n

j

jyn

y ( )=

=

2

1

2

2,2

2

2

21

1 n

j

j yyn

s

M M M MGrupa i

in

iniii

yyy,2,1,

;;; K

==

in

jji

ii xny 1

,

1

( )

=

=

in

jiji

ii

yyn

s

1

2

,

2

1

1

M M M MGrupa r

rn

rnrrr

yyy,2,1,

;;; K =

=

rn

j

jr

r

r y

ny

1

,

1

( )

=

=

rn

j

rjr

r

r yyn

s

1

2

,

2

1

1


10/16

10


Abaterea individual de la media total poate fi descompus astfel:

( )yyyyyy iijiji +=

,,

unde:

r

rr

r

n

j

jr

n

j

j

n

j

j

nnn

nynyny

nnn

yyy

y

r

+++

+++=

+++

+++

=

===

...

...

...

...

21

2211

21

1

,

1

,2

1

,1

21

este media totala seriei la nivelul intregului esantion de volum n=n1+n2+...+nr.

Prin ridicarea la ptrat i nsumarea fiecrui termen i folosind proprietile mediei se

obine:

( ) ( ) ( )44 344 2144 344 2144 344 21

grupedintrevariatia

1

2

grupelorinterioruldinvariatia

1 1

2

,

totalavariatia

1 1

2

, == == =

+=

r

i

ii

r

i

n

j

iji

r

i

n

j

ji nyyyyyy

ii


11/16

Regula de compunere a variabilitatii

11

Se noteaz:

SSW

= Sum of Squares Within groupssau

variatia din interiorul grupelor,adica suma patratelor abaterilor individuale de la mediile de grup

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2222

2

11

1

2,

1

22,2

1

21,1

1 1

2

,

1...11

...

21

rr

n

j

rjr

n

j

j

n

j

j

r

i

n

j

iji

snsnsn

yyyyyy

yySSW

r

i

+++=

+++=

=

===

= =

SSB= Sum of Squares Between groups sau variatia dintre grupe,

adica suma patratelor abaterilor mediilor de grupa de la media totala

( )

( ) ( ) ( ) rr

r

i

ii

nyynyynyy

nyySSB

+++=

==

2

2

2

21

2

1

1

2

...


12/16

12


SST= Sum of Total Squares sau variatia totala,adica suma patratelor abaterilor individuale ale tuturor valorilor observate in esantion

fata de media totala

( )

SSBSSWSST

yySSTr

i

n

j

ji

i

+=

== =1 1

2

,


13/16

13


Relaia SST= SSW+ SSB

-

se numete REGULA DE COMPUNERE A VARIABILITII TOTALEsau identitatea fundamentala a analizei dispersionale

-

permite determinarea dispersiei de selectie a esantionului de volum ndupaformula

1

2

=

n

SSTs

y

-

permite determinarea msurii n care factorul de grupare influeneazvariaia caracteristicii studiate prin calculul coeficientului dedeterminaie:

SST

SSB

R =2

sau, n expresie procentual, gradul de determinaie:

1002

% =

SST

SSBR


14/16

14


Dac variatia dintre grupe SSB are o pondere mai mare n

variatia total SSTatunci nseamn c factorul de grupareexplic mai mult variaia caracteristicii studiate.

Dac variatia din interiorul grupelor SSW are o ponderemai mare n variatia total SSTatunci nseamn c variaia

caracteristicii studiate este influenat de ali factori

Se poate calcula coeficientul/gradul de nedeterminaie:

22

1 RSST

SSW

K ==2

%

2

% 100100 RSST

SSW

K ==


15/16

15

Exemplu - continuare

Pentru a analiza n ce proporie categoria socio-profesional influeneaz variaia

cheltuielilor pentru cadouri se determin:

Grupa Volumulsubesantionuluiniextras din Grupa i

Media de selectie aGrupei i

( iy )

Dispersia deselectie a Grupei i

( 2is )

Grupa 1

(Pensionari)

n1=6 =1

y 2,5333 sute lei =2

1s 0,2227

Grupa 2 (Salariati) n2=9 =2

y 5,6875 sute lei =2

2s 2,7098

Variatia din interiorul grupeloreste:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0821,20

7098,2182227,01611 2

22

2

11

8

1

2

2,2

6

1

2

1,1

2

1 1

2

,

=

+=+=

=+== === =

SSW

snsn

yyyyyySSW

j

j

j

j

i

n

j

iji

i


16/16

Exemplu - continuare

16

Media totalala nivelul intregului esantion de volum n=n1+n2=14 clienti este

14

7,60

86

86875,565333,2

21

2211

=+

+

=+

+

=nn

nyny

y

3357,4= y sute lei.

Variatia dintre grupeeste

( )

( ) ( )

1101,34

8)3357,46875,5(6)3357,45333,2( 222

221

21

2

1

2

=

+=

=+=

===

SSB

nyynyy

nyySSBi

ii

Variatia totalaeste SST=SSW+SSB=20,0821+34,1101, deci SST=54,1922

Coeficientul de determinatie este6294,0

1922,54

1101,342===

SST

SSBR

sau %94,622

% =R , categoria socio-profesionala influenteaza variatia cheltuielilor cu cadourile in

proportie de 62,94%, restul de 37,06% din variatia totala a cheltuielor cu cadourile fiind influentata

de alti factori.

cursurile 7 si 8 statistica.pdf

Documents