1

CURSUL 5

Se face notaţia următoare: , : este operator liniarL X Y U X Y U , adică L(X,Y) este

mulţimea tuturor operatorilor liniari de la (X, K) la (Y, K).

În L(X,Y) se pot defini următoarele operaţii:

a) operaţia internă, notată prin „+“, definită astfel:

„+“: 1 2, unde ,L X,Y L X,Y L X,Y U U L X,Y are loc:

def .

1 2 1 2 1 2: , , U U X Y U U x U x U x x X .

Se observă că:

yxUyxUyxUUXyx 2121,,, K

yUyUxUxUyUxUyUxU 21212211

yUUxUU 2121 , de unde rezultă YXLUU ,21 ; prin urmare operaţia internă

este bine definită.

b) operaţia externă, notată prin „•“, definită astfel:

„•“: , ,L X Y L X Y K unde şi ,U L X Y K are loc:

YXU : , XxxUxUdef

, .

Se observă că: yxUyxUXyx ,,, K

yUxU yUxUyUxU

de unde rezultă YXLU , şi, prin urmare, operaţia externă este bine definită.

L(X,Y) împreună cu cele două operaţii capătă o structură de spaţiu vectorial peste corpul K.

Propoziţie. L(X,Y) este spaţiu vectorial peste corpul K.

Definiţie. Fie YXU : şi ZYT : , unde (X,K), (Y,K) şi (Z,K) sunt spaţii vectoriale. Se poate

presupune, fără a micşora generalitatea, că U(X)=Y. Se numeşte produsul sau compusul lui T cu U (şi se

notează prin UT sau prin UT ) funcţia ZXUT : definită astfel:

XxxUTxUT , .

Are loc următoarea proprietate a produsului.

2

Proprietate. Dacă YXLU , , XUY şi ZYLT , atunci ZXLUT , .

Fie YXU : . U este inversabil dacă este funcţie bijectivă. Deci există funcţia inversă, notată prin

1U unde XYU :1, yxUxyU 1

.

Are loc următoarea proprietate a inversului:

Proprietate. Dacă YXLU , şi U este inversabil, atunci XYLU ,1.

Fie YXLU , . Lui U i se pot ataşa două mulţimi speciale care au structura unui subspaţiu

vectorial, numite nucleul şi imaginea operatorului U.

Definiţie. Se numeşte imaginea lui U mulţimea yxUXxYyXU incat astfel . Se

notează prin UIm .

Definiţie. Se numeşte nucleul lui U mulţimea 0 xUXxKerU .

Propoziţie. UIm este subspaţiu vectorial al lui (Y, K).

Demonstraţie: UIm este închisă la adunarea vectorilor: fie Uyy Im, 21 , deci există Xxx 21,

astfel încât 2211 , xUyxUy , prin urmare Xxxx 21 astfel încât

UxUxxUxUxUyy Im212121 .

UIm este închisă la înmulţirea cu scalari a vectorilor, adică: UyUy ImIm, K .

Fie Uy Im , rezultă există Xx astfel încât yxU . Deci există Xxz astfel încât

UzUxUxUy Im .

Propoziţie. KerU este subspaţiu vectorial al lui (X, K).

Demonstraţie: Fie KerUyx , şi K, . Avem: YxU 0 , YyU 0 şi

YYYyUxUyxU 000 , deci KerUyx , adică KerU

este subspaţiu vectorial al lui (X, K).

Dimensiunea subspaţiului ImU se numeşte rangul lui U, iar dimensiunea subspaţiului KerU se numeşte

defectul lui U.

Propoziţie. YXLU , este injectiv dacă şi numai dacă XKerU 0 .

Demonstraţie. „“ Presupunem U injectiv şi fie KerUx . Atunci YxU 0 şi YXU 00 ,

cum U este injectiv, rezultă Xx 0 , deci XKerU 0 .

3

„“ Presupunem XKerU 0 . Fie yUxU , atunci YyUxU 0 , YyxU 0 , prin

urmare KerUyx , rezultă Xyx 0 , yx , adică U este injectiv.

Teorema dimensiunii pentru operatori liniari: Dacă YXLU , , atunci avem:

UKerUX Imdimdimdim .

Demonstraţie: Fie KerUp dim , unde Xnp dim0 . Sunt posibile următoarele situaţii: a:

np 0 . Fie pbbbB ,,, 21 o bază a lui XKerU . Folosim lema de completare şi completăm

B, cu vectorii np bb ,,1 , până la o bază XB a lui X, deci nppX bbbbbB ,,,,,, 121 . Vom arăta că

npU bUbUB ,,1 este bază pentru UIm .

1. UB este un sistem liniar independent:

001

liniar

1

n

pi

ii

Un

pi

ii bUbU

KerUbxn

pi

ii 1

. Cum B este bază a lui KerU avem

p

i

ii bx1

deci

01111

n

pi

ii

p

i

ii

n

pi

ii

p

i

ii bbbbx şi cum XB este liniar independent rezultă

01 p şi 01 np deci UB este liniar independent.

2. UB este un sistem de generatori pentru ImU: fie Uy Im vrem să arătăm că există K np ,,1

astfel încât

n

pi

ii bUy1

. Din Uy Im rezultă că există Xx astfel încât yxU . Cum XB

este bază a lui X, avem

n

i

ii bx1

. Astfel

pp

n

i

ii

n

i

ii bUbUbUbUxUy 11

11

nnpppnnpp bUbUbUbU 11111 00

n

pi

ii bU1

deoarece KerUbb p ,,1 .

Aşadar pnU Imdim şi UKerUpnpnX Imdimdimdim .

B: np XKerU , deci XxxU Y ,0 , avem astfel YU 0Im

şi UKerUnXU Imdimdimdim,0Imdim

4

C: XKerUp 00 , deci U este injectiv. Fie nX bbbB ,,, 21 o bază a lui X. Ca mai sus se

arată că nU bUbUB ,,1 este o bază a lui UIm cu n elemente, deci se verifică

UKerUnnX Imdimdim0dim .

Reprezentarea matriceală a operatorilor liniari definiţi pe spaţii

vectoriale de tip finit

Fie spaţiile vectoriale (X,K) şi (Y,K), cu dimX = n, dimY = m, *

Nnm, , fie nfffF ,,, 21 o

bază a lui X şi mgggG ,,, 21 o bază a lui Y.

Fie YXLU , şi Xx . Există şi sunt unici Kn ,,1 astfel încât

n

j

jj fx1

, avem

astfel vectorul coordonatelor în baza F, TnFx ,,1 .

Avem 1*11

n

j

jj

n

j

jj fUfUxUy

Cum K mYy ,,! 1 astfel încât 2*1

m

i

ii gy

Avem deci vectorul coordonatelor TmGy ,,1 .

Cum K jmjj aaYfU ,,! 1 astfel încât ,1

m

i

ijij gafU avem vectorul coordonatelor

3*,,, 21 mjjjGj aaafU . Notăm cu GFA , matricea corespunzătoare operatorului U şi

bazelor F şi G, adică matricea care are pe coloane coordonatele în baza G ale imaginilor prin U ale

vectorilor din baza F. Deci njmijiGnGGGF afUfUfUA

,1,,121, . Avem:

4*1 11 11

m

i

i

n

j

jji

n

j

m

i

ijij

n

j

jj gagafUxUy

Din 2* şi 4* obţinem mian

j

jjii ,1,1

, avem deci FGFG xAy , şi cum xUy avem

FGFG xAxU , sau scris fără indici xAxU .

Observaţie: Dacă scriem GjfU pe linia j în matricea A atunci se obţine formula xAxU T .

5

A se numeşte matricea operatorului liniar U corespunzătoarea bazelor F şi G; uneori, această matrice se

notează prin GFA , sau UA . Relaţia FGFG xAxU , exprimă reprezentarea operatorului liniar U în

bazele F şi G.

Se pune următoarea problemă: ce se întîmplă cu matricea unui operator liniar când se schimbă

bazele.

Pentru a rezolva această problemă fie F noua bază a lui X şi G noua bază a lui Y; fie C matricea de

trecere de la baza F la baza F şi fie D matricea de trecere de la baza G la baza G. Atunci se poate scrie:

FGFG xAxU , , '','' FGFG xAxU , FF xCx 1

' şi GG xUDxU 1

'. Vrem să găsim relaţia

dintre ',' GFA şi GFA , . Avem FGFFGFG xCAxAxU 1

',''','' şi

FGFGG xADxUDxU

,

11

' de unde obţinem: GFGF ADCA ,

11

',' ,

CADA GFGF

,

1

',' .

Notând mai simplu cu A vechea matrice ( GFA , ) şi cu B noua matrice ( ',' GFA ) legătura dintre ele este

CADB 1, relaţie care stabileşte cum se modifică matricea unui operator liniar la schimbarea

bazelor.

În cazul particular când XY , avem FG şi '' FG deci CD şi prin urmare CACB 1

.