Popovici Ilona

NOTE DE CURS

la disciplina

„Geometria diferenţială”

Cahul, 2010

2

CUPRINS

CAPITOLUL I. TEORIA CURBELOR............................................................................................3

I.1. Vectorul tangent la curba parametrizată. Tangenta, planul osculator

al curbei parametrizate..................................................................................................................3

I.2. Curba spaţială. Reperul lui Frenét.................................................................................................5

I.3. Curbura curbei...............................................................................................................................5

I.4. Formulele lui Frenét. Torsiunea curbei.........................................................................................8

CAPITOLUL II. TEORIA SUPRAFEŢELOR...............................................................................10

II.1. Definiţia suprafeţei parametrizate. Echivalenţa locală a suprafeţei şi

a suprafeţei parametrizate..........................................................................................................10

II.2. Curbe pe suprafaţă. Planul tangent. Normala............................................................................13

II. 3. Metrica pe suprafaţă. Prima formă fundamentală.....................................................................17

II.4. Aplicaţiile primei forme fundamentale......................................................................................20

II.5. Curbura curbelor de pe suprafaţă. Forma a doua fundamentală................................................22

II.6. Direcţii principale. Curburi principale.......................................................................................25

II.7. Formula lui Euler. Curbura totală. Curbura medie....................................................................27

II.8. Direcţii asimptotice. Clasificarea punctelor unei suprafeţe.......................................................30

BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................................31

3

CAPITOLUL I. TEORIA CURBELOR

I.1. Vectorul tangent la curba parametrizată.

Tangenta, planul osculator al curbei parametrizate.

I. Curbe plane

Fie trr o curbă plană, iar rM un punct regulat de pe ea. Vectorul 0 tr determină direcţia

tangentei. Deci, ecuaţia tangentei poate fi scrisă sub forma:

,trtrR

unde R este raza vectoare a unui punct arbitrar de pe tangentă.

În coordonatele carteziene rectangulare obţinem următoarele ecuaţii:

txtxX ')( , )()( ' tytyY - ecuaţii parametrice

'' y

yY

x

xX - ecuaţia canonică

În aceste ecuaţii X şi Y sunt coordonatele unui punct arbitrar de pe tangenţă, )(tx şi )(ty sunt

coordonatele punctului de tangenţă; tx ' şi )(' ty sunt coordonatele vectorului director al tangentei.

Definiţie: Dreapta, perpendiculară pe tangentă în punctul de tangenţă, se numeşte normala la curbă în

punctul respectiv.

În figura de mai sus, dreapta MP este normală la curbă în punctul M. Dacă R este raza vectoare a

punctului arbitrar P de pe normală, atunci:

)())()(( trtrR

Deci, ecuaţia normalei poate fi scrisă în următoarele forme:

0)( rrR - ecuaţie vectorială

0')(')( yyYxxX - ecuaţie generală

Dacă curba plană este determinată de ecuaţia )(xfy (sau ), atunci ecuaţiile tangentei şi

ale normalei în orice punct 000

, yxM de pe curbă (funcţia )(xf este derivabilă) sunt bine cunoscute

))(('000

xxxfyy - ecuaţia tangentei

)()('

1

)()('

1

0

0

0

00

yyxf

xx

xxxf

yy

- ecuaţiile normalei

De la ecuaţia în coordonate polare se poate de trecut la ecuaţiile parametrice:

sin

cos)(

y

x

4

Dacă curba plană este determinată de ecuaţia implicită 0),( yxF , atunci în orice punct regulat M,

unde

,0),(

y

F

x

FgradF

ecuaţiile tangentei şi normalei pot fi scrise destul de uşor. Din teorema de existenţă şi unicitate a funcţiei

implicite ),(xfy avem că

,:)('y

F

x

Fxf

dacă .0

My

F

Atunci ecuaţiile căutate capătă forma

000

yy

y

Fxx

x

F - ecuaţia tangentei

000

yy

x

Fxx

y

F - ecuaţia normalei

Din aceste ecuaţii observăm, că gradF indică direcţia normalei la curbă în punctul regulat M. Dacă

,0

My

F iar 0

Mx

F

atunci univoc se determină funcţia ,yx însă ecuaţiile tangentei şi ale normalei nu se schimbă.

II. Curbe spaţiale

Considerăm ecuaţia

)}(),(),({ tztytxtrr

Ca şi în plan, vectorul tr în punctul regulat M, indică direcţia tangentei, ecuaţiile căreia pot fi

scrise sub forma

trtrR - ecuaţia vectorial-parametrică a tangenţei

''' z

zZ

y

yY

x

xX

- ecuaţiile canonice a tangenţei.

În punctul regulat M în spaţiu, se poate de dus un plan perpendicular pe tangentă. Acest plan se

numeşte plan normal al curbei în punctul regulat M.

Acest plan se determină de ecuaţiile:

0)( rrR - ecuaţia vectorială a planului normal

0')(')(')( zzZyyYxxX - ecuaţia generală a planului normal.

Dacă vectorul )(tr nu este coplanar cu ),(tr atunci aceşti doi vectori determină un plan care se

numeşte plan osculator al curbei în punctul M. Punctul M, în care )(tr nu este coplanar cu ),(tr se

numeşte punct biregulat. Ecuaţiile planului osculator sunt:

0),,( rrrR - ecuaţia canonică

5

0

"""

'''

zyx

zyx

zZyYxX

- ecuaţia generală

Dacă curba este plană, atunci planul osculator coincide cu planul curbei.

I.2. Curba spaţială. Reperul lui Frenét

Fie dată o curbă în spaţiul eucledian tridimensional cu parametrizarea

)}(),(),({)( tztytxtrr

Fie )(srr - parametrizarea naturală a curbei spaţiale, atunci

1r

Deci, r este versor al tangenţei la curba )(srr în punctul regulat dat. Să notăm acest versor prin

simbolul .t

Pentru determinarea vectorului t

avem următoarele formule

})(')(')('

)(',

)(')(')('

)(',

)(')(')('

)('{

)(

)(},,{

222222222 tztytx

tz

tztytx

ty

tztytx

tx

tr

trzyxrt

Din egalitatea 1t rezultă, că .tt Versorul tn se numeşte versorul normalei principale, iar

numărul tk se numeşte curbura curbei în punctul dat (curbura se defineşte şi pentru curba plană).

Vectorul t se numeşte vector de curbură şi deseori se notează prin .k Deoarece vectorul n este

perpendicular pe )(tr şi coplanar cu )(tr şi ),(tr el este paralel cu vectorul

].],,[[ rrr

Deci,

,]],,[[

]],,[[

rrr

rrrn

.],[ rrr

Această egalitate permite de determinat versorul normalei principale faţă de orice parametrizare.

Vectorul

],[ ntb

se numeşte versor al binormalei.

Uşor de observat că

,,

,

rr

rrb

sau, în fiecare punct biregulat al curbei pot fi determinaţi şi construiţi trei vectori, ce formează un reper,

numit reperul lui Frenét.

De asemenea în acest punct pot fi construite trei drepte (tangenta, normala principală şi binormala),

ce sunt axe de coordonate ale sistemului mobil de coordonate determinat de reperul lui Frenét, şi trei

plane (planul normal, care conţine vectorii n şi ;b planul osculator, care conţine vectorii t şi ;n planul

rectificant, care conţine vectorii t şi b ), ce sunt plane de coordonate ale aceluiaşi sistem de coordonate.

Teoremă: Fie )(trr şi - două parametrizări biregulate ale uneia şi aceleiaşi curbe, iar

t - difeomorfism, ce leagă parametrii t şi . Atunci reperele Frenét în fiecare punct al

curbei faţă de aceste parametrizări coincid, dacă .0)(' t Dacă 0)(' t atunci versorii n

coincid, iar t şi b îşi schimbă semnul în opus.

I.3. Curbura curbei

Definiţie: Numărul

00 srstk

se numeşte curbura curbei în punctul regulat ).( 00 sM

6

Deoarece vectorul rr determină direcţia şi mărimea vitezei de mişcare a unui punct material pe

curba dată, atunci despre vectorul r se poate de spus că el este vectorul acceleraţiei şi determină mărimea

şi direcţia de variaţie a vectorului vitezei (a vectorului tangent) la trecerea de la punctul dat 0

M la un

punct apropiat M. Cu cît mai puţin variază vectorul vitezei, adică cu cît mai puţin îşi schimbă el direcţia,

cu atît mai puţin diferă arcul de curbă de segmentul de dreaptă. Deci, curbura curbei în punctul dat 0

M

determină gradul diferenţei arcului de curbă, ce conţine punctul ,0

M de segmentul de dreaptă.

Să determinăm formula de calculare a curburii faţă de orice parametrizare ).(trr

,

tr

tr

ds

d

ds

rd

ds

dsrstk

deoarece

)(trds

rd

dt

ds

ds

rd

dt

rd

rezultă că

.)(

)(

tr

tr

ds

rd

Pentru orice funcţie vectorială )(t are loc formula

.)(

1

dt

d

trds

dt

dt

d

dt

d

Aplicăm această formulă la calcularea curburii k:

Conchidem, că

22)(

)()()()(

)(

1)(

tr

trtrtrtr

trsr .

În continuare ne folosim de formulele evidente

)()( srsr

rezultă, că

., ksrsrsr

Calculăm )](),([ srsr faţă de orice parametrizare ).(trr

.)(

)(),()(

)(

)()(),()(),(

)(

1

)()(

)()()(

)(

1,

)(

)()](),([

323

22

tr

trtrtr

tr

trtrtrtrtr

tr

trtr

trtrtr

trtr

trsrsr

În rezultat am obţinut formula

.

)(

)(),(3

tr

trtrk

În coordonate obţinem formula

r

tr

trtrtr

trtr

tr

trtrtrtrtr

tr

tr

trdt

dtrtrtr

trtr

tr

dt

d

trk

22

2

11

11

7

23

222

222

'''

""

''

""

''

""

''

zyx

yx

yx

xz

xz

zy

zy

k

pentru curbele spaţiale şi

23

22 ''

""

''mod

yx

yx

yx

k

pentru curbele plane.

Numărul k

R1

se numeşte rază de curbură. Circumferinţa, ce are contact de ordinul doi cu curba în

punctul dat ,0

M se numeşte circumferinţă osculatoare. Ea este situată în planul osculator, centrul ei e

situat pe normala principală, iar raza este egală cu raza de curbură. Centrul acestei circumferinţe se

numeşte centru de curbură. Totalitatea centrelor de curbură se numeşte evolută.

Dacă )}(),({)( tytxtrr este o curbă plană, atunci ecuaţiile evolutei sunt:

.''

',''

'2222

yx

yx

yxxyY

yx

yx

yxyxX

În formă vectorială această ecuaţie poate fi scrisă sub forma

,nRr

unde este raza vectoare a punctului arbitrar de pe evolută, r este raza vectoare a punctului respectiv

de pe curbă, R este raza de curbură în punctul rM de pe curbă, iar n este versorul normalei duse în

punctul ).(rM Derivând această ecuaţie, obţinem:

ntRtntRtntRtrt )(')()()()(')()( ,

deoarece

0)()()( tntRtr .

Conchidem că tangenta evolutei este normala curbei.

Evolventă a unei curbe se numeşte curba pentru care este evolută, adică centrele de curbură

ale evolutei sunt situate pe curba dată.

Dacă )(srr este o parametrizare naturală a unei curbe, atunci

rt

este versorul normalei evolventei acestei curbe. Deci pentru punctul dat M(s) de pe curba dată, punctele

respective ale tuturor evolventelor posibile sunt situate pe tangenta la curba dată în punctul M(s).

Din aceste considerente, obţinem ecuaţiile evolventelor în forma

,)()( nssrs

unde este o funcţie de s şi determină curbura evolventei în punctul respectiv. Fiecare funcţie pozitivă

de s determină o parametrizare a curbei date.

8

I.4. Formulele lui Frenét. Torsiunea curbei

Procesul de cercetare a curbelor necesită calcularea derivatelor de ordinul întîi, doi, etc., ale funcţiilor

vectoriale.

).(trr

Orice funcţie )(tr poate fi reprezentată ca o combinaţie liniară a vectorilor reperului Frenét:

.)()()()( bthntgttftr

Şi atunci calcularea derivatelor funcţiilor vectoriale )(tr se reduce la calcularea derivatelor funcţiilor

vectoriale .,, bnt

Teoremă: Pentru orice parametrizare naturală )(srr a oricărei curbe au loc formulele lui Frenét:

nb

btkn

ukt

.

.

.

unde numărul (capa) se numeşte torsiunea curbei.

Demonstraţie: Din definiţia curbei avem .

tk , iar tn , deci ukt .

.

Demonstrăm în continuare formula nb .

.

Comform definiţiei

....

,,,, ntntntbntb , deoarece 0,.

nt

.

t paralel cu n .

Din egalitatea 1n rezultă că nn .

, iar această relaţie demonstrează că

.

n este coplanar cu t şi b .

Deci, există aşa două numere şi astfel încît

btn .

.

Folosind această relaţie, obţinem: nubtttbttb ,,, ,

unde .

Să trecem acum la demonstrarea egalităţii:

btkn .

btkntbnknkbtntbtbntbn

,,,,,,,

...

.

Consecinţă: Matricea operatorului de diferenţiere în reperul lui Frenet are următoarea formă:

00

0

00

k

k

adică este o matrice simetrică.

Formula ub .

ne permite să calculăm torsiunea curbei în orice parametrizare.

Într-adevăr, înmulţim scalar această egalitate la n şi obşinem:

nb,

.

.

Pentru a obţine formula de calculare a torsiunii în orice parametrizare )(trr trebuie de exprimat

produsul mixt

9

......

,, rrr

în această parametrizare

''',",')('

)(')(',)(')('''),("),('

)(')(')('3)(')("

)(')(')(")(')('

6..

".

2...

".

'..

3...

'.

2...

rrrtr

trrtrtrrtrtrtr

trrtrtrrtrrtr

trrtrrtrtrrtr

Am dedus următoarea formulă:

''',",'

)('

1''',",'

6rrr

tr

rrr

Folosind şi egalitatea

3

'

",'

r

rrk

obţinem formula de calculare a torsiunii în parametrizarea )(trr :

2

",'

''',",'

rr

rrr .

Observaţii:

1. Dacă curba este plană, atunci vectorii ''',' rr şi "r sunt coplanari de unde rezultă, că torsiunea

0 . Şi invers, dacă torsiunea este nulă în toate punctele unui arc de curbă, atunci 0b

b în

toate punctele acestui arc. Deci, toate reperele lui Fremet construite in punctele acestui arc conţin

un vector constant b . Prin urmare, este constant şi planul vectorilor t şi n , ceea ce este posibil

numai în cazul cînd acest arc e situat în planul osculator (planul vectorilor t şi n ).

2. Dacă pentru curba plană se poate de exprimat curbura ca funcţie de parametrul natural s, atunci

curba poate fi construită cu exactitatea mişcării planului. Ecuaţia )(skk se numeşte ecuaţie

naturală a curbei plane.

3. La fel pentru curbele spaţiale: dacă entru două curbe spaţiale, ecuaţiile )(skk şi )(s se

numesc ecuaţii naturale ale curbei spaţiale.

10

CAPITOLUL II. TEORIA SUPRAFEŢELOR

II.1. Definiţia suprafeţei parametrizate.

Echivalenţa locală a suprafeţei şi a suprafeţei parametrizate.

Definiţia 1: Porţiunea simplă de suprafaţă este imaginea ameomorfă a domeniului în spaţiul

eucledian.

Relaţia ),( vurr se numeşte ecuaţia vectorial-parametrică de suprafaţă, iar

),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx

se numesc ecuaţiile ei parametrice.

Parametrizarea ),( vurr poate fi notată prin simbolul r, , unde este domeniul plan, iar r este

ameomorfismul 3: Rr .

Exemple de suprafeţe:

1. bvaurvurR 02 ),(, , unde bar ,,0 sunt vectori constanţi şi 0, ba . Această

ecuaţie determină un plan în spaţiul tridimensional.

2. uRvuRvuRvur sin,sincos,coscos),(

20,2

,, 2 vuoRvu .

Această parametrizare determină o pînză 0z a unui hiperboloid cu două pînze fără

secţiunea ei cu planul xOz. Dacă pe domeniul vom mişca punctul P(u,v) pe un segment

(pe o dreaptă) paralel cu axa Oy(ecuaţia acestei drepte este constvv 0 ), atunci punctul

M(x,y,z) va descrie pe suprafaţă o curbă 1 .

Ecuaţia vectorială a acestei drepte este ),( 0vurr .

11

Analog, dacă punctul P(u,v) se va mişca pe un segment (pe o dreaptă) paralel axei vO1 (ecuaţia acestei

drepte este constuu 0 ),

atunci punctul M(x,y,z) va descrie o curbă 2 . Ecuaţia vectorială a acestei curbe este ),( 0 vurr .

Prin punctul P trec numai două segmente(drepte) paralele cu axele de coordonate uO1 şi vO2 . Punctul

M este imaginea punctului P şi aparţine unei porţiuni simple de suprafaţă şi deaceea curbele 1 şi 2 nu

au alte puncte comune decît M. Curbele 1 şi 2 se numesc curbe de coordonate, iar u şi v – coordonate

curbiliniiale punctului M: M(u,v).

Atribuind lui u şi v toate valorile posibile din domeniul , obţinem o familie de curbe de coordonate cu

ecuaţia v=const, şi o familie de curbe de coordonate cu ecuaţia u=const.

Pe porţiunea simplă de suprafaţă obţinem o reţea de coordonate curbilinii. Prin fiecare punct al acestei

porţiuni trece numai cîte o linie din fiecare familie.

Definiţia 2: Submuţimea S de puncte din spaţiul eucledian se numeşte suprafaţă, dacă pentru orice punct

SM , există o vecinătate a lui M în S, care este o porţiune simplă de suprafaţă ameomorfă cu un

domeniu deschis din plan.

Pentru vecinătatea punctului M există o parametrizare regulată, care se numeşte parametrizare locală a

suprafeţei S.

Definiţia 3: Dacă pentru suprafaţa S există o parametrizare locală, care este şi globală, adică această

parametrizare este unică pentru toate porţiunile regulate ale suprafeţei, atunci S se numeşte suprafaţă

simplă.

Pentru suprafaţa simplă există o parametrizare unică.

În spaţiul tridimensional afin, există trei tipuri de ecuaţii(parametrizări) ale suprafeţelor:

1. ecuaţii parametrice ),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx sau ),( vurr , unde 2),( Rvu

2. ecuaţii explicite ),( yxfz , unde xOyyx ),(

3. ecuaţii implicite 0),,( zyxF , unde 3),,( Rzyx

Definiţia 4: Se numeşte suprafaşă de rotaţie suprafaţa obţinută la rotirea unei curbe în jurul unei

drepte şi această curbă nu intersectează axa de rotaţie.

Ecuaţiile parametrice ale suprafeţei de rotaţie sunt:

)(,sin)(,cos)( ugzvufyvufx .

Exemple de suprafeţe de rotaţie:

1. La rotirea unei circumferinţe în jurul diametrului ce uneşte extremităţile ei, se obţine o

suprafaţă sferică.

2. La rotirea unei elipse în jurul unui diametru.

3. La rotirea unei hiperbole în jurul axei imaginare se obţine un hiperboloid de rotaţie cu o

pînză.

4. La rotirea unei hiperbole în jurul axei reale obţinem un hiperboloid de rotaţie cu două pînze.

5. La rotirea parabolei în jurul axei sale (mai exact la rotirea unei semiparabole) obţinem un

paraboloid circular.

6. La rotirea unei drepte în jurul unei axe paralele cu această dreaptă obţinem o suprafaţă

cilindrică circulară.

7. La rotirea unei drepte în jurul unei axe ce intersectează dreapta dată, obţinem o suprafaţă

conică circulară, care este suprafaţa în sensul definiţiei 2, dacă excludem vîrful ei.

8. La rotirea circumferinţei

12

)(sin,0,cos abubzyubax

în jurul axei Oz obţinem o suprafaţă care se numeşte tor.

Ecuaţiile parametrice ale torului sunt:

ubzvubayvubax sin,sin)cos(,cos)cos( .

Definiţia 5: Se numeşte suprafaţă sferică mulţimea de puncte din spaţiul dat, distanţa cărora pînă

la un punct fix din acest spaţiu este o mărime constantă.

Definiţia 6: Se numeşte suprafaşă cilindrică suprafaţa generată de o dreaptă, ce se deplasează în

spaţiul paralel unui vector datşi intersectează în orice moment o curbă dată. Dreapta se numeşte

generatoare, iar curba – directoare.

avugvur )(),( - ecuaţia vectorială a suprafeţei cilindrice.

unde

)(),().()( uhugufu - parametrizarea directoare, iar },,{ cbaa - vectorul director

al generatoarei.

În coordonate avem:

cvuhvuz

bvugvuy

avufvux

)(),(

)(),(

)(),(

Definiţia 7: Se numeşte suprafaţă conică suprafaţa generată de o dreaptă ce se deplasează în

spaţiu în aşa fel, că trece permanent printr-un punct fix numit vîrf şi intersectează în orice

moment o curbă dată, ce se numeşte directoare.

00 )(),( ruvrvur - ecuaţia vectorială a suprafeţei conice,

unde

)(),().()( uhugufu - parametrizarea directoarei,

13

A(a,b,c) – vîrful suprafeţei conice.

În coordonate obţinem:

))((),(

))((),(

))((),(

cuhvcvuz

bugvbvuy

aufvavux

Definiţia 8: Se numeşte conoid suprafaţa generată prin deplasarea unei drepte paralel cu un plan

dat astfel încît generatoarea intersectează curba dată.

Conoidul se consideră determinat, dacă este dată dreapta directoare l, planul director şi curba

directoare situată pe suprafaţă.

0112

22

2

2

b

y

h

z

a

x - ecuaţia implicită a conoidului,

unde 0),0(, yhhz - ecuaţia dreptei directoare,

12

2

2

2

b

y

a

x - ecuaţia curbei directoare.

Definiţia 9: Se numeşte suprafaţă riglată o suprafaţă generată de o dreaptă variabilă, care

depinde de un parametru, adică care are drept vector director vectorul va şi care trece printr-un

punct al curbei 0 cu ecuaţia )(00 vrr ,

0 se numeşte curbă directoare.

II.2. Curbe de suprafaţă. Planul tangent. Normala.

I. Dacă ),( vurr este o parametrizare locală sau totală a unei suprafeţe, iar )(t

este ecuaţia unei curbe, atunci curba aparţine suprafeţei sau unei porţiuni de suprafaţă,

dacă ))(),(()( tvturt pentru orice t din domeniul de definiţie a funcţiei )(t .

Pentru a determina o curbă de suprafaţa ),( vurr , e necesar ca în vecinătatea

punctului dat să se exprime coordonatele curbilinii u şi v ca funcţii de un singur

parametru t:

)(),( vvvtuu .

Acestea sunt ecuaţiile interioare ale curbei.

Derivăm funcţia

))(),(()( tvturt

şi obţinem

dt

dv

v

r

dt

du

u

rt

)('

Notăm vu rv

rr

u

r

,

Atunci

dt

dvr

dt

durt vu )('

14

Se ştie că punctul de pe curbă este regulat, dacă

0)(' t

şi este singular, dacă 0)(' t . În punctele singulare, vectorii vu rr , sunt coliniari,

deoarece

0dt

dvr

dt

dur vu

.

Definiţia 1: Punctul ),( 000 vuM de pe suprafaţă S cu parametrizarea

),( vurr

se numeşte punct regulat (ordinar) dacă ur nu este paralel cu vr ,

şi singular dacă ur este paralel cu vr .

Curbele pe suprafeţe pot fi, deasemenea, exprimate prin ecuaţia implicită

0),( vuf

unde funcţia f este o funcţie netedă.

În cel mai simplu caz curba poate fi dată şi de ecuaţia explicită

)(uv .

Definiţia 2: Pentru orice Rc ecuaţia

cvuf ),( determină o familie regulată de curbe de suprafaţă. Prin fiecare punct

regulat trece cîte o singură curbă din această familie.

II. Dacă )())(),(( ttvturr este o curbă situată pe suprafaţa ),( vurr , ce trece prin

punctul ),( 000 vuM , atunci

dt

dvr

dt

durt vu )('

Deci, vectorul tangent la curba )(t este o combinaţie liniară a vectorilor ),( 00 vuru şi

),( 00 vurv , care sunt vectori tangenţi la curbele de coordonate: ),(),,( 00 vurrvurr .

Definiţia 3: Vectorul h se numeşte vector tangent la suprafaţe S în punctul 0M , dacă există aşa

o curbă )(t situată pe această suprafaţă, astfel încit

ht )(' 0

unde 00 )( OMt .

Vectorii vu rr , sunt tangenţi la suprafaţa ),( vurr în orice punct regulat

( ur nu este paralel cu vr ).

Teoremă: Mulţimea vectorilor tangenţi la suprafaţa S în punctul regulat 0M este un subspaţiu vectorial

bidimensional. Dacă ),( r este o parametrizare a suprafeţei S în vecinătatea punctului 0M , atunci

vectorii vu rr , formează o bază (un reper) al acestui subspaţiu, care se numeşte reper natural. Subspaţiul

vectorial se notează cu simbolul STM .

Demonstraţie: Fie ),( r o parametrizare a suprafeţei S şi ),( 000 vurOM , iar )(t o curbă pe

această suprafaţă, ce trece prin 0M , )( 00 tOM . Atunci în vecinătatea punctului 0M :

))(),(()( tvturt

dt

dvr

dt

durht vu )(' .

Deci, vectorul tangent la suprafaţa S în punctul 0M este o combinaţie liniară a vectorilor vu rr , . Deci,

STh M0 , unde STM0

este subspaţiu vectorial bidimensional determinat de vectorii vu rr , .

15

Dacă STh M0 , atunci vu rrh şi el este vector tangent la curba suu 0 , svv 0

situată pe suprafaţa dată. Deci, h este tangent la suprafaţa S în punctul 0M .

Definiţia 4: Planul ce trece prin punctul SM 0 paralel subspaţiului STM0 se numeşte plan tangent la

suprafaţa S în punctul 0M .

Definiţia 5: Dreapta perpendiculară în 0M pe planul tangent, se numeşte normală la suprafaţă.

Să deducem ecuaţiile planului tangent şi ale normalei pentru fiecare tip de ecuaţii ale suprafeţei S.

I. Dacă )},(),,(),,({),( vuzvuyvuxvur este parametrizarea suprafeţei în vecinătatea punctului

0M , 00 rOM , iar R este raza vectoare a unui punct arbitrar M al planului tangent, atunci vectorii

,,,0 vu rrrR sunt coplanari, iar 0),,( 0 vu rrrR este ecuaţia vectorială a planului tangent.

În coordonate va fi

0

000

vvv

uuu

zyx

zyx

zZyYxX

,

unde X,Y,Z sunt coordonatele punctului M, 000 ,, zyx sunt coordonatele punctului 0M , iar

vvvuuu zyxzyx ,,,, , sunt coordonatele vectorilor vu rr , calculate în punctul 0M

oo

oo

o

M

v

M

u

M

v

M

u

M

v

M

u

v

vuzz

u

vuzz

v

vuyy

u

vuyy

v

vuxx

u

vuxx

),(,

),(

),(,

),(

),(,

),(

0

Vectorii vu rr , , fiind perpendiculari pe vectorii ur şi vr , va fi perpendiculari şi pe subspaţiul STM0.

Rezultă că vectorul vu rr , este vector director al normalei, iar

vu rrrR ,0 - este ecuaţia vectorial-parametrică a normalei.

În coordonate obţinem

16

vv

uu

vv

uu

vv

uu

yx

yx

zZ

xz

xz

yY

zy

zy

xX 000

- ecuaţii canonice ale normalei, unde X,Y,Z sunt coordonatele unui

punct arbitrar de pe normală.

Vectorul

vu

vu

rr

rrm

,

,

este versorul normalei la suprafaşă în punctul regulat 0M .

III.Dacă suprafaţa S este dată de ecuaţia

),( yxfz

unde ),( yxf este o funcţie netedă de clasa 1, sc s. În acest caz, socotind x şi y coordonate curbilinii

pe suprafaţa S, trecem la parametrizarea

)},(,,{),( yxfyxyxr .

În coordonate planului tangent în punctul ),,( 0000 zyxM , unde ),( 000 yxfz :

0)())(,('))(,('

0

),('10

),('01

0000000

00

00

000

zZyYyxfxXyxf

yxf

yxf

zZyYxX

yx

y

x

Ecuaţiile canonice ale normalei capătă forma:

10

01

0),('

1),('

),('1

),('0

0

00

00

0

00

00

0 zZ

yxf

yxf

yY

yxf

yxf

xX

y

x

y

x

sau

0

00

0

00

0

,','zZ

yxf

yY

yxf

xX

yx

.

III.Dacă suprafaşa S este determinată sde ecuaţia

0),,( zyxF atunci pentru orice punct regulat 0M există o vecinătate, în care suprafaţa S poate fi dată

de ecuaţia ),( yxfz , iar

),,(:),,(),(

),,,(:),,(),(

00000000

'

00000000

'

zyxz

Fzyx

y

Fyxf

zyxz

Fzyx

x

Fyxf

y

x

Am presupus că 0),,( 000

zyx

z

F.

Ecuaţiile planului tangent şi ale normalei la suprafaţa S în punctul 0M capătă forma:

0))(,,())(,,())(,,( 000000000000

zZzyx

z

FyYzyx

y

FxXzyx

x

F - ecuaţia planului

tangent.

),,(),,(),,( 000

0

000

0

000

0

zyxz

F

zZ

zyxy

F

yY

zyxx

F

xX

- ecuaţiile canonice ale normalei

Definiţia 6: Vom spune că suprafaţa S este orientată dacă în fiecare punct al ei poate fi determinată o

orientare, adică în fiecare punct regulat poate fi construit reperul natural mrr vu ,, .

17

II.3. Metrică pe suprafaţă.

Prima formă fundamentală

I. Fie ),( vurr o parametrizare a unei suprafeţe S în vecinătatea unui punct regulat 0M în spaţiul

eucledian 3R . Fie că prin acest punct trece o curbă :

)(),( tvvtuu

Atunci lungimea unui arc al acestei curbe, ce aparţine vecinătăţii respective a punctului 0M , se determină

din formula:

dttrs

t

t

2

1

)('

unde, '')(' tvtu vrurtr

Rezultă

dvrdurrd vu

))(',,( '' dttrrddtvdvdtudu tt .

Se ştie că

22 1)(')(' rd

dttrtr .

Deci, pentru a calcula lungimea arcelor de curbe, trebuie să putem calcula pătratele scalare ale vectorilor

rd .

22222222

2),(2 GdvFdudvEdudvrdudvrrdurdvrdurrd vvuuvu , unde

2222

),( uuuu zyxrvuE

vuvuvuvu zzyyxxrrvuF ),(),(

2222

),( vvvv zyxrvuG

Deoarece

dttrds )(' , iar

2222 )(' rddttrds , obţinem că 22 ),(),(2),( dvvuGdudvvuFdudvvuEds . Partea dreapta a egalităţii este o formă pătratică în

raport cu du şi dv şi se numeşte prima formă fundamentală pe suprafaţă( sau metrică pe o porţiune

regulată de suprafaţă). Curba pe suprafaţă poate fi determinată de ecuaţiile parametrice:

)())(),((

)())(),((

)())(),((

tztvtuzz

tytvtuyy

txtvtuxx

Obţinem că

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

rd;;

iar

2222

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

rd.

Pătratul scalar este calculat în sistemul cartezian rectangular de coordonate şi atunci

18

2

1

222t

tdt

dz

dt

dy

dt

dxs

,iar

2

222

2

2222

22

2222

2

22

2

dvv

z

v

y

v

x

v

z

u

z

v

y

u

y

v

x

u

xdu

u

z

u

y

u

xdv

v

zdu

u

z

dvv

ydu

u

ydv

v

xdu

u

xdzdydxdt

dt

rdrdds

unde

222

222

222

222

),(

),(

),(

vvv

vuvuvu

uuu

zyxv

z

v

y

v

xvuG

zzyyxxv

z

u

z

v

y

u

y

v

x

u

xvuF

zyxu

z

u

y

u

xvuE

III.Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia ),( yxfz , atunci

)},(,,{),( yxfyxyxrr , iar

},,{ dyy

fdx

x

fdydxrd

În acest caz avem:

2

2

2

2

22

121 dyy

fdxdy

y

f

x

fdx

x

fdsrd

, de unde

2

2

1),(

),(

1),(

y

fyxG

y

f

x

fyxF

x

fyxE

III.Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia generată

0),,( zyx atunci metrica rimaniană pe suprafaţă se determină după forma 222 dzdydx

cu condiţia

0),,( zyxd

adică

0

dz

zdy

ydx

x

din care (dacă 0

z

) obţinem

19

dyzy

dxzx

dz

::

iar,

2222 dzdydxds

2

22

2

2

:1:2:1 dyzy

dxdyzzx

dxzx

În acest caz metrica rimaniană este determinată de funcţiile

2

2

2

:1),(

:2),(

:1),(

zyyxG

zzxyxF

zxyxE

Definiţie: Metrica rimaniană pe suprafaţa S se numeşte metrică euclidiană, dacă există aşa o

parametrizare

),( vurr a acestei suprafeţe în care

222 dvduds .

Matricea euclidiană pe suprafeţele S se numeşte metrică comformă, dacă există aşa o parametrizare

),( vurr

a acestei suprafeţe(sau a unei porţiuni), în care

))(,( 222 dvduvufds

Coordonatele curbilinii (u,v) se numesc în primul caz coordonate euclediene, iar în al doilea – coordonate

izoterme sau comforme.

II. Să enumerăm proprietăţile de bază ale primei forme fundamentale pe o porţiune regulată de suprafaţă

din spaţiul eucledian.

I.22 ),(),(2),( dvvuGvuFduvuE

este o formă pozitiv determinată deoarece ea reprezintă pătratul scalar al vectorului rd din spaţiul

eucledian. Acest pătrat întotdeauna este pozitiv. Rezultă

0),(,0),( vuGvuE

02 FEGGF

FE

II.Din relaţiile

2222

2222

22

cos),(

sin,

),,(,

vuvu

vuvu

vvuu

rrrr

rrrr

rGrrFrE

unde este unghiul dintre ur şi vr .

Rezultă că

222

,),(, vuvuvu rrrrrr .

Deci,

2, FEGrr vu

III.Prima formă fundamentală este metrică în subspaţiul tangent STM0. într-adevăr, dacă

20

vu raraa 21

aparţine lui STM0, atunci

2

221

2

1

2

2

2

21

2

1

22

),(),(2),(),(2 avuGaavuFavuEaraarrara vvuu

dacă

vu rbrbb 21

atunci

22122111 )(, bGababaFbEaba

Aceasta înseamnă că în STM0 pot fi calculate lungimile vectorilor

2

aa

şi unghiurile dintre orice doi vectori

ba

ba

),(cos

iar apoi şi ariile figurilor din planul tangent respectiv.

II.4. Aplicaţiile primei forme fundamentale

Deoarece prima formă fundamentală este metrică pe suprafaţă, ae trebuie să ne dee posibilitatea de a

calcula: lungimea arcelor curbelor situate pe suprafaţă, unghiurile dintre curbele situate pe suprafaţă şi

ariile porţiunilor regulate de suprafaţă.

I. Calcularea lungimii arcelor situate pe suprafaţă.

Fie ))(),(()( tvturtr o curbă situată pe suprafaţa ),( vurr . Să calculăm lungimea arcului acestei

curbe, mărginit de punctele )( 11 tM şi )( 22 tM şi situat pe o porţiune regulată a suprafeţei ),( vurr .

Calculăm prima formă fundamentală de-a lungul curbei date: 22'2''22'2 )))((),(())(),((2)))((),(( dtvtvtuGdtvutvtuFdtutvtuEds tttt

Deci,

22'2''22' )))((),(())(),((2)))((),(( dtvtvtuGdtvutvtuFdtutvtuEds tttt a

2

1

t

t

dss .

II. Calcularea unghiurilor dintre curbele situate pe suprafaţă

Fie, ))(),(()( 11 tvtut şi ))(),(()( 22 tvtut două curbe situate pe suprafaţa

),( vurr ce au un punct comun M. Aceasta înseamnă că există aşa valori 1t şi 2t ale parametrului t,

încît

)()( 2211 tt .

Presupunem în continuare, că M este un punct regulat pentru ambele curbe, adică nu sunt nuli vectorii

2

'

21

'

1 tsit

Unghiul dintre acesti vectori şi este unghiul dintre curbele )(1 t şi )(2 t . Vectorii )('1 t şi )('2 t

aparţin subspaţiului tangent STM şi atunci

21

2'

2

'

2

'

2

2'

2

2'

1

'

1

'

1

2'

1

'

2

'

1

'

1

'

2

'

2

'

1

'

2

'

1

'

2

'

1

'

2

'

1

)()()(2)()()()(2)(

)()()()()()()()(

)()(

)(),(cos

tvGtvtFutuEtvGtvtFutuE

tvtGvtvtutvtuFtutuE

tt

tt

unde

)),(),((),(),((),(),(()(

)),(),((),(),((),(),(()(

222222

'

2

111111

'

1

tvtuzdt

dtvtuy

dt

dtvtux

dt

dt

tvtuzdt

dtvtuy

dt

dtvtux

dt

dt

indicii 1 şi 2 la funcţiile u şi v sunt introduşi formal pentru a arăta numătul curbei E,F şi G sunt

coeficienţii primei forme fundamentale calculaţi în punctul M.

III. Calcularea ariilor porţiunilor regulate de suprafaţă.

Se ştie că, ]n planul euclidian cu cu coordonatele (x,y) aria unui domeniu se calculează cu ajutorul

integralei duble:

dxdy

Dacă efectuăm o transformare de coordonate

),~,~(),~,~( yxyyyxxx

atunci

ydy

yxd

x

ydy

ydy

xxd

x

xdx

~~2

2~~2

2

~~2

2~~2

2

iar

ydxdI ~~det ,

unde

y

y

x

y

y

x

x

x

I

~~

~~

este matricea Jacobi a transformării de coordonate, ~

este domeniul de variaţie a coordonatelor noi yx ~,~ .

Calcularea ariilor porţiunilor regulate de suprafaţă se efectuează după formule analoage prin aplicarea

primei forme fundamentale. Fie o porţiune regulată a suprafeţei S. Cu ajutorul curbelor de coordonate,

împărţim domeniul în paralelograme curbilinii.

22

Fie 231 MMMM unul dintre ele: ),(),(),(),( 121311 vuMvuMvuMvuM . Asociem acestui paralelogram

curbilinii paralelogram construit de vectorii

)(),( 1

'

21

'

1 vvrMMuurMM vu care este situat în planul tangent la suprafaţa S în punctul M.

Cînd numărul paralelogramelor curbilinii creşte nemărginit, astfel încît 0)(,0)( 11 vvuu ,

atunci aria porţiunii este limita către care tinde suma ariilor paralelogramelor asociate. Se ştia că aria

paralelogramului construit pe vectorii '

2

'

1 ,MMMM este egală cu modulul produsului vectorial al

acestor vectori.

)0,0(

)()(

,)()()(,)(,

11

2

11

1111

'

2

'

1231

vvuu

FEGvvuu

rrvvuuvvruuMMMM vuuMMMM

Definiţie: Expresia

dudvGEFd 2

se numeşte element de arie a suprafeţei S faşă de coordonatele curbilinii(u,v).

Arie a porţiunii regulate de pe suprafaţa S se numeşte mărimea

d

La transformarea coordonatelor curbilinii

)~,~(),~,~( vuvvvuuu

aria porţiunii regulate se transformă în felul următor:

ydxdIFEG ~~det .

II.5. Curbura curbelor de pe suprafaţă.

Forma a doua fundamentală

Fie dată o suprafaţă S cu parametrizarea ),( vurr şi pe ea o curbă . Faţă de parametrul natural

s(unde s este lungimea arcului de curbă) ecuaţia curbei poate fi scrisă

)()(),()( srsvsurs

În fiecare punct regulat al curbei poate fi construit tripletul Frenet:

bnt ,,

unde

nbbtknnktds

rdrt

...

,,, ,

unde k – curbura curbei, - torsiunea curbei.

Construim în punctul regulat M al curbei versorul m al normalei la suprafaţa S.

Vectorii bnt ,, aparţin planului normal al curbei în punctul M. Prima formulă Frenet permite să

calculăm curbura curbei în punctul biregulat M 2

2

2

2...

,ds

rdnk

ds

rdrt .

Înmulţim scalar ultima egalitate la versorul m si obţinem:

2

2 ,),(

ds

mrdmnk

Fie mulţimea unghiurilor dintre m şi n , atunci 2

2 ,cos

ds

mrdk .

Să calculăm produsul scalar mrd ,2. Avem dvrdurrd vu şi deci

23

22

22222

2222

2

,,,,2,,

NdvMdudvLdu

vdmrudmrdvmrdudvmrdumrmrd

dvrdvdurdvdurudrdudvrdurrd

vuvvuvuu

vvvvuuuvuu

unde

0,,0,

,,,,,

,,2

22

2

2

mrmr

mrNmrMmrL

v

rr

vu

rr

u

rr

vu

vvuvuu

vvuvuu

Observăm că produsul scalar ( mrd ,2) se exprimă printr-o formă pătratică

222 ),(),(2),( dvvuNdudvvuMduvuLdl

faţă de diferenţiala du şi dv. Această formă se numeşte a doua formă fundamentală pe suprafaţă.

Deoarece vectorul

2

,

,

,

FEG

rr

rr

rrm

vu

vu

vu

,

astfel pentru calcularea coeficienţilor L,M,N obţinem următoarele formule

22

22

22

,,,,,

,,,,,

,,,,,

FEG

rrr

FEG

rrrmrN

FEG

rrr

FEG

rrrmrM

FEG

rrr

FEG

rrrmrL

vvvuvuvvvv

uvvuvuuvuv

uuvuvuuuuu

.

Deci, calcularea coeficienţilor L,M,N se reduce la calcularea produselor mixte.

În coordonate obţinem:

vvvvvv

vvv

uuu

vvvu

uvuvuv

vvv

uuu

uvvu

uuuuuu

vvv

uuu

uuvu

zyx

zyx

zyx

rrrD

zyx

zyx

zyx

rrrD

zyx

zyx

zyx

rrrD

,,"

,,'

,,

unde ",', DDD sunt determinaţii lui Gauss.

Dacă suprafaţa S este determinată de ecuaţia ),( yxfz , atunci determinanţii lui Gauss capătă forma:

24

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

00

10

01

"

00

10

01

'

,

00

10

01

yy

yy

y

x

xy

xy

y

x

xx

xx

y

x

f

f

f

f

D

f

f

f

f

D

f

f

f

f

D

Dacă însă suprafaţa S este determinată de ecuaţia ei generală 0),,( zyxF , atunci pentru determinarea

aceloraşi determinanţi obţinem formulele:

22

2

2

",'

00

10

01

z

yyzyzy

z

xyzyzx

z

xxzxzx

z

xxzxzx

z

y

z

x

F

FFFFD

F

FFFFD

F

FFFF

F

FFFF

F

F

F

F

D

Deci, pentru calcularea curburii curbei în punctul ))(),(( svsuM obţinem formula

II

I

dvsvsuGdudvsvsuFdusvsuE

dvsvsuNdudvsvsuMdusvsuLk

22

22

))(),(())(),((2)(),((

))(),(())(),((2)(),((cos

Este necesar să menţionăm că diferenţiala du şi dv sunt calculate pe curba . Uşor se observă că la

schimbarea de parametru pe curba , formula obţinută nu se schimbă. Să concretizăm sensul geometric

al formulei principale pentru calcularea curburii , situată pe suprafaţa i S, în punctul dat biregulat M.

Coeficienţii formelor pătratice E,F,G,L şi N primesc valori concrete în punctul dat M, adică pot fi

consideraţi mărimi constante, deci partea dreaptă a formulei principale depinde numai de raportul

diferenţialelor dv:du sau du:dv.

Pentru a ne convinge de acest lucru este de ajuns să împărţim numărătorul şi numitorul la 2du sau

2dv şi

obţinem:

2

2

2

2

cos

du

dvG

du

dvFE

du

dvN

du

dvML

k

unde raportul du

dv caracterizează direcţia tangentei, deci partea dreaptă a formulei de mai sus depinde

numai de direcţia tangentei , care este )(' s la curba în punctul M şi primeşte una şi aceeaşi valoare

pentru toate curbele de pe suprafaţa S, ce trec prin punctul M şi au una şi aceeaşi tangentă.

Fie dată tangenta M la curba , atunci partea dreaptă a formulei principale este pe deplin determinată, în

cazul cînd ea este diferită de zero, (adică valoarea formei a doua fundamentale în punctul M este diferită

de zero), avem 0cos,0 k , adică 2

.

25

Planul osculator al curbei (el conţine vectorii nt, ) rămîn enedeterminat, adică diferite curbe tangente

la dreapta M au diferite plane osculatoare, ce formează un fascicol de plane cu axa M, atunci rezultă că

pentru determinarea curburii k trebuie să indicăm tangenta şi planul osculator al curbei . În acest caz

este determinată normala principală a curbei în punctul M(dreapta din planul osculator perpendiculară

pe tangentă se numeşte normală principală). Sensul versorului m se determină din condiţia că 0k ,

dacă partea dreaptă este pozitivă, atunci 2

0,0cos

, dacă partea dreaptă este negativă, atunci

2

,0cos .

Conchidem că relaţia I

IIk cos stabileşte legătura dintre direcţia tangentei , poziţia planului osculator

şi curbura în punctul M, pentru familia de curbe situate pe suprafaţa S cu punctul comun M.

II.6. Direcţii principale. Curburi principale

Fie M un punct regulat al suprafeţei S cu parametrizarea

),( vurr

Construim în acest punct, planul tangent şi normala la suprafaţă. Tangentele tuturor curbelor de pe

suprafaţa S în punctul M aparţin acestui plan. Dacă prin normala suprafeţei şi orice dreaptă din planul

tangent ce trece prin punctul M vom duce un plan, atunci intersecţia acestui plan cu suprafaţa este o

secţiune normală a ei. Deci, prin orice punct regulat al suprafeţei S se pot construi pe ea o infinitate

secţiuni normale. Curburile tuturor acestor secţiuni sunt mărginite, adică nu pot primi valori oricît de

mari.

Definiţia 1: Valorile minimale şi maximale ale curburii secţiunilor normale în punctul regulat M de pe

suprafaţa S se numesc – curburi principale. Secţiunile normale respective se numesc – secţiuni normale

principale. Direcţiile tangentelor secţiunilor normale principale se numesc – direcţii principale.

Să cercetăm în continuare problema existenţei curburilor principale, să elaborăm metode de calculare a

lor şi să determinăm direcţiile principale în punctele regulate ale suprafeţelor prin diferite tipuri de

parametrizări.

I. Fie că suprafaţa S este dată de ecuaţia

),( yxfz

Vom considera că originea sistemului cartezian rectangular de coordonate este translată în punctul regulat

M al suprafeţei, adică )0)0,0(()0,0,0( fMO . După aceea rotim sistemul de coordonate, astfel ca

axa Oz să coincidă cu normala suprafeţei. La aceste transformări de coordonate, suprafaţa rămîne

invariantă. Se ştie că în acest caz, în calitate de parametrizare, pot fi luate coordonatele x şi y:

),(,,),( yxfyxyxr

Atunci

),(,0,1),( 1 yxfyxr xx şi ),(,0,1),( 1 yxfyxr yy

În vecinătatea punctului M putem de asemenea menţiona că

0)0,0()0,0( '' yx ff , adică 0gradf

În aceste condoţii yxyxyx rmrrrmrr ,,, , prima formă fundamentală este 222 dydxds ,

iar a doua formă fundamentală este 2""2"2 2 dyfdxdyfdxfdl yyxyxx

Curbura secţiunii este

22

2"'2"2 2

dydx

dyfdxdyfdxfdlk

yyxyxx

.

Pentru calcularea valorilor extremale ale curburii cercetăm a doua formă fundamentală

Matricea acestei forme

26

""

""

yyxy

xyxx

ff

ff

se numeşte Hessian.

Fie 1k şi 2k rădăcinile caracteristice ale hesianului 21 kk , atunci printr-o rotaţie în jurul axei Oz a

sistemului de coordonate Oxyz zyxOOxyz ~~~ forma a doua poate fi adusă la forma canonică

2

2

2

1~~ ydkxdk ,

iar

22

2

2

2

1

~~

~~

ydxd

ydkxdkk

(la rotaţie, forma 22 ~~ ydxd nu se schimbă. Acum uşor se observă că 1k este valoarea minimală, iar 2k

este valoarea maximală a curburii k. Deci, rădăcinile caracteristice ale hasianului suprafeţei ),( yxfz

în punctul regulat M al suprafeţei, în care 0gradf , sunt curburile principale ale suprafeţei S în punctul

regulat M. Pentru determinarea acestor rădăcini, obţinem ecuaţia caracteristică

0""

""

""2 yyxy

xyxx

yyxxff

ffffk care are întotdeauna rădăcini reale 1k şi 2k . Dacă

Myy

Nxx ff "" şi 0"

Mxyf , atunci aceste rădăcini sunt egale, iar în caz contrar 21 kk .

II.Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia ei generală

0),,( zyxF

Atunci în vecinătatea fiecărui punct regulat 0M

gradF , această suprafaţă poate fi determinată şi de

ecuaţia ),( yxfz .

Existenţa şi calcularea curburilor principale sunt analoage cazului I.

III. Să cercetăm în continuare cazul cînd suprafaţa S este determinată de parametrizarea

),( vurr

În acest caz, pentru calcularea curburii unei secţiuni normale, a fost obţinută formula

22

22

2

2

GdvFdudvEdu

NdvMdudvLdu

II

Ik

în care coeficienţii E,F,G,L,M,N sunt calculaţi în punctul dat M, iar du şi dv sunt diferenţialele

coordonatelor curbilinii calculate de-a lungul secţiunii normale. Cercetarea curburii secţiunii normale ce

trece prin punctul regulat M se va efectua prin reducerea formei a doua la forma canonică şi a primei

forme la forma normală cu ajutorul uneia şi aceleiaşi transformări nedegenerate

Teorema1: Fie dată o pereche de forme pătratice

n

ji

jiijn xxaxxxf1,

21 ),...,,( şi

n

ji

jiijn xxbxxxg1,

21 ),...,,(

Dacă g este pozitiv definită, atunci există o transformare liniară nedegenerată care reduce în acelaşi timp

forma g la forma normală, şi forma f la forma canonică.

Demonstraţie:

Aplicăm mai întiî transformarea negenerată a necunoscutalor ''

21 :,...,, jin yTxxxx care aduce

forma pozitiv definită g la forma normală

),...,(...,...,, 11

22

2

2

121 nnn yygyyyxxxg .

Apoi aplicăm transformarea la care forma f va trece într-o oarecare formă 1f de necunoscute noi

),...,(,..,, 1121 nn yyfxxxf .

Efectuăm în continuare transformarea ortogonală a necunoscutelor ''

1 )(:,..., njn zQyyy , care

reduce forma 1f la forma canonică:

),...,(...),..,( 12

22

22

2

1111 nnnn zzfzzzyyf

27

Această transformare a necunoscutelor njy j ,...,1, transformă suma pătratelor

22

2

2

1 ... nyyy în suma pătratelor ),...,(... 12

22

2

2

1 nn zzgzzz .

În urma compoziţiilor acestor transformări ''

ki zTQx , obtinem:

şi

22

2

2

1121 ...,...,,..., nnn zzzzzgxxg

Teorema 2: Coeficienţii n ,...,, 21 sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice 0 BA , unde

ijij bBaA , sunt matricile formelor pătratice f şi g respectiv.

Demonstraţie: La efectuarea unei transformări nedegenerate ale necunoscutelor ''

ji yTx , matricile

A şi 1A ale formelor pătrate respective, satisfac relaţia

ATTA '1 , ATA detdetdet2

1 . Prin relaţii de acelaşi tip, sunt legate şi matricile 1B şi B. Deci

BATTBATBTTATTBA 2

11 )('''

Determinantul T fiind diferit de 0, avem 0 BA , atunci şi numai atunci

011 BA . Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0 BA se numesc rădăcini caracteristice ale

perechii de forma (f,g). În virtutea celor expuse mai sus, avem că perechile de forme (f,g), 11 , gf şi

22 , gf au aceleaşi rădăcini caracteristice. Numerele n ,...,, 21 sunt rădăcinile caracterustice ale

perechii 22 , gf , şi prin urmare ele sunt rădăcini ale ecuaţiei 0 BA .

Să ne întoarcem acum la cercetarea curburii secţiunilor normale ce trec prin punctul regulat M al

suprafeţei S dată de parametrizarea ),( vurr . Efectuăm transformarea coordonatelor curbilinii u şi v

care va aduce forma a doua la forma canonică, iar prima formă la forma normală:

vuvvvuuu ~,~,~,~ . Ca rezultat obţinem

22

2

2

2

1

~~

~~

vdud

vdudk

Deci, 21 , sunt curburile principale. Conchidem că curburile principale ale suprafeţei S în punctul

regulat M sunt rădăcinile caracteristice ale perechii de forme fundamentale(II,I), adică sunt rădăcinile

ecuaţiei

0

GNFM

FMEL

, sau 02 222 MLNFMLGENFEG .

Această ecuaţie are întotdeauna două rădăcini reale(matricile formelor pătratice sunt simetrice). Direcţiile

principale se determină cu vectorii proprii ce corespund rădăcinilor caracteristice 21 , . Aceste direcţii

sunt reciproc perpendiculare dacă 21 . Dacă 21 atunci orice direcţie din subspaţiu.

Definiţia 2:

Baza ortonormată 21,ll din subspaţiul STM , vectorii căreia au direcţie principală se numeşte baza

direcţiilor principale ale suprafeţei S în punctul regulat M.

Dacă 21 , atunci baza direcţiilor principale se determină univoc, iar dacă 21 , atunci orice bază

ortogonală STM este baza direcţiilor principale.

II.7. Formula lui Euler.

Curbura totală. Curbura medie

Studierea curburii secţiunilor normale arată că curbura unei secţiuni normale arbitrare se exprimă prin

curburile principale. Formula de calculare a acestei curburi, întotdeauna poate fi transformată în formulă

simplă:

22

22

2

11121 ...,...,,..., nnnn zzzzzfxxf

28

2

2

2

122

2

222

2

122

2

2

2

11 sincos~~

~

~~

~

~~

~~kk

vdud

vdk

vdud

udk

vdud

vdkudkk

2

2

2

1 sincos kkk - formula lui Euler,

unde este unghiul format de direcţia tangentei la secţiunea normală cercetată cu direcţia principală,

corespunzătoare curburii principale 1k . Într-adevăr: constvconstu ~,~ sunt ecuaţiile secţiunilor

normale principale, ce trec prin punctul regulat )~,~( vuM . Aceste curbe sunt reciproc perpendiculare.

Versorii tangentelor acestor secţiuni normale principale formează baza direcţiilor principale 21,, llM .

Fie l versorul tangentei secţiunii normale date, iar M – un punct pe această

tangentă, )~~,~~(' vdvuduM . Atunci pentru unghiul dintre vectorii l şi 1l au loc relaţiile

22

2

22

2

~~

~sin

~~

~cos

vdud

vd

vdud

ud

Formula 2

2

2

1 sincos kkk poartă numele marelui savant L. Euler(1707-1783). La rotirea

tangentei secţiunii normale din poziţia 1MT în jurul punctului M pînă în poziţia 2MT2

0

.

Definiţie: Produsul curburilor principale se numeşte curbura totală a suprafeţei în punctul regulat M, iar

suma curburilor principale se numeşte curbura medie.

Notăm: 21 kkK , 2

21 kkH

.

Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia

),( yxfz

cu condiţia ca 0gragf , atunci curburile principale sunt rădăcinile ecuaţiei

0""

""

""2 yyxy

xyxx

yyxxff

ffkffk

Din această ecuaţie rezultă că curbura totală gausiană este egală cu determinantul Ressianului

""

""

yyxy

xyxx

ff

ffk , iar curbura medie, cu o jumătate din diagonală principală a lui.

Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia ),( vurr , atunci curburile principale în punctul regulat M sunt

rădăcinile ecuaţiei

02 222 MLNkMFLGENkFEG .

Din această ecuaţie rezultă, că curbura totală (gaussiană) este egală cu raportul determinanţilor formelor I

şi II.

29

2

2

FEG

MLNk

.

Pentru calcularea formulii medii, obţinem formula

22

2

FEG

MFLGENH

.

Teorema lui Gauss: Curbura totală poate fi exprimată numai cu ajutorul coeficienţilor primei forme

fundamentale şi a derivatelor parţiale de primul şi al doilea ordin.

Demonstraţie: Demonstraţia acestei teoreme se reduce la exprimarea determinantului formei a doua prin

coeficienţii primei forme fundamentale şi a derivatelor llor parţiale de primul şi al doilea ordin.

2

2

2 '"

FEG

DDDMLN

, unde ",', DDD sunt determinanţii lui Gauss. Calculăm în continuare

expresia 2'" DDD .

uvuvvuvu

uvvvvu

uvuvuu

vvuuvvvvvu

uuvvvu

uuuvuu

uvvuvvvuuuvu

rrrrr

rrrrr

rrrrr

rrrrrr

rrrrr

rrrrr

rrrrrrrrrDDD

2

2

2

2

22,,,,,,'"

Cunoaştem că ),(),,(),,(2

vuGrvuFrrvuEr vvuu . Derivăm aceste egalităţi în raport cu u şi v

şi obţinem

vvvvuuvv

vvvuvuvuuvuvuu

vvuuuuu

GrrGrr

FrrrrFrrrr

ErrErr

2,2

,,

,2,2

Din relaţiile obţinute putem determina următoarele produse scalare:

vvvvuvvvu

uuvvvuuuv

vvuuuuu

GrrGFrr

GrrEFrr

ErrErr

2

1,

2

1

,2

1,

2

1

,2

1,

2

1

Folosind aceste egalităţi, obţinem

GF

FEr

GG

EFG

GG

EFE

GF

FErr

EFG

EFG

GG

EFGF

rGE

GGF

EFE

rrGGF

EFGF

EFE

DDD

uv

u

v

u

u

v

v

uvuu

vu

u

v

u

u

uv

vvuv

u

v

vvuuvuv

vu

u

2

22

2

2

2

12

1

2

1

2

12

1

2

1

2

12

1

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

12

12

1

2

1

2

12

12

1

'"

30

222

2

24

1

2244

12

4

1

uvvvuuvuvuu

vuuuvvvuvuvuvvu

rrrFEGFEEGEG

EGGFGFGEFFFGFGEGE

Pentru a determina 2

uvvvuu rrr prin derivatele coeficienţilor primei forme, derivăm egalitatea

vvvu Err2

1 în raport cu variabila v, iar egalitatea

2

2

1uvvvu GFrr în raport cu variabila u.

Obţinem vvvvuuuvuuuvuuvvuu ErrrGFrrrr

2

1,

2

1 2

Scădem din prima egalitate pe a doua şi obţinem

uuvvuvuvvvuu GEFrrr2

1

2

12

, unde vvuuvv rr . c.t.d.

II.8. Direcţii asimtotice. Clasificarea punctelor unei suprafeţe.

Fie M un punct regulat al suprafeţei S, iar STM subspaţiul liniar tangent la suprafaţa S ]n punctul M.

Definiţie: Direcţia determinată de vectorul STh M , se numeşte direcţie asimtotică, dacă coordonatele

vectorului h anulează forma a doua fundamentală.

Direcţia asimtotică este caracterizată de faptul că curbura secţiunii normale tangente la vectorul h în

punctul M este egală cu zero.

Definiţia 2: Linia pe suprafaţa S se numeşte linie asimtotică, dacă tangenta în orice punct al acestei linii

are direcţie asimtotică.

În coordonatele curbilinii u şi v ale suprafeţei S , liniile asimtotice sunt determinate de ecuaţia

diferenţială

02 22 NdvMdudvLdu

Împărţim această egalitate la 2du , dacă 0N şi obţinem o altă ecuaţie diferenţială

02

2

L

du

dvM

du

dvN

Discriminantul acestei ecuaţii este LNM 24 . Deoarece derivata du

dv indică direcţia tangentei la curba

uv , rezultă că în punctul SM :

a) există două direcţii asimtotice, dacă 02 MLN

b) există o direcţie asimtotică, dacă 02 MLN

c) nu există nici o direcţie asimtotică, dacă 02 MLN

Concluzie: Semnel determinantului formei a doua fundamentale determină existenţa şi numărul liniilor

asimtotice, ce trece prin punctul M al suprafeţei S.

Pentru a determina ecuaţiile acestor linii, rezolvăm ecuaţiile diferenţiale de ordinul întîi.

N

LNMM

du

dv

2

.

Observaţii:

1) Dacă 0,0 LN , atunci ecuaţia iniţială se împarte la 2dv .

2) Dacă 0,0 MNL , atunci liniile de coordonate constvconstu , sunt linii asimtotice.

3) Dacă 0 NML , atunci orice direcţie din STM este direcţie asimtotică, ceea ce este

posibil numai în cazul cînd S este un plan sau o porţiune de plan (linia dreaptă pe orice suprafaţă

este linie asimtotică).

Direcţiile asimtotice, curbura totală şi curburile principale, ne dau posibilitatea să clasificăm punctele

regulate pe suprafaţă.

31

I. Punctul SM se numeşte punct hiperbolic, dacă în acest punct există două direcţii asimtotice.

În punctul M determinantul formei a doua fundamentale

02 MLN

curburile principale au semne diferite, iar curbura totală este negativă.

Suprafaţa în vecinătatea punctului M este situată pe diferite părţi ale planului tangent şi au numai un punct

comun cu el, punctul M. Aşa o situaţie este caracteristică pentru suprafeţele hiperboloidului cu o pînză şi

a paraboloidului hiperbolic.

II. Punctul SM se numeşte punct parabolic, dacă în acest punct există o singură direcţie asimtotică.

În punctul M determinantul formei a doua fundamentale 02 MLN - una din curburile principale şi

curbură totală sunt egale cu zero.

Suprafaţa S este situată pe aceeaşi parte a planului tangent, numai că are cu el o dreaptă sau o porţiune de

dreaptă comună. Aşa o situaţie este caracteristică pentru suprafeţele cilindrice şi conice.

III. Punctul M se numeşte punct de condensare, dacă 021 kk .

IV. Punctul M se numeşte punct eliptic,dacă în acest punct nu există direcţii asimtotice.

În punctul M determinantul formei a doua fundamentale 02 MLN - curburile principale au acelaşi

semn, iar curbura totală este pozitivă.

Suprafaţa în vecinătatea punctului M este situată de aceeaşi parte a planului tangent şi au cu el numai un

punct comun, punctul M.

Dacă ambele curburi principale sunt pozitive 0,0 21 kk , atunci punctul M este un punct de minim,

iar dacă ambele curburi sunt negative 0,0 21 kk , atunci punctul M este un punct de maxim. Aşa o

situaţie este caracteristică pentru suprafeţele sferice, suprafaţa hiperbolică cu două pînze, suprafaţa

paraboloidului eliptic şi ale multor suprafeţe.

Definiţia 3: Punctul eliptic SM se numeşte punct ombidic sau punct de rorunjire, dacă toate secţiunile

normale în punctul M au una şi aceeaşi curbură kkk 21 .