Curs 7

Sisteme de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai

Forma generala a sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai estex′1 = f1(t, x1, x2, ..., xn)

x′2 = f2(t, x1, x2, ..., xn)... ... ........................x′n = fn(t, x1, x2, ..., xn),

(1)

unde t este variabila independenta, iar functiile x1, x2, ..., xn sunt functii necunoscute. Functiilex1, x2, ..., xn sunt functii de t, continue pe domeniul de definictie I ⊆ R, iar functiile fi : D ⊆Rn → R sunt de asemenea continue pe domeniul de definitie.

Sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai

Forma generala a sistemelor de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai estex′1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + ...+ a1n(t)xn

x′2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + ...+ a2n(t)xn

... ... ...................................................x′n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + ...+ ann(t)xn,

(2)

aij si fi sunt functii definite si continue pe un interval I ⊆ R, cu i = 1, n, j = 1, n.Daca folosim notatiile

A(t) =

a11(t) a12(t) ... a1n(t)a21(t) a22(t) ... a2n(t)... ... ... ...

an1(t) an2(t) ... ann(t)

, X ′ =

x′1

x′2

...x′n

, X =

x1

x2

...xn

, f(t) =

f1(t)f2(t)...

fn(t)

,

atunci sistemul (2) devinex′1

x′2

...x′n

=

a11(t) a12(t) ... a1n(t)a21(t) a22(t) ... a2n(t)... ... ... ...

an1(t) an2(t) ... ann(t)

x1

x2

...xn

+

f1(t)f2(t)...

fn(t)

,

sistem echivalent cuX ′ = A(t)X + f(t). (3)

Daca f(t) = 0, adica f1(t) = f2(t) = ... = fn(t) = 0, atunci sistemul (3) devine

X ′ = A(t)X (4)

si se numeste sistem omogen de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai.

1

Sisteme de ecuatii diferentiale omogene, liniare, de ordi-

nul ıntai, cu coeficienti constanti

Forma generala a sistemelor de ecuatii diferentiale omogene, liniare, de ordinul ıntai, cucoeficienti constanti este

x′1 = a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn

x′2 = a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn

... ... ...................................................x′n = an1x1 + an2x2 + ...+ annxn,

(5)

unde x1, x2, ..., xn sunt functii necunoscute care depind de t, iar aij, i = 1, n, j = 1, n suntconstante reale.

Pentru a rezolva sistemul (5) se cauta solutii de forma

x1 = α1ert, x2 = α2e

rt, ..., xn = αnert,

unde α1, α2, ..., αn si r sunt constante ce trebuie determinate.Inlocuind ın sistemul (5) obtinem

rα1ert = a11α1e

rt + a12α2ert + ...+ a1nαne

rt

rα2ert = a21α1e

rt + a22α2ert2 + ...+ a2nαne

rt

... ... ...................................................rαne

rt = an1α1ert + an2α2e

rt + ...+ annαnert

Impartind fiecare ecuatie prin ert si trecand totul ıntr-o parte, obtinem sistemul omogen deecuatii liniare

(a11 − r)α1 + a12α2 + ...+ a1nαn = 0a21α1 + (a22 − r)α2 + ...+ a2nαn = 0.................................................. ... ...an1α1 + an2α2 + ...+ (ann − r)αn = 0

(6)

Ne intereseaza solutia nenula a sistemului (6), deci cazul ∆ = 0, unde ∆ reprezinta determi-nantul matricei sistemului. Avem

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − r a12 ... a1na21 a22 − r ... a2n... .... ... ...an1 an2 ... ann − r

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Se obtine o ecuatie de gradul n ın r, ecuatie ce se numeste ecuatie caracteristica. Din ecuatiacaracteristica se obtin n valori ale lui r, care pot fi reale sau complexe, egale sau diferite. Pentrufiecare r aflat ne ıntoarcem ın sistemul (6) si aflam constantele α1, α2, ..., αn.

In continuare vom studia forma solutiei sistemului de ecuatii diferentiale liniare de ordinulıntai ın functie de tipul radacinilor ecuatiei caracteristice.

2

1. Ecuatia caracteristica are toate radacinile reale si distincte

In aceasta situatie se ınlocuieste, pe rand, fiecare r ın sistemul (6) si se afla αi corespunzatori.Atunci

Xr1 =

α11e

r1t

α12er1t

...α1ne

r1t

, Xr2 =

α21e

r1t

α22er1t

...α2ne

r1t

, Xrn =

αn1e

r1t

αn2er1t

...αnne

r1t

formeaza un sistem fundamental de solutii pentru sistemul (6). Deci solutia generala a siste-mului (6) este

X = c1Xr1 + c2Xr2 + ...+ cnXrn .

Exemplu

Sa se rezolve sistemul de ecuatii diferentialex′1 = 3x1 − x2 + x3

x′2 = −x1 + 5x2 − x3

x′3 = x1 − x2 + 3x3

Rezolvare

Cautam solutii de forma

x1 = α1ert, x2 = α2e

rt, x3 = α3ert.

Atunci sistemul (6) devine (3− r)α1 − α2 + α3 = 0−α1 + (5− r)α2 − α3 = 0α1 − α2 + (3− r)α3 = 0

Rezulta ca ecuatia caracteristica este

∆ =

∣∣∣∣∣∣3− r −1 1−1 5− r −11 −1 3− r

∣∣∣∣∣∣ = (r − 2)(r − 3)(r − 6) = 0,

ale carei radacini suntr1 = 2, r2 = 3, r3 = 6.

Acum, pentru fiecare r calculam αi corespunzatori.Pentru r1 = 2, sistemul (6) devine

α1 − α2 + α3 = 0−α1 + 3α2 − α3 = 0α1 − α2 + α3 = 0

,

cu solutia α1 ∈ R, α2 = 0, α3 = −α1. Considerand α1 = 1, obtinem αr1 =

10−1

, deci

Xr1 =

1 · e2t0 · e2t−1 · e2t

=

e2t

0−e2t

.

3

Pentru r2 = 3, sistemul (6) devine−α2 + α3 = 0−α1 + 2α2 − α3 = 0α1 − α2 = 0

,

cu solutia α1 = α2 = α3 ∈ R. Considerand α1 = 1, obtinem αr2 =

111

, deci

Xr2 =

1 · e3t1 · e3t1 · e3t

=

e3t

e3t

e3t

.

Pentru r2 = 6, sistemul (6) devine−3α1 − α2 + α3 = 0−α1 − α2 − α3 = 0α1 − α2 − 3α3 = 0

cu solutia α1 ∈ R, α2 = −2α1, α3 = α1. Considerand α1 = 1, obtinem αr3 =

1−21

, deci

Xr3 =

1 · e6t−2 · e6t1 · e6t

=

e6t

−2e6t

e6t

.

Astfel, solutia generala a sistemului este

X = c1Xr1 + c2Xr2 + c3Xr3 = c1

e2t

0−e2t

+ c2

e3t

e3t

e3t

+ c3

e6t

−2e6t

e6t

=

c1e2t + c2e

3t + c3e6t

c2e3t − 2c3e

6t

−c1e2t + c2e

3t + c3e6t

,

de unde obtinemx1 = c1e

2t + c2e3t + c3e

6t

x2 = c2e3t − 2c3e

6t

x3 = −c1e2t + c2e

3t + c3e6t

2. Ecuatia caracteristica are toate radacinile complexe si distincte

Consideram ca radacinile ecuatiei caracteristice sunt de forma rk = αk + iβk.In aceasta situatie se ınlocuieste, pe rand, fiecare rk cu βk > 0 ın sistemul (6) si se afla αk

corespunzatori. Atunci

Xrk =

αk1e

γkt(cos βkt+ i sin βkt)αk2e

γkt(cos βkt+ i sin βkt)......................................αkne

γkt(cos βkt+ i sin βkt)

, k = 1,n

2

4

si

Xrk =

αk1e

γkt cos βktαk2e

γkt cos βkt.....................αkne

γkt cos βkt

,˜Xrk =

αk1e

γkt sin βktαk2e

γkt sin βkt...

αkneγkt sin βkt

, k = 1,n

2

formeaza un sistem fundamental de solutii pentru sistemul (6). Solutia generala a sistemului(6) este

X = c1Xr1 + c2˜Xr1 + c3Xr2 + c4

˜Xr2 + ...+ cn−1Xrn

2+ cn

˜Xrn

2.

Exemplu

Sa se rezolve sistemul de ecuatii diferentiale{x′ = −9yy′ = 4x

Rezolvare

Cautam solutii de formax = α1e

rt, y = α2ert.

Atunci sistemul (6) devine {rα1 − 9α2 = 04α1 − rα2 = 0

Rezulta ca ecuatia caracteristica este

∆ =

∣∣∣∣ −r −94 −r

∣∣∣∣ = r2 + 36 = 0,

ale carei radacini sunt r = ±6i.Avem r de forma α + iβ cu α = 0 si β = 6. Inlocuind pe r ın sistemul (6) obtinem{

−6iα1 − 9α2 = 04α1 − 6iα2 = 0

⇔ −2iα1 − 3α2 = 0,

de unde rezulta α2 =−2iα1

3.

Daca luam α1 = 3, atunci α2 = −2i, deci

Xr =

(3

−2i

)· e0·t (cos 6t+ i sin 6t) =

(3 (cos 6t+ i sin 6t)

−2i (cos 6t+ i sin 6t)

)

=

(3 cos 6t2 sin 6t

)+ i

(3 sin 6t−2 cos 6t

),

de unde rezulta Xr =

(3 cos 6t2 sin 6t

)si

˜Xr =

(3 sin 6t−2 cos 6t

), deci

(xy

)= c1Xr + c2

˜Xr = c1

(3 cos 6t2 sin 6t

)+ c2

(3 sin 6t−2 cos 6t

)5

=

(3c1 cos 6t+ 3c2 sin 6t2c1 sin 6t− 2c2 cos 6t

),

deci solutia sistemului estex = 3c1 cos 6t+ 3c2 sin 6ty = 2c1 sin 6t− 2c2 cos 6t

6