Sisteme Numerice de Conducere

1

Laborator 1

Introducere (functii de transfer in continuu/discret, discretizare, analiza timp/frecventa)

Functiile de transfer se folosesc pentru a descrie comportamentul unui anumit proces. Acestea pot fi continue (in variabila s) sau discrete (variabila z si perioada de esantionare h).

Exemple:

Continuu: ( )1

kH sT s

= +

(functie de transfer de ordinul intai),

( )2

2 22H s

s s

=+ +

(functie de transfer de ordinul doi), ( ) 1H ss

= (integrator),

( ) 1PID di

H s k T sT s

= + + (functia de transfer a unui regulator PID),

( ) 11

f

dPID

i

T sH s k TdT s sN

= + ++

(functia de transfer a unui regulator PID cu filtrarea

componentei derivative).

Discret: ( ) ( )( )1 2

1 0 1 21 1

11 1PIDd

r r z r zH zz s z

+ +=

+(regulator PID discret).

Functii Matlab pentru definirea functiilor de transfer: tf, zpk, filt. (help nume_functie in linia de comanda Matlab pentru informatii cu privire la utilizarea acestora).

In figura de mai jos este prezentat un sistem in bucla inchisa cu reactie negativa unde pe calea directa avem functie de transfer a regulatorului (controller-ului) inseriata cu cea a procesului:

Metode de discretizare: in aceasta sectiune, vor fi descrise pe scurt cateva metode de discretizare. Metodele de discretizare folosesc la calcularea unui model discret pornind de la un model continuu (functia c2d) si invers (functia d2c).

Acestea sunt utilizate si de Matlab la apelarea functiei c2d cu diversi parametri:

Sisteme Numerice de Conducere

2

a) Forward rectangular rule (denumita si Euler, are dezavantajul de a produce, in anumite cazuri, functii de transfer instabile din functii de transfer stabile):

1 1

s

zsT z

= ;

b) Backward rectangular rule: 1s

zsT

= ;

c) Pentru rezultate mai bune in frecventa se poate folosi aproximarea Tustin: 2 1

1s

zsT z

=

+;

d) Potrivirea poli-zerouri se poate aplica sistemelor SISO iar, asemanator Tustin, ofera rezultate mai bune in frecventa decat in timp.

e) ZOH ofera o discretizare exacta in domeniul timpului pentru sistemele cu intrari

tip scara: ( ) ( ) ( )1 11dH s

H z z Zs

=

;

f) Asemanator, FOH ofera o discretizare exacta in domeniul timpului pentru intrari

liniare pe portiuni: ( ) ( ) ( )2

2

1d

e

z H sH z Z

T z s

=

.

Trasarea caracteristicelor in frecventa a functiilor de transfer discrete se poate realiza fie folosind functiile bode, bodemag, nyquist din Matlab, fie realizand trasnformarea 1 Sj Tz e

si trasand graficele pentru 0,2 0,2S

S

fT

= .

Raspunsul in timp al unui proces: se obtine prin aplicarea la intrarea acelui process a uni trepte unitare, procesul pornind de la conditii initiale nule (intrare zero, iesire zero). Functii matlab utile: step, feedback.

Elemente ale raspunsului in timp:

Valoarea de regim stationar (steady state value) este valoarea la care se stabilizeaza iesirea sistemului (ystat). Amplificarea sistemului este raportul dintre ystat si valoarea treptei puse la intrarea procesului; aceasta se poate obtine si din

Sisteme Numerice de Conducere

3

functia de transfer a procesului fie prin inlocuirea s=0 (cazul continuu) fie z=1 (cazul discret);

Timpul de crestere (tR sau tC) este timpul in care iesirea procesului ajunge la 90% din valoarea de regim stationar;

Suprareglajul (maximum overshoot): [ ]max 100 %statstat

y yy

= ;

Timpul de stabilizare (tS) este perioada in secunde in care iesirea sistemului intra intr-o banda de 5% din valoarea de regim stationar;

Timpul mort este timpul trecut de la modificarea intrarii pana la momentul in care aceasta schimbare influenteaza iesirea procesului.

Analiza raspunsului in timp pentru sistemele elementare

Sistemul de ordinul intai ( )1

kH sT s

= +

( ) se evidentiaza printr-un suprareglaj

nul si un timp de crestere proportional constantei de timp T (ca in graficul de mai jos). Valoarea de regim stationar se obtinute prin inmultirea intre k si valoarea treptei date la intrarea procesului.

Sistemul de ordinul doi ( )2

2 22H s

s s

=+ +

( ) are un suprareglaj determinat

de factorul de amortizare (acest factor variaza intre 0 si 1). Atfel, pentru aproape de 1 suprareglajul este foarte mic si ajunge la valori mari pentru valori ale lui apropiate de 0.

Raspunsul in frecventa al unui sistem:

Elemente importante ale raspunsului in frecventa:

Largimea de banda fB (B) este pulsatia pentru care H() ncepe sa scada sub 70% din H(0) (raspunsul in frecventa este atenuat cu mai mult de 3dB fata de valoarea de la = 0 rad/s);

Sisteme Numerice de Conducere

4

Pulsatia de rezonanta R este frecventa pentru care caracteristica amplitudine-frecventa isi atinge maximul global.

Timpul de crestere al unui sistem este invers proportional cu largimea de banda prin

relatia 2 3

RB

t

= .

Functia Matlab utilizata pentru trasarea caracteristii in frecventa a unui sistem/proces: bode.