curs mm 1-22martie11

MODELARE MATEMATIC N ACTIVITILE COMERCIALE

BIBLIOGRAFIE

1. Introducere n econometrie D. Jula, 2003.

2. Statistic i econometrie T. Andrei, 2003.

3. Econometrics Franco Peracchi, 2000.

4. Econometric analysis (fifth edition) 2003.

5. Modele i metode econometrice 2007.

6. Business Statistics- D. F. Groebner, P.W. Shannon, P.C. Fry, K.D. Smith, 2005.

SURSE DE DATE

1. www.insnn.ro

2. www.bnro.ro

3. www.insr.ro

4. Anuarul statistic

5. [email protected]

6. www.aw.com/stock_watson (Introduction to Econometrics, 2003, Stock J., Watson M., Ed. Addison Wesley, Boston)

SUBIECTE DE EXAMEN

1. Proiect (cel mult nota 8)2. Subiect de teorie (pt. notele 9 -10)

CURSUL 1

PREZENTARE GENERAL

Modelarea matematic n domeniul comerului utilizeaz metodele i modelele din econometrie pe care o prezint n continuare.

Econometria este o disciplin care valorific cunotine i metode furnizate de discipline economice ( cum ar fi : economia politic, microeconomie, macroeconomie, teoria firmei, etc.), discipline matematice ( cum ar fi: algebra liniar, analiza matematic, teoria probabilitilor, statistica matematic, simularea numeric, teoria msurii, etc. ) i informatic, n vederea abordrii complexe a problemelor ce apar n economia real. Denumirea de econometrie provine din combinarea cuvintelor greceti oikonomia- economie i metron msur.

Econometria are ca obiectiv principal construirea unei categorii speciale de modele economico-matematice, numite modele econometrice, ce modeleaz legturile economice care exist n cadrul unui proces economic, ntre un grup de variabile predeterminate, numite exogene sau independente i un alt grup de variabile determinate, numite endogene sau dependente i care utilizeaz cel puin o variabil aleatoare i|sau un proces stochastic. Modelele econometrice astfel construite trebuie s modeleze ct mai adecvat fenomenele i procesele economice i s permit, n urma testrilor i analizei economice, luarea unor decizii fundamentate tiinific.

Exemplu. n anul 1936, economistul american John Keynes ( 1883- 1946 ) a postulat n lucrarea sa The General Theory of Employment, Interest and Money (Teoria general a folosirii minii de lucru, a dobnzii i a banilor, traducerea n limba romn a aprut la Editura tiinific, 1970), c ntre nivelul venitului

i cheltuielile de consum, corespunztoare venitului, exist o legtur funcional de tip determinist, avnd forma: , unde este o funcie, care poate fi i liniar. Keynes a considerat n particular, o form liniar a modelului , unde coeficienii ndeplinesc condiiile: i , numite azi condiiile lui Keynes. n abordarea econometric a legturii dintre cei doi indicatori, se constat c acest model determinist al lui Keynes este inadecvat realitii, deoarece modelul nu capteaz influenele cu caracter aleator sau stochastic, pe care o are asupra consumului un ir de factori, cum ar fi : nivelul de educaie, obiceiurile, condiiile economico-sociale .a. Din acest motiv, modelul lui Keynes trebuie completat cu cel puin o component aleatoare, notat prin e. Astfel modelul liniar poate avea forma: , dac se ine seama de factorul aleator n mod aditiv.

Deoarece fenomenele i procesele economice nu se pot reproduce n laborator, pentru a se efectua experiene, modelele econometrice sunt criticabile, ca de altfel orice model, fiind construite pe o baz de date lacunar, chiar srac i uneori subiectiv. Un remediu al acestei situaii l constituie experienele pe calculator ale modelelor econometrice, care utilizeaz limbaje specializate, ca de exemplu GAUSS, EVIEWS, EXCEL.

Datele pe baza crora se construiesc modelele econometrice se mpart n dou categorii:

a) datele statistice, obinute n urma nregistrrii rezultatelor fenomenelor sau proceselor economice, aa cum au avut loc n realitate;

b) datele i informaiile apriori, care au un caracter subiectiv, fiind o cuantificare a experienei umane anterioare.

Prelucrarea i utilizarea datelor statistice se face n cadrul teoriei seleciei din Statistica Matematic, iar utilizarea datelor i informaiilor apriori se face n cadrul bayesian, construit pe baza teoremei lui Bayes din teoria probabilitilor.

Structura cea mai general a unui model econometric este:

1) grupul de ipoteze ( supoziii ), cu caracter simplificator, teoria economic, i baza de date utilizat n construirea modelului economic;

2) modelul matematic al modelului economic, care este un obiect matematic ce poate fi o ecuaie sau un grup de ecuaii, cu cel puin o component aleatoare, alctuit din variabile aleatoare multidimensionale i|sau procese stochastice. Principalele tipuri de modele econometrice clasice sunt:

a) modele de regresie liniar;

b) modele econometrice cu ecuaii (liniare) simultane;

c) serii de timp ( serii cronologice);

d) modele econometrice neliniare.

Dup construirea modelului econometric se trece la evaluarea performanelor modelului, utilizndu-se metodele statisticii matematice, iar n final, pe baza modelului validat, se construiesc predicii privind evoluia ulterioar a fenomenului sau procesului economic modelat, specificndu-se limitele probabiliste ale acestor predicii.

Este posibil, ca pentru acelai fenomen sau proces economic s se construiasc mai multe modele econometrice diferite, efort care este justificat n msura n care se sporete gradul de adecvare al modelelor la realitatea modelat i se obin predicii, care devin realitate ntr-o proporie din ce n ce mai mare.

MODEL, MODELARE, MODEL ECONOMETRIC

n ceea ce privete termenii de model i modelare (comunicare prezentat la a XI-a Conferin Internaional de Cibernetic Economic, 22-24 Aprilie 2004), utilizm urmtoarele definiii ale lui S. Marcus. Considernd un obiect sau un fenomen , supus cercetrii, se numete model al lui , un alt obiect , astfel nct:

1) exist o analogie ntre i , n sensul c ndeplinete o funcie iconic sau una euristic n raport cu ;

2) obiectul poate fi investigat prin cel puin o metod care nu este compatibil cu natura lui , fapt care presupune o anumit eterogenitate a lui n raport cu ;

3) exist cel puin o metod de tipul afirmat la 2), n raport cu care investigarea lui conduce la concluzii nebanale;

4) concluziile relative la au o anumit relevan n raport cu ;Se numete modelare procesul de construire a modelului, continuat cu studierea modelului n vederea obinerii de informaii asupra obiectului sau procesului modelat.

Aceste definiii ofer posibilitatea de a clasifica imensa varietate de modele. Astfel, modelarea ( respectiv modelul ) poate fi:

1) material ( material ), n cazul lui de natur material, sau

2) ideal ( ideal ), n cazul contrar.

Dup natura analogiei dintre i exist o:

a) modelare similar, dac analogia const n natura fizic comun i n identitatea formelor geometrice, iar deosebirea const n dimensiuni, n viteza proceselor etc.;

b) modelare analogic, dac corespondena dintre i se bazeaz pe aspecte funcionale i nu materiale.

Dintre modelrile analogice, una dintre cele mai fertile, avnd n vedere multiplele aplicaii, s-a dovedit a fi modelarea matematic, al crei prim rezultat este un model matematic. Un model ideal se numete matematic, dac este un obiect matematic sau o construcie matematic. De regul, obinerea unui model matematic presupune, pe lng o formalizare utiliznd limbajul matematic i o exprimare ct mai fidel a aspectelor funcionale ale obiectului sau procesului modelat, cu ajutorul gndirii matematice i al rezultatelor teoretice cunoscute. Printre instrumentele clasice utilizate n modelarea matematic se afl: axiomele, definiiile, teoremele etc. Ca exemple de modele matematice se pot cita: geometria euclidian, structurile algebrice, cmpul de probabilitate, integrala Riemann, integrala Lebesque, logica bivalent etc.

O alt important categorie de modelri analogice este cea a modelrii economice, al crei prim rezultat este un model economic. Un model ideal B se numete economic, dac este un obiect sau o construcie obinut pe baza unor ipoteze i teorii economice, manevrate de o gndire economic. Un exemplu de model economic l reprezint piaa competitiv sau piaa perfect. Observaii.

a. Este posibil ca rezultatele unei categorii de modelare s formeze obiectul unui alt tip de modelare. n acest sens, se poate vorbi de o combinare a dou sau mai multe tipuri de modelare. n cadrul unei astfel de combinri, tipurile de modelare se influeneaz reciproc.

b. Este justificat sau chiar recomandat o astfel de combinare a tipurilor de modelare, atunci cnd, n final, se obin noi rezultate semnificative fa de cele obinute prin categoriile de modelare particulare ce sunt combinate.

Un exemplu important de combinare a dou categorii de modelare l constituie combinarea modelrii economice cu cea matematic care se numete modelare economico-matematic.

Prin modelare economico-matematic a unui fenomen se nelege o modelare care cuprinde trei etape:

1) modelarea economic a lui , al crui prim rezultat este un model economic . n aceast etap, o gndire economic utilizeaz teorii i ipoteze economice cu caracter simplificator spre a micora complexitatea lui , realiznd modelul economic , astfel nct s fie posibil etapa 2;

2) modelarea matematic a lui , al crui prim rezultat este un model matematic al lui . n aceast etap, pe baza rezultatelor modelrii economice, o gndire matematic utilizeaz limbajul matematic, diverse instrumente i teorii matematice spre a realiza modelul matematic al lui .

3) din investigarea modelului i din lanul de analogii a lui cu i a lui cu se obin informaii noi asupra lui .

Rezultatul prim al modelrii economico-matematice, , se numete model economico-matematic.

Trebuie remarcat c de multe ori, etapa modelrii economice nu este evideniat sau pur i simplu trece neobservat. Acest lucru poate favoriza eecul unor modelri economico-matematice.

Un gen special de modelare economico-matematic l constituie modelarea econometric, al crei prim rezultat este modelul econometric. Un model economico-matematic se numete model econometric, dac are cel puin o component aleatoare.

Prin modelare econometric se nelege o modelare economico-matematic cu urmtoarele caracteristici:a. Etapa de modelare economic are ca obiect un micromediu economic, cum ar fi o firm, un segment de populaie, un proces de producie, sau un macromediu economic, cum ar fi mediul economic al unei ri sau grup de state, sau chiar economia mondial. Rezultatul modelrii economice este , modelul economic.

n aceast etap, n cazul unui micromediu economic, adesea se apeleaz i la diverse ipoteze cu care se opereaz n prima etap a modelrii microeconomice pentru obinerea lui . De exemplu, se presupune c n mediul economic modelat acioneaz legile globale care acioneaz ntr-o economie de pia, cum ar fi legea limitrii resurselor, legea randamentelor marginale descrescnde, legile cererii. De asemenea, mediul economic este influenat de comportamentul agenilor economici, despre care se face ipoteza comportamentului raional [ 8 ] ?, de tipul competiiei de pia, despre care ipoteza cea mai convenabil este cea a competiiei perfecte, de existena echilibrului ( existence equilibrum ) care se traduce prin faptul c cererea este egal cu oferta, ambele evaluate la acelai pre.n cazul unui macromediu economic se apeleaz la diverse ipoteze cu care se opereaz n prima etap a modelrii macroeconomice. De exemplu, ipotezele lui Keynes sau structura contabil a economiei unei ri.

Observaie. Dimensiunea mediului economic modelat poate s influeneze amploarea procesului de modelare i instrumentele matematice utilizate n etapa modelrii matematice, dar nu esena sa. Astfel, n cazul unui macromediu se pot utiliza ca instrument matematic sistemele Leontiev sau balana intrri-ieiri ( input-ouput ), dar care nu sunt adecvate n cazul unui micromediu.

b. Etapa de modelare matematic a lui ce produce modelul econometric are la baz o gndire specific, numit gndire econometric, fiind rezultatul unui fenomen sinergetic, ce se bazeaz pe gndirea economic, cu deosebire cea keynesian i dezvoltri ale ei, pe gndirea statistic, n special cea a prelucrrii i a analizei datelor empirice, precum i a inferenei statistico-matematice, pe gndirea probabilist, n special cea a proceselor stohastice, pe gndirea algoritmic i cea informatic, care au permis, pe de o parte, apariia simulrii numerice i efectuarea de experiene artificiale pe calculator, iar pe de alt parte, o manevrare rapid a unui volum de informaie din ce n ce mai mare.Gndirea econometric consider c variabilele economice, n realitate, au un caracter aleator prin excelen, ceea ce implic n cadrul modelrii econometrice considerarea lor ca variabile aleatoare sau ca procese stochastice. De asemenea, datorit imposibilitii lurii n calcul a tuturor factorilor care influeneaz un proces economic, se consider n cadrul unui model econometric o variabil - eroare aleatoare, unidimensional sau multidimensonal care poate fi chiar un proces stohastic.Ca urmare, modelul econometric are cel puin o component aleatoare, al crei rol este acela de a compensa tratarea eronat a variabilelor economice ca fiind de natur determinist, precum i de a ine seama de erorile de msurare sau cuantificare, de efectul acelor variabile economice de care modelarea economic nu a reuit s in seama i de influena unor factori total necunoscui, numii ocuri.

Valorile observate ale indicatorilor economici sunt generate de structura economic a procesului modelat, ceea ce face ca, pe de o parte, acestea s conin informaii eseniale asupra procesului economic care le-a generat, iar pe de alt parte, s existe posibiliti limitate de a controla aceti indicatori i de a izola relaiile dintre acetia n vederea captrii lor n cadrul modelrii econometrice. Printre ideile eseniale ale gndirii econometrice, de care trebuie s se in seama n modelarea econometric, este cea care susine feedback-ul ce exist ntre variabilele economice i cea care consider c efectele economice sunt rezultatul unui sistem de relaii, care n general, sunt stochastice, dinamice i simultane. [J. Marshack, 1950 ]

Gndirea econometric pare a fi o unealt mai fin i mai puternic, capabil de a opera asupra realitii economice cu un grad sporit de precizie i profunzime, s descifreze informaii, ascunse altor tipuri de gndire, pe care, graie unor tehnici econometrice, s le poat utiliza n captarea realitii n cadrul modelelor econometrice.

O calitate esenial a unui model econometric const n posibilitatea de a se efectua experiene pe calculator utiliznd acel model, suplinind astfel incapacitatea de experimenta direct pe fenomenul-obiect.MODELE CLASICE DE REGRESIE LINIAR

MODELUL I DE REGRESIE LINIAR

Termenul de regresie a fost introdus de ctre statisticianul englez Francis Galton, ntr-un memoriu scris n anul 1886, pentru a desemna legtura special care exist ntre nlimea tailor i nlimea fiilor, ce exprim tendina spre nlimea medie.

n limba romn, cuvntul regresie are i semnificaia de micare sau evoluie n sens contrar celui normal sau firesc.

n econometrie, termenul de regresie desemneaz orice legtur sau dependen dintre o variabil dependent i una sau mai multe variabile independente, numite factori sau regresori, dintre care cel puin una este aleatoare. Regresia care exprim o dependen liniar se numete regresie liniar. Din aceast cauz modelele econometrice liniare sunt denumite modele de regresie liniar.

Se consider o populaie statistic, a crei caracteristic studiat este o variabil aleatoare teoretic X cu o repartiie teoretic specificat, avnd media finit m i dispersia finit i nenul, astfel nct m i sunt parametrii, eventual necunoscui.

Din aceast populaie se extrage, la ntmplare, o selecie repetat de volum ; valorile de selecie , , au o dubl interpretare: pe de o parte sunt considerate drept valori numerice reale ale seleciei, iar pe de alt parte sunt considerate drept variabile aleatoare independente, avnd aceeai repartiie cu cea a variabilei aleatoare X , ceea ce implic:

i .

Observaie. Ipoteza c variabilele aleatoare de selecie au aceeai repartiie cu X nu implic independena lor.

Modelul I de regresie liniar este rezultatul modelrii econometrice a evoluiei lui X i este construit pe baza seleciei i a urmtoarelor ipoteze explicite:

IPOTEZA 0. Fiecare valoare de selecie este alctuit din media sa m i o component aleatoare inobservabil , , adic are loc:

(1) = , .

Consecine.

1) ,;

2) , ;

3) , .

Demonstraie. 1) .

2)

3) .

IPOTEZA 1. sunt variabile aleatoare independente, identic repartizate.

Consecin. , .

Pentru a se obine modelul I de regresie liniar se expliciteaz sistemul (1), astfel:

( 2 ) .

Se fac notaiile:

i este numit vectorul de selecie;

;

i este numit vectorul aleator al erorilor, care este inobservabil.

Cu aceste notaii sistemul (2) se scrie:

(3)

care reprezint modelul I de regresie liniar.

___________________NOIUNI SUPLIMENTARE [ N.S.] _______________________

Vectori aleatori

Fie cmpul ( borelian ) de probabilitate i fie n variabile aleatoare .

Definiie. Se numete vector aleator n-dimensional i se noteaz prin X, sistemul ordonat

, unde i .

Definiie. Fie vectorul aleator n-dimensional X = .

a) Se numete media lui X i se noteaz prin vectorul coloan de forma:

, dac exist finit, .

b) Se numete matricea de covarian a lui X i se noteaz prin matricea ptratic de ordinul n:

= .

________________________________________________________________________

n modelul I de regresie liniar este un vector aleator n - dimensional i depinde de , rezult c este un vector aleator n- dimensional.

Propoziie. Au loc urmtoarele proprieti:

1)

2) ;

3) ;

4) .CURSUL II

MODELUL I I DE REGRESIE LINIAR

Prezentare general

Se consider o populaie statistic, a crei caracteristic cercetat este o variabil aleatoare , cu o repartiie teoretic specificat, avnd media finit i dispersia finit i nevid ; i sunt parametrii, eventual necunoscui.

Se presupune c valorile lui sunt influenate liniar de un factor cunoscut, care este modelat de o variabil vectorial nonaleatoare ( determinist ), notat prin , unde .

n aceste condiii, din aceast populaie se extrage la ntmplare o selecie repetat de volum .

Pentru a se modela econometric legtura dintre i pe baza acestei selecii, se utilizeaz, pe lng ipotezele 0 i 1 de la modelul I i ipoteza urmtoare:

IPOTEZA 2. Influena liniar a variabilei vectoriale deterministe asupra lui se traduce la nivelul valorilor de selecie prin relaia:

unde este numit parametrul de interceptare i este numit parametrul de nclinare ( pant ), ambii necunoscui.

n baza ipotezei 0 se poate scrie:

unde este componenta aleatoare inobservabil,

Observaie. Consecinele ipotezelor 0 i 1, de la modelul I, rmn valabile, adic:

1) ,; 2) , ; 3) , .

n plus este adevrat i proprietatea 4) .

Din relaiile (1) i (2) se obine urmtorul sistem:

Se fac urmtoarele notaii:

; , unde i ; ; .

Cu aceste notaii sistemul (3) se prelucreaz astfel:

Rezult c:

care este modelul II de regresie liniar, n care este vectorul aleator de selecie sau vectorul efectelor, este numit vectorul parametrilor locali i este necunoscut, este numit vectorul factor sau regresor sau vectorul variabilelor de control (comportament ) i este cunoscut, este numit matricea cadru i este cunoscut, iar este vectorul aleator al erorilor i este necunoscut.

Observaii. 1) este un vector observabil, pe cnd i sunt vectori inobservabili.

2) este considerat variabila dependent a modelului, iar matriceaeste considerat variabila independent, care determin pe

3) exprim eroare modelului II, datorat faptului c modelul nu poate capta toate influenele care le suport .

4) Acest model II, mai nti va permite estimarea parametrilor necunoscui i apoi, elaborarea de predicii asupra valorilor lui

Propoziie. Fie modelul II de regresie liniar . Atunci au loc:

a) b)

Demonstraie. a) .

b) .

Exemplu. n baza teoriei economice, legtura dintre venitul i consumul unei familii se poate modela econometric prin ecuaia vectorial:

unde este vectorul consumului, este matricea cadru cu i este vectorul venitului; ;este vectorul aleator al erorilor.

Deoarece fiecare component a lui este alctuit din dou pri:

a) combinaia liniar , care exprim dependena liniar a consumului de venit, aa cum a postulat i J. Keynes,

b) eroarea inobservabil , care reprezint componenta aleatore a modelului,

i se consider satisfcute ipotezele 0,1 i 2, ecuaia (*) este un exemplu de model II.

Comentariu. n ipoteza c i , au repartiii normale, rezult c densitatea de repartiie condiionat este normal cu media i dispersia , iar graficul ei este centrat fa de dreapta reprezentat de medie i are forma:

Fig. 1

Estimarea parametrilor locali

Fie modelul II de regresie liniar i se consider urmtoarea:

Problem. S se estimeze vectorul parametrilor locali , n ipoteza c este parametru cunoscut, determinndu-se cel mai bun estimator (cea mai bun estimaie) al vectorului, notat prin , unde estimeaz pe , iar estimeaz pe .

Rezolvarea acestei probleme se face cu metoda celor mai mici ptrate ( M.M.P.).

Conform acestei metode, estimaia a lui se determin din condiia ca suma ptratelor erorilor s fie minim, adic:

Mai nti, se prelucreaz astfel:

Deoarece

,

rezult:

_____________________[N.S.]______________________________________________

a) Reguli de derivare n raport cu un vector.

1) i C nu depinde de ;

2) , unde i , iar nu depinde de .

Caz particular. Dac ( A simetric ), atunci :

EMBED Equation.3

3) , unde , i este o matrice simetric , care nu depinde de .

b) Matrice pozitiv definit.Definiie. Fie simetric. este pozitiv definit, dac

EMBED Equation.3 0, pentru orice .

Proprietate. Dac este pozitiv definit, atunci are loc:

i

EMBED Equation.3 0.

Condiia necesar pentru a determina minimul lui S este:

(*)

EMBED Equation.3

n continuare se va utiliza urmtoarea ipotez:

IPOTEZA 3. are rangul 2.

Consecin. este o matrice pozitiv definit.

Demonstraie. Deoarece , rezult c cele dou coloane ale lui sunt liniar independente. Observm c i este o matrice simetric. Fie vectorul nenul i considerm produsul , fiind o sum de ptrate. Dac produsul ar fi chiar 0, atunci ar trebuie ca , adic exist o combinaie liniar a coloanelor lui egal cu vectorul nul i deci coloanele lui sunt liniar dependente, ceea ce contrazice concluzia de mai sus. Rezult c i este o matrice pozitiv definit.

n acest caz se poate scrie:

, deoarece i .

Prin urmare este soluia ecuaiei:

.

Deoarece exist n baza consecinei, rezult c este dat de relaia:

.

Deoarece

,

care este pozitiv definit, condiia ( *) devine i suficient, n baza acestei consecine.

Prin urmare este soluia optim a problemei.

Proprieti statistice ale lui b

tim c este estimatorul (estimaia) lui , obinut cu M.M.P. i b = . Cu notaia

EMBED Equation.3 , rezult c , adic este o funcie liniar de valorile de selecie i deci este un vector aleator bidimensional, pentru care are sens media i matricea de covarian.

Propoziie. Sunt adevrate afirmaile:

1) 2)

Demonstraie.

1)

2) . Pe de alt parte:

-

. nlocuind se obine: deoarece .

Consecin. este o estimaie nedeplasat a lui .

Observaie. .

..............................................................................................................................

CURSUL III

PREDICIA CU AJUTORUL MODELULUI II DE REGRESIE LINIAR

Se consider modelul II de regresie liniar:

,

valabil n ipotezele 0, 1 i 2, unde este vectorul aleator de selecie sau vectorul efectelor, este matricea cadru cunoscut, cu este vectorul variabilelor de control, este vectorul parametrilor locali necunoscui, iar este vectorul aleator n-dimensional al erorilor cu i =.

Utiliznd i ipoteza 3, cu metoda celor mai mici ptrate s-a determinat estimaia a lui , n care este estimaia lui , iar este estimaia lui n sensul celor mai mici ptrate.

Problem. S se construiasc predicii, pe baza modelului II de regresie liniar i a estimaiei lui , privind efectul n viitor al factorului asupra variabilei aleatoare teoretice , cunoscnd efectul concretizat prin valorile de selecie .

Dac legtura dintre i , stabilit de ipoteza 2 este exact, atunci se pot face predicii asupra lui pentru o valoare dat a lui .

Astfel, fie o valoare viitoare a lui i fie valoarea viitoare a lui , corespunztoare lui . Atunci, conform ipotezei 2 are loc: , unde este eroarea aleatoare inobservabil viitoare , corespunztoare lui .

DEFINIIE. Se numete ecuaia de predicie pentru valoarea viitoare , corespunztoare lui , urmtoarea ecuaie:

,unde se numete predictorul lui , iar se numete eroarea de predicie pentru .

Observaie. Formal, se poate scrie ecuaia de predicie pentru , corespunztoare lui , obinndu-se:

,

unde se numete predictorul lui , corespunztoare lui .

PROPOZIIE. Eroarea de predicie are urmtoarele proprieti statistice:

1. .

2. .

Demonstraie. 1. =++. Conform consecinei ipotezei 0 are loc i se poate scrie:

, inndu-se seama i de faptul c

2. =

=

- = = =

= , deoarece conform ipotezei 1, iar , deoarece i sunt variabile aleatoare independente de , avnd n vedere faptul c este o eroare viitoare, pe cnd i s-au determinat pe baza unor informaii din trecut.

Consecin. este o estimaie nedeplasat a lui .

n acest fel s-a dat rspuns la problema pus.

Se poate pune i urmtoarea problem.

Problem. S se stabileasc legtura statistic ntre i .

Mai nti, se consider media de selecie i se face urmtoarea prelucrare:

.

Termenul reprezint abaterea lui fa de media de selecie, . Termenul se numete componenta eroare sau eroarea predictorului fa de . Termenul este numit componenta explicativ i reprezint abaterea predictorului fa de media de selecie, .

Ridicnd la ptrat relaia (*) i apoi nsumnd dup indicele se obine:

=

= ,

deoarece = 0, a crei demonstraie este laborioas i utilizeaz faptul c n ecuaia de predicie , coeficienii se determin cu metoda celor mai mici ptrate.(W.H.Green-ECONOMETRICS ANALYSIS).

Relaia = se poate mpri cu 0, obinndu-se :

.

Se face notaia: . Coeficientul se numete coeficientul de adecvare ( determinare ) i exprim gradul de adecvare al modelului II de regresie liniar fa de legtura real dintre i . Adecvarea este dat de relaia dintre i , n sensul unei bune aproximri a lui prin

EMBED Equation.3 ; dac este apropiat de 1, atunci exist o strns legtur ntre i , iar modelul II de regresie liniar este adecvat.

Formula lui se poate prelucra astfel : .

Se face notaia: . este vectorul aleator n-dimensional al erorilor predictorilor. Cu aceast notaie formula lui capt forma urmtoare:

,

adic gradul de adecvare depinde de ponderea momentului iniial de ordinul doi al erorilor predictorilor, n dispersia de selecie.

_______________________________ N.S. ____________________________________

Funcii de producie

Prin funcie de producie se nelege expresia matematic (analitic) a legturii dintre factorii de producie, care se combin ntr-un proces de producie i rezultatele ce se obin.

Fie cantitatea dintr-un produs, obinut ntr-un anumit proces de producie, prin utilizarea cantitilor i respectiv din factori de producie. Atunci forma general a funciei de producie corespunztoare acestui proces de producie este :

.

n teoria general a funciilor de producie se lucreaz cu urmtoarele trei ipoteze.

IPOTEZA de DIVIZIBILITATE. Un factor de producie sau un bun (marf) este divizibil, adic se pot considera n cantiti orict de mici.

Exemple: energia electric, fora fizic, fina, uleiul, banii, timpul, etc..

IPOTEZA de ADAPTABILITATE. Un factor de producie este adaptabil, adic i se poate asocia o cantitate mai mic sau mai mare dintr-un alt factor.

Exemple. Pmntul este un factor de producie adaptabil, n sensul c pe o anumit suprafa dat pot lucra un numr mai mic sau mai mare de lucrtori agricoli. Timpul, capitalul, munca sunt factori de producie adaptabili.

IPOTEZA de SUBSTITUIRE. Un factor de producie este substituibil, adic o cantitate din acest factor se poate nlocui cu o cantitate determinat dintr-un alt factor, fr ca volumul produciei s se modifice.

Exemple. Pmntul se poate substitui cu munca, timpul cu banii, munca cu banii.

Observaie. Ipoteza de substituire poate funciona numai dup ce sunt adevrate primele dou ipoteze.

Se consider funcia de producie , n care se admite c toi factorii de producie implicai verific cele trei ipoteze. n aceste condiii se pot defini urmtoarele noiuni.

Se numete productivitatea medie (aparent) a factorului de producie i se noteaz prin , urmtorul raport:

.

Se numete productivitatea marginal a factorului de producie i se noteaz prin , derivata parial a funciei de producie n raport cu , adic:

.

Asupra productivitilor marginale se fac, de regul, urmtoarele ipoteze:

,

EMBED Equation.3 0 i ( ipoteza randamentelor descresctoare ).

Se numete izocoant totalitatea combinaiilor factorilor de producie care permit obinerea aceluiai volum al produciei.

Din punct de vedere geometric, izocoanta este locul geometric al tuturor punctelor de pe graficul funciei de producie, care au aceeai valoare a coordonatei ce reprezint volumul produciei.

Funcia de variabile reale este omogen de gradul k, dac ndeplinete condiia:

, .

Fie funcia de producie . Se spune c randamentul de scar ( de dimensiune) al procesului de producie, modelat de aceast funcie de producie, este constant, dac are gradul de omogenitate .n acest caz, de exemplu dublarea cantitilor utilizate din cei factori, implic dublarea lui .

Dac avem , atunci randamentul de scar este cresctor, iar dac avem , atunci randamentul de scar este descresctor.

Caz particular. Funcia Cobb-Douglas

n 1928, C.W.Cobb i P.H.Douglas au construit urmtoarea funcie de producie:

,

unde primul factor de producie reprezint volumul capitalului, iar al doilea factor de producie reprezint cantitatea de munc. Parametrii sunt strict pozitivi.

Productivitile marginale ale celor doi factori de producie sunt:

EMBED Equation.3 0 i

EMBED Equation.3 0 .

Pentru un volum oarecare al produciei se poate determina forma izocoantelor astfel:

.

Deoarece , rezult c izocuantele sunt funcii (curbe) strict descresctoare. Deoarece , izocuantele sunt funcii (curbe) convexe.

Gradul de omogenitate al funciei se determin astfel:

.

Atunci randamentul de scar depinde de suma .Astfel:

1) Dac >1, randamentul de scar este cresctor;

2) Dac 0 i funcia de producie capt forma:

, unde .

O estimaie a lui

Estimarea parametrului cu metoda celor mai mici ptrate s-a fcut n ipoteza c parametrul este cunoscut.

n cele mai multe cazuri din realitatea economic, de exemplu n cazul estimrii parametrilor din funcia de consum sau de cerere, precum i n cazul funciilor de producie, parametrul de scal este necunoscut.

Dac este necunoscut se pune problema estimrii lui. Pentru aceasta se pleac de la erorile aleatoare . Dei acestea sunt inobservabile, totui se constat c au o legtur cu , innd seama c ,. Pe de alt parte, este calculabil i pare a fi o estimaie natural a lui , mai ales c , la fel cu .

Aceasta sugereaz la a considera drept estimaie a lui chiar dispersia erorilor predictorilor, notat prin a crei formul este:

EMBED Equation.3 sau .

Informaii privind calitile statistice ale lui sunt date de urmtoarea afirmaie:

PROPOZIIE. este o estimaie deplasat a lui .

Observaii. 1. O estimaie nedeplasat a lui , notat prin are urmtoare form:

EMBED Equation.3 sau = .

2. n cazul necunoscut se poate da i o estimaie a matricei de covaria pentru , notat prin , care are urmtoarea form:

=

EMBED Equation.3 .........................................................................................................

CURS 4

MODELUL III DE REGRESIE LINIAR

Prezentarea general a modelului III

Deoarece n practica economic o caracteristic a unei populaii statistice poate fi influenat de mai muli factori simultan, apare ca necesar construirea unei generalizri multidimensionale a modelului II de regresie liniar, care se va numi modelul III de regresie liniar i care este capabil s capteze informaia coninut n mai multe date statistice referitoare la procesele economice modelate.

Exemple de astfel de factori sau variabile economice: producia, preul, capitalul, fora de munc angajat, costul de producie, etc..

O situaie care exemplific necesitatea construirii unui model de regresie liniar multidimensional, apare atunci cnd se studiaz consumul lunar pe cap de locuitor dintr-un produs alimentar, notat prin P, n funcie de preul lunar al lui P, de preul lunar al produselor care pot s substituie sau s concureze produsul P i de veniturile lunare pe cap de locuitor. Prin produse substituibile sau substitute se neleg acele produse ale cror coeficieni de elasticitate ncruciat sunt strict pozitivi.

Fie cererea din bunul i s presupunem c ea este o funcie de preurile a bunuri , care are forma general .

Definiie. Se numete elasticitatea ncruciat a cererii bunului n raport cu bunul i se noteaz prin , ponderea variaiei relative a consumului din bunul , din variaia relativ a preului bunului , adic:

.

Caz particular. Dac , atunci , elasticitatea direct a cererii bunului .

Definiie. Bunurile i se numesc substituibile, dac i . Exemple de produse substituibile sau concurente: stiloul este concurat de pix i de creion; uleiul este concurat de unt i margarin, carnea de porc este concurat de cea de pasre, de pete, de soia i de cea de vac, salamul este concurat de parizer, de crnai i de rulad, etc..

Dac n acest studiu se decide ignorarea altor variabile economice, ce pot condiiona nivelul consumului lunar pe cap de locuitor, simplificnd astfel realitatea economic pentru a putea fi construit modelul de regresie, atunci este necesar s se stabileasc dac variabilele explicative luate n considerare, condiioneaz n realitate consumul lunar pe cap de locuitor al produsului P i n caz afirmativ, s se cuantifice efectul pe care l are orice modificare a nivelului fiecrei variabile explicative.

Rezolvarea acestor probleme necesit informaii care ar putea fi obinute construind experimente, care, ns au nevoie de un nou cadru teoretic, ce va fi oferit de urmtoarea generalizare multidimensional.

Se consider o populaie statistic, a crei caracteristic studiat este o variabil aleatoare teoretic , care este influenat de factori cunoscui, care sunt variabile vectoriale, notate prin .

Din populaia statistic se extrage, la ntmplare, o selecie repetat , de volum , referitoare la variabila aleatoare teoretic .

n aceste condiii, se fac urmtoarele ipoteze, cu scopul de a construi un model mai general dect modelul II de regresie liniar.

IPOTEZA 0. Fiecare valoare de selecie este alctuit din media sa , numit component sistematic ( determinist ) sau semnal i o component aleatoare inobservabil , numit eroare sau zgomot, .

n baza acestei ipoteze se poate scrie:

, .

IPOTEZA 1. Influena variabilelor vectoriale , asupra lui este liniar i este descris de relaia urmtoare:

,

unde sunt numite variabile de control sau explicative, iar sunt numii parametrii locali i care dei sunt necunoscui, se presupun constani n raport cu selecia.

inndu-se seama n relaia (1) de ipoteza 1 se obine:

.


unde i , i

,

cu ajutorul crora sistemul (2) se scrie:

i reprezint modelul III de regresie liniar, n care:

este vectorul aleator de selecie sau vectorul efectelor, observabil i ale crui componente au o densitate de repartiie condiionat de forma ;

este numit matricea cadru, este numit vectorul parametrilor locali i este necunoscut, iar este vectorul aleator al erorilor inobservabile.

Observaie. Vectorul difer de la o selecie la alta, pe cnd este aceeai indiferent de selecia efectuat; aceasta este justificarea pentru denumirea de matrice cadru a lui i pentru faptul c are o repartiie condiionat de.

Referitor la coloanele matricei se face urmtoarea ipotez.

IPOTEZA 2. Coloanele matricei formeaz un sistem liniar

independent n i .

Consecina 1. .

Demonstraie.

Consecina 2. este o matrice nesingular.

Demonstraie. Deoarece , rezult c cele coloane ale lui sunt liniar independente. Fie vectorul nenul i considerm produsul , fiind o sum de ptrate. Dac produsul ar fi chiar 0, atunci ar trebui ca , adic coloanele lui sunt liniar dependente, ceea ce contrazice concluzia de mai sus. Rezult c este o matrice simetric pozitiv definit i deci .

IPOTEZA 3. .

Comentariu. Conform ipotezei, matricea nu conine nici o informaie referitoare la media erorilor.

---------------[ N.S. ]------------------------------------------------------------------------------------

Repartiii condiionate, medii condiionate

Fie un cmp borelian de probabilitate i vectorul aleator bidimensional , unde:

i .

Atunci:

Au sens urmtoarele definiii ale densitilor de repartiie condiionate:

i .

Cu ajutorul densitilor de repartiie condiionat se pot defini mediile condiionate, n felul urmtor:

i .

Teorema mediei iterate. Este adevrat urmtoarea relaie:

,

unde este media unei funcii de variabila aleatoare .

Demonstraie. Fie o funcie i funcia compus , care este o variabil aleatoare cu repartiia:

.

Prin definiie media lui se noteaz prin i este dat de relaia:

(*)

.

Partea dreapt a egalitii, utiliznd relaia (*), devine:

.

Consecina 3. .

Demonstraie. Are loc:

.

Consecina 4. .


.

IPOTEZA 4. .

Comentariu. Aceast relaie se poate explicita astfel:

.

Consecina 5. .


.

Comentariu. n baza consecinei 5, rezult c . n acest caz se spune c erorile sunt homoscedastice. Deasemeni, deoarece pentru , erorile sunt necorelate. Uneori, erorile care sunt homoscedastice i necorelate se numesc erori sferice.

Alturi de cele 5 ipoteze se consider frecvent i urmtoarea ipotez.

IPOTEZA 5. Matricea are toate elementele constante i cunoscute.

n cele ce urmeaz se vor considera toate cele 6 ipoteze.

Exemple.

a) Se face un studiu pe o perioad de 36 luni, privind consumul lunar pe cap de locuitor al unui produs P, n funcie de preul lunar al lui P, de preul lunar al unui produs P1 concurent al lui P i de veniturile lunare pe cap de locuitor.

Pentru a modela legtura dintre cei 3 indicatori statistici se fac urmtoarele notaii:

unde i ;

i ,

este vectorul consumului lunar;

este matricea cadru cunoscut ale crei coloane sunt:

vectorul care conine preurile lunare ale lui P

vectorul care conine preurile lunare ale lui P1

vectorul care conine veniturile lunare;

este vectorul parametrilor locali;

este vectorul erorilor.

Cu aceste notaii se obine, presupunnd c cele 5 ipoteze sunt adevrate, urmtorul model III de regresie liniar:

.

b) Se consider dependena consumului mediu lunar de calorii de indicile preurilor de consum i de ctigul salarial mediu lunar net pe o perioad de 24 luni.

Pentru a se modela aceast dependen se fac urmtoarele notaii:

unde i ;

i ,

este vectorul consumului mediu lunar de calorii;


vectorul care conine indicele preurile de consum

vectorul care conine ctigul salarial mediu lunar net;

este vectorul parametrilor locali;


Cu aceste notaii se obine, presupunnd c cele 6 ipoteze sunt adevrate, urmtorul model III de regresie liniar:

.

c) Un studiu econometric privind rata inflaiei, consider dependena acesteia de deficitul bugetar, de masa monetar i de venitul mediu trimestrial pe o period de 7 ani.

Pentru a se modela aceast dependen se fac urmtoarele notaii:

unde i ;

i ,

este vectorul ratei inflaiei pe trimestre,


este vectorul deficitului bugetar pe trimestre,

este vectorul masei monetare pe trimestre,

este vectorul venitului mediu trimestrial,

este vectorul parametrilor locali,


Presupunnd cele 6 ipoteze ndeplinite n cazul acestui studiu econometric, cu aceste notaii se obine urmtorul model:

,

care este un exemplu de model III de regresie liniar.

Considerarea vectorului erorilor n cadrul modelului este justificat de faptul c, n acest studiu au fost ignorai i ali factori care influeneaz rata inflaiei, cum ar fi: politicile guvernamentale, fiscalitatea, nivelul importurilor, cursul de schimb al leului, etc..

O analiz critic a modelului III de regresie liniar

Modelul III de regresie liniar a fost construit pe baza celor 6 ipoteze, care ngusteaz aplicabilitatea lui i pun sub semnul ntrebrii relevana rezultatelor care se pot obine cu acest model. Aceasta justific enunarea urmtoarelor observaii critice.

O1. Ipoteza 1 determin caracterul liniar al modelului n raport cu parametrii necunoscui , dei modelul poate s nu fie liniar n raport cu variabilele de control . Astfel exist i cazuri n care legturile dintre parametrii sunt neliniare, ceea ce pune n discuie adecvarea modelului III; totui, n anumite cazuri de neliniaritate se poate vorbi de o liniaritate n logaritmi. Pentru a exemplifica, s presupunem c valorile de selecie sunt de forma:

.

Deoarece se poate logaritma n baza e relaia (*) i se obine:

.

Utiliznd notaiile:

unde i , i ,se obine modelul econometric: , care este de tipul III.

O2. Ipotezele 3 i 4 referitoare la erorile aleatore, implic faptul c ele sunt variabile aleatoare necorelate, cu aceeeai medie i dispersie, ceea ce n realitatea economic nu este ntotdeauna adevrat.

O3. Ipoteza 5 postuleaz c matricea are toate elementele constante n raport cu seleciile repetate. Acest lucru ar fi sigur adevrat, numai n cazul experimentelor de laborator, unde experimentatorul are controlul asupra variabilelor i poate s observe n mod repetat efectele depinznd de aceste variabile de control, care au o valoare fixat.

n general, ntr-o cercetare a unui fenomen economic, variabilele de control ale ecuaiilor modelului econometric, adesea sunt generate ca variabile dependente de alte ecuaii de natur stochastic i astfel ele nu vor avea nici aceeai valoare, eventual fixat, pentru selecii repetate i nici valorile pe care le dorete cercettorul; n acest caz vectorul este condiionat de variabilele de control, care sunt de natur stochastic , ceea ce face ca matricea s nu fie constant n raport cu seleciile repetate.

O4. Modelul III de regresie liniar ar trebui s in seama de mulimea tuturor factorilor care influeneaz n realitate caracteristica cercetat . n situaiile economice reale, rar sau niciodat, nu se tie exact mulimea tuturor factorilor i ca urmare, anumii factori relevani pot fi exclui din model, iar factori strini s fie considerai n model.

O5. Despre valorile de selecie , ce alctuiesc vectorul , se presupune implicit c nu sunt afectate de erori de msurare; n realitate puine legturi economice sunt ferite de ocuri aleatoare i sunt neafectate de erori de msurare.

O6. Despre valorile parametrilor locali se accept neexplicit ipoteza c sunt constante, invariabile n timp i nu depind de unitatea de msur. n economie, sistemele cu care se lucreaz nu sunt ntotdeauna staionare, ceea ce face ca aceast ipotez s nu fie, uneori, n concordan cu realitatea economic.

O7. n general, modelele econometrice sunt construite pe baza unor ipoteze, care simplific realitatea economic ( afirmaia este valabil i n cazul altor tipuri de modele ). n particular, modelul III de regresie liniar poate, s nu fie suficient de adecvat fa de un proces economic modelat, dei a fost construit pe baza datelor de selecie, rezultate n urma procesului economic i nu ar fi surprinztor dac modelul nu acoper ntreaga realitate economic modelat.

n concluzie, aceast analiz critic are drept scop contientizarea caracterului simplificator al ipotezelor, care se afl la baza construirii modelului III de regresie liniar, necesitatea de a ncerca i de a realiza, n aplicaii, concordana i adecvarea modelului cu realitatea economic modelat.

Trebuie subliniat (nu trebuie uitat) c slbiciunile semnalate ale modelului III pot avea consecine destul de grave, la nivelul performanei modelului...............................................................................................................................

CURS 5

Estimarea parametrilor modelului III de regresie liniar

Fie modelul III de regresie liniar:

.

Are loc urmtoare proprietate:

PROPOZIIE.

Demonstraie. deoarece .

Observaie. Deoarece i , se poate spune c, n medie, modelul III de regresie liniar este corect.

Problem. S se estimeze parametrii necunoscui i din modelul III de regresie liniar, pe baza vectorului de selecie .

a) Estimarea vectorului

n acest caz se va utiliza metoda celor mai mici ptrate (MMP). Conform metodei, pentru a se determina estimaia lui , mai nti, se calculeaz , suma ptratelor erorilor, unde:

.

Prelucrarea lui se face astfel:

,

sau

,

deoarece .

___________________[N.S.] Optimizarea funciilor vectoriale ____________________

Fie o funcie vectorial cu valori reale i se consider problema:

(*) .

DEFINIIE. Vectorul este soluie a problemei (*), dac:

1) satisface condiia necesar:

;

2) satisface condiia suficient:

este o matrice pozitiv definit, i atunci este un punct de minim, respectiv o matrice negativ definit, i atunci este un punct de maxim, unde este hessianul lui , o matrice funcional ptratic.

Reguli de calcul

1) Dac , , atunci :

;

2) Dac , , atunci :

i ;

3) Dac , , atunci :

i .

Caz particular. este matrice simetric. Atunci formulele devin:

i .

Fie soluia optim a problemei:

.

Atunci verific condiia necesar:

,

adic:

.

Deoarece este nesingular, n baza consecinei 2 de la ipoteza 2, rezult c:

.

Vectorul se numete estimatorul (estimaia) n sensul celor mai mici ptrate al vectorului parametrilor locali.

Observaii. 1) este un vector aleator, deoarece depinde de vectorul aleator ;

2) este o funcie liniar de . ntr-adevr, dac se face notaia:

se obine .

Cteva proprieti statistice ale lui sunt stabilite de urmtoarele afirmaii.

PROPOZIIE. este o estimaie nedeplast a lui .


.

Observaii. 1) Dac se fac selecii repetate, atunci n medie reprezint adevrata valoare a lui .

2) Pentru o anumit selecie efectuat ( valoare a lui ) estimatorul poate avea o valoare corespunztoare, estimaia lui , diferit de valoarea adevrat a lui , att ca semn ct i ca mrime.

Componenetele lui pot s difere de la o selecie la alta, deoarece este un vector aleator i atunci este util s se cunoasc precizia estimrii punctuale, evalund mprtierea fa de medie a valorilor lui . Aceste informaii sunt date de matricea de covarian a lui , notat prin .

PROPOZIIE. Are loc: .


EMBED Equation.3 i se poate scrie

=

= ,

n baza consecinei 5 de la ipoteza 4.

Observaie. Deoarece este o matrice cunoscut, n baza ipotezei 5, rezult c este o matrice cunoscut, iar dac exist o estimaiea lui , atunci se poate construi o estimaie a lui pentru determinat pe baza unei selecii.

Se consider LN, clasa tuturor estimatorilor (estimaiilor) liniari i nedeplasai ai lui .

LN

Atunci o estimaie oarecare din aceast clas, notat prin , are forma , unde i este o matrice care nu depinde de sau de ali parametrii necunoscui; un element particular al acestei clase este determinat specificnd matricea . De exemplu, face parte din aceast clas deoarece el este determinat de matricea , care este un caz particular de matrice .

_______________________[N.S] Matrice pozitiv sau negativ semidefinit___________

DEFINIIE. Fie o matrice simetric. se numete pozitiv (negativ) semidefinit, dac :

.

PROPOZIIE. Fie . Atunci este o matrice pozitiv semidefinit.

Demonstraie. Deoarece , rezult c este simetric. Fie . Atunci i este o matrice pozitiv semidefinit.

n clasa LN estimatorul a lui are o calitate deosebit, pus n eviden de urmtoarea teorem.

Fie , i doi estimaii liniare i nedeplasate ale lui , ale cror matrice de covarian sunt i respectiv .

DEFINIIE. Estimaia este mai bun dect estimaia , dac matricea

EMBED Equation.3 este pozitiv semidefinit sau matricea

EMBED Equation.3 este negativ semidefinit.

TEOREMA GAUSS-MARKOV. Estimia este cea mai bun estimaie din clasa LN a lui .

Demonstraie. Fie cu .

Ideea. Se demonstreaz c matricea este pozitiv semidefinit.

Mai nti, se consider matricea:

.

Rezult c:

i =

.

Pe de alt parte, este o estimaie nedeplasat, dac i numai dac . Atunci:

.

Prin urmare: . Atunci matricea de covarian a lui devine:

.

Deoarece i se obine:

.

n concluzie , care este o matrice pozitiv semidefinit i deci este cea mai bun estimaie liniar i nedeplasat.

b) Estimarea parametrului

Deoarece suma nu conine pe , nu poate fi utilizat pentru estimarea lui .

n baza consecinei 5 de la ipoteza 4 are loc . Atunci se poate scrie:

.


i .

PROPOZIIE. Are loc: .

Demonstraie. .

Consecin. este o estimaie pentru , iar este o estimaie a lui .

ntr-adevr, este o estimaie a lui i rezult c este o estimaie a lui , adic este o estimaie a lui , iar n baza propoziiei de mai sus, rezult c este o estimaie nedeplasat a lui .

Pe de alt parte, deoarece este o estimaie a lui , rezult c este o estimaie a lui , adic este o estimaie a lui .

Din definiia lui rezult:

sau .

DEFINIIE. Relaia:

se numete ecuaia de predicie, corespunztoare modelului III de regresie liniar.

Se pot face urmtoarele prelucrri:

EMBED Equation.3 =

= .

Fie . Cu aceast notaie se obine:

.

____________________[N.S.] Matrice idempotent____________________________

DEFINIIE. Matricea ptratic se numete idempotent, dac .

PROPRIETATE. Dac este simetric i idempotent, atunci are toate valorile proprii egale cu zero sau cu 1.

PROPOZIIE. Matricea este simetric i idempotent.

Demonstraie. Deoarece:

,

rezult c este simetric.

Deoarece:

-

-,

rezult c este idempotent.

Consecin. are toate valorile proprii egale cu zero sau cu 1.

Pentru a estima parametrul se va utiliza funcionala ptratic:

n locul lui . Pe de alt parte, se poate exprima n funcie de , astfel:

= ,

adic este o funcional ptratic n componentele lui .

Natura lui este pus n eviden de urmtoarea afirmaie.

Observaie. este o variabil aleatoare unidimensional.

_________________[N.S.] Urma unei matrice __________________________________

DEFINIIE. Se numete urma matricei i se noteaz prin , numrul complex:

.

Caz particular. Dac , atunci .

PROPOZIIE. Sunt adevrate urmtoarele proprieti:

1) .

2) .

Observaie. Proprietatea 2 este adevrat i n condiii mai generale, n care cele 3 matrice nu sunt toate de acelai tip, dar exist cele 3 produse.

3)

4) .

5) i inversabil, rezult .

6) i .

PROPOZIIE. Sunt adevrate proprietile:

1) .

2) .

3) .

Demonstraie. 1) Rezult din faptul c .

2) .

3)

= , deoarece i sunt operatori liniari permutabili. Pe de alt parte, are loc:

= , n baza observaiei de mai sus.

n concluzie: .

Se face notaia: . Legtura dintre i este stabilit de urmtoarea afirmaie.

PROPOZIIE. .

Demonstraie. .

Consecin. este un estimator nedeplasat al lui .

O alt form a lui este dat de urmtoarea afirmaie.

PROPOZIIE. .

Demonstraie. Se poate scrie:

=

.

Cu ajutorul estimaiei a lui se poate construi o estimaie a matricei de covarian , notat prin , de forma:

,

ale crei elemente de pe diagonala principal sunt estimaii ale dispersiilor elementelor lui , iar celelalte elemente sunt estimaii ale covarianelor dintre elementele vectorului .....................................................................................................

CURS 6

EXPERIMENT ALEATOR UTILIZND MODELUL III

DE REGRESIE LINIAR

Se consider modelul III de regresie liniar, pentru a fi supus un experiment aleator pe calculator, utiliznd limbajul Gauss.

Fie ecauia modelului III:

,

unde este vectorul de selecie ( al observaiilor sau efectelor ), vectorul parametrilor locali este , iar este vectorul aleator al erorilor inobservabile, cu i .

n acest caz, cel care face experimentul joac rolul naturii i prin urmare cunoate vectorul parametrilor locali i parametrul . Pe baza unei matrice cadru cunoscute i utiliznd un generator de numere pseudoaleatoare se produc selecii repetate, care formeaz valorile lui .

Conform rezultatelor teoretice cunoscute, se determin estimatorul a lui , n sensul celor mai mici ptrate, pentru ( fixat ) selecii repetate i pentru dat. __________________[N.S.] Generatori de numere pseudoaleatoare _________________

DEFINIIE. Se numete ir de numere aleatoare un ir de variabile aleatoare independente, cu aceeai repartiie, astfel nct termenii nu se repet.

DEFINIIE. Se numete ir de numere pseudoaleatoare un ir de variabile aleatoare qusi-independente, cu aceai repartiie, ai crui termeni se repet de la un rang suficient de mare.

DEFINIIE. Se numete generator de numere pseudoaleatoare, un procedeu aritmetic recurent de producere a unui ir , utiliznd o relaie de recuren de forma:

.

Un exemplu de generator este generatorul congruenial liniar, notat prin , care produce un ir de numere pseudoaleatoare, utiliznd relaia de recuren:

,

unde este numrul iniial ( smna-seed ) de la care pornete generatorul, este un factor de multiplicare, este numrul n raport cu care se calculeaz clasele de resturi, iar este o constant.

Observaie. Dac , atunci se obine generatorul congruenial liniar multiplicativ, iar dac se obine generatorul congruenial mixt.

n Gauss exist implementat un generator congruenial liniar cu urmtorii parametrii:

este valoarea ceasului sau este setat, utiliznd comanda rndseed;

;

;

.

DEFINIIE. Se numete perioada irului de numere pseudoaleatoare i se noteaz prin , numrul natural cu proprietatea:

.

Observaie. Are loc:.

DEFINIIE. irul de numere pseudoaleatoare are perioada maxim, dac .

Se pune problema construirii unui generator de iruri pseudoaleatoare cu perioad maxim. Condiii suficiente, pentru ca un generator congruenial liniar s produc un ir cu perioada maxim, sunt date de urmtoarea afirmaie.

TEOREM. Generatorul produce un ir cu perioada maxim, dac:

1) ;

2) este un multiplu de divizor prim al lui ,

3) este divizibil cu 4, dac este divizibil cu 4.

Utiliznd un generator de numere pseudoaleatoare cu o repartiie uniform continu pe , avnd media 0 i dispersia , se genereaz selecii de volum asupra lui . Apoi, se calculeaz vectorul , ce reprezint partea sistematic i se produc selecii de volum asupra lui , utiliznd ecuaia .

n final, se compar valorile vectorului cu valorile lui .

Aplicaie numeric.(ex1gr69) i are aceast form:

O APLICAIE A MODELULUI III

DE REGRESIE LINIAR

S se construiasc modelul econometric al procesului de producie al crnii de pasre, desfurat ntr-un interval de 15 sptmni, timp n care un pui ieit din ou se transform ntr-un exemplar matur, apt pentru a fi comercializat.

n acest scop trebuie tabelat greutatea medie a unui lot de exemplare i consumul mediu corespunztor de nutreuri n intervalul de 15 sptmni.

Fie greutatea medie stabilit pentru un lot de exemplare la sfritul sptmnii i fie consumul cumulat mediu de nutreuri pn la momentul .

Atunci funcia de producie care modeleaz acest proces de producie, ignornd n aceast faz erorile, are forma:

.

Pentru a se stabili forma analitic a funciei trebuie s se in seama de faptul c o cretere cu o unitate a consumului de nutreuri produce o cretere din ce n ce mai mic a greutii unui pui. Aceast caracteristic a procesului de producie exprim o relaie cresctoare ntre i , dar cu rata de cretere descresctoare. Ca urmare, graficul lui este o parte din graficul unei funcii polinomiale de gradul 2, cu coeficientul dominant strict negativ, (

EMBED Equation.3 0 ), de forma:

Prin urmare funcia are urmtoarea form analitic:

,

unde

EMBED Equation.3 0 i

EMBED Equation.3 0, deoarece productivitatea marginal este pozitiv i descresctoare.

n acest demers nu s-a inut seama, de toi factorii care influeneaz procesul de producie. Ca urmare trebuie ca n relaia (*) s fie inclus i un termen eroare, notat prin , astfel c forma final a lui este:

, .

Pentru a se construi modelul econometric se fac urmtoarele notaii:

unde i , i

.

Cu aceste notaii, modelul econometric al procesului de producie pentru carnea de pasre are forma:

.

Acest model este liniar n parametrii locali , dar nu este liniar n variabila de control .

Exemplu numeric. Se consider procesul de producie al crnii de pasre, care este echivalat cu un experiment pe o durat de 15 sptmni ce genereaz urmtoarele date:

a) S se scrie modelul econometric adecvat procesului de producie.

b) S se estimeze parametrii modelului econometric.

c) S se determine funcia de producie estimat.

d) S se determine greutatea medie optim de vnzare a unui exemplar matur.

Indicaie. c) .

d) Se utilizeaz relaia:

, unde este preul unitar al nutreului, iar este preul de vnzare al unui exemplar.

Predictibilitatea modelului III de regresie liniar

n cazul multor decizii privind probleme economice reale este justificat accentul pus pe estimarea parametrilor modelului III de regresie liniar utilizat. Totui, exist i cazuri n care se acord o mare atenie capacitii de predictibilitate ( previziune ) a modelului construit, privind vectorul efectelor , n funcie de numrul diferit al variabilelor de control ( explicative ) luate n considerare.

Pentru a aborda chestiunea predictibilitii cu modelul III de regresie liniar se consider ecuaia modelului:

i se pune problema alegerii unei funcii de predicie, care s minimizeze ptratul erorilor de predicie.

n acest scop se fac urmtoarele notaii:

este vectorul format cu valorile viitoare ale efectelor, care sunt considerate ca fiind valorile unei selecii viitoare de volum ;

este matricea cunoscut format cu valorile viitoare ale variabilelor de control;

Cu aceste notaii, modelul III de regresie liniar corespunztor lui i are forma:

,

unde este vectorul aleator al erorilor viitoare, cu media i matricea de covarian , independent de .

Deoarece este estimaia n sensul celor mai mici ptrate a lui , funcia de predictibilitate pentru este dat de urmtoarea relaie:

,

unde este o estimaie nedeplast a lui , deoarece .

Aceast funcie de predictibilitate are la baz urmtoarea ipotez.

IPOTEZA S. Procesul de selecie are aceleai caracteristici pentru i pentru .

Presupunnd adevrat aceast ipotez are sens diferena , numit eroarea de predicie, care este un vector aleator i are urmtoarea proprietate.

PROPOZIIE. este o estimaie nedeplasat a lui .

Demonstraie. Se poate scrie:

. Rezult c: i deci este o estimaie nedeplasat a lui .

Alte informaii privind eroarea de predicie sunt furnizate de matricea de covarian , care se calculeaz astfel:

=

+ , deoarece i sunt variabile aleatoare independente.

Interpretarea acestui rezultat este urmtoarea: abaterea erorii de predicie de la media sa are 2 componente; prima este datorat erorii care se face prin estimarea paremetrului i cea de a doua este datorat erorii .

? ....n unele situaii intereseaz mai mult media vectorului , dect vectorul nsui. n acest caz, tiind c i este o estimaie nedeplasat a lui , se poate calcula matricea de covarian a vectorului aleator , obinndu-se:

= , deoarece .

Rezult c eroarea, care se face estimnd prin , depinde de alegerea matricei , care conine valorile viitoare ale variabilelor de control.

Influena creterii numrului de parametrii

n cadrul modelului III de regresie liniar

n modelul I de regresie liniar se utilizeaz un singur parametru, n funcie de care se calculeaz media vectorului aleator , n timp ce n modelul III de regresie liniar se utilizeaz parametrii, iar n matricea sunt coloane, dintre care coloane conin valorile variabilelor de control, ce se utilizeaz n calculul mediei lui .

Deoarece modelul III utilizeaz parametrii n plus fa de modelul I i corespunztor lor matricea are n plus coloane, trebuie stabilit proporia din totalul variabilitii lui , datorat considerrii n plus a celor vectori coloan din , corespunztori variabilelor de control.

Pentru aceasta se consider ecuaia de predicie corespunztoare modelului III de regresie liniar, care utilizeaz estimaia , n sensul celor mai mici ptrate, a lui i are forma:

,

unde i , iar este o estimaie a lui , care are drept componente erorile neexplicate i este numit vectorul erorilor neexplicate.

Relaia (1) se poate scrie i astfel:

,

unde reprezint partea, din variabilitatea lui , explicat prin includerea variabilelor de control n modelul III de regresie liniar.

O msur a variabilitii lui se obine considernd suma ptratelor componentelor lui , dat de produsul i care se prelucreaz astfel:

.

Se tie c , unde . Atunci are loc:

EMBED Equation.3 .

Utiliznd aceste rezultate n produsul se obine:

sau

.

n baza relaiei (2), rezult c suma ptratelor componentelor lui este alctuit din dou pri:

a) partea care depinde de variabilele de control;

b) partea care depinde de erorile neexplicate.

...............................................................................................................Consum Xt2

consum X2t

Yt

greutate

_1095788674.unknown

_1166633322.unknown

_1359985022.unknown

_1359985039.unknown

_1359985055.unknown

_1359985063.unknown

_1359985071.unknown

_1359985079.unknown

_1359985083.unknown

_1359985085.unknown

_1359985087.unknown

_1359985088.unknown

_1359985086.unknown

_1359985084.unknown

_1359985081.unknown

_1359985082.unknown

_1359985080.unknown

_1359985075.unknown

_1359985077.unknown

_1359985078.unknown

_1359985076.unknown

_1359985073.unknown

_1359985074.unknown

_1359985072.unknown

_1359985067.unknown

_1359985069.unknown

_1359985070.unknown

_1359985068.unknown

_1359985065.unknown

_1359985066.unknown

_1359985064.unknown

_1359985059.unknown

_1359985061.unknown

_1359985062.unknown

_1359985060.unknown

_1359985057.unknown

_1359985058.unknown

_1359985056.unknown

_1359985047.unknown

_1359985051.unknown

_1359985053.unknown

_1359985054.unknown

_1359985052.unknown

_1359985049.unknown

_1359985050.unknown

_1359985048.unknown

_1359985043.unknown

_1359985045.unknown

_1359985046.unknown

_1359985044.unknown

_1359985041.unknown

_1359985042.unknown

_1359985040.unknown

_1359985030.unknown

_1359985034.unknown

_1359985037.unknown

_1359985038.unknown

_1359985036.unknown

_1359985032.unknown

_1359985033.unknown

_1359985031.unknown

_1359985026.unknown

_1359985028.unknown

_1359985029.unknown

_1359985027.unknown

_1359985024.unknown

_1359985025.unknown

_1359985023.unknown

_1359985006.unknown

_1359985014.unknown

_1359985018.unknown

_1359985020.unknown

_1359985021.unknown

_1359985019.unknown

_1359985016.unknown

_1359985017.unknown

_1359985015.unknown

_1359985010.unknown

_1359985012.unknown

_1359985013.unknown

_1359985011.unknown

_1359985008.unknown

_1359985009.unknown

_1359985007.unknown

_1359984998.unknown

_1359985002.unknown

_1359985004.unknown

_1359985005.unknown

_1359985003.unknown

_1359985000.unknown

_1359985001.unknown

_1359984999.unknown

_1359984994.unknown

_1359984996.unknown

_1359984997.unknown

_1359984995.unknown

_1359984992.unknown

_1359984993.unknown

_1166633422.unknown

_1359984991.unknown

_1166633355.unknown

_1127993019.unknown

_1128926081.unknown

_1129463763.unknown

_1129464141.unknown

_1129832940.xlsSheet1

10.6930.693

11,7330.693

10.6931,386

11,7331,386

10.6931,792

12,3400.693

11,7331,792

12,3401,386

12,3401,792

10.6930.693

10.6931,386

11,7330.693

11,7331,386

10.6931,792

12,3400.693

11,7331,792

12,3401,386

12,3401,792

11,7331,386

10.6930.693

_1141588120.unknown

_1160289718.unknown

_1161075920.unknown

_1166553784.unknown

_1162296684.unknown

_1161074654.unknown

_1159864917.unknown

_1160289619.unknown

_1159860641.unknown

_1130665732.unknown

_1130670072.unknown

_1130670382.unknown

_1130671590.unknown

_1130670213.unknown

_1130670024.unknown

_1130665396.unknown

_1130665480.unknown

_1130665364.unknown

_1130665381.unknown

_1130011775.unknown

_1130585525.unknown

_1130011740.unknown

_1129464532.unknown

_1129828692.unknown

_1129832481.unknown

_1129832703.xlsSheet1

Sfritul sptmnii tGreutatea medie Yt a unui exemplar la sfritul sptmnii tConsumul cumulat mediu xt2 pn la sfritul sptmnii t

10.581

21.12

31.23

41.34

51.955

62.556

72.67

82.98

93.459

103.510

113.611

124.112

134.3513

144.414

154.515

_1129465079.unknown

_1129464302.unknown

_1129464344.unknown

_1129464176.unknown

_1129463869.unknown

_1129464004.unknown

_1129464098.unknown

_1129463904.unknown

_1129463825.unknown

_1129463856.unknown

_1129463813.unknown

_1129375200.unknown

_1129449106.unknown

_1129449407.unknown

_1129449589.unknown

_1129456074.unknown

_1129456710.unknown

_1129458431.unknown

_1129449607.unknown

_1129449444.unknown

_1129449194.unknown

_1129449240.unknown

_1129449225.unknown

_1129449127.unknown

_1129447696.unknown

_1129447882.unknown

_1129448205.unknown

_1129447828.unknown

_1129445577.unknown

_1129447389.unknown

_1129375211.unknown

_1128926715.unknown

_1128926913.unknown

_1128927432.unknown

_1129225069.unknown

_1129225438.unknown

_1129225033.unknown

_1128926939.unknown

_1128926833.unknown

_1128926840.unknown

_1128926781.unknown

_1128926331.unknown

_1128926488.unknown

_1128926695.unknown

_1128926469.unknown

_1128926244.unknown

_1128926265.unknown

_1128926191.unknown

_1128004370.unknown

_1128696423.unknown

_1128702849.unknown

_1128925952.unknown

_1128926021.unknown

_1128926044.unknown

_1128925974.unknown

_1128703144.unknown

_1128703212.unknown

_1128704175.unknown

_1128706964.unknown

_1128703437.unknown

_1128703184.unknown

_1128703017.unknown

_1128702513.unknown

_1128702678.unknown

_1128702771.unknown

_1128702595.unknown

_1128696824.unknown

_1128697182.unknown

_1128696619.unknown

_1128695765.unknown

_1128696055.unknown

_1128696157.unknown

_1128695888.unknown

_1128020043.unknown

_1128284866.unknown

_1128606939.unknown

_1128004468.unknown

_1128019907.unknown

_1128002817.unknown

_1128003218.unknown

_1128003753.unknown

_1128004079.unknown

_1128003704.unknown

_1128002960.unknown

_1128003053.unknown

_1128002935.unknown

_1128002559.unknown

_1128002770.unknown

_1128002800.unknown

_1128002672.unknown

_1128002531.unknown

_1128002542.unknown

_1127993096.unknown

_1127996111.unknown

_1096367690.unknown

_1096928268.unknown

_1126801330.unknown

_1127044646.unknown

_1127045006.unknown

_1127045418.unknown

_1127648084.unknown

_1127650695.unknown

_1127650285.unknown

_1127045614.unknown

_1127045719.unknown

_1127562757.unknown

_1127045705.unknown

_1127045591.unknown

_1127045136.unknown

_1127045158.unknown

_1127045051.unknown

_1127044908.unknown

_1127044979.unknown

_1127044842.unknown

_1127043582.unknown

_1127044045.unknown

_1127044231.unknown

_1127043703.unknown

_1126801365.unknown

_1126801526.unknown

_1127043551.unknown

_1126801469.unknown

_1126801343.unknown

_1097520421.unknown

_1097586383.unknown

_1098090715.unknown

_1099948607.unknown

_1126801297.unknown

_1098134914.unknown

_1098186744.unknown

_1098188148.unknown

_1098189484.unknown

_1098189770.unknown

_1098190367.unknown

_1098197379.unknown

_1098197509.unknown

_1098197747.unknown

_1098190410.unknown

_1098190046.unknown

_1098190090.unknown

_1098189800.unknown

_1098189666.unknown

_1098189732.unknown

_1098189516.unknown

_1098188928.unknown

_1098189031.unknown

_1098189140.unknown

_1098188977.unknown

_1098188860.unknown

_1098187468.unknown

_1098188001.unknown

_1098188090.unknown

_1098187781.unknown

_1098187218.unknown

_1098187296.unknown

_1098187018.unknown

_1098135380.unknown

_1098136259.unknown

_1098186526.unknown

_1098186723.unknown

_1098186227.unknown

_1098135762.unknown

_1098136064.unknown

_1098135422.unknown

_1098135203.unknown

_1098135274.unknown

_1098135337.unknown

_1098135234.unknown

_1098135014.unknown

_1098135160.unknown

_1098134969.unknown

_1098124901.unknown

_1098133936.unknown

_1098134726.unknown

_1098134803.unknown

_1098134848.unknown

_1098134746.unknown

_1098134536.unknown

_1098134580.unknown

_1098134379.unknown

_1098132207.unknown

_1098132439.unknown

_1098132483.unknown

_1098132352.unknown

_1098128988.unknown

_1098129004.unknown

_1098125040.unknown

_1098094780.unknown

_1098100311.unknown

_1098100508.unknown

_1098100517.unknown

_1098100501.unknown

_1098100452.unknown

_1098095375.unknown

_1098099159.unknown

_1098095029.unknown

_1098090932.unknown

_1098094672.unknown

_1098094580.unknown

_1098094611.unknown

_1098091002.unknown

_1098094506.unknown

_1098090741.unknown

_1098090823.unknown

_1097600425.unknown

_1098089189.unknown

_1098089973.unknown

_1098090135.unknown

_1098090237.unknown

_1098090602.unknown

_1098090354.unknown

_1098090389.unknown

_1098090073.unknown

_1098090057.unknown

_1098089833.unknown

_1098089958.unknown

_1098089589.unknown

_1098089650.unknown

_1098089532.unknown

_1097600937.unknown

_1097613208.unknown

_1097614124.unknown

_1097614380.unknown

_1097614441.unknown

_1097614593.unknown

_1097614406.unknown

_1097614346.unknown

_1097613595.unknown

_1097613636.unknown

_1097613290.unknown

_1097612478.unknown

_1097612851.unknown

_1097613090.unknown

_1097612722.unknown

_1097602420.unknown

_1097602431.unknown

_1097612342.unknown

_1097602162.unknown

_1097602177.unknown

_1097601066.unknown

_1097600580.unknown

_1097600600.unknown

_1097600481.unknown

_1097599078.unknown

_1097599736.unknown

_1097599826.unknown

_1097600098.unknown

_1097600342.unknown

_1097599756.unknown

_1097599385.unknown

_1097599446.unknown

_1097599200.unknown

_1097587340.unknown

_1097598993.unknown

_1097599049.unknown

_1097598773.unknown

_1097586989.unknown

_1097587122.unknown

_1097586506.unknown

_1097529572.unknown

_1097582817.unknown

_1097584549.unknown

_1097585212.unknown

_1097585393.unknown

_1097585692.unknown

_1097586276.unknown

_1097586329.unknown

_1097586225.unknown

_1097585597.unknown

_1097585280.unknown

_1097585016.unknown

_1097585070.unknown

_1097584940.unknown

_1097583501.unknown

_1097584278.unknown

_1097584355.unknown

_1097583840.unknown

_1097583305.unknown

_1097583468.unknown

_1097583274.unknown

_1097582843.unknown

_1097583144.unknown

_1097581456.unknown

_1097582372.unknown

_1097582693.unknown

_1097582752.unknown

_1097582390.unknown

_1097581685.unknown

_1097581747.unknown

_1097581608.unknown

_1097580912.unknown

_1097581027.unknown

_1097581427.unknown

_1097580952.unknown

_1097530052.unknown

_1097578218.unknown

_1097580847.unknown

_1097529808.unknown

_1097526258.unknown

_1097527607.unknown

_1097529237.unknown

_1097529445.unknown

_1097529492.unknown

_1097529265.unknown

_1097527701.unknown

_1097528442.unknown

_1097527650.unknown

_1097526890.unknown

_1097527153.unknown

_1097527509.unknown

_1097527349.unknown

_1097527098.unknown

_1097526466.unknown

_1097526510.unknown

_1097526312.unknown

_1097523021.unknown

_1097523170.unknown

_1097525485.unknown

_1097525634.unknown

_1097526207.unknown

_1097525787.unknown

_1097525562.unknown

_1097525321.unknown

_1097525330.unknown

_1097523515.unknown

_1097523598.unknown

_1097523080.unknown

_1097523135.unknown

_1097520620.unknown

_1097522130.unknown

_1097522998.unknown

_1097522259.unknown

_1097522017.unknown

_1097520525.unknown

_1097520555.unknown

_1097520481.unknown

_1097478470.unknown

_1097489725.unknown

_1097491173.unknown

_1097492431.unknown

_1097492904.unknown

_1097520101.unknown

_1097520207.unknown

_1097493123.unknown

_1097492808.unknown

_1097492822.unknown

_1097492584.unknown

_1097491310.unknown

_1097492014.unknown

_1097492037.unknown

_1097491426.unknown

_1097491564.unknown

_1097491219.unknown

_1097490315.unknown

_1097490876.unknown

_1097491082.unknown

_1097490608.unknown

_1097490213.unknown

_1097490282.unknown

_1097489831.unknown

_1097490120.unknown

_1097489787.unknown

_1097483917.unknown

_1097488097.unknown

_1097488692.unknown

_1097488741.unknown

_1097489612.unknown

_1097488716.unknown

_1097488371.unknown

_1097488443.unknown

_1097488252.unknown

_1097485680.unknown

_1097486333.unknown

_1097486437.unknown

_1097485781.unknown

_1097484841.unknown

_1097485066.unknown

_1097484021.unknown

_1097482800.unknown

_1097483250.unknown

_1097483624.unknown

_1097483834.unknown

_1097483489.unknown

_1097483160.unknown

_1097483206.unknown

_1097482807.unknown

_1097478674.unknown

_1097482710.unknown

_1097482755.unknown

_1097478761.unknown

_1097478645.unknown

_1097478664.unknown

_1097478496.unknown

_1096973862.unknown

_1096979852.unknown

_1096982382.unknown

_1097478079.unknown

_1097478301.unknown

_1097478388.unknown

_1097478220.unknown

_1096987587.unknown

_1096988632.unknown

_1096987266.unknown

_1096981881.unknown

_1096982034.unknown

_1096982332.unknown

_1096981925.unknown

_1096980644.unknown

_1096981661.unknown

_1096979868.unknown

_1096979073.unknown

_1096979757.unknown

_1096979800.unknown

_1096979816.unknown

_1096979183.unknown

_1096979458.unknown

_1096979135.unknown

_1096978356.unknown

_1096978556.unknown

_1096978741.unknown

_1096978967.unknown

_1096978990.unknown

_1096978587.unknown

_1096978391.unknown

_1096974108.unknown

_1096978264.unknown

_1096974032.unknown

_1096970537.unknown

_1096973161.unknown

_1096973367.unknown

_1096973655.unknown

_1096973319.unknown

_1096970789.unknown

_1096971300.unknown

_1096970674.unknown

_1096969200.unknown

_1096969267.unknown

_1096969375.unknown

_1096969249.unknown

_1096928946.unknown

_1096929007.unknown

_1096928421.unknown

_1096379711.unknown

_1096398733.unknown

_1096403217.unknown

_1096925824.unknown

_1096927276.unknown

_1096927375.unknown

_1096927704.unknown

_1096927822.unknown

_1096927522.unknown

_1096926349.unknown

_1096926670.unknown

_1096926781.unknown

_1096926891.unknown

_1096926553.unknown

_1096926238.unknown

_1096926259.unknown

_1096925937.unknown

_1096924351.unknown

_1096924853.unknown

_1096925076.unknown

_1096925173.unknown

_1096924983.unknown

_1096924794.unknown

_1096924424.unknown

_1096924523.unknown

_1096403585.unknown

_1096923854.unknown

_1096924205.unknown

_1096923785.unknown

_1096923613.unknown

_1096403395.unknown

_1096403458.unknown

_1096403380.unknown

_1096400325.unknown

_1096401753.unknown

_1096401935.unknown

_1096403091.unknown

_1096403194.unknown

_1096402455.unknown

_1096402973.unknown

_1096401947.unknown

_1096402303.unknown

_1096401860.unknown

_1096401461.unknown

_1096401625.unknown

_1096400745.unknown

_1096400372.unknown

_1096400687.unknown

_1096399780.unknown

_1096400080.unknown

_1096400258.unknown

_1096400015.unknown

_1096399613.unknown

_1096399650.unknown

_1096398974.unknown

_1096399538.unknown

_1096386572.unknown

_1096395731.unknown

_1096396449.unknown

_1096397276.unknown

_1096397289.unknown

_1096396566.unknown

_1096396790.unknown

_1096396098.unknown

_1096396349.unknown

_1096396000.unknown

_1096394591.unknown

_1096395050.unknown

_1096395670.unknown

_1096394873.unknown

_1096387115.unknown

_1096387123.unknown

_1096386621.unknown

_1096380566.unknown

_1096381533.unknown

_1096386546.unknown

_1096383118.unknown

_1096383534.unknown

_1096381350.unknown

_1096381362.unknown

_1096380883.unknown

_1096380206.unknown

_1096380304.unknown

_1096380551.unknown

_1096380280.unknown

_1096380044.unknown

_1096380068.unknown

_1096379729.unknown

_1096368632.unknown

_1096370545.unknown

_1096374903.unknown

_1096376911.unknown

_1096377176.unknown

_1096379432.unknown

_1096376973.unknown

_1096375949.unknown

_1096376034.unknown

_1096376779.unknown

_1096375658.unknown

_1096375719.unknown

_1096375387.unknown

_1096371909.unknown

_1096374489.unknown

_1096374853.unknown

_1096374578.unknown

_1096374811.unknown

_1096374402.unknown

_1096371684.unknown

_1096371741.unknown

_1096371627.unknown

_1096368923.unknown

_1096369038.unknown

_1096369846.unknown

_1096370456.unknown

_1096370471.unknown

_1096369769.unknown

_1096368975.unknown

_1096369001.unknown

_1096368737.unknown

_1096368849.unknown

_1096368878.unknown

_1096368761.unknown

_1096368681.unknown

_1096368394.unknown

_1096368569.unknown

_1096368593.unknown

_1096368405.unknown

_1096368336.unknown

_1096367714.unknown

_1096368233.unknown

_1095791141.unknown

_1096362112.unknown

_1096362782.unknown

_1096362960.unknown

_1096363108.unknown

_1096362881.unknown

_1096362275.unknown

_1096362618.unknown

_1096362192.unknown

_1095792335.xlsSheet1

x

x

venitul

consumul

f(Y/x)

Sheet2

Sheet3

Sheet4

Sheet5

Sheet6

Sheet7

_1096313455.unknown

_1096313495.unknown

_1095794883.unknown

_1095793060.unknown

_1095791351.unknown

_1095791991.unknown

_1095792059.unknown

_1095791552.unknown

_1095791301.unknown

_1095788899.unknown

_1095789738.unknown

_1095790442.unknown

_1095790583.unknown

_1095790655.unknown

_1095790841.unknown

_1095790546.unknown

_1095789792.unknown

_1095789405.unknown

_1095789106.unknown

_1095789300.unknown

_1095788806.unknown

_1095788820.unknown

_1095788723.unknown

_1095712555.unknown

_1095779897.unknown

_1095784718.unknown

_1095787741.unknown

_1095787783.unknown

_1095788357.unknown

_1095787747.unknown

_1095784923.unknown

_1095787693.unknown

_1095780357.unknown

_1095781219.unknown

_1095784168.unknown

_1095784267.unknown

_1095781237.unknown

_1095780704.unknown

_1095781098.unknown

_1095780671.unknown

_1095780042.unknown

_1095780069.unknown

_1095780314.unknown

_1095780061.unknown

_1095779909.unknown

_1095779940.unknown

_1095768711.unknown

_1095769160.unknown

_1095779362.unknown

_1095779870.unknown

_1095779461.unknown

_1095779774.unknown

_1095779392.unknown

_1095769433.unknown

_1095771104.unknown

_1095778837.unknown

_1095769227.unknown

_1095768925.unknown

_1095768980.unknown

_1095769149.unknown

_1095768969.unknown

_1095768844.unknown

_1095768900.unknown

_1095768828.unknown

_1095763968.unknown

_1095768365.unknown

_1095768418.unknown

_1095768694.unknown

_1095768399.unknown

_1095764681.unknown

_1095764724.unknown

_1095764660.unknown

_1095761141.unknown

_1095761689.unknown

_1095762205.unknown

_1095762362.unknown

_1095762698.unknown

_1095762256.unknown

_1095761735.unknown

_1095761471.unknown

_1095713166.unknown

_1095713465.unknown

_1095712658.unknown

_1095672524.unknown

_1095708317.unknown

_1095710806.unknown

_1095711158.unknown

_1095711669.unknown

_1095712342.unknown

_1095711708.unknown

_1095711622.unknown

_1095710850.unknown

_1095710939.unknown

_1095710759.unknown

_1095708659.unknown

_1095709724.unknown

_1095710075.unknown

_1095708509.unknown

_1095672968.unknown

_1095708049.unknown

_1095708099.unknown

_1095707586.unknown

_1095672643.unknown

_1095672852.unknown

_1095672583.unknown

_1095193491.unknown

_1095193590.unknown

_1095672441.unknown

_1095192424.unknown

curs mm 1-22martie11

Documents