curs 9 echilibrul sistemelor de corpuri rigide cuprins · mecanica i 8 reacţiunile...

Echilibrul sistemelor de corpuri rigide

Mecanica I 1

CURS 9

ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE

CUPRINS

9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide ...…………………...………...………..…………1

Cuprins……………………………………………………………………………………..1

Introducere modul………………………………………………………………………….1

Obiective modul...………………………………………………………………………….2

9.1. Generalităţi. Legături intermediare .........................................................................2

9.2. Teoreme de echilibru .................................................................................................5

Test de autoevaluare 1 ..................................................................................................8

9.3. Sisteme de corpuri static determinate ......................................................................9

9.4. Metoda echilibrului corpurilor componente .........................................................10

Test de autoevaluare 2 ................................................................................................11

Bibliografie modul……………………………………………………………………………11

Rezumat modul……………………………………………………………………………….11

Rezolvarea testelor de autoevaluare ...…………………………..…...………………………12

9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide

Introducere

modul

În acest modul se vor studia sistemele de corpuri rigide. Se vor

prezenta legăturile dintre corpuri în problema plană, se vor enunţa

cele două teoreme de echilibru care rezolvă problema echilibrului

sistemelor de corpuri static determinate. Se va defini noţiunea de

sistem de corpuri static determinat şi se va prezenta una dintre

metodele de determinare ale necunoscutelor introduse de legăturile

sistemului de corpuri (atât exterioare cât şi intemediare), metoda

echilibrului corpurilor componente.


Mecanica I 2

Obiective modul

După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:

- să definească sistemul de corpuri rigide;

- legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri în

problema plană;

- să enunţe şi să demonstreze teoremele de echilibru ale

sistemelor de corpuri rigide;

- să identifice şi să alcătuiască sisteme de corpuri static

determinate;

- pentru sisteme de corpuri static determinate să rezolve

necunoscutele introduse de legături prin metoda echilibrului

corpurilor componente.

Durata medie de

studiu individual

2 ore

Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în

acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.

9.1. Generalităţi. Legături intermediare

Un sistem de corpuri rigide este un ansamblu de corpuri rigide aflate în interacţiune mecanică.

Dacă sistemul de corpuri este alcătuit din corpuri plane, situate în acelaşi plan şi acţionate de

forţe situate în planul considerat atunci sistemul de corpuri este plan.

Interacţiunea mecanică dintre corpurile unui sistem de corpuri se realizează cu ajutorul

legăturilor intermediare (legături interioare). Imobilizarea sistemului de corpuri se face cu

ajutorul atât a legăturilor intermediare cât şi a legăturilor corpurilor cu mediul exterior,

denumite legături exterioare. Deoarece legăturile ideale în plan (mai des întâlnite) ale

corpurilor cu mediul exterior s-au prezentat în modulul anterior, se vor prezenta în continuare

legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri în plan.

Legăturile intermediare pot fi legături simple intermediare (de tipul reazemului simplu) sau

articulaţii intermediare. Dacă între două corpuri se introduce o încastrare atunci ele se vor

comporta ca un singur corp (nu există între cele două corpuri posibilitatea unor deplasări sau

rotiri relative) şi se vor considera ca atare.


Mecanica I 3

Legătura simplă intermediară (figura 9.1)

Legătura simplă intermediară suprimă ansamblului celor două corpuri legate un grad de

libertate şi anume posibilitatea translaţiei relative pe direcţia legăturii simple. Aceasta

înseamnă că pe direcţia legăturii simple intermediare, cele două corpuri se translatează

împreună, cu aceeaşi cantitate.

Legătura simplă intermediară se schematizează printr-un pendul având direcţia identică cu

direcţia legăturii simple. Prin aplicarea axiomei legăturilor, legătura simplă se înlocuieşte cu o

pereche de forţe de legătură egale ca mărime, având aceeaşi direcţie dar sensuri opuse.

Mărimea forţei de legătură este necunoscută (se determină din condiţiile de echilibru), direcţia

este direcţia legăturii simple iar sensul este nedeterminat (dar nu o necunoscută

independentă). Rezultă că legătura simplă intermediară introduce în calcul o singură

necunoscută scalară (mărimea forţei de legătură corespunzătoare).

Articulaţia intermediară.

Articulaţia intermediară poate lega între ele două corpuri (articulaţie intermediară simplă) sau

mai multe corpuri (articulaţie intermediară multiplă).

Articulaţia intermediară simplă (figura 9.2) fixează un punct al unui corp de celălalt corp.

Astfel, aceasta suprimă ansamblului celor două corpuri două grade de libertate (translaţiile

relative ale celor două corpuri). Articulaţia intermediară simplă se schematizează printr-un

cerc mic situat în punctul de legătură.

Prin aplicarea axiomei legăturilor, articulaţia intermediară simplă se înlocuieşte cu o pereche

de forţe de legătură egale ca mărime, având aceeaşi direcţie dar sensuri opuse. Forţa de

legătură are mărimea şi direcţia necunoscute (se determină din condiţiile de echilibru) şi

sensul nedeterminat (dar nu o necunoscută independentă). Prin proiectarea forţei de legătură

pe două direcţii cunoscute, necunoscutele scalare introduse de articulaţie vor fi mărimile a

Fig. 9.1. Legătura simplă intermediară


Mecanica I 4

două forţe. Astfel, o articulaţie intermediară simplă suprimă ansamblului de corpuri două

grade de libertate şi introduce în calcul două necunoscute scalare.

Articulaţia intermediară multiplă leagă între ele n corpuri ale unui sistem de corpuri (n >2). Se

alege un corp (corpul n) şi se consideră că fiecare dintre celelalte corpuri este legat de corpul

n printr-o articulaţie intermediară simplă. Rezultă că o articulaţie multiplă ce leagă între ele n

corpuri poate fi echivalată cu (n-1) articulaţii intermediare simple (în figura 9.3 se prezintă

modul de abordare al unei articulaţii ce leagă trei corpuri ale unui sistem de corpuri).

Asupra unui sistem de corpuri acţionează trei tipuri de forţe:

- forţe active (forţe date, încărcări);

- forţe de legătură din legăturile exterioare;

- forţe de legătură din legăturile intermediare.

În continuare forţele de legătură din legăturile exterioare se vor denumi reacţiuni iar forţele de

legătură din legăturile intermediare se vor denumi forţe de legătură.

Fig. 9.3. Articulaţia intermediară multiplă

Fig. 9.2. Articulaţia intermediară simplă

α α


Mecanica I 5

9.2. Teoreme de echilibru

În cazul sistemelor de corpuri problema care apare este determinarea reacţiunilor şi a forţelor

de legătură corespunzătoare unei situaţii de încărcare.

Pentru ca un sistem de corpuri să fie în echilibru trebuie ca fiecare corp al sistemului să fie în

echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare (forţele active ce acţionează asupra corpului

considerat, reacţiunile din legăturile exterioare ale corpului considerat şi forţele de legătură

din legăturile intermediare ale corpului cu alte corpuri din sistem). De asemenea, dacă fiecare

corp dintr-un sistem de corpuri este în echilibru sub acţiunea forţelor corespunzătoare atunci

întreg sistemul de corpuri va fi în echilibru.

Pentru rezolvarea problemei echilibrului unui sistem de n corpuri rezultă că este suficient să

se exprime echilibrul fiecărui corp sub acţiunea forţelor corespunzătoare (după ce se aplică

axioma legăturilor), adică se rezolvă n probleme de echilibru a unui solid rigid.

Deoarece există probleme în care se cere doar determinarea reacţiunilor (a forţelor de legătură

din legăturile exterioare) iar prin abordarea prezentată se determină toate forţele de legătură

(atât cele introduse de legăturile exterioare cât şi cele introduse de legăturile intermediare) se

vor enunţa două teoreme de echilibru ce vor face posibilă eliminarea unor forţe de legătură

din legăturile intermediare.

Înainte de enunţarea şi demonstrarea teoremelor de echilibru se va calcula efectul mecanic al

unei perechi de forţe de legătură intermediare într-un punct.

Fie două corpuri I şi J ale unui sistem de corpuri legate printr-o legătură intermediară (de

exemplu articulaţie intermediară în punctul A – figura 9.4) şi un punct oarecare O. Se va

determina efectul mecanic în punctul O produs de forţele de legătură corespunzătoare

legăturii considerate.

Fig. 9.4. Efectul mecanic al forţelor de legătură intermediare într-un punct

(I) (J) (J) (I)

A

O O


Mecanica I 6

Prin aplicarea axiomei legăturilor, articulaţia intermediară simplă din punctul A se înlocuieşte

cu o pereche de forţe de legătură având aceleaşi mărime şi direcţie dar sensuri opuse, astfel

încât efectul de forţă va fi:

Efectul de moment se va determina sumând momentele forţelor în raport cu punctul O:

Rezultă că efectul forţelor de legătură introduse de legăturile intermediare ideale într-un punct

oarecare este nul.

Prima teoremă de echilibru se numeşte teorema solidificării, iar enunţul este:

Un sistem de corpuri se află în echilibru dacă sistemul forţelor exterioare, date şi de legătură

este un sistem de forţe în echilibru.

Teorema solidificării se poate enunţa şi astfel:

Dacă un sistem de corpuri este în echilibru, atunci sistemul considerat a fi un singur solid

rigid trebuie să fie în echilibru.

Demostraţie

Se exprimă echilibrul fiecărui corp din sistemul de corpuri:

unde s-au introdus notaţiile:

- rezultanta forţelor active (date) ce acţionează pe corpul ,,i”;

- rezultanta reacţiunilor corespunzătoare legăturilor exterioare ale

corpului ,,i”;


Mecanica I 7

- rezultanta forţelor de legătură corespunzătoare legăturilor

dintre corpul ,,i” şi celelalte corpuri ale sistemului de corpuri;

- momentul rezultant al forţelor active (date) ce acţionează

pe corpul ,,i” în raport cu un punct oarecare O;

- momentul rezultant al reacţiunilor corespunzătoare

legăturilor exterioare ale corpului ,,i” în raport cu un punct oarecare

O;

- momentul rezultant al forţelor de legătură

corespunzătoare legăturilor dintre corpul ,,i” şi celelalte corpuri ale

sistemului de corpuri în raport cu un punct oarecare O.

Prin sumarea ecuaţiilor scrise pentru fiecare corp în parte rezultă:

Dar forţele de legătură intermediare sunt două căte două egale în

mărime şi de sens opus. Rezultă că efectul lor în raport cu un punct

oarecare este nul, adică:

În ecuaţiile de echilibru vor interveni atunci doar forţele exterioare

(active şi reacţiunile din legăturile sistemului de corpuri cu mediul

exterior):

Cea de-a doua teorema de echilibru se numeşte teorema echilibrului părţilor iar enunţul

acesteia este:

Un sistem de corpuri se află în echilibru dacă fiecare parte a sistemului se află în echilibru,

sub acţiunea forţelor corespunzătoare părţii respective (forţele active ce acţionează partea,


Mecanica I 8

reacţiunile corespunzătoare legăturilor exterioare ale părţii şi forţele de legătură din legăturile

părţii considerate cu celelalte părţi ale sistemului de corpuri).

Demostraţie

Demonstraţia acestei teoreme este similară cu demonstraţia teoremei

solidificării, dar sumele sunt parţiale şi se efectuează doar pentru

partea considerată.

De aceea, când se sumează ecuaţiile de echilibru se obţin perechi de

forţe doar pentru forţele de legătură corespunzătoare legăturilor

intermediare dintre corpurile ce alcătuiesc partea considerată.

Efectul acestor perechi de forţe este nul.

Rezultă că partea considerată va fi în echilibru doar sub acţiunea

forţelor corespunzătoare părţii respective.

Test de

autoevaluare 1

1. Legăturile intermediare ale unui sistem de corpuri pot fi:

a) articulaţia intermediară simplă;

b) legătura simplă intermediară;

c) articulaţia intermediară multiplă.

2. Enunţul ,, o articulaţie multiplă ce leagă între ele n corpuri poate

fi echivalată cu (n-1) articulaţii intermediare simple” este:

a) adevărat;

b) fals.

3. Enunţaţi teorema solidificării.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.


Mecanica I 9

9.3. Sisteme de corpuri static determinate

Un sistem de corpuri imobilizat cu un număr minim de legături simple necesare se numeşte

sistem de corpuri static determinat.

Pentru un sistem de corpuri static determinat numărul necunoscutelor scalare introduse de

legăturile sistemului este egal cu numărul ecuaţiilor de echilibru scalare, independente

posibile de scris, astfel încât problema este determinată din punct de vedere matematic.

Rezultă că pentru a fi static determinat, un sistem de corpuri trebuie să îndeplinească două

condiţii: o condiţie cantitativă şi o condiţie calitativă.

Condiţia cantitativă a fost enunţată mai sus. Aceasta se exprimă:

unde E este numărul ecuaţiilor de echilibru scalare, independente, posibile de scris iar N este

numărul necunoscutelor scalare introduse de legături.

În problema plană, pentru un corp pot fi scrise trei astfel ecuaţii de echilibru. Rezultă că

pentru un sistem alcătuit din Nc corpuri numărul ecuaţiilor de echilibru este:

Pentru determinarea numărului necunoscutelor, vom considera fiecare legătură prezentată.

Astfel, un reazem simplu sau o legătură simplă intermediară introduc în calcul o necunoscută

scalară, o articulaţie (exterioară sau intermediară simplă) introduce în calcul două

necunoscute scalare iar o încastrare introduce în calcul trei necunoscute scalare. Având în

vedere că o articulaţie intermediară multiplă este echivalentă cu un număr de articulaţii

simple, se vor lua în calcul numai articulaţiile simple. Se poate scrie:

,

unde Nî este numărul de încastrări, Na.s. este numărul de articulaţii simple (exterioare sau

intermediare) iar Nr.s. este numărul reazemelor simple sau al legăturilor simple intermediare.

Condiţia de determinare statică (cantitativă) devine:


Mecanica I 10

Condiţia calitativă este ca sistemul de corpuri să fie imobilizat. Verificarea imobilităţii

sistemului de corpuri se face prin verificarea imobilităţii fiecărui corp în parte cunoscând, pe

lângă cele trei situaţii de la solidul rigid şi faptul că o articulaţie intermediară ataşată unui

corp fix devine o articulaţie fixă.

Un sistem de corpuri utilizat frecvent este sistemul alcătuit din două corpuri ce au ca legături

exterioare două articulaţii şi ca legătură intermediară o articulaţie. Acest sistem de corpuri se

numeşte cadru triplu articulat şi este un sistem de corpuri static determinat (figura 9.5.a).

Forma critică a cadrului triplu articulat se obţine dacă cele trei articulaţii sunt coliniare (figura

9.5.b).

9.4. Metoda echilibrului corpurilor componente

În metoda echilibrului corpurilor componente se exprimă echilibrul fiecărui corp dintr-un

sistem de corpuri. În acest mod, se transformă problema rezolvării unui sistem alcătuit din n

corpuri în n probleme de solid rigid.

Etapele metodei sunt:

1. Se verifică dacă sistemul de corpuri este static determinat;

2. Se realizează schema statică pentru sistemul de corpuri:

se izolează fiecare corp (se reprezintă corpul fără încărcări şi fără legături);

se înlocuiesc legăturile corpurilor cu reacţiunile şi forţele de legătură corespunzătoare

(forţele de legătură vor fi perechi de forţe, cu mărimi egale şi cu sensuri opuse);

se solicită fiecare corp cu încărcările aferente, aranjate corespunzător (forţele

distribuite se concentrează pe corpurile pe care acţionează, forţele şi momentele

concentrate se reprezintă aşa cum sunt);

se cotează figurile.

Fig. 9.5. Cadrul triplu articulat

a) b)

formă critică


Mecanica I 11

3. Pentru fiecare corp se scriu trei ecuaţii de echilibru scalare independente;

4. Se rezolvă sistemul ecuaţiilor de echilibru obţinut;

5. Se verifică rezultatele obţinute prin scrierea, pentru fiecare corp în parte, a unei ecuaţii de

echilibru neutilizate în rezolvarea necunoscutelor.

Test de

autoevaluare 2

1. Definiţi noţiunea de „încărcare”.

2. Relaţia ,, ” este:

a) adevărată;

b) falsă.

3. Ce înţelegeţi prin noţiunea de ,,cadru triplu articulat”?

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Bibliografie modul

[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 87-90;

[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi

îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,

2003, pag. 123-132;

[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 188-195.

Rezumat modul

În acest modul se începe studiul staticii sistemelor de corpuri.

S-au prezentat legăturile intermediare ale sistemelor de corpuri,

teoremele de echilibru şi noţiunea de sistem de corpuri static

determinat.

În ultima parte a modulului a fost studiată prima metodă de calcul a


Mecanica I 12

sistemelor de corpuri static determinate, metoda echilibrului

corpurilor componente.

Rezolvare

test de autoevaluare

1

1. a, b, c;

2. a;

3. Consultare aspecte teoretice pag. 6.

Rezolvare

test de autoevaluare

2

1. Consultare aspecte teoretice pag. 9;

2. a;

3. Consultare aspecte teoretice pag. 10.

curs 9 echilibrul sistemelor de corpuri rigide cuprins · mecanica i 8 reacţiunile...

Documents