curs 5 - spatii liniareandreea.arusoaie/cursuri/scurs5.pdf · i opera˘tia + se nume˘ste adunarea...

CURS 5Spatii liniare

A. Arusoaiee-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

29 Octombrie, 2019

http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html

Structura cursului

1 Definitii. Proprietati

2 Combinatii liniareLiniara dependenta si independentaDimensiunea unui spatiu liniarBaza algebricaSchimbarea coordonatelor

3 Produs scalar. Norme ın Rn

4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 43

Structura cursului






Spatii liniare

Un spatiu liniar (spatiu vectorial) este o colectie de obiecte, numite vectori , ce pot fiadunate ıntre ele si ınmultite cu numere, numite scalari.

Figure: Sursa: Wikipedia


Spatii liniare

Cele mai utilizate spatii liniare sunt spatiile Euclidiene:

R - dreapta reala - spatiu liniar 1-dimensional

R2 = R× R - planul real - spatiu liniar 2-dimensional

R3 = R× R× R - spatiul real - spatiu liniar 3-dimensional

Rn, n ≥ 4 - hiperspatiul real - spatiu liniar n-dimensional


Spatii liniare

Fie V 6= ∅ si K un corp comutativ. In general, vom considera K = R sau K = C.

Definitie

Se numeste spatiu liniar (vectorial) peste corpul K, o multime V , ınzestrata cu

- o lege interna ” + ” : V × V → V, (x, y)→ x+ y, ∀x, y ∈ V,

- o lege externa ” · ” : K × V → V, (α, x)→ α · x,∀α ∈ K,x ∈ V,asa ıncat sunt ındeplinite urmatoarele cerinte (axiome):

i) x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀x,y, z ∈ V;

ii) x+ y = y + x, ∀x,y ∈ V;

iii) ∃0 ∈ V,∀x ∈ V : x+ 0 = 0+ x = x;

iv) ∀x ∈ V, ∃(−x) ∈ V : x+ (−x) = (−x) + x = 0;

v) α · (x+ y) = α · x+ α · y, ∀α ∈ K, x,y ∈ V ;

vi) (α+ β) · x = α · x+ β · x, ∀α, β ∈ K, x ∈ V ;

vii) α · (β · x) = (αβ) · x, ∀α, β ∈ K, x ∈ V ;

viii) 1 · x = x, ∀x ∈ V , unde 1 este elementul unitate din K.


Spatii liniare

I elementele K-spatiului liniar V sunt numite vectori ;

I elementele lui K se numesc scalari ;

I operatia + se numeste adunarea vectorilor ;

I operatia · se numeste multiplicarea cu scalari .

I elementul neutru 0 ∈ V se numeste vector nul ;

I vectorul −x ∈ V se numeste vectorul opus lui x ∈ V ;

I cand K = R, V se mai numeste spatiul liniar real ;

I cand K = C, V se mai numeste spatiu liniar complex .


Spatiul euclidian

Propozitie

Fie n ∈ N∗ si Rn = R× R× . . .× R︸︷︷︸de n ori

.

Definim operatiile + : Rn × Rn → Rn si · : R× Rn → Rn prin

x + y := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

α · x := (αx1, αx2, . . . , αxn),

∀α ∈ R, ∀ x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn.Atunci (Rn,R,+, ·) este un spatiu liniar.

Operatiile de mai sus se numesc operatii canonice.

Daca x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, atunci vom numi numerele x1, x2, . . . , xncoordonatele lui x.


Exemple de spatii liniare

1. Fie m,n ∈ N∗ si Mm,n(R) multimea matricilor reale cu m linii si n coloane. Fieoperatiile

+ - adunarea uzuala a matricelor;· - ınmultirea matricelor cu numere reale.

Atunci (Mm,n(R),+, ·) este un spatiu liniar real.

2. Fie R[X] multimea tuturor polinoamelor cu coeficienti reali. Daca+ - noteaza adunarea polinoamelor;· - reprezinta ınmultirea polinoamelor cu numere reale,

atunci (R[X],+, ·) este un spatiu liniar real.

3. Fie X 6= ∅, (V,+, ·) un spatiu liniar si F(X,V ) = {f : X → V }. Definim operatiile

+ : F(X,V )×F(X,V )→ F(X,V )

· : R×F(X,V )→ F(X,V )

prin(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ X f, g ∈ F(X,V )

(α · f)(x) = α · f(x), ∀α ∈ R, x ∈ X, f ∈ F(X,V ),

atunci (F(X,V ),+, ·) formeaza un spatiu liniar peste R.


Exemple de spatii liniare

Particularizand X si V , obtinem diverse exemple de spatii vectoriale:

Daca X = {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} si V = R, atunci obtinem spatiul liniar(Mm,n(R),+, ·).Daca X ⊆ R si V = R, se obtine spatiul liniar (F , (X,R)+, ·) al functiilor reale, deo singura variabila reala, definite pe X.

Daca m,n ∈ N∗, X ⊆ Rn si V = Rm, atunci (F(X,Rm),+, ·) este spatiul liniarreal al functiilor de n variabile cu valori ın Rm.

Daca X = N si V = R, multimea (F(X,V ),+, ·) spatiul liniar real al sirurilor denumere reale.


Spatii liniare

Propozitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar real. Atunci pentru orice α ∈ R si orice x ∈ V :

i) 0R · x = α · 0V = 0V ;

ii) (−α) · x = α · (−x) = −α · x;

iii) (−α) · (−x) = α · x;

iv) α · x = 0 ⇒ α = 0R sau x = 0V .


Spatii liniare. Subspatii liniare

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar si W o submultime nevida a lui V .Spunem ca (W,+, ·) este este subspatiu liniar al lui (V,+, ·) daca pentru oriceα ∈ R,x,y ∈W , avem x+ y ∈W si α · x ∈W .

Cu alte cuvinte, spunem ca W este un subspatiu liniar al lui V daca si numai daca

α · x+ β · y ∈W, ∀α, β ∈ R, ∀x,y ∈W.


Exemple de subspatii liniare

1) Fie n ∈ N∗. Multimea {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0} este, ın raport cuadunarea vectorilor din Rn si ınmultirea lor cu scalari din R, un subspatiu liniar al lui(Rn,+, ·).

2) Fie n ∈ N∗ si fie α1, . . . , αn ∈ R, nu toti nuli (adica, (α1, . . . , αn) 6= 0). Multimea

H = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | α1x1 + . . .+ αnxn = 0}

este un subspatiu liniar al lui Rn, numit hiperplan.

3) Multimea functiilor pare, definita prin

{f ∈ F(R,R) | f(x) = f(−x), ∀x ∈ R}

este un subspatiu liniar al spatiului liniar real (F(R,R),+, ·).


Spatii liniare. Subspatii liniare

Propozitie

Fie W1 si W2 doua subspatii liniare ale lui (V,+, ·). Atunci

i) W1 ∩W2 este tot un subspatiu liniar al lui V .

ii) W1 ∪W2 nu este ıntotdeauna un subspatiu liniar al lui V .

Demonstratie: i) Cum orice subspatiu liniar al lui V contine vectorul nul 0, avemW1 ∩W2 6= ∅. Fie α, β ∈ R, x,y ∈W1 ∩W2. Cum W1 si W2 sunt subspatii liniare,avem

α · x+ β · y ∈W1 si α · x+ β · y ∈W2.

Deci α · x+ β · y ∈W1 ∩W2, adica W1 ∩W2 este un subspatiu liniar al lui V .ii) Fie V1 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | xn = 0} si V2 = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0}. V1, V2

sunt subspatii liniare ale lui Rn, iar vectorii (1, 0, . . . , 0) ∈ V1 si (0, 0, . . . , 1) ∈ V2, apartinreuniunii V1 ∪ V2, ınsa suma lor, adica vectorul (1, 0, . . . , 0, 1), nu mai apartine acesteireuniuni.


Structura cursului






Combinatii liniare

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar.O combinatie liniara a vectorilor x1,x2, . . . ,xn ∈ V este un vector y ∈ V ce se poatescrie ca

y =n∑k=1

αkxk = α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn,

unde n ∈ N∗, iar α1, α2, . . . , αn ∈ R.

Observatie: Daca W este un subspatiu liniar al lui V , atunci orice combinatie liniara avectorilor x1,x2, . . . ,xn ∈W este tot din W .


Combinatii liniare

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar si U o submultime nevida a lui V .Multimea tuturor combinatiilor liniare de elemente din U ,

{α1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn | n ∈ N∗, α1, . . . , αn ∈ R,x1, . . . ,xn ∈ U}

se numeste subspatiul liniar generat de U , notat Lin(U) sau Span(U).

Lin(U) este un subspatiu liniar al lui (V,+, ·). In plus, are loc U ⊆ Lin(U).

Lin(U) este cel mai mic subspatiu al lui V care ıl contine pe U .

Exemplu: Daca V = R3, subspatiul liniar generat de U = {(1,−2, 1)} este dreapta{(α,−2α, α) | α ∈ R}.


Liniara dependenta si independenta

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar si fie x1,x2, . . . ,xn ∈ V .

a) Elementele x1,x2, . . . ,xn se numesc liniar dependente daca existaα1, α2, . . . , αn ∈ R, dintre care cel putin unul nenul, astfel ıncat

α1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn = 0.

b) Elementele x1,x2, . . . ,xn se numesc liniar independente daca ecuatia

α1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn = 0,

are solutie unica α1 = α2 = . . . = αn = 0.

c) O submultime U a lui V se numeste liniar independenta daca pentru orice vectorix1,x2, . . . ,xn ∈ U , distincti, x1,x2, . . . ,xn sunt liniar independenti.



Figure: Vectori liniari dependenti ın R3



Figure: Vectori liniari independenti ın R3


Exemplu: Liniara dependenta - Liniara independenta

O persoana descrie o anume locatie astfel:

Acest hotel este la 3 km nord si 4 km est de centrul orasului.

Avem suficienta informatie sa identificam locatia, deoarece pot considera sistemul decoordonate ca un spatiu vectorial 2- dimensional (ignorand altitudindea si curvaturaPamantului)

Daca persoana adauga

Locatia este la 5 km nord-est de centru.

Desi afirmatia este corecta, nu putem sa ne dam seama exact de locatie.

3 km nord si 4 km est sunt vectori liniar independenti; (Vectorul nord nu poate fiscris in functie de est)

5 km nord-est este o combinatie liniara a doi vectori, deci este liniar dependent

Daca am considera si altitudinea, acesta ar fi un al treilea vector liniar independent.

In general, pentru a descrie locatia ıntr-un spatiu n-dimensional, avem nevoie de n vectori liniarindependenti.



Teorema

Vectorii x1,x2, . . . ,xn ai unui spatiu liniar sunt liniar dependenti daca si numai dacaunul dintre vectori se poate scrie ca o combinatie liniara a celorlalti.

Demonstratie: “⇒:” Daca vectorii x1,x2, . . . ,xn sunt liniar dependenti, atunci

∃α1, α2, . . . , αn, nu toti nuli, astfel ıncatn∑k=1

αkxk = 0V .

Presupunem ca α1 6= 0, ar reiesi atunci ca avem: x1 = −n∑k=2

(α−11 · αk

)xk. Deci, unul

dintre elementele x1,x2, . . . ,xn, aici x1, ar fi o combinatie liniara de celelalte.

“⇐:” Daca xj =

n∑k=1k 6=j

βkxk, atunci xj −n∑k=1k 6=j

βkxk = 0, ceea ce ınseamna ca, pentru

elementele x1,x2, . . . ,xn, exista scalarii β1, . . . , βj−1, 1, βj+1, . . . , βn, evident nu totinuli, asa ıncat se poate vorbi despre o combinatie liniara a respectivelor elemente egala cuvectorul nul.


Exemple

1. Multimea {0} este liniar dependenta deoarece are loc α · 0 = 0, ∀α ∈ R.2. Fie spatiul liniar Rn, si sistemul de vectori

B = {e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)}.

Atunci, sistemul de vectori e1, . . . , en este liniar independent.Intr-adevar, fie α1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn = 0. Atunci avem

α1(1, 0, . . . , 0) + α2(0, 1, . . . , 0) + . . .+ αn(0, 0, . . . , 1) = (α1, α2, . . . , αn).

Prin urmare, (α1, α2, . . . , αn) = 0⇔ α1 = α2 = · · · = αn = 0.Deci din orice combinatie liniara obtinem coeficientii nuli.

3. Fie spatiul liniar al tuturor polinoamelor de grad cel mult n. Atunci polinoamele1, x, x2, . . . , xn formeaza un sistem liniar independent, deoarece

α01 + α1x+ . . .+ αnxn = 0

are loc doar daca α0 = α1 = · · · = αn = 0.


Dimensiunea unui spatiu liniar

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar.

i) Se numeste dimensiune (algebrica) a spatiului liniar V numarul maxim de elementeliniar independente din V . Vom nota dimensiunea spatiului V cu dim(V ).

ii) Spatiul liniar V este numit infinit-dimensional daca exista cel putin o submultimeinfinita si liniar independenta a lui V . In caz contrar, V este numit spatiu liniarfinit-dimensional.

Exemple:

1. dimR(Rn) = n;

2. dimRMm,n(Rn) = m · n.


Baza algebrica

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar si fie B o submultime nevida a lui V .

B se numeste baza algebrica sau baza Hamel (sau, mai simplu baza) a lui V daca Beste o submultime liniar independenta si Lin(B) = V .

Propozitie

Fie n ∈ N∗. Atunci multimea {e1, e2, . . . , en} ⊆ Rn, este o baza a lui Rn, numita bazacanonica a lui Rn.


Baza algebrica

In cazul unui spatiu liniar n-dimensional V , o baza a lui V este o multime B alcatuita dinn elemente, b1,b2, . . . ,bn, liniar independente, din V .

Fiecare element x ∈ V se reprezinta atunci, ın mod unic, sub forma

x =

n∑k=1

αkbk,

Scalarii α1, . . . αn se numesc coordonatele lui x ın baza B .

Orice baza a unui spatiu liniar V are un numar de vectori egal cu dimensiunea lui V .


Baza algebrica

Daca notam

XBnot=

α1

α2

...αn

∈Mn,1, unde α1, . . . , αn sunt coordonatele lui x ın baza B;

Bnot= [bT1 bT2 . . .b

Tn ] ∈Mn matricea ce are pe coloana k coordonatele lui bk,

atunci relatia

x =n∑k=1

αkbk

se poate reda, matriceal, sub forma:

xT = B ·XB = [bT1 bT2 . . .bTn ] ·

α1

α2

...αn

.


Baza algebrica

Propozitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar cu dim(V ) = n. Atunci

1. Orice multime de m elemente din V , cu m > n, este liniar dependenta;

2. Orice multime de n elemente din V este baza a lui V daca si numai daca estemultime liniar independenta.

3. Orice multime de n vectori din V este baza a lui V daca si numai daca multimeaeste un sistem de generatori al lui V.

Definitie

Se numeste rang al unei multimi U , de vectori din spatiul vectorial (V,+, ·), dimensiuneasubspatiului generat de U , adica

rang(U) := dim (Lin(U)) .

Exemplu: Sa se arate ca multimea B = {v1 = (1, 0,−1), v2 = (2, 1, 0), v3 = (0, 1, 1)}este o baza a spatiului vectorial R3. Determinati coordonatele vectorului v = (1, 2, 3) ınaceasta baza.


Schimbarea coordonatelor

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar cu dim(V ) = n ∈ N∗, fie B = {b1,b2, . . . ,bn} o baza a luiV si fie B′ = {b′1,b′2, . . . ,b′m} o multime de m vectori din V .

Se numeste matrice de trecere (schimbare) de la baza B la sistemul de vectori B′,matricea

S =

s11 s12 . . . s1ms21 s22 . . . s2m

...... . . .

...sn1 sn2 . . . snm

∈Mn,m

unde, pentru 1 ≤ k ≤ m, s1k, . . . , snk, sunt coordonatele vectorului b′k, ın raport cub1, . . . ,bn. Cu alte cuvinte, sij sunt astfel ıncat

b′1 = s11b1 + s21b2 + . . .+ sn1bnb′2 = s12b1 + s22b2 + . . .+ sn2bn...

...b′m = s1mb1 + s2mb2 + . . .+ snmbn

.

Matriceal putem scrie B′ = B · S, unde B′ = [b′1 b′2 . . .b′m] si B = [b1 b2 . . .bn].


Schimbarea coordonatelor

Propozitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar finit-dimensional, cu dimV = n ∈ N∗.

Daca B = {b1, . . . ,bn}, B′ = {b′1, . . . ,b′n} sunt doua baze a lui V , iar S este matriceade trecere de la B la B′, atunci matricea S este nesingulara (detS 6= 0), iar S−1 estematricea de trecere de la baza B′ la B (adica B = B′ · S−1).

Mai mult, daca x ∈ V , iar α1, . . . , αn, α′1, . . . , α

′n sunt coordonatele lui x ın raport cu

b1, . . . ,bn, respectiv b′1, . . . ,b′n, atunci

XB′ = S−1 ·XB ,

unde XBnot=

α1

...αn

∈Mn,1, iar XB′not=

α′1...α′n

∈Mn,1.


Structura cursului






Produs scalar. Norme ın Rn

Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar real.

a) Se numeste produs scalar pe V o aplicatie 〈·, ·〉 : V × V → R, care satisfaceurmatoarele proprietati:

(PS1) 〈·, ·〉 este pozitiv definita, adica? 〈x,x〉 > 0, ∀x ∈ V? 〈x,x〉 = 0⇔ x = 0 ∈ V ;

(PS2) 〈·, ·〉 este simetrica, adica? 〈x,y〉 = 〈y,x〉, ∀x,y ∈ V ;

(PS3) 〈·, ·〉 este biliniara, adica? 〈α · x + β · y, z〉 = α〈x, z〉+ β〈y, z〉,? 〈x, α · y + β · z〉 = α〈x,y〉+ β〈x, z〉, ∀α, β ∈ R,x,y, z ∈ V .

b) Perechea (V, 〈·, ·〉), ın care V este un spatiu liniar real, iar 〈·, ·〉 este un produs scalarpe V se numeste spatiu prehilbertian (spatiu euclidian).



Propozitie

Fie n ∈ N∗ si 〈·, ·〉 : Rn × Rn → R definita prin

〈(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)〉 := x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn,

∀ (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn,

Atunci 〈·, ·〉 este un produs scalar pe Rn, numit produsul scalar euclidian(canonic).



Definitie

Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian.

1) Doi vectori x ∈ V si y ∈ V se numesc ortogonali , si notam x⊥y , daca 〈x,y〉 = 0.

2) Fie x ∈ V si U o submultime nevida a lui V . Spunem x este ortogonal pe multimeaU(notam x⊥U), daca 〈x,y〉 = 0, ∀y ∈ U.

3) Daca U este o submultime nevida a lui V , numim U sistem ortogonal daca〈x,y〉 = 0, ∀x,y ∈ U , cu x 6= y.

4) Daca U ⊆ V , atunci prin suplimentul ortogonal al lui U , ıntelegem multimea tuturorvectorilor ortogonali pe U . Altfel scris

U⊥ := {x ∈ V | x⊥U}



Definitie

Fie (V,+, ·, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian si x,y ∈ V \ {0}.Unghiul dintre vectorii x si fie y, notat prin ^(x,y) sau (x,y), se defineste prin relatia:

(x,y) = arccos〈x,y〉√

〈x,x〉√〈y,y〉

.

Observatie: Se poate observa cu usurinta ca (x,y) = (y,x) ∈ [0, π], ∀x,y ∈ V \ {0}.Mai mult, daca x,y ∈ V \ {0}, (x,y) = π

2, daca si numai daca x⊥y.



Definitie

Fie (V,+, ·) un spatiu liniar real. Spunem ca aplicatia ‖ · ‖ : V → R este o norma pe Vdaca

N1) ‖x‖ > 0, ∀x ∈ VN2) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0;

N3) ‖α · x‖ = |α|‖x‖, ∀α ∈ R, ∀x ∈ V (omogenitate);

N4) ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖, ∀x,y ∈ V (inegalitatea triunghiulara).

Perechea (V, ‖ · ‖) se numeste spatiu normat.



Propozitie

Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian. Atunci aplicatia ‖ · ‖ : V → R definita de

‖x‖ =√〈x,x〉, ∀x ∈ V

este o norma pe V numita norma indusa de produsul scalar 〈·, ·〉.

Propozitie

Fie n ∈ N∗. Norma indusa de produsul scalar euclidian pe Rn, definita prin

‖x‖2 =√x21 + x22 + . . .+ x2n =

(n∑i=1

x2i

) 12

, ∀x ∈ Rn,x = (x1, x2, . . . , xn),

se numeste norma euclidiana.

Definitie

Fie (V, ‖ · ‖) un spatiu normat si x ∈ V . Elementul x se numeste versor daca ‖x‖ = 1.


Structura cursului






Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Definitie

Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian.

a) O submultime nevida U ⊆ V se numeste sistem ortonormal daca U este un sistemortogonal si fiecare element al lui U este un versor.

b) Daca B este o baza a lui V si B este un sistem ortogonal, atunci B se numeste bazaortogonala a lui V .

c) Daca B este o baza a lui V si B este un sistem ortonormal, atunci B se numestebaza ortonormala a lui V .

Cu alte cuvinte, U este un sistem ortonormal daca si numai daca, pentru orice x,y ∈ U

〈x,y〉 ={

0, cand x 6= y1, cand x = y

Bineınteles, baza canonica {e1, . . . , en}, a lui Rn, este o baza ortonormala a lui Rn.


Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Definitie

Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian de dimensiune n ∈ N∗ si fie B = {b1,b2, . . .bn} obaza a lui V . Se numeste determinantul Gram asociat unei baze B, numarul detG ∈ R,unde

G =

〈b1,b1〉〈b1,b2〉 . . . 〈b1,bn〉〈b2,b1〉〈b2,b2〉 . . . 〈b2,bn〉

......

......

〈bn,b1〉〈bn,b2〉 . . . 〈bn,bn〉

∈Mn(R) (1)

G este o matrice simetrica si nesingulara;

B este ortonormala daca si numai daca G este matricea unitate In;

B este ortogonala daca si numai daca matricea G este diagonala, adica

gij = 0, ∀ i, j ∈ {1, n}, i 6= j


Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Teorema

Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian de dimensiune n ∈ N∗.

Daca B = {b1, . . .bn} este o baza a lui V , atunci exista o baza ortonormalaB′ = {b′1, . . . ,b′n}, astfel ıncat Lin({b1, . . .bk}) = Lin({b′1, . . . ,b′k}), pentru oricek ∈ {1, 2, . . . , n}.

Demonstratie: Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian si B = {b1, . . . ,bn} o baza a lui.Plecand de la B, se poate construi o baza B′ = {b′1,b′2, . . . ,b′n}, ortogonala, a aceluiasispatiu V , utilizand algoritmul lui Gram-Schmidt, dupa cum urmeaza:

Pasul 1: Fie b′1 = b1 .

Pasul 2: Se determina scalarul λ1 ∈ R, asa ıncat vectorul b′2 = b2 + λ1b′1 sa fie

ortogonal pe b′1, adica sa avem 0 = 〈b′1,b2〉+ λ1〈b′1, b′1〉. Asadar,

b′2 = b2 −〈b′1, b2〉〈b′1, b′1〉

b′1.


Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Pasul 3: Se cauta scalarii µ1 si µ2 din R, asa ıncat b′3 = b3 + µ1b′1 + µ2b

′2 sa fie

ortogonal pe sistemul {b′1, b′2}, adica sa avem 〈b′3,b′1〉 = 0 si 〈b′3, b′2〉 = 0.

Gasim µ1 = −〈b′1,b3〉〈b′1,b′1〉

si µ2 = −〈b′2, b3〉〈b′2, b′2〉

. Prin urmare, avem:

b′3 = b3 −〈b′1, b3〉〈b′1, b′1〉

b′1 −〈b′2, b3〉〈b′2, b′2〉

b′2.

Pasul k: Continuand procedeul, obtinem formula generala:

b′k = bk −k−1∑i=1

〈b′i, bk〉〈b′i,b′i〉

b′i, k = 2, n.

Asadar, am gasit baza ortogonala B′.Pentru a obtine o baza ortonormata, vom considera B′′ = {b′′1 ,b′′2 , . . . ,b′′n}, unde

b′′k =b′k‖b′k‖

, k = 1, n

iar ‖ · ‖ este norma indusa de produsul scalar 〈·, ·〉, considerat pe V .


Bibliografie

D. Busneag, D. Piciu - Lectii de algebra, Ed. Universitaria, Craiova, 2002.

Rodica Luca-Tudorache - Analiza matematica, Editura Tehnopress, Iasi, 2005.

Mihai Onucu Drambe - Inegalitati. Idei si metode., Ed. GIL, Zalau, 2003.

S. Burris, H. P. Sankappanavar - A Course in Universal Algebra, The MilleniumEdition, 2000.

F. L. Tiplea - Introducere ın teoria multimilor, Ed. Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, 1998.

T. Albu, I.D. Ion - Itinerar elementar in algebra superioara, Matrix Rom Bucuresti,2012.

J. Harcet, L Heinrichs, P. M. Seiler - Mathematics. Higher Lever, Oxford Univ.Press, 2012.

R. Solomon - Notes on Ordinals and Cardinals, math.uconn.edu, 2014.


curs 5 - spatii liniareandreea.arusoaie/cursuri/scurs5.pdf · i opera˘tia + se nume˘ste adunarea...

Documents