curs 4
DESCRIPTION
MISAETRANSCRIPT
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
1
IV. MODELAREA MAINII DE CURENT CONTINUU
4.3. Modelul matematic discret al sistemelor de acionare cu maini de curent continuu
Semnalele numerice sunt obinute n dou etape: - eantionare, - cuantizare. Prin eantionare se obine semnalul discret n timp din semnalul continuu, iar operaia de
cuantizare, realizat cu ajutorul convertorului analog-digital, ncadreaz fiecare eantion ntr-un interval al amplitudinii semnalului i transmite valoarea numeric corespunztoare acelui eantion. Pentru evitarea pierderilor de informaie trebuie aleas corespunztor perioada de eantionare. Teorema Shannon-Nyquist ne ofer limita superioar de alegere a perioadei de eantionare: un semnal x(t) a crui dinamic este definit de constanta de timp T0, poate fi descris n forma
discret de seria de valori x(kTe), dac 012e
T T , Te reprezentnd perioada de eantionare. Perioada de eantionare depinde de dinamica sistemului discretizat i de viteza procesorului
utilizat. Alegerea perioadei de eantionare este un compromis ntre performan i cost. Practic se alege cea mai mic perioad de eantionare care asigur toate performanele impuse. Pentru asigurarea unui rspuns neted i fr pierderi de informaie din semnalul continuu, perioada de eantionare trebuie s fie cuprins ntre (1/401/10) din cea mai mic constant de timp a buclei de reglare.
Fig. 4.8 Alegerea perioadei de eantionare Te
a)
b)
c)
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
2
Exemplul din figura 4.8 prezint un semnal sinusoidal 0 0 0 0( ) sin , 2 /x t x t T= = pentru discretizarea cruia s-au folosit trei valori diferite ale pasului de eantionare Te:
a) 01
10eT T=
b) 014e
T T=
c) 012e
T T> Dac pasul de eantionare este mult mai mic dect perioada semnalului x(t), reconstrucia
semnalului iniial este uoar cazul a). Mrind pasul de eantionare, semnalul discret aproximeaz o sinusoid, dar semnalul iniial este
greu de recunoscut. Mai precis, dac tim apriori c semnalul este sinusoidal, putem determina perioada i amplitudinea, ceea ce ne va permite s reconstruim complet semnalul x(t) cazul b).
Depirea valorii limit impus pentru Te de teorema Shannon-Nyquist duce la pierderea informaiei asupra semnalului x(t) i la imposibilitatea reconstruciei acestuia cazul c).
n cazul mainii de curent continuu, cele dou bucle de reglare sunt sincronizate, perioadele de eantionare fiind identice, analiza cu ajutorul transformatei Z putnd fi uor aplicat. n vederea efecturii analizei numerice, transformata Z transfer ecuaiile difereniale corespunztoare sistemelor continue n ecuaii algebrice liniare corespunztoare sistemelor discrete. Obinerea semnalului numeric din semnalul continuu, prin procesul de eantionare, a fost prezentat n figura 9 prin contactul dispozitivului de eantionare, contact care se nchide cu frecvena de eantionare 1/Te.
n cazul automatizrii convenionale, utiliznd regulatoare continue conectate n cascad, acordarea optimal a acestora se realizeaz utiliznd criteriile modulului, respectiv simetriei (varianta Kessler), caracteristice proceselor rapide.
Astfel, adoptnd un sistem unificat de reglare n tensiune, regulatorul de curent rezult de tip proporional-integral cu funcia de transfer
( ) 43RI kH s k s= + , (4.22) cu urmtorii parametri
3
4
2
2
A A
I D I
A
I D I
T Rk
T k kRk
T k k
= =
, (4.23)
Fig. 4.9 Schema bloc de reglare a turaiei SAE de curent continuu
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
3
unde:
10
ND
Uk = este funcia de transfer a convertorului static, echivalent cu o constant de amplificare,
max
10I
Ak
I= , factorul de atenuare al traductorului de curent,
I IT T = , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei interioare, de curent, fiind egal cu constanta de timp a traductorului de curent. Funcia de transfer a regulatorului de vitez are forma
( ) 21R kH s k s = + , (4.24) avnd parametrii
1
2 2
2
8
I
I
k JkT k k
k JkT k k
= =
, (4.25)
n care:
10N
k = este factorul de atenuare al traductorului de turaie, 2 IT T T = + , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei exterioare, de
vitez, T fiind constanta de timp a traductorului de vitez. Deoarece semnalul de intrare al elementului de execuie este continuu n timp, iar ieirea
regulatorului este o funcie discret, semnalul numeric trebuie convertit ntr-un semnal continuu. Acest lucru se realizeaz cu ajutorul extrapolatoarelor.
Extrapolatorul de ordin zero menine ultima valoare primit (blocheaz aceast valoare) n timpul perioadei de eantionare care urmeaz, fiind caracterizat prin urmtoarea funcie de transfer:
( ) 1 esTEOZ eH s s= , (4.26)
Fig. 4.10 Reconstrucia semnalului cu un extrapolator de ordinul zero
+
1-s
S1-s
e-sTe
- x(t)x(kTe)
Fig. 4.11 Funcia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
4
Extrapolatorul de ordinul 1. Acesta realizeaz o extrapolare liniar a evoluiei semnalului, utiliznd ultimele dou eantioane. Funcionarea extrapolatorului de ordin 1 este ilustrat n fig. 4.12.
4.3.1. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a curentului
Schema bloc pentru obinerea modelului discret al buclei de curent este prezentat n figura 4.13.
( )1
1A AR sT+4
3kks
+11 FIsT+
1I
I
ksT+
Folosind un extrapolator de ordinul zero, trecerea din domeniul complex s n domeniul discret Z se face conform relaiei: ( ) ( ) ( )1FI EOZ FIH z Z H s H s = , (4.27) sau sub alt form:
( )1 1 11esTFI FIeH z Z s sT = + . (4.28) innd cont c esTz e= , relaia (4.28) devine:
( ) 11 1 111
FIFI
FI
zH z ZT
s sT
= +
. (4.29)
Deoarece lucrm n domeniul s, pentru a determina transformata Z din relaia (4.29) utilizm metoda de calcul indirect * pe baza transformatei Laplace. Astfel, aplicnd teorema reziduurilor pentru poli simpli, forma final a funciei de transfer n domeniul discret devine:
Fig. 4.12 Reconstrucia semnalului cu un extrapolator de ordinul 1
Fig. 4.13 Bucla de reglare a curentului rotoric
*THEORIE DE LA COMMANDE DES SYSTEMES E. Ceang et. all, Editura Tehnic, 2001
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
5
( ) 1 1111
e
FI
e
FI
TT
FI TT
z z eH z
z e
=
(4.30)
sau
( ) ( )( )* 1
1* 1
FIFI
A
I zH z
I z
= . (4.31)
innd cont de (4.30) i (4.31) obinem relaia de recuren:
( ) ( ) ( )* * *1 1 1e e
FI FI
T TT T
FI FI AI k I k e I k e = +
. (4.32)
Plecnd de la funcia de transfer a traductorului de curent: ( )( ) 1
R I
A I
I s kI s sT
= + , (4.33) se obine o ecuaie asemntoare pentru relaia de curent sub forma:
( ) ( ) ( )1 1 1e e
I I
T TT T
R R A II k I k e I k e k = +
. (4.34)
Implementarea numeric a regulatorului de curent avnd funcia de transfer:
( ) 43RI kH s k s= + , (4.35) se face utiliznd relaiile (4.27), (4.28) i proprietatea de liniaritate a transformatei Z sub forma:
( ) ( ) ( )1 1 13 4 21 11 1RIH z k z Z k z Zs s = + . (4.36) Pentru a calcula transformata Z a celui de-al doilea termen din membrul drept al relaiei (4.36)
se utilizeaz teorema reziduurilor pentru poli multipli, obinnd:
( ) ( )1
13 4 211
eRI
T zH z k k
z
= +
. (4.37)
Pe de alt parte
( ) ( )( ) ( )1
1* 1 1
cRI
FI R
U zH z
I z I z
= , (4.38)
astfel nct ecuaia de implementare numeric a regulatorului de curent este: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *3 4 31 1 1c c FI R e FI RU k U k k I k I k k T k I k I k = + + . (4.39)
Tensiunea aplicat rotorului mainii de curent continuu este: ( ) ( )A D cU k k U k= . (4.40)
Mrimea de ieire a buclei interioare de curent: - considernd rotorul calat
( ) ( ) ( ) 11 1 1e e
A A
T TT T
A A AA
I k I k e U k eR
= + , (4.41)
- cu rotorul n micare
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
6
( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1e e
A A
T TT T
A A AA
I k I k e U k k k eR
= + . (4.42)
4.3.2. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a vitezei
Schema bloc a modelului discret al buclei de vitez este prezentat n figura 4.14, unde funcia de transfer n circuit nchis a buclei de reglare a curentului este aproximat prin cea reprezentat n figura 4.15.
1sJ
21
kks
+11 FsT +
1ksT
+
k
( )1
1 2I Ik sT+
Viteza unghiular impus filtrat este dat de:
( ) ( ) ( )* * *1 1 1e e
F F
T TT T
F Fk k e k e
= +
. (4.43)
Semnalul de pe reacia de turaie are forma:
( ) ( ) ( )*1 1 1e eT T
T TR Rk k e k k e
= + . (4.44)
Forma discret a regulatorului de turaie este dat de ecuaia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 2 11 1 1A A F R e F RI k I k k k k k T k k k = + + , (4.45)
iar semnalul de ieire al sistemului de acionare este:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1e A sTk k k I k M kJ = + . (4.46)
Fig. 4.14 Bucla de reglare a vitezei
Fig. 4.15 Funcia de transfer a buclei de reglare a curentului
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
7
Pentru obinerea ecuaiilor necesare simulrii buclelor de reglare ale sistemului de acionare electric, vom stabili aceste ecuaii ntr-un bloc de relaii de recuren, ecuaii care vor fi aezate n ordinea fireasc de continuitate i compatibilitate ntre elementele componente ale sistemului, adic n ordinea (4.43), (4.44), (4.45), (4.32), (4.34), (4.39), (4.40), (4.41), (4.46). Setul de ecuaii de mai sus se poate obine i folosind transformata Z biliniar. Pentru a trece o funcie de transfer H(s) din planul complex s ntr-o funcie de transfer H(z) din planul discret Z, cu ajutorul transformatei Z biliniare se consider exemplul din figura 4.16.
( )H s
Fie elementul integrator caracterizat prin
( ) 1H ss
= . (4.47) n domeniul timp se obine ecuaia:
( ) ( )y t u t dt= . (4.48) Pentru o perioad de eantionare T putem scrie:
( ) ( ) ( )( )11 ee
k T
kTy k y k u t dt
++ = + . (4.49)
Folosind metoda trapezelor putem aproxima integrala:
( ) ( ) ( ) ( )1 12eTy k y k u k u k + = + + + . (4.50)
Scris n domeniul Z, ecuaia (4.50) conduce la:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12eTY z z Y z U z z U z = + + , (4.51) de unde funcia de transfer se obine sub forma:
( ) 11 112 1eT zH z z
+= , (4.52) sau
( )1 11
12 1
1e
H zz
T z
= +
. (4.53)
innd cont de ecuaiile (4.47) i (4.53), trecerea din domeniul s n domeniul Z se face nlocuind 1
12 1
1e
zsT z
= + . (4.54) Funcia de transfer a filtrului pe viteza unghiular impus avnd ecuaia
( )( )
*
*1
1F s
sTs
= + (4.55)
dup prelucrri algebrice i utiliznd (4.54), conduce la ecuaia n diferene finite de forma:
( ) ( ) ( ) ( )* * * *2 1 12 2
e F eF F
e F e F
T T Tk k k k
T T T T
= + + + + . (4.56)
Fig. 4.15 Funcia de transfer a elementului integrator
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
8
n acelai mod se determin ecuaiile: - regulatorului de vitez
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 2 2 11 1 12 2e eA A F R F RT T
I k I k k k k k k k k k = + + + , (4.57)
- curentului rotoric impus
( ) ( ) ( ) ( )* * * *2 1 12 2
e FI eFI FI A A
e FI e FI
T T TI k I k I k I k
T T T T = + + + + (4.58)
- reaciei de curent
( ) ( ) ( ) ( )2 1 12 2
e I eR R I A A
e I e I
T T TI k I k k I k I k
T T T T = + + + + . (4.59)
- i regulatorului de curent
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *3 4 4 31 1 12 2e ec c FI R FI RT T
U k U k k k I k I k k k I k I k = + + + . (4.60) Tensiunea aplicat rotorului rmne de forma
( ) ( )A D cU k k U k= . (4.61) Ecuaiile de calcul al curentului rotoric rezult de forma:
- cu rotorul calat
( ) ( ) ( ) ( )2 11 12 2
e A eA A A A
e A e A A
T T TI k I k U k U k
T T T T R = + + + + , (4.62)
- cu rotorul n micare
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 11 1 12 2 2
e A e eA A A A
e A A e A A e A
T T T TkI k I k U k U k k kT T R T T R T T
= + + + + + + . (4.63) Viteza unghiular la arborele motorului, calculabil n acelai mod, este dat de:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 12
eA A s s
Tk k k I k I k M k M k
J = + + + . (4.64)