FILTRUL FIRPrincipiuCa şi în cazul fitrelor de tip IIR, se porneşte de la caracteristica ideală a unui filtru

trece jos (FTJ), prezentată în fig. 1. Răspunsul la impuls al acestui filtru se obţine prin

Fig. 1 Caracteristica de frecvenţă a unui FTJ ideal

transformata Fourier inversă a răspunsului la frecvenţă , care are modulul A(ω) şi argumentul , reprezentate în fig. 1:

(1)

Răspunsul la impuls este reprezentat grafic în fig. 2, pentru ωt = 1 şi t0 = 2.5. Se constată

-5 0 5 10-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35h(t)

t

t0

Fig. 2 Răspunsul la impuls al FTJ ideal

că FTJ este nerealizabil fizic, întrucât este necauzal: începe să răspundă la impuls înainte de a se aplica impulsul la intrare, la momentul t=0. Pentru a obţine un răspuns la impuls

0arg ( ) ( )H j t

( ) ( ); ( )H j A ( )A

1

tt

la limită cauzal (realizabil fizic), vom considera răspunsul la impuls « văzut » printr-o fereastră de timp rectangulară, pornind din momentul t = 0. In fig. 3 sunt desenate

-5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

h(t)

wR(t)

Fig. 3 Răspunsul la impuls şi fereastra de timp rectangulară

răspunsul la impuls şi fereastra de timp wR(t) cu lărgimea de 5 s. Prin această fereastră de timp se obţine răspunsul la impuls finit în timp (FIR):

(2)reprezentat în fig. 4. Sistemul care ar genera un asemenea răspuns la impuls trebuie să fie

-1 0 1 2 3 4 5 6-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35h

W(t)

t

Fig. 4 Răspunsul la impuls văzut printr-o fereastră rectangulară

cu timp discret, deoarece numai sistemele numerice (FIR) pot realiza răspunsuri la impuls finit. Pentru obţinerea sistemului FIR se eşantionează răspunsul la impuls din fig. 4, cu perioada de eşantionare Te. Fie cazul când se alege Te = 0.25 s. In această situaţie,

t0

valoarea maximă a răspunsului la impuls se obţine după perioade de eşantionare.

Răspunsul la impuls al filtrului FIR care implementează filtrul trece jos este dat în fig. 5.

-1 0 1 2 3 4 5 6-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

h(0) h(1)

h(2)

h(3) h(4)

h(M)

h(2M)

Te M.T

e

h(k)

t

k

Fig. 5 Răspunsul la impuls al filtrului FIR, pentru M=10

Funcţia de transfer şi caracteristicile de frecvenţăFuncţia de transfer a filtrului FIR este:

(3)

Considerând M par, ca în exemplul considerat, avem:(4)

Schema filtrului FIR se poate reprezenta ca în fig. 6. Răapunsul la frecvenţă al filtrului FIR este

Având în vedere egalităţile (4), răspunsul la frecvenţă se poate scrie sub forma

Fig. 6. Schema bloc a filtrului FIRsau

(5)

Amplificarea filtrului este

(6)

iar defazajul(7)

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

h0 h2M

h1

h2

hM-2

hM-1

hM

hM+1

hM+2

h2M-1

h2M-2

U(z)

Y(z)

Se observă că adoptând o valoare mare a întârzierii t0, rezultă un parametru M mare şi un defazaj important introdus de filtrul FIR. Caracteristica de fază este liniară, ceea ce înseamnă că filtrul produce o întârziere (proporţională cu M) a semnalului aplicat la intrare.

Funcţii fereastrăDin considerente de realizabilitate fizică, răspunsul la impuls considerat în sinteză

NU este h(t). Această funcţie are transformata Fourier:

(8)

unde F este operatorul transformatei Fourier iar H(jω) corespunde caracteristicilor FTJ ideal, ilustrate în fig. 1.

In sinteză s-a considerat funcţia răspunsului la impuls văzută printr-o fereastră de timp. Această abordare face să dispară componenta necauzală a răspunsului la impuls, rezultând realizabilitatea fizică a filtrului, şi determină caracterul de răspuns la impuls finit în timp, care impune realizabilitatea în implementare numerică.

In secţiunile anterioare s-a lucrat cu fereastra de timp rectangulară, wR(t). In aceste condiţii, funcţia răspunsului la impuls considerată în sinteză este hR(t), având expresia (2). Vom nota în continuare cu wF(t) o funcţie fereastră oarecare şi prin hF(t) răspunsul la impuls văzut prin această fereastră. Caracteristicile de frecvenţă ale filtrului sintetizat sunt date de transformata Fourier a funcţiei răspunsului la impuls hF(t):

(9)

Scopul urmărit este de a obţine caracteristici de frecvenţă cât mai apropiate de

cele ale FTJ ideal. Deci, transformata Fourier trebuie să

difere cât mai puţin (ca modul şi ca argument) de transformata Fourier ideală . Evident, diferenţele dintre cele două transformate Fourier depind de forma ferestrei de timp. In sectiunile anterioare s-a adoptat fereastra rectangulară, deoarece aceasta oferă o fundamentare intuitivă a problematicii filtrelor FIR. Există însă şi alte tipuri de ferestre de timp, care determină caracteristici performante ale filtrului FIR. Funcţiile fereastă uzuale sunt:Fereastra rectangulară

(10)

Fereastra Hamming

(11)

în care α = 0.54 (α = 0.5 – varianta Haning)Fereastra Kaiser

(12)

în care I0(.) este funcţia Bessel modificată de ordin zero.

Proiectarea unui filtru FIRFie h(i) funcţia răspunsului la impuls a unui FTJ ideal cu timp discret. Deoarece h(i) este un semnal eşantionat, transformata Fourier a acestui semnal este periodică în

domeniul frecvenţă (ω). Prin urmare, caracteristica de amplificare, este

periodică (v. fig. 7), de perioadă ωe. In fig. 7, ωe este frecvenţa de eşantionare,

este frecvenţa Shannon, iar prin ωt s-a notat frecvenţa de tăiere.

Fig. 7 Caracteristica de frecvenţă a unui FTJ ideal în realizare numerică

Răspunsul la frecvenţă al FTJ ideal cu timp discret este:

(13)

Dacă interpretăm expresia (13) ca o dezvoltare în serie Fourier complexă a funcţiei periodice , atunci sunt parametrii acestei serii Fourier, care se obţin cu relaţia

(14)

Observaţie: In formula clasică a transformatei Fourier, exponentul din formulă este

pozitiv, iar exponentul din formula parametrilor este negativ. Se observă din (13) şi (14) că semnale exponenţilor menţionaţi sunt inversate, fără a fi afectată valabilitatea formulelor. In (14), răspunsul la frecvenţă este cel al FTJ ideal (v. fig. 1), care – în banda de trecere [ωt , ωt] – este :

iar . In consecinţă, înlocuind această funcţie în (14) şi efectuând calculele, rezultă:

(15)

-ωe = -2ωSωe = 2ωS-ωS ωSωt-ωt

( )H j

ω

Expresia se poate scrie sub forma , astfel încât relaţia (15) se mai

poate scrie sub forma:

(16)

unde = este frecvenţa de tăiere raportată la frecvenţa Shannon.

Proiectarea unui filtru FIR constă în determinarea răspunsului la impuls .

Se dă frecvenţa de tăiere raportată la frecvenţa Shannon, . Se adoptă M (care determină numărul de parametri) şi apoi se utilizează relaţia (16) pentru calculul răspunsului la impuls . In continuare, se adoptă o funcţie fereastră şi se calculează parametrii finali ai filtrului FIR :

Observaţie Dacă se explicitează sinusul cardinal din răspunsul la impuls (16), rezultă

(17)

Este cunoscut că funcţia Matlab sinc(x) are semnificaţia . Prin urmare,

programarea în Matlab a relaţiei (16) se face prin enunţulh(i)=wc*sinc((i-M-1)*wc)

AplicaţieSă se realizeze şi să se studieze filtrul FIR pentru = 0.25 şi M=20.

Programul Matlab este următorul:

%Filtrul FIRclear all;close all;wc=0.25;alfa=0.54;M=20;I0=besseli(0,2*pi);for i=1:2*M+1, ind(i)=i; h(i)=wc*sinc((i-M-1)*wc);end;figure(1);stem(ind,h);grid;

for i=1:2*M+1, wH(i)=alfa+(1-alfa)*cos((i-M-1)*pi/M); h1(i)=h(i)*wH(i); wK(i)=besseli(0,2*pi*sqrt(1-((i-M-1)/M)^2))/I0; h2(i)=h(i)*wK(i);end;figure(100);stem(ind,wH);grid;figure(101);stem(ind,wK);grid;figure(2);stem(ind,h1);grid;figure(3);stem(ind,h2);grid;figure(4);numR(1:2*M+1)=h(2*M+1:-1:1);sR=tf(numR,[1 zeros(1,40)],-1)[mR,p,w]=bode(sR);mRdB=20*log10(mR(1,:));semilogx(w,mRdB);grid;hold on;

numH(1:2*M+1)=h1(2*M+1:-1:1);sH=tf(numH,1,-1);[mH,p,w]=bode(sH);mHdB=20*log10(mH(1,:));semilogx(w,mHdB,'k');

numK(1:2*M+1)=h2(2*M+1:-1:1);sK=tf(numK,1,-1);[mK,p,w]=bode(sK);mKdB=20*log10(mK(1,:));semilogx(w,mKdB,'r');axis([0.02 10 -100 10]);

Rezultate:Răspunsul la impuls în cazul ferestrei rectangulare

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25h(i+1)

i

Funcţia fereastră Hamming

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

wH(i+1)

i

Funcţia fereastră Kaiser

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1w

K(i+1)

i

Funcţia răspunsului la impuls văzută prin fereastra Hamming

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3h

H(i+1)

i

Funcţia răspunsului la impuls văzută prin fereastra Kaiser

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3h

K(i+1)

i

Caracteristici de amplificare

10-1

100

101

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

AdB

w

R

H

K

R- fereastră rectangulară; H – fereastră Hamming; K – fereastră Kaiser

Caracteristici de amplificare (zoom)

10-1

100

-20

-15

-10

-5

0

5

AdB

w

R

H

K