1

Curs 3

INTEGRALE DUBLE

Def.1 Un domeniu 2D nchis i mrginit se numete domeniu compact.

Obs. Fie 2 3:f D , o funcie mrginit pe domeniul compact D. Dac, n plus, ( ) ( )( ), 0, ,f x y x y D , atunci graficul su va fi o suprafa S situat deasupra planului x0y. Se va pune problema de a se determina volumul cilindrului care se sprijin pe D din planul x0y, limitat superior de S. Acesta va fi ( ), d d .

D

V f x y x y=

Calculul integralei duble

Def. 2 Domeniul 2D se numete simplu n raport cu axa oy, dac este definit prin relaiile

( ) ( ) [ ] [ ]1 21 2 , , : , , continue pe , .a x b

a b a bx y x

2

Def. 3 Domeniul 2D se numete simplu n raport cu axa ox, dac este definit prin relaiile

( ) ( ) [ ] [ ]1 21 2 , , : , , continue pe , .c y d

c d c dy x y

Teorem Fie 2D un domeniu compact simplu n raport cu axa oy i fie funcia 3:f D mrginit, cu proprietile

1) f integrabil pe D

2) pentru ( ) [ ] ( ) ( )( )

( )2

1

, , , d .x

x

x a b f x y y

Atunci ( ) ( )( )

( )( )

2

1

, d d , d d .xb

a x D

f x y y x f x y x y

=

Teorem Fie 2D un domeniu compact simplu n raport cu axa ox i fie funcia 3:f D mrginit, cu proprietile

3) f integrabil pe D

4) pentru ( ) [ ] ( ) ( )( )

( )2

1

, , , d .y

y

y c d f x y x

Atunci ( ) ( )( )

( )( )

2

1

, d d , d d .yd

c y D

f x y x y f x y x y

=

3

Exemplu S se determine aria domeniului

( ){ }2 2 2, / 4 .D x y x y x=

Formula lui Green- Riemann

Fie funciile reale P i Q continue pe domeniul compact 2D . Dac exist ,P Q

y x

continue pe domeniul D, atunci

( ) ( )( )

d d , d , dD

Q Px y P x y x Q x y y

x y

= +

, unde ( ) ( )Fr .D =

Exemplu S se calculeze

( )2 2d d ,I x y x x y y

= + unde

( ) ( ){ }2 2 2, / 1, , 0 .x y x y x y = + =

4

Schimbarea de variabile la integrala dubl Teorem Fie funcia real f continu pe domeniul compact D i fie transformarea regulat

( )( ) ( )

,

: , , .,

x u vT u v D

y u v

=

=

Atunci ( ) ( ) ( )( ) ( )( ),

, d d , , , d d ,,D D

Df x y x y f u v u v u vD u v

=

unde ( )( ),

,

not Du uJD u v

v v

= =

este Jacobianul transformrii.

Exemplu S se calculeze

( ) ( ){ }22 2 2 2 2 2d d , , / .D

I x y x y D x y x y R= + = +

5

Aplicaii ale integralei duble

1. Aria unui domeniu compact D. ( ) d d .

D

A D x y=

2. Determinarea masei unui domeniu compact, avnd densitatea ( ),x y .

( ) ( ), d d .D

m D x y x y=

3. Coordonatele centrului de greutate, ( ), ,G GG x y ale unui domeniu compact cu densitatea ( ),x y .

( )( ), d d

DG

x x y x yx

m D

=

, respectiv

( )( ), d d

DG

y x y x yy

m D

=

.

Aplicaii

1. S se determine aria domeniului ( ){ }2 2 2, / 1 9, 3 .D x y x y x y x= +

2. S se determine coordonatele centrului de greutate, dac

( ) ( ){ }2 2 2, 1, , /3 6 2 .x y D x y x x y x x = =

3. (Green) S se calculeze ( ) ( )d dI xy x y x xy x y y

= + + + + , unde curba

( )2 2

22 2, / 1, 0, 0 .

x yx y a b

a b = + = > >