curs 1

MODELAREA IDENTIFICAREA ŞI SIMULAREA ACŢIONĂRILOR ELECTRICE

1

I. PRINCIPII GENERALE ALE MODELĂRII SISTEMELOR 1.1. Concepte fundamentale

Analiza asistată de calculator a sistemelor de acţionare electrică are la bază un set de modele ale

maşinilor electrice, ale maşinilor de lucru, modele ale structurilor de convertoare statice şi ale circuitelor de comandă.

Numeroase constatări privind detaliile de funcţionare sau soluţiile de proiectare pot fi formulate pe baza modelului (ca substitut comportamental al entităţii fizice concrete), iar de aici decurge interesul prezentat de activitatea de “modelare” pentru practică. O serie din proprietăţile unui sistem pe care intenţionăm să-l studiem poate fi investigată prin intermediul experienţelor efectuate asupra acestuia. Există totuşi anumite limitări, destul de severe, pentru cunoaşterea strict empirică (bazată numai pe organizarea şi desfăşurarea experienţelor). Dacă ne referim numai la experienţele costisitoare din punct de vedere financiar, sau la acelea ce comportă acţiuni, manevre periculoase, posibil distructive, este suficient a ne crea o imagine elocventă privind limitările cunoaşterii strict empirice. In fine, experienţele sunt imposibil de efectuat asupra unor sisteme care nu există încă, aflându-se doar în faza de proiect şi necesitând analiza unor proprietăţi.

In toate situaţiile în care cunoaşterea bazată pe experienţe nu este posibilă, pentru investigarea proprietăţilor unui sistem se face apel la un model al acestuia.

Dezvoltarea, de-a lungul timpului, a ştiinţelor fizico-tehnice s-a bazat pe modelul matematic care exprimă sub formă de relaţii matematice legăturile existente între variabilele de ieşire şi cele de intrare ale sistemului, precum şi restricţiile ce caracterizează variabilele sistemului (limitele admisibile, valori nominale, valori iniţiale).

Complexitatea unui model matematic este dictată, în general, de acurateţea (precizia) dorită în descrierea comportării sistemului, în sensul că un model simplu neglijează sau idealizează anumite aspecte ale comportării.

Pentru obţinerea unor rezultate de simulare cât mai apropiate de cazul real este necesară elaborarea şi dezvoltarea unor modele cât mai eficiente precum şi folosirea corectă a acestora. In acest scop trebuie cunoscute câteva elemente fundamentale de teoria modelării şi identificării sistemelor. 1.1.1. Clasificarea modelelor matematice

Modelele, alese în funcţie de particularităţile sistemului, pot fi clasificate astfel: - modele deterministe sau stohastice;

Un model determinist furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică. Un model stohastic furnizează o relaţie (relaţii) între caracterizări de tip probabilistic ale mărimilor utilizate pentru descrierea matematică.

- modele statice sau dinamice; Un model static furnizează o relaţie (relaţii) între valorile instantanee ale mărimilor utilizate pentru descrierea matematică. Un model dinamic furnizează o relaţie (relaţii) între valori instantanee şi valori anterioare ale mărimilor utilizate pentru descrierea matematică. In general modelele statice sunt exprimate prin ecuaţii algebrice (de exemplu, relaţia dintre tensiunea la bornele unui rezistor şi curentul care circulă prin conductorul respectiv), iar modelele dinamice sunt exprimate prin ecuaţii diferenţiale, integrale sau integro-

Principii generale ale modelării sistemelor

2

diferenţiale (de exemplu, relaţia dintre tensiunea la bornele unui circuit RC serie şi curentul care circulă prin circuitul respectiv).

- modele liniare sau neliniare; - modele invariante în timp sau modele variante în timp;

Un model invariant în timp furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toţi coeficienţii au valori constante în timp. Un model variant în timp furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care unul sau mai mulţi coeficienţi îşi modifică valoarea dependent de timp (de exemplu, relaţiile dintre tensiunea la bornele unui rezistor şi curentul care circulă prin acesta, în condiţiile modificării în timp a rezistenţei electrice a rezistorului datorită creşterii temperaturii).

- modele cu parametrii concentraţi sau modele cu parametrii distribuiţi; Un model cu parametrii concentraţi furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toate funcţiile utilizate depind de o singură variabilă independentă, care are semnificaţie temporală. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale ordinare sau a sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (de exemplu, ecuaţiile dinamicii punctului material). Un model cu parametrii distribuiţi furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care cel puţin o parte din funcţiile utilizate depind (pe lângă variabila independentă cu semnificaţie temporală) de una sau mai multe variabile independente, de regulă cu semnificaţie spaţială. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale sau a sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale (de exemplu, ecuaţia propagării căldurii într-un corp omogen şi izotrop). 1.1.2. Abordarea analitică sau experimentală a modelării

In general, determinarea modelelor matematice este posibilă pe două căi, analitică sau experimentală.

In cazul identificării analitice (teoretice), modelul matematic se construieşte pe baza legilor fizice care guvernează dinamica procesului. Pentru obţinerea pe cale analitică a modelului se urmăresc următoarele etape:

- stabilirea mărimilor de intrare şi de ieşire, - stabilirea ipotezelor simplificatoare, - stabilirea elementelor acumulatoare sau disipatoare de energie din cadrul sistemului, - stabilirea ecuaţiilor ce caracterizează sistemul, - simplificarea sistemului de ecuaţii prin:

- liniarizări ale unor ecuaţii neliniare, - aproximarea prin ecuaţii diferenţiale ordinare a ecuaţiilor cu derivate parţiale, - reducerea ordinului ecuaţiilor diferenţiale ordinare.

Identificarea experimentală a modelului presupune construirea modelului matematic pe baza măsurătorilor efectuate asupra variabilelor ce caracterizează evoluţia sistemului într-un anumit regim de funcţionare. Măsurătorile permit determinarea prin identificare a expresiilor matematice ce exprimă cu suficientă aproximaţie dependenţele dintre mărimile de intrare, ieşire sau de stare măsurate.

Proprietăţile modelelor obţinute prin identificare sunt: - validitate limitată într-un punct sau domeniu de lucru precizat, cu o anumită intrare şi un anumit

proces, - semnificaţie fizică redusă (datorită ipotezelor simplificatoare), - construcţie şi utilizare uşoară.


3

Pentru determinarea modelului unui sistem nu se poate utiliza întotdeauna, în exclusivitate, unul din aceste procedee, ci o combinaţie de procedee teoretice şi experimentale. De cele mai multe ori, prin analiza teoretică se determină o structură a modelului matematic, iar printr-o procedură de identificare se ajustează parametrii modelului pentru a obţine aceeaşi comportare intrare-ieşire ca în cazul real.

1.2. Tehnici de analiză numerică

Modelul matematic al unui sistem poate fi exploatat prin intermediul unor prelucrări analitice care conduc la formulări sau expresii noi. Dar prelucrările analitice nu sunt întotdeauna posibile şi, în atare situaţii, se apelează la metode specifice calculului numeric. Aceste metode sunt, în general, uşor de utilizat într-unul din multiplele limbaje sau medii de programare disponibile. Astfel, investigarea unor proprietăţi ale sistemului studiat revine la rezolvarea numerică a unor probleme, procedeele de investigare de această natură fiind referite, în totalitatea lor, sub denumirea de analiză asistată de calculator. Dintre acestea un rol important este deţinut de tehnicile de simulare numerică. Experimentele de simulare înlătură limitările experienţelor practice, cu acţiune nemijlocită asupra sistemului fizic, despre care s-a vorbit anterior. Trebuie însă subliniat faptul că informaţiile furnizate de experimentele de simulare depind de calitatea modelului matematic utilizat, adică de fidelitatea cu care acest model surprinde elementele specifice comportării reale.

In general, orice program de simulare este individualizat prin două aspecte: modalitatea de formulare a ecuaţiilor ce descriu funcţionarea sistemului şi modalitatea de rezolvare a acestor ecuaţii. Acestea pot influenţa sensibil structura bazei de date folosită, necesităţile de memorie, viteza de execuţie, într-un cuvânt, performanţele simulatorului.

Pachetele de programe destinate aplicaţiilor de calcul oferă posibilităţi de analiză bazate pe descrierea la nivel de ecuaţii algebrice şi diferenţiale ale sistemelor studiate. Astfel, indiferent de modul de descriere a sistemului analizat, de metoda de analiză folosită, în ultimă instanţă, la baza analizei asistată de calculator a oricărui sistem dinamic stau metodele de integrare numerică. Cunoaşterea comportării metodelor de simulare folosite permite utilizatorului să aleagă în cunoştinţă de cauză metoda de integrare adecvată şi să furnizeze corect parametrii specifici metodei folosite. De aceea, în continuare se trec în revistă principalele metode de integrare a ecuaţiilor diferenţiale.

O problemă ce implică integrarea unui sistem de ecuaţii diferenţiale nu este complet definită de sistemul de ecuaţii ataşat acesteia. Pentru definire completă trebuie precizate condiţiile pe frontieră. Modul în care se impun condiţiile pe frontieră determină clasificarea problemelor ce implică rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale în două categorii:

- probleme cu condiţii iniţiale (probleme tip Cauchy), - probleme de tip condiţii la limită, când condiţiile pe frontieră sunt specificate în mai multe

puncte. Modalităţile de integrare numerică prezentate în continuare sunt specifice sistemelor de ecuaţii

diferenţiale cu condiţii iniţiale. Algoritmii pentru integrare numerică a problemei Cauchy ataşate sistemului de ecuaţii

diferenţiale se pot clasifica astfel: - metode bazate pe dezvoltări în serie Taylor (algoritmi Taylor sau Runge-Kutta), numite şi

metode directe sau cu un singur pas, - metode bazate pe aproximări polinomiale de tip multipas (algoritmi de tip predictor-corector) - metode de extrapolare (algoritmi de tip Richardson), - metode pentru integrarea ecuaţiilor stiff.


4

1.2.1. Consideraţii privind erorile ce apar la integrarea numerică a sistemelor de ecuaţii diferenţiale

Alegerea metodei numerice de integrare a ecuaţiilor diferenţiale ordinare este strâns legată de

analiza erorilor de calcul în procesul de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale ordinare. Erorile de calcul pot fi de trei tipuri – erori de trunchiere, erori de rotunjire şi erori de propagare

– fiind importantă analiza efectului fiecărui tip de eroare în parte asupra preciziei rezultatelor, scopul fiind evident cel de reducere a erorilor de calcul.

Erorile de trunchiere (algoritmice) depind de metoda numerică aleasă. Notând cu h pasul de integrare:

1n nh t t+= − , n∈ , (1.1) pentru metodele numerice analizate în continuare, erorile de trunchiere sunt: ♦ de ordinul de mărime al lui h2 pentru versiunea clasică a metodelor de tip Euler şi de ordinul de mărime al lui h3 pentru versiunea Cauchy a metodelor de tip Euler; ♦ de ordinul de mărime al lui h5 pentru metodele de tip Runge-Kutta de ordinul 4; ♦ de ordinul de mărime al lui h5 pentru metodele de tip Adams-Bashforth-Moulton de ordinul 4.

Erorile de rotunjire depind de posibilităţile echipamentului de calcul pe care sunt implementaţi algoritmii de rezolvare a metodelor numerice. Se datorează reprezentării valorilor numerice şi efectuării calculelor cu precizie finită pe orice sistem de calcul. Aceste erori pot fi diminuate dacă se utilizează modul de lucru în dublă precizie. Cu toate acestea, erorile de rotunjire cresc pe măsura creşterii numărului de paşi de integrare datorită propagării erorilor de la un pas la altul.

Erorile de propagare: efectul lor este simţit mai ales la metodele de tip predictor-corector. Atât erorile de trunchiere cât şi cele de rotunjire tind să se acumuleze odată cu creşterea volumului de calcule, respectiv cu creşterea numărului de paşi de timp. Diverşi algoritmi se comportă diferit în ceea ce priveşte propagarea erorilor de rotunjire. Este de remarcat faptul că eroarea totală de rotunjire nu este doar suma erorilor la fiecare pas, deoarece eroarea de rotunjire poate creşte sau descreşte pe măsură ce se continuă calculele.

Un algoritm pentru care eroarea de rotunjire descreşte odată cu creşterea numărului de paşi de integrare se numeşte numeric stabil. Este important să fie utilizate numai metode numeric stabile, la care erorile nu se propagă în mod imprevizibil sau chiar nemărginit.

Pentru reducerea erorilor de trunchiere este recomandată micşorarea pasului de integrare, însă aceasta conduce la creşterea erorii de rotunjire. Pe de altă parte, micşorarea pasului de integrare conduce la creşterea numărului de paşi, cu consecinţa imediată a creşterii timpului de calcul. Deci, trebuie căutată – ca o soluţie de compromis – acea valoare a pasului de integrare pentru care erorile de calcul (“suma” celor trei tipuri de erori menţionate) să fie cât mai mici.

Ţinând seama de legătura dintre mărimea pasului de integrare şi cea a erorilor de calcul, alegerea unei anumite metode de rezolvare numerică a ecuaţiilor diferenţiale ordinare reprezintă o problemă relativ complexă – recomandări: # Dacă se cer rezolvări rapide → se poate alege o metodă simplă, de tip Euler, cu un pas de integrare relativ mic, dar cu o valoare absolută mult superioară celui mai mic număr posibil a fi reprezentat în echipamentul de calcul. # Dacă se cer rezolvări precise fără a fi important timpul de calcul → se poate alege metoda Runge-Kutta de ordinul 4 datorită avantajelor legate de autopornire. # Dacă se cer rezolvări precise fără modificări semnificative ale pasului de integrare → se poate alege metoda Adams- Bashforth-Moulton de ordinul 4 datorită avantajelor legate de stabilitateanumerică. # La toate metodele numerice utilizate este necesară analiza stabilităţii numerice deoarece toate trebuie să fie numeric stabile. Dacă aceasta nu poate fi efectuată teoretic → trebuie testată în funcţie de aplicaţie.


5

1.2.2. Metode de integrare bazate pe dezvoltare în serie Taylor

Un sistem de n ecuaţii diferenţiale, cu variabila independentă t, se poate scrie astfel: ( )( )

( )

1 1 1 2

2 1 1 2

1 1 2

, ... ,

, ... ,...

, ... ,

n

n

n n

x f x x x t

x f x x x t

x f x x x t

⎧ =⎪

=⎪⎨⎪⎪ =⎩

, (1.2)

sau în formă vectorială compactă: ( ),x f x t= . (1.3)

Seria Taylor trunchiată (fără termeni de ordin superior) are forma: ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2 11 2 1

, , ,

, , , , , ... , .2! 3! !

n n p n n

pp

p n n n n n n n n n n

x x h T x t h

h h hT x t h f x t f x t f x t f x tp

+

−−

= + ⋅

= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ (1.4)

Modulul erorii de trunchiere pentru algoritmi de tip Taylor este de ordinul hp. Erorile de rotunjire cresc semnificativ prin micşorarea pasului de integrare datorită creşterii volumului de calcule. Utilizarea unui pas de integrare exagerat de mic nu asigură aşadar o eroare globală mică. 1.2.2.1. Algoritmi de tip Taylor Algoritmul Taylor de ordinul I (Euler direct)

( )1

1,, .n n n n

px x h f x t+

=

= + ⋅ (1.5)

Eroarea locală de trunchiere este relativ mare. Pentru obţinerea unei precizii rezonabile, pasul de integrare trebuie să fie foarte mic, de aceea

astfel de algoritmi se utilizează mai puţin în practică. Algoritmul Taylor de ordinul II

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

2

2,, , ,

, , , , , , ,2!

, ,,

n n n n

n n n n x n n n n t n n

x t

px x h T x t h

hT x t h f x t f x t f x t f x t

f x t f x tf f

x t

+

=

= + ⋅

⎡ ⎤= + ⋅ ⋅ +⎣ ⎦

∂ ∂= =

∂ ∂

(1.6)

Pe măsură ce ordinul algoritmului creşte, evaluarea derivatelor parţiale devine laborioasă, ea putând fi şi o sursă considerabilă de erori. S-a impus din acest motiv apariţia unor metode noi care să înlocuiască calculul derivatelor funcţiei f cu evaluarea funcţiei în diverse puncte. Se va utiliza, astfel, o formulă de tipul:

( )1 2 , , ,n n n nx x h K x t h+ = + ⋅ (1.7) ce asigură obţinerea unei soluţii cu acelaşi ordin de mărime al erorii de trunchiere ca şi algoritmii de tip Taylor corespunzători. Astfel de algoritmi se numesc algoritmi de tip Runge-Kutta.


6

1.2.2.2. Algoritmi de tip Runge-Kutta Algoritmi Runge-Kutta de ordinul II

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 2 22 2

2,, , ,

, , 1 , , , ,2 2

n n n n

n n n n n n n n

px x h K x t h

h hK x t h a f x t a f x f x t ta a

+

=

= + ⋅

⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(1.8)

cu a2 un parametru oarecare nenul. In funcţie de valoarea lui a2 se pot obţine mai multe variante ale algoritmului:

- Algoritmul Heun (algoritmul trapezoidal modificat), pentru a2=1/2, - Algoritmul Euler-Cauchy modificat, pentru a2=1.

Algoritmi Runge-Kutta de ordinul IV Pentru paşi de integrare mai mari şi o bună precizie, se utilizează mai frecvent algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV:

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 4

4 1 2 3 4

1 2 1 3 2 3 3

4,, , ,

1, , 2 2 ,6

, , , , , , , .2 2 2 2

n n n n

n n

n n n n n n n n

px x h K x t h

K x t h k k k k

h h h hk f x t k f x k t k f x k t k f x h k t h

+

=

= + ⋅

= + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.9)

Interpretarea geometrică a acestui algoritm este următoarea: se calculează panta k1 în xn. Folosind această valoare se avansează cu o jumătate de pas pe axa timpului şi se evaluează noua pantă în acest punct. Cu noua pantă k2 se avansează jumătate de pas din acelaşi punct xn, tn şi se calculează panta k3. In final, se calculează panta în punctul xn+h, tn+h. Cele patru pante sunt apoi mediate ponderat.

Deoarece algoritmul este de ordinul IV, se poate folosi un pas de integrare relativ mare pentru o eroare de trunchiere mică. Funcţia f trebuie evaluată de 4 ori la fiecare pas, iar valorile calculate nu mai sunt folosite în etapele următoare de calcul, ceea ce constituie un dezavantaj important. Din acest motiv s-au dezvoltat noi algoritmi de integrare numerică, numiţi algoritmi multipas, care să înlăture acest dezavantaj. 1.2.2.3. Algoritmi de integrare directă cu pas adaptiv

Alegerea inadecvată a pasului constant de integrare poate conduce la erori foarte mari. Alegerea unui pas prea mic înseamnă, pe de altă parte, creşterea efortului de calcul şi, uneori, chiar creşterea erorilor. Astfel, soluţia adoptării pasului pe măsură ce integrarea avansează apare foarte naturală.

Metodele de ajustare automată a pasului de integrare sunt în general bazate pe estimarea erorii locale. Algoritmul are o anumită toleranţă pentru eroarea locală (de exemplu impusă de utilizator). Dacă estimatorul erorii depăşeşte toleranţa impusă pasul de integrare este micşorat, dacă eroarea este mult mai mică decât toleranţa impusă pasul este mărit.

Astfel s-au construit algoritmi ce calculează două estimări pentru noua valoare x(tn+1) utilizând algoritmul Runge-Kutta de ordinul 4 şi 5 în scopul comparării rezultatelor. Aceasta necesită 6 evaluări ale lui f la fiecare pas, iar pasul se adaptează astfel încât să se obţină diferenţe mici între rezultatele calculate folosind cele două metode.


7

1.2.3. Metode de integrare numerică bazate pe aproximări polinomiale de tip multipas

Aceste metode folosesc la avansarea cu un pas a variabilei independente rezultate intermediare obţinute din operaţiile efectuate la un număr specificat de paşi anteriori, ceea ce face ca, pentru o precizie dată, ele să necesite un efort de calcul mai scăzut decât metodele bazate pe dezvoltări în serie Taylor, care sunt practic algoritmi cu un singur pas. 1.2.3.1. Algoritmi multipas cu pas constant

Expresia generală a algoritmului este următoarea:

( ) ( ) ( )1 0 1 1

1 1 1 0

...

, , ... ,

n n n p n p

n n n n p n p n p

x a x a x a x

h b f x t b f x t b f x t

+ − −

− + + − −

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅⎣ ⎦ (1.10)

cu a0…ap, b-1…bp coeficienţi determinaţi astfel încât, dacă valorile la paşii anteriori lui xn+1 sunt presupuse exacte, ecuaţia să dea o valoare exactă pentru xn+1. Dacă b-1=0, metoda se numeşte explicită, iar dacă b-1≠0, metoda se numeşte implicită. Exemple de algoritmi multipas uzuali:

- Algoritmul Adams-Moulton de ordinul I (Metoda Euler inversă) - Algoritmul Adams-Moulton de ordinul II (Algoritmul trapezoidal) - Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul III - Algoritmul Adams-Moulton de ordinul IV

Algoritmii denumiţi Adams-Bashforth sunt algoritmi expliciţi care pentru ordinul k se obţin din (1.10) impunând condiţiile: p=k-1, a1=a2=ak-1=0, b-1=0.

Algoritmii denumiţi Adams-Moulton sunt algoritmi impliciţi care pentru ordinul k se obţin din (1.10) impunând condiţiile: p=k-2, a1=a2=ak-2=0.

Eroarea locală de trunchiere pentru un algoritm multipas este de ordinul h k+1.

Metodele de tip predictor-corector

determină valorile xn+1, printr-un proces de calcul iterativ. Se utilizează doi algoritmi, unul de tip explicit (poate fi Euler sau Adams-Bashforth) ca predictor, iar cel de-al doilea, algoritmul corector, de tip implicit. Etapele sunt următoarele: - se iniţializează valoarea lui xn+1 (notată x(0)

n+1), cu ajutorul algoritmului predictor, - la un pas oarecare j = 1, 2, 3, … al procesului iterativ de calcul se determină noua valoare a lui xn+1 (notată x(j)

n+1), pentru această etapă folosindu-se algoritmul corector, - calculul este terminat când xn+1 a fost determinat cu o precizie impusă / dorită. 1.2.3.2. Algoritmi multipas cu pas adaptiv

Pentru sistemele mari de ecuaţii, volumul calculelor creşte substanţial odată cu ordinul algoritmului. In astfel de situaţii este avantajos să se modifice atât ordinul algoritmului cât şi pasul de integrare. Evaluarea automată a ordinului metodei şi a pasului de integrare se face în funcţie de eroarea maximă de trunchiere admisibilă.

Spre deosebire de algoritmii cu un singur pas, cei de tip multipas nu pot fi startaţi automat. Pentru a calcula x1 se cere cunoaşterea valorilor la paşii anteriori x-1, x-2,…x-p, alături de condiţiile anterioare x0, t0. Pentru obţinerea acestor valori, trebuie aplicat în prealabil, de p+1 ori, un algoritm unipas. Cel mai recomandat este algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV. Chiar şi în aceste condiţii în care


8

este nevoie de un efort de calcul suplimentar pentru startare, algoritmii multipas sunt superiori celor unipas în special datorită numărului mai redus de evaluări ale funcţiei f pe pas de integrare. 1.2.4. Metode de extrapolare

Aceste metode consideră rezultatul integrării numerice drept o funcţie analitică ajustabilă cu ajutorul pasului de integrare, privit ca parametru.

Cel mai eficient algoritm din această categorie este Burlish-Stoer. Un pas al algoritmului merge de la t0 la t0+H, cu H suficient de mare. Pasul H este realizat din subpaşi ale căror valori hj sunt modificabile. Valorile intermediare obţinute la fiecare subpas sunt extrapolate prin fracţii raţionale. Subpaşii hj se reduc până la obţinerea preciziei dorite.

1.2.5. Metode de integrare pentru ecuaţii stiff

Orice sistem de ecuaţii de stare ale cărui soluţii conţin atât componente cu variaţie foarte rapidă, cât şi componente cu variaţie lentă, se numeşte stiff.

Majoritatea metodelor standard de integrare prezentate mai sus nu este adecvată pentru integrarea ecuaţiilor stiff. De exemplu algoritmul Runge-Kutta cu pas adaptiv eşuează prin reducerea repetată a pasului de integrare, iar metodele multipas explicite conduc la oscilaţii false ale soluţiei calculate. Metodele de tip Runge-Kutta, Adams-Bashforth şi Adams-Moulton (cu excepţia algoritmului Euler invers şi a celui trapezoidal) nu sunt stiff stabile.

Pentru rezolvarea eficientă a ecuaţiilor stiff trebuie să fie ales un algoritm care să permită variaţia pasului de integrare într-o plajă largă de valori în condiţii de stabilitate numerică. Algoritmii uzuali pentru rezolvarea ecuaţiilor stiff sunt algoritmii Gear de ordinul I, II şi III. 1.2.6. Comentarii privind alegerea metodei de integrare

Viteza şi precizia cu care se rezolvă un sistem de ecuaţii diferenţiale depind atât de mărimea pasului de integrare şi de precizia impusă, cât şi de metoda de integrare folosită.

Metoda Euler inversă este extrem de simplă dar necesită alegerea unor paşi de integrare mult mai mici decât cei necesari pentru alte metode pentru a atinge aceeaşi precizie şi nu este recomandată decât pentru sisteme foarte simple.

Algoritmii de tip Runge-Kutta sunt adecvaţi pentru o clasă extrem de largă de sisteme dinamice, fără a fi dintre cei mai rapizi, fiind cea mai potrivită alegere pentru sisteme care prezintă discontinuităţi.

Algoritmii de tip predictor-corector, deoarece utilizează informaţii despre momente anterioare, sunt mai greu de startat, dar, atunci când traiectoriile de stare ale sistemului sunt netede, operează mai rapid decât metodele de tip Runge-Kutta.

Algoritmul Burlish-Stoer poate înlocui cu succes algoritmii de tip predictor-corector, având performanţe superioare.

Algoritmii de tip Gear sunt singurii care pot face faţă integrării sistemelor cu comportare stiff.

curs 1

Documents