consideraŢii privind modelarea Şi simularea … 1... · cercul ŞtiinŢific modelarea...

UNIVERSITATEA CREŞTINĂ DIMITRIE CANTEMIR

FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE BRAŞOV

CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A

PROCESELOR ECONOMICE

ANUL UNIVERSITAR 2013-2014

TEMA 1

CONSIDERAŢII PRIVIND MODELAREA ŞI SIMULAREA

PROCESELOR ECONOMICE

Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU

Facultatea de Finanţe, Bănci şi Contabilitate Braşov

Universitatea Creştină “Dimitrie Cantemir”

1. INTRODUCERE

Pentru un proces economic, un model de natură statistico-matematică constituie o

reprezentare simplificată a acelui proces, în scopul unei mai bune înţelegeri a procesului

respectiv, care să permită adoptarea unor decizii optime de afaceri.

Considerând procesul de elaborare a modelelor economice, în funcţie de diferite

criterii, rezultă următoarea clasificare a tipurilor de modele (Figura 1):

modele probabiliste;

modele deterministe;

modele deductive;

modele inferenţiale.

Modelele probabiliste sau stohastice se caracterizează prin faptul că au în structura lor

variabile aleatoare, care încorporează de fapt elementele de incertitudine şi de risc ale

proceselor economice modelate.

Principalele caracteristici ale modelelor probabiliste se referă la următoarele elemente:

sunt aplicabile atunci când există multe variabile cu grad de incertitudine ridicat;

incertitudinea este încorporată în model cu ajutorul variabilelor aleatoare specifice;

sunt aplicate pentru decizii strategice de management.

Modelele deterministe definesc, în general, relaţiile funcţionale dintre componentele

modelului, în condiţii de certitudine.

Principalele caracteristici ale modelelor deterministe se referă la următoarele

elemente:

datele relevante sunt cunoscute cu un grad de certitudine ridicat;

pot rezolva probleme cu multe variabile şi restricţii;

sunt aplicabile atunci când există puţine variabile cu un grad de incertitudine ridicat.

http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1

http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1

CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

2

Modelele deductive se bazează, în general, pe modele matematice de cercetări

operaţionale, teoria deciziei sau teoria jocurilor, permiţând realizarea unor scenarii de tip

„what-if”, utilizarea arborilor de decizie, a jocurilor economice etc.

Modelele inferenţiale utilizează, în general, tehnicile statisticii inferenţiale pentru

analiza datelor prin prognoză, simulare, estimarea parametrilor, teste de concordanţă etc.

Analizând acum structura de „black-box” a unui model (Figura 2), identificăm

următoarele componente:

variabile endogene sau variabile de intrare, alcătuite din decizii (variabile

controlabile) şi parametri (variabile necontrolabile);

variabile exogene sau variabile de ieşire, constituite din performanţe sau consecinţe

ale procesului economic considerat.

Din clasificările anterioare, rezultă că un model de simulare a proceselor economice

este un model probabilist inferenţial.

Considerând acum factorul de timp, un model poate fi static (nu este influenţat de

timp) sau dinamic (evoluţia procesului economic modelat este variabilă în timp).

Din punct de vedere al datelor de intrare, modelele pot fi discrete ( au ca intrări date

cantitative discrete) sau continue (datele de intrare sunt date cantitative continue, de tip

interval). Rezultă din cele menţionate mai sus că modelele de simulare a proceselor

economice pot fi statice sau dinamice, discrete sau continue.

Consideraţiile ce urmează se vor referi la modelele de simulare statice, denumite şi

modele de simulare Monte Carlo.

Performanţe Decizii

(Controlabile)

Parametri

(Necontrolabili) Var

iabile

exog

ene

Model Consecinţe

Figura 2 – Structura „black-box” a unui model

MODELE DEDUCTIVE

MODELE

PROBABILISTE

MODELE

DETERMINISTE

Procesul de elaborare

modele

Modele

Modele

Modele

Modele

Modelarea deciziei (Projecţii ‘What If?’,

Optimizare)

Analiza datelor (Prognoză, Simulare

Analiză statistică,

Estimarea parametrilor)

Analiza datelor (Interogarea bazelor de date,

Evaluarea parametrilor)

MODELE INFERENŢIALE

Modelarea deciziei (Projecţii ‘What If?’, Analiza deciziei, Arbori de decizie,

Fire de aşteptare)

Figura 1 – Tipuri de modele

Var

iabile

end

ogene

TEMA 1: CONSIDERAŢII PRIVIND MODELAREA ŞI SIMULAREA PROCESELOR ECONOMICE

3

2. CONSTRUCŢIA MODELULUI DE SIMULARE

Etapele de construcţie a modelului de simulare ale unui proces economic sunt

următoarele (Figura 3):

1. Definirea modelului determinist al procesului economic;

2. Elaborarea modelului probabilist al procesului economic;

3. Realizarea simulării procesului economic;

4. Analiza statistică a rezultatelor simulării;

5. Analiza de senzitivitate;

6. Implementarea rezultatelor simulării.

2.1 Definirea modelului determinist al procesului economic

Această etapă iniţială a construcţiei a modelului de simulare constă în determinarea

modelului determinist, respectiv modelul de analiză cantitativă a procesului economic, şi

stabilirea următoarelor elemente:

variabilele de intrare controlabile sau variabilele de decizie determinate;

variabilele de intrare necontrolabile sau variabilele aleatoare;

variabila de ieşire sau variabila finală;

relaţia funcţională dintre variabilele definite în modelul determinist.

Definirea modelului

determinist

Figura 3 – Etapele de realizare a modelului de

simulare a unui proces economic

Elaborarea

modelului

probabilist

Analiza rezultatelor

simulării

Realizarea

simulării

Analiza de

senzitivitate

Implementarea

rezultatelor

simulării


4

Notând cu k,...,, 21 variabilele controlabile şi cu nkk x,...,x,x 21 variabilele

aleatoare, atunci considerând variabila finală yf, definim relaţia funcţională a modelului

determinist:

nkkk x,...,x,x,,...,,Fyf 2121 (1)

Ataşând variabilelor definite valorile lor nominale, obţinem într-o organizare

matriceală a datelor (necesară pentru utilizarea programelor de calcul tabela pentru construcţia

modelului de simulare) următoarea formă a modelului determinist:

vfv,...,v,v,...,vFyf

vx

vx

v

v

MD

nkk

nn

kk

kk

11

11

11

(2)

În modelele deterministe se poate aplica aşa-numita analiză „what-if”, în care pot fi

considerate mai multe scenarii, de tipul „optimist” sau cea mai favorabilă situaţie, „pesimist”

pentru cea mai nefavorabilă situaţie şi „realist”, respectiv situaţia considerată ca fiind cel mai

probabil să apară. Atunci considerând pentru variabilele controlabile kii 1 , , aceeaşi

valoare vi în fiecare din cele trei scenarii, iar pentru variabilele aleatoare

njk,vx optjoptj 1 pentru cazul „optimist”, jrealj vx pentru cazul „realist” şi

pesjpesj vx pentru cazul „pesimist”, obţinem modelul de analiză determinist:

pespes

pesnpesn

real

nrealn

optopt

optnoptn

peskpeskkrealkoptkoptk

kkkkkk

ORP

vfyf

vx

vfyf

vx

vfyf

vx

vxvxvx

v

v

v

v

v

v

MD

111111

111111

(3)

2.2 Elaborarea modelului probabilist al procesului economic

Pe baza datelor disponibile în modelul determinist, în această etapă va trebui să ataşăm

fiecărei variabile aleatoare a modelului distribuţia de probabilitate corespunzătoare.


5

Dacă dispunem de date statistice istorice („past data”) referitoare la variabilele

aleatoare, vom folosi acele date pentru inferenţa asupra modelului statistic teoretic şi

parametrii distribuţiei de probabilitate ataşate fiecărei variabile aleatoare. În caz contrar, când

datele trecute nu sunt disponibile, vom utiliza datele din scenariile modelului determinist,

respectiv datele din matricea MDORP (Optimist-Realist-Pesimist) pentru a stabili distribuţia de

probabilitate şi parametrii statistici pentru aceste variabile aleatoare.

Cea mai uzuală metodă este utilizarea distribuţiei triunghiulare, în care de exemplu,

pentru variabila aleatoare xj vom nota cu pesjoptjj v;vmina , valoarea minimă, cu jj vm

valoarea cea mai probabilă şi cu pesjoptjj v;vmaxb valoarea maximă.

Obţinem astfel pentru fiecare din variabilele aleatoare xj distribuţia de probabilitate

jjjjjjj b,m,a;,,xD , unde j şi j sunt respectiv media şi abaterea standard ale distribuţiei

de probabilitate.

Rezultă modelul probabilist de forma:

nnnnnnn

kkkkkkk

maxmax

n

nom

n

minmin

n

kkk

kkkkkk

b,m,a;,,xD

b,m,a;,,xD

vfyf

b

vfyf

m

vfyf

a

bma

v

v

v

v

v

v

MP

1111111111

111111

(4)

2.3 Realizarea simulării procesului economic

Realizarea simulării procesului economic reprezintă etapa în care, utilizând modelul

de simulare probabilist, sunt aplicate tehnicile de generare a variabilelor aleatoare cu

parametrii stabiliţi anterior.

În această etapă se generează mai întâi câte un vector de 1010 p,q p , valori din

fiecare variabilă aleatoare jk,b,m,a;,,xDx jjjjjjjj 1 .

În continuare se determină, pentru fiecare set de variabile xj aleatoare generate valorile

finale j,nj,kkj v,...,v,v...,vFvf 11 .

Într-o structură matriceală, transpunând vectorii variabilelor aleatoare generate,

obţinem matricea valorilor finale:

qq,n

,n

,n

q,kk

,kk

,kk

vfv...

.........

vfv...

vfv...

vv...v

............

vv...v

vv...v

VF22

11

11

211

111

(5)


6

2.4 Analiza statistică a rezultatelor simulării

Analiza rezultatelor simulării constă în analiza statistică a variabilei finale yf pentru

care s-au obţinut vectorul valorile simulate de forma:

qvf,...,vf,vf 21 .

Pentru analiza statistică a variabilei finale ca urmare a realizării simulării, se utilizează

următoarele metode grafice sau analitice:

histograma frecvenţei relative, pentru determinarea „modelului empiric” al

distribuţiei datelor simulate;

distribuţia frecvenţei relative cumulate (ogiva), pentru determinarea grafică a

probabilităţilor de realizare a unor valori particulare ale variabilei finale;

diagrama „box-plot”, pentru identificarea unor eventuale valori extreme;

statistici descriptive, constând în determinarea analitică a măsurilor numerice ale

tendinţei centrale, ale variaţiei, ale poziţiei relative şi ale formei.

2.5 Analiza de senzitivitate

Analiza de senzitivitate este o metodă care are drept scop evaluarea modului în care

variabila de ieşire a modelului este influenţată de variaţia variabilelor de intrare.

„Sensibilitatea” sau reacţia modelului la diferite nivele de variabilitate ale variabilelor

de intrare este pusă în evidenţă, de obicei, prin două metode grafice, respectiv:

diagrama „spider”;

diagrama „tornado”

Pentru diagrama „spider” sau diagrama „păianjen” se consideră, mai întâi, variaţia

valorilor fiecărei variabile aleatoare xi cu o anumită raţie , în minus şi în plus faţă de valorile

nominale, variaţie care poate fi exprimată şi procentual. Rezultă matricea variaţiei valorilor de

intrare, de forma:

nnn

kkk

kkk

n

k

k

nnn

kkk

kkk

vlvl...v

............

vlvl...v

vlvl...v

v

...

v

v

v...vlvl

............

v...vlvl

v...vlvl

VI

1111

1111

1111

1111

1111

1111

222

111

2

1

222

111

(6)

În continuare se calculează matricea valorilor finale, în care pentru fiecare element vfij

se utilizează valorile variabilelor controlabile kv,...,v,v 21 şi valorile nominale ale variabilelor

aleatoare nkk vvv ,...,, 21 , cu excepţia valorii vij, care se ia din matricea VI . Se obţine matricea

valorilor finale de forma:

1111

1211212

1111111

1111

1211212

1111111

l;nl;n;n

l;kl;k;k

l;kl;k;k

;nl;nl;n

;kl;kl;k

;kl;kl;k

vfvf...vf

............

vfvf...vf

vfvf...vf

vf

...

vf

vf

vf...vfvf

............

vf...vfvf

vf...vfvf

VF (7)

unde elementul de pe linia i,j este notat:


7

,...,,i),v,...,v)il(,...,v,v,...,v(Fvf njkk)il(;j 210 1111 .

Diagrama „spider” se obţine reprezentând printr-un grafic liniar, valorile matricei VF.

În Figura 4 este reprezentată o diagramă „spider” în care %10 şi 5l . S-a obţinut astfel o

variaţie a valorilor variabilelor de intrare de %%,%,%,%, 1020304050 faţă de valorile

nominale (100%).

Analiza de senzitivitate - Diagrama "spider"

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

50% 60% 70% 80% 90% 100% 110% 120% 130% 140% 150%

V2

V1

V4

V3

Figura 4 – Diagrama „spider”

Din Figura 4 se observă că variabilele cu graficul crescător (V2 şi V1) au impact direct

(sau pozitiv) asupra variabilei finale a modelului, respectiv creşterea lor determină creşterea

valorii variabilei finale, în timp ce variabilele cu graficul descrescător (V4 şi V3) au impact

indirect (sau negativ) asupra variabilei finale a modelului, respectiv creşterea lor determină

descreşterea valorii variabilei finale, şi invers. Se observă în acelaşi timp impactul direct mai

mare al variabilei V1 şi impactul indirect mai accentuat al variabilei V3.

Pentru diagrama „tornado” considerăm în matricea valorilor iniţiale valorile minime

aj, valorile probabile mj şi valorile maxime bj din modelul determinist, rezultând:

nnnn

k

k

kk

kk

k

k

bvma

b

b

vm

vm

a

a

VI 2

1

22

11

2

1

(8)

Pentru elementele matricei finale, fiecare valoare vfij va fi calculată cu valorile

probabile sau nominale, înlocuind cu elementul corespunzător aj în prima coloană, adică:

)v,...,a,...,v,v,...,v(Fvf njkkj 111 .

Similar, pentru ultima coloană avem:

)v,...,b,...,v,v,...,v(Fvf njkkj 113 .


8

În matricea valorilor finale mai introducem trei coloane, în care inserăm amplitudinea

fiecărei variabile aleatoare xj, 13 jjj vfvfr , pătratul amplitudinii 2

jr şi ponderea procentuală

a variaţiei fiecărei variabile aleatoare pj(%), respectiv:

n

ki

iijjj (%)vfvfvfvf(%)p1

2

13

2

13 100

.

Rezultă matricea valorilor finale:

(%)p

...

(%)p

(%)p

r

...

r

r

r

...

r

r

vfvfvfvf

vf

vf

vfvf

vfvf

vf

vf

VF

n

k

k

n

k

k

n

k

k

,nn,n

,k

,k

,k

,k

,k

,k

2

1

2

2

2

2

1

2

1

31

32

31

22

21

12

11

(10)

În continuare, pentru construcţia diagramei „tornado” vom ordona descrescător

valorile matricei finale VF, în funcţie de coloana a patra a amplitudinilor. Obţinem matricea

valorilor finale ordonate de forma:

(%)p

...

(%)p

(%)p

r

...

r

r

r

...

r

r

vfvfvfvf

vf

vf

vfvf

vfvf

vf

vf

VF

)n(

)k(

)k(

)n(

)k(

)k(

)n(

)k(

)k(

),n()n(),n(

),k(

),k(

),k(

),k(

),k(

),k(

ord

2

1

2

2

2

2

1

2

1

31

32

31

22

21

12

11

(11)

Diagrama ”tornado” pentru amplitudine se construieşte utilizând datele din prima şi a

treia coloană a matricei VFord. În Figura 5 este reprezentată o diagramă „tornado” pentru

amplitudine. Ea ne arată variabilele cu cea mai mare influenţă în variabilitatea modelului

(variabilele V3 şi V2). De obicei, un număr mic de variabile au o influenţă mare în

variabilitate, de unde forma de „tornadă” a diagramei.

Analiza de senzitivitate - Diagrama "tornado" - Amplitudine

20000

5000

13000

8000

0

15000

7000

12000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000

V3

V2

V4

V1

Figura 5 – Diagrama „tornado” pentru amplitudine


9

Se poate construi şi o diagramă „semi-tornado” în care se reprezintă ponderile de

variaţie din ultima coloană a matricei VFord (Figura 6).

Analiza de senzitivitate - Diagrama "tornado" - Variaţie

72.46%

18.12%

6.52%

2.90%

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

V3

V2

V4

V1

Figura 6 – Diagrama „tornado” pentru variaţie

2.6 Implementarea rezultatelor simulării

Rezultatele obţinute prin simulare trebuie să stea la baza deciziilor de management, ca

urmare a analizei statistice a datelor simulate şi a analizei de senzitivitate privind impactul

variabilelor asupra modelului procesului economic.

Avantajul modelelor de simulare faţă de modelele deterministe constă tocmai din

„combinarea” unui mare număr de valori ale variabilelor modelului, furnizând informaţii şi

domenii de valori pe care analizele de tip „what-if” nu pot să le furnizeze.

3. CONCLUZII

Lucrarea de faţă şi-a propus structurarea şi sistematizarea etapelor de realizare a

simulării proceselor economice. Abordarea matriceală pe care am propus-o are drept scop

facilitarea utilizării programelor de calcul tabelar, care dispun de funcţiile statistice necesare

pentru generarea variabilelor aleatoare specifice şi construcţia modelelor de simulare.

Pe plan mondial, în condiţiile în care criza economică mondială devine din ce în ce

mai acută, rafinarea modelelor de decizie asupra proceselor economice analizate constituie o

necesitate evidentă. În acest context, modelele de analiză economico-financiară şi deciziile ce

trebuie adoptate vor trebui să ţină cont şi de variabilitatea fenomenelor economice analizate,

variabilitate pe care modelele de simulare o pot integra cel mai bine.

Încorporarea în modelele de analiză economică a elementelor de incertitudine şi de

risc, mai ales în condiţiile actualei crize economice, permite realizarea unor modele de

simulare care să vină în sprijinul adoptării unor decizii optime de management economico-

financiar.


10

BIBLIOGRAFIE

1. Bârsan-Pipu, N., Popescu, I. (2003). Managementul riscului. Concepte, metode, aplicaţii.

Editura Universităţii „Transilvania”, Braşov.

2. Bârsan-Pipu, N. (2009). Consideraţii privind modelele de simulare a proceselor

economice. Buletinul Ştiinţific al UCDC Braşov, nr. 10/2009, pag. 76-85

3. Văduva, I. Modele de simulare cu calculatorul. Editura Tehnică, 1977.

4. Leemis, L., Park. S. Discrete-event simulation: A first course. The College of William &

Mary, Williamsburg, VA, USA, 2005.

5. Perros, H. Computer Simulation Techniques. NC State University, Raleigh, NC., USA,

2008.

6. Ragsdale, C. Spreadsheet Modeling and Decision Analysis, Cengage South-Western ,

2007

7. Hillier, F. The Art of Modeling with Spreadsheets. McGrawHill 2008

8. Monte Carlo Simulation in Excel: A Practical Guide. For Science, Engineering, and

Financial Risk Analysis. http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/

9. Simulation Model – Introduction. http://www.solver.com/simulation/simulation-

model.htm

http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/

http://www.solver.com/simulation/simulation-model.htm

http://www.solver.com/simulation/simulation-model.htm

consideraŢii privind modelarea Şi simularea … 1... · cercul ŞtiinŢific modelarea...

Documents