1

Consecine ale teoremei lui Lagrange

1. Prima consecin (funcii cu derivata nul) Dac o funcie are derivata nul pe un interval, atunci ea este constant pe acest interval.

Demostratie: Fie :f I o funcie derivabil n punctele din interiorul lui I i continu pe I, I interval i Ea fixat. Dac x I este arbitrar, atunci conform teoremei lui Lagrange aplicat funciei f pe intervalul [a,x] sau [x,a] exist un punct ),( xac sau ),( axc astfel nct ( ) ( ) ( )lf x f a f c

x a

.

Cum ( ) 0 ,l f x f af c x I , , ceea ce arat c f este constant pe I. Observatie! Pentru determinarea constantei se alege o valoare convenabil 0x din interval pentru care 0f x are o form ct mai simpl.

Exeeciiu 1: Artai c 2arcsin 1 arccos , 1,0x x x Fie 2: 1,0 , arcsin 1 arccosf f x x x

2 2

2 22

2 2 2

1 1arcsin 1 arccos 111 1

1 1 0 , 1,0 , 1,01 1

l ll

x

f x x x xxx

x x f x k xx x x

Pentru 1 1 3 1arcsin arccos2 2 2 2 3 3

x f

i evident

1 0f f deci 2arcsin 1 arccos , 1,0k x x x

2. A doua consecin (funcii cu derivate egale)

Dac dou funcii au derivatele egale pe un interval, atunci ele difer printr-o constant pe acel interval.

Demonstratie: Fie , :f g I derivabile pe interiorul lui I i continue pe I, I fiind interval, cu

( ) ( ),f x g x x I . Aceast condiie scris sub forma ( )( ) 0,f x Ig x arat c se poate aplica consecina 1. Deci exist o constant k astfel nct ( ) ( ) ,f x g x k Ix , altfel spus cele dou funcii difer printr-o constant pe intervalul I

2

Exerciiu 2: Determinai funcia derivabil :f cu proprietile

2 3 50 1

lf x x xf

Fie 3 21 3: , 53 2

g g x x x x

2 3 5l l lg x x x g x f x funciile difer printr-o constant f x g x k

Lum 1 0

0 0 0 1x f g k k

deci 3 21 3 5 13 2

f x x x x

3. A treia consecin (monotonia funciei pe un interval)

Fie :f I , I interval, o functie derivabil. 1) ( ) 0,lf f x Ix 2) ( ) 0,lf s f x x I 3) ( ) 0,lf f x Ix 4) ( ) 0,lf s f x x I

Demonstratie: Fie 1 2 1 2, ;Ix x x x si ( ) 0,f x x I . Aplicnd teorema lui Lagrange pe intervalul 1 2, ,x x

exist ),( 21 xxc astfel nct 2 1 1 22 1

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )lf x f x f c f x f xx x

deci funcia este cresctoare

pe I. Observatie!

Exist funcii astfel nct ( ) 0,f x x I , dar f este strict cresctoare pe I , exemplul uzual fiind cel al funciei putere 3: , ( )f f x x .

2( ) 3 0,lf x x x , dar f strict cresctoare. Reinem:

Funcia f este strict cresctoare dac ( ) 0,f x x I i mulimea punctelor n care derivata se anuleaz nu include nici un interval . Analog dac funcia f este strict descresctoare.

Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei funcii derivabile procedm astfel

- se calculeaz derivata funciei f - se rezolv ecuaia ( ) 0,lf x x I - se determin intervalele in care f` pstreaz acelai semn - se ine seama de consecina 3 i se stabilesc intervalele de monotonie

Observatie! Utiliznd monotonia unei funcii, putem stabili punctele de minim sau maxim local . Ele se gsesc printre punctele critice( soluiile ecuaiei ( ) 0,f x x I ) sau printre punctele de ntoarcece , unghiulare.

3

Exerciiu 3: Se consider funcia 2: 0, , ( ) 18 lnf f x x x . S se determine intervalele de monotonie ale funciei f.

21 36 1( ) 36 xf x xx x

2 1( ) 0 36 1 0 (0, )6

f x x x

Tabelul de variaie al funciei este:

Din tabelul de variaie avem 1min6

f f

, f pe 10,6

i f pe 1 ,6

A patra consecin (derivata unei funcii ntr-un punct)

Fie :f I , I interval si 0x I . Dac: 1) f este continu in 0x ;

2) f este derivabil pe 0\I x ; 3)

0

lim ( )lx x

f x l

atunci f are derivat in 0x i 0lf x l .

Exerciiu 4: S se determine domeniul de derivabilitate al funciei

2

3

4 3: 2, , arccos xg g xx

22 23 3 42 22 6 2

3 6

3

3 44 3 1 4 3 1arccos4 3 4 31

l ll

xx xg xx x xx x x

x x

x

243 2 3 2

3 4

4 3 4 3

x

xx x x x

2

2 2

3 4

1 4 4 1 4 4

3 2 2 3 , 2,1 1 2 2 1 1

x

x x x x x x x

x xx

x x x x x x x x

Evident g este continu n 2 i derivabil pe 2,

x 0 16

( )f x 0 + + + + +

( )f x 16

f

4

2 22 2

3 3lim lim21 1

l

x xx x

g x gx x x

este derivabil n 2

Deci domeniul de derivabilitate al funciei g este 2, .

Exerciiu 5: Se consider funcia 22: , arcsin

1xf f xx

. S se determine domeniul

de derivabilitate al funciei f i s se demonstreze c funcia f are dou puncte de extrem.

2 2

22 22 2 22 2

2 22

2

2 1 42 1 2 1arcsin1 1 12 1 41

1 1

1

l ll

x xx xf xx x xx x x

x x

x

2

2 22

2 1

1 1

x

x x

2

2

2 , , 1 1,1

2 , 1,11

xx

xx

Evident f este continu n 1 i derivabil pe \ 1

21 11 1

21 11 1

2lim lim 11

2lim lim 11

l

x xx x

l

x xx x

f xx

ff x

x

nu este derivabil n 1

21 11 1

21 11 1

2lim lim 11

2lim lim 11

l

x xx x

l

x xx x

f xx

ff x

x

nu este derivabil n 1 .

Deci domeniul de derivabilitate al funciei f este \ 1 .

1 1

0 02 2

min max

l

x

f x

f x

f f

Evident din tabelul de variaie obinem c funcia f are dou puncte de extrem(puncte unghiulare)