concursul de matematic˘a ”caius iacob”
TRANSCRIPT
Universitatea ”Aurel Vlaicu” din Arad
Facultatea de Stiinte Exacte
Concursul de Matematica
”Caius Iacob”
Sorin Nadaban
Codruta Stoica
Ioan Ucu CrisanGheorghe Cheta
Sorin Hoara
Arad
2010
Lista propunatorilor de probleme
Prof. Ovidiu Bodrogean, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradProf. Maria Borlea, Liceul Teoretic ”Adam Muller Guttenbrunn” AradProf. Maria Both, Grupul Scolar Industrial ”Iuliu Maniu” AradProf. Carmen Calinescu, Grupul Scolar de Industrie Alimentara AradProf. Mircea Cismas, Colegiul Economic AradProf. Ioan Ucu Crisan, Grupul Scolar de Industrie Alimentara AradProf. Elena Dehelean, Grupul Scolar Industrial ”Iuliu Maniu” AradProf. Sorin Dumitrica, Colegiul National ”Elena Ghiba Birta” AradProf. Mariana Lazar, Colegiul Economic AradProf. Doina Lorant, Grupul Scolar Industrial ”Iuliu Maniu” AradProf. Liliana Negrila, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradProf. Elena Serb, Grupul Scolar Industrial ”Iuliu Maniu” Arad
Comisia centrala a concursului
Conf. univ. dr. Sorin NadabanProf. univ. dr. Ghiocel MotProf. univ. dr. Mariana NagyProf. Doina ChetaLect. univ. dr. Andrea SandruLect. univ. dr. Codruta Stoica
Universitatea”Aurel Vlaicu” din Arad
Facultatea de Stiinte Exacte
Str. Elena Dragoi, nr. 2, Arad
www.uav.ro
Cuprins
DE CE ADMIR MATEMATICIENII? 5
LA CE FOLOSESTE MATEMATICA? 7
MATEMATICA IN SOCIETATEA BAZATAPE CUNOASTERE 9
ACADEMICIANUL CAIUS IACOB 13
MATEMATICA SI MATEMATICIENII 15
CONCURSUL DE MATEMATICA ”CAIUS IACOB”EDITIA I 17
Lista participantilor 19
Subiectele concursului 24
Solutii 28
Premii si mentiuni 37
Ecouri ın presa 39
CONCURSUL DE MATEMATICA ”CAIUS IACOB”EDITIA a II-a 41
Lista participantilor 43
Subiectele concursului 48
Solutii 52
Premii si mentiuni 66
FACULTATEA DE STIINTE EXACTE 69
Prezentare generala 71
Oferta educationala 75
Planuri de ınvatamant 76
4
DE CE ADMIR MATEMATICIENII?
”Se considera 2010 subgrupuri ale grupului aditiv al numerelor rationalea caror reuniune este egala cu Q. Sa se arate ca cel putin unul dintre ele esteegal cu multimea numerelor rationale.”
Ati ınteles ceva? Eu nu! Nu pot spune decat ca ımi suna ca de pe altaplaneta. Un mesaj misterios, abstract si rece, de sucit mintile, recuperat dinepava vreunui OZN. Poate ca este o parola stiuta, probabil, de altii dar nusi de mine si care ınseamna o posibila ”libera trecere” ın secolul al XXI-lea!
In realitate este o problema de matematica. Este una dintre problemele pecare profesorii de la Facultatea de Stiinte Exacte au ınscris-o drept solicitarespre rezolvare celor doua sute de elevi participanti la cea de-a doua editiea concursului de matematica ”Caius Iacob”. Doua sute de elevi din toatescolile aradene, obisnuiti cu astfel de abstractiuni, au ıncercat sa o rezolve.Nu stiu cati au rezolvat-o sau cati dintre ei s-au apropiat de final, dar prinfaptul ca au avut o asemenea oportunitate binemerita lauda mea.
I-am admirat ıntotdeauna pe matematicieni. Mi s-au parut niste ”baietisuper”, mai ales daca au mai luat si premii la concursuri. De ce admirmatematicienii? Dintr-un milion de motive. Pentru ca ei gasesc frumuseteaabordarilor abstracte iar mintea lor le este inundata de lumini ınalte carescapa ochiului comun.
Admir matematicienii pentru ca am descoperit ca pentru ei matematicapoate fi mai mult decat o profesie, ea poate fi un mod de a vedea lumea side a ıntelege viata. Matematica nu este doar stiinta, ea este ın egala masurasi arta. Am vazut matematicieni care admirau frumusetea unor teoreme,eleganta unor concepte si idei.
Multi considera ca poezia si muzica nu pot fi concurate ca surse desatisfactii spirituale. Nu este deloc adevarat. Matematica se afla alaturide ele, fiind capabila sa raspunda la ıntrebari dificile, deopotriva, ale mintiisi sufletului uman, dar, trebuie sa recunoastem, la ea, matematica, se ajungemai greu.
Acolo unde noi toti vedem o ”teorema”, matematicienii vad un ”specta-col”.
Iata de ce admir matematicienii.Un matematician seduce atat prin adevarurile si nebuniile lui cat si prin
retinere, atat prin simplitatea si claritatea unei expuneri cat si prin complex-itatea gandirii.
ADMIR MATEMATICIENII! Si precum se poate vedea, am scris sicu majuscule si cu bold. Asa, ıncat, BRAVO MATEMATICIENI!
Martie, 2010 Prof. univ. dr. Lizica MihutRector al Universitatii ”Aurel Vlaicu” din Arad
6
LA CE FOLOSESTE MATEMATICA?
Aceasta ıntrebare mi-a fost pusa de fiecare generatie de studenti. Tre-buie sa recunosc ca, la o astfel de ıntrebare, m-am gandit mai ıntai la functiautilitara a matematicii si ıncepeam sa le vorbesc despre multiplele aplicatiiale matematicii, ın diverse domenii, ıncepand cu stiintele exacte (informatica,fizica, chimie) si pana la cele ingineresti, economice sau umaniste. In acestcontext sunt de amintit contributiile a doi matematicieni romani de marca,Grigore Moisil si Solomon Marcus, la dezvoltarea informaticii teoretice si alingvisticii matematice. Prezenta matematicii ın economie nu mai trebuiedemonstrata pentru ca exemplele sunt multiple. Este binecunoscut si faptulca un numar considerabil de laureati ai Premiului Nobel ın economie sunt deprofesie matematicieni. Daca ne gandim la inginerie, atunci trebuie sa pre-cizam contributiile lui Caius Iacob ın domeniul mecanicii fluidelor. Faptul camatematica se foloseste astazi pretudindeni cred ca a devenit de necontestat.H.R. Patapievici spunea foarte frumos: ”cultura matematica este solul fertilde existenta al unei culturi de specialitate”.
In relatie stransa cu functia utilitara se afla functia cognitiva a mate-maticii. Relatia ıntre aceste doua functii este una cu adevarat interesanta.Pe de o parte, cea mai bogata sursa de sustinere a functiei utilitare a mate-maticii se afla ın avansul functiei sale de cunoastere, dar, pe de alta parte,matematica ısi extrage probleme de peste tot, cele mai interesante aspectefiind cele care apar la interfata matematicii cu restul lumii si care conducla dezvoltarea functiei cognitive a matematicii. Functia cognitiva este ınsamult mai importanta pentru ca asa cum spunea H.R. Patapievici ”nu valoareautilitara stabileste importanta cunoasterii, ci cunoasterea stabileste valoareautilitatii”.
Matematica mai are pe langa functia utilitara si functia cognitiva si altevalente importante, una dintre ele este rolul formativ al gandirii, matematicafiind o adevarata hrana pentru minte. Din pacate acest rol nu este pe deplinrecunoscut nici macar de cei care, prin profesie, au contact cu rolul utilitaral matematicii, reducandu-se astfel dramatic numarul orelor de matematica,
restrangand educatia matematica la functia ei utilitara, ınteleasa si ea doarca un ansamblu de procedee de operare. Viata cotidiana nu de formule arenevoie ci de deprinderi de gandire ın etape, pe care doar matematica le poatefurniza.
Dar cei ce slujesc matematica nu au ın vedere nici una din functiile enu-merate mai sus, pentru ei matematica fiind o sursa de satisfactii spirituale,matematicienii admirand frumusetea unor teoreme, eleganta unor concepte,simplitatea unor solutii. In 1830, Jacobi ıntr-o scrisoare catre Legendre, scrie:”Domnul Fourier crede ca scopul principal al matematicii este de a fi utilasi de a explica fenomenele naturale; dar un filosof ca el ar trebui sa stie cascopul unic al stiintei este onoarea spiritului uman”. Matematicianul cautafrumusetea nu utilitatea. Nu putem dezbraca matematica de toate ideile siconceptele atat de frumoase si sa o reducem la rolul utilitar. Daca facemacest lucru, atunci nu avem de ce sa ne mai miram de reactia de respingerefata de matematica pe care o au multi elevi. Daca reducem matematica larolul ei utilitar, atunci transformam matematica ıntr-un instrument. Chiardaca spunem frumos ”instrument matematic” nu este decat un ciocan! Undemai este atunci frumusetea ei? ”Matematica trebuie sa ramana ca muzica,sa fie cultivata pentru propria ei placere” (Solomon Marcus).
Martie, 2010 Conf. univ. dr. Sorin NadabanDecan al Facultatii de Stiinte Exacte
8
MATEMATICA IN SOCIETATEA BAZATA
PE CUNOASTERE
Este ındeobste cunoscut ca matematica s-a constituit si s-a dezvoltat castiinta ın pas cu evolutia societatii umane, contribuind la realizarea progre-sului acesteia si la ımbunatatirea calitatii vietii.
Numerele si multimile de numere constituie, dupa cum este unanim ac-ceptat, baza structurala a matematicii. Preferam, ın locul unei definitii”filosofice” a matematicii, ilustrarea devenirii acesteia prin niste secvente,care au facut obiectul unor descoperiri ale oamenilor, constituindu-se apoiın notiuni si concepte ale stiintei matematice. Interconexiunea acestora,evidentiata ulterior probeaza rolul dublu al matematicii de sprijinire a pro-ducerii de bunuri pentru cresterea calitatii vietii, pe de o parte, si de stiintacu o dezvoltare interna, intrinseca, pe de alta parte. In cea de a doua posturase cuvine sa accentuam permanentul ei dialog cu celelalte stiinte ale naturii,pamantului, vietii si societatii.
Secventa la care ne vom referi consta din urmatoarele numere: π, -1, i, e.Aparitia numarului π a fost determinata de desele masurari ale suprafetelor
de pamant anual inundate de apele Nilului si de nevoia calculului ariilor aces-tora, necesar si pentru culegerea de impozite. Constanta raportului dintrelungimea unui cerc si diametrul sau, dedusa ıntai empiric si, cam peste o miede ani, demonstrata de geometrul (nu medicul!) Hipocrate avea sa conducala numarul π.
Numarul -1 si numerele negative apar cu peste 1500 de ani ın urma ın In-dia, din ratiuni de evidente de tip contabil, legate de tranzactiile comerciale.Era desavarsita astfel prima multime numerica cu structura de grup.
Fara a se banui rolul practic si teoretic cu totul deosebit ce avea sa-ljoace ulterior numarul i, acesta apare ın mod firesc pe linia aprofundariicunostintelor despre numere, preluate de la indieni de catre arabi si apoiperfectionate de ”mesterii” italieni ın timpul Renasterii, ale caror formulecomplicate de rezolvare a ecuatiilor algebrice nu puteau scapa de anumiteparadoxuri fara acceptarea faptului ca
√−1 este tot un numar.
Numarul e apare ıntr-un proces care a durat de prin secolul XVI panaprin secolul XVII, cand, pentru marina britanica, se cauta un numar maipotrivit pentru baza ın care sa se calculeze mai rapid tabelele de logaritmi,atat de necesare pentru stabilirea pozitiei navelor. Cine avea sa-si imaginezela vremea aceea ca acest numar, intuit ıntai de Napier ın secolul XVII, aveasa fie, de fapt, unul irational si, ın plus, tocmai limita sirului (1 + 1
n)n, care
astazi intra in cultura matematica obligatorie a oricarui absolvent de liceu?Este de prisos sa mai amintim, aici si acum, rolul extraordinar jucat de
aceste numere ın Geometria, Algebra si Analiza ultimelor doua, trei secole.Sa reamintim doar ca, la un secol dupa aparitia ın stiinta a ultimului dintreaceste patru numere avea sa se descopere spledida relatie dintre ele: eiπ = −1.
Nu cumva aceasta relatie era pre-existenta? Nu cumva ıntreaga mate-matica tine de creatia divina si, noi, oamenii avem acces la diverse parti aleei - ca si ın cazul secventei descrise anterior cu apoteoza ei de o neasteptataperfectiune - doar atunci cand se cuvine?
De aceea este – poate – mai corect sa spunem ca notiunile si conceptelematematice nu se ”inventeaza” ci se ”descopera”.
Ca domeniu de stiinta, matematica a cunoscut o ımbogatire succesiva de-terminata pe de o parte, prin solutionarea unor probleme ridicate de practicasi apoi de alte stiinte, (mentalitate care a dominat dezvoltarea matematiciide la Aristotel pana prin secolul al XIX-lea la aparitia geometriei neeuclidi-ene), iar pe de alta parte din nevoia de desavarsire a arhitecturii sale internebazata pe logica si axiomatica.
Demn de remarcat este faptul ca multe descoperiri matematice de un ınaltgrad de abstractie rezultate din dezvoltarea ei interna, au contribuit decisivla rezolvarea unor probleme tehnice dificile ridicate de practica economicasi sociala, precum si de celelalte domenii de stiinta precum fizica, chimia,geografia, biologia etc.
Se poate spune ca dezvoltarea extensiva a stiintei actuale, s-a realizatprintr-o permanenta interferenta si colaborare a tuturor domeniilor stiintifice,de la cele ale stiintelor exacte si tehnice pana la cele economice, sociologicesi chiar umaniste.
In cadrul acestor interferente matematica sub diferite forme apare, poate,cel mai frecvent.
Este astfel de netagaduit necesitatea unei educatii matematice solide siadecvate pentru toate ciclurile de ınvatamant din scoli si facultati. Sa nuuitam ca matematica scolara a constituit ıntotdeauna nu numai o baza pen-tru studiile de mai tarziu ın mai toate specializarile universitare, dar si un
10
indispensabil instrument pedagogic pentru formarea unei gandiri structurate,a unor deprinderi de munca ordonata, a capacitatii de adaptare la situatiinoi si a utilizarii unui limbaj logic si clar ın comunicarea sociala.
In ceea ce priveste studiul disciplinelor matematice ın ınvatamantul su-perior, acestea sunt importante nu doar ca discipline de baza pentru funda-mentarea domeniilor de stiinta aferente multor specializari universitare, ci sipentru a oferi o expertiza strict necesara utilizarii noilor progrese stiintificesi, cu atat mai mult, spre a pregati absolventi pentru o cercetare stiintificade performanta.
Modul ın care privim astazi ın societate atat educatia prin matematica,cat si - mai ales - educatia matematica generala (pentru profesarea uneimeserii la nivelul de baza) si instructia matematica (pentru exercitarea uneiprofesii la nivel/ nivel ridicat de performanta) prezinta o importanta de-osebita.
De aceea, cred ca sunt necesare demersuri stiintifice si metodologice, caresa antreneze grupuri largi de interesati, cuprinzand studenti, elevi, profesoriilor, precum si alti specialisti, dintre care mentionez:
• constientizarea cat mai multor membri ai societatii ın legatura cu rolulsi locul matematicii ın educatia de baza, ın instructie si ın descoperir-ile stiintifice menite sa ımbunatateasca calitatea vietii, inclusiv popu-larizarea unor mari descoperiri tehnice, si nu numai, ın care matematicacea mai avansata a jucat un rol hotarator;
• identificarea a noi motivatii mai mobilizatoare pentru ınvatarea si studiulmatematicii la nivelele de baza si la nivel de performanta;
• stimularea creativitatii si formarea la viitorii cercetatori matematicienia unei atitudini deschise fata de ınsusirea aspectelor specifice din altestiinte, ın scopul participarii cu succes ın echipe mixte de cercetare saua abordarii unor cercetari inter - si multi - disciplinare;
• identificarea unor forme de pregatire adecvata de matematica pen-tru viitorii cercetatori din alte domenii, ın scopul utilizarii la nivel deperformanta a aparatului matematic ın propriile cercetari.
Asa cum am mai mentionat, progresul societatii este strans legat de acu-mularea si perfectionarea cunostintelor oamenilor, sistematizate ın domeni-ile de stiinta. Dezvoltarea a tot mai multe domenii de stiinta este deci-siv determinata de procesul de matematizare a cunoasterii. Reluand, nu
11
ıntamplator, una din afirmatiile marelui filosof german Emanuel Kant, repu-tatul psiholog Nicolae Margineanu spunea: ”Judecarea gradului de dezvoltarea unei stiinte dupa treapta ei de matematizare este, desigur, ındreptatita, iarrezultatele obtinute pe aceasta cale sunt prea eficiente pentru a putea fi con-testate”. Tot el mentioneaza ca: ”Avem atata stiinta cata matematica putemintroduce ın ea”. Astfel de pozitii, care nu sunt deloc singulare constituietot atatea argumente ın sprijinul acordarii unei atentii aparte matematizariicunoasterii, ın stransa conexiune cu modul ın care trebuie abordata pon-derea cunostiintelor matematice ın economia programelor universitare. Pro-cesul de matematizare a cunoasterii, este prezent fara ındoiala ın domeniile:informatica, fizica, chimie, inginerie, biologie, geologie, geografie, economie,sociologie, psihologie, filosofie; iar discipline ca: logica matematica, statistica,biomatematica, matematici economice, fizica matematica, lingvistica, teorieliterara, antropologie, care utilizeaza aparatul matematic ın mod traditionalsau nu, fac parte astazi din majoritatea domeniilor enumerate.
Tinand cont de ıntreaga argumentare de mai sus, privind rolul cunostinte-lor si pregatirii matematice ın societatea bazata pe cunoastere este justificatapelul meu catre toti participantii la Concursul de Matematica purtand nu-mele reputatului Academician Caius Iacob, absolvent de marca al LiceuluiMoise Nicoara din Arad, sa continue studiul matematicii cu si mai mareasiduitate si daruire, rezultatele bune pe care le vor obtine, fiind garantia re-alizarii performantei ın studiile universitare si, ulterior, ın cercetarea stiintifi-ca, oricare ar fi specializarea asupra careia se vor decide.
Doresc sa mai adaug ın ıncheiere ca, ıntr-un astfel de demers, nu suntetisi nu veti fi singuri nici voi si nici profesorii vostri. Ministerul nostru deresort, MECTS, este angajat ımpreuna cu zece parteneri ın proiectul POS-DRU/56/1.2/S/32768, care are ca obiect crearea de competente performantesi practice pentru piata muncii, prin disciplinele de matematica si se adreseazaelevilor, studentilor si profesorilor lor. Informatii despre acest proiect se potobtine de pe pagina web www.edu.ro.
Martie, 2010 Prof. univ. dr. Dumitru Gaspar
12
ACADEMICIANUL CAIUS IACOB
Fiu de seama al Aradului, academicianul Caius Iacob a vazut luminazilei ın martie 1912. Studiile liceale, ıncepute la Liceul ”Moise Nicoara” dinArad si finalizate la Liceul ”Emil Gojdu” din Oradea, au fost ıncununateprin promovarea bacalaureatului, la nici 16 ani, cu cea mai mare medie petara.
Caius Iacob a urmat, ıntre anii 1928 si 1931, cursurile Facultatii de Stiinteale Universitatii din Bucuresti, obtinand, ınainte de ımplinirea varstei de 20ani, licenta ın matematici.
A obtinut o bursa de studii la Paris pentru specializarea ın mecanica flu-idelor. In 1935 sustine tezele de doctorat la Universitatea Sorbona din Paris,cu titlurile Sur la determination des fonctions harmoniques conjuguees parcertaines conditions aux limites. Applications a l’Hydrodinamique (Asupradeterminarii functiilor armonice conjugate prin conditii la limita. Aplicatiiın hidrodinamica) si Les probabilites en chaınes (Probabilitatile ın lant).
Reıntors ın tara, si-a dedicat viata ınvatamantului superior si cercetariistiintifice, parcurgand cu mult succes treptele universitare, ıncepand, ın anul1935, cu cea de asistent la Scoala Politehnica din Timisoara si terminand cucea de profesor la Facultatea de Matematica a Universitatii din Bucuresti.
Caius Iacob a adus contributii majore ın domeniile Mecanicii fluidelor siAnalizei matematice, punand ın valoare, prin numeroase studii, aplicabili-tatea matematicii ın diverse domenii practice. Din anul 1933 s-a preocupatın mod constant de influenta compresibilitatii aerului asupra avioanelor. Aınceput sa studieze aceasta chestiune aerodinamica ın cazul vitezelor marisubsonice, continuand, pana ın 1939, sa dezvolte teoria jeturilor la mari vitezesubsonice. Lucrarile sale atrag atentia, fiind citate de toti oamenii de stiintadin domeniu. Astfel, preocuparile sale stiintifice vizeaza ın special miscarileplane ale fluidelor incompresibile, miscarile la mari viteze subsonice si su-personice, solutiile aproximative ın dinamica gazelor, precum si problema lalimita din teoria potentialului.
De-a lungul vastei sale activitati de cercetare, concretizate ın publicarea a113 lucrari stiintifice si a 7 tratate, a fost recompensat cu numeroase premii.A fost laureat, printe altele, ın 1940, al prestigiosului ”Premiul de MecanicaHenri de Parville” acordat de Academia de Stiinte din Paris.
Cercetarile proprii de mecanica fluidelor si de aerodinamica, cu un de-osebit impact ın campul teoretic al stiintei dar si ın cel practic, le-a expus ıntratatul Introducere matematica ın Mecanica fluidelor, distins cu ”Premiulde Stat” pe anii 1951–1955.
In anul 1955 a fost ales membru corespondent al Academiei Romane,devenind, ıncepand cu anul 1963, membru titular. A fost presedintele Sectieide Stiinte Matematice a Academiei Romane din anul 1980 si pana la sfarsitulvietii sale ın anul 1992.
Prin stradaniile sale se constituie ın 1992 ”Institutul de Matematica Apli-cata” care astazi ıi poarta numele.
Considerat parintele Scolii Romanesti de Mecanica, academicianul CaiusIacob adresa tinerilor urmatoarele ındemnuri, care ısi pastreaza actualitatea.
Matematica se ınvata cu tenacitate si continuitate, zi de zi, dupa fiecarelectie, cu creionul ın mana, rezolvand exercitii si probleme, cautand a lamurifiecare amanunt. Dar ce perspectiva nebanuita ofera matematica celui care adepus efortul initial de a ıntelege si patrunde tainele acestei stiinte! Frumuse-tea si marea utilitate a matematicii o descoperi dupa ce ai ınvatat cu adevaratmatematica. Cine ınvata ın scoala matemtica, nu o va uita niciodata!
Martie, 2010 Lect. univ. dr. Codruta Stoica
14
MATEMATICA SI MATEMATICIENII
Citate despre matematica
Adevarul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul siacelasi.
Blaise PascalDumneavoastra doar nu sunteti matematician? Nu. Prin urmare, nici nu amce discuta. Eu discut numai cu acei care poseda metoda analizei matematice.
Anatole FranceIn fiecare stiinta este numai atata stiinta adevarata, cata matematica contine.
Immanuel KantMatematicienii seamana cu niste ındragostiti - este suficient sa fiti de acordcu cea mai simpla afirmatie a unui matematician, ca el va deduce din eao consecinta, cu care de asemenea, trebuie sa fiti de acord, iar din aceastaconsecinta - o alta.
FontenelleCu cat mai mult ınveti, cu atat mai mult stii. Cu cat mai mult stii, cu atatmai mult uiti. Daca mai mult uiti, mai putin stii. Iar daca mai putin stii,mai putin uiti. Dar daca mai putin uiti, mai mult stii. Atunci pentru ce saınveti?
Din folclorul savantilorInfinitul este locul unde se produce ceea ce nu se poate ıntampla.
Din raspunsul unui elevMatematica pura este stiinta ın care noi nu stim despre ce vorbim si nicidaca este adevarat ceea ce spunem.
Bertrand RussellMatematica reprezinta ın sine o colectie de rezultate, care pot fi aplicate laorice.
Bertrand RussellUsurinta matematicii se bazeaza pe posibilitatea constructiei sale logice, ınsadificultatea, de care se sperie multi, ın imposibilitatea expunerii ın alt mod.
Hugo Steinhaus
Daca nu as mai avea teoremele! Atunci as putea destul de usor sa gasescdemonstratiile.
Bernhard RiemannDac vorbesti cu un matematician, poti sa n-ai conceptie despre matematica.Dar numaidecat trebuie sa ai simtul umorului si recunoasterea nulitatii sale.
Kamil Dziewanowski
Despre matematicieni
1. Matematica este 50% formule, 50% dovada si 50% imaginatie2. Un matematician e un instrument prin care se transforma cafeaua ınteoreme3. Matematicienii batrani nu mor niciodata, pur si simplu ısi pierd din functii4. Matematicienii sunt ca francezii: orice le spui, ei vor traduce ın limba lor,si de aceea va ınseamna cu totul altceva5. Matematica e arta prin care dai aceleasi nume unor lucruri diferite6. Clasificarea problemelor din matematica drept liniare si nonliniare e ca sicum ai clasifica Universul ın banane si nonbanane7. Simbolurile algebrice sunt folosite atunci cand nu ai habar despre cevorbesti8. Filozofia este un joc cu obiective si fara reguli. Matematica este un joc cureguli si fara obiective9. Matematica este ca dragostea: o idee simpla care poate deveni foartecomplicata
Martie, 2010 Prof. univ. dr. Ghiocel MotProdecan al Facultatii de Stiinte Exacte
16
Concursul de Matematica”Caius Iacob”
Editia I
LISTA PARTICIPANTILOR
Clasa a XI-a Rationament Matematic
1. Bleotu Dragos Marius, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad2. Musca Simina, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad3. Calacean Adela, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad4. Vlad Adina Alexandra, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad5. Nicola Tudor, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad6. Sprintar Sergiu Adrian, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad7. Filip Laurian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad8. Brestin Sebastian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad9. Morut Razvan, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad10. Chiorean Bogdan, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad11. Mıtu Radu, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad
Clasa a XI-a Tehnica Matematica
1. Serban Crisan Alexandra, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad2. Todinca Alina Loredana, Grup Scolar Pancota3. Patrascoiu Andrei, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad4. Chismore Simona, Grup Scolar Pancota5. Paveloiu Alex, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad6. Rogoz Ralph Emil, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad7. Handra Bianca Andreea, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad8. Siladi Micu, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad9. Costin Roxana Florentina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad10. Posa Emanuel, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad11. Mot Bogdan Florin, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad12. Cinca Emanuel, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad13. Abrudan Andrei, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad14. Giurgiu Rares, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad15. Bonca Adelina, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad16. Ardelean Octavian Iosif, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad17. Rus Luminita Alina, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad18. Nedelcu Larisa, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad19. Blaga Razvan Cosmin, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
19
20. Roman Alina, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad21. Motorca Mihai, Grup Scolar Pancota22. Delorean Sebastian, Grup Scolar Pancota23. Nicola Stelian, Grup Scolar Pancota24. Ciui Benjamin, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad25. Badau Sorin Andrei, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad26. Baesu Mihai, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad27. Plev Alexandru, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad28. Fontu Naomi, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad29. Miszlai Denes Tivadar, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad30. Vonvea Adelina, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad31. Bumbasu Cristiana Madalina, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad32. Popescu Lidia Manuela, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad33. Craete Alexandru Ioan, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad34. Lazar Cosmin, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad35. Vlad Silvia, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad36. Golovescu Cristian Petru, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad37. Neag Ioana, Colegiul Economic Arad38. Barbatei Paul Adrian, Colegiul Economic Arad39. Laiu Razvan, Grup Scolar Nadlac40. Patean Calin, Grup Scolar Nadlac41. Albu Cosmin Cristian, Grup Scolar Nadlac42. Ghenghiu Sebastian, Grup Scolar Nadlac43. Zamfir Paul, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad44. Boltya Franceska, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad45. Neag Ancuta Daniela, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad46. Turlea Adela, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad47. Foda Lucian, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad48. Herman Mihai Alexandru, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad49. Rosu Alina, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad50. Puscas Lenuta, Grup Scolar Forestier Arad51. Enescu Andrei, Gr. Sc. de Transporturi auto ”H. Coanda” Arad52. Tigan Ioana Adelina, Colegiul Economic Arad53. Anghel Iulia, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad54. Handra Arselia, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad55. Boldizsar Radu, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad56. Zbırcea Oana, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad57. Puscas Claudiu Alexandru, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad
20
58. Rebedea Cezarina Csilla, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad59. Chifor Ana Iulia, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad60. Caus Amalia Cristina, Grup Scolar Forestier Arad61. Bocanet Alexandra, Grup Scolar Forestier Arad62. Gyorffi Ana Maria, Colegiul Economic Arad63. Cheveresan Ionela Carmen, Colegiul Economic Arad64. Gavrila Aura Liana, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad65. Stefanut Ioana Cristina, Colegiul Economic Arad66. Incicau Ioana, Colegiul Economic Arad67. Drienovsky Mihai, Grup Scolar Nadlac68. Gros Norbert Gabriel, Grup Scolar Nadlac69. Avram Ionel Florin, Colegiul Economic Arad70. Pecican Florina Raluca, Colegiul Economic Arad71. Freisinger Ingrid, Colegiul Economic Arad
Clasa a XII-a Rationament Matematic
1. Baltean Lugojan Radu, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad2. Frent Ligia, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad3. Horin Alexandru Sever, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad4. Urban Mihaela, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad5. Todorovici Ioan, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad6. Gavra Ioana Alexandra, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad7. Butiu Andreea Georgiana, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad8. Indries Iuliana Ioana, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad9. Cimpoeru Florin Valentin, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad10. Tapelea Roxana, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad11. Onuta Andreea Lavinia, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad12. Stan Paula Alexandra, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad13. Ciobanu Radu, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad14. Bocsa Catalin Adrian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad15. Lupas Andra Lorena, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Clasa a XII-a Tehnica Matematica
1. Rob Vadim Mircea, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad2. Mihit Claudia, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad3. Petrisor Gheorghe Marian, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad
21
4. Ardelean Anisoara, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad5. Cosarba Andrei, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad6. Miclaus Stefania Sabrina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad7. Rus Andreea Emilia, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad8. Holocan Adelina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad9. Mladin Anca, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad10. Tudur Radu Dan, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad11. Tepes Onea Andrei, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad12. Cabulea Ilie Paul, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad13. Ristin Boban, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad14. Novanc Alexandru Petre, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad15. Cociuba Filip George, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad16. Deac Andreia Daniela, Grup Scolar Pancota17. Luca Roxana, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad18. Kopka Rozalia Izabela, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad19. Feher Adela Kriszta, Grup Scolar Pancota20. Botco Loredana Paula, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad21. Feier Raul, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad22. Bene Eniko, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad23. Leucuta Ian Bogdan, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad24. Vlad Ana, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad25. Asandei Marian Cristian, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad26. Miraute Florin, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad27. Vlad Ancuta, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad28. Petcoviciu Loredana, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad29. Jambor Paula, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad30. Torkos Tabitha Bernadet, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad31. Gica Daniel, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad32. Ionita Robert, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad33. Vacarescu Catalin Dan, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad34. Libert Ana Florentina, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad35. Anghelache Constantin Bogdan, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad36. Jora Roxana, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad37. Sari Alexandra, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad38. Rotaru Marga Madalina, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad39. Miculit Sergiu, Colegiul Economic Arad40. Ghenghiu Alina Marina, Colegiul Economic Arad41. Hanc Tabitha Roxana, Colegiul Economic Arad
22
42. Matei Ana, Colegiul Economic Arad43. Calenici Ana Maria, Grup Scolar de Industrie Alimentara Arad44. Bontas Anca, Colegiul Economic Arad45. Suba Damaris Georgiana, Liceul Teologic Baptist ”A. Popovici” Arad46. Klefasz Larisa, Colegiul Economic Arad47. Tosca Suzana Maria, Gr. Sc. Transp. Auto ”H. Coanda” Arad48. Covaci Stoitecu Raluca, Colegiul Economic Arad49. Pantea Raluca, Colegiul Economic Arad50. Faur Ionut Calin, Colegiul Economic Arad51. Bıclesanu Adrian Claudiu, Colegiul Economic Arad52. Pavel Silviu Viorel, Colegiul Economic Arad53. Dolog Gabriel, Colegiul Economic Arad54. Ilisie Lucian, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad55. Blaj Consuela Diana, Colegiul Economic Arad56. Branzea Ana Maria, Colegiul Economic Arad57. Vladoiu Marius, Gr. Sc. de Transporturi Auto ”H. Coanda” Arad58. Goldan Andreea, Gr. Sc. de Transporturi Auto ”H. Coanda” Arad59. Gaga Sergiu, Gr. Sc. de Transporturi Auto ”H. Coanda” Arad60. Mocuta Maria Alexandra, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad61. Iorga Patrik, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad62. Pako Maria Krisztina, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad63. Schiebel Angelina, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad64. Berar Radu Nicusor, Gr. Sc. Transp. Auto ”H. Coanda” Arad65. Szucz Norbert, Gr. Sc. Transp. Auto ”H. Coanda” Arad66. Toader Cristina, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad67. Popescu Sorina Ancuta, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad68. Abrudan Mirabela, Grup Scolar Ineu69. Reichardt Karina, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad70. Bırlutiu Oana Alexandra, Colegiul Economic Arad71. Boariu Roxana Alexandra, Colegiul Economic Arad72. Hanganut Iulia Emilia, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad73. Ciurdar Emanuel, Liceul Teologic Baptist ”A. Popovici” Arad
23
SUBIECTELE CONCURSULUI
CLASA a XI-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. Fie (xn)n≥1 si (yn)n≥1 doua siruri de numere reale strict pozitive, conver-gente la 0. Sa se calculeze
limn→∞
x2n · yn
x2n + xn · yn + 2y2
n
.
II. Fie sirul (an)n∈N, definit prin
an = {√
n2 + 5n + 9}+ {√
n2 + 9n + 18},
unde {a} noteaza partea fractionara a numarului real a. Sa se calculeze
limn→∞
an.
III. Un determinant ∆ de ordinul 3 are elementele de pe diagonala principalaegale cu 1
2, iar suma elementelor de pe fiecare linie si coloana egala cu 1. Sa
se arate ca ∆ > 0.
IV. (i) Fie A,B ∈ M2(R), B matrice nesingulara astfel ıncat
det(A2 + iB2
)= 0.
Aratati ca | detA |=| detB | .(ii) Fie A,B ∈ Mn(R) doua matrici cu proprietatea
5AB + A + B = 0.
Sa se arate ca AB = BA.
CLASA a XI-a - TEHNICA MATEMATICA
I. Fie matricea
A(x) =
1 x x + x2
0 1 2x0 0 1
∈ M3(R).
(i) Sa se demonstreze ca A(x) · A(y) = A(x + y), ∀x, y ∈ R;(ii) Sa se calculeze produsul A(1) · A(2) · ... · A(2009);(iii) Sa se determine [A(2)]n, n ∈ N, n ≥ 2.
II. Fie determinantul
∆ =
∣∣∣∣∣∣
a1 + a2 + a3 a4 + a5 + a6 a7 + a8 + a9
a10 + a11 + a12 a13 + a14 + a15 a16 + a17 + a18
a19 + a20 + a21 a22 + a23 + a24 a25 + a26 + a27
∣∣∣∣∣∣
Sa se calculeze determinantul ∆ daca numerele a1, a2, ..., a27 sunt(i) ın progresie aritmetica;(ii) ın progresie geometrica.
III. Sa se calculeze urmatoarele limite de functii(i)
limx→1
x2009 − 1
x2 − 1;
(ii)
limx→0, x>0
x ·[
1
x
],
unde [a] noteaza partea ıntreaga a numarului real a.
IV. Fie functia f : (0,∞) → (1,∞) cu proprietatile(a) exista lim
x→1f(x) = λ;
(b)2f(xy) = f 2(x) + f 2(y), ∀x, y ∈ (0,∞) \ {1}.
Se cere:(i) Demonstrati ca f(x2) ≥ f 2(x), ∀x ∈ (0,∞) \ {1};(ii) Aratati ca λ = 1;(iii) Determinati functiile cu proprietatile din enunt.
25
CLASA a XII-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. Fie (G, ·) un grup si x, y ∈ G.(i) Sa se arate ca (xyx−1)2009 = xy2009x−1;(ii) Sa se demonstreze ca daca (yxy−1)4 = e si xy = yx2 atunci x = e.
II. Fie M = (−1, 1) si legea de compozitie pe M definita prin
a ∗ b =a + b
1 + ab, ∀a, b ∈ M
(i) Sa se demonstreze ca
a ∗ b =(1 + a)(1 + b)− (1− a)(1− b)
(1 + a)(1 + b) + (1− a)(1− b), ∀a, b ∈ M.
(ii) Sa se arate ca legea de compozitie ∗ are element neutru.(iii) Sa se demonstreze ca pentru orice x1, x2, ..., xn ∈ M
x1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xn =(1 + x1)(1 + x2)...(1 + xn)− (1− x1)(1− x2)...(1− xn)
(1 + x1)(1 + x2)...(1 + xn) + (1− x1)(1− x2)...(1− xn).
(iv) Sa se calculeze1
2∗ 1
3∗ ... ∗ 1
2009.
III. Sa se calculeze∫
1
(x + 1)(x + 2)...(x + 2009)dx pentru x > 0.
IV. (i) Construiti doua functii f, g : R → R care nu admit primitive darfunctiile f + g si f · g admit primitive;
(ii) Sa se arate ca functia f : R→ R definita prin
f(x) =
{cos 1
x, daca x 6= 0
0, daca x = 0
este primitivabila;(iii) Dati exemplu de o functie f : R → R care admite primitive cu
proprietatea ca f 2 nu admite primitive.
26
CLASA a XII-a - TEHNICA MATEMATICA
I. Se considera legea de compozitie pe R
a ◦ b = a + b + a · b, ∀a, b ∈ R.
(i) Sa se demonstreze ca a ◦ b = (a + 1)(b + 1)− 1, ∀a, b ∈ R;(ii) Sa se arate ca legea de compozitie ◦ este asociativa;(iii) Daca f : R→ R, f(x) = x + 1, sa se demonstreze ca
f(a ◦ b) = f(a) · f(b), ∀a, b ∈ R;
(iv) Sa se calculeze
1 ◦ 1
2◦ 1
3◦ ... ◦ 1
2009.
II. Sa se arate ca multimea
M =
A | A =
x 0 x0 0 0x 0 x
, x ∈ R
,
ınzestrata cu operatiile de adunare si ınmultire a matricilor, constituie inelfara divizori ai lui zero si sa se rezolve ecuatia
(1 1 1
) · An ·
111
= (1), n ∈ N, n ≥ 2.
III. Sa se arate ca functia f : R→ R, unde
f(x) =
{ln x, daca x > 1
x2 − 3x + 2, daca x ≤ 1
admite primitiva si sa se determine o primitiva a sa.
IV. Fie a > 0 si n ∈ N∗. Sa se calculeze
I =
∫ a
−a
x2n ln(x +√
x2 + 1)dx.
27
SOLUTII
CLASA a XI-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. Scriem egalitatea
x2n · yn
x2n + xn · yn + 2y2
n
=yn
1 + yn
xn+ 2
(yn
xn
)2 ,
pentru xn 6= 0, yn 6= 0. Vom notayn
xn
= t. Fie f : R → R, definita prin
f(t) = 2t2 + t + 1. Cum f(t) ≥ f
(−1
4
)=
7
8, avem
|yn|f(t)
≤ 8
7|yn|.
Deoarece limn→∞
8
7yn = 0, rezulta ca limita cautata este 0.
II. Se scriu inegalitatile, ın vederea obtinerii partilor ıntregi
(n + 4)2 < n2 + 5n + 9 < (n + 3)2,
(n + 2)2 < n2 + 9n + 18 < (n + 5)2,
unde n ∈ N.Avem relatiile
{√
n2 + 5n + 9} =√
n2 + 5n + 9− (n + 2) =n + 5√
n2 + 5n + 9 + (n + 2)
{√
n2 + 9n + 18} =√
n2 + 9n + 18− (n + 4) =n + 2√
n2 + 9n + 18 + (n + 4)
Atuncilim
n→∞an =
= limn→∞
n + 5√n2 + 5n + 9 + n + 2
+ limn→∞
n + 2√n2 + 9n + 18 + n + 4
=1
2+
1
2= 1
28
III. Determinantul ∆ poate fi scris sub forma,
∆ =
∣∣∣∣∣∣
12
a 12− a
12− a 1
2a
a 12− a 1
2
∣∣∣∣∣∣, unde a ∈ R.
Rezulta, prin calcul, ∆ = 3a2 − 32a + 1
4> 0, ∀a ∈ R
IV. (i) Se considera trinomul T (x) = det(A2 + x · B2), cu coeficienti reali.Notam
A2 =
(a11 a12
a21 a22
), B2 =
(b11 b12
b21 b22
)
si obtinem
T (x) =
∣∣∣∣a11 + xb11 a12 + xb12
a21 + xb21 a22 + xb22
∣∣∣∣ = det B2 · x2 + αx + det A2,
unde α se determina prin calcul. Cum det B 6= 0, rezulta grad T = 2. DinT (i) = 0 deducem T (−i) = 0, de unde T (x) = kx2 + k. Deci
det A2 = det B2, adica | det A| = | det B|.
(ii) Avem
25AB + 5A + 5B + In = In (1)
din ipoteza. Relatia se poate scrie
(5A + In)(5B + In) = In,
de unde rezulta si(5B + In)(5A + In) = In.
Prin urmare25BA + 5A + 5B + In = In (2)
Din relatiile (1) si (2), am obtinut AB = BA.
29
CLASA a XI-a - TEHNICA MATEMATICA
I. (i)
A(x) · A(y) =
1 x x + x2
0 1 2x0 0 1
·
1 y y + y2
0 1 2y0 0 1
=
=
1 x + y x + y + (x + y)2
0 1 2(x + y)0 0 1
= A(x + y).
(ii) Prin inductie matematica se arata ca ∀x1, x2, ..., xn ∈ R, ∀n ∈ N,n ≥ 2,
A(x1) · A(x2) · ... · A(xn) = A(x1 + x2 + ... + xn).
Apoi
A(1) · A(2) · ... · A(2009) = A(1 + 2 + ... + 2009) = A
(2009 · 2010
2
)=
=
1 2009 · 1005 2009 · 1005 + (2009 · 1005)2
0 1 2009 · 20100 0 1
(iii) Vom scrie A(2) = I3 + B, unde
B =
0 2 60 0 40 0 0
.
Se obtine
B2 =
0 0 80 0 00 0 0
si B3 = O3.
Deci, Bn = O3, ∀n ≥ 3. Avem
[A(2)]n = (I3 + B)n = In3 + C1
nIn−13 B + ... + C2
nIn−23 B2 =
=
1 2n 4n2 + 2n0 1 4n0 0 1
= A(2n).
30
II. (i) Se determina prin calcul determinantul
∆ =
∣∣∣∣∣∣
3a1 + 3r 3a1 + 12r 3a1 + 21r3a1 + 30r 3a1 + 39r 3a1 + 48r3a1 + 57r 3a1 + 66r 3a1 + 75r
∣∣∣∣∣∣= 0 (C3 = 2C2 − C1),
unde r reprezinta ratia progresiei aritmetice.(ii) Se calculeaza determinantul
∆ =
∣∣∣∣∣∣
a31(1 + q + q2) a3
1q3(1 + q + q2) a3
1q6(1 + q + q2)
a31q
9(1 + q + q2) a31q
12(1 + q + q2) a31q
15(1 + q + q2)a3
1q18(1 + q + q2) a3
1q21(1 + q + q2) a3
1q24(1 + q + q2)
∣∣∣∣∣∣= 0 (L2 = q9L1),
unde q reprezinta ratia progresiei geometrice.
III. (i) Avem
limx→1
(x− 1)(x2008 + x2007 + ... + x + 1)
(x− 1)(x + 1)=
2009
2.
(ii) Avem inegalitatile
x ·[
1
x
]≤ 1 < x ·
[1
x
]+ x, ∀x ∈ R∗+.
Notam limx→0,x>0
x ·[
1
x
]= l, de unde, prin trecere la limita ın inegalitatea
dubla, se obtine l = 1.
IV. (i) Se obtine relatia f(xy) ≥ f(x) · f(y), ∀x, y ∈ (0,∞) \ {1}, de unde sededuce inegalitatea f(x2) ≥ f 2(x), ∀x ∈ (0,∞) \ {1}
(ii) Avem λ ≥ 1. Din relatia de la punctul (i), prin trecere la limita,rezulta λ ≥ λ2, de unde λ ≤ 1. Prin urmare, lim
x→1f(x) = 1.
c) Pentru x > 1 fixat si t arbitrar astfel ca t ∈ (1, x), se obtin relatiile
1
2
[f 2(x) + 1
]<
1
2
[f 2(x) + f 2
(t
x
)]= f(t).
Prin trecere la limita pentru t → 1, se obtine o contradictie si concluzia canu exista nici o functie cu aceste proprietati.
31
CLASA a XII-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. (i) Se arata ca, pentru m ∈ N∗, avem
(xyx−1)m = (xyx−1)(xyx−1)...(xyx−1) =
= xy[(xx−1)y(xx−1)y...(xx−1)y]yx−1 =
= xy(eyey...ey)yx−1 = xyym−2yx−1 = xymx−1,
de unde, pentru m = 2009, se obtine relatia dorita.(ii) Din (yxy−1)4 = e rezulta yx4y−1 = e, de unde x4y−1 = y−1 si x4 = e.
Scriem succesiv
xy2 = (xy)y = (yx2)y = (yx)(xy) = (yx)(yx2) =
= y(xy)x2 = y(yx2)x2 = y2e = y2,
de unde se obtine x = e.
II. (i) Membrul drept devine
1 + a + b + ab− (1− a− b + ab)
1 + a + b + ab + 1− a− b + ab)=
a + b
1 + ab.
(ii) Conditia a ∗ e = a implicaa + e
1 + ae= a, de unde a + e = a + a2e sau
e(1− a2) = 0. Deci, e = 0 ∈ M .(iii) Demonstram prin inductie matematica.Pentru n = 2 avem egalitatea de la punctul (i).Presupunem egalitatea adevarata pentru n si sa o demonstram pentru
n + 1. Vom notaA = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + xn) si
B = (1− x1)(1− x2)...(1− xn).
Calculandx1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xn ∗ xn+1
se obtine
A−B
A + B∗ xn+1 =
(1 + A−B
A+B
)(1 + xn+1)−
(1− A−B
A+B
)(1− xn+1)(
1 + A−BA+B
)(1 + xn+1) +
(1− A−B
A+B
)(1− xn+1)
=
=2A(1 + xn+1)− 2B(1− xn+1)
2A(1 + xn+1) + 2B(1− xn+1)0,
de unde se obtine relatia dorita si ıncheie demonstratia.
(iv) Fie xk =1
k, k ∈ {2, 3, ..., 2009}. Rezulta ca
(1 +
1
2
)·(
1 +1
3
)...
(1 +
1
2009
)=
3
2· 4
3· ... · 2010
2009= 1005 si
(1− 1
2
)·(
1− 1
3
)...
(1− 1
2009
)=
1
2· 2
3· ... · 2008
2009=
1
2009.
Se obtine, prin ınlocuirea rezultatelor anterioare ın relatia de la punctul (iii),
1
2∗ 1
3∗ ... ∗ 1
2009=
1005− 12009
1005 + 12009
.
III. Notam f(x) = (x + 1)(x + 2)...(x + n). Avem
1
(x + 1)(x + 2)...(x + n)=
A1
x + 1+
A2
x + 2+ ... +
An
x + n, x > 0,
unde A1, A2, ..., An ∈ R. Inmultind egalitatea cu x + 1, rezulta ca
1
(x + 1)(x + 2)...(x + n)= A1 + (x + 1)
(A2
x + 2+ ... +
An
x + n
).
Fie x = −1. Cum x + 1 = 0, rezulta ca
A1 =1
(−1 + 2)(−1 + 3)...(−1 + n).
Dar
[(x+1)(x+2)...(x+n)]′ = (x+2)(x+3)...(x+n)+...+(x+1)(x+2)...(x+n−1),
de unde A1 =1
f ′(−1). Analog, prin ınmultirea egalitatii initiale cu (x + k),
urmata de considerarea lui x = −k, rezulta Ak =1
f ′(−k), ∀k ∈ N∗.
33
Astfel, integrala cautata este data de
∫1
(x + 1)(x + 2)...(x + 2009)dx =
2009∑
k=1
Ak · ln(x + k) + c,
cu c constant si Ak =(−1)k−1
2009!· Ck
2009.
IV. (i)
f(x) =
{0, daca x ≤ 01, daca x > 0
g(x) =
{1, daca x ≤ 00, daca x > 0.
(ii) Consideram
G(x) =
{x2 sin 1
x, daca x 6= 0
0, daca x = 0.
Avem
G′(x) =
{2x sin 1
x− cos 1
x, daca x 6= 0
0, daca x = 0= h− f,
unde
h(x) =
{2x sin 1
x, daca x 6= 0
0, daca x = 0.
Cum h este continua, h admite primitive. Notam h = H ′. Atunci vom aveaf = H ′ −G′, de unde este evident ca f admite primitive.
(iii) Functia de la punctul (ii) verifica conditia de primivabilitate. Apoi
f 2(x) =
{cos2 1
x, daca x 6= 0
0, daca x = 0=
1
2
{cos 2
x, daca x 6= 0
0, daca x = 0+
{12, daca x 6= 0
0, daca x = 0,
primul termen fiind o functie care admite primitive, dar functia din al doileatermen nu admite primitive, neavand proprietatea lui Darboux.
34
CLASA a XII-a - TEHNICA MATEMATICA
I. (i) Prin calcul avem, ∀a, b ∈ R,
a ◦ b = a + b + a · b = b(a + 1) + (a + 1)− 1 = (a + 1)(b + 1)− 1.
(ii) Se scriu relatiile
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ b + c + (a ◦ b) · c = a + b + a · b + c + (a + b + a · b) · ca ◦ (b ◦ c) = a + b ◦ c + a · (b ◦ c) = a + b + c + b · c + a · (b + c + b · c),
de unde rezulta (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), ∀a, b, c ∈ R.(iii) Avem
f(a ◦ b) = a ◦ b + 1 = a + b + a · b + 1
f(a) · f(b) = (a + 1)(b + 1) = a · b + a + b + 1,
de undef(a ◦ b) = f(a) · f(b), ∀a, b ∈ R.
(iv) Prin inductie matematica se obtine
f(a1 ◦ a2 ◦ ... ◦ an) = f(a1) · f(a2) · ... · f(an), ∀n ≥ 1
saux1 ◦ x2 ◦ ... ◦ xn = (x1 + 1)(x2 + 1)...(xn + 1)− 1, ∀n ≥ 1.
Atunci
1 ◦ 1
2◦ 1
3◦ ... ◦ 1
2009= (1 + 1)
(1
2+ 1
)(1
3+ 1
)...
(1
2009+ 1
)− 1 =
= 2 · 3
2· 4
3· ... · 2010
2009− 1 = 2009.
II. Fie
A =
x 0 x0 0 0x 0 x
si B =
y 0 y0 0 0y 0 y
.
Avem
A + B =
x 0 x0 0 0x 0 x
+
y 0 y0 0 0y 0 y
=
x + y 0 x + y0 0 0
x + y 0 x + y
∈ M
35
A ·B =
x 0 x0 0 0x 0 x
·
y 0 y0 0 0y 0 y
=
2xy 0 2xy0 0 0
2xy 0 2xy
∈ M.
Se verifica axiomele inelului. Evident, inelul este fara divizori ai lui zero.Prin inductie matematica, se determina
An =
2n−1xn 0 2n−1xn
0 0 02n−1xn 0 2n−1xn
, n ≥ 2.
Ecuatia
(1 1 1
) · An ·
111
= (1)
devine
(1 1 1
) · 2n−1xn
1 0 10 0 01 0 1
·
111
= (1)
sau 2n+1xn = 1 cu solutia x = 12 n√2
.
III. Functia f este continua pe R \ {1}. In plus,
limx→1, x<1
f(x) = limx→1, x>1
f(x) = f(1) = 0,
deci f este continua si ın x0 = 1 si, prin urmare, admie primitive. Se obtinprimitive de forma
F (x) =
{x ln x− x + c1, daca x > 1
x3
3− 3x2
2+ 2x + c2, daca x ≤ 1
Din continuitatea functiei F ın punctul x = 1 se obtine c1 = 116
+ c si c2 = c,unde c ∈ R este o constanta oarecare.
IV. Se verifica faptul ca functia f = x2n ln(x +√
x2 + 1) este bine definita siimpara.
Aplicand formula de integrare prin parti se obtine
I =a2n+1
2n + 1ln
[(√a2 + 1
)2
− a2
]− 1
2n + 1
∫ a
−a
x2n+1
√x2 + 1
dx = 0.
36
PREMII SI MENTIUNI
Clasa a XI-a Rationament Matematic
Premiul I
Filip Laurian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al II-lea
Vlad Adina Alexandra, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al III-lea
Bleotu Dragos Marius, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Mentiuni
Calacean Adela, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradMıtu Radu, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad
Clasa a XI-a Tehnica Matematica
Premiul I
Serban Crisan Alexandra, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” AradPaveloiu Alex, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradRogoz Ralph Emil, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al II-lea
Posa Emanuel, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al III-lea
Patrascoiu Andrei, Colegiul National ”Elena Ghiba Birta” AradSiladi Micu, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” AradGiurgiu Rares - Colegiul National ”Moise Nicoara” AradRus Luminita Alina, Colegiul National ”Elena Ghiba Birta” Arad
Mentiuni
Bonca Adelina, Colegiul National ”Elena Ghiba Birta” AradChismore Simona, Grupul Scolar PancotaCostin Roxana Florentina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
37
Clasa a XII-a Rationament Matematic
Premiul I
Baltean Lugojan Radu, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradOnuta Andreea Lavinia, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad
Premiul al II-lea
Frent Ligia, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al III-lea
Gavra Ioana Alexandra, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Mentiuni
Horin Alexandru Sever, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Clasa a XII-a Tehnica Matematica
Premiul I
Cociuba Filip George, Colegiul National ”Moise Nicoar” AradBotco Loredana Paula, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradAsandei Marian Cristian, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad
Premiul al II-lea
Tepes Onea Andrei, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad
Premiul al III-lea
Novanc Alexandru Petre, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradBene Eniko, Colegiul National ”Elena Ghiba Birta” AradMihit Claudia, Colegiul National ”Elena Ghiba Birta” AradSchiebel Angelina, Liceul Teoretic ”Adam Muller Guttenbrunn” Arad
Mentiuni
Petrisor Gheorghe Marian, Colegiul National ”Elena Ghiba Birta” AradArdelean Anisoara, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradCosarba Andrei, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradTudur Radu Dan - Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradRistin Boban - Colegiul National ”Moise Nicoara” AradMocuta Maria Alexandra - Grupul Scolar de Industrie Alimentara AradLuca Roxana - Grupul Scolar Industrial ”Iuliu Maniu” AradMiraute Florin - Grupul Scolar Industrial ”Iuliu Maniu” Arad
38
ECOURI IN PRESA
Facultatea de Stiinte Exacte a Universitatii ”Aurel Vlaicu” din Arad aorganizat prima editie a Concursului de Matematica ”Caius Iacob”, unde aufost invitati sa participe elevi ai claselor a XI-a si a XII-a din judetul Arad. Lafiecare clasa au fost organizate doua sectiuni: Rationament Matematic (undeproblemele au avut un grad mai ridicat de dificultate) si Tehnica Matematica.
Evenimentul s-a bucurat de succes, dovada fiind participarea a 200 deelevi care au abordat subiectele cu interes si seriozitate. Importanta con-cursului a fost marcata de prezenta la Festivitatea de premiere a rectoruluiUniversitatii ”Aurel Vlaicu” din Arad, prof. univ. dr. Lizica Mihut care a fe-licitat toti participantii care ”au avut curajul sa se confrunte cu ei ınsisi”. Deasemenea, ın cadrul Festivitatii de premiere, lect. univ. dr. Codruta Stoica aevocat figura academicianului Caius Iacob, unul dintre marii matematicienipe care i-a dat si cu care se mandreste Aradul.
Gazeta Matematica–B, Anul CXIV, Nr. 3/2009
Prima editie a concursului de matematica destinat elevilor de liceu, orga-nizat sub titulatura ”Caius Iacob” (unul dintre marii matematicieni ai tarii,academician din Arad) de universitatea de stat, a fost un succes.
Peste 200 de elevi de la majoritatea liceelor aradene (inclusiv din Pecica,Pancota, Ineu, Nadlac) au raspuns provocarii lansate de Universitatea ”AurelVlaicu”, de a participa la un concurs de matematica.
Ieri, festivitatea de premiere a aratat ca viitorii matematicieni nu suntdoar pragmatici si inteligenti, ci si simpatici, transformand, alaturi de gazdeleuniversitare, evenimentul ıntr-o ıntalnire extrem de degajata si simpatica.
Totul a impresionat la prima editie a concursului de matematica. Orga-nizatorii care, pe langa faptul ca au facut o treaba buna, au vadit implicaresi pasiune. Participantii care, din spusele evaluatorilor, au demonstrat unnivel de pregatire foarte ınalt.
Evenimentul a fost onorat si de rectorul Universitatii de Stat, prof. univ.dr. Lizica Mihut, care a marcat astfel importanta care se acorda concursului.Rectorul a felicitat toti participantii, care ”au avut curajul sa se confruntecu ei ınsisi”, ıntr-un concurs din care toata lumea a avut de cıstigat.
Prof. univ. dr. Lizica Mihut a facut trecerea la premierea performerilorprin prezentarea decanului de la Stiinte Exacte, Sorin Nadaban, care a avut,ca student... doar note de zece. Decanul Nadaban si echipa sa au spus ca
39
ambitia concursului este de a se dezvolta.Concursul a avut doua domenii, pentru care au concurat, separat, elevi
din clasele a 11-a si a 12-a: Rationament Matematic (un nivel foarte ridicat)si Tehnica Matematica. Evaluatorii si-au luat foarte ın serios treaba. Ei spunca au avut placerea sa descopere unele lucrari perfecte, nivelul general fiindfoarte bun, undeva la cel al fazelor judetene ale olimpiadei.
Observator, Anul XIII, Nr. 3454, 26 februarie 2009
Castigatorii primei editii a concursului de Matematica ”Caius Iacob” aufost premiati ieri de Facultatea de Stiinte Exacte din cadrul Universitatii”Aurel Vlaicu”, initiatorul si organizatorul concursului.
Prezenti la ceremonie, rectorul universitatii aradene, prof. univ. dr.Lizica Mihut si ıntreaga conducere a facultatii, decan conf. univ. dr. SorinNadaban, au felicitat participantii si au acordat premiile ıntr-o atmosferadestinsa, plina de optimism.
Jurnal Aradean, Anul XXI, Nr. 5674, 26 februarie 2009
Concursul de Matematica ”Caius Iacob”, denumit dupa unul dintre aca-demicienii originari din Arad, a fost organizat de catre Universitatea ”AurelVlaicu” din Arad pentru elevi ai claselor a XI-a si a XII-a din liceele dinmunicipiul si judetul Arad.
Ieri dupa–amiaza a avut loc festivitatea de premiere la sediul Facultatiide Stiinte Exacte din cladirea din Micalaca.
Rectorul universitatii, prof. univ. dr. Lizica Mihut si-a exprimat conside-ratia fata de tinerii matematicieni, afirmand ca ”aceasta stiinta ıntotdeaunaa castigat aprecierea mea.”
Decanul Facultatii de Stiinte Exacte, conf. univ. dr. Sorin Nadaban, i-afelicitat pe elevi pentru participarea la concurs si pentru rezultatele obtinutesi a subliniat ca ”am pornit acest concurs pe de o parte pentru masurareacunostintelor elevilor, pe de alta parte pentru a ıntari legatura ıntre liceu siuniversitate.”
Pe parcursul festivitatii, care s-a desfasurat ıntr-o atmosfera destinsa, toticei aproape 200 de participanti au primit diplome de participare. Diplome auprimit si profesorii care au pregatit elevii, precum si profesorii organizatori.
traducere din limba maghiaraNyugati Jelen, Anul XXI, Nr. 5236, 26 februarie 2009
40
Concursul de Matematica”Caius Iacob”
Editia a II-a
LISTA PARTICIPANTILOR
Clasa a XI-a Rationament Matematic
1. Tociu Laura Roxana, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad2. Ciobanu Alexandru, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad3. Ghita Vlad Bogdan, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad4. Gaspar Diana, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad5. Teodorescu Ioana, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad6. Toader Bogdan, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad7. Pırv Marius, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad8. Gianga Tiberiu, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad
Clasa a XI-a Tehnica Matematica
1. Nica Alexander David, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad2. Nagl Jasmin, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad3. Talpos Angela, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad4. Boros Eliza, Colegiul Economic Arad5. Naghi Alina, Colegiul Economic Arad6. Jurje Edina, Colegiul Economic Arad7. Gal Emina Florentina, Colegiul Economic Arad8. Moru Antoanela, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad9. Rusescu Liana, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad10. Guran Claudiu, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad11. Coroiu Andreea, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad12. Dreghici Roberta, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad13. Tudor Laura, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad14. Voloaca Andreia, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad15. Kovacs Cristian, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad16. Apostol Alexandra, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad17. Ladari Marinela Laura, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad18. Nemes Iasmina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad19. Tarce Gabriel, Gr. Sc. ”Mihai Viteazu” Ineu20. Marta Ioan, Gr. Sc. ”Mihai Viteazu” Ineu21. Batrına Bogdan, Gr. Sc. ”Mihai Viteazu” Ineu22. Illes Cristina, Gr. Sc. ”Mihai Viteazu” Ineu
43
23. Mos Paul, Gr. Sc. ”Mihai Viteazu” Ineu24. Brandibur Oana, Gr. Sc. ”Mihai Viteazu” Ineu25. Biro Anna Maria, Gr. Sc. Ind. Transporturi Cai Ferate Arad26. Vuculescu Cristina, Gr. Sc. Ind. Transporturi Cai Ferate Arad27. Nicorici Adrian, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad28. Horne Daniel, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad29. Oprea Estera, Gr. Sc. Forestier Arad30. Spir Anita, Gr. Sc. ”Csiky Gergely” Arad31. Mihincau Samuel, Liceul Teologic Penticostal Arad32. Sarmas Adrian Emanuel, Liceul Teologic Penticostal Arad33. Matusan Sorina, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad34. Geber Eduard Emanuel, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad35. Cobarzan Emanuela Noemia, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad36. Anchidin Ana-Maria, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad37. Dragomir Andreea, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad38. Petrus Lorena, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad39. Popovici Andreea, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad40. Dolha Mihai, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad41. Horvath Izabela, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad42. Maralescu Felix, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad43. Bıc Mario, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad44. Tamsa Dan, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad45. Kovacs Mihai, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad46. Gligor Daniela Claudia, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad47. Pricopie Raluca Andreea, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad48. Carlaont Diana Georgiana, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad49. Constantin Bianca, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad50. Sabou Loredana, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad51. Banciu Sabina, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad52. Batran Cosmin, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad53. Bak Andrei, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad54. Puscas Ioan Calin, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad
Clasa a XII-a Rationament Matematic
1. Vlad Adina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad2. Zene Andrei Cristian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad3. Micula Adina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
44
4. Bleotu Dragos Marius, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad5. Crisan Ciprian Dimitrie, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad6. Olaru Andreea, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad7. Mihaicuta Simona, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad8. Posa Emanuel, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad9. Mot Bogdan, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad10. Filip Laurian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad11. Vesa Cristina, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad12. Musca Simina, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad13. Mıtu Radu, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad14. Darau Flavia , Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad15. Darau Paula, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad16. Bırz Loredana, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad17. Sprintar Sergiu, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad18. Cabau Andrei, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad19. Bota Emanuel Florin, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad20. Covaci Codrut, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad21. Moga Gabriel, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad22. Badau Sorin, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad23. Coman Roxana, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad24. Ghentiu Dariana, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad25. Iagar Robert, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad26. Baesu Mihai, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad27. Voian Vlad, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad28. Roman Alin, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad
Clasa a XII-a Tehnica Matematica
1. Gornic Paul, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad2. Cret Alexandru, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad3. Foda Lucian, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad4. Golovescu Cristian Petru, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad5. Herman Mihai Alexandru, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad6. Zait Roxane, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad7. Rebedea Cezarina Csilla, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad8. Reste Ioana Adela, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad9. Giura Mihai Dacian, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad
45
10. Oarcea Sergiu Gabriel, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad11. Sipa Claudiu Ruben, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad12. Cıslaru Adina Maria, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad13. Zavastin Alexandra Andreea, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad14. Costin Roxana, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad15. Rogoz Ralph, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad16. Cinca Emanuel Eugen, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad17. Julean Sara, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad18. Paveloiu Dorin Alexandru, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad19. Giurgiu Rares Adrian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad20. Catrina Remus Alexandru, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad21. Vidican Adriana Alexandra, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad22. Gali Krisztina Noemi, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad23. Gavriluta Anamaria Florina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad24. Gabor Oliviu, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad25. Abrudan Andrei, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad26. Barb Ciorbea Mihaela, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad27. Handra Bianca, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad28. Sırbu Sebastian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad29. Jurca Adrian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad30. Buhov Calin, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad31. Puscas Claudiu Alexandru, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad32. Tamas Ioana Cristina, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad33. Rosu Alina, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad34. Boldizsar Radu, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad35. Zbırcea Oana, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad36. Handra Arselia, Gr. Sc. de Industrie Alimentara Arad37. Vlad Silvia, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad38. Serban-Crisan Alexandra, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad39. Siladi Micu, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad40. Avram Ionel Florin, Colegiul Economic Arad41. Batran Lucian Beniamin, Colegiul Economic Arad42. Freisinger Ingrid, Colegiul Economic Arad43. Barbatei Paul Adrian, Colegiul Economic Arad44. Craete Alexandru, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad45. Nicola Tudor, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad46. Potoceanu Mircea, Gr. Sc. Ind. Transp. Cai Ferate Arad47. Sas Florin, Gr. Sc. Ind. Transp. Cai Ferate Arad
46
48. Puscas Lenuta, Gr. Sc. Forestier Arad49. Bocanet Alexandra, Gr. Sc. Forestier Arad50. Boros Zoltan Janos, Gr. Sc. ”Csiky Gergely” Arad51. Bele Mihai, Gr. Sc. ”Csiky Gergely” Arad52. Holhos Corneliu, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad53. Reghis Loredana, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad54. Baciu Mihaela, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad55. Calacean Adela, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad56. Chis Andrei Florin, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad57. Rohatinovici Noemi Clara, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad58. Chiorean Bogdan, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad59. Lascut Razvan, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad60. Morut Razvan, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” Arad61. Hiticas Daniel, Liceul Teologic Penticostal Arad62. Moloci Lucian, Liceul Teologic Penticostal Arad63. Dobre Estera Florina, Liceul Teologic Penticostal Arad64. Habalic Loredana, Liceul Teologic Penticostal Arad65. Zamfir Carmen, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad66. Fontu Naomi, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad67. Tiptis Radu, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad68. Vesan Oana, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad69. Simion Alin, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad70. Ardelean Octavian, Gr. Sc. ”Iuliu Maniu” Arad71. Patrascoiu Andrei, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad72. Maftei Otilia Claudia, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad73. Rus Luminita Alina, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad74. Bonca Adelina Andreea, Colegiul National ”E.G. Birta” Arad75. Rus Adina Maria, Gr. Sc. ”Moga Voievod” Halmagiu76. Banici Mihaela Andreea, Gr. Sc. ”Moga Voievod” Halmagiu77. Crisan Vlad, Liceul Teologic Baptist ”A. Popovici” Arad78. Martin Andrei, Liceul Teologic Baptist ”A. Popovici” Arad79. Hanes Alexandru, Gr. Sc. de Transp. Auto ”H. Coanda” Arad80. Rus Vasile Daniel, Gr. Sc. de Transp. Auto ”H. Coanda” Arad81. Dronca Roberto, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
47
SUBIECTELE CONCURSULUI
CLASA a XI-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. Sa se determine functia continua f : R→ R pentru care
f(0) =1
e4 − 1si f(x)− f
( x
e2
)= x2, ∀x ∈ R.
II. Fie sirul (an)n≥1, definit prin a1 > 1 si
an+1 =an + 1
an + n, pentru n ≥ 1.
(i) Sa se arate ca sirul (an)n≥1 este strict descrescator;(ii) Sa se calculeze lim
n→∞an;
(iii) Sa se determine limn→∞
nan.
III. Fie A = (aij)1≤i,j≤n o matrice cu elemente reale pozitive astfel ıncatn∑
j=1
aij = 1, pentru orice i = 1, n.
(i) Sa se calculeze suma elementelor matricei Ak, k ∈ N∗;(ii) Daca λ ∈ C verifica relatia det(A− λIn) = 0, atunci |λ| ≤ 1.
IV. Se considera multimea
M =
{A =
(x kyy x
), x, y ∈ Z
},
unde k ∈ N∗ nu este patrat perfect.(i) Sa se demonstreze ca daca, pentru A ∈ M, det A = 0, atunci A = 02;(ii) Pentru k = 5, sa se arate ca exista cel putin 2010 matrici din M
avand determinantul egal 1.
48
CLASA a XI-a - TEHNICA MATEMATICA
I. Fie matricea A =
(a bc d
)∈ M2(R).
(i) Sa se arate ca are loc relatia
A2 − (a + d)A + (ad− bc)I2 = O2
(ii) Daca exista un k ≥ 2 astfel ıncat Ak = O2, atunci A2 = O2.
II. Sa se calculeze(i)
limx→0
sin x + sin 2x + ... + sin 2010x
x
(ii)
limx→0
a arcsin x + b sin x
b arcsin x + a sin x, a, b > 0.
III. Sa se studieze derivabilitatea functiilor(i) f : R→ R,
f(x) =
{ex − x, x ≤ 0ln(x + e), x > 0
(ii) f : R→ R,
f(x) = |(x− 1)(x− 2)2(x− 3)3|.
IV. Fie matricea
A(x) =
x 0 1− x0 0 0
1− x 0 x
.
(i) Sa se arate ca
A(x) · A(y) = A(2xy − x− y + 1), ∀x, y ∈ R;
(ii) Sa se rezolve ecuatia A2010(x) = A(x);(iii) Sa se determine matricile B ∈ M3(R) cu proprietatile det B = 2010
siA(x) ·B = B · A(x) = A(x), ∀x ∈ R.
49
CLASA a XII-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. Sa se determine functiile f : R→ R care verifica relatia
f(x) = x
∫ 1
0
tf 2(t)dt, ∀x ∈ R.
II. Se considera multimea
M =
1 x y
0 1 z
0 0 1
, x, y, z ∈ Zn
,
unde n ∈ N, n ≥ 3, este un numar impar.(i) Sa se determine An, pentru A ∈ M;(ii) Sa se arate ca (M, ·) este grup neabelian;(iii) Sa se determine numarul elementelor sale.
III. Sa se determine functiile continue f : [0, 1] → R cu proprietatea
∫ 1
0
f(x)dx =1
3+
∫ 1
0
f 2(x2)dx.
IV. Fie n ∈ N∗ si multimea
Hn =
{k
n!, k ∈ Z
}.
(i) Sa se arate ca (Hn, +) este subgrup ın (Q, +);
(ii) Sa se demonstreze ca daca (G, +) este subgrup ın (Q, +) si1
n!∈ G,
unde n ∈ N∗, atunci Hn ⊂ G;(iii) Daca G1, G2,... G2010 sunt subgrupuri ın (Q, +) astfel ıncat
Q = G1 ∪G2 ∪ ... ∪G2010,
atunci exista k ∈ {1, 2, ..., 2010} astfel ca Gk = Q.
50
CLASA a XII-a - TEHNICA MATEMATICA
I. Sa se calculeze(i)
∫cos x
√sin2 x + 1 dx;
(ii)∫ 1
0e−xxndx, n ∈ N.
II. Se considera functia f : (0,∞) definita prin
f(x) =1
x√
x + 1 + (x + 1)√
x.
(i) Sa se verifice ca
f(x) =1√x− 1√
x + 1
(ii) Fie F o primitiva a functiei f pentru care F (1) = 2(1 −√2). Sa searate ca
F (n)
f(n)/∈ Z, ∀n ∈ N∗.
III. Fie multimea
A =
1 ln x 00 1 00 0 x
, x > 0
.
(i) Sa se arate ca A ımpreuna cu operatia de ınmultire a matricelor esteun grup abelian, izomorf cu grupul (R∗+, ·);
(ii) Sa se determine Bn, pentru B ∈ A, n ∈ N∗.IV. Pe R se considera legea de compozitie
x ∗ y = 2xy − x− y + 1.
(i) Sa se studieze daca (R, ∗) este grup abelian;(ii) Sa se calculeze
1 ∗ 2 ∗ ... ∗ 2010.
51
SOLUTII
CLASA a XI-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. Prin ınlocuirea lui x ın relatia data cu( x
e2
),
( x
e4
),...,
( x
e2n
), se obtin
succesiv relatiile
f(x)− f( x
e2
)= x2
f( x
e2
)− f
( x
e4
)=
x2
e4
...
f( x
e2n
)− f
( x
e2n+2
)=
x2
e4n
Prin adunarea relatiilor anterioare, se obtine relatia
f(x)− f( x
e2n+2
)= x2
(1 +
1
e4+ ... +
1
e4n
)
adica
f(x)− f( x
e2n+2
)= x2 1− (
1e4
)n+1
1− 1e4
, ∀n ∈ N∗
Cum f este continua ın x = 0, limn→∞
x
e2n+2= 0, lim
n→∞
(1
e4
)n
= 0. Prin
trecerea la limita pentru n →∞ se obtine
f(x)− f(0) = x2 e4
e4 − 1
Deci
f(x) =1
e4 − 1+ x2 e4
e4 − 1=
x2e4 + 1
e4 − 1.
II. (i) Observam ca an > 0, ∀n ≥ 1 si a1 > a2 = 1. Pentru orice n ≥ 1 avem
an − an+1 = an − an + 1
an + n=
a2n + (n− 1)an − 1
an + n.
52
Avem an+1 =an + 1
an + n≥ 1
n. Prin urmare, an ≥ 1
n− 1, ∀n ≥ 2. Revenind
ın relatia de mai sus obtinem
an − an+1 ≥ a2n
an + n> 0, ∀n ≥ 2,
de unde (an)n≥1 descrescator.
(ii) Demonstram prin inductie matematica relatia
an <1
n− 2, ∀n ≥ 3.
De aici, cum an > 0, ∀n ≥ 1, vom obtine ca limn→∞
an = 0.
Pentru n = 3, avem
a3 =a2 + 1
a2 + 2=
2
3< 1.
Presupunem ca afirmatia este adevarata pentru k, adica ak <1
k − 2, ∀k ≥ 3.
Atunci
1
k − 1− ak+1 =
1
k − 1− ak + 1
ak + k=
ak + k − kak − k + ak + 1
(k − 1)(ak + 1)=
=1− (k − 2)ak
(k − 1)(ak + 1)> 0.
Deci ak+1 <1
k − 1.
(iii) Conform celor de mai sus, avem
1
n− 1≤ an ≤ 1
n− 2, ∀n ≥ 3.
Atuncin
n− 1≤ nan ≤ n
n− 2, ∀n ≥ 3.
De aici avem ca limn→∞
nan = 1.
53
III. (i) Cumn∑
j=1
aij = 1, ∀i = 1, n, remarcam ca AU = U , unde U =
11...1
.
De aici deducem ca AkU = U, ∀k ∈ N∗, Aceasta ınseamna ca Ak verificaaceeasi proprietate ca si A, si astfel suma elementelor matricei Ak este n.
(ii) Daca λ ∈ C verifica ecuatia det(a − λIn) atunci exista X ∈ Mn,1(C)
astfel ıncat AX = λX, adican∑
j=1
aij · xj = λxi, ∀i = 1, n.
Fie p ∈ {1, 2, ..., n} astfel ıncat |xp| = max1≤j≤n
|xj|. Atunci, ∀i = 1, n, avem
|λ| · |xi| = |λ · xi| = |n∑
j=1
aij · xj| ≤n∑
j=1
|aij · xj| =
=n∑
j=1
|aij| · |xj| ≤ |xp|n∑
j=1
aij = |xp|.
In particular, pentru i = p, obtinem ca |λ| · |xp| ≤ |xp|, de unde |λ| ≤ 1.
IV. (i) Pentru A ∈ M, avem ca det A = x2− ky2. Atunci, det A = 0 conduce
la x2 − ky2 = 0. Daca y 6= 0, avem k =x2
y2, de unde
x
y= ±
√k /∈ Q, ceea ce
este absurd. Prin urmare, y = 0, de unde x = 0, deci A = O2.(ii) Observam mai ıntai ca
A =
(9 204 9
)∈ M.
Vom arata ca An ∈ M, det An = 1, ∀n ∈ N∗ si vom obtine astfel ca exista oinfinitate de matrici cu proprietatea dorita.
Remarcam mai ıntai ca ∀A,B ∈ M, avem A ·B ∈ M. Intr-adevar, daca
A =
(x kyy x
), B =
(a kbb a
)
atunci
A ·B =
(xa + kyb k(xb + ya)ya + xb xa + kyb
)∈ M.
De aici avem ca An ∈ M, ∀n ∈ N∗. Apoi det An = (det A)n = 1, ∀n ∈ N∗.
54
CLASA a XI-a - TEHNICA MATEMATICA
I. (i)
A2 =
(a bc d
)(a bc d
)=
(a2 + bc ab + bdac + cd bc + d2
)
(a + d)A = (a + d)
(a bc d
)=
(a2 + bc ab + bdac + cd bc + d2
)
(ad− bc)I2 =
(ad− bc 0
0 ad− bc
).
Atunci
A2 − (a + d)A + (ad− bc)I2 =
(0 00 0
).
(ii) Daca A2 = O2 atunci det A = 0. Deci ad− bc = 0. Din relatia de maisus rezulta A2 = (a + d)A. Prin inductie matematica, Ak = (a + d)k−1A.
Daca A 6= O2, atunci Ak = 0 implica a+d = 0 si apoi A2 = (a+d)A = O2.Daca A = O2, evident A2 = O2.
II. (i) Se scrie
L = limx→0
(sin x
x+ 2
sin 2x
2x+ ... + 2010
sin 2010x
2010x
)=
= 1 + 2 + ... + 2010 =2010 · 2011
2= 1005 · 2011
(ii) Se scrie
L = limx→0
aarcsin xx
+ b sin xx
barcsin xx
+ a sin xx
=a + b
b + a= 1,
unde am folosit faptul ca
limx→0
arcsin x
x= lim
x→0
arcsin x
sin x· sin x
x= 1.
III. (i) Evident f este continua si derivabila pe R∗ si
f ′(x) =
{ex − 1, x < 0
1x+e
, x > 0
55
Cum
limx→0, x<0
f(x) = limx→1, x>0
f(x) = f(0) = 0,
deci f este continua si ın x0 = 0.Cum
limx→0, x<0
f ′(x) = 0
si
limx→0, x>0
f ′(x) =1
e,
rezulta ca f nu este derivabila ın x0 = 0.(ii) f este derivabila pe R \ {1, 2, 3}.Studiem derivabilitatea ın x0 = 1:
limx→1, x<1
f(x)− f(1)
x− 1= lim
x→1, x<1
|(x− 1)(x− 2)2(x− 3)3|x− 1
= 8
limx→1, x>1
f(x)− f(1)
x− 1= lim
x→1, x>1
(1− x)|(x− 2)2(x− 3)3|x− 1
= −8.
Deci, f nu este derivabila ın x0 = 1.Studiem derivabilitatea ın x0 = 2:
limx→2
f(x)− f(2)
x− 2= lim
x→2
(x− 2)2|(x− 1)(x− 3)3|x− 2
= 0.
Deci f este derivabila ın x0 = 2.Studiem derivabilitatea ın x0 = 3:
limx→3
f(x)− f(3)
x− 3= lim
x→3
(x− 3)2|(x− 1)(x− 2)2(x− 3)|x− 3
= 0.
Deci f este derivabila ın x0 = 3.
IV. (i)
A(x) · A(y) =
x 0 1− x0 0 0
1− x 0 x
·
y 0 1− y0 0 0
1− y 0 y
=
56
=
2xy − x− y + 1 0 1− (2xy − x− y + 1)0 0 0
1− (2xy − x− y + 1) 0 2xy − x− y + 1
= A(2xy−x−y+1).
(ii)
A2 =
2x2 − 2x + 1 0 1− (2x2 − 2x + 1)0 0 0
1− (2x2 − 2x + 1) 0 2x2 − 2x + 1
sau
A2 =
2(x− 1
2
)2+ 1
20 1−
[2(x− 1
2
)2+ 1
2
]
0 0 0
1−[2(x− 1
2
)2+ 1
2
]0 2
(x− 1
2
)2+ 1
2
.
Demonstram prin inductie matematica ca pentru n ≥ 2 avem
An =
2n−1(x− 1
2
)n+ 1
20 1− [
2n−1(x− 1
2
)n+ 1
2
]0 0 0
1− [2n−1
(x− 1
2
)n+ 1
2
]0 2n−1
(x− 1
2
)n+ 1
2
.
Din expresia lui A2 avem ca afirmatia este adevarata pentru n = 2. Pre-supunem ca afirmatia este adevarata pentru n = k si o demonstram pentrun = k + 1. Precizam ca 2xy− x− y + 1 se poate scrie 2
(x− 1
2
) (y − 1
2
)+ 1
2.
Atunci
Ak+1(x) = Ak(x) · A(x) = A
(2k−1
(x− 1
2
)k
+1
2
)· A(x) =
= A
(2k
(x− 1
2
)k+1
+1
2
)=
=
2k(x− 1
2
)k+1+ 1
20 1−
[2k
(x− 1
2
)k+1+ 1
2
]
0 0 0
1−[2k
(x− 1
2
)k+1+ 1
2
]0 2k
(x− 1
2
)k+1+ 1
2
.
Atunci ecuatia A2010(x) = A(x) revine la 22009(x− 1
2
)2010+ 1
2= x. Notand
x− 1
2= t, avem 22009 · t2010 − t = 0, de unde t = 0 sau t = 1
2. Prin urmare,
x1 = 12
si x2 = 1.
57
(iii) Egalitatea A(x) ·B = B ·A(x) = A(x) avand loc pentru orice x ∈ R,vom avea ın particular ca A(0) ·B = B · A(0) = A(0).
Fie
B =
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
.
Cum
A(0) =
0 0 10 0 01 0 0
,
avem
A(0) ·B =
b31 b32 b33
0 0 0b11 b12 b13
.
Atunci relatia A(0) · B = A(0) conduce la b31 = b32 = b12 = b13 = 0 sib11b33 = 1. Deci
B =
1 0 0b21 b22 b23
0 0 1
.
Dar
B · A(0) =
0 0 1b23 0 b21
1 0 0
.
Atunci, egalitatea B · A(0) = A(0) conduce la b23 = b21 = 0.Deci
B =
1 0 10 b22 00 0 1
.
Din conditia det B = 2010, avem b22 = 2010, deci
B =
1 0 10 2010 00 0 1
.
58
CLASA a XII-a - RATIONAMENT MATEMATIC
I. Daca notam∫ 1
0tf 2(t)dt = k, obtinem relatia f(x) = kx, x ∈ R. Relatia
din enunt devine
kx = x
∫ 1
0
tk2t2dt, ∀x ∈ R,
deci
kx = xk2
4, ∀x ∈ R.
De aici k = 0 sau k = 4. Problema are ca solutii doua functii
f1(x) = 0 si f2(x) = 4x.
II. (i) Notam
A(x, y, z) =
1 x y
0 1 z
0 0 1
.
Demonstram prin inductie matematica ca
Ak(x, y, z) = A(kx, ky + C2kxz, kz), ∀k ≥ 2.
Pentru k = 2, avem
A2(x, y, z) =
1 2x 2y + xz
0 1 2z
0 0 1
= A(2x, 2y + C2
2xz, 2z).
Presupunem afirmatia adevarata pentru k = m si o demostram pentru k =m + 1. Au loc
Am+1(x, y, z) = Am(x, y, z) · A(x, y, z) =
=
1 mx my + C2mxz
0 1 mz
0 0 1
1 x y
0 1 z
0 0 1
=
59
=
1 (m + 1)x y + mxz + my +m(m−1)2
xz
0 1 (m + 1)z
0 0 1
=
=
1 (m + 1)x y + (m + 1)y + C2m+1xz
0 1 (m + 1)z
0 0 1
=
= A( (m + 1)x, (m + 1)y + C2m+1xz, (m + 1)z).
Cum pentru n impar avem
nx =
ny +n(n− 1)
2xz = nz = 0,
rezulta ca An(x, y, z) = I3, ∀A ∈ M.(ii) Se observa usor ca daca
A =
1 x y
0 1 z
0 0 1
∈ M,
1 a b
0 1 c
0 0 1
∈ M,
atunci
A ·B =
1 a + x b + y + cx
0 1 ˆc + z
0 0 1
∈ M.
Cum An = I3, avem A−1 = An−1 ∈ M. Deci, (M, ·) este grup. Dar, cum
A(0, 1, 2) · A(1, 1, 2) = A(1, 2, 4)
A(1, 1, 2) · A(0, 1, 2) = A(1, 4, 4),
grupul (M, ·) nu este abelian.(iii) Numarul elementelor lui M este n3.
III. Efectuam schimbarea de variabila x = t2. Atunci
∫ 1
0
f(x)dx =
∫ 1
0
f(t2)2tdt =
∫ 1
0
f(x2)2xdx.
60
Observam ca 13
=∫ 1
0x2dx. Egalitatea din enunt devine
∫ 1
0
f(x2)2xdx =
∫ 1
0
x2dx =
∫ 1
0
f 2(x2)dx,
adica ∫ 1
0
[f 2(x2)− 2xf(x2) + x2]dx = 0.
Deci ∫ 1
0
[f(x2)− x2]2dx = 0, de unde [f(x2)− x2]2 = 0,
deci f(x2) = x. Prin urmare f(x) =√
x.
IV.(i) Avem
k1
n!+
k2
n!=
k1 + k2
n!∈ Hn,
iar opusul luik
n!este
−k
n!∈ Hn. Astfel Hn este subgrup ın (Q, +).
(ii) Daca1
n!∈ G atunci
k
n!=
1
n!+
1
n!+ ... +
1
n!∈ G.
Deci Hn ⊂ G.(iii) Observam ca daca (H, +) este subgrup ın (Q, +) si cum 1
n!∈ H
pentru o infinitate de numere naturale, atunci H = Q. Intr-adevar, dacar ∈ Q, atunci acesta poate fi scris
r =p
q=
p · n!q
n!=
k
n!∈ H,
alegand un N suficient de mare astfel can!
q∈ Z. Apoi, cum
G1 ∪G2 ∪ ... ∪G2010 = Q,
exista k ∈ {1, 2, ..., 2010} astfel ca1
n!∈ Gk pentru o infinitate de numere
naturale. Conform celor de mai sus, avem Gk = Q.
61
CLASA a XII-a - TEHNICA MATEMATICA
I.(i) Efectuam schimbarea de variabila sin x = tAvem
∫ √t2 + 1dt =
∫t2 + 1√t2 + 1
dt =
∫t
t√t2 + 1
dt +
∫1√
t2 + 1dt =
=1
2t√
t2 + 1 +1
2ln(t +
√t2 + 1) + C,
de unde ∫cos x
√sin2 x + 1 dx =
1
2sin x
√sin2 x + 1+
+1
2ln(sin x +
√sin2 x + 1) + C
(ii) Fie In =∫ 1
0e−xxndx. Se obtine
In = −e−xxn|10 + n
∫ 1
0
e−xxn−1dx = −1
e+ nIn−1.
Se observa ca
I0 =
∫ 1
0
e−xdx = −1
e+ 1.
Avem, succesiv, relatiile
In = −1
e+ nIn−1 | · n!
n!
In−1 = −1
e+ (n− 1)In−1 | · n!
(n− 1)!
In−2 = −1
e+ (n− 2)In−2 | · n!
(n− 2)!...
I2 = −1
e+ 2I1 | · n!
2!
I1 = −1
e+ I0 | · n!
1!.
62
Insumand, se obtine
In = −1
e
[n!
n!+
n!
(n− 1)!+ ... +
n!
1!
]+ n!
(−1
e+ 1
)
sau
In = −n!
e
(1 +
1
1!+
1
2!+ ... +
1
n!
)+ n!.
II. (i) Avem
1√x− 1√
x + 1=
(x + 1)− x√x(x + 1)(
√x + 1 +
√x)
=1
(x + 1)√
x + x√
x + 1.
(ii) Se determina primitivele
F (x) = 2√
x− 2√
x + 1 + c, c constant.
Avem F (1) = 2 − 2√
2 + c, dar cum F (1) = 2(1 − √2), rezulta c = 0, deunde F (x) = 2
√x− 2
√x + 1.
AtunciF (n)
f(n)=
2√
n− 2√
n + 1√
n+1−√n√n(n+1)
= −2√
n(n + 1).
Dar n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, ∀n ∈ N∗, de unde rezulta ca n(n + 1) nu estepatrat perfect, deci
√n(n + 1) /∈ Z. Prin urmare
F (n)
f(n)/∈ Z, ∀n ∈ N∗.
III. (i) Aratam mai ıntai ca daca
A =
1 ln x 00 1 00 0 x
∈ A si B =
1 ln y 00 1 00 0 y
∈ A
atunci A ·B ∈ A. Intr-adevar
A ·B =
1 ln xy 00 1 00 0 xy
∈ A.
63
Cum ınmultirea matricilor este asociativa si are element neutru pe I3 ∈ A
(pentru x = 1), pentru ca (A, ·) sa fie grup mai avem de verificat existentaelementului simetric. Observam ca simetricul lui A este
A′ =
1 ln1
x0
0 1 0
0 01
x
∈ A.
Apoi
B · A =
1 ln yx 00 1 00 0 yx
= A ·B.
Astfel, (A, ·) este grup abelian. Aplicatia f : R∗+ → A, definita prin
f(x) =
1 ln x 00 1 00 0 x
este un izomorfism de la (R∗+, ·) la (A, ·). Intr-adevar,
f(x·y) =
1 ln xy 00 1 00 0 xy
=
1 ln x 00 1 00 0 x
·
1 ln y 00 1 00 0 y
= f(x)·f(y).
Evident, f este bijectiva, de unde f este izomorfism.
(ii) Pentru B =
1 ln x 00 1 00 0 x
, avem ca B = f(x). Atunci, are loc
f(xn) = f(x · x · x · ... · x) = [f(x)]n. Deci,
Bn = f(xn) =
1 ln xn 00 1 00 0 xn
.
IV. (i) Avem
(x ∗ y) ∗ z = (2xy − x− y + 1) ∗ z = 4xyz − 2xz − 2yz − 2xy + x + y + z
64
si
x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (2yz − y − z + 1) = 4xyz − 2xz − 2yz − 2xy + x + y + z,
de unde rezulta ca legea de compozitie ∗ este asociativa.Presupunem ca x ∗ e = x, ∀x ∈ R. Atunci (2x − 1)(e − 1) = 0, ∀x ∈ R.
Se obtine e = 1.Pentru e = 1, avem e ∗ x = 2x− x− 1 + 1 = x, de unde rezulta ca e = 1
este element neutru pentru legea de compozitie ∗. Evident ∗ este comutativa.
Observam ca x0 =1
2nu este simetrizabil. Presupunem ca exista y0 astfel
ca x0 ∗ y0 = 1. Cum rezulta1
2= 1, ceea ce este absurd. Prin urmare (R, ∗)
nu este grup.(ii) Observam ca
x ∗ y = 2
(x− 1
2
)(y − 1
2
)+
1
2.
Demonstram prin inductie matematica ca
x1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xn = 2n−1
(x1 − 1
2
)(x2 − 1
2
)...
(xn − 1
2
)+
1
2, ∀n ∈ N∗.
Pentru n = 2, avem relatia de mai sus. Presupunem ca afirmatia esteadevarata pentru n = k si o demonstram pentru n = k + 1. Avem
(x1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xk) ∗ xk+1 =
=
[2k−1
(x1 − 1
2
)(x2 − 1
2
)...
(xk − 1
2
)+
1
2
]∗ xk+1 =
= 2
[2k−1
(x1 − 1
2
)(x2 − 1
2
)...
(xk − 1
2
)+
1
2− 1
2
]·(
xk+1 − 1
2
)+
1
2=
= 2k
(x1 − 1
2
)(x2 − 1
2
)...
(xk+1 − 1
2
)+
1
2.
In particular,
1 ∗ 2 ∗ ... ∗ 2010 = 22009
(1− 1
2
)(2− 1
2
)...
(2010− 1
2
)+
1
2=
= 22009 · 1
2· 3
2· 5
2· ... · 4019
2+
1
2=
1
2(1 · 3 · 5 · ... · 4019 + 1).
65
PREMII SI MENTIUNI
Clasa a XI-a Rationament Matematic
Premiul I
Tociu Laura Roxana, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al II-lea
Ghita Vlad Bogdan, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Clasa a XI-a Tehnica Matematica
Premiul I
Nagl Jasmin, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” AradNemes Iasmina, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradGuran Claudiu, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad
Premiul al II-lea
Talpos Angela, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” AradIlles Cristina, Grup Scolar ”Mihai Viteazu” IneuNica Alexander David, Liceul Teoretic ”A.M. Guttenbrunn” Arad
Premiul al III-lea
Jurje Edina, Colegiul Economic Arad
Mentiuni
Rusescu Liana, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” AradTarce Gabriel, Grup Scolar ”Mihai Viteazu” IneuMarta Ioan, Grup Scolar ”Mihai Viteazu” IneuDolha Mihai, Colegiul National ”E.G. Birta” AradBrandibur Oana, Grup Scolar ”Mihai Viteazu” IneuTamsa Dan, Grup Scolar de Industrie Alimentara AradMoru Antoanela, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” Arad
66
Clasa a XII-a Rationament Matematic
Premiul I
Filip Laurian, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al II-lea
Micula Adina, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al III-lea
Bleotu Dragos Marius, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Mentiuni
Zene Andrei Cristian, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradCrisan Ciprian Dimitrie, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradSprintar Sergiu, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradMihaicuta Simona, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradPosa Emanuel, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradMot Bogdan, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Clasa a XII-a Tehnica Matematica
Premiul I
Rogoz Ralph, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradCinca Emanuel Eugen, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
Premiul al II-leaBele Mihai, Gr. Sc. ”Csiky Gergely” AradBoros Zoltan Janos, Grup Scolar ”Csiky Gergely” Arad
Premiul al III-lea
Paveloiu Dorin Alexandru, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradGiurgiu Rares Adrian, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradRohatinovici Noemi Clara, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradCatrina Remus Alexandru, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradGavriluta Anamaria Florina, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradGabor Oliviu, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradAbrudan Andrei, Colegiul National ”Moise Nicoara” Arad
67
Mentiuni
Costin Roxana, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradPatrascoiu Andrei, Colegiul National ”E.G. Birta” AradRebedea Cezarina Csilla, Grup Scolar de Industrie Alimentara AradBaciu Mihaela, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradFontu Naomi, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” AradGali Krisztina Noemi, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradRus Luminita Alina, Colegiul National ”E.G. Birta” AradSerban-Crisan Alexandra, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” AradSırbu Sebastian, Colegiul National ”Moise Nicoara” AradBonca Adelina Andreea, Colegiul National ”E.G. Birta” AradPotoceanu Mircea, Grup Scolar Ind. Transp. Cai Ferate AradSiladi Micu, Liceul Pedagogic ”D. Tichindeal” AradCalacean Adela, Liceul Teoretic ”Vasile Goldis” AradTiptis Radu, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” AradMaftei Otilia Claudia, Colegiul National ”E.G. Birta” AradZamfir Carmen, Grup Scolar ”Iuliu Maniu” Arad
68
Facultatea de Stiinte Exacte
Prezentare generala
Scurt istoric
Facultatea de Stiinte Exacte s-a constituit ca urmare a existentei unuinucleu de cadre didactice de specialitate, organizate ın structura Departa-mentului de Matematica–Informatica. Acest departament avea menirea de adeservi toate facultatile universitatii, acoperind toate orele de matematica siinformatica din planul de ınvatamant.
In anul 2001 s-a ınfiintat Colegiul de Tehnologia Informatiei. Colegiula avut patru generatii de absolventi, ultimele doua mergand ın lichidaredatorita desfiintarii formei de ınvatmant superior de scurta durata.
Specializarea Informatica, forma lunga - 4 ani s-a ınfiintat ın anul universi-tar 2002-2003. In anul universitar 2006–2007 se ınfiinteaza o noua specializareın cadrul Facultatii de Stiinte Exacte, si anume Specializarea Matematica–Informatica. Pana ın anul 2003, Specializarea Informatica si-a desfasuratactivitatea ın Corpul D al universitatii. Incepand din anul universitar 2003–2004, prin achizitionarea si amenajarea noului imobil, numit Corpul M, situatın cartierul Micalaca, str. Elena Dragoi, nr. 2, Facultatea de Stiinte Exacteısi desfasoara activitatea ın conditii optime ın acest spatiu.
In prezent, ın cadrul Facultatii de Stiinte Exacte functioneaza specializarile:Informatica - studii de licenta 3 ani, zi si ID, si Matematica - Informatica, zi- studii de licenta 3 ani.
Misiunea Facultatii de Stiinte Exacte
Facultatea de Stiinte Exacte ısi propune formarea de specialisti ın dome-niul informatic si matematic, cu pregatire universitara pe care sa o actualizezecontinuu si sa furnizeze rezultatele cercetarii stiintifice ın domeniul informaticsi matematic.
Necesitatea acestor specializari rezulta din urmatoarele considerente:
1. Absolventii acestor specializari sunt pregatiti sa functioneze ca infor-maticieni ın ıntreprinderi, societati comerciale, bancare, institutii fi-nanciare si ale administratiei publice, precum si sa poata desfasuraactivitati didactice ın ınvatamantul preuniversitar.
2. Situatia economica face dificila efectuarea studiilor departe de casa da-torita costurilor din perioada de scolarizare (drum, cazare, masa).
71
3. Zona de vest a tarii, ın care sunt incluse si municipiul si judetul Arad,este puternic industrializata, reprezentand o arie cu ınalt potential dedezvoltare economica, ın care dinamica de ınfiintare si dezvoltare aI.M.M-urilor este semnificativa oferind locuri de munca pentru absolventi.Mentionam ca generatiile de absolventi au fost absorbite ın ıntregimede piata muncii.
Impreuna cu celelalte facultati si departamente, Facultatea de StiinteExacte manifesta deschidere si receptivitate fata de activitatea de cercetarestiintifica, participarii la comisii de specialitate, la contractele de cercetarecu agentii economici din tara si strainatate.
Facultatea de Stiinte Exacte ısi asuma misiunea de a promova la nivelde excelenta dezvoltarea de competente culturale, educationale si de special-itate, bazate pe cunoastere inovatoare, ınvatare permanenta si intercultural-itate.
Facultatea de Stiinte Exacte a Universitatii ”Aurel Vlaicu” formeazamatematicieni si informaticieni cu ınalt nivel profesional asigurat prin:
• Studierea disciplinelor fundamentale si a celor de specialitate la niveluleuropean actual;
• Studiul de discipline optionale aliniate la cerintele europene;
• Cercetarea stiintifica ın cadrul Cercurilor Stiintifice Studentesti;
• Participarea la Contractele de Cercetare.
Practica a dovedit ca specializarile din cadrul Facultatii de Stiinte Ex-acte sunt imperios necesare, tinand cont de faptul ca relansarea economicaromaneasca si aderarea Romaniei la Uniunea Europeana necesita matemati-cieni si informaticieni pregatiti la cerintele actuale ale pietei muncii capabilisa presteze lucrari de calitate ın domeniile amintite.
Obiective si finalitati
Facultatea de Stiinte Exacte si-a propus cteva directii de actiune, caresunt ın concordanta cu legislatia ın vigoare, cat si cu cerintele cuprinseın metodologia de evaluare, cu standardele de referinta si indicatorii deperformanta stabiliti, prin metodologie, de catre Agentia Romana de Asigu-rare a Calitatii ın Invatamantul Superior (ARACIS). Este vorba de:
72
• formarea de specialisti ın domeniile matematica si informatica;
• modernizarea programelor de studiu, nivel de licenta;
• promovarea unor relatii de colaborare stiintifica si academica cu alteinstitutii de ınvatamant superior din tara si din spatiul universitar eu-ropean;
• promovarea unor relatii de cooperare cu studentii, cu absolventii si cumediul economic local.
Specializarea Informatica asigura, conform planului de ınvatamant, for-marea unor specialisti ın domeniile: retele de calculatoare, multimedia, pro-gramare, baze de date. Reforma economico-sociala romaneasca ın procesultranzitiei la economia europeana, a dus la cresterea rolului pe care informat-ica ıl are ın tara noastra, atat domeniul comunicarii interumane, cat si ındomeniul producerii de soft cu aplicatii ın toate domeniile (economic, tehnic,medical) si implicarea acesteia ın activitati de cercetare care sa raspundaacestor cerinte.
Specializarea Matematica–Informatica asigura, conform planului de ınva-tamant, formarea unor specialisti ın domenii ale matematicii precum: analizamatematica, algebra si geometria si, deasemenea, ın domenii ale informaticiiprecum: retele de calculatoare, multimedia, programare, baze de date.
Obiectivele specializarilor Informatica si Matematica–Informatica sunt:
• Formarea personalului de specialitate cu temeinice cunostinte teoret-ice si practice ın domeniul informatic si matematic ın conformitate cudirectivele si standardele europene;
• Valorificarea cunostintelor dobandite de catre absolventi ın cadrul unorproiecte profesionale si stiintifice cu scopul de a raspunde provocariloreconomiei romanesti si europene;
• Formarea deprinderilor de a elabora si utiliza metode, procedee si in-strumente de cercetare stiintifica;
• Stimularea interesului absolventilor pentru continua pregatire profe-sionala, stiintifica si de specialitate pentru a se adapta eficient cerintelorpreconizate de societatea bazata pe cunoastere.
73
Baza materiala
Din resurse proprii, prin programe si donatii internationale si cu sprijinulMinisterului Educatiei si Cercetarii, Universitatea ”Aurel Vlaicu” a contin-uat programul de dezvoltare a dotarilor pentru ınvatamant. S-au achizitionatprintre altele mobilier didactic, calculatoare, imprimante, copiatoare. Dindonatii internationale s-au realizat: laboratoare multimedia si de informatica.Prin proiecte europene s-a obtinut aparatura electronica si de laborator.
Astfel, Facultatea de Stiinte Exacte dispune de sali de curs, sali de sem-inar si sapte laboratoare specializate pe domenii, si anume: retele, multi-media, programare, baze de date. Laboratoarele sunt dotate cu calculatoareperformante si aparatura multimedia necesara desfasurarii cursurilor si a lab-oratoarelor (imprimante, scannere, camere video si foto digitale, copiatoare).
74
Oferta educationala
In cadrul ciclului de studii universitare de licenta exista urmatoarelespecializari:
1. Matematica-Informatica, cu urmatoarele competente la absolvire:
• predarea disciplinelor de matematica si informatica la nivel gim-nazial;
• tratarea numerica si utilizarea produselor soft orientate spre prob-leme de matematica;
• utilizarea matematicii si informaticii ın institutii si economie.
2. Informatica, cu urmatoarele competente la absolvire:
• bazele teoretice ale informaticii;
• programare ın limbaje de nivel ınalt;
• utilizarea si administrarea sistemelor de calcul si a retelelor decalculatoare;
• baze de date;
• utilizarea si dezvoltarea produselor software.
Absolventii ciclului ıntai pot urma studii universitare de masterat:Informatica aplicata ın stiinte, tehnologie si economie. Absolventii acesteispecializari au urmatoarele competente:
• construirea si investigarea unui model matematic;
• folosirea platformelor de programe existente pentru rezolvarea numericaa problemelor aparute ın modele;
• dezvoltarea unor programe soft specifice pentru diferite modele;
• analiza, modelarea si proiectarea sistemelor distribuite si a sistemelorinteligente;
• folosirea matematicii si informaticii ın diferite domenii ale stiintei (fizica,chimie, biologie, statistica), tehnologie si economie.
75
Plan de ınvatamant
Anul I – Specializarea Matematica–Informatica
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V CDiscipline fundamentale
1 Structuri algebrice 2 1 - Ex 5 - - - - -2 Analiza matematica pe R 3 2 - Ex 6 - - - - -3 Algebra liniara - - - - - 2 1 - Ex 54 Analiza matematica pe Rn - - - - - 2 2 - Ex 6
Discipline de specialitate
5Arhitectura sistemelorde calcul 2 - 2 Ex 5 - - - - -
6 Structuri de date 2 - 2 Ex 5 - - - - -7 Sisteme de operare - - - - - 2 - 2 Ex 5
Discipline complementare8 Logica si teoria numerelor 2 1 - Ex 4 - - - - -9 Algoritmi si programare - - - - - 2 - 2 Ex 510 Software matematic - - - - - 1 - 2 Ex 411 Limbi moderne - 2 - Cn 3 - 2 - Cn 312 Educatie fizica - 2 - Cn 2 - 2 - Cn 2
76
Plan de ınvatamant
Anul al II-lea – Specializarea Matematica–Informatica
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V CDiscipline fundamentale
1 Geometrie analitica 2 2 - Ex 5 - - - - -2 Analiza complexa 2 2 - Ex 5 - - - - -3 Ecuatii diferentiale 2 2 - Ex 5 - - - - -4 Analiza reala - - - - - 2 2 - Ex 55 Geometrie diferentiala - - - - - 2 2 - Ex 56 Ecuatii cu derivate partiale - - - - - 2 2 - Ex 57 Mecanica teoretica - - - - - 2 1 - Ex 4
Discipline de specialitate
8Programare orientatape obiecte 2 - 2 Ex 5 - - - - -
9 Retele de calculatoare 2 - 1 Ex 5 - - - - -10 Baze de date - - - - - 2 - 2 Cn 411 Practica 90 ore - - - - - - - - Cn 2
Discipline complementare12 Limbi moderne - 2 - Cn 3 - 2 - Cn 313 Educatie fizica - 2 - Cn 2 - 2 - Cn 2
77
Plan de ınvatamant
Anul al III-lea – Specializarea Matematica–Informatica
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V CDiscipline fundamentale
1Teoria probabilitatilorsi statistica matematica 2 2 - Ex 5 - - - - -
Discipline de specialitate2 Analiza numerica 2 2 - Ex 5 - - - - -3 Analiza functionala 2 2 - Ex 5 - - - - -4 Disciplina optionala I 2 - 2 Cn 5 - - - - -5 Disciplina optionala II 2 - 1 Cn 5 - - - - -6 Disciplina optionala III 2 - 1 Ex 5 - - - - -7 Inteligenta artificiala - - - - - 2 - 2 Ex 58 Disciplina optionala IV - - - - - 2 2 - Ex 59 Disciplina optionala V - - - - - 2 - 1 Cn 510 Disciplina optionala VI - - - - - 2 1 - Cn 5
11Elaborarea si redactarealucrarii de licenta - - - - - - - 8 Cn 10
Discipline complementare- - - - - - - - - - - -
78
Discipline optionale
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V C4a Tehnologii WEB * - * * * - - - - -
4bTehnici avansatede programare * - * * * - - - - -
4c Tehnici de optimizare * - * * * - - - - -4d Istoria informaticii * - * * * - - - - -5a Grafuri si combinatorica * - * * * - - - - -5b Cercetari operationale * - * * * - - - - -5c Istoria matematicii * - * * * - - - - -
5dCriptografie sisecuritatea informatiei * - * * * - - - - -
6a Algebra computationala * - * * * - - - - -
6bLimbaje formale siautomate * - * * * - - - - -
6cSisteme de gestiunea bazelor de date * - * * * - - - - -
6d Topologie generala * * - * * - - - - -8a Teoria operatorilor - - - - - * * - * *8b Baze de date avansate - - - - - * - * * *8c Grafica pe calculator - - - - - * - * * *
8dDrept comunitareuropean - - - - - * * - * *
9aEditare de textestiintifice - - - - - * - * * *
9b Geom. computationala - - - - - * - * * *9c Modelare si simulare - - - - - * - * * *
9dMedii vizualede programare - - - - - * - * * *
10a Algebre de functii - - - - - * * - * *10b Programarea aplic. WEB - - - - - * - * * *10c Procese stochastice - - - - - * * - * *10d Sisteme dinamice - - - - - * - * * *
79
Plan de ınvatamant
Anul I – Specializarea Informatica
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V CDiscipline fundamentale
1 Logica computationala 2 1 - Ex 5 - - - - -
2Arhitectura sistemelorde calcul 2 - 2 Cn 5 - - - - -
3Algoritmi sistructuri de date - - - - - 2 - 2 Ex 5
4 Sisteme de operare - - - - - 2 - 2 Ex 5Discipline de specialitate
5Programareimperativa/procedurala 2 - 2 Ex 5 - - - - -
6 Birotica - - - - - 1 - 2 Cn 4Discipline complementare
7 Analiza matematica pe R 2 2 - Ex 6 - - - - -8 Algebra 2 2 - Ex 5 - - - - -9 Analiza matematica pe Rn - - - - - 2 2 - Ex 6
10Geometrie analiticasi diferentiala - - - - - 2 2 - Ex 6
11 Limbi moderne - 2 - Cn 2 - 2 - Cn 212 Educatie fizica - 2 - Cn 2 - 2 - Cn 2
80
Plan de ınvatamant
Anul al II-lea – Specializarea Informatica
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V CDiscipline fundamentale
1 Retele de calculatoare 2 - 1 Ex 5 - - - - -2 Algoritmica grafurilor 2 - 2 Ex 5 - - - - -3 Baze de date 2 - 2 Ex 5 - - - - -
4Limbaje formalesi automate - - - - - 2 - 2 Ex 5
Discipline de specialitate
5Programare orientatape obiecte 2 - 2 Cn 5 - - - - -
6Tehnici avansatede programare - - - - - 2 - 2 Ex 5
7 Tehnologii Web - - - - - 2 - 2 Cn 4
8Sisteme de gestiunea bazelor de date - - - - - 2 - 2 Ex 5
9 Practica 90 ore - - - - - - - - Cn 2Discipline complementare
10Ecuatii diferentiale sicu derivate partiale 2 2 - Ex 6 - - - - -
11Probabilitati sistatistica matematica - - - - - 2 1 - Ex 5
12 Limbi moderne - 2 - Cn 2 - 2 - Cn 213 Educatie fizica - 2 - Cn 2 - 2 - Cn 2
81
Plan de ınvatamant
Anul al III-lea – Specializarea Informatica
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V CDiscipline fundamentale
1 Calcul numeric 2 - 2 Ex 5 - - - - -Discipline de specialitate
2 Inteligenta artificiala 2 - 2 Ex 5 - - - - -3 Ingineria programarii 2 - 2 Ex 5 - - - - -4 Disciplina optionala I 2 - 2 Cn 5 - - - - -5 Disciplina optionala II 2 - 1 Cn 5 - - - - -6 Disciplina optionala III 2 - 1 Cn 5 - - - - -7 Sisteme expert - - - - - 2 - 2 Ex 58 Disciplina optionala IV - - - - - 2 - 2 Ex 59 Disciplina optionala V - - - - - 2 - 1 Ex 510 Disciplina optionala VI - - - - - 2 - 1 Cn 5
11Elaborarea si redactarealucrarii de licenta - - - - - - - 8 Cn 10
Discipline complementare- - - - - - - - - - - -
82
Discipline optionale
Nr.crt.
Denumirea disciplinei Nr. ore saptamanal. Forma verificareSemestrul I Semestrul II
C S L V C C S L V C
4aCriptografie sisecuritatea informatiei * - * * * - - - - -
4bMedii vizualede programare * - * * * - - - - -
4c Sisteme dinamice * - * * * - - - - -4d Tehnici de optimzare * - * * * - - - - -5a Baze de date avansate * - * * * - - - - -5b Programarea aplic. WEB * - * * * - - - - -5c Retele neuronale * - * * * - - - - -5d Calcul paralel * - * * * - - - - -
6aAdministrarea retelelorde calculatoare * - * * * - - - - -
6bEditare de textestiintifice * - * * * - - - - -
6cTehnici de proiectaresi analiza algoritmilor * - * * * - - - - -
6d Geom. computationala * - * * * - - - - -8a Calcul simbolic - - - - - * - * * *8b Programare distribuita - - - - - * - * * *8c Grafica pe calculator - - - - - * - * * *8d Algebra computationala - - - - - * - * * *9a Sisteme distribuite - - - - - * - * * *
9bVerificarea si validareasistemelor soft - - - - - * - * * *
9c Protocoale de comunicatii - - - - - * - * * *9d Recunoasterea formelor - - - - - * - * * *10a Algoritmi genetici - - - - - * - * * *10b Tehnici de simulare - - - - - * - * * *10c Prelucrare de imagini - - - - - * - * * *
10dDrept comunitareuropean - - - - - * - * * *
83