complemente de mecanicc483

7/29/2019 Complemente de Mecanicc483

1/113

1. INTRODUCERE

1.1. Ce ar trebui s ne reamintim

Mecanica Teoretic poate fi mprit dup natura problemei ce se studiaz

n trei pri. Acestea coincid cu ordinea de apariie i de dezvoltare a Mecanicii:

Statica are ca obiective: studiul condiiilor de echivalen a sistemelor de fore

i respectiv, studiul strii de repaus a sistemelor de puncte materiale aflate sub

aciunea sistemelor de fore echivalente cu zero (n echilibru).

Cinematica studiaz micarea corpurilor fr s in seama de forele care

acioneaz asupra lor. Se mai spune c cinematica studiaz de fapt geometria

micrii.

Dinamica se ocup cu studiul micrii corpurilor sub aciunea forelor.

Un lucru este cert: se lucreaz cu vectori i este indicat s recapitulm

operaiile cu acetia (vezi anexa A).

n urmtoarele dou capitole se vor studia metode pentru compunerea

forelor care acioneaz asupra unui punct material. Se pune problema de a nlocui

sistemul de fore dat cu o for unic numitrezultant, care s aib acelai efect

cu efectul simultan al tuturor forelor sistemului. Aceast operaie de reducere a

unui sistem de fore concurente la cel mai simplu sistem echivalent - rezultanta,

este cunoscut ca operaie de compunere sau desumare a forelor. Dou sisteme

de fore concurente sunt echivalente dac au aceeai rezultant ca mrime i

poziie, n raport cu acelai sistem de referin.

Din cele artate se nelege c operaiile cu vectori i acele noiuni de

matematic elementar din geometria plan i trigonometrie trebuie s fie

cunoscute suficient de bine. Condiia de a nvinge dificultile de ordin matematic

(care sunt uneori inerente la nceput de drum) este obligatorie. Satisfaciile gustate

de viitorul inginer se vor materializa ncet dar sigur, chiar pe msura parcurgerii

acestei cri, i cu siguran la disciplinele urmtoare de studiu.

Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com


2/113

6 Complemente de Mecanic

1.2. Rezolvarea problemelor i gradul de precizie

Aplicaiile demonstrative ct i cele propuse pentru rezolvare implic din

partea studentului parcurgerea urmtoarelor etape:

1) Citirea cu deosebit atenie a enunului problemei, nelegerea semnificaiei

fenomenului fizic i scrierea clar a elementelordatei a celorcerute.

2) Desenarea unor scheme sau diagrame extrem de utile rezolvrii.

3) Rezolvarea numeric, calculele fiind efectuate cu attea zecimale cte sunt

necesare pentru interpretarea corect a datelor de intrare.

4) Rezultatele se interpreteaz, verificndu-se mai nti dac au sens, apoi

desennd sau stabilind orice concluzie care poate fi tras de pe urma lor. Utile

pot fi i particularizrile care evideniaz fenomene mai simple dect cele

studiate, acestea fiind mai uor de imaginat.

Referitor la gradul de precizie din aplicaiile numerice, se vor utiliza n

general trei cifre semnificative ca de exemplu: g= 9,81m/s2, = 3,14, , 3=1,73 ,

sin(/4) = 2/2 = 0,707 etc. n acest context, o mas de m=4 kg, de fapt se va scrie

n rezolvare cu valoarea 4,00 kg.

1.3. Cele patru cazuri de rezolvare a triunghiurilor

Pentru determinarea tuturor elementelor unui triunghi oarecare (laturi i

unghiuri) trebuie s fie date trei elemente (din care cel puin o latur) i rmn de

aflat celelalte trei. Astfel exist urmtoarele variante n ceea ce privete elementele

care se cunosc: o laturi dou unghiuri; dou laturi i un unghi opus uneia din

laturi sau format de acestea; trei laturi. Metodele de rezolvare pentru aceste cazuri

sunt prezentate n continuare.



3/113

Introducere 7

A)Se dau dou unghiuri i o latur. Deoarece suma unghiurilor unui triunghieste 180, se afl i cel de-al treilea unghi. Laturile necunoscute se gsesc

aplicnd teorema sinusurilor, de exemplu fiind date c, , , obinem

= 180(+),

sin

sinca = i

sin

sincb = . (1.1)

Exemplu: se cunosc c = 20cm, =25 i =40 (fig. 1.1).

Se calculeaz:

1. = 180 (25+40) = 115

2. 15,136428,0

4226,020

40sin

25sin20 ==

=a cm

3. 18,149063,0

6428,020

115sin

40sin20 ==

=b cm

B) Se dau dou laturi i unghiul opus uneia dintre ele. Fie a,ci elementele

cunoscute. Obinem:

sin

sin);(-180;sinsin cb

c

a=+== (1.2)

n mod evident, ntre elementele date trebuie s existe urmtoarea condiie:

1sin c

a(1.3)

De aici se constat c sunt posibile urmtoarele trei cazuri:

B.1. a < c, unghiul dat fiind opus laturii mai mari. Atunci exist un unghi

mai mic dect , opus laturii mai mici care va fi ales dintre unghiurile 1 i 2,

1 + 2 = 180. Soluia unic va fi 1< .

4025 BA

Ca

c=20

b

Fig. 1.1.



4/113


Exemplu: a = 5cm, c = 6cm, =45. Etapele de rezolvare sunt urmtoarele:

1 58926.045sin6

5sinsin ===

c

a

"45'53143180

;"15'0636

12

1

==

=

2 este mai mare dect (vezi fig. 1.2).

2. ;"45'5398);(180 =+= ;

3. cm38,8;45sin

"45'5398sin6

sin

sin=

== bcb

.

B.2. a = c, triunghiul este isoscel, deci = .

B.3. a > c, unghiul dat este opus laturii mai mici, iar segmentul a poate fi

att de mare nct condiia 1sin s nu fie verificat. Detaliem urmtoarele

subcazuri:

B.3.1.Nu exist soluie; nu se poate construi un triunghi cu elementele date.

Exemplu: se cunosc a = 2cm, c = 1cm, =45.

.141,12

2245sin

1

2sinsin >====

c

aPrin urmare nu exist soluii. Dac

unghiul ar avea valori care s nu depeasc 30, atunci problema ar avea soluii.

B.3.2. sin va fi egal cu 1, va fi un unghi drept, deoarece 2 =180 1 =

=1. Triunghiul fiind dreptunghic, problema are dou soluii confundate.

Exemplu: se cunosc b = 2cm, c = 1cm i =30

(fig. 1.3).

C

B

b=2

c=190 30

A Fig. 1.3.

9854

45

BA

C

a=5

c=6

b=8,38

366

2= 14354

Fig. 1.2.



5/113

Introducere 9

B.3.3. Dac sin < 1, se obin soluiile 1 i 2 = 180 1. Deoarece

sin> sin, avem 1 > i (180 1 )+< 180, deci i 2 verific condiiile.

Problema are dou soluii distincte.

Exemplu: a = 7cm c = 6cm =30.

1. 58333.030sin6

7sinsin ===

c

a

'19144180

;'4135

12

1

==

=

2. ;'19114);(180 111 =+= ;

41'512 ==

3. cm94,10;30sin

'19114sin6

sin

sin1

1

1 =

== bcb

cm19,1;30sin '415sin6sinsin 222 === bcb .

C) Se dau dou laturi i unghiul cuprins ntre ele. Se cunosc de exemplu b, ci

. rezolvarea se poate face pe dou ci, aplicnd teorema cosinusului sau teorema

tangentei: a2 = b2 +c2 2bc cos bccba cos2-22 += . Unghiul poate fi

stabilit din teorema cosinusului,ca

bac2

cos222

+= sau din teorema sinusurilor

sinsina

b= . Se obin dou valori pentru unghiul , dar numai una este

corespunztoare din punct de vedere geometric. Din teorema tangentei i din

relaia2

902

=+

obinem ,2

tg2

tg +

+

=

cb

cb; din

2

+ i

A2

a=7 C

A1

1

30

c=6

B

2

Fig. 1.4.



6/113


2

se stabilesc i . A treia latur c se afl din teorema sinusurilor,

sin

sinac = .

Exemplu: a = 5km, c = 7,5km, = 56cm.

Rezolvarea se va face cu teorema tangentei: ==+ 124180 ;

37615,02

tg2

tg =+

+

=

ac

ac. Se obine "49'3620

2=

, i deci

"49'3682= , "11'2341= . Proba: =++ 180 .

km.270,6sinsin ==

ab

Verificare cu teorema cosinusului: 270,6cos222 =+= accab km.

D) Se dau toate laturile triunghiului. Soluia se afl prin teorema cosinusului sau

prin formulele de exprimare ale unghiurilor n funcie de de laturi:

bc

acb

2cos

222 += sau

)(

))((

2tg

ass

csbs

=

. Prin permutri circulare se obin

i valorile unghiurilori . Observm c soluiile se pot gsi fie din combinaiile

convenabile a ase numere a2, b2, c2, 2ab, 2bc, 2ca sau a patru numere s,s-a,s-b,

s-c. Verificarea rezultatelor se face cu ajutorul sumei unghiurilor unui triunghi.

Exemplu: a = 4cm, b = 5cm, c = 6cm.

a) Rezolvare cu teorema cosinusului:

a2 = 16 b2 = 25 c2 = 36 2ab = 40 2bc = 60 2ca = 48

b2 + c2a2 = 45 cos= 0,7500 = 412435

c2 + a2 b2 = 27 cos= 0,5625 = 554616

a2 + b2 c2= 5 cos = 0,1250 = 824909

++=1800000



7/113

Introducere 11

b) Rezolvare cu formulele tangentei:

s = 7,50 sa = 3,50 sb = 2,50 sc = 1,50

37796,02tg =

/2 = 20,7048 = 412435

52915,02

tg =

/2 = 27,88557 = 554616

77778,02

tg =

/2 =37,87498 = 824909

1.4. Aplicaii

1.1. Un fulger a fost vzut sub un unghi de 60 fa de terenulconsiderat orizontal i a fost auzit tunetul la un interval de timp t= 4,5 secunde dela producere. S se afle distana i respectiv nlimea la care s-a produs,cunoscnd viteza de propagare a sunetului de v = 334m/s. Timpul de propagare aluminii se neglijeaz, viteza luminii fiind de 300.000 km/s.

REZOLVARE: Se noteaz cu ddistana de la observator pnla sursi cu h nlimea cerut. Din figura 1.5 se stabilesc:d= vt= 334 4,5 = 1503,0 m.h = dsin= vtsin= 1301,6 m.

1.2. Distana dintre axele a dou roi avnd razele riR = 1,5r(fig 1.6),este a= 4,5r. S se calculeze lungimea unei curele de transmisie care antreneazcele dou roi, presupunnd c aceasta este perfect ntins,.

REZOLVARE: Triunghiul ABC este dreptunghic n A. Se cunoate ipotenuza BC = aicateta AB =R r. Conform teoremei lui Pitagora, cateta AC se calculeaz: t2 = a2 (R r)2,t= 4,472 r; cos = (R r)/a = 1/9 = 0,1111 = 1,459 rad.

Cureaua este nfurat pe roata mic peun arc de lungime s = 2r , iar pe roata mare pelungimea S=R(2 - 2). Lungimea total acurelei esteL = 2t+s + S= 16,909 r.

R

at

r

BC

A

Ss

Fi . 1.6.

dh

Fig. 1.5.



8/113


1.3. Din dou puncte A i B se msoar cu un teodolit unghiurile = 30i = 12 spre un reper C. S se afle nlimea h = CD la care se gsete reperulfa de orizontal, cunoscnd AB=100m.

REZOLVARE: Se aplic teorema sinusurilor, apoi se calculeaz h din triunghiuldreptunghic ADC (fig. 1.7):

1.== 18

2. m803,16118sin

30sin100

sin

sin=

==

ABBC

3.h = CD = BC sin= 161,803 sin 18 = 33,601 m.

1.4. Din dou puncte Ai B aflate pe o pant de unghi = 10 se msoa-r unghiurile =35 i = 40 spre un reper C(fig. 1.8). S se afle nlimea h lacare se gsete reperul fa deorizontala punctului A, tiindlungimea AB=150m.

REZOLVARE: n triunghiul ABC se aplic teorema sinusurilor, apoi se calculeazh:

1. = 180 += 150; 2.)sin(

sin

=ABAC ;

3. m579,493)sin(

sinsinsin =

==

ABACh

1.5. n triunghiul oarecare ABC se cunosc: a = 2 m, = 45i = 60. S

se afle celelalte elemente ale triunghiului.Rspuns:1) = 75 2)b= a sin/sin =1,464 m i 3)c = a sin/sin =.1,793 m

1.6. S se rezolve triunghiul oarecare ABC care are laturile a = 2 m,b = 3 m i unghiul dintre acestea = 30.Rspuns: Se construiete mai nti triunghiul. 1) c = 1,615 m, 2) sin = 0,61926, = 381543, 3) sin =0,92889, 1= 681543 (nu convine), 2= 1114417.

1.7.Triunghiul isoscel ABC are laturile a= 6 m, b=c= 5 m. S se afle

unghiurile sale.Rspuns:1) cos = 0,28000, =734424 2) cos = cos= 0,60000, = =365212.

C

DA

Fig. 1.7.B

DB

C

h

Fig. 1. 8.

A



9/113

2.METODA GEOMETRIC DE COMPUNEREA FORELOR

2.1. Regula paralelogramului

Problema compunerii a dou fore F1 i F2 cunoscute, acionnd asupra

unui punct material M este rezolvat de regula paralelogramului forelor

F F R1 2+ = (fig. 2.1. a). Notnd cu unghiul dintre F1 iF2 ,mrimea rezultantei

R se calculeaz aplicnd teorema cosinusului n triunghiulMA1B:

R F F F F F F F F= + = + +1

2

2

2

1 2 1

2

2

2

1 2

2 2cos( ) cos (2.1)

Pentru afarea direciei rezultantei, deci a unghiurilor i , se aplic

teorema sinusurilor n acelai triunghi i se obine relaia:

F F R1 2

sin sin sin = = (2.2)

Compunerea forelor concurente este prima operaie elementar de echivalen a

sistemelor de fore.

OBSERVAIE:Rezultanta se poate obine aplicnd regula triunghiului forelor,echivalent cu regula paralelogramului. Pe baza acestei reguli seconstruiete n extremitatea forei F1 un vector F2 ' echipolent (paralel, de

acelai sens i egal) cu fora F2 . Rezultanta R este vectorul care are

aceiai origine cu originea forei F1 i extremitatea, n extremitatea forei

F2 (fig. 2.1. b).

B2

1FA1

B

M

2F

A1

B

2F

1F

2F

M

baFig. 2.1.

21 FFR +=21 FFR +=



10/113


Dac punctul materialMeste acionat de n fore, se aplic succesiv regula

paralelogramului, de n-1 ori, compunnd primele dou fore F1 i F2 , apoi

rezultanta acestora R12 cu a treia forF3 , obinnd rezultanta R13 , i aa mai

departe:

RFFRFFRFFFFF nn

n

iin

=+++=+++==++++ =

!!! 4133121

321 (2.3)

n figura 2.2,a se exemplific procedeul pentru 4 fore. Aplicnd succesiv

regula triunghiului, se ajunge la construcia cunoscut sub numele de poligonul

forelor, cu care se determin rezultanta. Laturile poligonului sunt reprezentate

de vectori echipoleni cu forele concurente, rezultanta unind originea primei

fore cu extremitatea ultimului vector echipolent (fig. 2.2, b). Atunci cnd

metoda geometric se aplic sub forma unei construcii grafice, realiznd

poligonul forelor la scar, aceasta se numete metoda grafic a compunerii

forelor concurente, metod al crui rezultat este aproximativ, depinznd de

precizia construciei grafice.

OBSERVAIE:Dacpoligonul forelor este nchis, adic extremitatea vectorului

echipolent cu ultima for din poligon coincide cu originea primei

fore, atunci rezultanta este nuli sistemul de fore concurente se

numete sistem echivalent cu zero.

3F

4F

3F

2F

F

1F

4F3F

2F

M M

1F

RRR =14

13R2F

12R

bFig. 2.2.

a



11/113

Metoda geometric de compunere a forelor 15

2.2. Aplicaii

2.1. Folosind metoda geometric, s se arate c operaia de compunerea forelor concurente din figura 2.3 a este comutativ: 1221 FFFF +=+

REZOLVARE: Se aplic de dou ori regula triunghiului, obinndu-se de fiecaredat ca rezultant diagonala paralelogramului celor dou fore (fig. 2.3, bi c).

2.2. Folosind metoda geometric, s se arate c operaia de compunerea forelor concurente din figura 2.4 este asociativ

321321 )()( FFFFFF ++=++ .

REZOLVARE:

Construind poligonul forelor 1F, 2F i 3F , se

stabilete mai nti suma )( 321 FFF ++ (fig. 2.5 a),apoi suma 321 )( FFF ++ (fig. 2.5 b), rezultanta Rfiind latura 2MA a aceluiai contur poligonal

321 AAMA .

A1

BA2

2F

M

21 FFR +=M

2F

1FA1

'2F

BA2

M 1F

21 FFR +=

1F

b ca

Fig. 2.3.

M

3F1F

2F

Fig. 2.4.

R=F1

+(F2+F3

)

A2

A3

1F

2F

3F

A1

''

32FF +

M M1F

A3

2F

3F

A1R=(F1

+F2)+F3

A2

'21 FF +

a bFig. 2.5.



12/113


2.3. S se calculeze rezultanta a dou fore F1=200 N i F2=180 N,tiind c tangenta unghiului dintre ele este 4/3. S se afle direcia rezultantei prindou metode: a) cu teorema sinusurilor; b) utiliznd proieciile rezultantei peaxele de coordonate.

REZOLVARE:Figura 2.1, b corespunde enunului problemei, forele formnd un triunghi MA1B. Se

calculeaz mai nti cosinusul unghiului , funcie de valoarea tangentei, pentru a aplicarelaia (2.1):

5

3

3

41

1

tg1

1cos

22=

+

=+

=

N34115660,0182021820cos2 22212221 ==++=++= FFFFRa) Direcia rezultantei este dat de unghiul , care se stabilete din teorema sinusurilor (2.2)scris pentru acelai triunghi MA1B.

4235.05

31

34

18sinsin

22 =

==

R

F

== 25)4235.0arcsin(

b) A doua metod identific proieciile rezultantei X si Y, respectiv pe axele Ox si Oy, alesistemului xOy (fig. 2.6):

40,1480,018sin

80,3060,01820cos

2

21

===

=+=+=

FY

FFX

4675.080,30

40,14tg ===

X

Y

==2575)arctg(0,46

A1

B

1F

2F

R

M

y

Y

X

x

Fig. 2.6.



13/113


2.4. S se calculeze mrimea rezultantei i direcia pe care o faceaceasta cu axa Ox, cunoscnd foreleF1iF2 din figurile 2.7 i 2.8 .

Rspuns: R= 24,9 N; -43,9 i R= 36,1 N; 73,9.

2.5. Cunoscnd mrimile forelorF1=F3 =F2 /2 = 10 N (fig. 2.9, a), sse determine cea de-a patra for, astfel nct rezultanta lor s fie nul.

REZOLVARE:Condiia ca rezultanta s fie nul (adic sistemul celor patru fore concurente s fie

echivalent cu zero) este aceea ca poligonul lor s fie nchis. Din construcia acestui poligonse observ c foraF4 este orizontal (fig. 2.9 b). Mrimea acesteia se calculeaz parcurgndurmtorul raionament:

foreleF1iF3 determin dou laturi ale unui triunghi echilateral, rezultanta parial fiindcea de-a treia latur (orizontal), deci R13 = 10 N;

F2 este coliniari de acelai sens cuR13, i atunci mrimea foreiF4 =F2 +R13 = 30 N.

y

O F1= 30 N

x

F2 = 40 N

120

Fig. 2.8.

30

y

O

F1= 8 N x

F2= 20 N

Fig. 2.7.

x

A1 A2

A5

y

A3

A4

601F

2F

3F

'2F

'3F1F

'4F

60120

baFig. 2.9.



14/113


2.6. Cunoscnd mrimile forelorF1 = 20 N, F2 = F3 = 34,64 N(fig. 2.10, a), s se determine foraF4, astfel nct rezultanta lor s fie nul.

REZOLVARE:Se reprezint poligonul celor trei fore date i se nchide cu cea de-a patra (fig. 2.10 b).

Forele F2i F3 formeaz un triunghi isoscel A1A2A3 avnd baza A1A3 = 2F2cos30=60 N.Mrimea foreiF4 este stabilit din triunghiul dreptunghic OBA3:

N

FFFBAOBF

11,721320

)30cos230sin()30cos( 2212

1

23

24

==

=++=+=

Din acelai triunghi dreptunghic OBA3 se calculeaz

==== 26,34949,07

32tg3

BA

OB

2.7. S se calculeze mrimea rezultantei celor dou fore F1iF2 dinfigura 2.11. a,b,c, precum i unghiul pe care aceasta l face cu foraF1, tiind cforele sunt reprezentate la scar: fora reprezentat pe o latur a octogonuluimsoar10,00 N.

Rspuns:a) R= 53,05 N; 22,50 b) R= 32,00 N; 12,76 i c) R= 26,13 N; 22,50.

O 60

30

1F2F

3F60

'2F '3F

1F30

3030

'4F A3

O

B A1

A2

ba

Fig. 2.10.

2F

90

1F

2F 45

1F

2F

45

1F

b c

Fig. 2.11.

a



15/113


2.3. Form interactiv de studiu individual

Obiectiv: aplicarea regulii paralelogramului pentru diferite valori ale forelor cu

variaia unghiului dintre acestea.

Specific: prima for este considerat coliniar cu axa Ox. Mrimile forelor potavea valori absolute ntre 1i 100, altfel programul anun eroarea. Unghiul este pozitiv n sens antiorar.

Exerciiu: se introduc datele din problema 2.4 (fig. 2.8.) i se verific rezultatulobinut ( vezi figura 2.12). Pentru claritatea prezentrii desenului, se selecteazn fereastra Scar desen, dimensiunea Mediu. Trecerea la alt aplicaie se

face actionnd butonul Alt exerciiu. Se introduc noile date pentru fore iunghi. Alte dou exemple sunt prezentate n figurile 2.13 i 2.14.

Observaie: schema forelor este reprezentat mereu la scar, existnd iposibilitatea amplificrii desenului. Opiunile posibile: normal, mediu, mare,super (vezi figura 2.14).

Fig. 2.12



16/113


Fig. 2.13

Fig.2.14



17/113

3.METODA ANALITIC DE COMPUNERE A FORELOR

3.1. Proieciile i componentele unei fore

Fora este o mrime vectorial sau, pe scurt, un vector. Un vector se

caracterizeaz complet prin mrime, direcie, sens i punct de aplicaie.Vectorul

avnd mrimea egal cu unitatea, se numete versor. Versorii axelorOxi Oy se

noteaz cu i i j . Prin definiie, se numeteproiecia unei fore pe o ax produsul

scalar dintre fori versorul axei respective. Spre exemplu, proiecia forei F, peaxa Ox esteX i se calculeaz:

X F i F= = cos (3.1)

n care s-a notat cu F intensitatea (modulul sau mrimea) forei i cu unghiul

format de o direcie paralel cu axa Oxi direcia forei (fig.3.1).

Proiecia unei fore pe o axeste o mrime algebric scalar al crui semn

se determin dup orientarea vectorului fa de ax. n figura 3.1, a, b, c, proiecia

Xeste pozitiv, nuli respectiv negativ.

Componenta unei fore dup o ax este mrimea vectorial egal cu

produsul dintre proiecia forei pe axi versorul axei i (fig.3.2) :

X X i F i= = cos (3.2)

=/2Y

y

Y

X = 0

y

x

y

xx

Y

X < 0X= cosF

X > 0

F FF

M MM

a b c

Fig. 3.1.



18/113


Utiliznd proieciile forei pe axe, expresia analitic a vectorului forei este:F X i Y j= + (3.3)

iar modulul forei are expresia:

F X Y= +2 2

(3.4)

Direcia forei fa de axele sistemului de referin este dat de unghiurile i ,

care se calculeaz din relaia de definiie a proieciei unei fore pe o ax:

cos ; =X

F

Y

Fcos = sin = (3.5)

denumite cosinusuri directoare ntre care exist relaia evident:

1coscos 22 =+ (3.6)

3.2. Aplicaie

3.1. Presupunnd c fora F= 100N are pe rnd direcia acului orar alunui ceas care arat orele: dousprezece, dou, patru, apte i zece, s sedescompun aceast for n componente (dup direcia orizontali vertical) is se scrie expresia forei sub form analitic.

REZOLVARE: Direcia forei F1 este vertical i are sensul pozitiv al axei Oy

(fig 3.3, a): F Y j1 1 100= =

Yx

F

Ox

F

60

X

Y

Ox

F

Y

XO30

X

YF30

O30

F

xXO

b c d e

Fig. 3.3.

a

y

x

F

Y=Yj

X=Xi

Fig. 3.2.



19/113

Metoda analitic de compunere a forelor 23

Fora F2 formeaz un unghi de 30 cu axa orizontal Ox (ceasul arat orele dou) i sedescompune n dou componente (fig. 3.3, b):

jijijYiXYXF 506.86)30sin100()30cos100(22222 +=+=+=+= .

Fora F3 (ceasul arat orele patru) se descompune (fig. 3.3, c) :

F X Y X i Y j i j i j3 3 3 3 3 100 30 100 30 86 6 50= + = + = = ( cos ) ( sin ) . .

Componentele forei F4 au sensurile opuse sensului pozitiv axelor Ox i respectiv Oy,deci proieciile acesteia pe axe sunt negative (fig. 3.3, d):

F X Y i j i j4 4 4 100 60 100 60 50 86 6= + = = ( cos ) ( sin ) . .

Fora F5 (ceasul arat orele zece) are proiecia negativ pe axa Oxi pozitiv pe axa Oy(fig. 3.3, e) :

F X Y i j i j5 5 5 100 30 100 30 86 6 50= + = + = +( cos ) ( sin ) . .

3.3.Metoda analitic de compunere a forelor

Se consider un sistem de fore concurente coplanare F F Fn1 2, , , ,! acionnd

n punctul M i rezultanta R , stabilit cu relaia (1.3). Scriind forele sub form

analitic (3.3) i fcnd suma, se obine:

F X i Y j

F X i Y j

F X i Y j

R F i X j Y

n n n

h h h

i

n

h

n

h

n

1 1 1

2 2 2

111

= +

= +

= +

= = + ===

" " " "

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(3.7)

Deoarece expresia analitic a rezultantei este:

R X i Y j= + (3.8)

atunci, din relaiile (3.7) i (3.8) se obin proieciile forei rezultante:

X Xhh

n

==

1

i Y Yhh

n

==

1

(3.9)

precum mrimea i direcia ei (cosinusurile directoare):

R X Y= +2 2 ; cos ; cos . R RX

R

Y

R

= = (3.10)



20/113


Relaiile (3.9) exprimteorema proieciilor:

Proiecia rezultantei unui sistem de fore concurente pe orice axeste egal cu suma algebric a proieciilor forelor ce alctuiescsistemul, pe aceiai ax.

3.4. Aplicaii

3.2. S se determine rezultanta sistemului format din patru fore, dinfigura 3.4. Forele sunt egale n modul cuF.

REZOLVARE: Rezultanta sistemului este:R F X i Y jh

h

= = + =

1

4

Alegem sistemul de axexOy dup direciile forelorF1i F4 care sunt ortogonale. Proiectm forele pe axe

(fig. 3.5, a) i scriem expresiile lor analitice:

F Fi F F i F jF

iF

j1 2 60 60 2

3

2= = + = +; cos sin ,

F F i F j F i Fj F Fj3 430 30 32 2= + = + = cos sin ; .

Folosind teorema proieciilor sub forma relaiilor (3.9), se calculeaz proieciile rezultantei:

FFFF

FXXh

h 634,0)33(20

2

3

2

4

1

=++== =

x

y3F

O

30 60

4F

1F

2F

Fig. 3.4.

4F

Y3 > 0

X3< 0

Y2 > 0

X2 > 0

y

O1F

x

2F3F

'3F4F

'2F

y

O1F

xR

0 0,5 1(F)

a b

Fig.3.5.



21/113

Metoda analitic de compunere a forelor 25

Y YF F

FF

Fh

h

= = + + = =

1

4

03

2 2 23 1 0 366( ) , .

Mrimea rezultantei i direciile ei se calculeaz cu relaia (3.10):

cos

R R X Y F F

R R R R

= = + = = = = =

2 2

4 2 3 0 7320 866 0 500 30 60

. ,cos , ; , ; .

Poligonul forelor din figura 3.5, b conduce la acelai rezultat.

3.3. ruul din figura 3.6 este tras cudou frnghii. S se determine mrimea i unghiul pe care l formeaz rezultanta cu axa vertical.

Rspuns: R = 500 N, 6 50' .

3.4. Dou cabluri acioneaz asuprainelului din figura 3.7 cu fore cunoscute. S sedetermine rezultanta lor.

Rspuns: R = 737 N.

3.5. S se descompun n componente dup direciile sistemului de axexOy i s se scrie expresiile analitice ale forelor din figura 3.8, tiind c toateforele au mrimea de 10 N.

3.6. Cinci fore cu originea n vrful O al hexagonului OA1A2A3A4A5, auextremitile n celelalte cinci vrfuri. Cunoscnd mrimea foreiF1 = 10 N, s se

calculeze rezultanta sistemului de fore (fig. 3.9).Rspuns:R i= 60 .

6045

600 N300 N

Fig. 3.7.

30

300 N

400 N

60

Fig. 3.6.

x

3060 60 30

y

b c d e fa

Fig. 3.8.



22/113


3.7. Forele din figura 3.10 au urmtoarele mrimi:F1 = 14,14 N,F2=F4=

= 5 N,F3= 8,66 N. S se calculeze rezultanta sistemului de fore i s se verificerezultatul, utiliznd metoda grafic.Rspuns: iR = 5 .

3.8. Forele din figura 3.11 aumrimile egale cu 5P. Primele dou fore sunt

pe direcia punctelor A1 i A2, iar cea de-atreia este orizontal. S se calculeze rezultantalor tiind c o diviziune a caroiajului este

egal cu a.REZOLVARE: Se calculeaz mai ni pro-

ieciile forei 1F folosindu-se funciile trigonome-

trice din triunghiul OA1B1:cos1 = OB1/OA1=3a/5a=0.60; sin1 =A1B1/OA1=4a/5a= 0.80;

F1x = F1 cos1 = 5P 0.60 = 3P; F1y = F1 sin1 =5P0.80 = 4P; Din triunghiul OA2B2 se stabilesc funciile trigonometrice: cos2==OB2/OA2=4a/5a=0.80; sin1 =A2B2/OA2=3a/5a=0.60, apoi proieciile forei 2F :F2x =F2cos2=

5P0.80 = 4P;F2y =F2 sin2 = 5P0.60 = 3P. Fora 3F are proiecia

nul pe axa Oy, n timp ce proiecia pe axa Ox este negativ:F3x = F3;F3y = 0. Rezultanta sistemului are proieciile (fig.3.12):

PPPPXXh

h 25433

1

=+== =

=

=++==3

1

034h

h PPPYY .

3.9. Forele din figura 3.13. sunt reprezentate lascar, avnd mrimile proporionale cu distanele. S seafle proieciile rezultantei, tiind c o diviziune acaroiajului este egal cu a, iarF1y=P.

Rspuns: X = 0; Y = 3P.

x

y

3F

O3060

4F

1F

2F 45

Fig. 3.10.

x

A1 A2

A5

y

A3

A4

O3F

1F

5F

2F

4F

Fig. 3.9.

A2

x

2F

23F

1F

B11

A1

O

B2

Fig. 3.11.

y xO

R

Fig. 3. 12.

y

x

F2 F1

Fig. 3. 13.



23/113

4. DESCOMPUNEREA UNEI FORE

Descompunerea unei fore este cea de-a doua operaie elementar de

echivalen, reprezentnd inversul primei operaii elementare de echivalen,

care a fost compunerea forelor concurente.

Adunarea numerelor admite o singur operaie invers, scderea: x = a

b nseamn s aflm pe x dac tim c b + x = a. Vectorii avnd mai multe

caracteristici, se pot enuna mai multe probleme pe care le putem numi inversen sensul c ni se rezultatul unei sumri vectoriale i trebuie s aflm n

anumite condiii termenii.

Astfel, prin descompunerea unei fore R n n componente concurente pe

suportul su se nelege nlocuirea unei fore date R cu forele astfel nct s

existe urmtoarea egalitate vectorial:

RF

n

ii ==1 (4.1)

Aparent relaiile (2.3) i (4.1) sunt identice, dar n relaia (2.3) R este unica

necunoscut, cu forele iF cunoscute, n timp ce n relaia (4.1) problema este

invers, fiind n necunoscute vectoriale (forele iF , i = 1,2,,n) n loc de una.

Concluzia este c n general, soluionarea problemei descompunerii n mod

determinat nu este posibil dect dac se introduc unele restricii saucondiii suplimentare.

n continuare se vor studia numai cteva cazuri particulare de nlocuire a

forei R n problema plan prin dou fore i n problema tridimensional,

prin trei fore dup direcii concurente. Abordarea este cu precdere geometric,

datorit simplitii i eleganei soluiilor.



24/113


4.1. Descompunerea unei fore R n dou fore1

F i 2F ,

dup dou direcii date, concurente pe suportul su

Se cunosc direciile 1 i 2, concurente n punctul O, originea forei

cunoscute R. Rezolvarea geometric presupune construirea paralelogramului

forelor, ducnd drepte paralele prin

extremitatea forei R, la direciile date

1 i 2 (fig. 4.1). Acest caz este

echivalent cu rezolvarea unui triunghi

OAC n care se cunoate o latur OC

(mrimea forei R), i direciile celor

dou laturi (pagina 7,cazul A).


F i 2F ,

concurente pe suportul su, una din ele fiind dat

n mrime, direcie i sens

Dac pe lng fora R este dati fora 1F n mrime, direcie i sens,

atunci construcia din figura 4.2 rezolv

problema: se construiete triunghiul forelor

OAB (fig. 4.2) atunci cnd se cunosc dou

laturi i unghiul dintre ele (pagina 9, cazul

C).


F i 2F ,

concurente pe suportul su, cunoscute ca mrime

Rezolvarea problemei se poate face apelnd la cazul de construcie a unui

triunghi atunci cnd se cunosc laturile sale (pagina 10, cazul D). Problema poate

dou soluii (fig. 4.3), una sau niciuna.

R

2

2F

1

B

A

C

O

Fig. 4.1.1F

R2F B

A

O

Fig. 4.2.

1F



25/113

Descompunerea unei fore 29

4.4. Descompunerea unei fore R n dou fore 1F i 2F ,concurente pe suportul su, cunoscnd mrimea uneia

i direcia celeilalte

Problema se poate reduce la construcia unui triunghi cnd se cunosc dou

laturi i unghiul opus uneia dintre aceste laturi. n figura 4.4 se cunoate unghiul

dintre Ri 1F (se construiete 1 linia OA1A1) i mrimea 2F (se duce arcul

de cerc cu centrul nBi raza 2F ). Se obin dou puncte de intersecie (A1iA1)corespunztoare celor dou soluii.

Dac arcul de cerc este tangent dreptei 1 atunci triunghiul forelor este

dreptunghic i soluia este unic (cele dou soluii anterioare sunt confundate).

Ultima posibilitate este ca suma mrimilor celor dou fore 1F i 2F s fie

mai mic dect cea a forei R, adic nu este ndeplinit condiia geometric ca

suma a dou laturi ale unui triunghi s fie mai mare dect a treia. n acest caz deconstrucie, arcul de cerc nu intersecteaz dreapta 1, deci nu exist soluie.

Cele patru cazuri prezentate admit i soluii analitice care vor fi abordate

paralel cu cele geometrice n aplicaiile din acest capitol. Se las la aprecierea

cititorului care din cele dou variante este mai accesibil.

R2F

B

A2

O

Fig. 4.4.

'1F

1F

'2FA2

A1A11

O R

'2F

B

A

Fig. 4.3.

1FB

'1F

2F



26/113


4.5. Descompunerea unei fore R n trei fore1

F , 2F i 3F

dup trei direcii concurente date, necoplanare

Rezolvarea geometric se rezum la

construcia unui paralelipiped n care cunoatem

direciile muchiilor concurente n O, i

diagonala acestuia, egal cu R. n particular,

dac cele trei direcii sunt reciproc ortogonale

(axele unui sistem de referin triortogonal),

atunci avem un paralelipiped dreptunghic. Dac

cele trei direcii sunt n acelai plan, problema

este nedeterminat.

Rezolvarea analiticare ca suport scrierea ecuaiei vectoriale (4.1):

RFFF =++ 321 (4.2)

sub forma a trei ecuaii de proiecie pe axele sistemului de coordonate:

XXXX =++ 321 (4.3.a)

YYYY =++ 321 (4.3.b)

ZZZZ =++ 321 (4.3.c)

n acest sistem (4.3) sunt trei necunoscute: mrimile forelorF1 , F2 i F3.

Expresia fiecrei fore iF se poate scrie n funcie de versorul direciei i pe care

se afl:

)coscos(cos kjiFuFF iiiiii i ++== (4.4)

Deoarece fora kZjYiXR ++= este cunoscuti nenul, i deci termenii liberi

ai sistemului liniar de ecuaii (4.3) nu sunt toi nuli, soluia existi este unic

(numai n condiiile ca cele trei direcii s nu fie coplanare).

2

3

O

F2

F3

R

1F1

Fig. 4.5.



27/113


4.6. Aplicaii

4.1. S se descompun o for de 13N n dou componente ortogonale,

concurente pe suportul su, dac: a) una dintre componente este de 12N;

b) componentele sunt egale; c) una dintre componente este dublul celeilalte. [4]

REZOLVARE: Se aplic teorema lui Pitagora ntr-un triunghi dreptunghic:

a) Suntem n cazul prezentat la punctul 4.4: 2122 FFR += de unde

5251213 222122 ==== FRF N;

b) n acest caz 22 2FR = de unde 2/22 RF = i deci 192,95,84213

2

===F N;

c) Relaia dintre laturile triunghiului dreptunghic este 2222 54 FFFR =+= , deci

5/22 RF = rezultnd 184,58.335/169 ===F N.

4.2. Ce unghi trebuie s fac dou fore de 6N i de 8N astfel nct

rezultanta lor s fie de 10N?

REZOLVARE: Suntem n cazul prezentat la punctul 4.3.

Se aplic teorema cosinusului (2,1) cos2 212

22

1

2 FFFFR ++= i se calculeaz:

0862

)86(10

2

)(cos

222

21

22

21

2

=

+=

+=

FF

FFR rezult = 90, deci

componentele sunt ortogonale.

4.3. Dou fore concurente P i Q

sunt n raportul 3 la 2 i au o rezultant de

1N. Ce unghi formeaz ele? [4]

REZOLVARE: Cele dou fore mpreun cu

rezultanta formeaz laturile triunghiului ABC.

Triunghiul este dreptunghic deoarece 22=12+(3)2. Se scrie: sin =BC/AB ; =60. Unghiul

format de cele dou fore este 90+ =150 (fig. 4.6).

Q=2

P=3

B

C90

Fig. 4.6.



28/113


4.4. Ce relaie trebuie s existe ntre dou fore Pi Q care formeaz

ntre ele un unghi de 135, tiind c rezultanta este egal cu cea mai mic dintrecele dou fore? [4]

REZOLVARE: Se presupune cP< Q . Teorema cosinusului se aplic n acest caz:

P2 =P2 + Q2 2PQ2/2, din care Q =P2. Concluzia este c fora Q este diagonala ptratului

construit pe foraP, deoarece raportul forelorQiPeste 2.

Rezolvarea grafic este la fel de direct ca

cea analitic: fie foraPcea mai mic dintre

fore iAB direcia celei de-a doua fore, cu

care face unghiul de 135. Se descrie un arc

de cerc cu centrul n Oi razOA. Se duce

prin punctulA o paralel la direcia OB care intersecteaz arcul n punctulD. Rezultanta este

AD egal ca mrime cu foraPi deci ea este perpendicular pe direciaAC. ParalelaDB

stabilete extremitatea forei Q (fig. 4.7).

4.5. Rezultanta are proieciile pe axe cunoscute: Rx = F, Ry = F, iRz = 2F. Se cere s se descompun pe dup direciile vectorilor )0,1,1(1v ,

)1,1,1(2 v i )1,1,0(3 v .

REZOLVARE: Se consider rezultanta 332211321 vvvFFFR ++=++=unde necunoscutele sunt scalarii 1, 2 i 3. Acestea se afl din sistemul ecuaiilor de

proiecie (4.3,a,b,c):

=+

=+

=+

F

F

F

20

0

32

321

21

Din primele dou ecuaii se obine 03 = , din cea de-a treia F22 = , iar din prima

F21 = . Rspunsul este: .0),(2),( 321 =+=+= FkjiFFjiFF

4.6. S se descompun rezultantaR n dou componente concurente alecror suporturi fac un unghi de 60. S se studieze cazurile particulare: a)F1=F2;

b)F1=2F2; c)F1=R/2; d)F1=2R.

O

R

AC

B

Fi . 4.7.

P

Q



29/113



Obiectiv:

descompunerea unei fore dup direciile de coordonate xOy pentru diferitevalori ale forei, cu variaia unghiului pe care acestea l face cu axa Ox;

verificarea calculelor efectuate de student cu cele furnizate de program.

Specific: Mrimea forei poate avea valori ntre 1 i 100, altfel programulanun eroarea. Unghiul este pozitiv n sens antiorar.

Exerciiu: La deschiderea aplicaiei ecranul se prezint ca n figura 4.8, apoi seintroduce mrimea forei i unghiul format cu axa Ox. Reprezentarea grafic a

forei i descompunerea acesteia este reprezentat astfel nct valorile calculatede rezolvitor pot fi deja comparate calitativ. Dup introducerea proieciilor foreieste afiat un buton Comparai rezultatele cu cele ale calculatorului, iarefectuarea unui clic cu mouse-ul pe acest buton face posibil aceastcomparaie (fig. 4.9). Trecerea la alt aplicaie se face actionnd butonul Altexerciiu. Se introduc noile date pentru for i unghiul . Alt exemplu este

prezentat n figuria 4.10.

Fig. 4.8.



30/113


Fig. 4.9

Fig. 4.10.



31/113

5. MOMENTUL UNEI FORE N RAPORTCU UN PUNCT

5.1. Definiie, observaiiO for care acioneaz asupra unui corp rigid nu poate fi definit numai prin

proieciile sale, deoarece este un vector alunector. Astfel, apare ca absolut

necesar definirea noiunii de moment al unei fore n raport cu un punct.

Momentul n raport cu punctul O al unei foreFaplicate nA,

este prin definiie entitatea mecanic vectorial exprimat prin

produsul vectorial:

M OA FO = . (5.1)Vectorul MO se caracterizeaz prin:

- mrimea: M OA F OA F F dO = = sin( , ) , deoarece n triunghiul OAB

dreptunghic (fig. 5.1), s-a notat distana de la punctul O la suportul forei, OB=d(braul forei) i OA OA F d =sin( , ) ;

- direcia perpendicular pe planul determinat de fora Fi punctul O;- sensul stabilit cu regula minii drepte (fig. 5.2.) sau a urubului drept;- punctul de aplicaieO.

Mrimea momentului se msoar n uniti de for nmulite cu uniti de

lungime (Nm), iar dimensiunea este MLT-2L=ML2T-2.

Semnificaia fizic a momentului MO se poate gsi n tendina solidului rigid

de a se roti n jurul punctului O, presupus fix.

Fig. 5.1. Fig. 5.2.

A

x

d

z

F

O

Mo B

y zy

x



32/113


n cazul n care fora se afl n planulxOy, vectorul MO este paralel cu axa

Ozi deci se poate scrie:

M M kO Oz= (5.2)

n careMOzeste proiecia momentului pe axa OZ.

O serie de observaii sunt deosebit de utile calculului practic:

! Momentul este nul atunci cnd punctul O n raport cu care se calculeazmomentul, se afl pe suportul forei (braul forei este nul).

! Momentul MO rmne acelai, oricare ar fi punctul A de pe dreapta suport a

forei F. Se consider fora F aplicat n alt punctA1 de pe suportul su (fig. 5.3,a) i se calculeaz:OA F OA AA F OA F AA F OA F M O1 1 1 = + = + = =( ) (produsul vectorial

AA F1 = 0, pentru cAA1 este coliniar cuF).

! Momentul unei fore n raport cu un punct O fiind un vector legat, schimbareapolului n care se calculeaz, din O n O1 (fig. 5.3, b), conduce la urmtoarearelaie:

M O A F O O OA F O O F OA FO1 1 1 1= = + = + ( )

sauM M O O FO O1 1= + (5.3)

Deci, schimbnd polul, se schimb momentul, dar numai n cazul n care noulpunct O1 se afl pe o dreapt care trece prin O i este paralel cu fora F( O O F O O F 1 1 0 = ), atunci relaia (5.3) devine M MO O1 = .

! Expresia analitic a momentului forei F Xi Yj= + al crei suport trece prinpunctulA de coordonatexiy, n raport cu originea sistemului de axe, O, este :

M M k xY yX kO Oz= = ( ) (5.4)

Ax

z

O

O1

yMO1

FMO

bFig. 5.3.

A x

z

O

A1

y

MoF

a



33/113

Momentul unei fore n raport cu un punct 37

Aceasta se poate stabili descompunnd fora F n componente dup axe ca

n figura 5.4 i calculnd momentele acestora, astfel:

- componenta Y are braul x, iarsemnul pozitiv al momentului acestuia estedat de regula burghiului (tendina de rotiren raport cu O este n sens antiorar,suprapunnd pe drumul cel mai scurt axaOx peste Oy;

- componenta X are braul y, iarsemnul negativ al momentului acesteiarezult din tendina de rotire n raport cu O,

n sens orar.

5.2. Aplicaii

5.1. S se calculeze momentul forei F de 7.5 N n raport cu originea(fig.5.5,a), tiind c suportul ei ntlnete axele de coordonate nA(-3,0) iB(0,4).

REZOLVARE: Se noteaz cu Ppiciorul perpendicularei din O pe suportul forei, OP

reprezentnd braul acesteia. n triunghiul dreptunghic OAB se calculeaz nlimea:

OPAO OB

AB=

=

=

3 4

52 4. m.

Tendina de rotire a forei este n sens orari deci, semnul momentului este negativ:

M F OP k k k MO O= = = =7 5 2 4 18 18, , , Nm.

O x

y

XMO A(x,y)

FY

x= braul

componentei Y

y= braul

componenteiX

Fig. 5.4.

Fig. 5.5.

P

A(-3;0)

B(0;4)

y

F

O

a

A

B

y

3

F

O

4

Y

FY

b



34/113


Alt posibilitate de rezolvare const n a descompune fora F n componente, ntr-un punct pesuportul ei aflat la intersecia cu una din axele de coordonate.

F F i F j FAO

ABi

BO

ABj i j i j= + = +

= +

= +cos sin , , . 7 53

5

4

54 5 6

Descompunnd astfel fora n punctul A (fig. 5.5, b) componenta X are direcia originii O ideci momentul nul n raport cu punctul O, pe cnd componenta Y are braul egal cu 3 m irotete orar, deci:

M YOz = = = 3 6 3 18 Nm .For F se poate descompune i n B;componenta Ytrece prin origine i nu produce

moment, pe cnd cealalt componentX are braul egal cu 4 m i rotete orar, deci:M XOz = = = 4 4 5 4 18, Nm .

Se obine acelai rezultat folosind direct relaia (5.4).

5.2.S se calculeze momentul forei F i j= +2 5 4 5, , n raport cu origineaO, tiind c suportul ei trece prin punctulA(2; 3,6). Dar dac suportul acesteia trece

prin punctulB(-2; 3,6)? Unitile de msur sunt N i m.Rspuns:M x Y y X M x Y y XO A A O B B= = = =18 0Nm;

5.3. Fora F este paralel cu axa Oxi are proiecia pozitivX= 10 N.tiind c n raport cu O, are un moment MO = 1,25 Nm, s se calculeze braulforei i s se determine ordonata punctului A de pe axa Oy prin care trece fora F.

Rspuns:d= 0.125 m;yA = -0,125 m.

5.4.S se determine fora F al crei moment n raport cu originea O estede -30 Nm, dreapta-suport ntlnete axa Ox n punctulA de abscisxA= 1,5 m i

proiecia forei pe axa Ox este pozitiv,X= 20 N. Care este ordonata punctului Baflat pe axa Oyi pe dreapta suport a forei?

Rspuns: Dup ce se descompune F nA, se calculeazY=MO/xAF i j F yB= = =20 20 28 28 1 5; . ,N; m.

5.5.Cunoscnd F j= 5 i M F kO ( ) = 10 , se cere abscisa xB a punctului Baflat pe axa Ox pentru care M F kB( ) = 10 . Unitile de msur sunt N i m.Rspuns: Se folosete relaia (5.3) ixB = 4 m.



35/113

6. MOMENTUL UNEI FORE FA DE O AX

6.1. Definiie, observaiin afara noiunii de moment al unei fore n raport cu un punct, la

stabilirea sistemelor echivalente de fore este de asemeni necesar definirea

noiunii de moment al unei fore calculat n raport cu o ax. Prin definiie,

Momentul unei fore n raport cu o ax ( ) de versor u , este

mrimea mecanic scalar M exprimat prin proiecia peacea ax, a momentului forei calculat n raport cu un punct

arbitrar O, aparinnd aceleiai axe (fig. 6.1):

M OP F u = ( ) (6.1)

Principalele observaii referitoare la definiia de mai sus sunt urmtoarele:

! Momentul M caracterizeaz din punct de vedere mecanic calitativ i

cantitativ, tendina pe care ar avea-o solidului rigid presupus fixat pe axa ( ) ,

de a se roti n jurul acesteia sub aciunea forei F.

! n definiia momentului unei fore fa de o ax ( ) , se afirm c alegerea

punctului O este arbitrar, fr a fi afectat mrimea M . Verificarea acestei

afirmaii se face calculnd momentul forei F n punctul Q de pe axa ( ) i

scriind proiecia acestuia M ' (fig. 6.1):

M r F u QP F u QO OP F u

QO F u OP F u OP F u M

' ( ' ) ( ) [( ) ]

( ) ( ) ( )

= = = + =

= + = =(6.2)

deoarece QO u i deci produsul mixt ( )QO F u este evident, nul.



36/113


! Momentul unei fore fa de o ax este exprimat printr-un produs mixt i

acesta este nul, dac cei trei vectori din (6.1) sunt coplanari, adic suportul forei

Fi axa ( ) sunt n acelai plan.

! Pentru aplicaii, urmtoarea observaie devine util: momentul unei fore F

fa de o ax ( ) este egal cu intensitatea vectorului moment al componentei

forei F dintr-un plan normal pe axa ( ) , calculat n raport cu punctul n care

axa neap planul (fig. 6.2):

M r F = (6.3)

Verificarea acestei afirmaii se obine imediat dac fora F se descompune ndou componente: prima F , paralel cu axa ( ) , iar a doua F , aflat n planul

normal la ax:F F F= +

(fig. 6.2). Se calculeaz:

M OP F u OP F F u OP F u r F u = = + = = ( ) [ ( )] ( ) ( ) , (6.4)

deoarece produsul mixt ( )OP F u = 0 .

! Relaia dintre momentul unei fore calculat n raport cu un punct O imomentele aceleiai fore fa de trei axe reciproc perpendiculare i concurente

n punctul O, este :

M r F M i M j M kO x y z = = + + (6.5)

n care M M Mx y z, , sunt proieciile pe axe ale momentului MO i deci,

M M Mx y z, , reprezint momentele forei F fa de axele Ox, Oyi Oz.

Fig. 6.2.

P

F!

O

r

uF

F

()

Q

MO

r

M= MOu

P

F

O

r

u

Fig. 6.1.



37/113

Momentul unei fore fa de o ax 41

6.2. Teorema lui Varignon.

Dac asupra unui punct material M acioneaz un sistem de foreF F Fn1 2, , ..., , atunci fiecare for are un moment n raport cu punctul O:

M F OM FO ( ) ;1 1= M F OM F O ( ) ,...,2 2= M F OM F O n n( ) .=

Adunnd aceste egaliti, se obine:

M F M F M F OM F OM F OM FO O O n n( ) ( ) ... ( ) ...1 2 1 2+ + + = + + + =

OM F F F OM R M Rn O + + + = =( ... ) ( ),1 2

unde R este rezultanta sistemului de fore i M R OM RO ( ) = este momentul ei

n raport cu acelai punct O.

Relaia obinut sub forma:

M R M F M F M FO O O O n( ) ( ) ( ) ... ( )= + + +1 2 , (6.6)

exprim matematicteorema lui Varignon. Un raionament identic se poate face

pentru momentul rezultant al forelor calculat fa de o ax () care trece prin

polul O. Dar un rezultat direct se obine nmulind scalar relaia (6.6) cu versorul

axei () i conform definiiei (6.1), se afl:

=

=

===

n

ii

n

iiOO FMuFMMuRM

11

)()()( (6.7)

Teorema se enun:

Momentul rezultant al unui sistem de fore concurente

ntr-un punct A, calculat n raport cu un pol O (sau cu o

ax) este egal cu momentul rezultantei acelui sistem de

fore concurente, n raport cu polul O (respectiv axa ).



38/113


Se fac dou remarci:

teorema lui Varignon se mai aplici altor sisteme de fore care se reduc la o

rezultant unic, aa cum se va ilustra i pentru cazul forelor coplanare i al

forelor paralele;

din punct de vedere practic, teorema lui Varignon este un instrument de

simplificare a calculului momentului rezultant, prin nlocuirea acestuia cu

momentul rezultantei.

6.3. APLICAIE

6.1.O bar solicitat axial de o forF, este sudat prin intermediul adou cordoane de sudur de o plac suport. S se descompun fora dupdireciile celor dou cordoane, cunoscnd distanele e1i e2 (fig. 6.3).

REZOLVARE: Direciile celor dou cordoane ( )1 i ( )2 sunt paralele cu

suportul forei F. Se aplic teorema lui Varignon, scriind momemtele fa de dou puncteAiB, aflate pe ( )1 i respectiv ( )2 :

F e F e e = +1 2 1 2( ) i F e F e e = +2 1 1 2( ),undeF1iF2 sunt mrimile componentelor cerute. Rezult:

FF e

e e1

2

1 2

=

+ i F

F e

e e2

1

1 2

=

+i se verificF F F1 2+ = .

bar

F1

F

F2

plac

e1

e2

cordoane de sudur

Fig. 6.3.

(1)

(2)



39/113

7. CUPLURI DE FORE

7.1. Definiie, proprieti

Un sistem de dou fore paralele acionnd pe suporturi diferite, egale ca

intensitate i de sensuri opuse, formeaz un cuplu.

Un cuplu aplicat unui solid rigid tinde

s-l roteasc n jurul unei axe perpendiculare

pe planul celor dou fore. Fie Fi -F dou

fore n planul xOy (fig. 7.1). Momentul

cuplului se definete ca suma momentelor

forelor care l alctuiesc:

M OA F OB F OA OB F BA F d F kO = + = = = ( ) ( ) . (7.1)

Se observ c momentul cuplului este independent de punctul cu care se

calculeaz, mrimea lui fiind egal cu produsul dintre intensitatea unei fore i

distana dintre dreptele suport ale celor dou fore, iar sensul stabilit cu regula

burghiului (urubului drept).

Caracteristic cuplului de fore este rezultanta nul a sistemului de fore, n

timp ce momentul este un vector liber, diferit de zero. Astfel, condiia ca dou

cupluri s fie echivalente este ca ele s aib acelai moment.

Fiind dat un sistem de mai multe cupluri care se gsesc n acelai plan, prin

sumarea momentelor lor se obine un moment rezultant al unui cuplu echivalent.

7.2. Aplicaii

7.1. S se arate c sistemul de fore care acioneaz placa dreptunghiularABCD din figura 7.2, a:

a) se reduce la un cuplu i s se afle momentul acestui cuplu;

b) se reduce la cte o pereche de fore acionnd pe laturile paralele ale dreptunghiului.

REZOLVARE:

a) Se calculeaz rezultanta sistemului de fore 0=+= jYiXR i momentul rezultantMA:

===+== ,0,010012020hh YYXX Nm.6203,01201,0 ==AM

A

x

d

z

O

Mo

By-F

F

Fig. 7.1.



40/113


Deoarece R = 0 i MA 0 , sistemul de fore se reduce la un cuplu al crui moment este de

+6 Nm.

OBSERVAIE: descompunnd fora de 120 N n dou componente coliniare, de 20 N i 100 N

(fig. 7.2, b), sistemul este alctuit din dou perechi de fore paralele, egale ca intensitate, cu

sensurile opuse, formnd dou cupluri cu momentele de -4 Nm i 10 Nm. Cuplul echivalent aremomentul egal cu 10-4=6 Nm.

b) Cunoscnd momentul cuplului i direciile perechii de fore (deci distana d dintre

fore), se calculeaz mrimile forelor dac acestea sunt pe direcia laturilor AB i CD

(fig. 7.2, c), respectivBCiDA (fig. 7.2, d):

N,203,0

6===

BC

MF A N

AB

MF A 40

15,0

6===

Sensurile forelor se consider astfel nct cuplul format s roteasc n sens antiorar.

7.2. Plcile din figura 7.3, ai b sunt acionate n lungul laturilor l deforeFegale n modul. S se arate c sistemele de fore se reduc la cte un cuplu i

s se calculeze momentele acestora.

Rspuns: M Fl M Fl1 23

22= =; .

7.3. Sistemul de fore din figura 7.4 se reduce la un cuplu care aremomentul 17,65 Nm. S se afle mrimea foreiF, unghiul format cu axa Oxi

distanaBC.Rspuns:F= 30 N, = 30 ,BC= 0,6 m.

0,15

6Nm

40N

40N

d

A

120N

100N

20N

y

x

CD

B0,15

0

1

0

2

a

100N

100N

4Nm

10Nm

20N

20N

b

0,

36Nm

20N

20N

c

Fi . 7.2.

Fig. 7.4.

17,3N

y

CB

F

60 x

0,

5

A

17,3N

F3

l

l

F1

F2

l

A

C

a

l

F3

F2

F1

F4

l

l

l

A B

CD

b

Fig. 7.3.



41/113

8. STUDIUL SISTEMELOR DE FORE COPLANARE

8.1. Reducerea sistemelor de fore coplanare

Fie un sistem de n fore coplanare aplicate unui corp rigid i un punct O n

planul forelor (fig. 8.1,a). Fiecare din fore poate fi redus n O, obinnduse

n acest punct:

- n fore concurente, echipolente cu forele date; aceste fore se reduc la o

rezultant unic:

R Fhh

n

==

1

; (8.1)

- n cupluri de fore, reprezentate prin cele n momente MOh, coliniare cu axa

Oz (perpendicular pe planul forelor); nsumndu-le se obine un moment

rezultant:

M M k MO Oh

n

O

h

n

h h= =

= =

1 1

(8.2)

Rezultanta R i momentul rezultant MO formeaz un sistem echivalent cu

sistemul celorn fore date (fig. 8.1,b). Perechea de vectori R i MO se numete

torsorul sistemului de fore n raport cu punctul O. Expresiile analitice ale celor

doi vectori sunt:

R X i Y j= + (8.3)M M kO O= (8.4)

Fn

y

Mo

b

O

y

x

B(0,yB)c

y

F2F1

Fi

a

Fig. 8.1.

RR

O

An Ai

A2A1

O A(xA,0)d



42/113


Deoarece MO are direcia normal planului forelor n care se gsete

rezultanta R , se poate scrie expresia analitic a momentului MO sub forma relaiei

(5.4), funcie de proieciile rezultantei:

M k xY yX kO = ( ) . (8.5)n baza acestei relaii, sistemul de n fore poate fi nlocuit numai cu o

rezultant avnd suportul pe dreapta de ecuaie:

xY yX MO = . (8.6)

Aceast dreapt, ntlnete axa Ox n punctulA; nlocuind n (8.6) yA = 0 , se obine

coordonata x M YA O= / . Notnd cu B punctul de intersecie cu axa Oy, xB = 0 i

y M XB O= / (fig. 8.1, c).

Sistemul echivalent cel mai simplu obinut n acest caz de reducere este o

for unic(rezultanta). Ca urmare, se poate aplica teorema lui Varignon, scriind

cmomentul rezultantMO este egal cu momentul rezultanteiR :

M d RO = (8.7)

unde deste braul rezultantei (fig. 8.1, c).

8.2. Cazurile de reducere la sistemele de fore coplanare

Sistemele de fore coplanare reprezint unul din cazurile de fore des

ntlnite n practica inginereasc. Clasificarea cazurilor este prezentat n

continuare:

1) R = 0 i MO = 0 , sistemul de fore este echivalent cu zero sau sistemul de

fore este n echilibru. Cele dou relaii vectoriale furnizeaz trei ecuaii de

proiecie, respectiv rezultanta dou ecuaii de proiecie a forelor pe axele Oxi Oy,

iar momentul o ecuaie de proiecie corspunztoare axei Oz:

X X

Y Y

M x Y y X

h

h

Oz h h h h

= =

= =

= =

0

0

0

;

;

( ) .

(8.7)

2) R = 0 i MO 0 , sistemul de fore dat este echivalent cu un cuplu,momentul acestuia avnd direcia perpendicular pe planul forelor (fig. 8.2);



43/113

Studiul sistemelor de fore coplanare 47

3) R 0 i MO = 0 , sistemul de fore este echivalent n acest caz cu o singur

for (rezultanta), al crei suport trece prin punctul de reducereO (fig. 8.3).

4) R 0 , MO 0 i R MO = 0 , deoarece R MO . Sistemul echivalent cel

mai simplu este reprezentat de o for unic (rezultanta) care nu trece prin

punctul de reducere O (fig. 8.4). Axa central este chiar suportul rezultantei i aa

cum s-a artat, se aplic n acest caz teorema lui Varignon.

8.3. Aplicaii

8.1.S se reduc n punctul O sistemul de fore care acioneaz pe stlpuldin figura 8.5 i s se stabileasc sistemul echivalent cel mai simplu.

REZOLVARE: Utiliznd sistemul de referin dinfigura 8.5, proieciile rezultantei sunt:

X Xh= = = = 6 20 30 6 17 32 11 32cos , , kN,

Y Yh= = = = 25 20 30 25 10 35sin kN.

Rezultanta are mrimea:

R X Y= + =2 2 36 785, kN.

Momentul forelor calculat n raport cu punctul O:MO = + = + =6 7 20 30 0 8 20 30 4 42 8 69 28 19 28( sin ) , ( cos ) , , kNm

y

x

z

O

d

Fig. 8.2.

F

-F

y

x

z

O

Fig. 8.4.

(A.C.)

dy

x

z

O

Fig. 8.3.

(A.C.)

30

O

5 kN

0,803,

00

4,

00

25 kN

y

20 kN

Fig. 8.5.



44/113


n figura 8.6,a este reprezentat sistemulechivalent n punctul O, alctuit dinrezultanta R i momentul rezultant MO .

Sistemul echivalent cel mai simplu este dat

numai de rezultanta R (fig. 8.6,b) aflat pedreapta suport care ntlnete axele decoordonate n puncteleA(xA,0) iB(0,yB):x M Y

y M X

A O

B O

= = =

= = =

/ , / ( ) ,

/ , / ( , ) ,

19 28 35 0 55

19 28 11 3 1 70

m

m

Braul rezultantei este:d= 19,28/36,785 = 0,524 m.

8.2.S se determine momentul cupluluiM, mrimea i direcia forei F,astfel nct bara din figura 8.7 s fie n echilibru.

REZOLVARE: Se alege axa Ox, axa barei, iar originea n captul stng al barei(fig. 8.7). Pentru aflarea celor trei necunoscuteF, iMse scriu ecuaiile de echilibru :

X F

Y F

M M

F

F

MO O

= =

= + =

= + =

=

=

=

cos cos

sin sin

( sin )

cos

sin

20 30 0

20 20 30 0

20 2 20 30 5 0

10 3

10

10

Nm

Se ridic la ptrat i se adun primele dou egaliti i rezultF= 20 N, apoi = 30.Verificarea rezultatului se face procednd la scrierea condiiei ca momentul calculat n raportcu un alt punct din plan, de exemplu n raport cuB, s fie nul:

M F MB = + = + = + =( sin ) ( / ) 5 20 3 20 1 2 5 60 10 50 60 10 0

Fig. 8.6.

y

A(-0,55; 0)x

B(0;1,70)

Od

b

Y

MOX

y

O

x

a

20kN

O

1,5

BAC

y

20kN3,02,0

x

F

M

30

Fig. 8.7.



45/113

9. STUDIUL SISTEMELOR DE FORE PARALELE

9.1. Reducerea sistemelor de fore paralele

Considerm un sistem de n fore paralele cu axa Oz(fig. 9.1, a). n urma

operaiei de reducere fa de punctul O, se obin componentele torsorului:

( )

( ) ( ) ( ) .

;

yxjMiMjMiMFrM

kZkFFR

yOxOhhhhO

hh

+=+==

===

(9.1)

Cei doi vectori sunt ortogonali (R MO ) i prin urmare, produsul lor scalar

(numit invariantul scalar) este nul, R MO = 0 . Astfel se deduce c proiecia

momentului rezultant pe direcia rezultantei (momentul minim) este nul

Mmin = 0 (fig. 9.1, b). Bineneles, teorema lui Varignon poate fi aplicat i

pentru aceste sisteme de fore paralele, dac rezultanta este nenul.

9.2. Cazuri de reducere

Cazurile de reducere posibile pentru sistemele de fore paralele sunt:

1) R = 0 i MO = 0 , sistemul de fore este n echilibru. Cele dou relaii

vectoriale furnizeazi n acest caz trei ecuaii de proiecie, respectiv rezultanta

o ecuaie de proiecie corspunztoare axei Oz, iar momentul dou ecuaii de

proiecie pe axele Oxi Oy:

FnFh

F2

yx

z

O

F1

a

Fig. 9.1.

z

x

(A.C.)

O

R

y

b

R

MO

90



46/113


Z F

M y F

M x F

h

Ox h h

Oy h h

= =

= =

= =

0

0

0

;

( ) ;

( ) .

(9.2)

2) R = 0 i MO 0 , sistemul de fore echivalent cu un cuplu;3) R 0 i MO = 0 , sistemul de fore este echivalent cu o for unicR ,

al crei suport trece prin punctul de reducereO;

4) R 0 , MO 0 , R MO = 0 , sistem echivalent cu o for unicR , care

nu trece prin punctul de reducere O. Axa central (fig. 9.1,b) se gsete sub

forma dreptei de intersecie a dou plane, ale cror ecuaii se stabilesc aplicnd

teorema lui Varignon n raport cu axele Oxi respectiv Oy:

xZ x F

yZ y F

xx F

Z

yy F

Z

h h

h h

h h

h h

=

=

=

=

(9.3)

9.3. Centrul forelor paralele

O proprietate deosebit de important, cnd se consider c forele care

alctuiesc sistemul i menin punctele de aplicaie i intensitile, dar i

modific direcia continund s rmn paralele ntre ele, este aceea c dreapta

suport a rezultantei trece mereu printr-un punct fix C, numit centrul forelor

paralele. Acest punct are coordonatele:

xx F

Zy

y F

Zc

h h

c

h h= =

; (9.4)

Coordonatele centrului Cverific ecuaia axei centrale (9.3) i deoarece centrul

Ceste un punct invariabil al solidului, la o permutare a axelor de coordonate se

stabilete i coordonata z z Fc h h= . Vectorul de poziie al centrului Cse scrie:

r x i y j z k c c c c= + + (9.5)Se subliniaz condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc sistemul de

fore paralele pentru ca s existe un astfel de centru: rezultanta este diferit de

zero (R 0 ) i forele sunt vectori legai.



47/113

Studiul sistemelor de fore paralele 51

Proprietile pe care le are centrul forelor paralele sunt:

poziia acestuia nu se modific dac toate forele sunt multiplicate cu o

mrime scalar; poziia centrului forelor paralele este invariabil n raport cu forele, deci nudepinde de sistemul de axe ales.

Un caz frecvent ntlnit n aplicaii este cel al forelor paralele uniform

distribuite (fig. 9.2, a) sau liniar distribuite (fig. 9.2, b). Pentru forele

distribuite, sumele finite din relaiile stabilite (9.1), (9.2) i (9.3) devin

integrale, iar foreleFh de sub operatorul SIGMA devin fore elementare dF.

Cunoscnd valoarea p(N/m) a forei distribuite i lungimea l(m) pe care

este aplicat aceasta se calculeaz rezultantaR1 (fig. 9.2,a) considernd c pe un

element de lungime dx acioneaz o for elementardF = pdx:

R dF p dx p dx pl

l l l

1

0 0 0

= = = = (9.6)

Coordonata xc a punctului de aplicaie pentru rezultantaR1 se sabilete folosind

relaia (9.4) n mod adecvat:

x

x dF

R

p x dx

pl

l

l

lC

lo lo

=

=

= = 0

1

0

2

22

. (9.7)

Acest rezultat este uor de intuit dac se are n vedere simetria ncrcrii

uniform distribuite.

Fig. 9.2.

dF=pdxz

x dx

x

pl

a

dF=pxdxz

x dx

xpx

p

b

l



48/113


Calculul rezultantei forei distribuite liniar din figura 9.2,b se conduce n

mod asemntor, innd cont c de aceast dat, pe elementul infinit mic de

lungime dx, se exercit o for elementar dF p dxx= unde ordonatacorespunztoare foei distribuite este p px lx = / :

R dF p dxp

lxdx

p

lxdx

pll

x

l l l

2

0 0 0 02

= = = = = (9.8)

RezultantaR2 se aplic la distanaxc de originea axelor:

x

x dF

R

xp dx

pl

p

lx dx

pl

lC

lo

x

lo lo

=

=

=

= 0

2

0

2

0

2 2

2

3. (9.9)

n concluzie, rezultanta este egal cu aria forei distribuite: pentru primul

caz R1=pl (aria distribuiei dreptunghiulare), iar pentru cel de-al doilea caz

R2=pl/2 (aria distribuiei triunghiulare). Rezultanta acioneaz la jumtatea

lungimii l (fig. 9.3, a) i respectiv, la dou treimi din lungimea l fa de

vrful triunghiului (fig. 9.3, b).

9.4. APLICAII

9.1. S se determine rezultanta forelorF = 1530 kN i G = 450 kN, careacioneaz asupra zidului de sprijin din figura 9.4, precum i coordonata punctului n careacesta intersecteaz baza zidului.

Rspuns: R i j M k xO= = =1325 1215 4410 3630; ; . m.

Fig. 9.3.

R1=pl p

l/2

a

l/2l

R2=pl/2 p

b

l/3l

2l/3



49/113

Studiul sistemelor de fore paralele 53

9.2. S se reduc sistemul de fore paralele din figura 9.5 n punctul O, apoi n Ais se stabileasc cazul de reducere, specificnd care este sistemul echivalent cel mai simplu.

Rspuns: Y Y M M h O A= = 10N; = 2 Nm; = -48Nm; cazul d de reducere,R k= 10 pe dreapta suport de ecuaie x= MO/Y= 0,2m.

9.3. Considernd forele paralele din figura 9.5 cu originea n puncte fixe pe axaOx, s se calculeze poziia centrului lor, utiliznd relaiile (9.4).

Rspuns:xC= 0,2 m, yC = 0.


Obiectiv: utilizarea relaiei (9.4) pentru valori diferite ale intensitilor forelor

verticale i pentru distane diferite ale originilor lor, situate pe axa Ox.

Specific: valorile forelor (n numr maxim de 10) pot fi ntre 100N i +100N.

Originea fiecrei fore trebuie s se afle fa de axa Oy ntre 10m i +10m,

altfel programul anun eroarea.

Exemplu de utilizare: se introduce numrul de fore (3). Dup introducereacifrei 3, se deschid dou ferestre pentru introducerea distanei fa de axa Oy a

primei fore i respectiv pentru valoarea prieciei primei fore (vezi figura 9.6).

Se repet introducerea datelor pentru celelalte fore. La final apare rezolvarea

problemei, adic valoarea rezultantei i abscisa punctului de aplicaie a acesteia,

precum i relaia utilizat (fig. 9.7). Datele introduse se pot vedea n fereastra de

sub schema de fore. Acestea sunt reprezentate proporional cu valorile lor.

Trecerea la alt aplicaie se face actionnd butonul Alt exerciiu.

1,01,51,5 1,0

O

y

F3=12 N

F2=8 N F4=4 N

F1=10 N

Fig. 9.5.

B

2

4

G

O x

y

33

F

Fig. 9.4.



50/113


Fig. 9.6

Fig. 9.7.



51/113

10.CENTRE DE MAS

10.1. Definiie

Se definete ca centru de mas al unui sistem de puncte materiale Mi de mase

mi, ale cror poziii sunt determinate fa de un punct O de vectorii de poziie ir, un

punct O, al crui vector de poziie OG= este dat de relaia:

=

=

=

n

ii

n

iii

m

rm

1

1 (10.1)

Coordonatele sale fa de un reperOxy sunt:

=

=

=

=

=

=

n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

m

ym

y

m

xm

x

1

1

1

1 ; (10.2)

Se observ c numitorul din relaiile (10.1) i (10.2) reprezint masa ntregului

sistem: =

= ni

imM1

. Mrimile de la numrtor se numesc momente statice, definite

astfel:

=

=n

iiiO rmS

1

moment static calculat fa de punctul O;

=

=n

iiiy xmS

1

i =

=n

iiix ymS

1

moment static calculat fa de axa Oy, i respectiv

fa de axa Ox.

10.2. Proprieti ale centrului de mas

A)Poziia centrului de mas nu depinde de sistemul de coordonate ales, deoarece

depinde numai de poziia reciproc a punctelor materialeMi.



52/113


B)Dac sistemul de puncte este rigid, atunci i centrul de mas al acestor puncte se

gsete la distane fixe de ele. Prin urmare, centrul de mas al unui sistem rigid

oarecare rmne fix n raport cu un reper solidar cu sistemul rigid.

C)Dac valorile maselor sistemului material sunt multiplicate cu o constant

scalar nenul, poziia centrului de mas al sistemului nu se modific, deoarece

relaia (10.1) este omogen, de grad zero n raport cu mrimile mi. Proprietatea

aceasta permite reprezentarea maselor mi prin lungimi, arii sau volume,

constanta fiind densitatea sistemului considerat omogen.

D)Centrul de mas al unui sistem material constituit dintr-o linie dreapt se afl pe

acea dreapt, iar centrul maselor unui sistem material plan se afl n acel plan.E)Dac sistemul material admite un centru, un plan sau o ax de simetrie, atunci

centrul de mas se gsete respectiv n centrul, n planul sau pe axa de simetrie.

F)Dac domeniul ocupat de sistemul material poate fi descompus n subdomenii

ale cror mase i centre de mas pot fi stabilite direct, atunci centrul de mas al

ansamblului se stabilete cu relaia (10.1), n care mi este masa, iar ir este

vectorul de poziie corespunztor centrului de mas al subdomeniului i.Sistemul iniial poate fi format prin adunarea sau scderea a dou sau mai multe

subdomenii.

10.3. Metode geometrice pentru determinarea centrului de mas

10.3.1. Simetria

Din proprietile centrului de mas (proprietatea E) rezult c se poate

determina fr nici un calcul poziia acestuia pentru unele figuri regulate (care

prezint simetrie). Astfel, urmtoarele plci regulate avnd form de dreptunghi,

romb, ptrat, cerc, triunghi echilateralprezint cel puin dou axe de simetrie (de

reflectare sau oglindire) coninute n planul figurii. Alte figuri pot avea simetrie de

rotaie. Astfel, paralelogramulare o ax de simetrie de rotaie, perpendicular pe



53/113

Centre de mas 57

planul figurii i care trece prin punctul de intersecie al diagonalelor. n acest punct

se afl centrul su de mas.

10.3.2. Centrul de mas al unei plci omogene de form triunghiular

Suprafaa triunghiular din figura 10.1 se mparte n fii subiri paralele cu

latura BC ale cror centre de mas se afl pe mediana AD. Rezult c centrul de

mas se va gsi undeva pe aceast median. Repetnd de aceast dat operaia de

mprire a triunghiului n fii paralele cu latura AB, se stabilete c centrul de

mas se afl pe mediana AF. Prin urmare, centrul de mas al plcii triunghiulareomogene se afl la intersecia medianelor, n punctul G numit i baricentru.

Acest punct se gsete ntotdeauna la o treime din nlime, msurat fa de

baz, sau de dou treimi msurate fa de vrf. De altfel este cunoscut din

geometria analitic, pentru un triunghi ABC, la care vrfurile au coordonatele

A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC), punctul G de intersecie al medianelor va aveacoordonatele:

xG=(xA+xB+xC)/3,yG=(yA+yB+yC)/3. (10.3)

Centrele de mas pentru unele corpuri omogene uzuale ntlnite n probleme plane

sunt prezentate n Anexa C.

BA

C

F

E

G

D 2h/3

h/3

h

Fig. 10.1.



54/113


10.4. Centre de mas pentru corpuri omogene

Rezolvarea problemelor de stabilire a poziiei centrelor de mas pentru

corpuri omogene se bazeaz pe aplicarea proprietii C de la paragraful 10.2.Astfel, pentru o bar omogen avnd masa Muniform distribuit pe lungimea ei

(notatL), se definete densitatea unitii de lungime =M/L. Relaia (10.2) se

scrie dup simplificarea cu :

=

=

=

=

=

=n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

l

yl

y

l

xl

x

1

1

1

1 ; (10.4)

Pentru o plac omogen cu ariaAi masMcunoscute, se scrie densitatea unitii

de suprafa=M/A. Relaia (10.2) devine n acest caz:

=

=

=

=

=

=n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

A

yA

y

A

xA

x

1

1

1

1 ; (10.5)

n expresiile (10.4) i respectiv (10.5), corpul omogen a fost descompus in

subdomenii simple ca form, acestea avnd poziia fiecrui cemtru de mas

cunoscut.

10.5. Aplicaii

10.1. . S se determine

poziia centrului de mas pentru baraomogen din figura 10.2.REZOLVARE:

1. Se alege ca sistem de referin, sistemulcare ncadreaz bara, aceasta fiind plasat n

primul cadran (fig. 10.2). Bara se considerca o sum de trei bare A1O, OA i A2A3.

pentru acestea vom scrie urmtoarelelungimi i coordonate ale centrelor de mas:

y

A1

C2

C3C1

x

A3

O A2

Fig. 10.2

2R

4R

R



55/113

Centre de mas 59

=+=

==

===

=

==

==

Ry

CCRx

RRl

AA

y

Rx

Rl

OA

Ry

RRx

RRl

OA

3

323

3

32

2

2

2

2

1

1

1

1 4/cos2

4/22

;

0

2

4

;2

2/

)2/sin(

2/2

unde distana C2C3 se determin pentru unghiul =/4 cu relaia:

24

4/

)4/sin(232

RRCC ==

Calculele se efectueaz folosind tabelul 10.1:TABELUL 10.1.

Corpul (i) li xi yi lixi liyi(1) (2) (3) (4) (5) (6)

A1O (1) R 2R/ R 2R2 R2OA2 (2) 4R 2R 0 8R 2 0

A2A3 (3) R 2R+4R/ 4R/ 2R2+4R2 4R2

Sumnd valorile din coloana a doua, se stabilete lungimea total a barei care este

)2(23

1

+== =

RlLi

i . Totaliznd valorile din coloana a cincea i respectiv a asea,

se afl momentele statice care sunt: )7(2 23

1

+== =

RxASi

iiy i

)4(23

1

+== =

RyASi

iix .Utiliznd relaiile (10.4) obinem coordonatele:

RRL

SyRR

L

Sx xC

y

C 69,0)2(2

4;97,1

2

7

++

==++

==

10.2. Placa omogen trapezoidal are dimensiunile cunoscute: B, bi h(fig. 10.3,a). S se calculeze cotayC a centrului de mas.

REZOLVARE: Placa trapezoidal se descompune ntr-o placdreptunghiular

cu aria

A1= bBi coordonata centrului de masy1=h/2 (fig.10.3, b), precum i ntr-una triunghiular cu

ariaA2=(B-b)h/2 i coordonata centrului de masy2=h/3 (fig.10.3, c).

Fig. 10.3.

B

h

by

x xb/2 b+(B-b)/3 x

y

h/3h/2

y

b ca



56/113


Se calculeaz:)(3

)2(

2

)(6

)(

2

22

21

2211

bB

bBh

hbBbh

hbBbh

AA

yAyAyC +

+=

+

+

=++

=

Descompunerea plcii se poate face considernd mai nti o plac dreptunghiular cu ariaA1=Bh(fig 10.4,B), din care se scade o plac triunghiular cu ariaA2=(B-b)h/2 (fig. 10.4, c). Evident se

obine acelai rezultat:)(3

)2(

2

)(32

)(2

2

22

21

2211

bB

bBh

hbBBh

hbBBh

AA

yAyAyC +

+=

=

=

Fig. 10.4.

10.3. S se calculeze abscisa centrului de mas pentru placa trapezoidaldin figura 10.3, apoi s se verifice rezultatul obinut folosind descompunerea dinfigura 10.4.

10.4. Corpul din figura 10.5 este alctuit dintr-o bar circular omogenavnd masa m1i o plac semieliptic omogen cu masa cunoscutm2. Ce relaieexist ntre cele dou mase, astfel nct poziia centrului de mas al corpului scoincid cu centrul cercului, O ? Se cunoate razaR.

REZOLVARE: Problema implic utilizarea relaiilor de forma (10.2), avnd corpurisimple omogene, dar de natur diferit: o bari o plac. Deoarece axa Oy este ax de simetrie,rezult imediat cxC=0, iar conform alegerii sistemului de referin (fig. 10.5) se impunecondiia yC=0, adic momentul static Sx=0. Elementele geometrice necesare rezolvrii sunt

pentru primul corp: y1= 2R/, respectiv pentru cel de-aldoileay2 = - 2R/(3) vezi anexa C. Se scrie:

0

3

)2/(4221

2211

=

+=

=+=

Rm

Rm

ymymSx

i deci m2=3m1.

y

B

h

by

x x/2 b+2 B-b /3 x

y

2h/3h/2

b ca

1

2

y

x

C2 R/2

C1

O

Fig. 10.5



57/113

Centre de mas 61

10.5. S se determine poziia centrului demas pentru placa omogen din figura 10.6, printr-o descompunere ntr-un numr minim de elemente.

Cotele din figur sunt date n dm.

REZOLVARE: Placa se descompune n dou elementecomponente (un paralelogram i un triunghi dreptunghic),acesta fiind numrul minim de elemente cerut. Dupreprezentarea poziiilor centrelor de mas Ci aleelementelor, se alege un sistem de axe fa de care se scriucoordonatelexii yi. Criteriul de alegere a sistemului deaxe poate fi determinat de simplitatea cotrii centrelor demas (de exemplu, toate centrele s se gseasc n primulcadran, coordonatele lor fiind toate pozitive). Un altcriteriu s-ar ntemeia pe observaia c atunci cnd se afl pe

axele de coordonate ct mai multe centre de mas, n expresiile momentelor statice intervinzerourile coordonatelor acestor centre i ca urmare, calculele numerice au un volum mai redus.Paralelogramul are aria A1= 42,4 =9,6 dm

2, i are centrul de mas la x1=2 dm, respectivy1=1,2 dm (fig. 10.7,a). Triunghiul dreptunghic are ariaA2 = 32,4/2 = 3,6 dm

2, i are centrulde mas lax2 = 1+3,0/3 = 2 dm, respectivy2 = 2,4+2,4/3 = 3,2 dm (fig. 10.7,b).

Se calculeaz: aria total a suprafeei: A=A1+A2=13,2dm2, momentul static

Sy=A1x1+A2x2=9,62+3,62=26,4 dm3, momentul static Sx=A1y1+A2y2=9,61,2+3,63,2= 23,04

dm3. Rezult la final coordonatelexG

=Sy/A=2dm i respectiv,y

G=S

x/A=1,745 dm.

OBSERVAIE: Deoarece ambele elemente au centrele demas cu aceeai abscis (x1=x2 = 2 dm), la alegereasistemului de coordonate se putea ine cont de acestamnunt considernd axa Oy trecnd prin cele dou puncteC1 i C2 (fig. 10.8). n consecin se obinea fr calcule

xG=0. Dac originea sistemului de coordonate se alegea npunctul C1, atunci expresia pentru calculul numeric alcoordonateiyG se simplifica n continuare:yG = (A2 y2)/A =3,6 2,0/13,2=0,545 dm.

Diferena dintre cele dou valori obinute pentruyGreprezint tocmai distana relativ dintre cele dou axe Ox.

Fig. 10.7.

xy1

x1y

C1O

a b

x

y

x2y

2

C2

O

3.0 1.0

2.

4

2.

4

1.0 3.0

Fig. 10.6.

Fig. 10.8.

2.

0

x

y

C1

C2

G



58/113


10.6. S se determine poziia centrului de mas pentru placa omogen dinfigura 10.9, a. Raza cerculuiR este cunoscut.

REZOLVARE: Placa se descompune n urmtoarelepatru plci simple (fig 10.9,b) avnd urmtarele forme: 1) ptrat cu laturaR; 2) semicerc cu razaR; 3) triunghi dreptunghic isoscel avnd catetele egale tot cuR; 4) sfert de cerc cu razaR (deoarece acesta se scade, aria sa seconsider negativ).

Calculele pot fi organizate n tabelul 10.2, n modasemntor cu cel de la problema 10.1. n figura 10.10 s-aureprezentat centrele de mas pentru fiecare plac simplcomponent, apoi s-a ales un sistem de axe dup cateteletriunghiului dreptunghic.

TABELUL 10.2.Corpul (i) Ai xi yi Aixi Aiyi

(1) (2) (3) (4) (5) (6)R

2 -R/2 R R3/2 R3/2R2/2 0 4R/3 0 2R3/3R

2/2 R/3 R/3 R3/6 R3/6

R2

/4 R+4R/3 R4R/3 R3

/4R3

/3 -R3

/4+R3

/3Se efectueaz sumele pe coloanele 2, 5 i 6, dup care

complemente de mecanicc483

Documents