Download - Complemente de Mecanicc483
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
1/113
1. INTRODUCERE
1.1. Ce ar trebui s ne reamintim
Mecanica Teoretic poate fi mprit dup natura problemei ce se studiaz
n trei pri. Acestea coincid cu ordinea de apariie i de dezvoltare a Mecanicii:
Statica are ca obiective: studiul condiiilor de echivalen a sistemelor de fore
i respectiv, studiul strii de repaus a sistemelor de puncte materiale aflate sub
aciunea sistemelor de fore echivalente cu zero (n echilibru).
Cinematica studiaz micarea corpurilor fr s in seama de forele care
acioneaz asupra lor. Se mai spune c cinematica studiaz de fapt geometria
micrii.
Dinamica se ocup cu studiul micrii corpurilor sub aciunea forelor.
Un lucru este cert: se lucreaz cu vectori i este indicat s recapitulm
operaiile cu acetia (vezi anexa A).
n urmtoarele dou capitole se vor studia metode pentru compunerea
forelor care acioneaz asupra unui punct material. Se pune problema de a nlocui
sistemul de fore dat cu o for unic numitrezultant, care s aib acelai efect
cu efectul simultan al tuturor forelor sistemului. Aceast operaie de reducere a
unui sistem de fore concurente la cel mai simplu sistem echivalent - rezultanta,
este cunoscut ca operaie de compunere sau desumare a forelor. Dou sisteme
de fore concurente sunt echivalente dac au aceeai rezultant ca mrime i
poziie, n raport cu acelai sistem de referin.
Din cele artate se nelege c operaiile cu vectori i acele noiuni de
matematic elementar din geometria plan i trigonometrie trebuie s fie
cunoscute suficient de bine. Condiia de a nvinge dificultile de ordin matematic
(care sunt uneori inerente la nceput de drum) este obligatorie. Satisfaciile gustate
de viitorul inginer se vor materializa ncet dar sigur, chiar pe msura parcurgerii
acestei cri, i cu siguran la disciplinele urmtoare de studiu.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
2/113
6 Complemente de Mecanic
1.2. Rezolvarea problemelor i gradul de precizie
Aplicaiile demonstrative ct i cele propuse pentru rezolvare implic din
partea studentului parcurgerea urmtoarelor etape:
1) Citirea cu deosebit atenie a enunului problemei, nelegerea semnificaiei
fenomenului fizic i scrierea clar a elementelordatei a celorcerute.
2) Desenarea unor scheme sau diagrame extrem de utile rezolvrii.
3) Rezolvarea numeric, calculele fiind efectuate cu attea zecimale cte sunt
necesare pentru interpretarea corect a datelor de intrare.
4) Rezultatele se interpreteaz, verificndu-se mai nti dac au sens, apoi
desennd sau stabilind orice concluzie care poate fi tras de pe urma lor. Utile
pot fi i particularizrile care evideniaz fenomene mai simple dect cele
studiate, acestea fiind mai uor de imaginat.
Referitor la gradul de precizie din aplicaiile numerice, se vor utiliza n
general trei cifre semnificative ca de exemplu: g= 9,81m/s2, = 3,14, , 3=1,73 ,
sin(/4) = 2/2 = 0,707 etc. n acest context, o mas de m=4 kg, de fapt se va scrie
n rezolvare cu valoarea 4,00 kg.
1.3. Cele patru cazuri de rezolvare a triunghiurilor
Pentru determinarea tuturor elementelor unui triunghi oarecare (laturi i
unghiuri) trebuie s fie date trei elemente (din care cel puin o latur) i rmn de
aflat celelalte trei. Astfel exist urmtoarele variante n ceea ce privete elementele
care se cunosc: o laturi dou unghiuri; dou laturi i un unghi opus uneia din
laturi sau format de acestea; trei laturi. Metodele de rezolvare pentru aceste cazuri
sunt prezentate n continuare.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
3/113
Introducere 7
A)Se dau dou unghiuri i o latur. Deoarece suma unghiurilor unui triunghieste 180, se afl i cel de-al treilea unghi. Laturile necunoscute se gsesc
aplicnd teorema sinusurilor, de exemplu fiind date c, , , obinem
= 180(+),
sin
sinca = i
sin
sincb = . (1.1)
Exemplu: se cunosc c = 20cm, =25 i =40 (fig. 1.1).
Se calculeaz:
1. = 180 (25+40) = 115
2. 15,136428,0
4226,020
40sin
25sin20 ==
=a cm
3. 18,149063,0
6428,020
115sin
40sin20 ==
=b cm
B) Se dau dou laturi i unghiul opus uneia dintre ele. Fie a,ci elementele
cunoscute. Obinem:
sin
sin);(-180;sinsin cb
c
a=+== (1.2)
n mod evident, ntre elementele date trebuie s existe urmtoarea condiie:
1sin c
a(1.3)
De aici se constat c sunt posibile urmtoarele trei cazuri:
B.1. a < c, unghiul dat fiind opus laturii mai mari. Atunci exist un unghi
mai mic dect , opus laturii mai mici care va fi ales dintre unghiurile 1 i 2,
1 + 2 = 180. Soluia unic va fi 1< .
4025 BA
Ca
c=20
b
Fig. 1.1.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
4/113
8 Complemente de Mecanic
Exemplu: a = 5cm, c = 6cm, =45. Etapele de rezolvare sunt urmtoarele:
1 58926.045sin6
5sinsin ===
c
a
"45'53143180
;"15'0636
12
1
==
=
2 este mai mare dect (vezi fig. 1.2).
2. ;"45'5398);(180 =+= ;
3. cm38,8;45sin
"45'5398sin6
sin
sin=
== bcb
.
B.2. a = c, triunghiul este isoscel, deci = .
B.3. a > c, unghiul dat este opus laturii mai mici, iar segmentul a poate fi
att de mare nct condiia 1sin s nu fie verificat. Detaliem urmtoarele
subcazuri:
B.3.1.Nu exist soluie; nu se poate construi un triunghi cu elementele date.
Exemplu: se cunosc a = 2cm, c = 1cm, =45.
.141,12
2245sin
1
2sinsin >====
c
aPrin urmare nu exist soluii. Dac
unghiul ar avea valori care s nu depeasc 30, atunci problema ar avea soluii.
B.3.2. sin va fi egal cu 1, va fi un unghi drept, deoarece 2 =180 1 =
=1. Triunghiul fiind dreptunghic, problema are dou soluii confundate.
Exemplu: se cunosc b = 2cm, c = 1cm i =30
(fig. 1.3).
C
B
b=2
c=190 30
A Fig. 1.3.
9854
45
BA
C
a=5
c=6
b=8,38
366
2= 14354
Fig. 1.2.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
5/113
Introducere 9
B.3.3. Dac sin < 1, se obin soluiile 1 i 2 = 180 1. Deoarece
sin> sin, avem 1 > i (180 1 )+< 180, deci i 2 verific condiiile.
Problema are dou soluii distincte.
Exemplu: a = 7cm c = 6cm =30.
1. 58333.030sin6
7sinsin ===
c
a
'19144180
;'4135
12
1
==
=
2. ;'19114);(180 111 =+= ;
41'512 ==
3. cm94,10;30sin
'19114sin6
sin
sin1
1
1 =
== bcb
cm19,1;30sin '415sin6sinsin 222 === bcb .
C) Se dau dou laturi i unghiul cuprins ntre ele. Se cunosc de exemplu b, ci
. rezolvarea se poate face pe dou ci, aplicnd teorema cosinusului sau teorema
tangentei: a2 = b2 +c2 2bc cos bccba cos2-22 += . Unghiul poate fi
stabilit din teorema cosinusului,ca
bac2
cos222
+= sau din teorema sinusurilor
sinsina
b= . Se obin dou valori pentru unghiul , dar numai una este
corespunztoare din punct de vedere geometric. Din teorema tangentei i din
relaia2
902
=+
obinem ,2
tg2
tg +
+
=
cb
cb; din
2
+ i
A2
a=7 C
A1
1
30
c=6
B
2
Fig. 1.4.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
6/113
10 Complemente de Mecanic
2
se stabilesc i . A treia latur c se afl din teorema sinusurilor,
sin
sinac = .
Exemplu: a = 5km, c = 7,5km, = 56cm.
Rezolvarea se va face cu teorema tangentei: ==+ 124180 ;
37615,02
tg2
tg =+
+
=
ac
ac. Se obine "49'3620
2=
, i deci
"49'3682= , "11'2341= . Proba: =++ 180 .
km.270,6sinsin ==
ab
Verificare cu teorema cosinusului: 270,6cos222 =+= accab km.
D) Se dau toate laturile triunghiului. Soluia se afl prin teorema cosinusului sau
prin formulele de exprimare ale unghiurilor n funcie de de laturi:
bc
acb
2cos
222 += sau
)(
))((
2tg
ass
csbs
=
. Prin permutri circulare se obin
i valorile unghiurilori . Observm c soluiile se pot gsi fie din combinaiile
convenabile a ase numere a2, b2, c2, 2ab, 2bc, 2ca sau a patru numere s,s-a,s-b,
s-c. Verificarea rezultatelor se face cu ajutorul sumei unghiurilor unui triunghi.
Exemplu: a = 4cm, b = 5cm, c = 6cm.
a) Rezolvare cu teorema cosinusului:
a2 = 16 b2 = 25 c2 = 36 2ab = 40 2bc = 60 2ca = 48
b2 + c2a2 = 45 cos= 0,7500 = 412435
c2 + a2 b2 = 27 cos= 0,5625 = 554616
a2 + b2 c2= 5 cos = 0,1250 = 824909
++=1800000
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
7/113
Introducere 11
b) Rezolvare cu formulele tangentei:
s = 7,50 sa = 3,50 sb = 2,50 sc = 1,50
37796,02tg =
/2 = 20,7048 = 412435
52915,02
tg =
/2 = 27,88557 = 554616
77778,02
tg =
/2 =37,87498 = 824909
1.4. Aplicaii
1.1. Un fulger a fost vzut sub un unghi de 60 fa de terenulconsiderat orizontal i a fost auzit tunetul la un interval de timp t= 4,5 secunde dela producere. S se afle distana i respectiv nlimea la care s-a produs,cunoscnd viteza de propagare a sunetului de v = 334m/s. Timpul de propagare aluminii se neglijeaz, viteza luminii fiind de 300.000 km/s.
REZOLVARE: Se noteaz cu ddistana de la observator pnla sursi cu h nlimea cerut. Din figura 1.5 se stabilesc:d= vt= 334 4,5 = 1503,0 m.h = dsin= vtsin= 1301,6 m.
1.2. Distana dintre axele a dou roi avnd razele riR = 1,5r(fig 1.6),este a= 4,5r. S se calculeze lungimea unei curele de transmisie care antreneazcele dou roi, presupunnd c aceasta este perfect ntins,.
REZOLVARE: Triunghiul ABC este dreptunghic n A. Se cunoate ipotenuza BC = aicateta AB =R r. Conform teoremei lui Pitagora, cateta AC se calculeaz: t2 = a2 (R r)2,t= 4,472 r; cos = (R r)/a = 1/9 = 0,1111 = 1,459 rad.
Cureaua este nfurat pe roata mic peun arc de lungime s = 2r , iar pe roata mare pelungimea S=R(2 - 2). Lungimea total acurelei esteL = 2t+s + S= 16,909 r.
R
at
r
BC
A
Ss
Fi . 1.6.
dh
Fig. 1.5.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
8/113
12 Complemente de Mecanic
1.3. Din dou puncte A i B se msoar cu un teodolit unghiurile = 30i = 12 spre un reper C. S se afle nlimea h = CD la care se gsete reperulfa de orizontal, cunoscnd AB=100m.
REZOLVARE: Se aplic teorema sinusurilor, apoi se calculeaz h din triunghiuldreptunghic ADC (fig. 1.7):
1.== 18
2. m803,16118sin
30sin100
sin
sin=
==
ABBC
3.h = CD = BC sin= 161,803 sin 18 = 33,601 m.
1.4. Din dou puncte Ai B aflate pe o pant de unghi = 10 se msoa-r unghiurile =35 i = 40 spre un reper C(fig. 1.8). S se afle nlimea h lacare se gsete reperul fa deorizontala punctului A, tiindlungimea AB=150m.
REZOLVARE: n triunghiul ABC se aplic teorema sinusurilor, apoi se calculeazh:
1. = 180 += 150; 2.)sin(
sin
=ABAC ;
3. m579,493)sin(
sinsinsin =
==
ABACh
1.5. n triunghiul oarecare ABC se cunosc: a = 2 m, = 45i = 60. S
se afle celelalte elemente ale triunghiului.Rspuns:1) = 75 2)b= a sin/sin =1,464 m i 3)c = a sin/sin =.1,793 m
1.6. S se rezolve triunghiul oarecare ABC care are laturile a = 2 m,b = 3 m i unghiul dintre acestea = 30.Rspuns: Se construiete mai nti triunghiul. 1) c = 1,615 m, 2) sin = 0,61926, = 381543, 3) sin =0,92889, 1= 681543 (nu convine), 2= 1114417.
1.7.Triunghiul isoscel ABC are laturile a= 6 m, b=c= 5 m. S se afle
unghiurile sale.Rspuns:1) cos = 0,28000, =734424 2) cos = cos= 0,60000, = =365212.
C
DA
Fig. 1.7.B
DB
C
h
Fig. 1. 8.
A
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
9/113
2.METODA GEOMETRIC DE COMPUNEREA FORELOR
2.1. Regula paralelogramului
Problema compunerii a dou fore F1 i F2 cunoscute, acionnd asupra
unui punct material M este rezolvat de regula paralelogramului forelor
F F R1 2+ = (fig. 2.1. a). Notnd cu unghiul dintre F1 iF2 ,mrimea rezultantei
R se calculeaz aplicnd teorema cosinusului n triunghiulMA1B:
R F F F F F F F F= + = + +1
2
2
2
1 2 1
2
2
2
1 2
2 2cos( ) cos (2.1)
Pentru afarea direciei rezultantei, deci a unghiurilor i , se aplic
teorema sinusurilor n acelai triunghi i se obine relaia:
F F R1 2
sin sin sin = = (2.2)
Compunerea forelor concurente este prima operaie elementar de echivalen a
sistemelor de fore.
OBSERVAIE:Rezultanta se poate obine aplicnd regula triunghiului forelor,echivalent cu regula paralelogramului. Pe baza acestei reguli seconstruiete n extremitatea forei F1 un vector F2 ' echipolent (paralel, de
acelai sens i egal) cu fora F2 . Rezultanta R este vectorul care are
aceiai origine cu originea forei F1 i extremitatea, n extremitatea forei
F2 (fig. 2.1. b).
B2
1FA1
B
M
2F
A1
B
2F
1F
2F
M
baFig. 2.1.
21 FFR +=21 FFR +=
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
10/113
14 Complemente de Mecanic
Dac punctul materialMeste acionat de n fore, se aplic succesiv regula
paralelogramului, de n-1 ori, compunnd primele dou fore F1 i F2 , apoi
rezultanta acestora R12 cu a treia forF3 , obinnd rezultanta R13 , i aa mai
departe:
RFFRFFRFFFFF nn
n
iin
=+++=+++==++++ =
!!! 4133121
321 (2.3)
n figura 2.2,a se exemplific procedeul pentru 4 fore. Aplicnd succesiv
regula triunghiului, se ajunge la construcia cunoscut sub numele de poligonul
forelor, cu care se determin rezultanta. Laturile poligonului sunt reprezentate
de vectori echipoleni cu forele concurente, rezultanta unind originea primei
fore cu extremitatea ultimului vector echipolent (fig. 2.2, b). Atunci cnd
metoda geometric se aplic sub forma unei construcii grafice, realiznd
poligonul forelor la scar, aceasta se numete metoda grafic a compunerii
forelor concurente, metod al crui rezultat este aproximativ, depinznd de
precizia construciei grafice.
OBSERVAIE:Dacpoligonul forelor este nchis, adic extremitatea vectorului
echipolent cu ultima for din poligon coincide cu originea primei
fore, atunci rezultanta este nuli sistemul de fore concurente se
numete sistem echivalent cu zero.
3F
4F
3F
2F
F
1F
4F3F
2F
M M
1F
RRR =14
13R2F
12R
bFig. 2.2.
a
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
11/113
Metoda geometric de compunere a forelor 15
2.2. Aplicaii
2.1. Folosind metoda geometric, s se arate c operaia de compunerea forelor concurente din figura 2.3 a este comutativ: 1221 FFFF +=+
REZOLVARE: Se aplic de dou ori regula triunghiului, obinndu-se de fiecaredat ca rezultant diagonala paralelogramului celor dou fore (fig. 2.3, bi c).
2.2. Folosind metoda geometric, s se arate c operaia de compunerea forelor concurente din figura 2.4 este asociativ
321321 )()( FFFFFF ++=++ .
REZOLVARE:
Construind poligonul forelor 1F, 2F i 3F , se
stabilete mai nti suma )( 321 FFF ++ (fig. 2.5 a),apoi suma 321 )( FFF ++ (fig. 2.5 b), rezultanta Rfiind latura 2MA a aceluiai contur poligonal
321 AAMA .
A1
BA2
2F
M
21 FFR +=M
2F
1FA1
'2F
BA2
M 1F
21 FFR +=
1F
b ca
Fig. 2.3.
M
3F1F
2F
Fig. 2.4.
R=F1
+(F2+F3
)
A2
A3
1F
2F
3F
A1
''
32FF +
M M1F
A3
2F
3F
A1R=(F1
+F2)+F3
A2
'21 FF +
a bFig. 2.5.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
12/113
16 Complemente de Mecanic
2.3. S se calculeze rezultanta a dou fore F1=200 N i F2=180 N,tiind c tangenta unghiului dintre ele este 4/3. S se afle direcia rezultantei prindou metode: a) cu teorema sinusurilor; b) utiliznd proieciile rezultantei peaxele de coordonate.
REZOLVARE:Figura 2.1, b corespunde enunului problemei, forele formnd un triunghi MA1B. Se
calculeaz mai nti cosinusul unghiului , funcie de valoarea tangentei, pentru a aplicarelaia (2.1):
5
3
3
41
1
tg1
1cos
22=
+
=+
=
N34115660,0182021820cos2 22212221 ==++=++= FFFFRa) Direcia rezultantei este dat de unghiul , care se stabilete din teorema sinusurilor (2.2)scris pentru acelai triunghi MA1B.
4235.05
31
34
18sinsin
22 =
==
R
F
== 25)4235.0arcsin(
b) A doua metod identific proieciile rezultantei X si Y, respectiv pe axele Ox si Oy, alesistemului xOy (fig. 2.6):
40,1480,018sin
80,3060,01820cos
2
21
===
=+=+=
FY
FFX
4675.080,30
40,14tg ===
X
Y
==2575)arctg(0,46
A1
B
1F
2F
R
M
y
Y
X
x
Fig. 2.6.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
13/113
Metoda geometric de compunere a forelor 17
2.4. S se calculeze mrimea rezultantei i direcia pe care o faceaceasta cu axa Ox, cunoscnd foreleF1iF2 din figurile 2.7 i 2.8 .
Rspuns: R= 24,9 N; -43,9 i R= 36,1 N; 73,9.
2.5. Cunoscnd mrimile forelorF1=F3 =F2 /2 = 10 N (fig. 2.9, a), sse determine cea de-a patra for, astfel nct rezultanta lor s fie nul.
REZOLVARE:Condiia ca rezultanta s fie nul (adic sistemul celor patru fore concurente s fie
echivalent cu zero) este aceea ca poligonul lor s fie nchis. Din construcia acestui poligonse observ c foraF4 este orizontal (fig. 2.9 b). Mrimea acesteia se calculeaz parcurgndurmtorul raionament:
foreleF1iF3 determin dou laturi ale unui triunghi echilateral, rezultanta parial fiindcea de-a treia latur (orizontal), deci R13 = 10 N;
F2 este coliniari de acelai sens cuR13, i atunci mrimea foreiF4 =F2 +R13 = 30 N.
y
O F1= 30 N
x
F2 = 40 N
120
Fig. 2.8.
30
y
O
F1= 8 N x
F2= 20 N
Fig. 2.7.
x
A1 A2
A5
y
A3
A4
601F
2F
3F
'2F
'3F1F
'4F
60120
baFig. 2.9.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
14/113
18 Complemente de Mecanic
2.6. Cunoscnd mrimile forelorF1 = 20 N, F2 = F3 = 34,64 N(fig. 2.10, a), s se determine foraF4, astfel nct rezultanta lor s fie nul.
REZOLVARE:Se reprezint poligonul celor trei fore date i se nchide cu cea de-a patra (fig. 2.10 b).
Forele F2i F3 formeaz un triunghi isoscel A1A2A3 avnd baza A1A3 = 2F2cos30=60 N.Mrimea foreiF4 este stabilit din triunghiul dreptunghic OBA3:
N
FFFBAOBF
11,721320
)30cos230sin()30cos( 2212
1
23
24
==
=++=+=
Din acelai triunghi dreptunghic OBA3 se calculeaz
==== 26,34949,07
32tg3
BA
OB
2.7. S se calculeze mrimea rezultantei celor dou fore F1iF2 dinfigura 2.11. a,b,c, precum i unghiul pe care aceasta l face cu foraF1, tiind cforele sunt reprezentate la scar: fora reprezentat pe o latur a octogonuluimsoar10,00 N.
Rspuns:a) R= 53,05 N; 22,50 b) R= 32,00 N; 12,76 i c) R= 26,13 N; 22,50.
O 60
30
1F2F
3F60
'2F '3F
1F30
3030
'4F A3
O
B A1
A2
ba
Fig. 2.10.
2F
90
1F
2F 45
1F
2F
45
1F
b c
Fig. 2.11.
a
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
15/113
Metoda geometric de compunere a forelor 19
2.3. Form interactiv de studiu individual
Obiectiv: aplicarea regulii paralelogramului pentru diferite valori ale forelor cu
variaia unghiului dintre acestea.
Specific: prima for este considerat coliniar cu axa Ox. Mrimile forelor potavea valori absolute ntre 1i 100, altfel programul anun eroarea. Unghiul este pozitiv n sens antiorar.
Exerciiu: se introduc datele din problema 2.4 (fig. 2.8.) i se verific rezultatulobinut ( vezi figura 2.12). Pentru claritatea prezentrii desenului, se selecteazn fereastra Scar desen, dimensiunea Mediu. Trecerea la alt aplicaie se
face actionnd butonul Alt exerciiu. Se introduc noile date pentru fore iunghi. Alte dou exemple sunt prezentate n figurile 2.13 i 2.14.
Observaie: schema forelor este reprezentat mereu la scar, existnd iposibilitatea amplificrii desenului. Opiunile posibile: normal, mediu, mare,super (vezi figura 2.14).
Fig. 2.12
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
16/113
20 Complemente de Mecanic
Fig. 2.13
Fig.2.14
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
17/113
3.METODA ANALITIC DE COMPUNERE A FORELOR
3.1. Proieciile i componentele unei fore
Fora este o mrime vectorial sau, pe scurt, un vector. Un vector se
caracterizeaz complet prin mrime, direcie, sens i punct de aplicaie.Vectorul
avnd mrimea egal cu unitatea, se numete versor. Versorii axelorOxi Oy se
noteaz cu i i j . Prin definiie, se numeteproiecia unei fore pe o ax produsul
scalar dintre fori versorul axei respective. Spre exemplu, proiecia forei F, peaxa Ox esteX i se calculeaz:
X F i F= = cos (3.1)
n care s-a notat cu F intensitatea (modulul sau mrimea) forei i cu unghiul
format de o direcie paralel cu axa Oxi direcia forei (fig.3.1).
Proiecia unei fore pe o axeste o mrime algebric scalar al crui semn
se determin dup orientarea vectorului fa de ax. n figura 3.1, a, b, c, proiecia
Xeste pozitiv, nuli respectiv negativ.
Componenta unei fore dup o ax este mrimea vectorial egal cu
produsul dintre proiecia forei pe axi versorul axei i (fig.3.2) :
X X i F i= = cos (3.2)
=/2Y
y
Y
X = 0
y
x
y
xx
Y
X < 0X= cosF
X > 0
F FF
M MM
a b c
Fig. 3.1.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
18/113
22 Complemente de Mecanic
Utiliznd proieciile forei pe axe, expresia analitic a vectorului forei este:F X i Y j= + (3.3)
iar modulul forei are expresia:
F X Y= +2 2
(3.4)
Direcia forei fa de axele sistemului de referin este dat de unghiurile i ,
care se calculeaz din relaia de definiie a proieciei unei fore pe o ax:
cos ; =X
F
Y
Fcos = sin = (3.5)
denumite cosinusuri directoare ntre care exist relaia evident:
1coscos 22 =+ (3.6)
3.2. Aplicaie
3.1. Presupunnd c fora F= 100N are pe rnd direcia acului orar alunui ceas care arat orele: dousprezece, dou, patru, apte i zece, s sedescompun aceast for n componente (dup direcia orizontali vertical) is se scrie expresia forei sub form analitic.
REZOLVARE: Direcia forei F1 este vertical i are sensul pozitiv al axei Oy
(fig 3.3, a): F Y j1 1 100= =
Yx
F
Ox
F
60
X
Y
Ox
F
Y
XO30
X
YF30
O30
F
xXO
b c d e
Fig. 3.3.
a
y
x
F
Y=Yj
X=Xi
Fig. 3.2.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
19/113
Metoda analitic de compunere a forelor 23
Fora F2 formeaz un unghi de 30 cu axa orizontal Ox (ceasul arat orele dou) i sedescompune n dou componente (fig. 3.3, b):
jijijYiXYXF 506.86)30sin100()30cos100(22222 +=+=+=+= .
Fora F3 (ceasul arat orele patru) se descompune (fig. 3.3, c) :
F X Y X i Y j i j i j3 3 3 3 3 100 30 100 30 86 6 50= + = + = = ( cos ) ( sin ) . .
Componentele forei F4 au sensurile opuse sensului pozitiv axelor Ox i respectiv Oy,deci proieciile acesteia pe axe sunt negative (fig. 3.3, d):
F X Y i j i j4 4 4 100 60 100 60 50 86 6= + = = ( cos ) ( sin ) . .
Fora F5 (ceasul arat orele zece) are proiecia negativ pe axa Oxi pozitiv pe axa Oy(fig. 3.3, e) :
F X Y i j i j5 5 5 100 30 100 30 86 6 50= + = + = +( cos ) ( sin ) . .
3.3.Metoda analitic de compunere a forelor
Se consider un sistem de fore concurente coplanare F F Fn1 2, , , ,! acionnd
n punctul M i rezultanta R , stabilit cu relaia (1.3). Scriind forele sub form
analitic (3.3) i fcnd suma, se obine:
F X i Y j
F X i Y j
F X i Y j
R F i X j Y
n n n
h h h
i
n
h
n
h
n
1 1 1
2 2 2
111
= +
= +
= +
= = + ===
" " " "
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(3.7)
Deoarece expresia analitic a rezultantei este:
R X i Y j= + (3.8)
atunci, din relaiile (3.7) i (3.8) se obin proieciile forei rezultante:
X Xhh
n
==
1
i Y Yhh
n
==
1
(3.9)
precum mrimea i direcia ei (cosinusurile directoare):
R X Y= +2 2 ; cos ; cos . R RX
R
Y
R
= = (3.10)
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
20/113
24 Complemente de Mecanic
Relaiile (3.9) exprimteorema proieciilor:
Proiecia rezultantei unui sistem de fore concurente pe orice axeste egal cu suma algebric a proieciilor forelor ce alctuiescsistemul, pe aceiai ax.
3.4. Aplicaii
3.2. S se determine rezultanta sistemului format din patru fore, dinfigura 3.4. Forele sunt egale n modul cuF.
REZOLVARE: Rezultanta sistemului este:R F X i Y jh
h
= = + =
1
4
Alegem sistemul de axexOy dup direciile forelorF1i F4 care sunt ortogonale. Proiectm forele pe axe
(fig. 3.5, a) i scriem expresiile lor analitice:
F Fi F F i F jF
iF
j1 2 60 60 2
3
2= = + = +; cos sin ,
F F i F j F i Fj F Fj3 430 30 32 2= + = + = cos sin ; .
Folosind teorema proieciilor sub forma relaiilor (3.9), se calculeaz proieciile rezultantei:
FFFF
FXXh
h 634,0)33(20
2
3
2
4
1
=++== =
x
y3F
O
30 60
4F
1F
2F
Fig. 3.4.
4F
Y3 > 0
X3< 0
Y2 > 0
X2 > 0
y
O1F
x
2F3F
'3F4F
'2F
y
O1F
xR
0 0,5 1(F)
a b
Fig.3.5.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
21/113
Metoda analitic de compunere a forelor 25
Y YF F
FF
Fh
h
= = + + = =
1
4
03
2 2 23 1 0 366( ) , .
Mrimea rezultantei i direciile ei se calculeaz cu relaia (3.10):
cos
R R X Y F F
R R R R
= = + = = = = =
2 2
4 2 3 0 7320 866 0 500 30 60
. ,cos , ; , ; .
Poligonul forelor din figura 3.5, b conduce la acelai rezultat.
3.3. ruul din figura 3.6 este tras cudou frnghii. S se determine mrimea i unghiul pe care l formeaz rezultanta cu axa vertical.
Rspuns: R = 500 N, 6 50' .
3.4. Dou cabluri acioneaz asuprainelului din figura 3.7 cu fore cunoscute. S sedetermine rezultanta lor.
Rspuns: R = 737 N.
3.5. S se descompun n componente dup direciile sistemului de axexOy i s se scrie expresiile analitice ale forelor din figura 3.8, tiind c toateforele au mrimea de 10 N.
3.6. Cinci fore cu originea n vrful O al hexagonului OA1A2A3A4A5, auextremitile n celelalte cinci vrfuri. Cunoscnd mrimea foreiF1 = 10 N, s se
calculeze rezultanta sistemului de fore (fig. 3.9).Rspuns:R i= 60 .
6045
600 N300 N
Fig. 3.7.
30
300 N
400 N
60
Fig. 3.6.
x
3060 60 30
y
b c d e fa
Fig. 3.8.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
22/113
26 Complemente de Mecanic
3.7. Forele din figura 3.10 au urmtoarele mrimi:F1 = 14,14 N,F2=F4=
= 5 N,F3= 8,66 N. S se calculeze rezultanta sistemului de fore i s se verificerezultatul, utiliznd metoda grafic.Rspuns: iR = 5 .
3.8. Forele din figura 3.11 aumrimile egale cu 5P. Primele dou fore sunt
pe direcia punctelor A1 i A2, iar cea de-atreia este orizontal. S se calculeze rezultantalor tiind c o diviziune a caroiajului este
egal cu a.REZOLVARE: Se calculeaz mai ni pro-
ieciile forei 1F folosindu-se funciile trigonome-
trice din triunghiul OA1B1:cos1 = OB1/OA1=3a/5a=0.60; sin1 =A1B1/OA1=4a/5a= 0.80;
F1x = F1 cos1 = 5P 0.60 = 3P; F1y = F1 sin1 =5P0.80 = 4P; Din triunghiul OA2B2 se stabilesc funciile trigonometrice: cos2==OB2/OA2=4a/5a=0.80; sin1 =A2B2/OA2=3a/5a=0.60, apoi proieciile forei 2F :F2x =F2cos2=
5P0.80 = 4P;F2y =F2 sin2 = 5P0.60 = 3P. Fora 3F are proiecia
nul pe axa Oy, n timp ce proiecia pe axa Ox este negativ:F3x = F3;F3y = 0. Rezultanta sistemului are proieciile (fig.3.12):
PPPPXXh
h 25433
1
=+== =
=
=++==3
1
034h
h PPPYY .
3.9. Forele din figura 3.13. sunt reprezentate lascar, avnd mrimile proporionale cu distanele. S seafle proieciile rezultantei, tiind c o diviziune acaroiajului este egal cu a, iarF1y=P.
Rspuns: X = 0; Y = 3P.
x
y
3F
O3060
4F
1F
2F 45
Fig. 3.10.
x
A1 A2
A5
y
A3
A4
O3F
1F
5F
2F
4F
Fig. 3.9.
A2
x
2F
23F
1F
B11
A1
O
B2
Fig. 3.11.
y xO
R
Fig. 3. 12.
y
x
F2 F1
Fig. 3. 13.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
23/113
4. DESCOMPUNEREA UNEI FORE
Descompunerea unei fore este cea de-a doua operaie elementar de
echivalen, reprezentnd inversul primei operaii elementare de echivalen,
care a fost compunerea forelor concurente.
Adunarea numerelor admite o singur operaie invers, scderea: x = a
b nseamn s aflm pe x dac tim c b + x = a. Vectorii avnd mai multe
caracteristici, se pot enuna mai multe probleme pe care le putem numi inversen sensul c ni se rezultatul unei sumri vectoriale i trebuie s aflm n
anumite condiii termenii.
Astfel, prin descompunerea unei fore R n n componente concurente pe
suportul su se nelege nlocuirea unei fore date R cu forele astfel nct s
existe urmtoarea egalitate vectorial:
RF
n
ii ==1 (4.1)
Aparent relaiile (2.3) i (4.1) sunt identice, dar n relaia (2.3) R este unica
necunoscut, cu forele iF cunoscute, n timp ce n relaia (4.1) problema este
invers, fiind n necunoscute vectoriale (forele iF , i = 1,2,,n) n loc de una.
Concluzia este c n general, soluionarea problemei descompunerii n mod
determinat nu este posibil dect dac se introduc unele restricii saucondiii suplimentare.
n continuare se vor studia numai cteva cazuri particulare de nlocuire a
forei R n problema plan prin dou fore i n problema tridimensional,
prin trei fore dup direcii concurente. Abordarea este cu precdere geometric,
datorit simplitii i eleganei soluiilor.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
24/113
28 Complemente de Mecanic
4.1. Descompunerea unei fore R n dou fore1
F i 2F ,
dup dou direcii date, concurente pe suportul su
Se cunosc direciile 1 i 2, concurente n punctul O, originea forei
cunoscute R. Rezolvarea geometric presupune construirea paralelogramului
forelor, ducnd drepte paralele prin
extremitatea forei R, la direciile date
1 i 2 (fig. 4.1). Acest caz este
echivalent cu rezolvarea unui triunghi
OAC n care se cunoate o latur OC
(mrimea forei R), i direciile celor
dou laturi (pagina 7,cazul A).
4.2. Descompunerea unei fore R n dou fore1
F i 2F ,
concurente pe suportul su, una din ele fiind dat
n mrime, direcie i sens
Dac pe lng fora R este dati fora 1F n mrime, direcie i sens,
atunci construcia din figura 4.2 rezolv
problema: se construiete triunghiul forelor
OAB (fig. 4.2) atunci cnd se cunosc dou
laturi i unghiul dintre ele (pagina 9, cazul
C).
4.3. Descompunerea unei fore R n dou fore1
F i 2F ,
concurente pe suportul su, cunoscute ca mrime
Rezolvarea problemei se poate face apelnd la cazul de construcie a unui
triunghi atunci cnd se cunosc laturile sale (pagina 10, cazul D). Problema poate
dou soluii (fig. 4.3), una sau niciuna.
R
2
2F
1
B
A
C
O
Fig. 4.1.1F
R2F B
A
O
Fig. 4.2.
1F
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
25/113
Descompunerea unei fore 29
4.4. Descompunerea unei fore R n dou fore 1F i 2F ,concurente pe suportul su, cunoscnd mrimea uneia
i direcia celeilalte
Problema se poate reduce la construcia unui triunghi cnd se cunosc dou
laturi i unghiul opus uneia dintre aceste laturi. n figura 4.4 se cunoate unghiul
dintre Ri 1F (se construiete 1 linia OA1A1) i mrimea 2F (se duce arcul
de cerc cu centrul nBi raza 2F ). Se obin dou puncte de intersecie (A1iA1)corespunztoare celor dou soluii.
Dac arcul de cerc este tangent dreptei 1 atunci triunghiul forelor este
dreptunghic i soluia este unic (cele dou soluii anterioare sunt confundate).
Ultima posibilitate este ca suma mrimilor celor dou fore 1F i 2F s fie
mai mic dect cea a forei R, adic nu este ndeplinit condiia geometric ca
suma a dou laturi ale unui triunghi s fie mai mare dect a treia. n acest caz deconstrucie, arcul de cerc nu intersecteaz dreapta 1, deci nu exist soluie.
Cele patru cazuri prezentate admit i soluii analitice care vor fi abordate
paralel cu cele geometrice n aplicaiile din acest capitol. Se las la aprecierea
cititorului care din cele dou variante este mai accesibil.
R2F
B
A2
O
Fig. 4.4.
'1F
1F
'2FA2
A1A11
O R
'2F
B
A
Fig. 4.3.
1FB
'1F
2F
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
26/113
30 Complemente de Mecanic
4.5. Descompunerea unei fore R n trei fore1
F , 2F i 3F
dup trei direcii concurente date, necoplanare
Rezolvarea geometric se rezum la
construcia unui paralelipiped n care cunoatem
direciile muchiilor concurente n O, i
diagonala acestuia, egal cu R. n particular,
dac cele trei direcii sunt reciproc ortogonale
(axele unui sistem de referin triortogonal),
atunci avem un paralelipiped dreptunghic. Dac
cele trei direcii sunt n acelai plan, problema
este nedeterminat.
Rezolvarea analiticare ca suport scrierea ecuaiei vectoriale (4.1):
RFFF =++ 321 (4.2)
sub forma a trei ecuaii de proiecie pe axele sistemului de coordonate:
XXXX =++ 321 (4.3.a)
YYYY =++ 321 (4.3.b)
ZZZZ =++ 321 (4.3.c)
n acest sistem (4.3) sunt trei necunoscute: mrimile forelorF1 , F2 i F3.
Expresia fiecrei fore iF se poate scrie n funcie de versorul direciei i pe care
se afl:
)coscos(cos kjiFuFF iiiiii i ++== (4.4)
Deoarece fora kZjYiXR ++= este cunoscuti nenul, i deci termenii liberi
ai sistemului liniar de ecuaii (4.3) nu sunt toi nuli, soluia existi este unic
(numai n condiiile ca cele trei direcii s nu fie coplanare).
2
3
O
F2
F3
R
1F1
Fig. 4.5.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
27/113
Descompunerea unei fore 31
4.6. Aplicaii
4.1. S se descompun o for de 13N n dou componente ortogonale,
concurente pe suportul su, dac: a) una dintre componente este de 12N;
b) componentele sunt egale; c) una dintre componente este dublul celeilalte. [4]
REZOLVARE: Se aplic teorema lui Pitagora ntr-un triunghi dreptunghic:
a) Suntem n cazul prezentat la punctul 4.4: 2122 FFR += de unde
5251213 222122 ==== FRF N;
b) n acest caz 22 2FR = de unde 2/22 RF = i deci 192,95,84213
2
===F N;
c) Relaia dintre laturile triunghiului dreptunghic este 2222 54 FFFR =+= , deci
5/22 RF = rezultnd 184,58.335/169 ===F N.
4.2. Ce unghi trebuie s fac dou fore de 6N i de 8N astfel nct
rezultanta lor s fie de 10N?
REZOLVARE: Suntem n cazul prezentat la punctul 4.3.
Se aplic teorema cosinusului (2,1) cos2 212
22
1
2 FFFFR ++= i se calculeaz:
0862
)86(10
2
)(cos
222
21
22
21
2
=
+=
+=
FF
FFR rezult = 90, deci
componentele sunt ortogonale.
4.3. Dou fore concurente P i Q
sunt n raportul 3 la 2 i au o rezultant de
1N. Ce unghi formeaz ele? [4]
REZOLVARE: Cele dou fore mpreun cu
rezultanta formeaz laturile triunghiului ABC.
Triunghiul este dreptunghic deoarece 22=12+(3)2. Se scrie: sin =BC/AB ; =60. Unghiul
format de cele dou fore este 90+ =150 (fig. 4.6).
Q=2
P=3
B
C90
Fig. 4.6.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
28/113
32 Complemente de Mecanic
4.4. Ce relaie trebuie s existe ntre dou fore Pi Q care formeaz
ntre ele un unghi de 135, tiind c rezultanta este egal cu cea mai mic dintrecele dou fore? [4]
REZOLVARE: Se presupune cP< Q . Teorema cosinusului se aplic n acest caz:
P2 =P2 + Q2 2PQ2/2, din care Q =P2. Concluzia este c fora Q este diagonala ptratului
construit pe foraP, deoarece raportul forelorQiPeste 2.
Rezolvarea grafic este la fel de direct ca
cea analitic: fie foraPcea mai mic dintre
fore iAB direcia celei de-a doua fore, cu
care face unghiul de 135. Se descrie un arc
de cerc cu centrul n Oi razOA. Se duce
prin punctulA o paralel la direcia OB care intersecteaz arcul n punctulD. Rezultanta este
AD egal ca mrime cu foraPi deci ea este perpendicular pe direciaAC. ParalelaDB
stabilete extremitatea forei Q (fig. 4.7).
4.5. Rezultanta are proieciile pe axe cunoscute: Rx = F, Ry = F, iRz = 2F. Se cere s se descompun pe dup direciile vectorilor )0,1,1(1v ,
)1,1,1(2 v i )1,1,0(3 v .
REZOLVARE: Se consider rezultanta 332211321 vvvFFFR ++=++=unde necunoscutele sunt scalarii 1, 2 i 3. Acestea se afl din sistemul ecuaiilor de
proiecie (4.3,a,b,c):
=+
=+
=+
F
F
F
20
0
32
321
21
Din primele dou ecuaii se obine 03 = , din cea de-a treia F22 = , iar din prima
F21 = . Rspunsul este: .0),(2),( 321 =+=+= FkjiFFjiFF
4.6. S se descompun rezultantaR n dou componente concurente alecror suporturi fac un unghi de 60. S se studieze cazurile particulare: a)F1=F2;
b)F1=2F2; c)F1=R/2; d)F1=2R.
O
R
AC
B
Fi . 4.7.
P
Q
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
29/113
Descompunerea unei fore 33
4.7. Form interactiv de studiu individual
Obiectiv:
descompunerea unei fore dup direciile de coordonate xOy pentru diferitevalori ale forei, cu variaia unghiului pe care acestea l face cu axa Ox;
verificarea calculelor efectuate de student cu cele furnizate de program.
Specific: Mrimea forei poate avea valori ntre 1 i 100, altfel programulanun eroarea. Unghiul este pozitiv n sens antiorar.
Exerciiu: La deschiderea aplicaiei ecranul se prezint ca n figura 4.8, apoi seintroduce mrimea forei i unghiul format cu axa Ox. Reprezentarea grafic a
forei i descompunerea acesteia este reprezentat astfel nct valorile calculatede rezolvitor pot fi deja comparate calitativ. Dup introducerea proieciilor foreieste afiat un buton Comparai rezultatele cu cele ale calculatorului, iarefectuarea unui clic cu mouse-ul pe acest buton face posibil aceastcomparaie (fig. 4.9). Trecerea la alt aplicaie se face actionnd butonul Altexerciiu. Se introduc noile date pentru for i unghiul . Alt exemplu este
prezentat n figuria 4.10.
Fig. 4.8.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
30/113
34 Complemente de Mecanic
Fig. 4.9
Fig. 4.10.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
31/113
5. MOMENTUL UNEI FORE N RAPORTCU UN PUNCT
5.1. Definiie, observaiiO for care acioneaz asupra unui corp rigid nu poate fi definit numai prin
proieciile sale, deoarece este un vector alunector. Astfel, apare ca absolut
necesar definirea noiunii de moment al unei fore n raport cu un punct.
Momentul n raport cu punctul O al unei foreFaplicate nA,
este prin definiie entitatea mecanic vectorial exprimat prin
produsul vectorial:
M OA FO = . (5.1)Vectorul MO se caracterizeaz prin:
- mrimea: M OA F OA F F dO = = sin( , ) , deoarece n triunghiul OAB
dreptunghic (fig. 5.1), s-a notat distana de la punctul O la suportul forei, OB=d(braul forei) i OA OA F d =sin( , ) ;
- direcia perpendicular pe planul determinat de fora Fi punctul O;- sensul stabilit cu regula minii drepte (fig. 5.2.) sau a urubului drept;- punctul de aplicaieO.
Mrimea momentului se msoar n uniti de for nmulite cu uniti de
lungime (Nm), iar dimensiunea este MLT-2L=ML2T-2.
Semnificaia fizic a momentului MO se poate gsi n tendina solidului rigid
de a se roti n jurul punctului O, presupus fix.
Fig. 5.1. Fig. 5.2.
A
x
d
z
F
O
Mo B
y zy
x
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
32/113
36 Complemente de Mecanic
n cazul n care fora se afl n planulxOy, vectorul MO este paralel cu axa
Ozi deci se poate scrie:
M M kO Oz= (5.2)
n careMOzeste proiecia momentului pe axa OZ.
O serie de observaii sunt deosebit de utile calculului practic:
! Momentul este nul atunci cnd punctul O n raport cu care se calculeazmomentul, se afl pe suportul forei (braul forei este nul).
! Momentul MO rmne acelai, oricare ar fi punctul A de pe dreapta suport a
forei F. Se consider fora F aplicat n alt punctA1 de pe suportul su (fig. 5.3,a) i se calculeaz:OA F OA AA F OA F AA F OA F M O1 1 1 = + = + = =( ) (produsul vectorial
AA F1 = 0, pentru cAA1 este coliniar cuF).
! Momentul unei fore n raport cu un punct O fiind un vector legat, schimbareapolului n care se calculeaz, din O n O1 (fig. 5.3, b), conduce la urmtoarearelaie:
M O A F O O OA F O O F OA FO1 1 1 1= = + = + ( )
sauM M O O FO O1 1= + (5.3)
Deci, schimbnd polul, se schimb momentul, dar numai n cazul n care noulpunct O1 se afl pe o dreapt care trece prin O i este paralel cu fora F( O O F O O F 1 1 0 = ), atunci relaia (5.3) devine M MO O1 = .
! Expresia analitic a momentului forei F Xi Yj= + al crei suport trece prinpunctulA de coordonatexiy, n raport cu originea sistemului de axe, O, este :
M M k xY yX kO Oz= = ( ) (5.4)
Ax
z
O
O1
yMO1
FMO
bFig. 5.3.
A x
z
O
A1
y
MoF
a
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
33/113
Momentul unei fore n raport cu un punct 37
Aceasta se poate stabili descompunnd fora F n componente dup axe ca
n figura 5.4 i calculnd momentele acestora, astfel:
- componenta Y are braul x, iarsemnul pozitiv al momentului acestuia estedat de regula burghiului (tendina de rotiren raport cu O este n sens antiorar,suprapunnd pe drumul cel mai scurt axaOx peste Oy;
- componenta X are braul y, iarsemnul negativ al momentului acesteiarezult din tendina de rotire n raport cu O,
n sens orar.
5.2. Aplicaii
5.1. S se calculeze momentul forei F de 7.5 N n raport cu originea(fig.5.5,a), tiind c suportul ei ntlnete axele de coordonate nA(-3,0) iB(0,4).
REZOLVARE: Se noteaz cu Ppiciorul perpendicularei din O pe suportul forei, OP
reprezentnd braul acesteia. n triunghiul dreptunghic OAB se calculeaz nlimea:
OPAO OB
AB=
=
=
3 4
52 4. m.
Tendina de rotire a forei este n sens orari deci, semnul momentului este negativ:
M F OP k k k MO O= = = =7 5 2 4 18 18, , , Nm.
O x
y
XMO A(x,y)
FY
x= braul
componentei Y
y= braul
componenteiX
Fig. 5.4.
Fig. 5.5.
P
A(-3;0)
B(0;4)
y
F
O
a
A
B
y
3
F
O
4
Y
FY
b
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
34/113
38 Complemente de Mecanic
Alt posibilitate de rezolvare const n a descompune fora F n componente, ntr-un punct pesuportul ei aflat la intersecia cu una din axele de coordonate.
F F i F j FAO
ABi
BO
ABj i j i j= + = +
= +
= +cos sin , , . 7 53
5
4
54 5 6
Descompunnd astfel fora n punctul A (fig. 5.5, b) componenta X are direcia originii O ideci momentul nul n raport cu punctul O, pe cnd componenta Y are braul egal cu 3 m irotete orar, deci:
M YOz = = = 3 6 3 18 Nm .For F se poate descompune i n B;componenta Ytrece prin origine i nu produce
moment, pe cnd cealalt componentX are braul egal cu 4 m i rotete orar, deci:M XOz = = = 4 4 5 4 18, Nm .
Se obine acelai rezultat folosind direct relaia (5.4).
5.2.S se calculeze momentul forei F i j= +2 5 4 5, , n raport cu origineaO, tiind c suportul ei trece prin punctulA(2; 3,6). Dar dac suportul acesteia trece
prin punctulB(-2; 3,6)? Unitile de msur sunt N i m.Rspuns:M x Y y X M x Y y XO A A O B B= = = =18 0Nm;
5.3. Fora F este paralel cu axa Oxi are proiecia pozitivX= 10 N.tiind c n raport cu O, are un moment MO = 1,25 Nm, s se calculeze braulforei i s se determine ordonata punctului A de pe axa Oy prin care trece fora F.
Rspuns:d= 0.125 m;yA = -0,125 m.
5.4.S se determine fora F al crei moment n raport cu originea O estede -30 Nm, dreapta-suport ntlnete axa Ox n punctulA de abscisxA= 1,5 m i
proiecia forei pe axa Ox este pozitiv,X= 20 N. Care este ordonata punctului Baflat pe axa Oyi pe dreapta suport a forei?
Rspuns: Dup ce se descompune F nA, se calculeazY=MO/xAF i j F yB= = =20 20 28 28 1 5; . ,N; m.
5.5.Cunoscnd F j= 5 i M F kO ( ) = 10 , se cere abscisa xB a punctului Baflat pe axa Ox pentru care M F kB( ) = 10 . Unitile de msur sunt N i m.Rspuns: Se folosete relaia (5.3) ixB = 4 m.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
35/113
6. MOMENTUL UNEI FORE FA DE O AX
6.1. Definiie, observaiin afara noiunii de moment al unei fore n raport cu un punct, la
stabilirea sistemelor echivalente de fore este de asemeni necesar definirea
noiunii de moment al unei fore calculat n raport cu o ax. Prin definiie,
Momentul unei fore n raport cu o ax ( ) de versor u , este
mrimea mecanic scalar M exprimat prin proiecia peacea ax, a momentului forei calculat n raport cu un punct
arbitrar O, aparinnd aceleiai axe (fig. 6.1):
M OP F u = ( ) (6.1)
Principalele observaii referitoare la definiia de mai sus sunt urmtoarele:
! Momentul M caracterizeaz din punct de vedere mecanic calitativ i
cantitativ, tendina pe care ar avea-o solidului rigid presupus fixat pe axa ( ) ,
de a se roti n jurul acesteia sub aciunea forei F.
! n definiia momentului unei fore fa de o ax ( ) , se afirm c alegerea
punctului O este arbitrar, fr a fi afectat mrimea M . Verificarea acestei
afirmaii se face calculnd momentul forei F n punctul Q de pe axa ( ) i
scriind proiecia acestuia M ' (fig. 6.1):
M r F u QP F u QO OP F u
QO F u OP F u OP F u M
' ( ' ) ( ) [( ) ]
( ) ( ) ( )
= = = + =
= + = =(6.2)
deoarece QO u i deci produsul mixt ( )QO F u este evident, nul.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
36/113
40 Complemente de Mecanic
! Momentul unei fore fa de o ax este exprimat printr-un produs mixt i
acesta este nul, dac cei trei vectori din (6.1) sunt coplanari, adic suportul forei
Fi axa ( ) sunt n acelai plan.
! Pentru aplicaii, urmtoarea observaie devine util: momentul unei fore F
fa de o ax ( ) este egal cu intensitatea vectorului moment al componentei
forei F dintr-un plan normal pe axa ( ) , calculat n raport cu punctul n care
axa neap planul (fig. 6.2):
M r F = (6.3)
Verificarea acestei afirmaii se obine imediat dac fora F se descompune ndou componente: prima F , paralel cu axa ( ) , iar a doua F , aflat n planul
normal la ax:F F F= +
(fig. 6.2). Se calculeaz:
M OP F u OP F F u OP F u r F u = = + = = ( ) [ ( )] ( ) ( ) , (6.4)
deoarece produsul mixt ( )OP F u = 0 .
! Relaia dintre momentul unei fore calculat n raport cu un punct O imomentele aceleiai fore fa de trei axe reciproc perpendiculare i concurente
n punctul O, este :
M r F M i M j M kO x y z = = + + (6.5)
n care M M Mx y z, , sunt proieciile pe axe ale momentului MO i deci,
M M Mx y z, , reprezint momentele forei F fa de axele Ox, Oyi Oz.
Fig. 6.2.
P
F!
O
r
uF
F
()
Q
MO
r
M= MOu
P
F
O
r
u
Fig. 6.1.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
37/113
Momentul unei fore fa de o ax 41
6.2. Teorema lui Varignon.
Dac asupra unui punct material M acioneaz un sistem de foreF F Fn1 2, , ..., , atunci fiecare for are un moment n raport cu punctul O:
M F OM FO ( ) ;1 1= M F OM F O ( ) ,...,2 2= M F OM F O n n( ) .=
Adunnd aceste egaliti, se obine:
M F M F M F OM F OM F OM FO O O n n( ) ( ) ... ( ) ...1 2 1 2+ + + = + + + =
OM F F F OM R M Rn O + + + = =( ... ) ( ),1 2
unde R este rezultanta sistemului de fore i M R OM RO ( ) = este momentul ei
n raport cu acelai punct O.
Relaia obinut sub forma:
M R M F M F M FO O O O n( ) ( ) ( ) ... ( )= + + +1 2 , (6.6)
exprim matematicteorema lui Varignon. Un raionament identic se poate face
pentru momentul rezultant al forelor calculat fa de o ax () care trece prin
polul O. Dar un rezultat direct se obine nmulind scalar relaia (6.6) cu versorul
axei () i conform definiiei (6.1), se afl:
=
=
===
n
ii
n
iiOO FMuFMMuRM
11
)()()( (6.7)
Teorema se enun:
Momentul rezultant al unui sistem de fore concurente
ntr-un punct A, calculat n raport cu un pol O (sau cu o
ax) este egal cu momentul rezultantei acelui sistem de
fore concurente, n raport cu polul O (respectiv axa ).
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
38/113
42 Complemente de Mecanic
Se fac dou remarci:
teorema lui Varignon se mai aplici altor sisteme de fore care se reduc la o
rezultant unic, aa cum se va ilustra i pentru cazul forelor coplanare i al
forelor paralele;
din punct de vedere practic, teorema lui Varignon este un instrument de
simplificare a calculului momentului rezultant, prin nlocuirea acestuia cu
momentul rezultantei.
6.3. APLICAIE
6.1.O bar solicitat axial de o forF, este sudat prin intermediul adou cordoane de sudur de o plac suport. S se descompun fora dupdireciile celor dou cordoane, cunoscnd distanele e1i e2 (fig. 6.3).
REZOLVARE: Direciile celor dou cordoane ( )1 i ( )2 sunt paralele cu
suportul forei F. Se aplic teorema lui Varignon, scriind momemtele fa de dou puncteAiB, aflate pe ( )1 i respectiv ( )2 :
F e F e e = +1 2 1 2( ) i F e F e e = +2 1 1 2( ),undeF1iF2 sunt mrimile componentelor cerute. Rezult:
FF e
e e1
2
1 2
=
+ i F
F e
e e2
1
1 2
=
+i se verificF F F1 2+ = .
bar
F1
F
F2
plac
e1
e2
cordoane de sudur
Fig. 6.3.
(1)
(2)
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
39/113
7. CUPLURI DE FORE
7.1. Definiie, proprieti
Un sistem de dou fore paralele acionnd pe suporturi diferite, egale ca
intensitate i de sensuri opuse, formeaz un cuplu.
Un cuplu aplicat unui solid rigid tinde
s-l roteasc n jurul unei axe perpendiculare
pe planul celor dou fore. Fie Fi -F dou
fore n planul xOy (fig. 7.1). Momentul
cuplului se definete ca suma momentelor
forelor care l alctuiesc:
M OA F OB F OA OB F BA F d F kO = + = = = ( ) ( ) . (7.1)
Se observ c momentul cuplului este independent de punctul cu care se
calculeaz, mrimea lui fiind egal cu produsul dintre intensitatea unei fore i
distana dintre dreptele suport ale celor dou fore, iar sensul stabilit cu regula
burghiului (urubului drept).
Caracteristic cuplului de fore este rezultanta nul a sistemului de fore, n
timp ce momentul este un vector liber, diferit de zero. Astfel, condiia ca dou
cupluri s fie echivalente este ca ele s aib acelai moment.
Fiind dat un sistem de mai multe cupluri care se gsesc n acelai plan, prin
sumarea momentelor lor se obine un moment rezultant al unui cuplu echivalent.
7.2. Aplicaii
7.1. S se arate c sistemul de fore care acioneaz placa dreptunghiularABCD din figura 7.2, a:
a) se reduce la un cuplu i s se afle momentul acestui cuplu;
b) se reduce la cte o pereche de fore acionnd pe laturile paralele ale dreptunghiului.
REZOLVARE:
a) Se calculeaz rezultanta sistemului de fore 0=+= jYiXR i momentul rezultantMA:
===+== ,0,010012020hh YYXX Nm.6203,01201,0 ==AM
A
x
d
z
O
Mo
By-F
F
Fig. 7.1.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
40/113
44 Complemente de Mecanic
Deoarece R = 0 i MA 0 , sistemul de fore se reduce la un cuplu al crui moment este de
+6 Nm.
OBSERVAIE: descompunnd fora de 120 N n dou componente coliniare, de 20 N i 100 N
(fig. 7.2, b), sistemul este alctuit din dou perechi de fore paralele, egale ca intensitate, cu
sensurile opuse, formnd dou cupluri cu momentele de -4 Nm i 10 Nm. Cuplul echivalent aremomentul egal cu 10-4=6 Nm.
b) Cunoscnd momentul cuplului i direciile perechii de fore (deci distana d dintre
fore), se calculeaz mrimile forelor dac acestea sunt pe direcia laturilor AB i CD
(fig. 7.2, c), respectivBCiDA (fig. 7.2, d):
N,203,0
6===
BC
MF A N
AB
MF A 40
15,0
6===
Sensurile forelor se consider astfel nct cuplul format s roteasc n sens antiorar.
7.2. Plcile din figura 7.3, ai b sunt acionate n lungul laturilor l deforeFegale n modul. S se arate c sistemele de fore se reduc la cte un cuplu i
s se calculeze momentele acestora.
Rspuns: M Fl M Fl1 23
22= =; .
7.3. Sistemul de fore din figura 7.4 se reduce la un cuplu care aremomentul 17,65 Nm. S se afle mrimea foreiF, unghiul format cu axa Oxi
distanaBC.Rspuns:F= 30 N, = 30 ,BC= 0,6 m.
0,15
6Nm
40N
40N
d
A
120N
100N
20N
y
x
CD
B0,15
0
1
0
2
a
100N
100N
4Nm
10Nm
20N
20N
b
0,
36Nm
20N
20N
c
Fi . 7.2.
Fig. 7.4.
17,3N
y
CB
F
60 x
0,
5
A
17,3N
F3
l
l
F1
F2
l
A
C
a
l
F3
F2
F1
F4
l
l
l
A B
CD
b
Fig. 7.3.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
41/113
8. STUDIUL SISTEMELOR DE FORE COPLANARE
8.1. Reducerea sistemelor de fore coplanare
Fie un sistem de n fore coplanare aplicate unui corp rigid i un punct O n
planul forelor (fig. 8.1,a). Fiecare din fore poate fi redus n O, obinnduse
n acest punct:
- n fore concurente, echipolente cu forele date; aceste fore se reduc la o
rezultant unic:
R Fhh
n
==
1
; (8.1)
- n cupluri de fore, reprezentate prin cele n momente MOh, coliniare cu axa
Oz (perpendicular pe planul forelor); nsumndu-le se obine un moment
rezultant:
M M k MO Oh
n
O
h
n
h h= =
= =
1 1
(8.2)
Rezultanta R i momentul rezultant MO formeaz un sistem echivalent cu
sistemul celorn fore date (fig. 8.1,b). Perechea de vectori R i MO se numete
torsorul sistemului de fore n raport cu punctul O. Expresiile analitice ale celor
doi vectori sunt:
R X i Y j= + (8.3)M M kO O= (8.4)
Fn
y
Mo
b
O
y
x
B(0,yB)c
y
F2F1
Fi
a
Fig. 8.1.
RR
O
An Ai
A2A1
O A(xA,0)d
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
42/113
46 Complemente de Mecanic
Deoarece MO are direcia normal planului forelor n care se gsete
rezultanta R , se poate scrie expresia analitic a momentului MO sub forma relaiei
(5.4), funcie de proieciile rezultantei:
M k xY yX kO = ( ) . (8.5)n baza acestei relaii, sistemul de n fore poate fi nlocuit numai cu o
rezultant avnd suportul pe dreapta de ecuaie:
xY yX MO = . (8.6)
Aceast dreapt, ntlnete axa Ox n punctulA; nlocuind n (8.6) yA = 0 , se obine
coordonata x M YA O= / . Notnd cu B punctul de intersecie cu axa Oy, xB = 0 i
y M XB O= / (fig. 8.1, c).
Sistemul echivalent cel mai simplu obinut n acest caz de reducere este o
for unic(rezultanta). Ca urmare, se poate aplica teorema lui Varignon, scriind
cmomentul rezultantMO este egal cu momentul rezultanteiR :
M d RO = (8.7)
unde deste braul rezultantei (fig. 8.1, c).
8.2. Cazurile de reducere la sistemele de fore coplanare
Sistemele de fore coplanare reprezint unul din cazurile de fore des
ntlnite n practica inginereasc. Clasificarea cazurilor este prezentat n
continuare:
1) R = 0 i MO = 0 , sistemul de fore este echivalent cu zero sau sistemul de
fore este n echilibru. Cele dou relaii vectoriale furnizeaz trei ecuaii de
proiecie, respectiv rezultanta dou ecuaii de proiecie a forelor pe axele Oxi Oy,
iar momentul o ecuaie de proiecie corspunztoare axei Oz:
X X
Y Y
M x Y y X
h
h
Oz h h h h
= =
= =
= =
0
0
0
;
;
( ) .
(8.7)
2) R = 0 i MO 0 , sistemul de fore dat este echivalent cu un cuplu,momentul acestuia avnd direcia perpendicular pe planul forelor (fig. 8.2);
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
43/113
Studiul sistemelor de fore coplanare 47
3) R 0 i MO = 0 , sistemul de fore este echivalent n acest caz cu o singur
for (rezultanta), al crei suport trece prin punctul de reducereO (fig. 8.3).
4) R 0 , MO 0 i R MO = 0 , deoarece R MO . Sistemul echivalent cel
mai simplu este reprezentat de o for unic (rezultanta) care nu trece prin
punctul de reducere O (fig. 8.4). Axa central este chiar suportul rezultantei i aa
cum s-a artat, se aplic n acest caz teorema lui Varignon.
8.3. Aplicaii
8.1.S se reduc n punctul O sistemul de fore care acioneaz pe stlpuldin figura 8.5 i s se stabileasc sistemul echivalent cel mai simplu.
REZOLVARE: Utiliznd sistemul de referin dinfigura 8.5, proieciile rezultantei sunt:
X Xh= = = = 6 20 30 6 17 32 11 32cos , , kN,
Y Yh= = = = 25 20 30 25 10 35sin kN.
Rezultanta are mrimea:
R X Y= + =2 2 36 785, kN.
Momentul forelor calculat n raport cu punctul O:MO = + = + =6 7 20 30 0 8 20 30 4 42 8 69 28 19 28( sin ) , ( cos ) , , kNm
y
x
z
O
d
Fig. 8.2.
F
-F
y
x
z
O
Fig. 8.4.
(A.C.)
dy
x
z
O
Fig. 8.3.
(A.C.)
30
O
5 kN
0,803,
00
4,
00
25 kN
y
20 kN
Fig. 8.5.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
44/113
48 Complemente de Mecanic
n figura 8.6,a este reprezentat sistemulechivalent n punctul O, alctuit dinrezultanta R i momentul rezultant MO .
Sistemul echivalent cel mai simplu este dat
numai de rezultanta R (fig. 8.6,b) aflat pedreapta suport care ntlnete axele decoordonate n puncteleA(xA,0) iB(0,yB):x M Y
y M X
A O
B O
= = =
= = =
/ , / ( ) ,
/ , / ( , ) ,
19 28 35 0 55
19 28 11 3 1 70
m
m
Braul rezultantei este:d= 19,28/36,785 = 0,524 m.
8.2.S se determine momentul cupluluiM, mrimea i direcia forei F,astfel nct bara din figura 8.7 s fie n echilibru.
REZOLVARE: Se alege axa Ox, axa barei, iar originea n captul stng al barei(fig. 8.7). Pentru aflarea celor trei necunoscuteF, iMse scriu ecuaiile de echilibru :
X F
Y F
M M
F
F
MO O
= =
= + =
= + =
=
=
=
cos cos
sin sin
( sin )
cos
sin
20 30 0
20 20 30 0
20 2 20 30 5 0
10 3
10
10
Nm
Se ridic la ptrat i se adun primele dou egaliti i rezultF= 20 N, apoi = 30.Verificarea rezultatului se face procednd la scrierea condiiei ca momentul calculat n raportcu un alt punct din plan, de exemplu n raport cuB, s fie nul:
M F MB = + = + = + =( sin ) ( / ) 5 20 3 20 1 2 5 60 10 50 60 10 0
Fig. 8.6.
y
A(-0,55; 0)x
B(0;1,70)
Od
b
Y
MOX
y
O
x
a
20kN
O
1,5
BAC
y
20kN3,02,0
x
F
M
30
Fig. 8.7.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
45/113
9. STUDIUL SISTEMELOR DE FORE PARALELE
9.1. Reducerea sistemelor de fore paralele
Considerm un sistem de n fore paralele cu axa Oz(fig. 9.1, a). n urma
operaiei de reducere fa de punctul O, se obin componentele torsorului:
( )
( ) ( ) ( ) .
;
yxjMiMjMiMFrM
kZkFFR
yOxOhhhhO
hh
+=+==
===
(9.1)
Cei doi vectori sunt ortogonali (R MO ) i prin urmare, produsul lor scalar
(numit invariantul scalar) este nul, R MO = 0 . Astfel se deduce c proiecia
momentului rezultant pe direcia rezultantei (momentul minim) este nul
Mmin = 0 (fig. 9.1, b). Bineneles, teorema lui Varignon poate fi aplicat i
pentru aceste sisteme de fore paralele, dac rezultanta este nenul.
9.2. Cazuri de reducere
Cazurile de reducere posibile pentru sistemele de fore paralele sunt:
1) R = 0 i MO = 0 , sistemul de fore este n echilibru. Cele dou relaii
vectoriale furnizeazi n acest caz trei ecuaii de proiecie, respectiv rezultanta
o ecuaie de proiecie corspunztoare axei Oz, iar momentul dou ecuaii de
proiecie pe axele Oxi Oy:
FnFh
F2
yx
z
O
F1
a
Fig. 9.1.
z
x
(A.C.)
O
R
y
b
R
MO
90
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
46/113
50 Complemente de Mecanic
Z F
M y F
M x F
h
Ox h h
Oy h h
= =
= =
= =
0
0
0
;
( ) ;
( ) .
(9.2)
2) R = 0 i MO 0 , sistemul de fore echivalent cu un cuplu;3) R 0 i MO = 0 , sistemul de fore este echivalent cu o for unicR ,
al crei suport trece prin punctul de reducereO;
4) R 0 , MO 0 , R MO = 0 , sistem echivalent cu o for unicR , care
nu trece prin punctul de reducere O. Axa central (fig. 9.1,b) se gsete sub
forma dreptei de intersecie a dou plane, ale cror ecuaii se stabilesc aplicnd
teorema lui Varignon n raport cu axele Oxi respectiv Oy:
xZ x F
yZ y F
xx F
Z
yy F
Z
h h
h h
h h
h h
=
=
=
=
(9.3)
9.3. Centrul forelor paralele
O proprietate deosebit de important, cnd se consider c forele care
alctuiesc sistemul i menin punctele de aplicaie i intensitile, dar i
modific direcia continund s rmn paralele ntre ele, este aceea c dreapta
suport a rezultantei trece mereu printr-un punct fix C, numit centrul forelor
paralele. Acest punct are coordonatele:
xx F
Zy
y F
Zc
h h
c
h h= =
; (9.4)
Coordonatele centrului Cverific ecuaia axei centrale (9.3) i deoarece centrul
Ceste un punct invariabil al solidului, la o permutare a axelor de coordonate se
stabilete i coordonata z z Fc h h= . Vectorul de poziie al centrului Cse scrie:
r x i y j z k c c c c= + + (9.5)Se subliniaz condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc sistemul de
fore paralele pentru ca s existe un astfel de centru: rezultanta este diferit de
zero (R 0 ) i forele sunt vectori legai.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
47/113
Studiul sistemelor de fore paralele 51
Proprietile pe care le are centrul forelor paralele sunt:
poziia acestuia nu se modific dac toate forele sunt multiplicate cu o
mrime scalar; poziia centrului forelor paralele este invariabil n raport cu forele, deci nudepinde de sistemul de axe ales.
Un caz frecvent ntlnit n aplicaii este cel al forelor paralele uniform
distribuite (fig. 9.2, a) sau liniar distribuite (fig. 9.2, b). Pentru forele
distribuite, sumele finite din relaiile stabilite (9.1), (9.2) i (9.3) devin
integrale, iar foreleFh de sub operatorul SIGMA devin fore elementare dF.
Cunoscnd valoarea p(N/m) a forei distribuite i lungimea l(m) pe care
este aplicat aceasta se calculeaz rezultantaR1 (fig. 9.2,a) considernd c pe un
element de lungime dx acioneaz o for elementardF = pdx:
R dF p dx p dx pl
l l l
1
0 0 0
= = = = (9.6)
Coordonata xc a punctului de aplicaie pentru rezultantaR1 se sabilete folosind
relaia (9.4) n mod adecvat:
x
x dF
R
p x dx
pl
l
l
lC
lo lo
=
=
= = 0
1
0
2
22
. (9.7)
Acest rezultat este uor de intuit dac se are n vedere simetria ncrcrii
uniform distribuite.
Fig. 9.2.
dF=pdxz
x dx
x
pl
a
dF=pxdxz
x dx
xpx
p
b
l
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
48/113
52 Complemente de Mecanic
Calculul rezultantei forei distribuite liniar din figura 9.2,b se conduce n
mod asemntor, innd cont c de aceast dat, pe elementul infinit mic de
lungime dx, se exercit o for elementar dF p dxx= unde ordonatacorespunztoare foei distribuite este p px lx = / :
R dF p dxp
lxdx
p
lxdx
pll
x
l l l
2
0 0 0 02
= = = = = (9.8)
RezultantaR2 se aplic la distanaxc de originea axelor:
x
x dF
R
xp dx
pl
p
lx dx
pl
lC
lo
x
lo lo
=
=
=
= 0
2
0
2
0
2 2
2
3. (9.9)
n concluzie, rezultanta este egal cu aria forei distribuite: pentru primul
caz R1=pl (aria distribuiei dreptunghiulare), iar pentru cel de-al doilea caz
R2=pl/2 (aria distribuiei triunghiulare). Rezultanta acioneaz la jumtatea
lungimii l (fig. 9.3, a) i respectiv, la dou treimi din lungimea l fa de
vrful triunghiului (fig. 9.3, b).
9.4. APLICAII
9.1. S se determine rezultanta forelorF = 1530 kN i G = 450 kN, careacioneaz asupra zidului de sprijin din figura 9.4, precum i coordonata punctului n careacesta intersecteaz baza zidului.
Rspuns: R i j M k xO= = =1325 1215 4410 3630; ; . m.
Fig. 9.3.
R1=pl p
l/2
a
l/2l
R2=pl/2 p
b
l/3l
2l/3
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
49/113
Studiul sistemelor de fore paralele 53
9.2. S se reduc sistemul de fore paralele din figura 9.5 n punctul O, apoi n Ais se stabileasc cazul de reducere, specificnd care este sistemul echivalent cel mai simplu.
Rspuns: Y Y M M h O A= = 10N; = 2 Nm; = -48Nm; cazul d de reducere,R k= 10 pe dreapta suport de ecuaie x= MO/Y= 0,2m.
9.3. Considernd forele paralele din figura 9.5 cu originea n puncte fixe pe axaOx, s se calculeze poziia centrului lor, utiliznd relaiile (9.4).
Rspuns:xC= 0,2 m, yC = 0.
9.5. Form interactiv de studiu individual
Obiectiv: utilizarea relaiei (9.4) pentru valori diferite ale intensitilor forelor
verticale i pentru distane diferite ale originilor lor, situate pe axa Ox.
Specific: valorile forelor (n numr maxim de 10) pot fi ntre 100N i +100N.
Originea fiecrei fore trebuie s se afle fa de axa Oy ntre 10m i +10m,
altfel programul anun eroarea.
Exemplu de utilizare: se introduce numrul de fore (3). Dup introducereacifrei 3, se deschid dou ferestre pentru introducerea distanei fa de axa Oy a
primei fore i respectiv pentru valoarea prieciei primei fore (vezi figura 9.6).
Se repet introducerea datelor pentru celelalte fore. La final apare rezolvarea
problemei, adic valoarea rezultantei i abscisa punctului de aplicaie a acesteia,
precum i relaia utilizat (fig. 9.7). Datele introduse se pot vedea n fereastra de
sub schema de fore. Acestea sunt reprezentate proporional cu valorile lor.
Trecerea la alt aplicaie se face actionnd butonul Alt exerciiu.
1,01,51,5 1,0
O
y
F3=12 N
F2=8 N F4=4 N
F1=10 N
Fig. 9.5.
B
2
4
G
O x
y
33
F
Fig. 9.4.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
50/113
54 Complemente de Mecanic
Fig. 9.6
Fig. 9.7.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
51/113
10.CENTRE DE MAS
10.1. Definiie
Se definete ca centru de mas al unui sistem de puncte materiale Mi de mase
mi, ale cror poziii sunt determinate fa de un punct O de vectorii de poziie ir, un
punct O, al crui vector de poziie OG= este dat de relaia:
=
=
=
n
ii
n
iii
m
rm
1
1 (10.1)
Coordonatele sale fa de un reperOxy sunt:
=
=
=
=
=
=
n
ii
n
iii
Gn
ii
n
iii
G
m
ym
y
m
xm
x
1
1
1
1 ; (10.2)
Se observ c numitorul din relaiile (10.1) i (10.2) reprezint masa ntregului
sistem: =
= ni
imM1
. Mrimile de la numrtor se numesc momente statice, definite
astfel:
=
=n
iiiO rmS
1
moment static calculat fa de punctul O;
=
=n
iiiy xmS
1
i =
=n
iiix ymS
1
moment static calculat fa de axa Oy, i respectiv
fa de axa Ox.
10.2. Proprieti ale centrului de mas
A)Poziia centrului de mas nu depinde de sistemul de coordonate ales, deoarece
depinde numai de poziia reciproc a punctelor materialeMi.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
52/113
56 Complemente de Mecanic
B)Dac sistemul de puncte este rigid, atunci i centrul de mas al acestor puncte se
gsete la distane fixe de ele. Prin urmare, centrul de mas al unui sistem rigid
oarecare rmne fix n raport cu un reper solidar cu sistemul rigid.
C)Dac valorile maselor sistemului material sunt multiplicate cu o constant
scalar nenul, poziia centrului de mas al sistemului nu se modific, deoarece
relaia (10.1) este omogen, de grad zero n raport cu mrimile mi. Proprietatea
aceasta permite reprezentarea maselor mi prin lungimi, arii sau volume,
constanta fiind densitatea sistemului considerat omogen.
D)Centrul de mas al unui sistem material constituit dintr-o linie dreapt se afl pe
acea dreapt, iar centrul maselor unui sistem material plan se afl n acel plan.E)Dac sistemul material admite un centru, un plan sau o ax de simetrie, atunci
centrul de mas se gsete respectiv n centrul, n planul sau pe axa de simetrie.
F)Dac domeniul ocupat de sistemul material poate fi descompus n subdomenii
ale cror mase i centre de mas pot fi stabilite direct, atunci centrul de mas al
ansamblului se stabilete cu relaia (10.1), n care mi este masa, iar ir este
vectorul de poziie corespunztor centrului de mas al subdomeniului i.Sistemul iniial poate fi format prin adunarea sau scderea a dou sau mai multe
subdomenii.
10.3. Metode geometrice pentru determinarea centrului de mas
10.3.1. Simetria
Din proprietile centrului de mas (proprietatea E) rezult c se poate
determina fr nici un calcul poziia acestuia pentru unele figuri regulate (care
prezint simetrie). Astfel, urmtoarele plci regulate avnd form de dreptunghi,
romb, ptrat, cerc, triunghi echilateralprezint cel puin dou axe de simetrie (de
reflectare sau oglindire) coninute n planul figurii. Alte figuri pot avea simetrie de
rotaie. Astfel, paralelogramulare o ax de simetrie de rotaie, perpendicular pe
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
53/113
Centre de mas 57
planul figurii i care trece prin punctul de intersecie al diagonalelor. n acest punct
se afl centrul su de mas.
10.3.2. Centrul de mas al unei plci omogene de form triunghiular
Suprafaa triunghiular din figura 10.1 se mparte n fii subiri paralele cu
latura BC ale cror centre de mas se afl pe mediana AD. Rezult c centrul de
mas se va gsi undeva pe aceast median. Repetnd de aceast dat operaia de
mprire a triunghiului n fii paralele cu latura AB, se stabilete c centrul de
mas se afl pe mediana AF. Prin urmare, centrul de mas al plcii triunghiulareomogene se afl la intersecia medianelor, n punctul G numit i baricentru.
Acest punct se gsete ntotdeauna la o treime din nlime, msurat fa de
baz, sau de dou treimi msurate fa de vrf. De altfel este cunoscut din
geometria analitic, pentru un triunghi ABC, la care vrfurile au coordonatele
A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC), punctul G de intersecie al medianelor va aveacoordonatele:
xG=(xA+xB+xC)/3,yG=(yA+yB+yC)/3. (10.3)
Centrele de mas pentru unele corpuri omogene uzuale ntlnite n probleme plane
sunt prezentate n Anexa C.
BA
C
F
E
G
D 2h/3
h/3
h
Fig. 10.1.
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
54/113
58 Complemente de Mecanic
10.4. Centre de mas pentru corpuri omogene
Rezolvarea problemelor de stabilire a poziiei centrelor de mas pentru
corpuri omogene se bazeaz pe aplicarea proprietii C de la paragraful 10.2.Astfel, pentru o bar omogen avnd masa Muniform distribuit pe lungimea ei
(notatL), se definete densitatea unitii de lungime =M/L. Relaia (10.2) se
scrie dup simplificarea cu :
=
=
=
=
=
=n
ii
n
iii
Gn
ii
n
iii
G
l
yl
y
l
xl
x
1
1
1
1 ; (10.4)
Pentru o plac omogen cu ariaAi masMcunoscute, se scrie densitatea unitii
de suprafa=M/A. Relaia (10.2) devine n acest caz:
=
=
=
=
=
=n
ii
n
iii
Gn
ii
n
iii
G
A
yA
y
A
xA
x
1
1
1
1 ; (10.5)
n expresiile (10.4) i respectiv (10.5), corpul omogen a fost descompus in
subdomenii simple ca form, acestea avnd poziia fiecrui cemtru de mas
cunoscut.
10.5. Aplicaii
10.1. . S se determine
poziia centrului de mas pentru baraomogen din figura 10.2.REZOLVARE:
1. Se alege ca sistem de referin, sistemulcare ncadreaz bara, aceasta fiind plasat n
primul cadran (fig. 10.2). Bara se considerca o sum de trei bare A1O, OA i A2A3.
pentru acestea vom scrie urmtoarelelungimi i coordonate ale centrelor de mas:
y
A1
C2
C3C1
x
A3
O A2
Fig. 10.2
2R
4R
R
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
55/113
Centre de mas 59
=+=
==
===
=
==
==
Ry
CCRx
RRl
AA
y
Rx
Rl
OA
Ry
RRx
RRl
OA
3
323
3
32
2
2
2
2
1
1
1
1 4/cos2
4/22
;
0
2
4
;2
2/
)2/sin(
2/2
unde distana C2C3 se determin pentru unghiul =/4 cu relaia:
24
4/
)4/sin(232
RRCC ==
Calculele se efectueaz folosind tabelul 10.1:TABELUL 10.1.
Corpul (i) li xi yi lixi liyi(1) (2) (3) (4) (5) (6)
A1O (1) R 2R/ R 2R2 R2OA2 (2) 4R 2R 0 8R 2 0
A2A3 (3) R 2R+4R/ 4R/ 2R2+4R2 4R2
Sumnd valorile din coloana a doua, se stabilete lungimea total a barei care este
)2(23
1
+== =
RlLi
i . Totaliznd valorile din coloana a cincea i respectiv a asea,
se afl momentele statice care sunt: )7(2 23
1
+== =
RxASi
iiy i
)4(23
1
+== =
RyASi
iix .Utiliznd relaiile (10.4) obinem coordonatele:
RRL
SyRR
L
Sx xC
y
C 69,0)2(2
4;97,1
2
7
++
==++
==
10.2. Placa omogen trapezoidal are dimensiunile cunoscute: B, bi h(fig. 10.3,a). S se calculeze cotayC a centrului de mas.
REZOLVARE: Placa trapezoidal se descompune ntr-o placdreptunghiular
cu aria
A1= bBi coordonata centrului de masy1=h/2 (fig.10.3, b), precum i ntr-una triunghiular cu
ariaA2=(B-b)h/2 i coordonata centrului de masy2=h/3 (fig.10.3, c).
Fig. 10.3.
B
h
by
x xb/2 b+(B-b)/3 x
y
h/3h/2
y
b ca
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
56/113
60 Complemente de Mecanic
Se calculeaz:)(3
)2(
2
)(6
)(
2
22
21
2211
bB
bBh
hbBbh
hbBbh
AA
yAyAyC +
+=
+
+
=++
=
Descompunerea plcii se poate face considernd mai nti o plac dreptunghiular cu ariaA1=Bh(fig 10.4,B), din care se scade o plac triunghiular cu ariaA2=(B-b)h/2 (fig. 10.4, c). Evident se
obine acelai rezultat:)(3
)2(
2
)(32
)(2
2
22
21
2211
bB
bBh
hbBBh
hbBBh
AA
yAyAyC +
+=
=
=
Fig. 10.4.
10.3. S se calculeze abscisa centrului de mas pentru placa trapezoidaldin figura 10.3, apoi s se verifice rezultatul obinut folosind descompunerea dinfigura 10.4.
10.4. Corpul din figura 10.5 este alctuit dintr-o bar circular omogenavnd masa m1i o plac semieliptic omogen cu masa cunoscutm2. Ce relaieexist ntre cele dou mase, astfel nct poziia centrului de mas al corpului scoincid cu centrul cercului, O ? Se cunoate razaR.
REZOLVARE: Problema implic utilizarea relaiilor de forma (10.2), avnd corpurisimple omogene, dar de natur diferit: o bari o plac. Deoarece axa Oy este ax de simetrie,rezult imediat cxC=0, iar conform alegerii sistemului de referin (fig. 10.5) se impunecondiia yC=0, adic momentul static Sx=0. Elementele geometrice necesare rezolvrii sunt
pentru primul corp: y1= 2R/, respectiv pentru cel de-aldoileay2 = - 2R/(3) vezi anexa C. Se scrie:
0
3
)2/(4221
2211
=
+=
=+=
Rm
Rm
ymymSx
i deci m2=3m1.
y
B
h
by
x x/2 b+2 B-b /3 x
y
2h/3h/2
b ca
1
2
y
x
C2 R/2
C1
O
Fig. 10.5
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
57/113
Centre de mas 61
10.5. S se determine poziia centrului demas pentru placa omogen din figura 10.6, printr-o descompunere ntr-un numr minim de elemente.
Cotele din figur sunt date n dm.
REZOLVARE: Placa se descompune n dou elementecomponente (un paralelogram i un triunghi dreptunghic),acesta fiind numrul minim de elemente cerut. Dupreprezentarea poziiilor centrelor de mas Ci aleelementelor, se alege un sistem de axe fa de care se scriucoordonatelexii yi. Criteriul de alegere a sistemului deaxe poate fi determinat de simplitatea cotrii centrelor demas (de exemplu, toate centrele s se gseasc n primulcadran, coordonatele lor fiind toate pozitive). Un altcriteriu s-ar ntemeia pe observaia c atunci cnd se afl pe
axele de coordonate ct mai multe centre de mas, n expresiile momentelor statice intervinzerourile coordonatelor acestor centre i ca urmare, calculele numerice au un volum mai redus.Paralelogramul are aria A1= 42,4 =9,6 dm
2, i are centrul de mas la x1=2 dm, respectivy1=1,2 dm (fig. 10.7,a). Triunghiul dreptunghic are ariaA2 = 32,4/2 = 3,6 dm
2, i are centrulde mas lax2 = 1+3,0/3 = 2 dm, respectivy2 = 2,4+2,4/3 = 3,2 dm (fig. 10.7,b).
Se calculeaz: aria total a suprafeei: A=A1+A2=13,2dm2, momentul static
Sy=A1x1+A2x2=9,62+3,62=26,4 dm3, momentul static Sx=A1y1+A2y2=9,61,2+3,63,2= 23,04
dm3. Rezult la final coordonatelexG
=Sy/A=2dm i respectiv,y
G=S
x/A=1,745 dm.
OBSERVAIE: Deoarece ambele elemente au centrele demas cu aceeai abscis (x1=x2 = 2 dm), la alegereasistemului de coordonate se putea ine cont de acestamnunt considernd axa Oy trecnd prin cele dou puncteC1 i C2 (fig. 10.8). n consecin se obinea fr calcule
xG=0. Dac originea sistemului de coordonate se alegea npunctul C1, atunci expresia pentru calculul numeric alcoordonateiyG se simplifica n continuare:yG = (A2 y2)/A =3,6 2,0/13,2=0,545 dm.
Diferena dintre cele dou valori obinute pentruyGreprezint tocmai distana relativ dintre cele dou axe Ox.
Fig. 10.7.
xy1
x1y
C1O
a b
x
y
x2y
2
C2
O
3.0 1.0
2.
4
2.
4
1.0 3.0
Fig. 10.6.
Fig. 10.8.
2.
0
x
y
C1
C2
G
Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
-
7/29/2019 Complemente de Mecanicc483
58/113
62 Complemente de Mecanic
10.6. S se determine poziia centrului de mas pentru placa omogen dinfigura 10.9, a. Raza cerculuiR este cunoscut.
REZOLVARE: Placa se descompune n urmtoarelepatru plci simple (fig 10.9,b) avnd urmtarele forme: 1) ptrat cu laturaR; 2) semicerc cu razaR; 3) triunghi dreptunghic isoscel avnd catetele egale tot cuR; 4) sfert de cerc cu razaR (deoarece acesta se scade, aria sa seconsider negativ).
Calculele pot fi organizate n tabelul 10.2, n modasemntor cu cel de la problema 10.1. n figura 10.10 s-aureprezentat centrele de mas pentru fiecare plac simplcomponent, apoi s-a ales un sistem de axe dup cateteletriunghiului dreptunghic.
TABELUL 10.2.Corpul (i) Ai xi yi Aixi Aiyi
(1) (2) (3) (4) (5) (6)R
2 -R/2 R R3/2 R3/2R2/2 0 4R/3 0 2R3/3R
2/2 R/3 R/3 R3/6 R3/6
R2
/4 R+4R/3 R4R/3 R3
/4R3
/3 -R3
/4+R3
/3Se efectueaz sumele pe coloanele 2, 5 i 6, dup care