Complemente de Fizica

Daniela Buzatu, Cristina Stan

18 noiembrie 2004

2

Cuprins

1 Vectori 71.1 Reprezentarea unui vector . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Reprezentarea geometrica . . . . . . . 81.1.2 Reprezentarea analitica . . . . . . . . . 91.1.3 Reprezentarea matriciala . . . . . . . . 10

1.2 Operatii cu vectori . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Adunarea si scaderea vectorilor . . . . 111.2.2 Inmultirea vectorilor . . . . . . . . . . 141.2.3 Derivarea vectorilor . . . . . . . . . . . 221.2.4 Integrarea vectorilor . . . . . . . . . . . 23

1.3 Operatori vectoriali diferentiali . . . . . . . . 251.3.1 Operatorul gradient . . . . . . . . . . . 261.3.2 Divergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Mecanica clasica 512.1 Cinematica punctului material . . . . . . . . 512.2 Transformarile Galilei . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Principiile dinamicii newtoniene . . . . . . . 592.4 Interactiile fundamentale . . . . . . . . . . . . 65

3

2.5 Teoremele generale ale Mecanicii pentru unpunct material . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.1 Teorema impulsului . . . . . . . . . . . 682.5.2 Teorema momentului cinetic . . . . . 692.5.3 Teorema energiei cinetice . . . . . . . 712.5.4 Energia potentiala. Energia mecanica.

Teorema de conservare a energiei me-canice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6 Teoremele generale ale Mecanicii pentru unsistem de puncte materiale . . . . . . . . . . . 782.6.1 Teorema impulsului pentru un sistem

de puncte materiale . . . . . . . . . . . 802.6.2 Teorema momentului cinetic total pen-

tru un sistem de puncte materiale . . 842.6.3 Teorema energiei cinetice pentru un

sistem de puncte materiale. Conser-varea energiei mecanice . . . . . . . . . 86

2.6.4 Teoremele lui Konig . . . . . . . . . . . 902.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Mecanica analitica 1173.1 Marimi caracteristice . . . . . . . . . . . . . . 1173.2 Formalismul Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 123

3.2.1 Principiul lucrului mecanic virtual . . 1233.2.2 Fortele generalizate . . . . . . . . . . . 1253.2.3 Ecuatiile Lagrange . . . . . . . . . . . . 126

3.3 Formalismul Hamilton . . . . . . . . . . . . . 1283.3.1 Principiul lui Hamilton . . . . . . . . . 1283.3.2 Ecuatiile canonice . . . . . . . . . . . . 1333.3.3 Semnicatia functiei hamiltoniana . . 1363.3.4 Parantezele lui Poisson . . . . . . . . . 137

4

3.3.5 Transformarile canonice . . . . . . . . 1393.3.6 Ecuatia lui Hamilton-Jacobi . . . . . . 141

3.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4 Mecanica cuantica 1634.1 Aparatul matematic al Mecanicii cuantice . 163

4.1.1 Spatii liniar complexe . . . . . . . . . . 1634.1.2 Spatii unitare si spatii Hilbert . . . . 1674.1.3 Operatori liniari. Operatii cu opera-

tori liniari . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.1.4 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . 1764.1.5 Problema cu valori proprii asociata unui

operator hermitic . . . . . . . . . . . . 1774.1.6 Observabile . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.1.7 Reprezentarea matriciala a vectorilor

si operatorilor . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2 Principiile mecanicii cuantice . . . . . . . . . 188

4.2.1 Principiul I (principiul starilor) . . . . 1884.2.2 Principiul II . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2.3 Principiul III (principiul interpretarii

statistice) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.2.4 Principiul IV (principiul evolutiei tem-

porale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.2.5 Principiul V . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

A Elemente de calcul variational 225

B Functia 229

C Integrale Poisson 231

5

6

Capitolul 1

Vectori

Unele marimi zice sunt complet determinate printr-o singuraproprietate, care este chiar valoarea lor numerica. Acestemarimi, cum ar : temperatura, volumul, timpul, energia, frec-venta, se numesc scalari. Operatiile matematice cu scalari suntoperatii aritmetice obisnuite.Exista nsa marimi zice a caror descriere completa necesita speci-carea directiei, sensului si respectiv a punctului de aplica-tie. Aceste marimi se numesc vectori, iar exemple n acest senssunt: viteza, acceleratia, forta, impulsul, momentul unghiular,momentul fortei, etc.

1.1 Reprezentarea unui vector

Exista mai multe posibilitati de exprimare a unui vector: geome-trica, analitica, matriciala. Fiecare dintre ele prezinta avantaje silimite, de aceea reprezentarile sunt alese si folosite n functie deproblema concreta care se doreste a rezolvata.

7

1.1.1 Reprezentarea geometrica

Un vector este reprezentat ca un segment orientat, care pornestedintr-un punct numit origine sau punct de aplicatie. Segmen-tul este asezat pe dreapta suport AA si are sensul indicat devarful sagetii (Fig.1).

Fig. 1

Ca urmare, un vector este caracterizat de urmatoarele patru ma-rimi:

origine (punct de aplicatie) - punctul de unde porneste directie - dreapta suport pe care este asezat sens - indica ncotro se ndreapta modul(marime) - valoarea numerica

8

Modulul saumarimea vectorului este proportionala cu lungimea

segmentului orientat. Modulul vectorului se noteaza A sau A.

Sa consideram un vector de marime egala cu unitatea, notat eA,orientat pe directia si n sensul vectorului A. Acesta se numesteversor1. In aceste conditii, se poate scrie:

A = AeA (1.1)

1.1.2 Reprezentarea analitica

In reprezentarea analitica, un vector se exprima prin proiecti-ile sale pe un sistem de axe ortogonale, de exemplu, sistemulcartezian (Fig. 2).

Sa notam cu Ax, Ay, Az proiectiile lui A de-a lungul axelor Ox,Oy,Oz. Atunci:

A = Axi + Ayj + Azk (1.2)

unde i, j, k sunt versorii directiilor Ox, Oy, Oz.

Marimea vectorului se aa folosind teorema lui Pitagora:

A =

A2x + A2y + A

2z (1.3)

De exemplu daca: v = 7i 3j + 2k(m/s), atunci vx = 7m/s,vy = 3m/s, si vz = 2m/s; prin urmarev =

49 + 9 + 4 m/s=

62m/s=7.87m/s.

1In literatura de specialitate se folosesc si alte notatii pentru versori.

9

Fig. 2

1.1.3 Reprezentarea matriciala

Orice vector poate exprimat ca o matrice cu o singura liniesau cu o singura coloana, ecare element al acesteia reprezentandcomponenta (proiectia vectorului) pe o anumita directie. De e-xemplu, daca vectorul este reprezentat analitic prin relatia (1.2),atunci :

A = (Ax Ay Az) (1.4)

sau

A =

AxAyAz

(1.5)10

1.2 Operatii cu vectori

1.2.1 Adunarea si scaderea vectorilor

Fie A si B doi vectori oarecare. Suma A+ B este, de asemenea,un vector:

A + B = C (1.6)

Fig. 3: (a) metoda poligonului; (b) metodaparalelogramului

Marimea vectorului rezultant se poate determina prin oricare dinmodalitatile de reprezentare ale vectorilor discutate anterior.

11

In Fig. 3 sunt reprezentate doua metode geometrice de aare alevectorului suma.

Prin regula poligonului (Fig. 3a) vectorul rezultant a doi (saumai multi) vectori se aa trasand segmentul ce nchide conturulpoligonal construit din vectorii asezati varf-origine. Originea vec-torului rezultant se aa n originea primului vector iar varful - nvarful ultimului vector al sumei.

In Fig. 3b este ilustrata adunarea a doi vectori prin metodaparalelogramului. Conform regulii paralelogramului, vectorulrezultant este diagonala mare a paralelogramului construit de ceidoi vectori concurenti A si B.

Din Fig. 3 se observa ca adunarea este comutativa. Aceastaconstructie geometrica permite calculul marimii vectorului sumacu ajutorul teoremei lui Pitagora generalizate:

C =A2 + B2 + 2AB cos (1.7)

Daca suma a doi vectori este egala cu zero, atunci vectorii suntegali ca marime si au sensuri opuse.

A + B = 0 B = A (1.8)Aceasta relatie deneste vectorul opus si permite denirea ope-ratiei de scadere a doi vectori ca adunarea dintre un vector, A,cu vectorul opus, ( B).

D = A B = A + ( B) (1.9)Sa exemplicam, n continuare, adunarea vectorilor, plecand dela reprezentarea lor analitica. In coordonate carteziene:

A = Axi + Ayj + Azk (1.10)

12

Fig. 4: Determinarea vectorului diferenta, D; (a) prin

adunarea lui A cu vectorul opus B; (b) vectoruldiferenta, D, uneste varfurile celor doi vectori A si B si

are sensul nspre vectorul descazut

B = Bxi + Byj + Bzk (1.11)

Componentele vectorului suma se aa prin adunarea algebrica acomponentelor (proiectiilor) corespunzatoare, pe directiile Ox,Oysi Oz.

C = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k (1.12)

D = (Ax Bx)i + (Ay By)j + (Az Bz)k (1.13)Aceasta procedura analitica poate generalizata pentru adunarea

13

a n vectori Ri, i = 1, 2, 3..., n.Daca se cunosc proiectiile acestor vectori pe axele sistemului decoordonate carteziene, Rix, Riy, Riz, atunci, vectorul suma este:

R =n

i=1

Ri (1.14)

R =

R2x + R2y + R

2z (1.15)

unde

Rx =n

i=1

Rix, Ry =n

i=1

Riy, Rz =n

i=1

Riz (1.16)

1.2.2 Inmultirea vectorilor

Exista mai multe posibilitati de nmultire a vectorilor. Acesteadepind de contextul problemei, rezultatul nmultirii vectoriale -ind - n unele cazuri - marimi vectoriale sau scalare.

Inmultirea unui vector cu un scalar

Din nmultirea unui vector, A cu un scalar , rezulta un alt vector,A, de marime A.

A = A =A (1.17)

Directia vectorului A este aceeasi cu a vectorului A, iar marimeasi sensul sau depind de valoarea scalarului :

daca > 0 sensul lui A este sensul lui A; daca < 0 sensul lui A este contrar sensului lui A.

14

Un exemplu de nmultire a unui vector cu un scalar a fost dejailustrat n relatia (1.1) si n Fig. 1.

Propietatile adunarii si nmultirii vector-scalar.

A + ( B + C) = ( A + B) + C A +0 = 0 + A = A () A =

( A)

= ( A)

= A

( + ) A = A + A

(A + B

)= A + B

0 A = A 0 = 0Produsul scalar

Produsul scalar a doi vectori se noteaza cu . Rezultatuloperatiei de nmultire scalara a doi vectori este un scalar:

A B = AB cos (1.18)unde reprezinta unghiul dintre vectorii A si B (Fig. 5).

Daca vectorii A si B sunt perpendiculari, produsul scalar este nul,ntrucat cos 900 = 1.Din denitia produsului scalar se observa ca acesta este comu-tativ:

A B = B A (1.19)Cu ajutorul Fig. 5 se poate da o interpretare geometrica a pro-dusului scalar a doi vectori. Asa cum rezulta din gura, proiectiavectorului A pe dreapta suport a lui B este:

15

Fig. 5: Interpretarea geometrica a produsului scalar

Pr BA = A cos (1.20)

astfel ncat:A B = (A cos)B (1.21)

La fel:Pr A

B = B cos (1.22)

astfel ncat:A B = A Pr A B (1.23)

Componenta unui vector pe o axa este proiectia acestuia pe di-rectia acelei axe. Deoarece directia si sensul ecarei axe este de-terminata de un versor corespunzator, se poate scrie:

Ax = A cos( A,i) = A i (1.24)Ay = A cos( A,j) = A j (1.25)Ax = A cos( A,k) = A k (1.26)

16

Cosinusii unghiurilor dintre vectorul A si axele Ox,Oy,Oz senumesc cosinusi directori.

cos( A,i) =AxA

= 1 (1.27)

cos( A,j) =AyA

= 1 (1.28)

cos( A,k) =AzA

= 1 (1.29)

unde 1, 1 si 1 sunt cosinusii directori ai lui A. Ca urmare:

A = A (1i + 1j + 1k) = A eA (1.30)

unde:eA = 1i + 1j + 1k (1.31)

este versorul directiei lui A. Intr-adevar:

eA eA = 1 (1.32)

deoarece:21 +

21 +

21 = 1. (1.33)

Intrucat versorii au componentele i(1, 0, 0),j(0, 1, 0), k(0, 0, 1) sisunt reciproc perpendiculari, atunci produsul lor scalar va :

i j = j k = k i = 0 (1.34)i i = j j = k k = 1 (1.35)

iar produsul scalar al vectorilor A(Ax, Ay, Az) si B(Bx, By, Bz) seexprima ca:

A B = AxBx + AyBy + AzBz (1.36)

17

Exemple de marimi denite ca produs scalar sunt: lucrul mecanic,uxul campului gravitational, al campului electric sau al campuluimagnetic etc.

Produsul vectorial

Produsul vectorial a doi vectori A si B, notat cu areca rezultat un vector, C.

A B = C (1.37)

Fig. 6: Ilustrarea regulii burghiului

Prin conventie, produsul vectorial este un vector perpendicularpe planul format de A si B (Fig. 6 ). Sensul lui C este stabilitde regula burghiului drept : se aseaza burghiul perpendicular

18

pe planul format de cei doi vectori si se roteste n sensulsuprapunerii primului vector al produsului peste cel de-al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de naintare alburghiului este sensul vectorului rezultant.O astfel de regula de nmultire ne atentioneaza asupra faptului caprodusul vectorial este anticomutativ:

A B = B A (1.38)Marimea vectorului rezultant este data de relatia:

C = AB sin (1.39)

Cu ajutorul Fig. 6 se poate da interpretarea geometrica aprodusului vectorial. Se constata ca modulul lui C reprezintao jumatate din aria paralelogramului construit de cei doi vectori.

Sa calculam produsul vectorial folosind acum reprezentarea ana-litica:

A B = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk)= AxBx(ii) + AxBy(ij) + AxBz(i k)+AyBx(j i) + AyBy(j j) + AyBz(j k)+AzBx(k i) + AzBy(k j) + AzBz(k k) (1.40)

Deoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este zero, iar:

ij = k (1.41)j k =i (1.42)k i = j, (1.43)

19

se obtine:

A B = i(AyBz AzBy) +j(AzBx AxBz) + k(AxBy AyBx)= i

Ay AzBy Bz+j Ax AzBx Bz

+ k Ax AyBx By

=

i j kAx Ay AzBx By Bz

(1.44)

Produsul mixt

Produsul mixt include ambele tipuri de nmultiri dintre vec-tori. Rezultatul produsului scalar dintre vectorii C si produsulvectorial al altor doi vectori A si B este un scalar, D:(

A B) C = D (1.45)

Daca vectorii sunt cunoscuti pe componente, atunci produsul mixtse poate calcula sub forma unui determinant caracteristic:

D =

Ax Ay AzBx By BzCx Cy Cz

(1.46)Tinand cont de semnicatia geometrica a produsului vectorial AB, precum si a produsului scalar A B, din Fig. 7, rezulta camarimea lui D este egala cu volumul paralelipipedului construitcu cei trei vectori (necoplanari).

V = aria bazei naltimea (1.47)

20

Fig.7: Interpretarea geometrica a produsului mixt

= A BC cos( A B, C) (1.48)

=(A B

) C (1.49)

Din (1.46) se observa ca produsul mixt nu-si schimba valoareadaca cei trei vectori sunt comutati ciclic:

(A B

) C =

(B C

) A =

(C A

) B (1.50)

Triplul produs vectorial

21

Rezultatul aplicarii produsului vectorial ntre trei vectori este unvector. Deoarece efectuarea repetata a produsului vectorial ntrevectori este un lucru destul de dicil, acesta se calculeaza cu aju-torul unor produse scalare2 si anume:

A B C = B (A C

) C

(A B

)(1.51)

1.2.3 Derivarea vectorilor

Sa consideram un vector, A, exprimat n functie de o marimescalara, de exemplu, s. Aceasta dependenta poate scrisa (ncoordonate carteziene) sub forma:

A = Ax(s)i + Ay(s)j + Az(s)k (1.52)

Derivata unui vector n raport cu un scalar poate scrisa n acelasimod ca si derivata unei functii scalare, adica:

d A

ds= lim

s0

A(s + s) A(s)s

(1.53)

In cazul n care functia scalara s este, de exemplu, timpul t,derivata vectorului A devine:

d A

dt=

dAxdt

i +dAydt

j +dAzdt

k (1.54)

Aceasta relatie deneste viteza instantanee a vectorului A.

Procedura matematica de diferentiere a unei functii vectoriale estesimilara, asadar, cu cea pentru functii scalare.

2Aceasta regula este usor de retinut sub numele bac minus cab.

22

De exemplu:

d

ds( A B) = d

A

ds d

B

ds(1.55)

d

ds(f(s) A(s)) =

df

dsA + f

d A

ds(1.56)

d

ds( A B) = d

A

ds B + A d

B

ds(1.57)

d

ds( A B) = d

A

ds B + A d

B

ds(1.58)

Toate aceste reguli vor folosite n cadrul cinematicii si dinamiciipunctului material si ale sistemelor de puncte materiale.

1.2.4 Integrarea vectorilor

Trebuie sa facem, mai ntai, distinctia neta dintre o functie sca-lara3 de variabila vectoriala, de exemplu:

u(r) = u(x, y, z) (1.59)

si o functie vectoriala4 de variabila vectoriala, de exemplu:

a(r) = a(x, y, z) = ax(x, y, z)i + ay(x, y, z)j + az(x, y, z)k (1.60)

Ambele functii sunt denite n orice punct descris de vectorulde pozitie r si sunt exprimate n sistemul de referinta cartezian(Ox,Oy,Oz).

3Exemple de functii scalare: densitatea, temperatura, energia potentiala,etc.

4Exemple de functii vectoriale: viteza, intensitatea campuluigravitational, electric, etc.

23

Sa consideram o curba , n spatiul pe care este denita n oricepunct functia vectoriala. Integrala functiei vectoriale a, de-a lun-gul curbei , se deneste ca:

a dr =

(axdx + aydy + azdz), (1.61)

unde dr reprezinta variatia vectorului de pozitie n coordonatecarteziene:

dr = dxi + dyj + dzk (1.62)

dr

T

ds

a

(*)

Fig. 8: Ilustrarea procesului de integrare a vectorului ade-a lungul conturului

O alternativa de exprimare a expresiei (1.61) este n functie dedistanta s masurata de-a lungul curbei fata de un punct x (Fig.

24

8). Daca notam cu unghiul dintre directia lui a si tangenta lacurba n orice punct, atunci:

a dr =

a cos ds (1.63)

1.3 Operatori vectoriali diferentiali

Operatorii diferentiali ce vor deniti n cele ce urmeaza permitexprimarea locala (punctuala) a legilor zicii. Acesti operatorivectoriali (gradient, divergenta si rotor) pot exprimati cu

ajutorul operatorului diferential notat 5, numit nabla.

In coordonate carteziene, operatorul nabla are expresia6:

= x

i +

yj +

zk (1.64)

Operatorul

= 2 =(

xi +

yj +

zk

)(

xi +

yj +

zk

)=

(2

x2+

2

y2+

2

z2

)se numeste operatorul Laplace sau laplaceian.

In functie de modul prin care acest operator se aplica uneimarimi zice scalare sau vectoriale se obtin trei situatii distincte:

5De cele mai multe ori se omite scrierea lui cu vector deasupra.6Expresia operatorului depinde de sistemul de coordonate ales

25

gradient - daca se aplica unei functii scalare divergenta - daca se aplica prin produs scalar unei functii vec-toriale rotor - daca se aplica prin produs vectorial unei functii vecto-riale

Expresiile operatorilor vectoriali depind de sistemul de coordo-nate n care se denesc. Pentru simplitate, vom considera n celece urmeaza doar sistemul cartezian.

1.3.1 Operatorul gradient

DenitieOperatorul gradient se aplica unor functii scalare, transformandu-le n marimi vectoriale. Daca notam functia scalara cu =(x, y, z) atunci, n coordonate carteziene, expresia gradientului7

marimii scalare este:

= grad x

i +

yj +

zk (1.65)

Semnicatia zicaSa consideram ca valorile functiei scalare nu depind, n primaaproximatie, decat de coordonatele punctului n care aceasta seevalueaza.

Se deneste notiunea de suprafata de nivel constant sau(suprafata echipotentiala n cazul n care functia reprezinta

7Operatorul gradient este un vector, de aceea, pentru sublinierea cestuilucru, am marcat semnul vector deasupra. In cele ce urmeaza, pentru simpli-carea scrierii vom omite acest semn, fara a uita nsa caracteristicile vectorialeale operatorului.

26

un potential), locul geometric al punctelor pentru care functia are aceeasi valoare (Fig. 9):

= (x, y, z) = const. (1.66)

M(x,y,z)=M2=const.

M(x,y,z)=M1=const.

's

Fig. 9: Suprafete echipotentiale

Variatia functiei ntre doua suprafete de nivel constant este:

= 2(x, y, z) 1(x, y, z) (1.67)Din Fig. 9 se observa ca valoarea

(s

)a variatiei functiei, rapor-

tata la distanta dintre cele doua suprafete, depinde de orientareasegmentului s.Se deneste derivata dupa o directie a functiei scalare , prinrelatia:

d

ds= lim

s0

s(1.68)

27

xy

z

'x 'y

'z

D E

J

Fig. 10: Orientarea segmentului s n raport cu unsistem de axe carteziene.

Daca xam orientarea segmentului s n raport cu un sistemde axe carteziene (Fig.10) si tinem cont de faptul ca functia depinde de variabila s prin intermediul coordonatelor x, y, z, seobtine:

d

ds= lim

s0x,y,z0

(

x xs

+

y ys

+

z zs

)(1.69)

Relatia devine:

d

ds=

xcos +

ycos +

zcos (1.70)

28

unde:

cos = lims0

x

s(1.71)

cos = lims0

y

s(1.72)

cos = lims0

z

s(1.73)

Expresia (1.70) corespunde produsului scalar:

d

ds= grad es (1.74)

unde:

grad =

dxi +

yj +

zk (1.75)

sau

grad = cos i + cos j + cos k (1.76)Se observa ca marimea gradientului poate denita ca:

|grad | =(

dx

)2+

(

y

)2+

(

z

)2(1.77)

Sa consideram n continuare, un plan tangent n punctul P , (),la suprafata de nivel constant = (x, y, z) = const (Fig. 11).Toate punctele din planul () din vecinatatea punctului P suntcaracterizate de:

0 dds

= 0 (1.78)

Pentru orice directie es1 ; es2 ; etc. din acest plan:

29

s2

SP

s1

Fig. 11: Orientarea vectorului gradient

d

ds1= grad es1 = 0 (1.79)

d

ds2= grad es2 = 0 (1.80)

Ca urmare, grad este orientat perpendicular pe oricare douadirectii din planul (). Conform teoremei celor trei perpendicu-

lare, este perpendicular pe planul format de directia ei. Deci,directia gradientului este perpendiculara pe suprafetele de nivelconstant, n lungul normalei n punctul respectiv. Prin conventie,se considera ca sensul vectorului este acela n care estecrescator. Deci, cu alte cuvinte, vectorul gradient tinteste ndirectia celei mai rapide cresteri, n spatiu, a lui .

In concluzie, principalele proprietatile ale gradientului unei functiiscalare ( grad) sunt:

30

este o functie vectoriala denita n orice punct (functie depunct) indica directia si sensul celei mai rapide cresteri a functiei scalare are marimea data de derivata dupa directia celei mai rapidecresteri a functieieste orientat perpendicular pe suprafetele echipotentiale =const., oricare ar marimea zica , careia i se aplica

Vom discuta mai amanuntit semnicatia zica a acestui opera-tor, n cazul denirii functiei potential scalar.

1.3.2 Divergenta

DenitieOperatorul divergenta se aplica functiilor vectoriale prin opera-tia de nmultire scalara.Daca notam functia vectoriala cu a, atunci, n coordonate carte-ziene a = a(x, y, z) si expresia divergentei este:

a = div a = axx

+ayy

+azz

(1.81)

Semnicatia zicaPentru a ilustra semnicatia zica a operatorului divergenta, nevom folosi de un exemplu din mecanica uidelor. Se deneste nacest caz, intensitatea curentului masic, I, cantitatea de uid caretrece printr-o suprafata dS n unitatea de timp:

I =dm

dt(1.82)

Masa dm poate scrisa n functie de valoarea vitezei unei par-ticule de uid n regiunea suprafetei innitezimale ds. Suprafata

31

Fig. 12: Ilustrarea interpretarii zice a divergentei

vazuta efectiv de uidul n curgere este dSn = dScos. Canti-tatea de uid ce trece ntr-un timp dt prin suprafata dS sau (dSn)este cuprinsa ntr-un cilindru de arie a bazei dSn si de naltimev dt. Ca urmare:

dm = dSnvdt = dSvdtcos (1.83)

unde este densitatea volumica a uidului. Ca urmare:

I =dm

dt= dSvcos (1.84)

Se deneste, de asemenea, densitatea curentului masic, j prinrelatia:

j =dm

dSndt= v (1.85)

32

Constatam ca, ntrucat viteza este o marime vectoriala, iar - unscalar, j este o marime vectoriala:

j = v (1.86)

Avand n vedere ca v se poate scrie, n coordonate carteziene, subforma:

v = vxi + vyj + vzk (1.87)

rezulta ca:

j = jxi + jyj + jzk (1.88)

unde:

jx = vx, jy = vy, jz = vz. (1.89)

Sa analizam n continuare, curgerea unui uid n raport cu unreferential cartezian Oxyz. Marimea vectoriala generica a dinrelatia (1.81) va acum j. Ne vom folosi de Fig. 12 si vomncepe discutia noastra cu directia Oy din motive de vizibilitatemai buna.

Densitatea de curent pe fata de intrare n paralelipipedul de volumelementar dV este jy(y), iar cea de iesire jy(y + dy). Cantitateade uid ce intra n volumul elementar dV este:

dm(y) = dxdzvy(y)dt (1.90)

iar cea care iese:

dm(y + dy) = dxdzvy(y + dy)dt (1.91)

33

Daca, eventual, dm(y) este diferit de dm(y + dy), atunci putemvorbi de o masa neta de uid care izvoraste sau dispare, ex-primata ca:

dmy = dm(y+dy)dm(y) = dxdzdt[vy(y+dy)vy(y)] (1.92)

Observatii:

am considerat mai sus ca uidul este incompresibil, deci (y) =(y + dy) = daca dm(y + dy) > dm(y) se spune ca dV se comporta (dupaaceasta directie y) ca un izvor. In caz contrar, dV se comportaca un put sau dren

Putem exprima pe vy(y + dy) sub forma unei dezvoltari n se-rie Taylor:

vy(y+ dy) = vy(y)+1

1!

(vyy

)dy+

1

2!

(2vyy2

)(dy)2 + ... (1.93)

Daca viteza de variatie a lui vy cu y nu este foarte mare, atunci,ntr-o prima aproximatie, putem considera ca:

vy(y + dy) = vy(y) +vyy

dy (1.94)

astfel ncat:

dmy = dxdzdtvyy

dy (1.95)

34

Relatii similare vor putea scrise cu usurinta si pentru directiileOx si Oz, astfel ncat:

dm = dmx + dmy + dmz (1.96)

= dxdydzdt(vxx

+vyy

+vzz

) (1.97)

= [(vx)

x+

(vy)

y+

(vz)

z]dV dt (1.98)

= (jxx

+jyy

+jzz

)dV dt (1.99)

Asadar

jxx

+jyy

+jzz

=dm

dV dt(1.100)

Intrucat termenul I din relatia (1.100) se poate scrie ca un pro-dus scalar ntre operatorul(

xi,

yj,

zk) si vectorul j(jx, jy, jz),

rezulta ca:

j = divj = dmdV dt

(1.101)

Cu alte cuvinte, div j reprezinta masa de uid izvorata dintr-unvolum elementar dV n unitatea de timp, raportata la valoarealui dV . Se spune ca div j reprezinta productivitatea specica deuid a izvorului elementar dV . Evident, cu cat izvorul va maiputernic, cu atat divj care l caracterizeaza va mai mare. Dealtfel, termenul divergenta provine de la cuvantul latin diverg-ere, care nseamna a izvor. Avand n vedere ca dm = j dS,n care dS este suprafata care nconjoara volumul elementar dV ,prin integrare pe ntreg volumul unei surse macroscopice de uidvom putea scrie:

35

S

j dS =V

divj dV (1.102)

care reprezinta teorema lui Green-Gauss-Ostrogradski. A-ceasta ultima relatie stabileste o legatura ntre o integrala desuprafata a lui j si una de volum a unei functii de j.

1.3.3 Rotor

DenitieOperatorul rotor se aplica functiilor vectoriale prin operatia deprodus vectorial. Daca aplicam rotorul functiei vectoriale a =a(x, y, z) se obtine:

a = rot a =i j kx

y

z

ax ay az

(1.103)=

(azy

ayz

)i +

(azz

azx

)j +

(ayx

axy

)k

Interpretarea zicaFie un vector A caracterizat prin componentele Ax, Ay, Az n ra-port cu un sistem de referinta cartezian. Sa consideram o directieoarecare descrisa de versorul n.In planul perpendicular pe versorul n, alegem un contur innitez-imal nchis dl ,care margineste o suprafata mica S.De obicei,sensul de parcurgere al conturului se stabileste astfel ncat sensulpozitiv al versorului n sa coincida cu cel determinat prin regulaburghiului drept.Operatorul diferential rot este un vector a carui proiectie pe di-rectia lui n este denita prin relatia:

36

rotn A = limS0

A dlS

(1.104)

Sa consideram n cele ce urmeaza ca vectorul A este viteza v aunui punct (element de masa) dintr-un corp rigid care se rotestecu viteza unghiulara n jurul unei axe de rotatie coliniare cu ver-sorul n . In mod evident ca traiectoria punctului considerat este uncerc de raza r cu centrul pe axa de rotatie iar viteza v = r esteorientata tangent la traiectorie. Conturul ce nchide elementul desuprafata S = r2 este

dl = 2r.

x (x+x,y+y,z)

(x,y+y,z)(x,y,z)

(x+x,y,z)

z

yO

Fig. 13: Denirea operatorului rot n termeni decoordonate

Conform denitiei 1.104 se obtine:

37

rotnv = limr0

vdl

r2= lim

r02r

r2= 2 (1.105)

Astfel, rotorul vitezei liniare a punctelor unui solid rigid aat nmiscare de rotatie este dublul vitezei unghiulare.Din punct de vedere al calculului matematic este mult mai con-venabila denirea operatorului rot n termeni de coordonate.Sa gasim proiectiile vectorului rot ntr-un sistem de coordonatecartezian, de exemplu de-a lungul axei Oz.Conturul pe care se integreaza este un dreptunghi cu laturilex,y indicat n Fig. 13. Se obtine:

A dl =

(x+x,y,z)(x,y,z)

Ax(x, y, z)dx +

(x+x,y+y,z)(x+x,y,z)

Ay(x + x, y, z)dy

(x,y+y,z)(x+x,y+y,z)

Ax(x, y + y, z)dx +

(x,y,z)(x,y+y,z)

Ay(x, y, z)dy (1.106)

Considerand ca x,y pot oricat de mici dorim, putem dezvol-ta termenii Ax, Ay n serii Taylor:

Ax(x, y + y, z) = Ax(x, y, z) +Ax(x, y, z)

yy... (1.107)

38

Ay(x + x, y, z) = Ay(x, y, z) +Ay(x, y, z)

xx + ...(1.108)

Sa revenim n relatia (1.106) n care, pentru claritate, sa calculamsuma ntre prima si a treia ntegrala, respectiv suma ntre a douasi a patra integrala. Dupa inversarea limitelor unei integrale siaparitia semnului minus, se obtine:

I1 =

(x+x,y,z)(x,y,z)

Ax(x, y, z)dx

(x+x,y,z)(x,y,z)

[Ax(x, y, z) +

Ax(x, y, z)

yy

]dx

= Ax(x, y, z)y

yx (1.109)

In mod similar se obtine:

I2 = Ay(x, y, z)x

xy (1.110)

Ca urmare, conform denitiei (1.104), proiectia vectorului rot A peaxa Oz este: (

rot A)

z=

Ayx

Axy

(1.111)

In mod similar se obtin si celelalte proiectii (considerand drep-tunghiuri cu laturile y,z respectiv z,x si repetand proce-dura matematica):

39

(rot A

)x

=Azy

Ayz

(1.112)(rot A

)y

=Axz

Azx

(1.113)

Din aceste relatii rezulta denitia vectorului rotor n coordonatecarteziene:

rot A =

(Azy

Ayz

)i +

(Axz

Azx

)j +

(Ayx

Axy

)k

(1.114)

Fig. 14: Ilustrarea teoremei lui Stokes-Ampe`re

Sa calculam uxul vectorului rot A printr-o suprafata oarecare mar-ginita de un contur nchis, divizand suprafata considerata n micielemente de suprafata Si.

S

rot A dS =(i)

Si

rot A dS (1.115)

Cum Si este foarte mic se obtine n prima aproximatie, folosindrelatia de denitie (1.104), urmatoarele expresii pentru ecareelement de suprafata:

40

Si

rot A dS =

Si

(rot A

)ndS

(rot A

)nSi

i

A dl

(1.116)Ca urmare:

S

rot A dS (i)

i

A dl (1.117)

Conform Fig. 14 se observa ca integralele de pe contururile cemarginesc doua suprafete vecine sunt opuse ca semn (deoarecesunt parcurse n ambele sensuri) si ca urmare se anuleaza reciproc.Singurii termeni ce raman necompensati sunt cei de pe contu-rul exterior ce margineste suprafata considerata. Considerandsuprafetele Si din ce n ce mai mici se obtine relatia:

S

rot A dS

A dl (1.118)

Aceasta relatie este cunoscuta ca teorema lui Stokes-Ampe`re.

1.4 Probleme

1.1 Fie vectorii:

A = 3i + 4j + 5kB = i + 4j 2kC = 2ij + k

Determinati:

41

a). marimile celor trei vectori;

b). reprezentati grac vectorii;

c). valoarea numerica a vectorului A + B C;d). versorii celor trei vectori;

e). produsele scalare: A B, A C, B C;f). produsele vectoriale A B, A C, B C; marimea lor si

cosinusul unghiurilor dintre aceste perechi;

g). Vectorii A, B, C sunt coplanari?

h). produsul A B C.

Rezolvare:

a. Marimile celor trei vectori sunt: A = 9 + 16 + 25 = 7. 0711 B = 1 + 16 + 4 = 4. 5826C = 4 + 1 + 1 = 2. 4495b. Reprezentarea graca este data n Fig. 1.1.c. Vectorul:

A+ B C = (3 1 2)i+ (4 + 4+ 1)j + (5 2 1)k = 9j + 2kare valoarea numerica: A + B C = 81 + 4 = 9. 2195

42

xy

z

A

&

B&

C

&

Fig. 1.1

d. Versorii directiilor celor trei vectori sunt:

a =A

A=

3

7. 07i +

4

7. 07j +

5

7. 07k = 0. 42i + 0. 56j + 0. 71k

b =B

B= 1

4. 58i +

4

4. 58j 2

4. 58k = 0. 22i + 0. 87j + . 443k

c =C

C=

2

2. 45i 1

2. 45j +

1

2. 45k = 0. 82i + 0. 41j + 0. 41k

e.

A B = 3 + 16 10 = 3A C = 6 4 + 5 = 7B C = 2 4 2 = 8

43

f.

A B =i j k3 4 51 4 2

= 28i +j + 16kA C =

i j k3 4 52 1 1

= 9i + 7j 11kB C =

i j k1 4 22 1 1

= 2i 3j 7kMarimea vectorilor este: A B = 282 + 1 + 162 = 32. 265 A C = 92 + 72 + 112 = 15. 843 B C = 22 + 32 + 72 = 7. 874iar unghiurile corespunzatoare dintre ecare pereche de vectoriastfel deniti:

cos( A B, A C) = (A B) ( A C) A B A C

=28 9 + 1 7 16 11

32. 265 15. 843 = 0. 82

cos( A B, B C) = (A B) ( B C) A B B C

=28 2 1 3 16 7

32. 265 7. 874 = 0. 67

44

cos( A C, B C) = (A C) ( B C) A C B C

=9 2 7 3 + 11 7

15. 843 7. 874 = 0. 59

g. Pentru a vedea daca vectorii A, B, C sunt copanari, se cal-culeaza produsul mixt:

A ( B C) = 3 2 4 3 5 7 = 41

Deoarece valoarea acestui produs este diferita de zero nseamnaca vectorii nu sunt coplanari.h. Pentru produsul dublu vectorial se foloseste regula bac minuscab

A B C = B ( A C) C ( A B) = 7(i + 4j 2k) 3(2ij + k)= 13i 31j 17k

1.2 Fie vectorii A si B deniti de urmatoarele expresii:

A = aekti + btj + kB = (c sint)i + (d cost)j

unde a, b, c, k, constante iar t-timpul. Calculati:

a). dA

dt; d

Bdt

;d Adt ; d Bdt ;

45

b). A ; B ; ddt A ; ddt B ;

c). ddt

(A B

);

d). ddt

(A B

).

Rezolvare:

a. Folosim regulile de derivare ale vectorilor:

d A

dt=

d

dt(aekt)i +

d

dt(bt)j = kaekti + bj

d B

dt=

d

dt(c sint)i +

d

dt(d cost)j = c costi d sintjd Adt

= (kaekt)2 + b2d Bdt =

(c cost)2 + (d sint)2

b. A = (aekt)2 + (bt)2 + 1 B = (c sint)2 + (d cost)2d

dt

A = ddt

(aekt)2 + (bt)2 + 1 =

a2e2(kt)k + b2ta2e2(kt) + b2t2 + 1

d

dt

B = ddt

(c sint)2 + (d cost)2 =

2

c2 d2c2 sin2 t + d2 cos2 t

Dupa cum se constata:

46

d Adt = ddt Ad Bdt = ddt B

c.

d

dt

(A B

)=

d

dt(aektc sint + btd cost)

= (akektc + btd) sint + (aektc + bd) cost

d.

d

dt

(A B

)=

d

dt

i j kaekt bt 1c sint d cost 0

= d (sint)i + c (cost)j (akektd cost + aektd sint+ c costbt + cb sint)k

1.3 Calculati marimea gradientul functiei:

f(x, y, z) = xy2 + yx2 + xyz

Rezolvare:

Conform denitiei operatorului gradient, se obtine:

grad f = f = fx

i +f

yj +

f

zk

47

Derivatele partiale ale functiei scalare f n raport cu cele treicoordonate sunt:

f

x=

x(xy2 + yx2 + xyz) = y2 + 2yx + yz

f

y=

y(xy2 + yx2 + xyz) = 2yx + x2 + xz

f

z=

z(xy2 + yx2 + xyz) = yx

Ca urmare marimea vectorului gradient este:

|f | =

(y2 + 2yx + yz)2 + (2yx + x2 + xz)2 + (yx)2

1.4 Calculati divergenta vectorului:

A = 4xi + 2j + 4yk

Rezolvare:

Conform denitiei operatorului divergenta, se obtine:

divr = r = x

Ax +

yAy +

zAz

=

x(4x) +

y(2) +

z(4y)

= 4

Rezultatul aplicarii operatorului divergenta unei marimi vectori-ale este un scalar.

1.5 Determinati rotorul functiei vectoriale:

F = (4abyz2 10bx2y2)i + (9abxz2 6bx3y)j + 8abxyzk

48

unde a, b, cconstante.

Rezolvare:

Conform denitiei operatorului divergenta, se obtine:

rot F = F =i j kx

y

z

4abyz2 10bx2y2 9abxz2 6bx3y 8abxyz

= i

[

y(8abxyz)

z(9abxz2 6bx3y)

]j

[

x(8abxyz)

z(4abyz2 10bx2y2)

]+k

[

x(9abxz2 6bx3y)

y(4abyz2 10bx2y2)

]= 10abxzi + (5abz2 + 2bx2y)k

49

50

Capitolul 2

Mecanica clasica

2.1 Cinematica punctului material

Cinematica studiaza deplasarile corpurilor n functie de timp,fara a tine cont de cauza care produce miscarea. Deplasarea unuicorp fata de alte corpuri se raporteaza la un sistem de referintasolidar legat de corpurile alese drept repere.

Un principiu fundamental al Mecanicii newtoniene este principiulcaracterului absolut al masurii timpului, adica masura timpuluieste independenta de sistemul de referinta ales, fata de care sestudiaza miscarea corpului. Cu alte cuvinte, daca avem douafenomene care sunt simultane fata de un sistem de referinta, elevor simultane fata de orice alt sistem de referinta; deci, simul-taneitatea a doua fenomene are un caracter absolut n Menanicanewtoniana.

In Mecanica, un corp ale carui dimensiuni pot neglijate n tim-pul miscarii sale, se numeste punct material sau particula si

51

se reprezinta grac printr-un punct geometric.

Fie un punct material care se deplaseaza n timp; alegem ca sis-tem de referinta sistemul cartezian (Oxyz). Coordonatele x, ysi z ale punctului material si respectiv vectorul de pozitie r suntfunctii de timp:

r(t) : x(t) y(t) z(t) (2.1)

Functia r(t) se numeste legea de miscare a punctului mate-rial. Totalitatea pozitiilor succesive ale punctului material n timpformeaza o curba numita tratectoria particulei si este caracter-izata prin ecuatiile parametrice:

x = x(t) y = y(t) z = z(t) (2.2)

Marimile cinematice care caracterizeaza miscarea unui punctmaterial sunt viteza si acceleratia. Se deneste viteza medie caind variatia vectorului deplasare raportata la intervalul de timpcat are loc deplasarea:

vm =r rt t =

r(t) r(t)t t (2.3)

si respectiv viteza momentana:

v =dr

dt= lim

ttr(t) r(t)

t t (2.4)

Observatie: vom folosi n continuare notatia Leibnitz pentruderivata n raport cu timpul a unei marimi, adica cu un punct dea-supra pentru derivata de ordin ntai si respectiv cu doua punctepentru derivata de ordin doi.

52

Deci, viteza particulei este derivata n raport cu timpul a vec-torului de pozitie:

v = r (2.5)

si are componentele:

r : x(t) y(t) z(t) (2.6)

iar acceleratia este derivata vitezei n raport cu timpul:

a = v = r (2.7)

si are componentele:

r : x(t) y(t) z(t) (2.8)

Fie doua sisteme de referinta S si S (Fig.1), care se misca arbitrarunul fata de celalalt. Fie un punct material P aat n miscare fatade cele doua sisteme de referinta. Marimile cinematice similarefata de cele doua sisteme vor notate cu aceleasi litere, fara sirespectiv cu accent. Intre vectorii de pozitie ai particulei, r (fatade S) si r (fata de S ) este vericata relatia evidenta:

r = ro + r (2.9)

unde

r = xex + yey + z

ez (2.10)

iar ex, ey si e

z reprezinta versorii axelor de coordonate ale sistemu-

lui S , dependenti de timp. Vom deriva relatia (2.1.9) n raport cutimpul:

r = ro + xex + y

ey + z

ez + x

ex + yey + z

ez (2.11)

53

xy

z

x

y

z

S S

r r

r0

Fig.1

In membrul stang al identitatii (2.11) vectorul r reprezinta vitezaparticulei fata de sistemul de referinta x S, si este numita conven-tional viteza absoluta. In membrul drept, suma primilor patrutermeni reprezinta viteza particulei daca ea ar imobila fata desistemul S , se numete viteza de transport a particulei si eaeste nula daca sistemul S nu se misa fata de S. Suma ultimilortrei termeni din membrul drept reprezinta viteza particulei fata desistemul mobil S si se numeste viteza relativa. Asadar, relatia(2.11) se poate scrie sub forma:

vabs = vtransp + vrel (2.12)

54

unde

vabs = r (2.13)

vtransp = ro + xex + y

ey + z

ez (2.14)

vrel = xex + y

ey + zez (2.15)

Observatie: viteza de transport a particulei se compune dinviteza ro a originii sistemului mobil S

si din viteza de rotatier = xex+ye

y +z

ez a particulei solidar legate de S

, n jurulpunctului O, presupus x. Relatia (2.12) se numeste formulade compunere a vitezelor n Cinematica newtoniana.

Vom deriva nca o data, n raport cu timpul, identitatea (2.11):

r = ro + xex + y

ey + z

ez +

xex + yey + z

ez + (2.16)

2(xex + y

ey + z

ez)

In membrul stang al identitatii (2.16) vectorul r reprezinta ac-celeratia particulei fata de sistemul de referinta x S, numitaacceleratie absoluta. In membrul drept, suma primilor patrutermeni reprezinta acceleratia particulei daca aceasta ar soli-dar legata de sistemul mobil S si se numeste acceleratie detransport. Suma urmatorilor trei termeni reprezinta acceleratiaparticulei fata de sistemul mobil S si se numeste acceleratierelativa, iar suma ultimilor trei termeni se numeste acceleratiecomplementara sau acceleratie Coriolis. Cu notatiile:

aabs = r (2.17)

atransp = ro + xex + y

ey + z

ez (2.18)

arel = xex + y

ey + zez (2.19)

acompl = 2(xex + y

ey + z

ez) (2.20)

55

relatia (2.16) se poate scrie sub forma:

aabs = atransp + arel + acompl (2.21)

ceea ce reprezinta formula de compunere a acceleratiilor nCinematica newtoniana.

2.2 Transformarile Galilei

In continuare, vom numi particula libera o particula asupracareia nu actioneaza nici un alt corp. Experienta arata ca e-xista sisteme de referinta privilegiate pentru care este adevarataurmatoarea armatie: orice particula libera se misca cu vitezaconstanta fata de aceste sisteme, adica se deplaseaza rectiliniu siuniform (principiul inertiei). Sistemele de referinta pentru careeste valabila aceasta armatie se numesc sisteme inertiale.

Sa studiem n continuare miscarea unei particule libere fata dedoua sisteme de referinta inertiale S (x) si S (mobil), deci carese misca cu viteza constanta atat fata de S cat si fata de S, adica:

aabs = 0 ; arel = 0 (2.22)

Conform legii de compunere a acceleratiilor pentru o particula(2.21), va rezulta:

atransp + acompl = 0 (2.23)

ceea ce va conduce la:

ro = 0 ; ex = 0 ; e

y = 0 ; e

z = 0 (2.24)

Cerintele relatiei (2.24) exprima faptul ca originea O se deplaseazarectiliniu si uniform fata de S, iar axele sistemului S nu se rotesc

56

n jurul originii O. Miscarea sistemului de referinta, n decursulcareia axele raman paralele cu ele nsele se numeste miscare detranslatie. Deci, sistemul inertial S are o miscare de translatierectilinie si uniforma fata de sistemul inertial S.

Observatie: pentru a mentine starea de miscare rectilinie si uni-forma sau de repaus relativ a unei particule libere, fata de unsistem de referinta inertial, spatiul si timpul n sistemul inertialtrebuie sa satisfaca anumite caracteristici: spatiul sa e omogen, adica toate punctele din spatiu sa eechivalente spatiul sa e izotrop, adica traiectoriile particulelor libere aaten miscare sa e rectilinii indiferent de directiile n care are locmiscarea timpul sa e uniform, adica particulele libere sa parcurga spatiiegale n intervale egale de timp

Vom introduce notiunea de eveniment, prin care se ntelege unfenomen produs ntr-un anumit punct geometric, la un anumitmoment de timp. Un eveniment este caracterizat prin patru co-ordonate spatio-temporale: trei coordonate spatiale x, y si z alepunctului unde are loc fenomenul si o coordonata temporala t,desemnand momentul producerii lui. Notiunea de eveniment va frecvent folosita mai ales n Cinematica relativista.

Coordonatele spatio-temporale (r, t) caracterizeaza miscarea ab-soluta, coordonatele spatio-temporale (r, t) caracterizeaza misca-rea relativa, iar ro caracterizeaza miscarea de transport a sistemu-lui S fata de S, S aandu-se n miscare rectilinie si uniforma cuviteza v fata de S.

57

Intre coordonatele spatio-temporale ale unui eveniment fata decele doua sisteme de referinta exista relatia evidenta:

r = ro + r (2.25)

unde ro = vt reprezinta ecuatia ce caracterizeaza miscarea uni-

forma a sistemului S fata de S. Conform principiului funda-mental al Mecanicii newtoniene al caracterului absolut al masuriitimpului, timpul se scurge la fel n ambele sisteme de referinta,adica:

t = t (2.26)

Relatiile (2.25) si (2.26) reprezinta transformarile Galilei careexprima coordonatele spatio-temporale ale unui eveniment fata deun sistem de referinta inertial n functie de coordonatele spatio-temporale ale aceluiasi eveniment fata de un alt sistem de referintainertial aat n miscare rectilinie si uniforma fata de primul, nMecanica newtoniana. Pentru cazul particular n care v||Ox vomobtine transformarile Galilei speciale directe:

x = x v ty = y

(2.27)

z = z

t = t

si respectiv transformarile Galilei speciale inverse:

x = x + v t

y = y

(2.28)

z = z

t = t

58

Consecintele transformarilor Galilei (speciale) se refera la:

legea de compunere a vitezelor n Mecanica newtoniana, adica:vrel = vabs v (2.29)

invarianta lungimilor n orice sistem de referinta inertial, adica:l = l (2.30)

unde l reprezinta lungimea unei bare masurata n sistemul S iarl reprezinta lungimea aceleasi bare masurata n sistemul S.

Observatie: Transformarile Galilei speciale au avantajul ca auo forma foarte simpla si contin caracteristica esentiala a relatieidintre sistemele de referinta inertiale S si S , anume ca ele au unulfata de celalalt o miscare de translatie rectilinie si uniforma.

2.3 Principiile dinamicii newtoniene

Dinamica studiaza miscarea corpurilor plecand de la cauza care oproduce. Principiile Dinamicii sunt propozitii cu caracter general,obtinute pe baza a numeroase date experimentale.

Principiul inertiei (legea ntai a lui Newton) arma ca oriceparticula, n absenta actiunii altor corpuri, se misca rectiliniu siuniform; deci, o particula libera se deplaseaza cu viteza constanta.Principiul inertiei este vericat prin contrazicere, adica nu s-a ob-servat experimental ca, daca este ndeplinita conditia din prin-cipiu miscarea sa nu tinda la una rectilinie.

59

Observatie: apare notiunea de inertie care reprezinta tendintaunui corp de a nu-si modica viteza n cazul cand nu exista actiuniexterioare.

Principiul manifestarii actiunii (legea a doua a lui New-ton) arma ca, n conditii exterioare date, produsul dintre masasi acceleratia unei particule este o functie vectoriala ce depindede pozitia particulei, viteza sa si de timp:

mr = F (r, r, t) (2.31)

Observatii:

Apare notiunea de masa; prin experiente de ciocnire se demon-streaza ca ecare particula este caracterizata de o marime scalarapozitiva, specica si invarianta (n Mecanica newtoniana) carereprezinta masa particulei. Functia vectoriala F reprezinta forta cu care corpurile actionea-za asupra particulei, iar dependenta F (r, r, t) se numeste legea

fortei sau expresia fortei. Forta F este o marime vectorialamasurabila al carui modul exprima intensitatea actiunii asupraparticulei, iar directia si sensul ei redau orientarea actiunii Principiul doi stabileste dependenta generala a fortei de vari-abilele cinematice r, r si t, dar nu da o prescriptie pentru formaconcreta a acestei dependente. Relatia (2.31) reprezinta ecuatia fundamentala a Dinamicii

Principiul independentei actiunilor arma ca exercitarea si-multana a mai multor actiuni asupra unei particule nu modicalegile fortelor; efectul asupra particulei este exprimat prin suma

60

fortelor individuale:

F (r, r, t) =n

Fn(r, r, t) (2.32)

Principiul actiunii si reactiunii (legea a treia a lui New-ton) arma ca doua corpuri actioneaza unul asupra celuilalt nasa fel ncat fortele corespunzatoare sunt egale ca marime si desens contrar:

F12 = F21 (2.33)

unde F12 reprezinta actiunea corpului 1 asupra corpului 2, iarF21 reprezinta reactiunea corpului 2 asupra corpului 1.

Principiul relativitatii a lui Galilei arma ca, pornind dela situatii initiale similare, evolutia unui ansamblu de particuleizolat (nu actioneaza nici o forta din exterior asupra ansamblu-lui) este aceeasi n orice sistem de referinta inertial.

O consecinta deosebit de importanta a acestui principiu se ob-tine exprimand legea a doua a lui Newton pentru o particula careface parte dintr-un ansamblu izolat, fata de sistemele inertiale Ssi S :

mr = F (r, r, t) fata de S

(2.34)

mr = F (r, r, t) fata de S

Se observa ca legea fortei este aceeasi n ambele sisteme de referin-ta, conform principiului relativitatii a lui Galilei. Legatura dintre

61

sistemele inertiale este data de transformarea Galilei (2.25), carederivata de doua ori conduce la relatia:

r = r (2.35)

adica acceleratiile particulei n sistemul S si S sunt identice. Con-form relatiei (2.34) rezulta:

F (r, r, t) = F (r, r, t) (2.36)

Folosind relatiile de transformare Galilei, egalitatea (2.36) devine:

F (r v t, r v, t) F (r, r, t) (2.37)

identitate ce exprima invarianta expresiei fortei exercitateasupra unei particule dintr-un ansamblu izolat, la schimbareasistemului de referinta inertial. Cu alte cuvinte, daca avem ladispozitie o multime innita de sisteme de referinta inertiale, con-form principiului relativitatii a lui Galilei nici unul din aceste sis-teme nu este privilegiat n descrierea miscarii unei particule liberesi toate principiile Mecanicii au aceeasi forma fata de orice sistemde referinta inertial.

In concluzie, Dinamica studiaza miscarea corpurilor pornind dela expresiile, presupuse cunoscute, ale fortelor exercitate asupralor. Bazandu-ne pe principii, sa vedem cum se formuleaza concretproblemele Dinamicii.

Fie un punct material de masa m solicitat de forta F (r, r, t) cereprezinta o actiune exterioara cunoscuta. Problema de dinamicaconsta n determinarea miscarii particulei, iar rezolvarea ei se facecu ajutorul ecuatiei diferentiale vectoriale (2.31) pentru vectorul

62

de pozitie r al particulei, ca functie de timp. Aceasta ecuatie vec-toriala, scrisa pe componente revine la un sistem de trei ecuatiidiferentiale de ordin doi, n forma normala, pentru functiile x(t),y(t) si z(t):

mx = Fx(x, y, z, x, y, z, t)

my = Fy(x, y, z, x, y, z, t) (2.38)

mz = Fz(x, y, z, x, y, z, t)

Acestui sistem de ecuatii diferentiale i se asociaza conditiileinitiale:

x(to) = xo x(to) = vox

y(to) = yo y(to) = voy (2.39)

z(to) = zo z(to) = voz

Sistemul de ecuatii diferentiale (2.38) impreuna cu conditiile initi-ale (2.39) formeaza o problema Cauchy care ne ofera, conformmatematicii, o solutie unica de forma:

x = x(t)

y = y(t) (2.40)

z = z(t)

obtinandu-se legea de miscare a particulei:

r = r(t) (2.41)

determinata de conditiile initiale:

r(to) = ro

(2.42)

r(to) = vo

63

Numim stare mecanica la momentul t a unui punct material,ansamblul {r(t), r(t)} format din vectorul sau de pozitie si vitezasa n acel moment. Conditiile initiale (2.42) denesc starea me-canica a particulei la momentul to.

Deci, n ipoteza ca expresia fortei este cunoscuta, starea mecanicaa unei particule la un moment dat determina univoc legea ei dede miscare. Principial este sucient sa cunoastem starea mecanicala un moment to pentru a deduce, fara nici o ambiguitate, stareamecanica a particulei la orice alt moment. Legea de miscare poate gasita efectiv prin integrarea ecuatiei diferentiale (2.31), care senumeste ecuatia de miscare a particulei.

Observatie: pana acum s-a discutat modul n care legile luiNewton guverneaza miscarea punctelor materiale n sistemele dereferinta inertiale. Este necesar sa facem cateva consideratii dedinamica privind sistemele de referinta neinertiale (sistemepentru care nu mai este valabil principiul inertiei). Fata de sis-temele neinertiale, legea a doua a lui Newton are un enunt similaraceluia fata de sistemele inertiale, cu deosebirea majora ca forteicare descrie actiunea zica a altor corpuri asupra particulei tre-buie sa i se adauge fortele de inertie, anume forta de transportsi forta Coriolis. Celelalte legi ale lui Newton (principiul inertiei,independentei actiunilor, actiunii si reactiunii) raman neschim-bate n ce priveste traducerea proprietatilor actiunilor zice prinnsusiri ale legilor fortelor.Remarcam ca, n general, ecuatia de miscare a unei particule ntr-un sistem de referinta neinertial este considerabil mai complicatadecat ecuatia de miscare scrisa fata de un sistem inertial. Inconsecinta, legea de miscare a particulei este mai greu de calculat.Desi aceste consideratii arata ca sistemele inertiale sunt privile-

64

giate, totusi n multe cazuri sunt folosite sistemele de referintaneinertiale.

2.4 Interactiile fundamentale

Cele cinci principii ale Dinamicii, mpreuna cu principiul carac-terului absolut al masurii timpului alcatuiesc sistemul de principiizice fundamentale, pornind de la care se dezvolta logic ntreagaMecanica newtoniana. Principiile Mecanicii newtoniene sunt con-forme cu realitatea pentru un domeniu foarte intins de miscari alecorpurilor. Domeniile n care ele nceteaza sa e valabile sunt:

miscarile corpurilor cu viteze apropiate de viteza luminii, caresunt descrise corect pe baza principiilor Teoriei relativitatii miscarile particulelor la scara atomica si nucleara a caror de-scriere este guvernata de principiile Mecanicii cuantice

In afara de informatia zica generala continuta n principii, nMecanica newtoniana se mai introduce informatia zica sub formalegilor de forta ale interactiilor care apar n diferite probleme con-crete. Fortele din Mecanica corespund unor interactii zice com-plexe, dar oricat de complexe ar exista o anumita suprapunerede interactiuni fundamentale.In prezent, se cunosc patru clase de interactiuni fundamentale pecare le vom enumera n ordinea intensitatii crescande.

Interactiunile gravitationale sunt cele mai slabe, dar cele maigenerale: orice pereche de corpuri care au mase interactioneazagravitational. Legea de forta a acestei interactiuni a fost de-dusa de Newton (1687). Forta gravitationala dintre doua par-ticule este atractiva, proportionala cu produsul maselor si invers

65

proportionala cu patratul distantei dintre particule:

Fgrav = m1m2r12

r12r12

(2.43)

cunoscuta sub numele de legea gravitatiei universale. esteconstanta gravitationala universala si a fost determinata ex-perimental, cu precizie, de catre Cavendish (1798): = 6.67 1011 Nm2kg2.

Observatii:

miscarea corpurilor ceresti este determinata n principal de in-teractiunea lor gravitationala si deci este guvernata de legea gra-vitationala universala (2.43) la scara terestra, prezinta importanta atractia gravitationalaa Pamantului asupra oricarui alt corp; forta corespunzatoare, nvecinatatea suprafetei terestre se numeste greutatea corpurilor;interactiunea gravitatinala a corpurilor la suprafata Pamantuluieste complet neglijabila fata de celelalte interactiuni ale lor.

Interactiunile electromagnetice sunt mult mai puternice de-cat cele gravitationale , dar se manifesta numai ntre particulelecare poseda sarcina electrica. Legea de forta a interactiuniielectromagnetice dintre doua corpuri ncarcate nemiscate a foststabilita de Coulomb (1785). Forta coulombiana dintre douaparticule ncarcate este proportionala cu produsul sarcinilor q1 siq2 ale particulelor, invers proportionala cu patratul distantei din-tre ele si este atractiva sau repulsiva, dupa cum sarcinile au semnecontrare sau au acelasi semn:

FCoulomb = kq1q2r212

r12r12

(2.44)

66

Factorul de proportionalitate k este pozitiv, iar valoarea lui rezultadin alegerea unitatilor de masura:

k 14o

= 8.99 109 Nm2C2 (2.45)

O particula cu sarcina q aata n miscare cu viteza v ntr-un campelectromagnetic extern, este supusa fortei Lorentz:

F = q( E + v B) (2.46)

unde E este intensitatea campului electric iar B este inductiacampului magnetic la un moment dat si n punctul n care segaseste particula n acel moment.

Observatie: majoritatea fenomenelor din natura sunt datorateinteractiunilor electromagnetice; astfel, structura stabila a atomi-lor si moleculelor, coeziunea corpurilor, frecarile, reactiile chimice,procese biologice constituie exemple ale suprapunerii tot mai com-plexe a interactiilor electromagnetice.

Teoria sistematica a interactiunilor electromagnetice si a efectelorlor macroscopice este studiata de Electrodinamica clasica, iarstudiul aprofundat al interactiunilor electromagnetice pure dintreparticulele elementare formeaza obiectul Electrodinamicii cuan-tice.

Interactiunile slabe si tari se manifesta numai la scara nu-cleara, la distante cel mult de ordinul 1015 m. Interactiunileslabe sunt cele care produc reactii de tipul emisiei a unor nucleeradioactive; aceste interactii au o intensitate de 109 ori mai micadecat aceea a celor electromagnetice. Interactiunile tari leaga

67

strans protonii si neutronii n nucleele atomice, asigurand sta-bilitatea nucleelor. Interactiunile tari sunt de circa 103 ori maiintense decat cele electromagnetice.

2.5 Teoremele generale ale Mecanicii

pentru un punct material

Teoremele generale ale Mecanicii sunt consecintele principiilor Di-namicii, care nlesnesc abordarea problemei miscarii unei particulesau sistem de particule. Vom considera n continuare un punctmaterial de masa m si solicitat de forta F (r, r, t), data ntr-unsistem de referinta inertial S.

2.5.1 Teorema impulsului

Se numeste impuls al unei particule, produsul dintre masa m siviteza v = r a particulei. Impulsul se noteaza cu p iar unitatea demasura n sistemul international de unitati este [p]SI = kg m/ssau N s:

p = mv (2.47)

Daca vom deriva n raport cu timpul relatia de denitie (2.47)vom obtine:

dp

dt= m

dv

dt= mr = F (2.48)

Aceasta formula ne arata ca derivata n raport cu timpul a im-pulsului este egala cu forta totala exercitata asupra particulei sireprezinta teorema impulsului pentru un punct material. Acest

68

rezultat nu este decat o denitie alternativa a fortei, care folosestenotiunea de impuls, cele doua denitii:

F = ma

(2.49)

F =dp

dt

ind echivalente atunci cand masa este constanta.

O consecinta imediata a formulei (2.48) se refera la cazul candforta totala care actioneaza asupra particulei este nula; atunci sinumai atunci, impulsul total al particulei se conserva n timp:

F 0 p(t) p(to) (2.50)

Aceasta concluzie este numita legea de conservare a impulsu-lui. Din punct de vedere matematic, componentele constante px,py si pz ale impulsului particulei libere sunt integrale prime aleecuatiei de miscare (2.31), adica integrale prime ale sistemului deecuatii diferentiale (2.38).

2.5.2 Teorema momentului cinetic

Momentul impulsului sau momentul cinetic (orbital) alunei particule este denit ca produsul vectorial dintre vectorul depozitie r si impulsul p al particulei:

l = r p [l]SI = J s (2.51)

69

Vom calcula n continuare derivata n raport cu timpul a momen-tului cinetic folosindu-ne si de formula (2.48):

dl

dt=

d

dt(r p) = r p + r p = r F + mr r = M

dl

dt= M (2.52)

unde M = r F reprezinta momentul fortei. Relatia (2.52)exprima teorema momentului cinetic: derivata n raport cutimpul a momentului cinetic al unei particule este egala cu mo-mentul fortei exercitate asupra particulei.

O consecinta a teoremei momentului cinetic se refera la cazulcand momentul fortei totale care actioneaza asupra particulei estenul; atunci si numai atunci, momentul cinetic al particulei se con-serva n timp:

M 0 l(t) l(to) (2.53)Acest rezultat se numeste teorema de conservare a momen-tului cinetic. Componentele constante lx, ly si lz ale momentuluicinetic sunt integrale prime ele ecuatiei de miscare (2.31) si suntcomplet determinate de starea mecanica a particulei la momentulto.

Observatie: momentul fortei totale ce actioneaza asupra uneiparticule poate nul n urmatoarele cazuri:

F = 0 M = 0 l = const. F = 0; acest lucru se ntampla atunci cand forta este o fortacentrala, adica directia fortei ce actioneaza asupra particuleitrece printr-un punct x dat numit centru de forta ( Fig. 2).

70

F&SL

m

r&

O

Fig. 2

Expresia unei forte centrale este:

F = f(r, t)r

r(2.54)

deci are directia vectorului de pozitie. Momentul acestei fortecentrale va :

M = r F = r f(r, t)rr

= 0

l = const. (2.55)

2.5.3 Teorema energiei cinetice

Energia cinetica este o marime scalara nenegativa denita prinsemiprodusul dintre masa si patratul vitezei particulei:

Ecin =1

2mv2 =

1

2mvv (2.56)

Fie o portiune din traiectoria unei particule cuprinsa ntre puncteleA1 si A2 (Fig.3) n care particula se gaseste la momentele t1 si re-spectiv t2. In intervalul de timp elementar dt, particula parcurge

71

xy

z

(C)

S P

r

r

O

A1

r1

r2

A2

AA

Fig.3

arcul AA avand vectorul deplasare:

AA = dr = vdt (2.57)

Fie F (r,v, t) forta ce actioneaza asupra particulei n punctul A.Produsul scalar:

dL = F dr = Fxdx + Fydy + Fzdz = F |r| cos (2.58)

se numeste lucrul mecanic elementar al fortei F corespunzatordeplasarii elementare dr a particulei. Unghiul este unghiul din-tre forta si directia deplasarii. Semnicatia liniutei transversale

72

de pe litera d n ecuatia (2.58) este ca expresia diferentiala dLnu este n general diferentiala totala a vreunei functii de pozitiaparticulei.

Observatii:

daca forta este perpendiculara pe directia deplasarii (F dr)atunci lucrul mecanic elementar este nul daca forta nu este perpendiculara pe directia deplasarii, atuncilucrul mecanic elementar poate pozitiv si se numeste lucrulmecanic primit de particula sau lucrul mecanic motor, saupoate negativ si atunci se numeste lucrul mecanic cedat departicula sau lucrul mecanic rezistent lucrul mecanic efectuat de forta F n unitatea de timp este numitputerea fortei F care se exercita asupra particulei, la momentult:

dL

dt= P = F v (2.59)

Puterea poate pozitiva (putere primita), negativa (puterecedata) sau nula.

Lucrul mecanic total corespunzator deplasarii particulei n inter-valul de timp [t1, t2] se numeste lucrul mecanic integral si estedenit prin relatia:

L[t1, t2] A2A1

F (r,v, t) dr (2.60)

Daca vom utiliza n continuare legea de miscare a particulei r =r(t) vom putea transforma integrala (2.60) ntr-o integrala dupa

73

timp (integrala Riemann):

L[t1, t2] =

t2t1

F [r(t), v(t), t]v(t)dt (2.61)

Vom deriva n continuare energia cinetica a particulei n raportcu timpul:

dEcdt

=d

dt(1

2mvv) =

1

2m[vv + vv] = mvv = v F =

dL

dt

dEcdt

=dL

dt dEc = dL (2.62)

Relatia (2.62) arata ca derivata n raport cu timpul a energieicinetice a unei particule este egala cu puterea fortei exercitateasupra particulei, sau variatia energiei cinetice a particulei ntr-un interval innitezimal dt este egala cu lucrul mecanic elemen-tar efectuat n acest interval de timp de forta exercitata asupraparticulei. Armatiile de mai sus sunt enunturi echivalente aleteoremei energiei cinetice, n forma diferentiala. Formaintegrala a acestei teoreme se exprima prin relatia:

Ecin(t2) Ecin(t1) = t2t1

F [r(t), v(t), t]v(t)dt

Ecin(t2) Ecin(t1) = L[t1, t2] (2.63)

Deci, variatia energiei cinetice a unei particule n intervalul detimp [t1, t2] este egala cu lucrul integral al fortei exercitate asupraparticulei.

74

2.5.4 Energia potentiala. Energia mecanica.Teorema de conservare a energiei meca-nice

Fie cazul particular cand forta ce actioneaza asupra particulei nudepinde decat de pozitia particulei (nu si explicit de timp), deciparticula se misca sub actiunea unui camp de forte static:

F = F (r) = F (x, y, z) (2.64)

Vom considera de asemenea ca lucrul mecanic al acestei forte nudepinde de drumul urmat de particula (campuri speciale de forte).Din punct de vedere al Analizei matematice, conditia necesara sisucienta ca integrala curbilinie a unei functii vectoriale F = F (r)(lucrul mecanic) sa e independenta de curba care uneste douapuncte date si sa depinda numai de aceste puncte, se poate ex-prima prin urmatoarele doua armatii echivalente:

exista o functie U = U(r), determinata pana la o constantaaditiva, care satisface identic egalitatile:

Fx = Ux

Fy = Uy

(2.65)

Fz = Uz

Totodata este adevarata relatia: A2A1

Fdr = [U(r2) U(r1)] (2.66)

75

unde integrala curbilinie se ia pe un drum arbitrar Functiile Fx(x, y, z), Fy(x, y, z) si Fz(x, y, z) verica identitatile:

Fyx

=Fxy

;Fzy

=Fyz

;Fxz

=Fzx

(2.67)

Proprietatile (2.65) si (2.67) scrise sub forma vectoriala devin:

F (r) = U(r) (2.68) F (r) = 0 (2.69)

Daca functia vectoriala F (r), cu proprietatea (2.68) este un campde forte, atunci marimea U(x, y, z) se numeste energia potentialaa particulei n punctul de coordonate x, y, z si este un camp scalar.

Daca campul de forte F (r) deriva dintr-o energie potentiala U(r),atunci lucrul mecanic elementar al fortei este diferentiala totalaa unei functii de coordonate:

dL = Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz

= Ux

Uy

Uz

= dU(x, y, z) dL = dU (2.70)

Deoarece particula se misca, energia ei potentiala depinde de timpprin intermediul coordonatelor particulei. Prin mpartirea iden-titatii (2.70) la intervalul de timp dt, corespunzator deplasarii dr,se obtine expresia puterii fortei:

Fv = dUdt

(2.71)

Daca vom tine cont acum de expresia matematica a teoremei en-ergiei cinetice, vom obtine urmatorul rezultat:

d

dt(Ecin + U) = 0 (2.72)

76

d(Ecin + U) = 0 (2.73)

Suma dintre energia cinetica si energia potentiala a particulei:

E Ecin + U (2.74)se numeste energia mecanica a particulei. Relatiile (2.72) si(2.73) reprezinta forma diferentiala a legii conservarii en-ergiei mecanice, care se enunta astfel: n cursul miscarii uneiparticule ntr-un camp de forte static al carui lucru mecanic nu de-pinde de drumul urmat, energia mecanica a particulei nu variza ntimp. Forma integrala a legii conservarii energiei se obtinedin relatia (2.66) si forma (2.63) a teoremei energiei cinetice:

Ecin(t2) Ecin(t1) = U(r1) U(r2) (Ecin + U)t2 = (Ecin + U)t1 (2.75)

In consecinta, atunci cand o particula se misca ntr-un camp deforte static, derivat dintr-o energie potentiala se denete energiamecanica a particulei cu proprietatea esentiala ca se conserva ntimp. Marimea conservata E este complet determinata de stareainitiala a particulei:

E[r(t), v(t)] E(ro, vo) = 12mv2o + U(ro) (2.76)

Observatii

din punct de vedere matematic, energia este o integrala primaa ecuatiei de miscare (2.31) se disting doua feluri de forte: forte pentru care se poate formulalegea conservarii energiei, numite forte conservative si forte carenu au aceasta proprietate, numite forte neconservative

77

2.6 Teoremele generale ale Mecanicii

pentru un sistem de puncte mate-

riale

Fie un sistem de N puncte materiale (N > 1) de mase mi(i =1, N) ecare. Presupunem cunoscute toate fortele, exterioare siinterioare, exercitate asupra particulelor din ansamblul consid-erat.

Vom deni centrul de masa al sistemului de puncte materi-ale, ca ind punctul geometric caracterizat de vectorul de pozitie(Fig. 4):

R =

Ni=1

miri

Ni=1

mi

=1

M

Ni=1

miri

R =Ni=1

miM

ri (2.77)

unde M =Ni=1

mi reprezinta masa totala a sistemului de puncte

materiale.

Observatie: vectorul de pozitie R al centrului de masa este sumaponderata a vectorilor de pozitie ai tuturor particulelor din sistem,cu ponderi egale cu rapoartele dintre masele particulelor individ-uale si masa totala a sistemului, mi

M.

Vom deni viteza centrului de masa privit ca un punct c-

78

Ox

y

z

m2

m1

m3

mi

1r&

2r& i

r&

CM

Fig. 4

tiv, ca ind:

V = R =

Ni=1

miri

M=

1

M

Ni=1

miri (2.78)

iar acceleratia centrului de masa:

V = R =

Ni=1

miri

Ni=1

mi

=1

M

Ni=1

miri (2.79)

79

2.6.1 Teorema impulsului pentru un sistem depuncte materiale

Prin denitie, impulsul P al sistemului de particule este egalcu suma impulsurilor particulelor constituente:

P =Ni=1

pi (2.80)

Vom nota n continuare prin Fext ca ind forta totala exterioarace actioneaza asupra sistemului de particule si care este egala cusuma fortelor exterioare Fext,i ce actioneaza asupra ecarei par-

ticule, iar prin Fint - forta totala interioara ce actioneaza asuprasistemului de particule si care este egala cu suma fortelor inte-rioare Fint,i ce actioneaza asupra ecarei particule (Fig. 5):

mimj

Fext,i

Fint,iFj,i

Fi,j

Fig. 5

80

Fext Ni=1

Fext,i (2.81)

Fint Ni=1

Fint,i (2.82)

Forta care actioneaza asupra ecarei particule i a sistemului va :

Fi = Fext,i + Fint,i (2.83)

iar ecuatia de miscare va , conform principiului doi al Mecanicii:

miri = Fi(r1, r2, .....rN ; r1, r2.... rN ; t) (i = 1, N) (2.84)

Scrise pe componente, cele N ecuatii diferentiale vectoriale (2.84)revin la un sistem de 3N ecuatii diferentiale de ordinul doi, pentrucomponentele vectorilor de pozitie ai tuturor particulelor ri, cafunctii de timp. Acestui sistem i asociem urmatoarele 6N conditiiinitiale:

ri(to) = roi

(2.85)

ri(to) = voi

Sistemul de ecuatii diferentiale (2.84) si conditiile initiale (2.85)alcatuiesc o problema Cauchy care ne ofera o solutie unica:

ri = ri(t) i = 1, N (2.86)

Aceasta solutie reprezinta legea de miscare a sistemului departicule determinata de conditiile initiale (2.85). Ansamblul

81

vectorilor de pozitie ai tuturor particulelor la un moment dat t{r1(t), r2(t), ....rN(t)}, deneste conguratia sistemului n mo-mentul respectiv. Numarul parametrilor care determina completconguratia unui sistem de particule se numeste numarul grade-lor de libertate ale sistemului. In cazul sistemului analizat panaacum, numarul gradelor de libertate este 3N . Ansamblul vecto-rilor de pozitie si vitezelor tuturor particulelor la momentul t,{r1(t), r2(t), ..rN(t); r1, r2.. rN} deneste starea mecanica a sis-temului de puncte materiale la momentul t. Prin urmare,conditiile initiale (2.85) xeaza starea mecanica la momentul to asistemului, iar legea de miscare (2.86) va reprezenta evolutia ntimp a conguratiei sistemului de particule.

In continuare vom deriva, n raport cu timpul, relatia (2.80):

dP

dt P =

Ni=1

pi =Ni=1

Fi =Ni=1

Fext,i +Ni=1

Fint,i

= Fext + Fint (2.87)

Dar, n virtutea principiului independentei actiunilor si a prin-cipiului actiunii si reactiunii, rezultanta fortelor interioare estentotdeauna nula, pentru un sistem de particule (fortele interioareactioneaza asupra ecarei perechi de particule si sunt egale si desens contrar). Ca urmare, relatia (2.87) devine:

dP

dt= Fext (2.88)

ceea ce exprima teorema impulsului pentru un sistem depuncte materiale: derivata n raport cu timpul a impulsuluitotal al unui sistem de particule este egala cu rezultanta tuturorfortelor exterioare exercitate asupra particulelor.

82

O consecinta a acestei teoreme se refera la cazul n care rezul-tanta fortelor exterioare este nula; atunci si numai atunci, impul-sul total al sistemului de particule se conserva:

Fext 0 P (t) P (to) (2.89)Aceasta ultima relatie exprima legea de conservare a impulsu-lui total. Din punct de vedere matematic, componentele Px, Pysi Pz sunt integrale prime ale ecuatiilor diferentiale (2.84) si suntcomplet determinate de starea mecanica la momentul to, (2.85) aansamblului de puncte materiale. In particular, impulsul total alunui sistem de puncte materiale izolat este constant.

Din denitiile (2.80) si respectiv (2.78) rezulta:

P Ni=1

pi =Ni=1

miri = M R

M R = P (2.90)Derivand n raport cu timpul relatia (2.90) si folosind teoremaimpulsului (2.88), obtinem:

M R = Fext (2.91)

Relatiile (2.90) si (2.91) arata ca impulsul centrului de masa alunui sistem de particule este impulsul total al sistemului, iarforta asupra centrului de masa este rezultanta tuturor fortelorexterioare exercitate asupra particulelor din sistem. Daca se pre-supune cunoscuta forta exterioara Fext, atunci ecuatia (2.91) re-prezinta ecuatia de miscare a centrului de masa si poate inte-grata, specicandu-se starea mecanica la momentul initial to:

R(to) = Ro

83

(2.92)

R(to) = Vo

2.6.2 Teorema momentului cinetic total pen-tru un sistem de puncte materiale

Momentul cinetic total L al sistemului de particule este sumamomentelor cinetice individuale ale particulelor:

L Ni=1

li (2.93)

Vom deni momentul rezultant al fortelor exterioare:

Mext Ni=1

Mext,i =Ni=1

ri Fext,i (2.94)

si momentul rezultant al fortelor interioare:

Mint Ni=1

Mint,i =Ni=1

ri Fint,i (2.95)

Derivam n raport cu timpul relatia (2.93):

L =Ni=1

Mi =Ni=1

ri Fi =Ni=1

ri (Fext,i + Fint,i)

=Ni=1

ri Fext,i +Ni=1

ri Fint,i

=Ni=1

Mext,i +Ni=1

Mint,i = Mext + Mint

dL

dt= Mext + Mint (2.96)

84

Formula (2.96) reprezinta teorema momentului cinetic: deri-vata n raport cu timpul a momentului cinetic total al unui sistemde puncte materiale este egala cu suma celor doua momente rezul-tante, al fortelor exterioare ai al fortelor interioare.

O consecinta a acestei teoreme se refera la cazul n care sumamomentelor rezultante este nula; atunci si numai atunci, momen-tul cinetic total se conserva:

Mext + Mint 0 L(t) L(to) (2.97)

Observatie

Denim un sistem de particule ca ind un sistem conservativatunci cand fortele de interactiune ntre toate perechile de parti-cule nu depind de vitezele relative ale acestora, adica au forma:

Fi,j(ri,j) = fi,j(ri,j)ri,jri,j

(2.98)

unde ri,j = ri rj este vectorul pozitiei relative a particulelor isi j. Deci, pentru un sistem conservativ de particule este valabilaegalitatea:

ri,j Fi.j = 0 (2.99)Vom calcula acum momentul fortelor interioare pentru un sistemconservativ de particule:

Mint =Ni

Mint,i =Ni

ri Fint,i =Ni

ri j,j =i

Fi,j

85

=i,j

ri,j Fi,j =i,j

(ri Fi,j + rj Fj,i)

=i,j

(ri rj) Fi,j =i,j

ri,j Fi,j = 0

Mint = 0 (2.100)Astfel, pentru un sistem conservativ de particule, mometul rezul-tant al fortelor interioare este ntotdeauna nul. Ca urmare, legeamomentului cinetic pentru un sistem conservativ este:

dL

dt= Mext (2.101)

iar legea de conservare a momentului cinetic total va avea forma:

Mext 0 L(t) L(to) (2.102)Componentele constante Lx, Ly si Lz ale momentului cinetic totalsunt integrale prime ale sistemului de ecuatii de miscare (2.84)si sunt complet determinate de starea mecanica la mometul to(2.85).

2.6.3 Teorema energiei cinetice pentru un sis-tem de puncte materiale. Conservareaenergiei mecanice

Energia cinetica totala pentru un sistem de puncte materialeeste denta ca suma energiilor cinetice individuale ale tuturorparticulelor:

Ecin Ni=1

Ecin,i =1

2

Ni=1

miri2

(2.103)

86

Lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare este egalcu suma lucrurilor mecanice elementare ale tuturor fortelor exte-rioare:

dLext Ni=1

Fext,i dri (2.104)

iar lucrul mecanic elementar al fortelor interioare este egalcu suma lucrurilor mecanice elementare ale tuturor fortelor inte-rioare:

dLint Ni=1

Fint,idri (2.105)

Diferentiala energiei cinetice totale, plecand de la denitia (2.103),va :

dEcin =Ni=1

dEcin,i =Ni=1

Fidri =Ni=1

(Fext,i + Fint,idri

=Ni=1

Fext,idri +Ni=1

Fint,idri = dLext + dLint

dEcin = dLext + dLint (2.106)ceea ce reprezinta teorema energiei cinetice pentru un sistemde particule, sub forma diferentiala adica, variatia energiei ci-netice totale a unui sistem de particule ntr-un interval de timpinnitezimal dt este egala cu suma lucrurilor mecanice elementareefectuate de fortele exterioare si de fortele interioare. Daca se inte-greaza expresia (2.106) se va obtine forma integrala a teoremeienergiei cinetice:

Ecin(t2) Ecin(t1) = Lext[t1, t2] + Lint[t1, t2] (2.107)

87

unde Lext[t1, t2] si respectiv Lint[t1, t2] reprezinta lucrul mecanicintegral al fortelor exterioare, respectiv interioare.

Vom considera n continuare un sistem de particule conservativ.Tinand cont de expresia (2.98) a fortelor interioare, atunci lucrulmecanic elementar al fortelor interioare:

dLint =Ni=1

Fint,idri = di,j

Uij (2.108)

unde

Uint =i,j

Uij(ri,j) (2.109)

reprezinta energia potentiala a fortelor interioare. Astfel,lucrul mecanic elementar al fortelor interioare va :

dLint = dUint (2.110)iar lucrul mecanic integral al fortelor interioare nu depinde decatde conguratiile initiala si nala ale sistemului:

Lint[t1, t2] = [Uint(t2) Uint(t1)] (2.111)Daca vom nlocui acest rezultat n expresia matematica a teoremeienergiei cinetice (2.106) vom obtine:

d(Ecin + Uint) = dLext (2.112)

Suma dintre energia cinetica totala si energia potentiala a fortelorinterioare se numeste energia mecanica interna a sistemuluiconservativ:

Eint = Ecin + Uint (2.113)

88

In orice interval de timp n care lucrul mecanic al fortelor exte-rioare este identic nul si numai atunci, energia interna a sistemuluise conserva n timp:

Lext[t1, t2] 0 Eint(to) Eint(t1) (2.114)ceea ce reprezinta teorema de conservare a energiei mecaniceinterne.

Analog, daca se analizeaza cazul n care asupra sistemului conser-vativ actioneaza numai forte exterioare conservative:

Fext,i(ri) = Uext,i(ri) (2.115)atunci suma:

Uext(r1, r2, ....rN) =Ni=1

Uext,i(ri) (2.116)

reprezinta energia potentiala a fortelor exterioare. Lucrulmecanic elementar al fortelor exterioare conservative este egalcu diferentiala totala a energiei potentiale a fortelor exterioaredUext:

dLext = dUext (2.117)Deci, lucrul mecanic integral al fortelor exterioare n intervalulde timp [t1, t2] depinde doar de conguratiile initiala si nala alesistemului conservativ:

Lext[t1, t2] = [Uext(t2) Uext(t1)] (2.118)Pornind de la expresia (2.117), si daca vom tine cont si de teoremaenergiei mecanice interne (2.112) atunci vom obtine identitatea:

d(Ecin + Uint + Uext) = 0 (2.119)

89

Vom deni energia potentiala totala a sistemului suma din-tre energia potentiala a fortelor exterioare si energia potentiala afortelor interioare:

U Uint + Uext (2.120)

iar suma dintre energia potentiala totala si energia cinetica totalase numeste energia mecanica totala a sistemului de punctemateriale:

E Ecin + U = Ecin + Uint + Uext = Eint + Uext (2.121)

Relatia (2.119) exprima sub forma diferentiala legea de conser-vare a energiei totale pentru un sistem de particule conservativ,aat ntr-un camp de forte exterioare conservative, adica:

E(t) E(to) (2.122)

Energia totala este o integrala prima a sistemului ecuatiilor demiscare (2.84) si este complet determinata de starea mecanicainitiala, la momentul to.

2.6.4 Teoremele lui Konig

Sa analizam n continuare cum se descompune miscarea unui sis-tem de particule fata de doua sisteme de referinta S si S . Fie unsistem de referinta S cu originea plasata n centrul de masa C alunui ansamblu de particule si avand o miscare de translatie fatade sistemul de referinta inertial S (Fig.6).Miscarea ansamblului de particule n sistemul S se numestemiscareabsoluta, iar n sistemul S se numeste miscare relativa fatade centrul de masa. Pentru un punct material P (Fig.6) al

90

xy

z

x

y

zS P

r r

RO

CM

Fig.6

sistemului de particule sunt adevarate relatiile:

ri = R + ri (2.123)

vi = V + vi (2.124)

Deoarece centrul de masa al sistemului de particule are fata desistemul de referinta S vectorul de pozitie R = 0, din relatiile(2.77) si (2.78) rezulta:

Ni=1

miri = 0 (2.125)

Ni=1

mivi = 0 (2.126)

91

Vom deni momentul cinetic total L si energia cinetica to-tala E cin ale sistemului de particule n miscarea relativa fata decentrul de masa prin relatiile:

L Ni=1

mi(ri vi) (2.127)

E cin 1

2

Ni=1

miv2 (2.128)

Ne intereseaza n continuare care este relatia dintre momentulcinetic total L, n miscarea absoluta si momentul cinetic total L,m miscarea relativa fata de centrul de masa:

L Ni=1

mi(ri vi) =Ni=1

[(mi(R + ri) (V + vi)]

= (Ni=1

mi)(R V ) + (Ni=1

mi(ri) V + R (

Ni=1

mivi)

+Ni=1

mi(ri vi) = M(R V ) + L

L = M(R V ) + L (2.129)

Relatia (2.129) reprezinta teorema lui Konig pentru momen-tul cinetic: momentul cinetic total al unui sistem de puncte ma-teriale este egal cu suma dintre momentul cinetic al centrului demasa, n care se presupune concentrata masa totala a sistemului,si momentul cinetic n miscarea relativa fata de centrul de masa.

Sa vedem n continuare care sunt relatiile dintre energiile cinetice

92

totale Ecin, n miscarea absoluta si Ecin, n miscarea relativa fata

de centrul de masa:

Ecin Ni=1

Ecin,i =1

2

Ni=1

miv2i

=1

2

Ni=1

mi(V + vi)

2 =1

2MV 2 + E cin

Ecin = 12MV 2 + E cin (2.130)

Relatia (2.130) reprezinta teorema lui Konig pentru energiacinetica: energia cinetica totala a unui sistem de puncte materi-ale este egala cu suma dintre energia cinetica a centrului de masa,presupus a avea masa egala cu masa totala a sistemului, si energiacinetica totala n miscarea relativa fata de centrul de masa.

Observatie: teoremele momentului cinetic si energiei cinetice ,valabile ntr-un sistem de referinta inertial S, isi pastreaza forman sistemul de referinta S , care n general este neinertial.

2.7 Probleme

2.1 Vectorul de pozitie al unui punct material este dat de legeade miscare:

r = 5(cos 3t)i + 4(sin 3t)j

unde (r) este masurat n metri iar timpul t n secunde. Determi-nati:

a). viteza si acceleratia particulei la momentul t = 10s de lanceperea miscarii

93

b). traiectoria pe care se misca punctul material

Rezolvare:

a. Legea vitezei punctului material se determina din relatia dedenitie:

v =dr

dt=

d

dt(5 cos 3ti + 4 sin 3tj)

= 15 (sin 3t)i + 12(cos 3t)jMarimea vectorului viteza este:

|v| =

(15 sin 3t)2 + (12 cos 3t)2

= 3

(9 cos2 3t + 25)La momentul t = 10s viteza este:

v(1) = 3

(9 cos2 30 + 25) = 14. 936m/sPentru acceleratie se procedeaza n mod similar:

a =dv

dt=

d

dt(15 sin 3ti + 12 cos 3tj)

= 45 (cos 3t)i 36 (sin 3t)jMarimea vectorului acceleratie este:

|a| =

(45 cos 3t)2 + (36 sin 3t)2= 9

(9 cos2 3t + 16)

94

La momentul t = 10s acceleratia este:

a(1) = 9

(9 cos2 30 + 25) = 45. 192m/s2

b. Ecuatia traiectoriei de gaseste prin eliminarea timpului dinecuatiile cinematice ale miscarii:

x = 5 cos 3t

y = 4 sin 3t

Folosind relatia fundamentala din trigonometrie:

sin2 3t + cos2 3t = 1

se obtine:y2

4+

x2

25= 1

Aceasta reprezinta ecuatia unei elipse cu semiaxele de 2m si re-spectiv 5m.

2.2 Un punct material se deplaseaza cu viteza constanta v peo elice denita de ecuatiile parametrice:

x = 5 cos 2t

y = 5 sin 2t

z = vt

unde distantele (x, y, z) sunt masurate n metri iar timpul t nsecunde. Determinati acceleratia particulei n functie de timp.

Rezolvare:

95

Conform denitiei, acceleratia este:

a = xi + yj + zk

unde:

x =dx

dt=

d

dt(10 sin 2t) = 20 cos 2t

y =dy

dt=

d

dt(10 cos 2t) = 20 sin 2t

z =dz

dt=

d

dt(v) = 0

Vectorul acceleratie este:

a = 20 cos 2ti 20 sin 2tj

iar marimea acceleratiei depinde de timp dupa legea:

|a| =

(20 cos 2t)2 + (20 sin 2t)2 = 20m/s2

2.3 Se stie ca viteza unui punct material variaza n timp dupalegea:

v(t) = 1.5t2i + 1.8tj + t3k(m/s)

Sa se determine:

a). deplasarea punctului material ntre momentele de timp t1 =1s si t2 = 3sb). marimea si orientarea acceleratiei (cosinusii directori ai unghi-urilor , , dintre vectorul acceleratie si axele de coordonate) la

96

momentul de timp t2 = 3s

Rezolvare:

a. Variatia vectorului de pozitie n intervalul de timp considerat:

t = t2 t1este:

r = r(t2) r(t1) = r2 r1Din denitia vitezei se observa ca:

dr = vdtr1

r2

dr =

t1t2

vdt

r2 r1 =3

1

(1.5t2i + 1.8tj + t3k)dt

= 13.0i + 7. 2j + 20.0k

Marimea acestei deplasari este:

|r| =

13.02 + 7. 22 + 20.02 = 24. 917m

b. Vectorul acceleratie este:

a =dv

dt=

d

dt(1.5t2i + 1.8tj + t3k =

= 3.0ti + 1. 8j + 3t2k

97

iar marimea:

a(t = 2) =

(3.0 2)2 + (1. 8)2 + (3.0 4)2

= 13. 537m/s2

cos =axa

=3.0 213. 537

= 0. 4432

cos =aya

=1.8

13. 537= 0. 1329

cos =aza

=3.0 413. 537

= 0. 8864

Evident ca trebuie sa se verice relatia:

cos2 + cos2 + cos2 = 1

0. 44322 + 0. 13292 + 0. 88642 = 0. 9998

2.4 Sa se deduca ecuatia de miscare a unui corp de masa m subactiunea unei forte constante:

F (x, x, t) = F0 = const.

Rezolvare

Folosind denitia acceleratiei si principiul fundamental al meca-nicii, se gaseste prin integrare:

x(t) =

x(t)dx =

1

m

t0

Fdt =F0m

t + x(0)

98

Constanta de integrare este valoarea vitezei la momentul initial.Se observa ca viteza creste liniar cu timpul.Integrand din nou, avand n vedere denitia vitezei, obtinemecuatia de miscare:

x(t) =

t0

x(t)dt =F02m

t2 + x(0)t + x(0)

Trebuie facuta observatia ca alegerea momentului de timp t0 = 0este arbitrara. Ecuatia miscarii este valabila la orice alt momentde timp considerat initial, t0, sub forma:

x(t t0) = F02m