8/19/2019 CETCP Din Moldova - 2008, 12fara Autori

http://slidepdf.com/reader/full/cetcp-din-moldova-2008-12fara-autori 1/1

CLASA a XII-a

1. Se consideră corpul ( ), , p + ×¢ unde p este un număr prim mai mare decât 5. Să se arate că,

 pentru oricare   , pα  ∈¢ ecuaţia ( ) ( )   ( )  12 3

1 2 3 1... ,

 p

 p x x x x   α 

−

−+ + + + =  în necunoscutele 1 1,..., ,

 p x x −  

admite o soluţie ( )1 2 1, , ..., ,

 pa a a − cu proprietatea că { }ˆ ˆ0,1 ,ia   ∉   { }1,..., 1 .i p∀ ∈ −

2. Arataţi că dacă , y x A∈ , unde ( ), , A  + ×  este un inel, 2 p ≥  şi ( ) r 

r r  x y x y+ = + ,

{ } pentru orice 2, 3, 5r ∈ , atunci ( ) nn n x y x y+ = + , ( )   2 1n∀ ∈ +¥ .

3. a !olosind e"entual ine#alitatea ,tg α α ≥ "ala$ilă pentru orice 0, ,2

π α 

 ∈   ÷  

să se demonstre%e ( )( )

& &

0 0

sin sincos sin

sin

 xdx x dx

 x

π π 

≥∫ ∫  .

 $ Să se demonstre%e ine#alitatea ( )   ( )& &

0 0

sin sin 1cos sin 2 sin 1sin 2

 x x dx dx x

π π 

≥ + −∫ ∫ 

unde 'uncţia( )sin sin

sin

 x

 x este prelun#ită prin continuitate în 0. x =  

4. (alculaţi2

,

 x b

a xb

a

e edx

 x ab x

−

+∫   unde 0 .a b< <

NOTĂ: )impul e'ecti" de lucru este de trei ore. *entru 'iecare su$iect se acordă de la 0 la + puncte

CONCURSUL

CENTRELORDE EXCELENŢĂ

DIN MOLDOVA- 31 mai 2008 -

CENTRUL DE EXCELENŢĂPENTRU TINERI CAPABILI

DE PERFORMANŢĂ- FILIALA SUCEAVA – 

Str. . Alecsandri nr.3, +20001-

)el. 02305513&2- 02305513&3-

e/mail cnste'anyaoo.com

  (46789

 :A;84:A  “TEFAN CEL MARE!

S9(6AA