cap´ıtulo 2. sistemas cu´anticos conﬁnados y...

Capıtulo 2.

Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras

Uno de los movimientos mas significativos de la fısica de los semiconductores

en los ultimos cuarenta anos, ha sido la progresiva miniaturizacion de los

dispositivos electronicos. Esto ha conducido a un crecimiento exponencial de

la tecnologıa de la computacion; por otro lado, la oportunidad de fabricar

dispositivos con dimensiones caracterısticas inferiores a 1 µm ha llevado a las

investigaciones de un gran rango de nuevos fenomenos fısicos. En realidad,

estos nuevos fenomenos fısicos prometen dar lugar a una nueva generacion de

dispositivos que trabajan sobre principios fısicos completamente diferentes a

sus predecesores.

La importancia general de los sistemas cuanticos confinados y de los mate-

riales nanoestructurados ha sido ampliamente sugerida como el proceso clave

en el futuro de la nanotecnologıa y en diversos campos de interes relacionados

con muchas ciencias, entre los que se pueden mencionar la la farmaceutica,

la fısica, la electronica, las comunicaciones, la cibernetica, la cosmografıa, la

genetica, la biotecnologıa, la biologıa molecular, entre muchas otras.

29

30 2. Sistemas cuanticos confinados y nanoestructuras

En el presente capıtulo se veran las definiciones de sistema cuantico con-

finado y de materiales nanoestructurados, ası como la clasificacion de los ma-

teriales nanoestructurados o nanoestructuras. Tambien se estudiaran breve-

mente los estados electronicos en algunos sistemas cuasi-dimensionales sim-

ples, ası como sus propiedades fundamentales.

Tambien se estudiaran las principales herramientas utilizadas para estu-

diar el movimiento de electrones en un campo periodico perturbado, y su

aplicacion a los sistemas nanoestructurados. Uno de los metodos mas cono-

cidos, y universalmente utilizados es la aproximacion de la masa efectiva,

tambien conocida como aproximacion de la funcion envolvente.

El fundamento fısico de esta teorıa radica en sustituir el efecto del campo

periodico cristalino por un tensor de masa efectiva, cuyos elementos son de-

terminados por la estructura de banda no perturbada. Los componentes del

tensor de masa efectiva son medibles experimentalmente, y precisamente en

esto radica la importancia y la fuerza del metodo.

2.1 Sistemas cuanticos confinados y materiales nanoestructurados

En el sentido amplio, un sistema cuantico confinado, tambien llamado sis-

tema de baja dimensionalidad, es cualquier sistema cuantico en el cual los

portadores son libres de moverse solamente en dos, una o ninguna de las

tres direcciones espaciales. Estos sistemas pueden ser reales o ideales, y en

la direccion del confinamiento las dimensiones espaciales son del orden de

la longitud de onda de De Broglie de los portadores, cuyo movimiento esta

2.1. Sistemas cuanticos confinados y materiales nanoestructurados 31

cuantizado; a estas dimensiones se les conoce como escala cuantica.

Existen diversos metodos experimentales para obtener los sistemas cuan-

ticos confinados, o sea, para la reduccion de alguna(s) de las direcciones

espaciales a escala cuantica. Estos estan relacionados con la aplicacion de

algun tipo de campos o por limitar fronteras en la sıntesis de los materiales.

Por otro lado, los materiales nanoestructurados o nanoestructuras, son

sistemas cuanticos confinados reales, creados con materiales como semicon-

ductores, metales, dielectricos, magneticos, etc., en los cuales los estados de

los portadores (electrones, atomos, excitones, etc.) se ven afectados por la

reduccion a escala cuantica de las dimensiones espaciales.

2.1.1 Clasificacion de los materiales nanoestructurados

De aquı en adelante, consideraremos equivalente el uso de los terminos ma-

terial nanoestructurado y nanoestructura. Existen diversas formas de clasifi-

cacion de las nanoestructuras; la mas universal es considerando el numero de

direcciones en las que las partıculas o portadores pueden moverse libremente

(ver Figs. 2.1-2.3).

El espectro de energıa en la direccion espacial del confinamiento es siem-

pre discreto si la partıcula permanece totalmente confinada (barrera infinita

de potencial) o discreto y continuo si la partıcula permanece parcialmente

confinada (barrera finita de potencial).

Los sistemas cuasi-bidimensionales fueron los primeros en ser estudiados

e investigados; fueron llamados inicialmente sistemas de capas, debido a que


Fig. 2.1: Sistema cuantico cuasi-bidimensional (Pozo cuantico simple).

Fig. 2.2: Sistema cuantico cuasi-unidimensional (Alambre cuantico cilındrico).

2.2. Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal 33

Fig. 2.3: Sistema cuantico cuasi-cerodimensional (Punto cuantico esferico).

son obtenidos en ocasiones por heteroestructuras entre distintos materiales

como semiconductores polares, por ejemplo.

2.2 Estados electronicos de un sistema cuasi-bidimensional ideal

Aclaramos que lo ideal solo radica en que no consideramos el cambio de la

masa de los portadores al pasar de un material a otro en la interfase o frontera

de la heteroestructura1 .

2.2.1 Heteroestructura simple

Una heteroestructura simple es la region obtenida como producto de una

interfase (intercara) entre dos tipos diferentes de materiales, por ejemplo

dos semiconductores (ver Fig. 2.4). Consideraremos el movimiento de una

1Ver aproximacion de la masa efectiva.


partıcula en la direccion ez cerca de la interfase con un potencial de confi-

namiento de forma triangular de barrera o altura infinita.

Fig. 2.4: Heteroestructura simple.

Para el potencial de confinamiento, tenemos:

Vb(z) =

!""#

""$

F0z z > 0

# z $ 0(2.1)

en donde F0 = cte.. La funcion de onda del portador o partıcula en la

direccion ez satisface la ecuacion de Schrodinger

'""l (z) +

2µ

h2 [(l ! Vb(z)]'l(z) = 0. (2.2)

Si introducimos b = (2µF0/h2) y hacemos el cambio de variables

) = b1/3%z ! (l

F0

&, (2.3)


entonces la ecuacion de Schrodinger se transforma en

'd2

d)2! )

(

'l()) = 0, (2.4)

la cual reconocemos como la ecuacion diferencial de Airy [14]. La solucion

de esta ecuacion que cumple la condicion ' " 0 cuando ) " # es

'l()) = BlAi()), (2.5)

donde Ai()) son las funciones de Airy y Bl constantes de normalizacion de

la funcion de onda.

Para z = 0, ) " )0 = !b1/3(l/F0 < 0 la funcion de Airy presenta

oscilaciones y tiene ceros. Denotemos por )0l, l = 1, 2, 3, · · · a los ceros de las

funciones Ai()); entonces, los niveles de energıa estan dados por

(l =F0

b|)0l|. (2.6)

Ademas, integrando

) #

0'$l (z)'l(z)dz =

B2l

b

) #

!|"0l|[Ai())]2d), (2.7)

usando la bien conocida formula

)[Ai())]2d) = )[Ai())]2 ! [Ai"())]2, (2.8)


obtenemos

B2l =

b

[Ai"()0l)]2. (2.9)

2.2.2 Heteroestructura doble o pozo cuantico simple

Consideremos el movimiento unidimensional de una partıcula de masa µ

sometida al potencial

Vb(z) =

!""#

""$

0 |z| % L/2

!V0 |z| < L/2(2.10)

donde L es el ancho del pozo (ver Fig. 2.5).

Fig. 2.5: Perfil del potencial para un pozo cuantico simple.

2.2.2.1 Movimiento ligado

Para energıas ( tales que !V0 $ ( < 0, las soluciones clasicas consisten del

movimiento de una partıcula ligada en la region determinada entre ±L/2.


La partıcula nunca penetra la barrera debido a que ( $ 0 y a |z| > L/2

le corresponderıa una velocidad imaginaria, lo cual es inadmisible desde el

punto de vista de la mecanica clasica.

En el interior del pozo, la velocidad del portador es constante, e igual a

vz = ±*2

µ((+ V0). (2.11)

En las fronteras del pozo, el portador es perfectamente reflejado y su ve-

locidad cambia instantaneamente de ±|vz| a &|vz|. El movimiento clasico es

entonces periodico en el tiempo, con periodo T = 2L/|vz|.

Cualquier energıa ( % !V0 es permitida, i.e. puede ser asociada con un

movimiento posible.

El movimiento mecanico cuantico de una partıcula es descrito por una

funcion de onda '(z, t), la cual es solucion a la ecuacion de Schrodinger

dependiente del tiempo

ih*'

*t= H

+

z, pz =h

i

*

*z

,

', (2.12)

donde H es el Hamiltoniano que caracteriza el movimiento de la partıcula:

H =p2z2µ

+ Vb(z); (2.13)


puesto que H no depende explıcitamente del tiempo t, podemos escribir

'(z, t) = +(z)e!i#t/h, (2.14)

en donde +(z) satisface el problema de autovalores

H(z, pz)+(z) = (+(z), (2.15)

o, de forma mas explıcita,

-

! h2

2µ

d2

dz2+ Vb(z)

.

+(z) = (+(z). (2.16)

La funcion +(z) debe cumplir con las siguientes condiciones de contorno y

propiedades:

a) +(z) es continua en cualquier punto z.

b) Por integracion de la ultima ecuacion alrededor de cualquier punto z0,

y para el potencial especıfico del pozo rectangular, d+/dz es continua

en cualquier lugar.

c) limz%# |+(z)|2 es finito.

Debido a que Vb(z) es constante por secciones, se puede encontrar una

solucion exacta a (2.16). Para |z| < L/2 y |z| > L/2, +(z) es la combinacion

de dos ondas planas con vector de onda opuesto. En el interior del pozo esas


ondas se propagan y los vectores de onda caracterısticos son ±kw, donde

kw =

*2µ

h2 ((+ V0). (2.17)

Las ondas decaen fuera del pozo cuantico y entonces, el modulo de los vectores

de onda imaginarios asociados con la onda evanescente son

kb =

*

!2µ(

h2 . (2.18)

Notemos que Vb(z) es par en z. Entonces, la funcion de onda +(z) debe ser

escogida par o impar segun z. Teniendo en cuenta esta simetrıa, se puede

escribir +(z) como

+(z) = A cos kwz; ( = !V0 +h2k2

w

2µ(estados pares)

+(z) = A sin kwz; ( = !V0 +h2k2

w

2µ(estados impares) (2.19)

en el interior del pozo. Fuera del pozo, la forma de la funcion de onda es

+(z) = B exp/!kb

%z ! L

2

&0+ C exp

/kb

%z ! L

2

&0z % L

2

+(z) = D exp/!kb

%z +

L

2

&0+ E exp

/kb

%z +

L

2

&0z $ L

2.(2.20)

Sin embargo, puesto que |+(z)| debe ser no divergente cuando z " ±#,

necesitamos forzosamente que C = D = 0. Ademas, para estados pares,

B = E y para estados impares B = !E. Si aplicamos las condiciones de


contorno en z = L/2, se encuentra la energıa como solucion de las ecuaciones

trascendentes

kw tankwL

2= kb, (2.21)

para estados pares, y

kw cotkwL

2= kb (2.22)

para estados impares. Estas ecuaciones son satisfechas solamente para valores

discretos de la energıa (. Ası, en contraste con el espectro clasico continuo,

el espectro mecanico cuantico (( < 0) es discreto.

Fig. 2.6: Numero de estados ligados de un pozo cuantico simple como funcion del anchoL para (a) V0 = 224 meV, m!

e = 0.067 m0, (b) V0 = 150 meV, m!e = 0.4 m0.

Las Ecs. (2.21) y (2.22) solamente pueden ser resueltas numericamente.

Sin embargo, es sencillo demostrar algebraicamente [15] que al menos existe


un estado ligado para cualquier L, y que el numero de raıces es tal que

n(L) = 1 +

1

2*2µV0L2

,2h2

3

4 , (2.23)

en donde [x] denota la parte entera de x (Ver Fig. 2.6). Si el pozo se hace

infinitamente profundo, el numero de niveles se hace infinito, y la solucion a

las Ecs. (2.21) y (2.22) es simplemente

kwL = p,, p = 1, 2, 3, · · · (2.24)

y ası, con el cero de energıa coincidiendo con el fondo del pozo

(p =h2,2

2µL2p2, p % 1. (2.25)

Las funciones de onda normalizadas pares e impares para el pozo cuantico

de son

+2p+1(z) =

*2

Lcos

/(2p+ 1)

,z

L

0; |z| $ L

2; p % 0

+2p+2(z) =

*2

Lsin

/(2p+ 2)

,z

L

0; |z| $ L

2; p % 0 (2.26)

2.2.2.2 Movimiento no ligado

Para energias positivas, el movimiento clasico es no ligado. Un portador que

se mueve de izquierda a derecha de la Fig. 2.5 tiene una velocidad constante


hkb/µ en el lado izquierdo de la barrera. En z = !L/2 es acelerado in-

stantaneamente y se mueve transversal al pozo con una velocidad constante

igual a hkw/µ hasta alcanzar la interfase z = L/2 donde se desacelera in-

stantaneamente y finalmente escapa a z = +# con la velocidad constante

hkb/µ.

Un segundo movimiento clasico ocurre para la misma energıa: el portador

viene del lado derecho de la barrera y finalmente se escapa a z = !#. En

este movimiento las velocidades son opuestas a aquellas encontradas en la

descripcion anterior.

El movimiento mecanico cuantico es caracterizado por un espectro con-

tinuo de estados de energıa permitidos. Cada autovalor ( es doblemente de-

generado debido a que el movimiento del portador puede ocurrir de izquierda

a derecha del pozo cuantico, o viceversa. Los vectores de onda del portador

en el pozo y en la barrera son reales, correspondiendo en ambos casos a los

estados de propagacion

kb =

*2µ(

h2 , kw =

*2µ

h2 ((+ V0). (2.27)

Un electron, el cual choca a partir de z = !# sobre el pozo cuantico es

parcialmente reflejado y transmitido en la interfase z = !L/2. En el interior

del pozo, el autoestado es una combinacion de ondas planas caracterizada por

los vectores de onda ±kw. La incidencia de una onda con vector de onda !kw

es reflejada parcialmente en la segunda interfase z = +L/2. Para z > L/2 el


portador tambien es transmitido parcialmente y escapa hasta z = +# con

vector de onda +kb. Entonces

+(z) =

!""""""#

""""""$

exp5ikb

6z + L

2

78+ r exp

5!ikb

6z + L

2

78z $ !L

2

- exp(ikwz) + . exp(!ikwz) |z| < L2

t exp5ikb

6z ! L

2

78z % L

2

(2.28)

Considerando la continuidad de +(z) y d+(z)/dz en ambas interfases, despues

de algunos calculos, se obtiene

t(() =

'

cos kwL! i

2

+

) +1

)

,

sin kwL

(!1

(2.29)

y

r(() =i

2

+

) ! 1

)

,

sin kwL

'

cos kwL! i

2

+

) +1

)

,

sin kwL

(!1

, (2.30)

en donde ) = kw/kb. Veamos que T (() = |t(()|2 y R(() = |r(()|2 denotan los

coeficientes de transmision y reflexion del pozo; tras un poco de algebra se

obtiene

T (() +R(() = 1 (2.31)

y

T (() =

1

21 +1

4

+

) +1

)

,2

sin2 kwL

3

4!1

. (2.32)

Estas dos ecuaciones nos parecen familiares. De hecho, se parecen a los coe-


ficientes de reflexion y transmision de Fabry-Perot en una placa dielectrica.

Esto no es accidental, pues existe una gran analogıa entre la ecuacion unidi-

mensional de Schrodinger y la ecuacion de propagacion de una onda electro-

magnetica en un medio caracterizado por un ındice de refraccion dependiente

de la posicion n(z).

2.2.3 Pozo cuantico doble simetrico. Acoplamiento tunel entre

pozos

Vamos a considerar dos pozos cuanticos unidimensionales equivalentes con

barrera de potencial V0, ancho L y separados una distancia h (Ver Fig. 2.7).

Fig. 2.7: Perfil del potencial para un pozo cuantico doble simetrico.

Cada uno de los pozos posee nmax % 1 estados ligados cuando estan

aislados, y una funcion de onda localizada es asociada con cada uno de los

estados ligados, y decae exponencialmente fuera de los pozos. Cuando la

separacion h " #, los estados ligados del espectro discreto son doblemente

degenerados: la partıcula puede estar en un pozo o en el otro.


Cuando h es finito, los autoestados para el pozo cuntico sencillo ya no

son autoestados del Hamiltoniano de los pozos acoplados

H =p2

2µ+ Vb(z ! z1) + Vb(z ! z2), (2.33)

donde z1, z2 son los centros de los pozos, y

Vb(z ! zi) =

!""#

""$

0 |z ! zi| % L2

!V0 |z ! zi| $ L2

i = 1, 2. (2.34)

Sea +1(z ! z2) la autofuncion del pozo aislado centrado en z = z2, a pesar

del decaimiento exponencial exhibido por +1(z ! z2), cuando z ! z2 % L/2,

+1(z ! z2) es diferente de cero. Entonces, H+1(z ! z2) no es proporcional

a +1(z ! z2). Sin embargo, si h es suficientemente grande, podemos esperar

que el acoplamiento entre los pozos (debido al efecto tunel en la barrera que

une a los pozos) sea suficientemente pequeno para admitir solamente aquellos

estados que son doblemente degenerados en h = # y no los estados base con

estados excitados.

A partir de la solucion general de la ecuacion de Schrodinger con Hamil-

toniano dado por (2.33)

'(z) =9

v

av+v(z ! z1) +9

v

bv+v(z ! z2), (2.35)

donde v corre sobre los espectros discreto y continuo, solo retendremos para


los estados mas bajos del doble pozo una combinacion lineal de los estados

base de los pozos aislados:

'(z) = -+1(z ! z1) + .+1(z ! z2); (2.36)

se obtiene 1

::2(1 + s! ( ((1 ! ()r + t

((1 ! ()r + t (1 + s! (

3

;;4

1

::2-

.

3

;;4 = 0, (2.37)

o

( = (1 &t

1& r+

s

1& r, (2.38)

donde (1 es el estado ligado base de los pozos cuando estan aislados, y

r = '+1(z ! z1)|+1(z ! z2)( = '+1(z ! z2)|+1(z ! z1)(

s = '+1(z ! z1|Vb(z ! z2)|+1(z ! z1)(

= '+1(z ! z2)|Vb(z ! z1)|+1(z ! z2)( (2.39)

t = '+1(z ! z1)|Vb(z ! z1)|+1(z ! z2)(

= '+1(z ! z2)|Vb(z ! z2)|+1(z ! z1)(.

Las cantidades r, s, t son llamadas integrales de traslape, cambio y trans-

ferencia, respectivamente. La integral de traslape tiene un valor positivo,

mientras que la de transferencia y la de cambio son negativas. Es usual des-

preciar r, aunque esta aproximacion no es cualitativamente muy buena. En


este caso,

( = (1 & t+ s; (2.40)

s es entonces interpretado como el cambio del estado base de cada pozo

debido a la presencia del otro.

Fig. 2.8: Cambio y desdoblamiento del estado base doblemente degenerado de dos pozoscuanticos aislados.

Este cambio no rompe la doble degeneracion prevaleciente para h tendi-

endo a infinito (ver Fig. 2.8). Esta degeneracion se rompe debido al termino

de transferencia t. El estado base corresponde a a combinacion simetrica

(- = .) de funcion de onda de pozo cuantico aislado, mientras que el primer

estado excitado corresponde a - = !.. Los autoestados son las soluciones

de la ecuacion

2 cos kwL+

+

) +1

)

,

sin kwL± e!kbh sin kwL, (2.41)

donde

) =kbkw

, kb =

*!2µ(

h2 , kw =

*2µ

h2 ((+ V0). (2.42)

El signo menos (mas, respectivamente) en la Ec. (2.41) se refiere a los esta-

dos simetricos (antisimetricos, respectivamente) con respecto al centro de la

estructura. Esta ecuacion admite al menos una solucion para cualquier valor


de h (como ocurre en cualquier problema unidimensional con un potencial

atractivo y simetrico). Cuando h decrece a partir del infinito a cero, este

estado ligado, el cual es simetrico, evoluciona de un estado de un pozo de

ancho L al estado base de un pozo de ancho 2L.

Un estado antisimetrico permanece ligado para cualquier h en el pozo

cuantico de ancho 2L ligando por lo menos dos estados (i.e. si Lkw(( =

0) % ,. Si el pozo cuantico de ancho 2L solamente liga un estado, el estado

antisimetrico base del doble pozo, en el lımite de h muy grande, se convierte

en no acotado cuando h < hc, donde

2 cot[Lkw(( = 0) = hckw(( = 0)]. (2.43)

Como en el problema de un pozo cuantico simple, los estados ligados del

doble pozo se transforman en resonancia de transmision cuando su energıa

rebasa la cima de la barrera de confinamiento.

2.3 Estados de cuasi-partıculas en nanoestructuras

En semiconductores nanoestructurados, el concepto de cuasi-partıcula es

relacionado con electrones, huecos y excitones; la longitud caracterıstica que

define el grado de confinamiento es el radio efectivo de Bohr de los excitones,

a$B. Esta magnitud es considerada mucho mas grande que la constante de la

red, aL, por lo tanto, es posible crear estructuras mesoscopicas en las cuales

una, dos o las tres dimensiones sean comparables o menores que a$B, pero

2.3. Estados de cuasi-partıculas en nanoestructuras 49

mayores que aL. En estas estructuras, las excitaciones elementales experi-

mentaran un confinamiento cuantico, resultando un movimiento finito a lo

largo de la direccion de movimiento y un movimiento infinito en las otras

direcciones.

El grado de confinamiento de las cuasi-partıculas depende de la magnitud

de a$B y el tamano de confinamiento d. Dos regımenes pueden ser distingui-

dos: confinamiento debil y confinamiento fuerte. El regımen de confinamiento

debil corresponde al caso cuando el confinamiento d de la nanoestructura es

pequeno, pero mucho mayor que a$B, para los electrones, huecos y excitones.

En este caso, el electron y el hueco estan fuertemente correlacionados,

formando un exciton, el cual se mueve en el interior del pozo con un pequeno

incremento en su energıa debido al confinamiento debil. En este caso, el

modelo de barreras de potencial infinitas puede ser utilizado para dar una

descripcion razonable del corrimiento en la energıa del estado base del ex-

citon.

El regimen de confinamiento fuerte es cuando tenemos que a$B >> d; en

este caso el efecto del confinamiento es dominante sobre el potencial Coulom-

biano entre el electron y el hueco, y estos deben entonces ser considerados

como partıculas independientes, con sus estados base en su banda correspon-

diente, y teniendo solamente una pequena correlacion espacial entre ellos.

En este regimen no es ya posible usar el modelo de barreras infinitas para la

nanoestructura, y se requiere del uso de una barrera finita de potencial para

explicar los experimentos recientes en las propiedades opticas de pequenas


nanoestructuras.

Por lo general, las nanoestructuras son fabricadas usando dos materiales

semiconductores A y B con gaps de energıa (Ag y (Bg respectivamente. En

el proceso de crecimiento, uno de los materiales es depositado sobre el otro

y un potencial de barrera se forma en la interfase debido a la diferencia de

gaps. De acuerdo a la posicion y valor del gap, se pueden distinguir tres

tipos de nanoestructuras, y sus caracterısticas se pueden observar en la Fig.

2.9. En las nanoestructuras del tipo I, el material B es una barrera para

(a) (b) (c)

Fig. 2.9: Tipos de nanoestructuras: (a) Tipo I; (b) Tipo II; (c) Tipo III.

los electrones de conduccion y de valencia, los cuales estan localizados en

el mismo material A. Como ejemplos de nanoestructuras del tipo I tenemos

GaAs-Ga(Al)As, Ga0.47Al0.53As-InP, GaSb-AlSb, etc.

En una nanoestructura del tipo II, uno de los materiales actua como un

pozo para los electrones de conduccion y como una barrera para los electrones

de valencia. Ejemplos de nanoestructuras del tipo II son InP-Al0.53In0.47As

(en el cual los huecos estan en el semiconductor InP y los electrones en el

Al0.53In0.47As), InAs-GaSb (los huecos estan en el InAs y los electrones en el

GaSb), entre otros.

2.4. Aproximacion de la masa efectiva 51

En las de tipo III un material actua como un pozo para los electrones de

conduccion, mientras que los electrones de valencia son libres de moverse en

cualquier direccion.

2.4 Aproximacion de la masa efectiva

En esta seccion determinaremos los autoestados de los electrones en un sis-

tema nanoestructurado. Se hara enfasis en la descripcion de los estados de

energıa en nanoestructuras del tipo pozo cuantico.

Primeramente se presentaran las hipotesis usadas para derivar el esquema

de la funcion envolvente. Esta descripcion esta basada en las relaciones

de dispersion de los materiales masivos o volumetricos, tambien llamados

tridimensionales2.

Recordemos que el estado electronico en un campo periodico esta descrito

por una funcion de Bloch:

&kn(r) = eik·ruk(r), (2.44)

la cual es periodica en el espacio “k”,

&kn(r) = &k+g,n(r), (2.45)

donde g es un vector de la red recıproca y n es un ındice de banda. Por

2En ingles; bulk.


lo tanto, estas funciones pueden ser desarrolladas en series de Fourier en el

espacio recıproco:

&kn =1)N

9

l

an(r, l)eik·l, (2.46)

en donde l es un vector de la red directa. Los coeficientes del desarrollo,

an(r, l) =1)N

9

k

&kn(r)e!ik·l (2.47)

son denominados funciones de Wannier, y pueden escribirse como

an(r, l) =1)N

9

k

ukn(r)eik·(r!l), (2.48)

en donde N es el numero de posibles valores de k para la banda n-esima en

la primera zona de Brillouin.

Se puede apreciar que las funciones de Wannier no dependen del vector

de onda k, y poseen las siguientes propiedades:

1. Existen tantas funciones de Wannier como puntos en la red directa,

y por lo tanto como valores de k en la primera zona de Brillouin.

De hecho, en la Ec. (2.46) hay tantos terminos (y consecuentemente

muchos valores de an(r, l)) como valores de l (o sea, N).

2. Las funciones de Wannier estan localizadas en la proximidad de cada

nodo l de la red directa.


3. Las funciones de Wannier cumplen tambien con

an(r, l) = an(r! l), (2.49)

lo cual es evidente si se tiene en cuenta la periodicidad de ukn(r) en la

Ec. (2.48).

4. Las funciones de Wannier satisfacen la relacion

an(r! s, l) = an(r, l+ s), (2.50)

la cual es obtenida directamente de la Ec. (2.49).

5. Las funciones de Wannier son ortonormalizadas:

)a$n!(r, l")an(r, l)dr = /nn!/ll!. (2.51)

Tenemos:

)a$n!(r, l")an(r, l)dr =

1

N

9

k!

9

k

e!i(k·l!k!·l!))&$k!n!(r)&kn(r)dr

=1

N/nn!

9

k

e!ik·(l!l!) = /nn!/ll! (2.52)


2.4.1 Hamiltoniano efectivo

Vamos a buscar la solucion a la ecuacion no estacionaria de Schrodinger para

un electron en un cristal, bajo un potencial externo, ie.,

5H + U

8'(r, t) = ih

*'(r, t)

*t, (2.53)

donde H es el Hamiltoniano del electron en el campo periodico del cristal,

y U es el potencial perturbador asociado al campo externo. Busquemos una

solucion de la forma

'(r, t) =9

n

9

l

fn(l, t)an(r, l), (2.54)

en donde fn(l, t) es denominada funcion envolvente de la n-esima banda.

Notese que la solucion involucra todas las bandas.

Sustituyendo la Ec. (2.54) en (2.53), multiplicando por a$n!(r! l") e inte-

grando, se obtiene

9

n

9

l

)a$n!(r! l")

5H + U

8an(r! l)fn(l, t)dr =

= ih9

n

9

l

*fn(l, t)

*t

)a$n!(r! l")an(r! l)dr; (2.55)

considerando la ortonormalidad de las funciones de Wannier, y realizando la


suma del lado derecho, conseguimos

9

n

9

l

fn(l, t))a$n!(r! l")

5H + U

8an(r! ldr) = ih

*fn!(l", t)

*t. (2.56)

Recordando que para un electron no perturbado se tiene que

H&kn(r) = ((k)&kn(r), (2.57)

aplicamos el operador H a la funcion de Wannier (Ec. (2.47)) y tomando en

cuenta la Ec. (2.46) se consigue que

Han(r! l) =1)N

9

k

((k)

=1

N

9

k

((k)e!ik·l9

l!an(r! l")eik·l

!

=1

N

9

l!an(r! l")

9

k

((k)eik·(l!!l)

=9

l!(n,l!l!an(r! l"), (2.58)

en donde hemos introducido

(n,l!l! =1

N

9

k

((k)e!ik·(l!l!), (2.59)

que no es mas que la transformada de Fourier de la energıa en el espacio k,

y nos muestra la integral de traslape de H entre dos funciones de Wannier


en l y l" para la misma banda, esto es

)a$n!(r! l")Han(r! l)dr =

9

l!(n,l!l!

)a$n!(r! l")an(r! l)dr

=9

l!(n,l!l!/nn!/ll! = (n,0. (2.60)

Sustituyendo (2.60) en (2.56), obtenemos

9

n

9

l

{/nn!(n,l!l! + Unn!(l, l")} fn(l, t) = ih*fn(l, t)

*t, (2.61)

donde

Unn! =)a$n!(r! l")Uan(r! l)dr (2.62)

es el elemento de matriz del potencial de perturbacion. Considerando que la

serie de Fourier para la energıa en el espacio k es

(n(k) =9

l

(nleik·l, (2.63)

donde los coeficientes (nl estan dados por la Ec. (2.59), y considerando que

k " i*, (2.64)

podemos conseguir el siguiente producto:

(n(k)f(r) =9

l

(nlei(!i&)·lf(r) =

9

l

(nlel·&f(r). (2.65)


Pero,

el·& = 1 + l ·*+1

2(l ·*)2 + · · · , (2.66)

entonces,

(n(!i*)f(r) =9

l

(nl

<f(r) + l ·*f(r) +

1

2l2*2f(r) + · · ·

=

=9

l

(nlf(r+ l) (2.67)

en donde tenemos en cuenta que el termino entre llaves es el desarrollo en

serie de Taylor de la funcion f(r+ l). Usando la Ec. (2.67), obtenemos

9

l

(n!,l!l!fn!(l, t) =9

l

(n!,l!l!fn!(l"+ l! l", t) = (n!(!i*)fn!(r, t)|r=l! ; (2.68)

podemos entonces escribir la Ec. (2.61) como

-

(n!(!i*)fn!(r, t)! ih*fn!(r, t)

*t

.

r=l!+9

n!

9

l

Unn!(l, l")fn(l, t) = 0. (2.69)

Esta es la expresion para la funcion envolvente, tambien llamada ecuacion

de Schrodinger en la representacion de Wannier.

Supongamos que el electron se mueve en una sola banda. Esto significa

que el potencial externo es tan debil como para no inducir transiciones in-

terbandas; por lo tanto,

Unn!(l, l") = /nn!Unn(l, l"). (2.70)


Tambien consideraremos que el potencial varıa lentamente con la posicion,

es decir

aL"U

U+ 1, (2.71)

siendo aL la constante de la red; entonces,

Unn(l, l") = U(r, t)/ll! (2.72)

donde tenemos en cuenta las Ecs. (2.51) y (2.62). Introduciendo

Unn(l", l") = U(r, t)|r=l! (2.73)

y sustituyendo (2.70) y (2.72) en (2.69), obtenemos

-

(n(!i*) + U(r, t)! ih*

*t

.

fn(r, t) = 0, (2.74)

donde esta claro que r = l". De acuerdo con la Ec. (2.71), fn(r, t) es formal-

mente tratada como una funcion que varıa lentamente alrededor de l".

De hecho, vamos a comparar la Ec. (2.54) con (2.46), tomando en cuenta

(2.49). Veamos:

Si un campo externo debil, el cual varıa lentamente en distancias del

orden de la constante de red, es aplicado, la funcion de onda del electron,

en una banda determinada, es expresada como sigue (de acuerdo con la Ec.


(2.54)):

&k,n(r, t) =9

l

an(r! l)fn(l, t), (2.75)

donde fn(l, t) debe ser definida a partir de (2.74); se ha considerado que la

relacion

fn(r, t)|r=l = fn(l, t) (2.76)

debe ser satisfecha; aquı, formalmente hemos pasado de la variable discreta l

a la continua r, lo cual es aceptable si fn(l, t) varıa lentamente en distancias

del orden de la constante de red, alrededor del nodo l. En ausencia del campo

externo (U(r, t) = 0) se obtendrıa simplemente

f 0n(l, t) = exp

-

i

+

k · r! ((k)

ht

,.

, (2.77)

lo cual, si se sustituye en (2.75), conduce a la ecuacion de los estados esta-

cionarios.

Notese que en vez de la Ec. (2.53) original, ahora tenemos una ecuacion

de Schrodinger para la funcion envolvente, en la cual el Hamiltoniano H + U

ha sido sustituido por el Hamiltoniano efectivo

Hef = (n(!i*) + U (2.78)

que, como se puede apreciar, depende de la relacion de dispersion ((k). En-

tonces, la funcion envolvente puede entenderse como la funcion de onda efec-

tiva para el electron en el cristal, sometido a un potencial externo.


Afortunadamente, en muchos fenomenos fısicos que ocurren en semicon-

ductores y metales, los electrones que participan son aquellos situados en la

parte superior o inferior de las bandas (i.e., en sus extremos). Para estos elec-

trones, es conveniente introducir la masa efectiva y el Hamiltoniano efectivo,

el cual puede ser escrito como sigue:

Hef = !-h2

m$nx

*2

*x2+

h2

m$ny

*2

*y2+

h2

m$nz

*2

*z2

.

+ U . (2.79)

En el caso isotropico, las masas efectivas son iguales en cualquier direccion,

y la Ec. (2.79) se escribe

Hef = ! h2

2m$n

*2, (2.80)

donde m$n es la masa efectiva en la banda n. En este caso, podemos decir

que la banda es parabolica, ya que la relacion de dispersion esta dada por

(n(k) =hk2

2m$n

, (2.81)

la cual es, ademas, isotropica. Ası, para un potencial constante (en el

tiempo), podemos escribir la ecuacion efectiva de Schrodinger para estados

estacionarios como

'

! h

2

-1

m$nx

*2

*x2+

1

m$ny

*2

*y2+

1

m$nz

*2

*z2

.

+ U(r)

(

fn(r) = (fn(r), (2.82)

la cual es ampliamente usada. Cabe hacer la aclaracion de que el potencial

2.5. Estado de cuasi-partıculas en nanoestructuras 61

periodico de la red esta contenido implıcitamente en los componentes del

tensor de masa efectiva. Este metodo es conocido como aproximacion de la

masa efectiva (EMA).

2.5 Descripcion de la funcion envolvente de estado de cuasi-partıculas

para sistemas nanoestructurados

El modelo de la funcion envolvente es particularmente adecuado para estu-

diar propiedades de cuasi-partıculas en las estructuras semiconductoras de

baja dimensionalidad. Este constituye un metodo dinamico para la determi-

nacion de la banda de energıas de partıculas en la fısica del estado solido,

y las nanoestructuras son siempre consideradas sistemas dinamicos, puesto

que constantemente estan sometidas al menos a la accion del potencial de

barrera o interfase, caracterıstico de la nanoestructura. La aproximacion de

la funcion envolvente y de la masa efectiva fueron claramente discutidas en

pozos cuanticos por primera vez por G. Bastard [16, 17].

Otros enfoques de caracter microscopico para obtener los autoestados en

las nanoestructuras, con mayor fundamento fısico que el enfoque de la funcion

envolvente, pero muy complicados al realizar calculos, los cuales implican

calculos numericos con tecnicas de computo muy sofisticadas desde su inicio

son: El tight-binding (electron fuertemente ligado) es hoy en dıa ampliamente

usado, con buenos resultados obtenidos para nanoestructuras de cualquier

tamano o regimen de confinamiento, aunque presenta muchas dificultades en

los calculos auto-consistentes que tienen lugar cuando existen cargas en la


nanoestructura.

Otro metodo microscopico es el de seudo-potencial, el cual es muy exi-

toso para materiales volumetricos. La ventaja de estos enfoques o metodos

microscopicos es su capacidad para obtener con gran exactitud los niveles

energeticos de las partıculas en las nanoestructuras, i.e. aquellos que estan

cercanos o lejanos al borde #. Esto ocurre debido a que esos modelos repro-

ducen completamente las relaciones de dispersion del sistema volumetrico. La

aproximacion de la funcion envolvente no tiene tal generalidad. Basicamente,

esta restringida a la vecindad de puntos de alta simetrıa en los materiales

volumetricos en la zona de Brillouin (#, X, L) (Ver, por ejemplo, la Ref. [18]).

Sin embargo, creemos que la aproximacion de la funcion envolvente es

muy util debido a su simplicidad y versatilidad. A menudo conduce a re-

sultados analıticos, quedando el usuario satisfecho de los calculos que van

quedando atras de manera transparente, con muchas interpretaciones fısicas

en el desarrollo continuo de estos calculos. Ademas, muchos de los niveles de

energıa relevantes de las nanoestructuras en dispositivos reales estan relati-

vamente cerca de los puntos de alta simetrıa en la zona de Brillouin de los

materiales volumetricos.

En lo que sigue, asumiremos que A y B son materiales constituyentes

de la nanoestructura, son redes que empalman perfectamente y cristalizan

con la misma estructura cristalografica. Para aplicar el metodo de la funcion

envolvente tendremos en cuenta dos hipotesis fundamentales:

1) Dentro de cada material, la funcion de onda es desarrollada en funciones


de Wannier (con l = 0):

'(r) =9

n

fAn (r)u

An,k0

(r), (2.83)

si r corresponde a un material A, y

'(r) =9

n

fBn (r)uB

n,k0(r), (2.84)

si r corresponde a un material B, y donde k0 es un punto de la zona

de Brillouin alrededor del cual los estados de la nanoestructura son

construidos.

2) La parte periodica de las funciones de Bloch se asume la misma en cada

tipo de material que constituye la nanoestructura:

uAn,k0

(r) , uBn,k0

(r). (2.85)

Entonces, nuestras funciones de onda en la nanoestructura seran escritas

como:

'(r) =9

n

fA,Bn (r)un,k0(r) (2.86)

y nuestro objetivo sera determinar la funcion envolvente fA,Bn (r), la cual de-

pende del tipo de nanoestructura y la dimensionalidad del sistema. A contin-

uacion se presentara el formulismo aplicado a un sistema cuasi-bidimensional.


2.5.1 Sistema cuasi-bidimensional

Los sistemas cuasi-bidimensionales son formados por multiples heteroestruc-

turas como los pozos cuanticos simples, los pozos cuanticos multiples y las

superredes. La funcion envolvente en este caso es

fA,Bn (r', z) =

1)Seik"·r"+A,B

n (z), (2.87)

donde S es el area de la muestra, y k' = (kx, ky) es el vector de onda

bidimensional, el cual es el mismo en las capas A y B para preservar la

invarianza traslacional en el plano (x, y).

Aunque k' podrıa expandirse teoricamente a toda la seccion plana de la

zona de Brillouin de un material volumetrico, en la practica es raramente

mayor que - 1/10 de su tamano. Tambien, asumiremos que para toda n, la

funcion +A,Bn (r) varıa lentamente en la escala de la celda unitaria de un ma-

terial volumetrico. Entonces, la funcion de onda '(r) de la heteroestructura

es una suma de productos de funciones de variacion rapida. El Hamiltoniano

de la heteroestructura puede ser escrito como:

H =p2x2m$

x

+p2y2m$

y

+p2z2m$

z

+ VA(r)YA + VB(r)YB, (2.88)

donde YA(YB) es la funcion escalon, la cual es unitaria si r corresponde a una

capa A (a una capa B), y VA(VB) es el potencial en la capa A(B).

La funcion envolvente en la direccion z es +n(z), de una capa A/B, y es


solucion de la siguiente ecuacion de Schrodinger

'

! h2

2m$nz

d2

dz2+ Vn(z)

(

+n(z) = (n+n(z), (2.89)

donde Vn(z) es el potencial de la heteroestructura por la discontinuidad de

la banda: m$nz , m$(z) = m$

n,A(m$n,B) y Vn(z) = 0 en la capa A(B).

cap´ıtulo 2. sistemas cu´anticos conﬁnados y...

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