capitolul 6.1 calculul fazorial

Sisteme de variabile aleatoare

SISTEME DE VARIABILE ALEATOARE. VECTORI ALEATORI. PROPAGAREA VARIAŢIILOR.

6.1. NOŢIUNI GENERALE

În capitolele anterioare caracteristicile tehnice au fost analizate separat.Cazul tipic cel mai mult întâlnit este cel al unei mulţimi de caracteristici. De fapt

noţiunea de calitate a unui produs se referă la un ansamblu de caracteristici.Dacă ne referim numai la variabilele aleatoare, asociate caracteristicilor

sistemului, putem vorbi de sisteme de variabile aleatoare.La un proces fizic legat şi de materiale, de exemplu procesele termice ale

echipamentelor electrice, înfăşurări, căi de curent etc, la care intervin numeroşi factori cu variaţii aleatoare, există o caracteristică finală (încălzirea în regim permanent de funcţionare, de scurtă durată, etc.) la care variaţiile pot fi modelate printr-o variabilă aleatoare rezultantă (vector aleator).

Problema de bază care se pune este de a considera legătura dintre aspectele aleatoare ale caracteristicii rezultante a sistemului tehnic şi cele ale componentelor.

În procesul de fabricaţie, valorile diferitelor caracteristici de prelucrare şi montare pot defini un vector aleator. Sistemul cu două variabile aleatoare are ca rezultantă un punct aleator într-un plan de coordonate X, Y. În mod similar în cazul a trei sau a m variabile aleatoare sistemul se poate reprezenta printr-un punct aleator în spaţiul cu trei sau m dimensiuni.

Se foloseşte, în aceste cazuri, pe lângă noţiunea de punct aleator şi denumirea de vector aleator, bidimensional, tridimensional sau m-dimensional sau de variabilă aleatoare multidimensională. Pentru o variabilă aleatoare multidimensională

),,( 21 mX ηηη funcţia de repartiţie m-dimensională este definită de expresia:),,,(),,()( mm2211m21 xxxPxxxFzF <<<== ηηη (6.1)

unde mxxx ,,, 21 sunt numere reale. De asemenea, conform definitiei generale:Vom nota cu litera z vectorul aleator.

∫∫ ∫∞−∞− ∞−

==mx

mm

x x

m dxdxdxxxxfxxxFzF ...),...,,(),,,()( 212121

1 2

(6.2)

Dacă funcţia de repartiţie este de m ori derivabilă, densitatea de probablitate m-dimensională este:

mmm xxxxxxF ∂∂∂∂ .../),...,,( 2121 (6.3)

Funcţia de repartiţie m-dimensională are proprietăţile:a) 1),,,(0 21 << mxxxF ;b) ),,,( 21 mxxxF este nedescrescătoare în raport cu fiecare din variabilele

mxxx ,,, 21 ;c) 0),,,( 21 =mxxxF dacă cel puţin una din valorile ix este egală cu ∞− ;d) 1),,,( 21 =mxxxF dacă toate valorile mixi ,,2,1, = sunt egale cu ∞+ .

Cunoscând funcţia de repartiţie a sistemului (m-dimensională) se poate găsi cea a componentelor:

137

CALITATEA PRODUSELOR ŞI FIABILITATE

),,,()( 2111 ∞=∞== mXxxFxF (6.4)Densitatea de probabilitate a fiecărei variabile a sistemului se poate obţine astfel:

mm dxdxdxxxxfxf ...),...,,()( 322111 ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−=

(6.5)Între variabilele aleatoare ale sistemului pot exista legături de dependenţă

(strânse de tip determinist sau slabe) sau acestea pot fi independente.Dependenţa sau independenţa variabilelor aleatoare se referă la dependenţa sau

independenţa în probabilitate (Cap. 3). Aceste aspecte sunt necesare definirii vectorului aleator.

6.2. INDEPENDENŢA A DOUĂ VARIABILE ALEATOARE

Variabilele aleatoare X şi Y sunt independente dacă evenimentele (X<x) şi (Y<y) sunt independente pentru orice valori x şi y, dacă:

P(X<x, Y<y)=P(X<x) P(Y<y) (6.6)Conform definiţiei generale:

P(X<x, Y<y)=F(x, y); P(X<x)=F(x); P(Y<y)=F(y)Rezultă în mod analog:

)()(),( yfxfyxf ⋅= (6.7)relaţie cunoscută şi sub denumirea de teorema multiplicării legilor de repartiţie.

Relaţia (6.7) reprezintă condiţia necesară şi suficientă de independenţă a doua variabile aleatoare. Acest criteriu de verificare a dependenţei presupune cunoscută repartiţia f(x, y).

6.3. MOMENTELE VECTORULUI ALEATOR ÎN CAZUL UNUI SISTEM COMPUS DIN DOUĂ VARIABILE ALEATOARE

Considerăm funcţia densităţii de probabilitate f(z) a vectorului aleator z definit de două variabile aleatoare x şi y

f(z)=f(x, y) (6.8)Momentul iniţial de ordin k, s, este (§ 4.4.1)

dxdyyxfyxYXM sksksk ),(],[, ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−==µ

(6.9)Momentul centrat de ordin k, s este:

dxdyyxfyyxYMYXMXM sy

ksksk ),()()(]])[(])[[(, µ−−=−−=µ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞− (6.10)Se ştie că momentul iniţial de ordin 1 defineşte media teoretică, iar momentul

centrat de ordinul 2 defineşte dispersia.Cu (6.9) şi (6.10) se obţin relaţiile cunoscute:

y

x

YMYXM

XMYXM

µ===µ

µ===µ

][],[

][],[10'

1,0

01'0,1

2202,0

2020,2

][]])[(])[[(

][]])[(])[[(

y

x

YDYMYXMXM

XDYMYXMXM

σ==−⋅−=µ

σ==−⋅−=µ

Momentul centrat mixt de ordin doi se numeşte covarianţa:

138


∫ ∫∞

∞−

∞

∞−µ−µ−=−−=µ= dxdyyxfyxYMYXMXMYX yx ),())((])][])([[(],cov[ 1,1

Covarianţa variabilelor aleatoare independente este zero.Foarte multe probleme, care se pun în tehnică sunt legate de conceptul de vector

aleator, capătă o rezolvare satisfăcătoare prin stabilirea unor relaţii de legătură între valorile tipice ale vectorului şi valorile tipice ale variabilelor aleatoare ale sistemului. Se ignoră complet repartitiile respective care duc la complicatii analitice foarte mari.

Relaţiile de legătură între vectorul aleator Z şi variabilele aleatoare nXXX ,, 21 pot fi exprimate prin operaţii algebrice simple, sau prin funcţii simple

liniare sau neliniare.Variabila Z este o variabilă compusă.

6.4. VALORILE TIPICE ALE VECTORULUI ALEATOR. PROPAGAREA ERORILOR PRIN FORMULELE DE CALCUL ŞI A

ABATERILOR PRIN PROCESELE TEHNOLOGICE.

Valorile tipice ale unui vector aleator pot fi stabilite stabilind funcţia de structură sau de legătură a sistemului.

Valorile tipice ale sistemului 2, zz σµ pot fi exprimate în funcţie de valorile tipice ale componentelor 2, ii σµ .

În consecinţă intervalul de variaţie naturală a vectorului zzIVN σ6)( = este dependent de intervalul de variaţie a fiecărei componente (IVN)x. Variaţia naturală (eroarea) fiecărui component se transmite prin relaţia de calcul (relaţia de legătură) la variaţia vectorului aleator. Aceste variaţii sunt definite de valorile tipice ale vectorului aleator şi ale componentelor sale.

Relaţiile de legătură pot fi exprimate prin operaţii algebrice elementare sau prin intermediul diferitelor funcţii analitice.

6.4.1. LEGĂTURI EXPRIMATE PRIN OPERAŢII ALGEBRICE

Considerăm că legătura dintre vectorul aleator Z şi variabilele aleatoare X, Y sau nXXX ,, 21 , poate căpăta una din formele precizate în continuare.

Urmărim să stabilim în fiecare caz relaţia de legătură dintre media teoretică zZM µ=][ şi mediile teoretice yx YMXM µµ == ][,][ .

În toate cazurile sunt cunoscute valorile tipice ale variabilelor aleatoare. Se consideră cazurile:

1) Z=a X, a-constantă.∑ ∑ ===== xiiiiz apxapaxaXMZM µµ ][][ (6.12)

a)2222222 ])[(])[(])[(][ xxxzz aXMaaaXMZMZD σµµµσ =−=−=−== (6.13)

2) Z=X±a

a) ∑ ±=±=±== apaxaXMZM xiiz µµ )(][][ (6.14)

b) 2222 ])[(])}()[{(][ zxzz XMaaXMZD σµµσ =−=±−±== (6.15)

3) Z=X+Y

139


a) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +=±=+=+==i j i j j i

ijjijiijjiz YMXMpypxpyxYXMZM ][][)(][][µ

deoarece: ∑ ===j

iiij pxXPp )( - probabilitatea totală pentru ca X să ia valoarea ix ,

rezultă:∑ ∑ ∑ ==i j

iiiji XMpxpx ][

De asemenea,][* YMpypy

j i jijijj ==∑ ∑ ∑

Rezultă:yxz µ+µ=µ ] (6.16)

b)=+−+=+−+=+= ]])}[][()[{(]]}[)[{(][ 222 YMXMYXMYXMYXMYXDzσ

]])}[(])[[{( 2YMYXMXM −+−=Dezvoltând ultima relaţie:

D[X+Y]=M[(X-M[X])2 +(Y-M[Y])2 +2(X-M[X])(Y-M[Y])]

NotândM[(X-M[X])(Y-M[Y])]=2cov[X, Y] –covarianţa,

rezultă:],cov[2][][][2 YXYDXDYXDz ++=+=σ

Dacă X, Y sunt independente cov(X,Y)=0 şi:222yxz σσσ += (6.17)

Abaterea medie pătratică a vectorului aleator este:222yxz σσσ +=

(6.18)

4) Z=X-Y - cu relaţiile similare cazului anterior se pot scrie rezultatele direct:yxz µµµ −= (6.19)

a)222yxz σσσ += (6.20)

222yxz σσσ +=

(6.21)

Se observă că suma şi diferenţa a două variabile aleatoare au aceiaşi dispersie (6.17) şi (6.20).

5) ∑= iXZ ; iiXM µ=][ ; 2][ iiXD σ= .

a) ∑ ∑∑ ==== iiiz XMXMZM µµ ][][][ (6.22)

b) ∑ ∑+== )cov(2][][2iiiz yxXDZDσ

Considerând ii yx , independente rezultă:

140


∑= 22iz σσ (6.23)

În tabelul 6.1 sunt prezentate şi alte cazuri.

141


Valorile tipice ale caracteristicilor compuse. Tabelul 6.1.Nr.Crt.

Caracteristica compusă Z

Valori tipice cunoscute

Valori tipice rezultateMedia Zµ Dispersia 2

Zσ1. aX 2,, XXa σµ Xaµ 22

Xa σ2. ∑ ii Xa 2,, iiia σµ ∑ iia µ ∑ 2

iia σ3. bXa ii +∑ 2,,, iiXba σ ba ii +∑ µ ∑ 2

iia σ4. X+a 2,, XXa σµ aX +µ 2

Xσ5. X+Y 22 ,,, YYXX σµσµ YX µµ + 22

YX σσ +6. X-Y 22 ,,, YYXX σµσµ YX µµ − 22

YX σσ +7. YX ⋅ 22 ,,, YYXX σµσµ YX µµ ⋅ 222222

YXXYYX σσ+σµ+σµ8.

YX YYXX σµσµ ,,,

Y

X

µµ

≈)( 222

2222

YYY

XYYX

σ+µµσµ+σµ≈

9. X2 2, XX σµ 2XX σ+µ 422 24 XXX σ+σµ

10. X 2, XX σµ 4/12

2 )2

( XX

σ+µ2/12

2

2

σ−µ−µ XXX

11. ( )Xϕ 2, XX σµ 22

2

dd

21)( XX

XX

σ

ϕ+µϕµ

22

dd

Xi

XX

σ

ϕ

µ

12. ),...,,( 21 iXXXϕ22

221

21

,...,,

,...,,

i

i

σσσ

µµµ ),...,,( 21 iµµµϕ≈∑ σ

∂

ϕ

µ

22

ii

XXd

Legătura dintre variabilele aleatoare ale unui sistem şi vectorul aleator z poate fi exprimată de o funcţie de argument aleator; liniară, neliniară de o singură variabilă aleatoare sau de mai multe variabile.

6.4.2. LEGĂTURI EXPRIMATE DE O FUNCŢIE LINIARĂ

Fie funcţia liniară:Z=ax+b (6.24)

unde a şi b sunt constante, iar x o variabilă aleatoare. Conform celor menţionate anterior, valorile tipice pentru relaţia 6.23 sunt:

Media teoretică:babaxMZM zz +=+== µµ ][][ (6.25)

Dispersia:2z

222z aXDabaxD σσ ==+= ][][ (6.26)

Funcţia liniară se poate prezenta şi sub forma:

∑=

+=n

1iii bxaZ (6.27)

unde nxxx ,, 21 sunt variabile aleatoare independente. Valorile tipice au expresiile:Media teoretică:

∑∑==

+=+=n

1iii

n

1iiiz babxaM µµ ][ (6.28)

Dispersia:

142


∑ ∑∑= ==

==+=n

1i

n

1i

2i

2ii

2i

n

1iii

2z axDabxaD σσ ][][ (6.29)

Se observă în cazul funcţiei liniare de argument aleator aceleaşi rezultate, după cum era de aşteptat, întâlnite anterior (6.12)-(6.15).

6.4.3. LEGĂTURI EXPRIMATE DE O FUNCŢIE NELINIARĂ DE O SINGURĂ VARIABILĂ ALEATOARE.

Se consideră funcţia continuă şi derivabilă )(xz ϕ= , unde x este variabila

aleatoare. Se dezvoltă funcţia )(xϕ în serie Tylor în jurul punctului xx µ= neglijând termenii de ordin superior:

2x2

2

xx xdxd

21x

dxdz

xx

)()()( µϕµϕµϕµµ

−

+−

+≈ (6.24)

Deoarece )(xϕ , xdxd

µ

ϕ

şi x

2

2

dxd

µ

ϕ

au valori bine definite, (nu sunt mărimi

aleatoare), iar 0xM x =− )][( µ , 2x

2x xDxM σµ ==− ][])[( rezultă pentru medie

expresia:

2x2

2

x

2

2

xz

x

x

dxd

21xD

dxd

21zM

σϕµϕ

ϕµϕµ

µ

µ

⋅

+=

+==

)(][

)(][

(6.25)

Pentru dispersie se consideră, de asemenea, dezvoltarea în serie Tylor în jurul

punctului xx µ= luând în consideraţie numai primii doi termeni (abaterea fiind redusă în general):

)( xz xdxdz

x

µϕµµ

−⋅

+= (6.26)

de unde:

)( xz xdxdz

x

µϕµµ

−⋅

=− (6.28)

Înlocuind în relaţia de definiţie, ])[(][ 2zzMzD µ−= cu 7.28 se obţine:

2z

222

x

22z

xxxdxdxD

dxdx

dxdMzD σϕϕµϕσ

µµµ

⋅

=

=

−⋅

== ][)(][ (6.29)

Expresia generală a abaterii standard va fi:

xz dxd σ⋅

ϕ=σ

µ(6.30)

Observaţie. Relaţia 6.29 este aplicabilă şi în cazul funcţiilor liniare z=ax+b, unde pentru

adxd =ϕ

se ajunge la expresia cunoscută a dispersiei:222xz a σσ ⋅=

143


6.4.4. LEGĂTURI EXPRIMATE DE O FUNCŢIE NELINIARĂ DE MAI MULTE VARIABILE ALEATOARE.

Se consideră funcţia continuă şi derivabilă:),,( n21 xxxz ϕ= (6.31)

unde nxxx ,, 21 sunt variabile aleatoare independente. Media teoretică se obţine dezvoltând funcţia ϕ în serie Taylor în jurul valorilor medii ale variabilelor aleatoare

nxxx ,, 21 şi neglijind termenii de ordin superior:

∑ −⋅

∂∂+= )(),,( i

in21 x

xz µϕµµµϕ

µ

(6.32)

unde: nµµµ ,, 21

sunt valorile medii, iar µ

ϕ

∂∂

ix reprezintă derivate parţiale în raport

cu variabila ix în punctul ),,( nn2211 xxx µµµ === . Conform definiţiei de bază:)],,([ n21z xxxM ϕµ =

şi deoarece, 0xM ii =− )][( µ , rezultă expresia mediei teoretice),,,()],,,([ n21n21z M µµµϕµµµϕµ == (6.33)

Din relaţiile (6.20) şi (6.21) se poate scrie:

)( ii

n

1i iz x

xz µϕµ

µ

−⋅

∂∂=− ∑

=(6.34)

de unde, conform definiţiei generale a dispersiei, se obţine:

∑∑==

−

∂∂=

−

∂∂=

n

1i

2ii

2

i

n

1i

2ii

2

i

2z xM

xx

xM ])[()( µϕµϕσ

µµ (6.35)sau

∑ ∑= =

⋅

∂∂=⋅

∂∂=

n

1i

n

1i

2i

2

ii

2

i

2z x

xDx

σϕϕσµµ

][ (6.36)

abaterea standard va fi:

∑=

⋅

∂∂=

n

1i

2i

2

iz x

σϕσµ (6.37)

Se atrage atenţia că prin dezvoltarea în serie şi prin neglijarea termenilor de

ordin superior rezultatele sunt aproximative şi erorile cresc cu iσ .

6.4.5. ASPECTE PRACTICE ALE PROPAGĂRII VARIAŢIILOR

Propagarea variaţiilar în sistemele de variabile aleatoare are aplicaţii deosebit de importante în tehnică.

Concepţia şi proiectarea modernă pot aborda în mod predicativ problemele câmpului de variaţie al caracteristicilor unui sistem conferinduise corespunzător cu restricţiile standard sau stabilind raţional toleranţele.

144


La un sistem se pot considera o serie de variabile aleatoare nxxx ,,, 21 ca mărimi de intrare, pe de o parte, iar pe altă parte, la ieşire, kzzz ,,, 21 sunt vectori aleatori independenţi (Fig 6.1).

Sistemul poate fi analizat separat pentru fiecare variabilă la ieşire (Fig 6.2).Considerăm variaţiile variabilelor aleatoare la intrare ca fiind dependente

respectiv de n21 σσσ ,,, .

Variaţia la ieşire caracterizată de zσ va fi dependentă de variaţiile de la intrare.Se poate considera că variaţiile de la intrare se "popagă" la ieşire prin relaţiile de

legatură analizate anterior. În tehnică această problemă prezintă interes deosebit. Problemele se pun în mod deosebit:Problema A: impunându-se variaţiile la intrare n21 σσσ ,,, , trebuie să ne aşteptăm la ieşire k21 zzz σσσ ,,, .Problema B: dacă sunt impuse la ieşire k21 zzz σσσ ,,, , ce valori trebuie să aibă la intrare n21 σσσ ,,, .

Fig.6.1 Graficul unui sistem aleator. Fig.6.2 Sistem aleator cu o singură caracteristică de ieşire.

În general, rezolvarea acestor probleme prespuse se bazează pe relaţiile stabilite pentru valorile tipice ale vectorului aleator.

Variaţiile la vectori pot fi considerate ca variaţii ale caracteristicilor materialelor sau produse ale proceselor tehnologice. Se poate vorbi astfel şi de propagarea abaterilor sau a erorilor prin formele de calcul.

a) Propagarea abaterilor la un lanţ de cote.Trebuie făcută diferenţa dintre toleranţa T şi intevalul de variaţie naturală IVN.

Toleranţa este o mărime adoptată şi specificată în documentaţiile tehnice, ceea ce se propagă este variaţia fiecarei caracteristici sau variabile aleatoare şi nu toleranţa. În cazul unui lanţ de cote, funcţia analitică care reflectă legătura dintre variabilele aleatoare la intrare şi vectorul z la ieşire este funcţie liniară.

Presupunând că la intrare abaterile inferioare iA şi cele superioare sA sunt

definite de abateriile standard iσ considerăm în continuare urmatoarele:În cazul unui lanţ de dimensiuni format din n elemente, iar elementul de ordin j

având dimensiunea:ij

ij

AAj NX +

+= (6.11)

unde: jN este valoarea nominală; sjA - abaterea superioară a elementului de ordin j;

ijA - abaterea inferioară a elementului de ordin j, dimensiunea rezultantă este:

∑

∑== =

=

+

+=

++ ∑

n

1jsj

n

1jij

s

i

A

A

n

1jj

AAz NNZ

(6.12)

SISTEM ALEATOR

(UTILAJ SAU PROCES

TEHNOLOGIC)

SISTEM ALEATOR

x1

x2

x3

xn

x1

x2

x3

xn

z1

z2

z3

zn

z

145


Din punct de vedere statistic probabilitatea ca z să aibă această valoare este foarte redusă. Pentru lanţul de cote cu n elemente, probabilitatea ca ansamblul să fie montat numai din repere cu abaterile maxime sau minime (considerând regula celor σ3 ) este:

( ) nn

1jji

n

1jj 0260XxPXP .maxmax =>=

∏

==

saunn

n

1jjjj 02603F13xP .)]([ =−=

>−

= σµ

Deci aceasta reprezintă probabilitatea unui eveniment practic imposibil. Metoda indstrială în cazul cotelor, denumită "Metoda de maxim şi minim" consideră însumarea abaterilor la partea inferioară şi la partea superioară, ceea ce condce la abateri foarte mari. Diferenţa dintre metoda tradiţională de "maxim şi minim" şi metoda statistică de stabilire a câmpului de variaţie a cotei finale poate fi urmărit în exemplul următor.

Exemplul 6.1. Un ansamblu de mare serie este realizat din trei elemente puse cap la cap conform Fig 6.3.

Dimensiunile 321 ,, xxx au valorile:x1=19,60 ± 0,3 mmx2=8,60 ± 0,3 mm

x3=18,65 ± 0,15 mmLungimea totală este 321 xxxz ++= având valoarea medie

M[z]=19,60+8,60+18,65=46,85 mm.Considerând zx zx σ=∆σ=∆ 3,3 , se obţine dispersia

22223

22

21

2 05,01,01,0 ++=σ+σ+σ=σ z , rezultă 22 1025,2 −⋅=σ z .

Abaterea standard are valoarea mmz 15,0=σ . Rezultă zzz σµ 3+= , mmz 15,085,46 ±= .

Prin metoda de maxim şi minim rezultă: mmz 75,085,46 ±=Critica metodei de maxim şi de minim. În proiectare şi tehnologie este cunoscută

o metodă clasică de determinare a limitelor de toleranţă denumită "metoda de maxim şi minim", pe baza căreia determinarea cotei rezultantei z dintr-un lanţ de cote (Fig.6.4) se obţine prin însumarea algebrică a dimensiunilor nominale şi a abaterilor superioară, respectiv inferioară, cu observaţia că toleranţa nu înseamnă variaţia reală a mărimii respective. Metoda de maxim şi minim conduce la un IVN nerealist.

Fig.6.3 Asamblaj static cu trei elemente. Fig.6.4 Lanţ de cote.

Relaţiile stabilite considerând propagarea abaterilor cu o aplicaţie tehnică deosebit de importantă.

În tehnologia montajului se pot estima predictiv abaterile unei caracteristici şi probabilitatea limitelor care definesc rebuturile.

De asemenea, se pot stabili parametrii optimi ai unui montaj statistic şi determina ponderile diferitelor componente în abaterile dimensiunii de închidere Z, la un lanţ de cote.

Dacă legăturile între două sau mai multe variabile aleatoare nu sunt cunoscute, dar experimental se poate admite ipoteza acestora, atunci se aplică tehnica regresiei sau corelaţiei pentru exprimarea acestor legături.

146

z

x1 x2 x3

z

x1 x2 x3


BIBLIOGRAFIE

6.1. Marcovici, C.,Ligeron, I-C.

Utilisations des techniques de fiabilité en mécanique, Ed. Tech. et Docum., Paris

6.2. Mihoc, Gh., Craiu, V Tratat de statistică matematică, v.1, 2, 3, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1976

6.3. Panaite. V. New elements regarding the quality design of electrical equipment, Simpozion Advanced Topics in Electrical Engeneering, U.P.B., Bucuresti, 2002

6.4. Panaite, V. Statistică tehnică şi fiabilitate, Curs litografie I.P.B., v. 1, Bucureşti, 1978

147

capitolul 6.1 calculul fazorial

Documents