capitolul 4 corecţia sistemelor de reglare automată · din punctul de vedere al modificărilor...

Mitică Temneanu Tehnica reglării şi control automat

65

Capitolul 4 Corecţia sistemelor de reglare automată Se consideră un sistem de reglare automată ai cărui indicatori de performanţă nu se încadrează în limitele impuse, fiind necesară îmbunătăţirea acestor performanţe, atât în regim dinamic, cât şi în regim staţionar. Acest lucru se poate realiza prin introducerea în structura sistemului a unor elemente de corecţie. Rolul acestor elemente este de a deforma locul de transfer al sistemului deschis astfel încât să fie îndeplinite condiţiile de stabilitate şi de precizie. Dacă deformarea locului de transfer are loc în domeniul frecvenţelor situate în apropierea punctului critic (-1, j0) se modifică performanţele sistemului în regim tranzitoriu, iar dacă deformarea are loc în domeniul frecvenţelor joase şi foarte joase, se modifică comportarea în regim staţionar. Elementele de corecţie, realizate de obicei din elemente pasive, introduc atenuări şi de aceea ele sunt însoţite de elemente de amplificare capabile să compenseze parţial sau total atenuarea introdusă. Elementele de corecţie pot fi introduse în serie pe calea directă a sistemului, ca în Fig.4.1 sau în paralel, formând reacţii locale cu un element de pe calea directă, aşa cum este prezentat în Fig.4.2.

Fig.4.1.

Cel mai frecvent utilizat este elementul de corecţie serie. 4.1. Obiectivele corecţiei sistemelor de reglare automată Obiectivele avute în vedere prin introducerea corecţiei în sistemele de reglare automată se referă la stabilizarea sistemului, la îmbunătăţirea

Cor G(s) R(s) ε(s) Y(s)

-


66

performanţelor în regim tranzitoriu, sau la creşterea performanţelor în regim staţionar. Din punctul de vedere al modificărilor produse de către corector la nivelul locului de transfer, obiectivele descrise pot fi reprezentate grafic.

Fig. 4.2.

În Fig.4.3, sistemul necorectat (1) este instabil (lasă punctul critic (-1,j0) în dreapta locului de transfer parcurs de la ω=0 către ω=+∞), iar sistemul corectat este stabil, rezultând o anumită margine de fază şi de amplificare.

Fig. 4.3.

În Fig.4.4, sistemul iniţial (1) este stabil, având o margine de amplificare şi de fază necorespunzătoare. Se intervine asupra locului de transfer în zona punctului critic (-1, j0) şi se modifică marginea de fază şi de amplificare, ameliorându-se comportarea în regim tranzitoriu.

G1(s) G2(s) R(s) ε(s) Y(s)

Cor

C(s) - -


67

Fig. 4.4.

În Fig.4.5, dintr-un sistem de tip „0” (fără niciun pol în origine pe calea directă), care prezintă o eroare de poziţie finită, se obţine, prin introducerea corectorului, un sistem de tip „1” care va asigura o eroare staţionară nulă la variaţia treaptă a referinţei.

Fig. 4.5.


68

Stabilizarea sistemului, cât şi îmbunătăţirea performanţelor, poate fi evidenţiată cu uşurinţă, pentru un element de corecţie serie, prin analiza diagramelor Bode ale sistemului necorectat, ale corectorului şi ale sistemului corectat. Acest lucru este foarte facil deoarece, la un corector serie, caracteristicile sistemului compensat se obţin prin sumarea punct cu punct a caracteristicilor sistemului iniţial, necompensat, cu cele ale compensatorului. Dacă G(s) este funcţia de transfer a căii directe a sistemului necompensat, iar Hα(s) este funcţia de transfer a compensatorului, atunci, funcţia de transfer a căii directe a sistemului compensat este: )s(G)s(H)s(H α= (4.1) Răspunsul la frecvenţă este:

)j(Gargj)j(Hargj e)j(Ge)j(H)j(G)j(H)j(H ωωαα ωω=ωω=ω α (4.2)

Rezultă de aici: )j(G)j(H)j(H ωω=ω α (4.3)

)j(Garg)j(Harg)j(Harg ω+ω=ω α (4.4) Ţinând cont că în diagramele Bode atenuarea este dată în dB, adică: )j(Hlg20)j(H

dBω=ω (4.5)

se poate scrie că:

)j(Garg)j(Harg)j(Harg

)j(G)j(H)j(HdBdBdB

ω+ω=ω

ω+ω=ω

α

α (4.6)

Aceste ultime relaţii evidenţiază posibilitatea de obţinere a caracteristicilor sistemului compensat din celelalte două caracteristici prin sumarea acestora punct cu punct. Elementele de corecţie serie frecvent utilizate sunt:

• Corectorul cu avans de fază • Corectorul cu întârziere de fază • Corectorul cu avans şi întârziere de fază • Corectorul prin anulare

Fiecare dintre aceste elemente acţionează asupra locului de transfer în vederea atingerii obiectivelor stabilite. 4.2. Element de corecţie cu avans de fază


69

Structura unui circuit de corecţie cu avans de fază realizat numai din elemente pasive este dată în Fig.4.6. Considerăm că elementul conectat la ieşirea corectorului are o impedanţă de intrare suficient de mare şi nu constituie o sarcină pentru acesta. Impedanţa de intrare, constituită din grupul R1, C, şi cea de reacţie, dată de R2, sunt:

Fig. 4.6.

sC1||R)s(Z 11 = (4.7)

sC11

R1

)s(Z1

11

+= (4.8)

adică:

22

1

11

R)s(ZCsR1

R)s(Z

=+

= (4.9)

Considerând circuitul ca fiind un divizor construit cu impedanţele Z1(s) şi Z2(s), ca în Fig.4.7, putem scrie:

Fig. 4.7.

U1(s) U2(s) R1

R2

C

Z2(s)

Z1(s)

U1(s) U2(s)


70

)s(UR

CsR1R

R)s(U)s(Z)s(Z

)s(Z)s(U 1

21

1

21

21

22

++

=+

= (4.10)

Funcţia de transfer a corectorului este:

CsR

RRR1

CsR1RR

R)s(U)s(U)s(H

121

2

1

21

2

1

2

++

++

==α (4.11)

Notăm:

21

2

RRR+

=α <1 (4.12)

CRT 1=α [s], constanta de timp (4.13) Rezultă funcţia de transfer:

sT1

sT1)s(H

α

αα α+

+α= (4.14)

4.2.1. Răspunsul la frecvenţă al corectorului cu avans de fază Răspunsul la frecvenţă al corectorului este:

α

αα αω+

ω+α=ω

Tj1Tj1

)j(H (4.15)

Expresia modulului şi a fazei sunt:

222

22

T1T1

)j(Hα

αα ωα+

ω+α=ω (4.16)

)T(arctg)T(arctg)( ααα αω−ω=ωϕ (4.17) Caracteristica atenuare-frecvenţă este:

22222dB

T1lg20T1lg20lg20)j(H ααα ωα+−ω++α=ω (4.18)

Pulsaţiile de frângere sunt: 121 T1,

T1

ω>α

=ω=ωαα

(α < 1).

• Asimptota de joasă frecvenţă: Pentru ,1ω<ω α=ωα lg20)j(H

dB (4.19)


71

• Asimptota de medie frecvenţă: Pentru ,21 ω<ω<ω

)Tlg(20lg20

T1lg20lg20)j(H 22dB

α

αα

ω+α≅

≅ω++α=ω (4.20)

având o pantă de +20 [dB/dec]. • Asimptota de înaltă frecvenţă:

Pentru ,2ω>ω 0)Tlg(20)Tlg(20lg20)j(H

dB=αω−ω+α≅ω ααα (4.21)

Valoarea defazajului pentru pulsaţii foarte joase sau foarte înalte este: 0)(lim)(lim

0=ωϕ=ωϕ α∞→ωα→ω

(4.22)

(la pulsaţii mari, fiecare termen intervine cu 90°, unul cu plus, celălalt cu minus, rezultând valoarea 0). Putem deduce valoarea pulsaţiei ω αm pentru care φα(ω) are valoarea maximă din condiţia:

0d

)(d=

ωωϕα (4.23)

Deoarece α < 1, )T(arctg)T(arctg αα αω>ω , 0)( >ωϕα . Avem: )T(arctg)T(arctg)( ααα αω−ω=ωϕ (4.24)

0T1

TT1

Td

)(d22222 =

ωα+α

−ω+

=ωωϕ

α

α

α

αα (4.25)

Rezultă: 1T22

m =αω αα (4.26)

α

=ωα

α T1

m (4.27)

Pentru această valoare a pulsaţiei, defazajul este maxim şi are valoarea:

)(arctg)1(arctg)()( mm α−α

=ωϕ=ωϕ ααα (4.28)

Rezultă:

α+α−

=ωϕα 11)(sin m (4.29)

De unde:


72

α+α−

=ωϕ=ωϕ ααα 11arcsin)()( mm (4.30)

Pentru această pulsaţie, valoarea modulului este:

α=

αα+

α+

α=ω

αα

αα

αα2

22

22

m

TT11

TT11

)j(H (4.31)

Cu aceste rezultate, pot fi trasate caracteristicile Bode ale corectorului Hα(s), Fig.4.8.

Fig. 4.8.

4.2.2. Loculde transfer al corectorului cu avans de fază Pentru trasarea locului de transfer se reia răspunsul la frecvenţă:

222222

22

T1T)1(j

T1T1

Tj1Tj1)j(H

α

α

α

α

α

αα

ωα+ωα−

α+ωα+

αω+α=

=αω+ω+

α=ω

(4.32)

Se notează:

|Hα(jω)|dB

φ(ω)

φαm

20lgα

ααT1

αT1

ααT1 ω[dec]

ω[dec]

+90°

0

0


73

222

222

22

T1T)1(

)j(HImV

T1T1

)j(HReU

α

αα

α

αα

ωα+ωα−

α=ω=

ωα+αω+

α=ω= (4.33)

Pentru simplificarea scrierii, folosim notaţia: ααω= Tx (4.34) Rezultă:

2

2

2

x1x)1(V

x1xU

+α−

=

++α

= (4.35)

Pentru obţinerea locului de transfer, se elimină x între partea reală U şi partea imaginară V a funcţiei de transfer. Rezultă:

2

22

21V

21U

α−

=+

α+

− (4.36)

Locul de transfer este deci un cerc cu centrul în punctul )0,2

1(C α+ , şi

de rază 2

1R α−= .

Deoarece α < 1, avem V > 0, deci locul căutat pentru pulsaţii ω >0 este semicercul situat deasupra axei reale, ca în Fig.4.9. În practică, valorile maxime pentru φ αm sunt în jurul valorii de 55°, corespunzătoare valorii α = 0.1. Pentru a compensa unghiuri mai mari de 55° este necesară introducerea a două corectoare serie, primul dimensionându-se pentru a compensa o parte din valoarea ce trebuie compensată, structura acestuia fiind determinată pe baza elementelor sistemului iniţial (necompensat), iar al doilea dimensionându-se pe baza sistemului parţial compensat prin intermediul primului compensator.


74

Fig. 4.9.

4.2.3. Intervenţia corectorului cu avans de fază asupra locului de transfer al sistemului iniţial Modul în care compensatorul cu avans de fază modifică locul de transfer al sistemului este prezentat în Fig.4.10. Locul de transfer al sistemului iniţial, notat cu (1) arată că sistemul în buclă închisă este stabil, dar are o margine de fază şi de amplificare necorespunzătoare. Prin introducerea compensatorului cu avans de fază, locul de transfer al sistemului, notat cu (2), se obţine prin compunerea punct cu punct a locului de transfer ale sistemului iniţial şi locul de transfer al compensatorului cu avans de fază, reprezentat prin semicercul situat în cadranul I. Concret, pentru o anumită pulsaţie ω*, m odulul funcţiei de transfer al sistemului se modifică de la valoarea *)(H ω la valoarea *)(H*)(H ωω α iar argumentul se modifică de la valoarea *)(ωϕ la valoarea

*)(*)( ωϕ+ωϕ α . Cum 1*)j(H <ωα , rezultă că, pentru pulsaţia ω*, modulul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mic decât modulul funcţiei de transfer a sistemului iniţial. Deoarece 0*)( >ωϕα , rezultă că argumentul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mare decât argumentul funcţiei de transfer a sistemului iniţial. Aşa cum rezultă din Fig.4.10, se modifică în sensul îmbunătăţirii, atât marginea de fază cât şi marginea de amplificare.

ReHα(jω)

ImHα(jω)

21 α+ α 1

Hα(jω)

ω=∞

ωαm

φαm


75

Fig. 4.10.

4.2.4. Intervenţia corectorului cu avans de fază asupra caracteristicilor Bode ale sistemului iniţial Efectul introducerii compensatorului cu avans de fază poate fi observat şi pe caracteristicile Bode prezentate în Fig.4.11. Având în vedere faptul că avem, pentru caracteristica atenuare-pulsaţie, o reprezentare logaritmică, acest lucru permite obţinerea caracteristicilor sistemului compensat prin sumarea caracteristicilor funcţiei de transfer a sistemului iniţial cu cele ale compensatorului cu avans de fază. Caracteristicile atenuare-frecvenţă şi fază-frecvenţă ale sistemului compensat (3) se obţin prin sumarea caracteristicilor sistemului iniţial (1) cu cele ale compensatorului cu avans de fază, (2) . Pe caracteristicile prezentate sunt evidenţiate marginile de fază şi de amplificare ale sistemului necompensat (n) şi compensat (c).

Re

Im

21 α+

α 1

Hα(jω*)

ω=∞

ω=ω*

H(jω*)

H(jω*)Hα(jω*)

mF

mFc

(-1, j0)

φ(ω*)

φ(ω*)

ω=ω*

ω=ω*

(1)

(2)

ω=0


76

Marginea de amplificare este definită , la nivelul acestor caracteristici prin

dBA )j(H0m πω−= , unde ωπ este pulsaţia pentru care φ(ω π) = -180°. Se observă că atât sistemul necompensat cât şi cel compensat au o margine de amlificare pozitivă, marginea de amplificare a sistemului compensat fiind mai mare. Marginea de fază este definită prin )(180m 1F ωϕ+°−= , unde ω1 este pulsaţia pentru care modulul funcţiei de transfer este 1, adică

0)j(HdB1 =ω .

Pentru situaţia prezentată, se observă că atât sistemul necompensat cât şi sistemul compensat au o margine de fază pozitivă, sistemul compensat având o margine de fază foarte bună în comparaţie cu sistemul necompensat.

Fig. 4.11.

4.2.5. Corector cu avans de fază cu amplificare Introducerea compensatorului pe calea directă are ca efect micşorarea factorului de amplificare la frecvenţe joase. Această modificare este evidenţiată în caracteristica atenuare-frecvenţă (Bode) prin coborârea caracteristicii în zona frecvenţelor joase cu valoarea 20lgα. Acest lucru duce la înrăutăţirea regimului staţionar a sistemului închis. Dacă elementul cu avans de fază este combinat cu un amplificator, având


77

factorul de amplificare k=1/α, atunci caracteristica atenuare-frecvenţă rămâne nemodificată în zona frecvenţelor joase. Funcţia de transfer a compensatorului devine:

sT1

sT1sT1

sT1k)s(H k

α

α

α

αα α+

+=

α++

α= (4.37)

În această situaţie, amplificarea compensatorului este unitară, echivalând cu ridicarea caracteristicii atenuare-frecvenţă cu 20lg k = -20lgα. Comportarea compensatorului este aceea a unui element derivativ cauzal, ca în Fig.4.12.

Fig. 4.12.

4.2.6. Corector cu avans de fază şi amplificare realizat cu amplificator operaţional Structura unui astfel de element este dată în Fig.4.13.

|Hα(jω)|dB

φ(ω)

φαm

-20lgα

αT1

ααT1 ω[dec]

ω[dec]

+90°

0

0

ααT1


78

Fig. 4.13.

Impedanţa de reacţie a circuitului operaţional este:

2

22 sC1||R)s(Z = (4.38)

adică:

22

22 CsR1

R)s(Z+

= (4.39)

În mod asemănător, impedanţa de intrare este:

11

11 CsR1

R)s(Z+

= (4.40)

Deoarece amplificatorul operaţional este inversor, s-a ataşat un inversor suplimentar pentru restabilirea fazeă semnalului, rezultând pentru corector funcţia de transfer:

22

11

1

2

1

2

CsR1CsR1

RR)1(

)s(Z)s(Z)s(H

++

=−−=α (4.41)

Se aleg valorile R2 şi R1 astfel încât să avem R2/R1=1. Constantele de timp sunt: 111 CRT =α [s] (4.42) 222 CRT =α [s], 21 TT αα > (4.43) Rezultă:

sT1sT1

)s(H2

1

α

αα +

+= (4.44)

Răspunsul la frecvenţă este:

U2(s) U1(s)

R1

R2

+

-

AO

C1

C2

-1


79

2

1

Tj1Tj1

)j(Hα

αα ω+

ω+=ω (4.45)

Pentru această funcţie de transfer rezultă modulul:

22

2

21

2

T1

T1)j(H

α

αα

ω+

ω+=ω (4.46)

şi argumentul: )T(arctg)T(arctg)( 21 ααα ω−ω=ωϕ . (4.47) Raţionând în mod asemănător rezultă:

21

m TT1

ααα =ω , (4.48)

)TT

(arctg)TT

(arctg)()(1

2

2

1mm

α

α

α

αααα −=ωϕ=ωϕ (4.49)

Diagrama Bode corespunzătoare este dată în Fig.4.14.

Fig. 4.14.

Exemplul 4-1. Se consideră un sistem de reglare automată având schema bloc dată în Fig.4.15.

|Hα(jω)|dB

φ(ω)

φαm

1T1

α

ω[dec]

ω[dec]

+90°

0

0

2T1

α

2

1

TT

lg20α

α


80

Fig. 4.15.

Partea fixată este dată de:

s01.01

k)s(G1 += (4.50)

)s21(s

1)s(G 2 += (4.51)

Se pune problema determinării unui compensator care să asigure o margine de fază de 50° şi o eroare la treapta de viteză (semnal de intrare rampă unitară) de 2%. Funcţia de transfer a căii directe este:

)s21)(s01.01(s

k)s(G)s(G)s(H 21 ++== (4.52)

Deoarece sistemul are pe calea directă un pol de ordinul I în origine, rezultă că sistemul este precis la un semnal de referinţă treaptă (are eroarea staţionară nulă). Pentru determinarea valorii factorului de amplificare k, vom determina coeficientul erorii de viteză:

k)s21)(s01.01(s

kslim)s(sHlimk0s0sv =

++==

→→ (4.53)

Eroarea staţionară la viteză este:

%)2(02.0k1

k1

vstV ===ε (4.54)

Deci funcţia de transfer a sistemului este:

)s21)(s01.01(s

50)s(H++

= (4.55)

Constantele de timp ale sistemului sunt: 2T1 = [s] ; 01.0T2 = [s]. Răspunsul la frecvenţă este dat de:

R(s) Y(s)

- Hα(s) G1(s) G2(s)


81

)2j1)(01.0j1(j

50)j(Hω+ω+ω

=ω (4.56)

iar în dB:

2

2

41lg20

0001.01lg20lg2050lg20dB)j(H

ω+−

−ω+−ω−=ω (4.57)

Cele două pulsaţii de frângere sunt:

5.0T1

11 ==ω [rad/s] şi 100

01.01

T1

22 ===ω [rad/s]. (4.58)

Sistemul este de ordinul III, tip I, înseamnă că asimptota de joasă frecvenţă a caracteristicii atenuare-frecvenţă are o pantă de -20[dB/dec], iar caracteristica φ(ω) pleacă de la -90° şi evoluează spre -270°. Avem: )01.0(arctg)2(arctg90)( ω−ω−°−=ωϕ (4.59) Diagrama Bode corespunzătoare este dată în Fig.4.16.

Fig.4.16.

Pentru sistemul iniţial avem o margine de fază °= 2mF şi o margine de amplificare dB6mA = .


82

Răspunsul indicial al sistemului necompensat este dat în Fig.4.17. Se observă că răspunsul este oscilant, slab amortizat, având un timp mare de răspuns.

Fig. 4.17.

Trebuie compensate: °=°−−=ϕα 453mm FFimpm (4.60)

Din relaţia α+α−

=ωϕα 11)(sin m , rezultă 1971.0

sin1sin1

m

m =ϕ+ϕ−

=αα

α .

Pentru această valoarea a lui α avem dB14lg20 −=α . Valoarea atenuării introdusă de compensator în pulsaţia mαω este

dB46.7lg20 −=α . Pulsaţia mαω se alege de pe caracteristica HdB(ω) astfel încât să avem:

dB46.7lg20)(H mdB =α−=ωα , altfel spus, mαω va fi pulsaţia în care caracteristica atenuare-frecvenţă a sistemului corectat va intersecta linia de 0 dB. Rezultă 25.3m =ωα [rad/s]. Se poate calcula acum constanta de timp a corectorului:

7271.01Tm

=αω

=α

α [s]. (4.61)


83

Rezultă pentru corector funcţia de transfer:

s1433.01s7271.011971.0

sT1sT1

)s(H++

=α++

α=α

αα (4.62)

Pentru sistemul compensat, noile valori pentru marginea de amplificare şi marginea de fază sunt °== 51m,dB29m FcAc . Caracteristicile Bode ale sistemului necompensat (1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date în Fig.4.18.

Fig. 4.18.

Răspunsul indicial al sistemului compensat este dat în Fig.4.19. Se observă o ameliorare a răspunsului, un timp de răspuns foarte bun şi o suprareglare situată în jurul a 25%.


84

Fig. 4.19.

4.3. Element de corecţie cu întârziere de fază Structura acestui tip de corector, realizat numai cu elemente pasive, este dată în Fig.4.20.

Fig. 4.20.

Considerăm şi în acest caz că elementul conectat la ieşirea circuitului de corecţie are o impedanţă mare de intrare şi nu constituie o sarcină pentru acesta. Avem:

U1(s) U2(s)

R1

R2

C2


85

2

22

222

11

sCRsC1

sC1R)s(Z

R)s(Z+

=+=

= (4.63)

Privind structura ca un divizor, putem scrie:

)s(U

sCRsC1R

sCRsC1

)s(U)s(Z)s(Z

)s(Z)s(U 1

2

221

2

22

121

22 +

+

+

=+

= (4.64)

Funcţia de transfer a corectorului este:

22

2

21

22

1

2

CRR

RRs1

CsR1)s(U)s(U)s(H

++

+==β (4.65)

Notăm:

1R

RR

2

21 >+

=β (4.66)

22CRT =β [s], constanta de timp (4.67) Rezultă:

sT1

sT1)s(H

β

ββ β+

+= (4.68)

4.3.1. Răspunsul la frecvenţă al corectorului cu întârziere de fază Răspunsul la frecvenţă este:

β

ββ βω+

ω+=ω

Tj1Tj1

)j(H (4.69)

222

22

T1T1

)j(Hβ

ββ ωβ+

ω+=ω (4.70)

)T(arctg)T(arctg)( βββ βω−ω=ωϕ (4.71) Caracteristica atenuare-frecvenţă este dată de:


86

22222dB

T1lg20T1lg20)j(H βββ ωβ+−ω+=ω (4.72)

Pulsaţiile de frângere sunt 121 T1,

T1

ω>=ωβ

=ωββ

, (β < 1).

Se pot trasa acum caracteristicile Bode: • Asimptota de joasă frecvenţă:

Pentru ,1ω<ω 0)j(H

dB=ωβ (4.73)

• Asimptota de medie frecvenţă: Pentru ,21 ω<ω<ω

)Tlg(20

T1lg20)j(H 222dB

β

ββ

βω−≅

≅ωβ+−=ω (4.74)

având o pantă de -20[dB/dec]. • Asimptota de înaltă frecvenţă:

Pentru ,2ω>ω β−=βω−ω≅ω βββ lg20)Tlg(20)Tlg(20)j(H

dB (4.75)

Valorile defazajului introdus la capetele benzii de frecvenţă sunt: 0)(lim)(lim

0=ωϕ=ωϕ β∞→ωβ→ω

(4.76)

Deoarece β > 1, )T(arctg)T(arctg ββ βω<ω , 0)( >ωϕβ . Valoarea defazajului introdus de element este: )T(arctg)T(arctg)( βββ βω−ω=ωϕ (4.77) Valoarea ωβm pentru care defazajul φβ(ω) este minim este dată de relaţia:

0d

)(d=

ω

ωϕβ (4.78)

Formula de calcul este asemănătoare cu aceea de la corectorul cu avans de fază, şi anume:

β

=ωβ

β T1

m (4.79)

Valoarea maximă a defazajului este:

)(arctg)1(arctg)()( mm β−β

=ωϕ=ωϕ βββ (4.80)


87

β+β−

=ωϕβ 11)(sin m , (4.81)

de unde se poate calcula:

β+β−

=ωϕ=ωϕ βββ 11arcsin)()( mm (4.82)

Valoarea modulului pentru pulsaţia ωβm este:

β

=

ββ+

β+

=ω

ββ

ββ

ββ1

TT11

TT11

)j(H2

22

22

m (4.83)

Caracteristicile Bode ale corectorului sunt date în Fig.4.21.

Fig. 4.21.

Defazajul maxim depinde numai de β, iar pulsaţia la care acest defazaj se obţine depinde de β şi Tβ. 4.3.2. Loculde transfer al corectorului cu întârziere de fază Pentru a se trasa locul de transfer, se reia răspunsul la frecvenţă şi se separă partea reală şi partea imaginară:

|Hβ(jω)|dB

φ(ω)

φβm

-20lgβ

ββT1

βT1

ββT1

ω[dec]

ω[dec]

-90°

0

0


88

222222

22

T1T)1(

jT1T1

Tj1Tj1

)j(H

β

β

β

β

β

ββ

ωβ+

ωβ−+

ωβ+

βω+=

=αω+

ω+=ω

(4.84)

Se notează:

222

222

22

T1T)1(

)j(HImV

T1T1

)j(HReU

β

ββ

β

ββ

ωβ+

ωβ−=ω=

ωβ+

βω+=ω=

(4.85)

Pentru uşurinţa calculelor, se face notaţia: ββω= Tx (4.86) Părţile reală şi imaginară ale funcţiei de transfer, U şi V, sunt de forma:

2

2

2

x1x1V

x1x1U

+ββ−

=

++β

β=

(4.87)

Se elimină x între cele două relaţii şi se obţine ecuaţia locului de transfer de forma:

2

2

2

2

11V

2

11U

β

−=+

β

+− (4.88)

Această relaţie reprezintă ecuaţia unui cerc cu centrul în

punctul )0,2

11(C β

+, şi de rază

2

11R β

−= .

Deoarece β > 1, avem V < 0, deci pentru pulsaţii între 0 şi +∞, locul de transfer este dat de semicercul situat sub axa reală, ca în Fig.4.22.


89

Fig. 4.22.

Locul de transfer este similar celui cu avans de fază, numai că este în cadranul IV (simetric faţă de axa reală), iar locul lui α este luat de 1/β. 4.3.3. Intervenţia corectorului cu întârziere de fază asupra locului de transfer al sistemului iniţial Modul în care compensatorul cu întârziere de fază modifică locul de transfer al sistemului este prezentat în Fig.4.23. Locul de transfer al sistemului iniţial, notat cu (1) arată că sistemul în buclă închisă este stabil, dar are o margine de fază şi de amplificare necorespunzătoare. Prin introducerea compensatorului cu avans de fază, locul de transfer al sistemului, notat cu (2), se obţine prin compunerea punct cu punct a locului de transfer ale sistemului iniţial şi locul de transfer al compensatorului cu întârziere de fază, reprezentat prin semicercul situat în cadranul IV. Concret, pentru o anumită pulsaţie ω*, modulul funcţiei de transfer al sistemului se modifică de la valoarea *)(H ω la valoarea *)(H*)(H ωω β iar argumentul se modifică de la valoarea *)(ωϕ la valoarea

*)(*)( ωϕ+ωϕ β . Cum 1*)j(H <ωβ , rezultă că, pentru pulsaţia ω*, modulul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mic decât modulul funcţiei de transfer a sistemului iniţial.

ReHβ(jω)

ImHβ(jω)

2

11β

+

1

Hβ(jω)

ω=0

ωβm

φβm

β1


90

Deoarece 0*)( <ωϕβ , rezultă că argumentul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mare decât argumentul funcţiei de transfer a sistemului iniţial. Aşa cum rezultă din Fig.4.23, se modifică în sensul îmbunătăţirii, atât marginea de fază cât şi marginea de amplificare.

Fig. 4.23.

4.3.4. Intervenţia corectorului cu întârziere de fază asupra caracteristicilor Bode ale sistemului iniţial Efectul introducerii compensatorului cu întârziere de fază poate fi observat şi pe caracteristicile Bode prezentate în Fig.4.24. Având în vedere faptul că avem, pentru caracteristica atenuare-pulsaţie, o reprezentare logaritmică, acest lucru permite obţinerea caracteristicilor sistemului compensat prin sumarea caracteristicilor funcţiei de transfer a sistemului iniţial cu cele ale compensatorului cu avans de fază.

Re

Im

2

11β

+

1

Hβ(jω*)

ω=0

ω=ω*

H(jω*)

H(jω*)Hβ(jω*)

(-1, j0)

φ(ω*)

φ(ω*)

ω=ω*

ω=ω*

(1)

(2)

ω=0

β1


91

Caracteristicile atenuare-frecvenţă şi fază-frecvenţă ale sistemului compensat (3) se obţin prin sumarea caracteristicilor sistemului iniţial (1) cu cele ale compensatorului cu întârziere de fază, (2) . Pe caracteristicile prezentate sunt evidenţiate marginile de fază şi de amplificare ale sistemului necompensat (n) şi compensat (c). Marginea de amplificare este definită , la nivelul acestor caracteristici prin

dBA )j(H0m πω−= , unde ωπ este pulsaţia pentru care φ(ω π) = -180°. Se observă că atât sistemul necompensat cât şi cel compensat au o margine de amplificare pozitivă, marginea de amplificare a sistemului compensat fiind mai mare. De remarcat faptul că, în situaţia prezentată, pulsaţia ωπ pentru care este definită marginea de amplificare este aceeaşi, atât pentru sistemul necompensat cât şi pentru cel compensat. Marginea de fază este definită prin )(180m 1F ωϕ+°−= , unde ω1 este pulsaţia pentru care modulul funcţiei de transfer este 1, adică

0)j(HdB1 =ω .

Pentru situaţia prezentată, se observă că atât sistemul necompensat cât şi sistemul compensat au o margine de fază pozitivă, sistemul compensat având o margine de fază foarte bună în comparaţie cu sistemul necompensat.

Fig.4.24.


92

Introducerea compensatorului cu întârziere de fază lasă nemodificate caracteristicile Bode în zona frecvenţelor joase, şi micşorează amplificarea în zona frecvenţelor înalte (introduce o atenuare suplimentară a acestor frecvenţe), ceea ce duce la modificarea performanţelor în regim dinamic. 4.3.5. Corector cu întârziere de fază cu amplificare Dacă sistemul permite o creştere a amplificării în zona frecvenţelor joase, atunci este posibilă introducerea unui factor de amplificare suplimentar care să ridice caracteristica atenuare-frecvenţă a compensatorului în zona frecvenţelor joase. Funcţia de transfer a compensatorului devine:

sT1

sT1k)s(H k

β

ββ β+

+= (4.89)

Dacă avem k = β, atunci caracteristicile Bode arată ca în Fig.4.25.

Fig.4.25.

Singura care se modifică este caracteristica atenuare-frecvenţă. Aceasta este deplasată pe verticală cu valoarea 20lgβ (>0). Exemplul 4-2.

|Hβ(jω)|dB

φ(ω)

φβm

20lgβ

ββT1

βT

1

ββT1

ω[dec]

ω[dec]

-90°

0

0


93

Se consideră sistemul de reglare automată având structura din Fig.4.26.

Fig.4.26.

Funcţia de transfer a căii directe este:

)s1.01)(s1(s

5)s(H++

= (4.90)

Se cere să se determine structura corectorului care să asigure o margine de fază de 40°. Caracteristicile Bode pentru funcţia de transfer a căii directe sunt date în Fig.4.27.

Fig.4.27.

R(s) Y(s)

- Hβ(s) H(s)


94

Marginile de amplificare şi de fază ale sistemului iniţial sunt: °== 5.13m,dB8.6m FA

Răspunsul indicial al sistemului iniţial este slab amortizat, cu un timp de răspuns mare, ca în Fig.4.28.

Fig.4.28.

Se caută pulsaţia pentru care

°−=°++°−=ωϕ 1355m180)( impF (4.) Pulsaţia corespunzătoare acestui defazaj este ω* = 0,84 [rad/s]. Pentru această pulsaţie, valoarea atenuării este: dB13*)(HdB =ω . Pulsaţia de frângere a compensatorului (pulsaţia superioară) se alege cu cel puţin o decadă mai mică decât pulsaţia ω*, adică:

041.020

*T1

2 =ω

==ωβ

(4.91)

Rezultă valoarea constantei de timp Tβ = 24.39 [s]. Din relaţia dB13*)(Hlg20 dB =ω=β , se poate determina valoarea lui β. Se obţine 46.410 20/13 ==β . Cealaltă pulsaţie de frângere a compensatorului se determină cu relaţia:


95

0092.0T1

1 =β

=ωβ

(4.92)

Funcţia de transfer a corectorului este deci:

0092.0s041.0s

46.41

ss1

Ts1sT1

)s(H1

2

++

=ω+ω+

β=

β+

+=

β

ββ (4.93)

Marginile de amplificare şi de fază ale sistemului compensat sunt: °≅≅ 43m,dB19m FcAc .

Caracteristicile Bode ale sistemului iniţial (1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date în Fig.4.29.

Fig.4.29.

Răspunsul indicial al sistemului compensat este dat în Fig.4.30. Se constată o îmbunătăţire a răspunsului sistemului prin creşterea marginii de fază.


96

Fig.4.30.

4.4. Element de corecţie cu avans şi întârziere de fază Un asemenea element de corecţie se obţine prin conectarea a două elemente de corecţie, unul cu avans iar celălalt cu întârziere de fază, separate între ele printr-un amplificator operaţional având impedanţa de intrare foarte mare şi impedanţa de ieşire mică. De asemenea, considerăm că elementul ce urmează celui de-al doilea corector are o impedanţă de intrare suficient de mare. Pentru a nu fi condiţionaţi prea mult de această impedanţă de intrare, o variantă ar fi utilizarea unui amplificator operaţional inversor după corectorul cu întârziere care să restabilească faza semnalului în situaţia în care amplificatorul intermediar este inversor. Pentru acest element rezultă structura din Fig.4.31.


97

Fig.4.31.

Pentru elementele evidenţiate cu (1), (2), (3) şi (4), avem următoarele relaţii:

• sT1

sT1)s(H

α

αα α+

+α= (4.94)

• α

−=+

−=1

RRR1A

2

21 (4.95)

• sT1

sT1)s(H

β

ββ β+

+= (4.96)

• 11A −= (4.97) unde:

1RR

R

21

2 <+

=α , 1R

RR

4

43 >+

=β , (4.98)

11CRT =α [s], 44CRT =β [s]. (4.99) Aceste elemente fiind conectate în serie, funcţia de transfer echivalentă este:

sT1

sT1sT1

sT1)s(H

β

β

α

ααβ β+

+

α++

= (4.100)

Cel mai adesea, acest corector este astfel realizat încât atenuarea să fie nulă la ambele capete ale benzii de frecvenţă (0, ∞), adică:

11sT1

sT1sT1

sT1lim)0(Hs

=αβ

=β+

+

α++

=β

β

α

α

∞→αβ (4.101)

însemnând:

U2(s)

R3

R4

C4 U1(s)

R1 R2

C1

>A1 >A2

1 2 3 4


98

0)(Hlim)0(HdBdB=ω= αβ∞→ωαβ (4.102)

Rezultă de aici 1=αβ , adică α

=β1 , β > 1, α < 1.

Constantele de timp se aleg astfel încât pulsaţiile de frângere ale caracteristicii atenuare-frecvenţă (Bode) să fie ordonate astfel: 2121 ββαα ω<ω<ω<ω (4.103) unde:

α

αα

α α=ω=ω

T1,

T1

21 (4.104)

β

ββ

β =ωβ

=ωT1,

T1

21 (4.105)

cu 11CRT =α [s], 44CRT =β [s]. Ţinând seama de rezultatele obţinute, pentru elementul cu avans de fază şi respectiv întârziere de fază, caracteristicile Bode pentru elementul cu avans-întârziere arată ca în Fig.4.32. Locul de transfer se obţine prin compunerea locurilor de transfer a celor două elemente şi are aspectul din Fig.4.33. Intervenţia asupra sistemului automat a acestui corector poate fi explicată atât la nivelul locului de transfer, care va fi puternic deformat în zona situată în proximitatea punctului critic (-1, j0), dar şi în zona situată în cadranul III, la intersecţia cu cercul unitate cu centrul în origine. Se modifică astfel Se modifică astfel marginea de fază şi marginea de amplificare. Locul de transfer nu se modifică la frecvenţe joase şi nici la frecvenţe înalte, ceea ce înseamnă că performanţele de regim staţionar ale sistemului vor fi conservate. Modificări importante vor avea loc în ceea ce priveşte stabilitatea: stabilizarea sistemului cu atingerea rezervei de stabilitate impuse în cazul sistemului instabil sau îmbunătăţirea stabilităţii în cazul sistemului stabil.


99

Fig.4.32.

Fig.4.33.

Caracteristica atenuare frecvenţă este lăsată nemodificată la frecvenţe joase şi înalte, îmbunătăţind marginea de amplificare. Caracteristica fază-frecvenţă este modificată în aceeaşi zonă, ameliorând marginea de fază. 4.4.1. Corector cu avans şi întârziere de fază realizat cu elemente pasive

ReHαβ(jω)

ImHαβ(jω)

ω=0 ω=∞

|Hαβ(jω)|dB

φαβ(ω)

20lgα

ω[dec]

ω[dec]

0

ωα1 ωα2 ωβ1 ωβ2


100

Cel mai simplu de realizat şi destul de frecvent utilizat este corectorul cu avans-întârziere obţinut numai cu elemente pasive, ca în Fig.4.34.

Fig.4.34.

Impedanţele celor două grupuri RC sunt:

1

11 sC1||R)s(Z = (4.106)

11

11 CsR1

R)s(Z+

= (4.107)

2

22

222 sC

RsC1sC

1R)s(Z +=+= (4.108)

Reaşezând elementele corectorului sub forma unui divizor, putem scrie:

)s(Z)s(Z

)s(Z)s(U)s(U)s(H

21

2

1

2

+==αβ (4.109)

Notăm: 11CRT =α [s], 22CRT =β [s]. (4.110) Rezultă:

21

2

1

2

CsR)sT1)(sT1()sT1)(sT1(

sCsT1

sT1R

sCsT1

)s(H+++

++=

++

+

+

=βα

βα

β

α

β

αβ (4.111)

Numitorul poate fi descompus dacă se notează 21CRT = [s] şi se face identificarea sub forma:

)Ts1)(Ts1(sT)sT1)(sT1( βαβα β+α+=+++ , cu αβ = 1. (4.112) Rezultă:

U1(s) U2(s)

R1

R2

C2

C1


101

ββα β+α=++ TTTTT a (4.113) Se alege perechea de valori α şi β astfel încât α β = 1 şi egalitatea de mai sus să fie satisfăcută (α<1 şi β>1). Rezultă o funcţie de trasnfer de forma:

)Ts1)(Ts1(

)sT1)(sT1()s(H

βα

βααβ β+α+

++= (4.114)

deci un corector cu avans-întârziere de fază. Exemplul 4-3. Considerăm un sistem de reglare automată având structura din Fig.4.36.

Fig.4.35.

Funcţia de transfer a părţii fixate este:

)s1)(s25.01(s

k)s(H++

= (4.115)

Se cere determinarea structurii unui compensator cu avans-întârziere de fază astfel încât coeficientul erorii de viteză să fie kv=10[s-1], marginea de fază de 50° iar marginea de amplificare de minim 10 dB. Vom considera corectorul de forma:

)Ts1)(Ts1()sT1)(sT1(

)s(Hβα

βααβ β+α+

++= cu α < 1, β > 1 şi αβ = 1. (4.116)

Rezultă că: 1)s(Hlim)s(Hlim

s0s== αβ∞→αβ→

(4.117)

Coeficientul erorii de viteză este:

101k)s(H)s(sHlimk

0sv === αβ→. Rezultă k = 10. (4.118)

Eroarea de viteză este

R(s) Y(s)

- Hαβ(s) H(s)


102

101

k1

vst ==ε [s] (4.119)

Sistemul are deci funcţia de transfer a căii directe:

)1s)(4s(s

40)s1)(s25.01(s

10)s(H++

=++

= (4.120)

Caracteristicile Bode pentru G(s) arată ca în Fig.4.36.

Fig.4.36.

Sistemul este de ordin III, tip 1. Rezultă pentru sistem o margine de fază mF = -15° şi o margine de amplificare mA = -6 dB. Pulsaţia pentru care se obţine această margine de amplificare este ωA = 2 [rad/s], iar marginea de fază este pentru ωF = 2.8 [rad/s]. Sistemul este instabil. Răspunsul indicial al sistemului este dat în Fig.4.37. Următorul pas este alegerea noii pulsaţii de tăiere a amplificării (intersecţia cu linia de 0 dB a caracteristicii atenuare-frecvenţă). Deoarece ωA = 2 [rad/s] este pulsaţia pentru care argumentul este de -180°, se alege această pulsaţie ca fiind noua valoare a pulsaţiei de tăiere a amplificării. Deoarece marginea de fază impusă este de 50°, suplimentul de fază introdus de compensator în pulsaţia ω = 2 [rad/s] trebuie să fie de 50°.


103

Odată aleasă noua pulsaţie de frângere ω = 2 [rad/s], se pot determina pulsaţiile de frângere ale compensatorului cu întârziere de fază.

Fig.4.37.

Se alege pulsaţia β

β =ωT1

2 ca fiind cu o decadă mai mică decât pulsaţia

ω = 2 [rad/s], adică 2.02 =ωβ [rad/s]. Valoarea minimă a defazajului introdus de compensatorul cu întârziere de fază este mβϕ , cu:

β+β−

=ωϕβ 11)(sin m (4.121)

Pentru β = 10, rezultă °−≅ϕβ 55m . Deoarece αβ = 1, rezultă că şi partea cu avans de fază va interveni cu aceeaşi valoare maximă a defazajului, de 55°, deci vom avea α = 0.1.

Deoarece β = 10, se poate calcula acum pulsaţia 02.0T1

1 =β

=ωβ

β

[rad/s]. Deci, pentru partea de întârziere de fază, structura corectorului este:


104

β

β

β

ββ

β+

+

=β+

+β=

T1s

T1s

sT1sT1

)s(H (4.122)

s501

s511002.0s2.0s)s(H

++

=++

=β (4.123)

Avem α = 1/10, înseamnă că valoarea maximă a atenuării introduse de partea de avans de fază este dB20lg20 −=α . Pante este de 20 [dB/dec]. Se trasează, pe caracteristica HdB(ω) o dreaptă cu o pantă de 20 [dB/dec] ce trece prin punctul (-6 dB, 2 rad/s) pentru a compensa, la această pulsaţie, valoarea de 6 dB de pe caracteristica HdB(ω). Intersecţia acestei drepte cu linia de 0 dB va furniza pulsaţia ωα2 iar intersecţia cu linia de -20 dB ne va furniza pulsaţia ωα1. Rezultă ecuaţia dreptei: )2lgx(lg206y −=+ (4.124) Pentru:

• 4x,2102x,0y 20/6 =⇒≅=⇒= . (4.125)

• 4.0x,2.0102x,20y 20/14 =⇒≅=⇒−= − . (4.126)

Deci pulsaţiile pentru care dreapta intersectează liniile de 0 dB şi respectiv -20 dB sunt:

]s/rad[4T1]s/rad[,4.0

T1

21 =α

=ω==ωα

αα

α (4.127)

Rezultă pentru partea de avans de fază funcţia de transfer a corectorului de forma:

4s4.0s

s25.01s5.21

101

sT1sT1

)s(H++

=++

=α++

α=α

αα (4.128)

Corectorul cu avans-întârziere va fi dat de produsul celor două funcţii de transfer:

02.0s2.0s

4s4.0s)s(H)s(H)s(H

++

++

== βααβ (4.129)

s25.01s5.21

s501s51)s(H

++

++

=αβ (4.130)


105

Avem: α = 0.1, β = 10, şi constantele de timp Tβ = 5 [s] , βTβ = 50 [s] , Tα = 2.5 [s] , αTα = 0.25 [s] . Caracteristicile Bode ale sistemului necorectat (1) ale corectorului cu avans-întârziere (2) şi ale sistemului corectat (3) sunt date în Fig.4.38. Răspunsul indicial al sistemului corectat este dat în Fig.4.39.

Fig.4.38.


106

Fig.4.39.

4.5. Comparaţie între corectoarele prezentate Corectorul cu avans de fază este frecvent utilizat pentru îmbunătăţirea stabilităţii. Un corector cu avans de fază asociat cu un amplificator, pentru a conserva amplificarea la joasă frecvenţă, conduce la creşterea benzii de trecere a sistemului de reglare automată. Acest lucru înseamnă reducerea duratei regimului tranzitoriu. Banda de trecere a unui sistem cu avans de fază este întotdeauna mai mare decât a unui sistem corectat prin întârziere de fază. Atunci când este dorit un timp de răspuns cât mai mic şi o bandă de trecere cât mai mare se va utiliza corectorul cu avans de fază. Dacă zgomotul de înaltă frecvenţă afectează sistemul, atunci o bandă de trecere prea largă nu este de dorit din cauza amplificării suplimentare a zgomotului, lucru nedorit în cadrul sistemului de reglare automată. Corectorul cu întârziere de fază reduce amplificarea la frecvenţe înalte, fără afectarea amplificării în zona frecvenţelor joase. Rezultă că banda de trecere este diminuată, iar timpul de răspuns al sistemului este mărit. Din cauza reducerii amplificării în zona frecvenţelor înalte, se poate avea în


107

vedere o amplificare totală la nivelul căii directe, îmbunătăţind astfel foarte mult regimul staţionar. Zgomotele de înaltă frecvenţă vor fi atenuare din cauza micşorării amplificării (în mod obişnuit) la aceste frecvenţe. Dacă este necesară atât o diminuare a timpului de răspuns cât şi o îmbunătăţire a regimului staţionar, poate fi folosit corectorul cu avans-întârziere de fază. Prin utilizarea acestui tip de corector, asociat cu un factor de amplificare, pot fi amplificate suplimentar frecvenţele joase (având ca efect diminuarea erorii staţionare) cât şi frecvenţele înalte (care determină creşterea benzii de trecere şi a vitezei de răspuns) cu îmbunătăţirea, în acelaşi timp, a stabilităţii sistemului. Din punctul de vedere al răspunsului sistemului de reglare automată având pe calea directă aceste tipuri de corectoare, răspunsurile la semnale de tip treaptă unitară sau rampă unitară sunt date astfel: în Fig.4.40, răspunsul sistemului necorectat, în Fig.4.41, răspunsul sistemului compensat prin avans de fază, în Fig.4.42, răspunsul sistemului compensat prin întărziere de fază, iar în Fig.4.43, răspunsul sistemului compensat cu avans-întârziere de fază.

Fig.4.40.

y(t) y(t)

t t

1 εst

y(t) y(t)

t t

1 εst


108

Fig.4.41.

Fig.4.42.

Fig.4.43.

4.6. Corecţia prin anulare Dacă în urma analizei sistemului de reglare automată se constată că acesta nu îndeplineşte cerinţele impuse şi este necesară menţinerea tipului sistemului, se poate apela a corecţia prin anulare. Acest tip de corecţie urmăreşte „înlocuirea” unui factor din funcţia de transfer a căii directe cu un alt factor care să asigure atingerea performanţelor impuse. Concret, dacă sistemul are un pol real negativ prea apropiat de origine, fapt care determină o comportare necorespunzătoare, acesta va fi „anulat” prin intermediul zeroului compensatorului şi „înlocuit” cu polul acestuia. Considerăm sistemul de reglare automată din Fig.4.44.

y(t) y(t)

t t

1 εst

y(t) y(t)

t t

1 εst


109

Fig.4.44.

Se urmăreşte eiminarea, prin intermediul corectorului, a polului p = -1/T, adică a constantei de timp T ce are o valoare prea mare. Această eliminare este posibilă dacă funcţia de transfer a compensatorului este de forma:

sT1

Ts1)s(H1

a ++

= (4.131)

Rezultă funcţia de transfer a căii directe:

)sT1(s

k)Ts1(s

ksT1

Ts1)s(H11 +

=++

+= (4.132)

Este anulat astfel efectul polului p = -1/T şi înlocuit cu polul p = -1/T1, deci constanta de timp T este înlocuită cu constanta de timp T1, mult mai mică. Această metodă poate fi aplicată şi atunci când funcţia de transfer a sistemului deschis are poli complex conjugaţi. Dacă poziţia polilor în planul complex este necorespunzătoare, atunci este posibilă înlocuirea acestora cu o altă pereche de poli cu o poziţie convenabilă în planul complex, care să furnizeze termenului de gradul al doilea o amortizare şi o pulsaţie naturală dorite. Acest lucru este posibil prin anularea efectului perechii de poli cu o pereche de zerouri a corectorului. Considerăm sistemul de reglare automată din Fig.4.45.

Fig.4.45.

R(s) Y(s)

- Ha(s)

)s2s(sk

2111

2 ω+ωξ+

R(s) Y(s)

- Ha(s) k

s(1+Ts)


110

4.6.1. Tipuri de corectoare prin anulare de ordinul II Corecţia prin anulare poate fi realizată dacă se foloseşte un corector având structura din Fig.4.46.

Fig.4.46.

Funcţia de transfer a acestui corector poate fi scrisă astfel:

1s)C2C(RsCCR

1sRC2sCCR)s(U)s(U)s(H

212

212

22

212

1

2a +++

++== (4.133)

Funcţia de transfer a căii directe a sistemului compensat este:

)s2s(sk

CCR1s

RC12

RC1s

CCR1s

RC2s

)s2s(sk)s(H)s(H

2111

2

212

12

2

212

1

2

2111

2a

ω+ωξ++

++

++=

=ω+ωξ+

=

(4.134)

Dacă se dimensionează corectorul astfel încât:

21

21211

1 CCR1;2

RC2

ω=ωξ= , (4.135)

atunci funcţia de transfer a căii directe devine:

)s2s(s

k)s(H 2112

2 ω+ωξ+= (4.136)

Noua componentă de ordinul II poate fi aleasă prin valorile:

R R

C2

C1 U1(s) U2(s)


111

22

21

212

1212

CCR1

2RC

12RC1

ω=ω=

ωξ=+ (4.137)

Deoarece termenul liber, 21ω , este impus prin partea iniţială a funcţiei de

trasnfer, se poate interveni asupra factorului de amortizare prin intermediul termenului 122 ωξ , valoarea 112 ωξ fiind, de asemenea, dată iniţial şi „anulată” de către compensator. O altă structură RC utilizată pentru acest tip de corecţie este dată în Fig.4.47. Funcţia de transfer corespunzătoare este:

1Cs)R2R(sCRR

1CsR2sCRR)s(U)s(U)s(H

1222

21

122

21

1

2a +++

++== (4.138)

În această situaţie, funcţia de transfer a căii directe este:

Fig.4.47.

)s2s(sk

CRR1s

CR12

CR1s

CRR1s

CR2s

)s2s(sk)s(H)s(H

2111

2

22121

2

2212

2

2111

2a

ω+ωξ++

++

++=

=ω+ωξ+

=

(4.139)

Dacă se alege grupul de componente astfel încât

R2

C

U1(s) U2(s)

C

R1


112

212

2111

2 CRR1;2

CR2

ω=ωξ= (4.140)

atunci putem scrie că:

)s2s(s

k)s(H 2112

2 ω+ωξ+= (4.141)

unde:

22

212

21

1221

CRR1

2CR

12CR

1

ω=ω=

ωξ=+ (4.142)

Din punct de vedere teoretic, corecţia prin anulare este foarte uşor de realizat. În practică însă, această „anulare” este dificil de realizat din cauza imposibilităţii amplasării ansamblului pol-zerou cu mare precizie. Dacă această anulare nu este facută foarte precis, ea poate cauza un răspuns cu amplitudine redusă şi cu o componentă de regim tranzitoriu ce se stinge foarte greu. Dacă anularea nu este exactă dar este suficient de bună, atunci această componentă tranzitorie va fi destul de mică. 4.7. Elemente de corecţie introduse pe calea de reacţie locală Această medotă de corecţie este utilă atunci când pe calea directă există elemente cu caracteristici mai puţin constante în timp. Folosind legătura inversă locală, se poate inlocui, pe un anumit interval de frecvenţe, funcţia de transfer a elementului de pe calea directă cu funcţia de transfer a elementului de corecţie, situat pe legătura inversă. Se consideră sistemul având structura din Fig.4.48. Pentru sistemul necorectat, fără Hα(s) pe calea de reacţie locală, funcţia de transfer a căii directe este:

R(s) Y(s)

- G1(s) G2(s) G3(s)

Hα(s)

+ -


113

Fig.4.48. )s(G)s(G)s(G)s(H 321= (4.143) Pentru sistemul închis, funcţia de transfer este:

)s(G)s(G)s(G1

)s(G)s(G)s(G)s(H

321

3210 +

= (4.144)

Dacă se foloseşte reacţia locală pe elementul G2(s), atunci funcţia de transfer a sistemului deschis devine:

)s(G)s(H)s(G1

)s(G)s(G)s(H 32

21

*

α+= (4.145)

În această situaţie, pentru sistemul închis, avem funcţia de transfer:

)s(H)s(G)s(G)s(G)s(G1)s(G)s(G

)s(H1)s(H)s(H

2321

21*

**0

α++=

+= (4.146)

Dacă 1)j(H)j(G 2 <<ωω α , înseamnă că pentru aceste frecvenţe, legătura de reacţie locală este slabă, şi sistemul se comportă ca şi cum Hα(s) nu ar exista, având funcţia de transfer pe calea directă H(s) şi în buclă închisă H0(s). Dacă avem 1)j(H)j(G 2 >>ωω α , atunci putem considera că: )s(H)s(G)s(H)s(G1 22 αα ≅+ , (4.147) pentru aceste frecvenţe, şi deci funcţia de transfer a sistemului deschis se poate scrie:

)s(H

)s(G)s(G)s(G

)s(H)s(G)s(G)s(G)s(H 31

32

21

*

αα

=≅ (4.148)

În aceste condiţii, funcţia de transfer în buclă închisă devine:

)s(H)s(G)s(G

1

)s(H)s(G)s(G

)s(H)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(H31

31

31

31*0

α

α

α +=

+= (4.149)

Aceasta arată că sistemul de reglare este echivalent cu sistemul prezentat în Fig.4.49.


114

Fig.4.49.

Este exact ca şi cum funcţia de transfer G2(s) este înlocuită, pe intervalul de frecvenţe pentru care 1)j(H)j(G 2 >>ωω α cu funcţia de transfer

)s(H1

α

.

Comportarea sistemul în cele două situaţii prezentate poate fi analizată dacă se trasează caracteristicile Bode pentru cele două funcţii de transfer ale sistemului deschis: 1. )s(G)s(G)s(G)s(H 321= pentru 1)j(H)j(G 2 <<ωω α ,

2. )s(G)s(H

1)s(G)s(H 31α

= pentru 1)j(H)j(G 2 >>ωω α .

Cele două caracteristici H(ω) sunt date în Fig.4.51.

Fig.4.50.

Intersecţia acestor două caracteristici este dată de punctele A şi B. În anumite situaţii, unul dintre aceste două puncte poate să lipsească, fiind rejectat către valoarea 0 sau ∞. În aceste puncte avem:

)(G)(H

1)(G)(G)(G)(G 31321 ωω

ω=ωωωα

(4.150)

(1) )s(G)s(G)s(G)s(H 321=

(2) )s(G)s(H

1)s(G)s(H 31α

= A

B

H(ω)

ω

R(s) Y(s)

- G1(s) 1

Hα(s) G3(s)


115

unde: )j(H)(H,)j(G)(G ii ω=ωω=ω αα (4.151) Rezultă: 1)(H)(G 2 =ωω α , (4.152) adică:

)(G

1)(H2 ω

=ωα (4.153)

Pentru sistemul corectat, având în vedere situaţiile pentru care 1)j(H)j(G 2 <<ωω α sau 1)j(H)j(G 2 >>ωω α , caracteristica

amplitudine-pulsaţie pentru sistemul corectat este aproximată în Fig.4.50 cu linie continuă. 4.8. Corecţia sistemelor cu timp mort. Predictorul Smith Se consideră sistemul dat în Fig.4.51:

Fig.4.51.

Efectele provocate de prezenţa timpului mort în interiorul buclei de reglare pot fi eliminate printr-o reacţie locală paralelă, ca în Fig.4.52.

Fig.4.52.

R(s) Y(s)

- C(s) G(s)e-τs

C1(s)

+ -

ε(s)

R(s) Y(s)

- C(s) G(s)e-τs

ε(s)


116

Funcţia de transfer a căii directe a sistemului corectat este:

s

1

e)s(G)s(C)s(C1

)s(C)s(H τ−

+= (4.154)

Pentru sistemul în buclă închisă, avem:

( )s1

s

s1

s

0

e)s(G)s(C)s(C1e)s(G)s(C

e)s(G)s(C)s(C)s(C1e)s(G)s(C

)s(H1)s(H)s(H

τ−

τ−

τ−

τ−

++=

=++

=+

=

(4.155)

Dacă se alege corectorul C1 astfel încât să avem )s(Ge)s(G)s(C s1 =+ τ− ,

adică )e1)(s(G)s(C s1

τ−−= , fizic realizabil, atunci funcţia de transfer în buclă închisă devine:

s0 e

)s(G)s(C1)s(G)s(C)s(H τ−

+= (4.156)

iar structura sistemului de reglare devine cea din Fig.4.53.

Fig.4.53.

Se observă că timpul mort este scos în afara buclei de reglare, influenţa negativă a acestuia, în privinţa stabilităţii sistemului, fiind astfel eliminată. Totuşi, efectul timpului mort nu este eliminat în ceea ce priveşte relaţia intrare-ieşire.

R(s) Y(s)

- C(s) G(s)

ε(s) e-τs

capitolul 4 corecţia sistemelor de reglare automată · din punctul de vedere al modificărilor...

Documents