----- 67 -----

Capitolul 3. Fluxul câmpului electric Coulombian în vid.

Teorema fluxului (Legea lui Gauss).

3.1. Fluxul unui vector câmp. Unghiul solid.

a) În analiza vectorială o noţiune fundamentală pentru teoria câmpurilor de

vectori este integrala de suprafaţă a unui vector câmp G printr-o suprafaţă S:

GndS G dS GdS GdS

S

n

S S S

cos (3.1)

în care dS

este un element de suprafaţă orientat prin normala la suprafaţă n ,

G este

funcţia vectorială, considerată constantă în elementul de suprafaţă infinitezimal dS, iar

este unghiul dintre G şi

n , Fig.3.1.

Definiţie: integrala de suprafaţă a vectoru-

lui câmp G prin suprafaţa S poartă numele

de fluxul vectorului G prin suprafaţa S, şi

fiind exprimată prin:

GdS GdS

S S

cos (3.2)

Este evident că fluxul vectorului G este nul

printr-o suprafaţă nestrăbătută de liniile de

câmp (adică pentru care Gn

). În cazul

suprafeţelor închise, normala n se cosideră

pozitivă atunci când ea este orientată de la

interior spre exterior. În acest caz fluxul unui vector câmp este pozitiv atunci când din

suprafaţa respectivă ies liniile lui G şi negativ când liniile lui

G intră în suprafaţă.

b) Unghiul solid, este o mărime geome-

trică ce caracterizează deschiderea unui

con generalizat, sub care se vede conturul

dintr-un punct oarecare P, Fig.3.2.

Definiţie: unghiul solid este egal cu

câtul dintre aria pe care o interceptează

conul pe o sferă de rază r, cu centrul în P şi

pătratul acestei raze. Generatoarele conu-

Fig. 3.1 Fluxul câmpului vectorial G prin

suprafaţa S

Fig. 3.2. Definiţia unghiului solid

----- 68 -----

lui se află pe conturul care mărgineşte o suprafaţă deschisă S aşa cum se vede în

Fig. 3.2. Conform acestei definiţii, rezultă:

S

3

S

2

S

2

sf

R

RSd

R

cosdS

r

dS

sfera

(3.3)

Această mărime este caracterizată efectiv de deschiderea conului deoarece nu depinde

de raza r a sferei şi nici de suprafaţa S ci numai de conturul . Ultima formă din

relaţia (3.3) arată că unghiul solid este egal cu fluxul vectorului 3R/R

prin suprafaţa S

şi rezultă din faptul că pentru orice con elementar sprijinit de elementul de arie dS pe

S şi dSsf pe sferă există proporţionalatitatea:

d

R

SdR

R

cosdS

r

dS

R

dS322

sfera

2

ltransversa

(3.4)

Dacă suprafaţa S ocupă intregul spaţiu în jurul punctului P, transformându-se într-o

suprafaţă închisă care conţine punctul P, în interiorul ei, atunci:

4r

ddsinr

r

rSd

R

RSd

0

2

0

2

2

S

3

sf

S

3

f

(3.5)

Când punctul P este în afara unei suprafeţe curbe oarecare închise unghiul solid ia

valoarea zero = 0.

3.2. Forma integrală a teoremei fluxului electric (a Legii lui Gauss).

Prin definiţie, fluxul câmpului electrostatic E printr-o suprafaţă

S

este egal cu produsul scalar dintre vectorul E şi vectorul suprafaţă

S

adică este produsul dintre vectorul suprafaţă şi componenta normală a

câmpului, la aceasta. În cazul în care E este constant în modul, în orice

punct al suprafeţei, fluxul este dat de relaţia:

ES EScos (3.5)

Unghiul , este unghiul dintre vectorul

normal unitar la suprafaţă şi câmpul elec-

tric Fig.3.3. În general, când E variază de

la punct la punct în suprafaţa respectivă,

se poate defini întâi conform relaţiei (3.5) Fig. 3.3. Fluxul câmpului electric E prin suprafaţa S

----- 69 -----

un flux elementar prin elementul de suprafaţă dS orientat prin normala

n ,

în punctul P, ca fiind:

cosEdSdSESdEd n

(3.6)

şi atunci, fluxul total prin suprafaţa S va fi:

EdS

SE dS

SEdS

Sn cos

(3.7)

Mărimea ce caracterizează câmpul electric , definită de relaţia (3.5) se nu-

meşte flux, prin analogie cu ce se-ntâmplă la curgerea unui fluid printr-o

suprafaţă (unde de exemplu produsul Sv reprezintă fluxul de particule

dintr-un lichid, care străbat cu viteza v

, suprafaţa orientată S

şi se măsoară

în m3/s). Dar dacă, în cazul fluidului în curgere există ceva care trece prin

suprafaţa S

, în cazul fluxului electric nimic nu se "mişcă", nimic nu

"curge", câmpul electrostatic fiind staţionar.

a) Să presupunem acum că o suprafaţă S deschisă este străbătută de câmpul

electric creat de o sarcină punctiformă q. Considerând elementul de

suprafaţă dS centrat pe punctul P, aflat la distanţa r de sarcina punctiformă

q, Fig.3.4, fluxul elementar al

câmpului electric prin acest ele-

ment de suprafaţă va fi:

d EdSqrdS

r

qd

4 43 (3.8)

Fluxul câmpului electric, creat de

sarcina q prin elementul de supra-

faţă dS este proporţional cu

sarcina generatoare q şi cu

elementul de unghi solid d sub

Fig.3.4 Fluxul câmpului electric al unei sarcini

punctiforme printr-o suprafaţă deschisă

----- 70 -----

care se vede suprafaţa dS din punctul în care se află sarcina q. Fluxul total

prin suprafaţa S se obţine integrând relaţia (3.8), care conduce la:

qrdS

r

qd

q

S S

S

4 4 43

(3.9)

b) Se consideră, acum o suprafaţă închisă , care delimitează un volum

finit din spaţiu. Se va calcula fluxul câmpului electric produs de o sarcină

punctiformă q în trei cazuri particulare şi anume: (i) când sarcina

punctiformă q se află în interiorul suprafeţei ; (ii) când q se află în

exteriorul suprafeţei şi (iii) când sarcina q se află pe suprafaţa respectivă.

(i) Corp punctiform încărcat cu sarcina q, aflat în interiorul suprafeţei

Din punctul în care se află sarcina q, se pot imagina că pornesc mai multe

conuri cu deschiderea d. În Fig.3.5, sunt figurate două astfel de conuri.

Pentru conul care intersectează suprafaţa o singură dată:

d EdS

qrdS

r

qd

4 403

0

qd

q

S4 0 0 (3.10)

Deci fluxul câmpului electric al sarcinii punctiforme q prin suprafaţa

închisă este proporţional cu sarcina q a corpului punctiform din

interiorul ei. Pentru conul care intersectează suprafaţa de trei ori fluxul

este:

d d d dq r dS

r

q r dS

r

q r dS

r

q dS

r

dS

r

dS

r

qd d d

qd

1 2 30

1 1

13

0

2 2

23

3 3

33

0

1 1

12

2 2

22

3 3

32

0 0

4 4 4

4

4 4

cos cos cos

(3.11)

deoarece cos2 20 d d . Fluxul câmpului electric electric prin

suprafaţa va fi şi-n acest caz:

----- 71 -----

q

dq

4 0 0 (3.12)

Orice con cu vârful în punctul în care se află sarcina punctiformă q din

interiorul suprafeţei , va tăia suprafaţa de un număr impar de ori şi în

acord cu relaţia (3.11), la calculul fluxului total va contribui fluxul elemen-

tar prin primul element de arie dS1 interceptat de con pe suprafaţa . Din

această analiză se trage concluzia că fluxul câmpului electric creat de un

corp încărcat cu sarcina q aflat în interiorul unei suprafeţe , prin aceasta,

este direct proporţional cu sarcina din interiorul suprafeţei indiferent de

poziţia acesteia în interiorul ei:

EdS

qint

0 (3.13)

(ii) Corp punctiform încăr-

cat cu sarcina q, aflat în

exteriorul suprafeţei .

În acest caz un con cu des-

chiderea d, intersectează

suprafaţa de un număr

par de ori, Fig.3.6. Aşa

cum rezultă din această

figură, două câte două

fluxurile prin ariile

elemen-tare interceptate de

acelaşi con sunt egale şi de

semne contrarii.

Prin integrare pe suprafaţa

închisă , în cazul conului

Fig. 3.5. Suprafaţă închisă conţinând sarcina qi

----- 72 -----

care o intersectează de două ori, Fig.3.6, se obţine:

EdS E dS E dS

qd d

1 1 2 2 40

(3.14)

Deci câmpul unei sarcini punctiforme nu creiază flux printr-o suprafaţă

închisă, dacă sarcina este situată în exteriorul suprafeţei, deoarece liniile

câmpului electric fie că nu intersectează de loc suprafaţa, fie că o intersec-

tează de un număr par de ori.

(iii) Sarcina punctiformă aflată pe suprafaţa închisă .

Dacă sarcina electrică q' se află chiar pe suprafaţa închisă , Fig.3.7,

conform analizei prezentate în cele două cazuri descrise mai sus,

q

dq' '

4 2 (3.15)

În acest caz unghiul solid

sub care se vede suprafaţa

închisă, dintr-un punct al ei

este egal cu jumătate din

unghiul solid intreg, (2).

Se consideră acum o supra-

faţă închisă care închide

un volum finit V din spaţiu.

Presupunând, că în interiorul

suprafeţei se găseşte o distri-

buţie discretă de sarcini

Fig. 3.6. Suprafaţă închisă care nu conţine sarcina

electrica în interiorul ei

Fig. 3.7. Suprafaţă închisă conţinând sarcina qs, chiar

pe suprafaţa

----- 73 -----

Q qi ii

n

1

, în exteriorul suprafeţei se găseşte o altă distribuţie discretă de

sarcini Q qext k

k

n

1

'

, iar pe suprafaţa distribuţia Q q i

i

n

31

', câmpul total

în domeniul amintit este:

E E E Ei

i

n

kk

n

ii

n

1 1 1

'

' (3.16)

Cu aceasta, fluxul total care traversează suprafaţa închisă este:

ii

n

kk

n

ii

n

1 1 1

'

' (3.17)

şi conform celor demonstrate anterior rezultă:

ii

n

ii

n ii

n

ii

n

S

q q

QQ

1 1

1 1

2

1

2'

'

int (3.18)

Se obţine astfel Legea lui Gauss în formă integrală , care afirmă că: fluxul

total al câmpului electric E printr-o suprafaţă închisă , este egal cu (1/

) înmulţit cu (sarcina totală din interiorul suprafeţei + jumătate din

sarcina totală de pe suprafaţă):

EdS

Q QSint

1

2 (3.19)

Dacă în interiorul volumului V sarcina Qint este distribuită continuu cu

densitatea (x',y',z') atunci legea lui Gauss se va scrie în forma:

EdS x y z dv

V

1

0 ' , ' , '

(3.20)

Legea lui Gauss, în formă integrală, permite calculul câmpului electric în

cazul când distribuţiile de sarcină prezintă simetrie ridicată.

Fig. 3.8. Aplicaţie a Teoremei Gauss

----- 74 -----

3.2.1 Aplicaţie. Exemplul care va fi prezentat în continuare, este tot cel al unei

distribuţii continue şi uniforme de sarcină

electrică, descrisă de densitatea de sarcină

volumică , repartizată într-o sferă de rază a,

Fig.3.8. Intensitatea câmpului electric, s-a cal-

culat anterior, folosind relaţia E gradV .Aici

se va apela la teorema Gauss calculându-se mai

întâi câmpul în interiorul şi exteriorul distri-

buţiei şi apoi cu ajutorul relaţiei V Edl

r

, se va calcula potenţialul. Pentru a

calcula câmpul electric (câmp cu simetrie radială), în exteriorul distribuţiei de sarcină,

se alege gausiana e , de formă sferică având r > R, şi aplicând teorema lui Gauss rezultă:

E dS

q aE r

aE

a r

ruext ext ext r

e

int

0

3

0

2

3

0

3

0

3

4

34

4

3 3 (3.21)

În cazul gausienei i, dusă în interiorul distribuţiei de sarcină, ( r < R), rezultă:

E dSq r

r Er

Er

i

int

int

int int

0

3

0

2

3

0 0

4

34

4

3 3 (3.22)

Cunoscând intensitatea câmpului electric în exteriorul şi interiorul distribuţiei

de sarcină, potenţialul în aceste regiuni va fi:

V E dr

a

3 rdr

a

3 r

Q

4 rext ext

r3

0

2

r3

0 0

(3.23)

V Edr E dr E dr

a

3 a 3

r

2

a

2 2a

r

3

int

r

ext

a

3

0 0

2 2

0

2

2

a

r

int.

(3.24)

Relaţii care au fost obtinute şi pe baza principiului superpoziţiei.

Avantajul oferit însă de teorema Gauss este evident. Continuitatea câmpului şi

potenţialului în tot spaţiul este evidentă şi aceasta este un fapt general, în prezenţa unei

sarcini distribuite în volum.

----- 75 -----

Observaţie: de regulă teoremei Gauss:

EdS Q int /

i se spune Legea

Gauss, întrucât ea este echivalentă cu Legea lui Coulomb şi poate fi la fel

de bine considerată ca o lege fundamentală a interacţiunilor electrostatice

după ce sarcina şi câmpul au fost definite. Legea Gauss şi legea lui

Coulomb nu sunt două legi fizice independente ci reprezintă una şi aceeaşi

lege exprimată în moduri diferite, există o diferenţă neesenţială aici dar

importantă la studiul sarcinilor în mişcare. (Legea Gauss este valabilă

pentru o clasă mai largă de câmpuri decât cel electrostatic. În particular un

câmp fără simetrie sferică, invers proporţional cu r2, poate satisface legea

Gauss. Cu alte cuvinte numai legea Gauss nu implică simetria sferică a

câmpului unei surse punctiforme care în legea lui Coulomb este esenţială şi

se subînţelege).

Demonstraţia legii Gauss se bazează, pe faptul că interacţiunea este

invers proporţională cu pătratul distanţei şi pe valabilitatea principiului

superpoziţiei. Astfel teorema este aplicabilă oricărui câmp din fizică în

care interacţia este invers proporţională cu pătratul distanţei ca de exemplu

în cazul câmpului gravitaţional, studiat la mecanică. Este evident că legea

lui Gauss nu mai este valabilă dacă, de exemplu, câmpul este invers

proporţional cu puterea a cincea a distanţei. Fluxul câmpului creat de

sarcina q printr-o sferă de rază r este în acest caz:

EdS

qr d d

r

r q

r

q

rsferic 0

2

0

2

5

2

5 34

4

4

sin

(3.25)

Se observă că legea lui Gauss nu mai este valabilă pentru că dacă mărim

puţin sfera , fluxul scade rapid prin sfera mărită ( scade cu 1/r3), deşi

sarcina din interiorul ei rămâne constantă. Este evident faptul că legea

Gauss lărgeşte posibilităţile de a înţelege fenomenele generate de sarcinile

electrice statice în sensul că ea relevă legătura dintre câmp şi sursele sale.

----- 76 -----

Pe de altă parte, dacă legea lui Coulomb permitea determinarea câmpului

când se cunoşteau sarcinile, legea Gauss permite şi ea acest lucru, şi-n plus

permite determinarea sarcinii electrice dintr-o regiune oarecare dacă se

cunoaşte câmpul electric în acea regiune prin intermediul integralei

q EdSV

0

.

3.2.2 Tub de flux.

Atunci când s-au introdus liniile de câmp ale câmpului electrostatic, s-a

definit şi noţiunea de tub de linii de câmp (căruia i se mai spune şi tub de

flux), ca fiind porţiunea din câmp delimitată de totalitatea liniilor de câmp

care trec prin toate punctele unui mic contur închis . Aplicând legea lui

Gauss suprafeţei închise care limiteză o porţiune de tub de flux, Fig.3.9,

rezultă:

0SdE 12

(3.26)

în condiţiile în care în interiorul suprafeţei nu există corpuri încărcate cu

sarcină electrică. În relaţia (3.26) 1

1

EdS

S este fluxul prin secţiunea

S1 prin care liniile de câmp intră în porţiunea de tub în timp ce

22

EdS

S fluxul prin secţiunea S2

prin care liniile de câmp ies din porţi-

unea de tub (normala n2 coincide ca

sens cu E ). Fluxul prin aria laterală a

porţiunii de tub este nul deoarece aici E dS . Din relaţia (3.26) se poate

trage Fig. 3.9 Tub de linii de câmp concluzia că: în regiuni ale spaţiului

unde nu există sarcini electrice , fluxul prin diferite secţiuni transversale

----- 77 -----

ale unui tub se conservă (deci fluxul are aceiaşi valoare de-a lungul unui

tub de linii de câmp în vid).

3.3. Forma locală a legii fluxului electric în vid (a legii lui Gauss)

3.3.1. Divergenţa unei fucţii vectoriale.

Variaţia locală a unei funcţii vectoriale de coordonate (x,y,z), poate fi caraterizată prin

intermediul unui operator diferenţial numit divergenţa funcţiei vetoriale. Fie vectorul

G x y z, , dintr-un câmp de vectori. Fluxul vectorului

G x y z, , prin suprafaţa S, care

limitează volumul finit V de formă arbitrară, este dat de integrala de suprafaţă a lui G

extinsă pe toată suprafaţa S:

S

GdS

,Fig.3.10.a. Împărţind volumul V în două

volume V1 şi V

2, prin diafragma D, Fig.3.10.b., se observă că suma integralelor de

suprafaţă ale lui G prin cele două suprafeţe S1 şi S

2 , care limitează cele doua volume,

va da fluxul total a lui G prin S. Cele două volume sunt delimitate de suprafeţele S

1

respectiv S2 care includ aria diafragmei D. Orice flux care iese din V

1 prin D este un

flux care intră în V2 prin D, pentru că fiecare porţiune din D contribuie în mod egal cu

un semn în prima integrală şi cu semn opus în cea de-a doua. Evident, direcţia spre

exterior într-un caz devine direcţie spre interior în celălalt caz, restul suprafeţei este

identic cu cel al volumului iniţial întreg.

S S S

GdS GdS GdS1 2

1 2

(3.27)

Continuând divizarea volumului V într-un mare număr de volume: V V Vi N1... ... , cu

suprafeţele care le delimitează: S S Si N1... ... , Fig.3.10.c, în baza aceleiaşi proprietăţi,

se poate afirma că:

ii

N

ii

N

GdS GdS

i1 1

S S

(3.28)

----- 78 -----

La limită când N devine foarte mare, se doreşte a se găsi însă, ce este caracteristic

câmpului vectorial, pentru o porţiune foarte mică şi în final pentru o vecinătate foarte

strânsă în jurul punctului P. Integrala de suprafaţă i iGdS

i

S

singură, nu poate

ajuta în acest sens (adică să dea o descriere locală a câmpului G), pentru că pe măsură

ce volumele Vi se micşorează şi suprafeţele Si scad şi ca urmare, integrala i scade.

De remarcat însă că dacă s-ar considera raportul

S

GdS

V

i

i

i

, aceasta la limită tinde

către o mărime finită care să descrie o proprietate locală, caracteristică funcţiei

vectoriale G în vecinătatea unui punct. Limita acestui raport când Vi0, şi când ea

există, defineşte divergenţa funcţiei vectoriale G şi se scrie astfel:

divG

GdS

vV

i

ii

i

0lim

S

(3.29)

Deci operatorul divergenţă poate fi definit astfel: divG

este fluxul pe unitatea de volum

ce iese din volumul Vi, pentru Vi infint de mic. Divergenţa este o mărime scalară şi

.

Fig. 3.10 Fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafaţă închisă este egal cu suma

fluxurilor elementare prin suprafeţele închise care delimiteaza elementele de volum în

care a fost divizat corpul de volum V si suprafatţă S.

----- 79 -----

variază de la punct la punct. Valoarea ei într-un punct oarecare (x,y,z) este dată de

limita raportului dintre integrala de suprafaţă a funcţiei G prin suprafaţa Si şi volumul

Vi delimitat de suprafaţa Si când acesta devine din ce în ce mai mic cuprinzând tot

timpul punctul respectiv. Conform relaţiei (3.29), ea va depinde de sistemul de

coordonate în care se lucrează aşa cum se va arăta în cele ce urmează.

Dacă funcţia G are componentele G

1(q

1,q

2,q

3), G

2(q

1,q

2,q

3), G

3(q

1,q

2,q

3) , faţă

de un sistem de coordonate curbilinii q q q1 2 3, , , iar elementul de suprafaţă S are

componentele dS1, dS

2, dS

3, atunci:

GdS G e G e G e dS e dS e dS e G dS G dS G dS

G h h dq dq G h h dq dq G h h dq dq

1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 2 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1 2

Elementul de volum, este V h h h dq dq dq 1 2 3 1 2 3 , în care h1,h2 ,h3 sunt coeficienţii

metrici.

divG

GdS

V

G h h dq dq

h h h dq dq dq

G h h dq dq

h h h dq dq dq

G h h dq dq

h h h dq dq dqv v v v

0 0

1 2 3 2 3

1 2 3 1 2 3 0

2 1 3 1 3

1 2 3 1 2 3 0

3 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3lim lim lim lim

( ) ( )

S

divG

h h h

h h G

q

h h G

q

h h G

q

1

1 2 3

2 3 1

1

1 3 2

2

1 2 3

3

(3.30)

Această expresie poate fi obţinută, în coordonate curbilinii triortogonale, astfel:

Se consideră un element de volum de forma unui paralelipiped cubiliniu cu muchiile:

dl h dq dl h dq dl h dq1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , (3.31)

vezi Fig.3.11.

Fluxul lui

G prin suprafaţa care mărgineşte elementul de volum dV dl dl dl 1 2 3 , este

format din suma fluxurilor celor trei componente, G G G1 2 3, , , prin feţele

paralelipipedului perpendiculare pe direcţiile q q q1 2 3, , :

1 2 3 (3.32)

1 este diferenţa dintre fluxul valorii medii a lui G m1 2 în faţa 2 şi fluxul valorii medii

a lui Gm1

1 în faţa 1. Deci:

32321323213213211 dqdqhh1Gdqdqhh2Gdldl1Gdldl2G mmmm (3.33) Dar:

----- 80 -----

: rezulta undede iar

atunci ,

321

321321

321

1

321

321321

1x

321

1

321111

323

3

3212

2

321

321

1

321323232111

323

3

13232

2

2

132323211

dqdqdqhhh

dqdqdqq

hhG

dqdqdqhhhGdiv

dqdqdqq

hhG12

dqdq2

dq

q

hhG

2

dq

q

hhG

dqdqdqq

hhGdqdqhhq,q,qG2

dqdq2

dq

q

Ghhdqdq

2

dq

q

Ghhdqdqhh1G1

mm

m

m

divG

dv h h h

G h h

q

G h h

q

G h h

q

1

1 2 3

1 2 3

1

1 2 3

2

1 2 3

3

(3.34)

Înlocuind pe rând coeficienţii

metrici h1, h2, h3, pentru cele

trei sisteme de coordonate:

cartezian, cilindric, sferic se

obţin expresiile:

În coordonate carteziene:

z

G

y

G

x

GGdiv z

yx

(3.35)

În coordonate cilindrice:

z

rGG

r

rG

r

1Gdiv zr

(3.36)

În coordonate sferice:

rGGsinr

r

Gsinr

sinr

1Gdiv r

2

2

(3.37)

3.3.2. Teorema Gauss-Ostrogradski

Fig. 3.11 Element de volum în sistem de

coordonate curbilinii

----- 81 -----

Prin introducerea funcţiei scalare divG

se poate găsi o relaţie interesantă între fluxul

unei funcţii vectoriale printr-o suprafaţă S şi divergenţa funcţiei vectoriale.

Fluxul funcţiei G prin suprafaţa S, care mărgineşte volumul V, este

S

GdS

(3.38)

Acesta se poate, scrie conform relaţiei (3.28), astfel:

S

S

GdS VGdS

Vi

i

N

ii

N i

ii

i

1 1 (3.39)

La limita când N, Vi0, termenul din paranteza dreaptă devine divergenţa lui G şi

suma trece într-o integrală de volum. Aşadar:

div S V

GdS GdV (3.40)

Aceasta este Teorema Gauss-Ostrogradski, valabilă pentru orice câmp, pentru care

există limita scrisă în ecuaţia 3.29.

3.3.3. Forma diferenţială (locală) a legii lui Gauss.

Revenind la câmpul electric, care este un câmp vectorial, este

normal ca şi el să se supună teoremelor stabilite pentru orice câmp

vectorial. Aşadar Legea lui Gauss în formă integrală în cazul unei

distribuţii continue de sarcină se scrie:

V

EdS dv

1

(3.41)

Dar conform Teoremei Gauss-Ostrogradski , div

V

EdS Edv

, de

unde rezultă că pentru orice volum ales din câmp, indiferent de formă,

dimensiune, şi dispunere, este adevărata relaţia:

div

V V

Edv dv

1

(3.42)

Egalitatea integralelor din 3.42, are loc numai atunci când integranzii sunt

egali, deci:

----- 82 -----

divE

(3.43)

Aceasta este forma locală, sau diferenţială a legii lui Gauss, stabilind

relaţia locală dintre câmpul electric şi sursele lui deoarece atât E , cât şi

sunt funcţie de coordonatele aceluiaşi punct P(x,y,z) din spaţiu.

În cazul când spaţiul este vidat, ( = 0) ecuaţia (3.43) devine:

divE

= 0 (3.44)

Deoarece E E i E j E kx y z , iar

xi

yj

zk

atunci divE E .

Să vedem acum dacă aceste ecuaţii sunt valabile în cazul discutat anterior

al câmpului creat de o distribuţie continuă de sarcină din sfera de rază a,

distribuţie descrisă de densitatea .

În exteriorul distribuţiei de sarcină (spaţiu presupus vidat):

0

r

r3

r

3

3

a

r

1r

r

r

3

a

r

r

3

a

r

r

3

aEdiv

5

2

2

0

3

33

0

3

3

0

3

3

0

3

ext

În exterior unde nu există sarcină, Fig.3.8, fluxul total care iese din orice

volum mare sau mic este zero, astfel încât limita câtului flux / volum este

zero.

În interiorul distribuţiei de sarcină (s-a presupus că permitivitatea

electrică este aceeaşi, ca şi pentru vid):

divE r r

int

3 3

3

30 0 0 0

pentru că în punctul Pi există sarcina .

Dacă divE

este pozitivă, într-un punct oarecare P, în care se găseşte o

singură sarcină punctiformă, atunci din acel punct liniile câmpului electric

diverg, având simetrie sferică.

3.4 Ecuaţiile Poisson şi Laplace. Ecuaţiile Maxwell pentru

electrostatică.

----- 83 -----

3.4.1 Ecuaţiile Poisson şi Laplace.

Prima ecuaţie locală E 0 pentru câmpul electrostatic, dedusă pe baza

teoremei potenţialului, reprezintă, aşa cum s-a arătat în capitolul anterior,

condiţia necesară şi suficientă pentru ca E să fie dat de gradientul unei

funcţii potenţiale (E gradV ). Deci prin intermediul ei, câmpului

electrostatic i se poate asocia o funcţie scalară V.

Cea de-a doua ecuaţie scalară divE

q

0 , reprezentând forma locală a Legii

lui Gauss, exprimă legătura locală dintre intensitatea câmpului electric şi

sursele lui şi introduce evident o a doua funcţie scalară (divE

) asociată

câmpul electric.

Ambele ecuaţii conţin intensitatea câmpului electric, prima realizând

legătura dintre câmp şi potenţial iar a doua legătura dintre câmp şi sursele

lui, ca urmare dacă se doreşte stabilirea unei ecuaţii care să exprime local

legătura directă dintre potenţialul electric şi distribuţia de sarcină, aceasta

se poate obţine prin eliminarea intensităţii câmpului electric între cele două

ecuaţii:

divE divgradV

0 , 2

0

V V

(3.45)

Operatorul aplicat lui V în ecuaţia (3.45) se numeşte divergenţa

gradientului sau operatorul lui Laplace sau simplu Laplacean şi se scrie:

divgrad 2 . El este un operator diferenţial de ordinul II care

acţionează asupra unei funcţii scalare dar poate acţiona şi asupra unei

funcţii vectoriale, acţionând asupra componentelor ei. Dacă se ţine seama

de expresia operatorului "nabla" în coordonate carteziene:

xi

yj

zk

atunci laplaceanul în coordonate carteziene va fi:

----- 84 -----

divgradx

iy

jz

kx

iy

jz

kx y z

2

2

2

2

2

2(3.46)

Evident acest operator va avea forme diferite în funcţie de sistemul de

coordonate în care se lucrează. În coordonate curbilinii, se va scrie:

divgrad

h h h q

h h

h q q

h h

h q q

h h

h q

1

1 2 3 1

2 3

1 1 2

1 3

2 2 3

1 2

3 3

(3.47)

Înlocuind coeficienţii metrici, se va obţine expresia operatorului

Laplacean, după cum urmează:

În sistemul de coordonate carteziene:

2

2

2

2

2

2x y z (3.48)

În sistemul de coordonate cilindrice:

cil r r

r

r r zr

z

1 1

(3.49)

În sistemul de coordonate sferice:

sf

r rr

rr

1 12

2

sinsin

sin

(3.50)

a) Ecuaţia lui Poisson

Revenind la ecuaţia (3.45), ea reprezintă o relaţie locală între

densitatea de sarcină electrică într-un punct oarecare şi funcţia potenţială

în imediata lui vecinătate. Această ecuaţie este numită "Ecuaţia lui

Poisson" şi ea leagă densitatea de sarcină cu derivatele de ordinul II ale

potenţialului. În coordonate carteziene se scrie:

2

2

2

2

2

2

V

x

V

y

V

z

(3.51)

Prin rezolvarea ei se obţine expresia potenţialului creat de o distribuţie de

sarcină într-un punct de forma:

V

dv

r

1

4 0

V (3.52)

----- 85 -----

Rezolvarea ecuaţiei (3.51) nu este întotdeauna comodă dar în câteva cazuri

(de regulă simetrii înalte ale distribuţiilor de sarcină) ea poate fi rezolvată

uşor, obţinând astfel atât câmpul cât şi potenţialul chiar mai uşor dacât

apelând la una din metodele prezentate până acum (bazate pe principiul

superpoziţiei sau pe legea lui Gauss).

b) Ecuaţia lui Laplace.

Peste tot unde = 0, adică în spaţiul liber (în toate punctele spaţiului

care nu conţin sarcini electrice), potenţialul electric V satisface relaţia:

2 0V V sau

2

2

2

2

2

20

V

x

V

y

V

z

(3.53)

numită "Ecuaţia lui Laplace", întâlnită în multe capitole ale fizicii.

Din punct de vedere matematic, în majoritatea cazurilor, teoria clasică, a

câmpurilor constă în studiul soluţiilor acestei ecuaţii. Clasa de funcţii care

satisfac ecuaţia Laplace se numesc funcţii armonice. Aceste funcţii

armonice au proprietăţi remarcabile una dintre ele fiind următoarea:

Dacă funcţia (x,y,z) satisface ecuaţia lui Laplace, atunci valoarea

medie a lui pe suprafaţa unei sfere oarecare este egală cu valoarea ei în

centrul sferei. O aplicaţie directă a ecuaţiei Laplace pe care o satisface

potenţialul electrostatic în spaţiul liber, este demonstraţia teoremei lui

Earnshaw - teoremă care se enunţă astfel:

O particulă încărcată aflată în spaţiul liber, nu poate rămâne în

echilibru numai sub acţiunea unui câmp electrostatic, cu alte cuvinte în

spaţiul liber potenţialul electrostatic V(x,y,z) nu poate avea maxime sau

minime.

Într-adevăr, dacă ar exista puncte de extrem pentru potenţial, atunci

punctele de maxim pentru potenţial ar fi puncte în care energia unei

particule negative ar fi minimă (stare de echilibru pentru particule

----- 86 -----

încărcate cu sarcină negativă), iar punctele în care potenţialul e minim ar fi

puncte în care energia unei particule pozitive ar fi minimă (stare de

echilibru pentru particule încărcate cu sarcină pozitivă).

Pentru a demonstra teorema să presupunem că potenţialul este funcţie doar

de două coordonate (x,y), astfel încât V(x,y) să fie o suprafaţă.

Presupunem, contrar teoremei că,

într-un punct P(x,y) funcţia V(x,y)

trece printr-un minim aşa cum se

arată în Fig.3.12. În jurul punctului P

construim o sferă mică. Deoarece

E P V r , înseamnă că avem un

câmp electric care pătrunde în sferă

(orientat de la un potenţial mai mare

către potenţialul minim din P). Dar conform teoremei Gauss,

EdS

q

0

, acest câmp orientat către punctul P, pe direcţie radială trebuie să provină

dintr-o sarcină negativă –q, aflată în interiorul sferei. S-a presupus însă, că

punctul P, este în spaţiul liber în care nu avem nici un fel de sarcină. Deci

presupunerea că V(x,y) ar avea un minim este infirmată. La fel se

demonstrează şi imposibilitatea existenţiei unui maxim al funcţiei V(x,y) în

spaţiul liber.

Într-o regiune în care avem o distribuţie continuă de sarcină , potenţialul

V poate avea un maxim sau un minim, dar nu trebuie să uităm că

distribuţia continuă nu este altceva decât o idealizare. Într-o astfel de

distribuţie va trebui să considerăm fiecare electron sau proton ca o sarcină

izolată şi vom constata imposibilitatea echilibrului (pe distanţe foarte mici

între sarcini). Ecuaţia lui Laplace se poate folosi pentru a demonstra

teorema Earnshaw mult mai uşor. Pentru ca V(x,y,z) să aibă un maxim sau

Fig. 3.12 Suprafaţă de potenţial având un

minim în punctul P

----- 87 -----

un minim trebuie ca toate derivatele de ordinul 1 ale lui V să fie nule,

respectiv derivatele de ordinul 2 sa aibă acelaşi semn (negativ sau pozitiv),

în acele puncte. Pe de altă parte suma acestora, trebuie să fie zero conform

ecuaţiei Laplace, ca atare acest lucru este posibil, numai când ele sunt

simultan zero. Dacă derivatele de ordinul 1 şi 2, sunt simultan zero atunci

V = constant, deci o suprafaţă fără maxime sau minime adică o suprafaţă

echipotenţială.

3.4.2. Ecuaţiile Maxwell pentru electrostatică.

În paragrafele anterioare am întâlnit două ecuaţii fundamentale

pentru câmpul electrostatic, atât în forma integrală cât şi locală şi anume:

1) Teorema potenţialului electrostatic:

Edl E

0 0 (3.54)

2) Teorema fluxului electric sau legea lui Gauss pentru câmpul electric:

S

EdS

qdivE int

0 0 (3.55)

Exprimarea diferenţială a celor două legi valabile pentru câmpul

electrostatic:

E

divE

0

0

(3.56)

reprezintă ecuaţiile Maxwell pentru electrostatică, când sarcinile

electrice, în repaus, se găsesc în vid. Aşa cum s-a văzut, prima ecuaţie

arată că, acest câmp electrostatic este un câmp potenţial E gradV , iar a

doua face legătura locală între câmpul electric şi sursele lui.

3.5. Energia în câmpul electrostatic al unui sistem de sarcini.

3.5.1. Definirea energiei potenţiale a unui sistem de sarcini electrice

----- 88 -----

În electrostatică conceptul de energie este foarte util deoarece forţele

electrice sunt conservative. Pentru a constitui un sistem de sarcini

punctiforme, aflate iniţial infinit depărtate una de alta, trebuie efectuat un

lucru mecanic. O dată format sistemul, el are capacitatea de a efectua un

lucru mecanic, spunând astfel că posedă energie potenţială.

Să presupunem că la infinit există n sarcini şi ne propunem să le aducem

într-o regiune din spaţiu formând cu ele un sistem de sarcini. Aducerea

primei sarcini în poziţia finală, pe care trebuie s-o ocupe în sistem, nu

necesită un lucru mecanic. Când este adusă însă, cea de-a doua sarcină de

la infinit într-un punct aflat la distanţa r12 de prima sarcină, trebuie să se

efectueze lucrul mecanic:

W F dr

q q

rdr

q q

rmecanic121 2

12

2 12

1 2

12

12 12

4 4

r

r

(3.57)

De la studiul forţelor conservative (forţe de tip central) se ştie că acest

lucru mecanic este întotdeauna acelaşi indiferent de forma traiectoriei pe

care se face deplasarea. Pentru a aduce acum sarcina q3 de la infint în

starea finală din punctul P3 aflat la r13 faţă de q1 şi la r23 faţă de q2 se va

efectua lucru mecanic:

Wq q

rdr

q q

rdr

q q

r

q q

r3

1 3

132 13

2 3

232 23

1 3

13

2 3

234 4 4 4

13 23

r

r

(3.58)

Deocamdată lucrul mecanic total efectuat pentru a forma acest sistem de

trei sarcini dispuse ca în Fig. 3.13, notat cu We este:

W

q q

r

q q

r

q q

re

1 2

12

1 3

13

2 3

234 4 4 (3.59)

----- 89 -----

Se observă că q1, q 2 , q 3 apar simetric

în ecuaţia (3.59), indiferent de faptul

că sarcina q 3 a fost adusă ulterior.

S-ar fi obţinut acelaşi lucru dacă

aduceam întâi q 3 şi apoi pe celelalte

q1 şi q 2 . Deci lucrul mecanic We nu

depinde de ordinea introducerii

sarcinilor în sistem şi este indepen-

dent de drumul parcurs de sarcini, el exprimând astfel o proprietate a

dispu-nerii finale a sarcinilor. Mărimea We poate fi numită ca fiind energia

potenţială electrică a sistemului de sarcini. Dar ca întotdeauna, în definirea

energiei potenţiale, trebuie să se ţină seama de sistemul de referinţă

considerat. În acest caz s-a ales energia potenţială egală cu zero, în situaţia

când cele trei sarcini se găsesc la infinit una faţă de alta. Energia potenţială

a sistemului de sarcini (ca orice altă energie potenţială cum s-a constatat şi

la mecanică) caracterizează configuraţia sistemului de sarcini. Nu se poate

atribui uneia din sarcini o parte din această energie, energia potenţială fiind

o caracteristică globală a întregului sistem de sarcini. Continuând

introducerea în sistem a celor n sarcini şi apelând mereu la o relaţie de

tipul (3.59) se obţine energia totală a sistemului după toate perechile de

sarcini ca în ecuaţia (3.59). Astfel energia totală a sistemului de sarcini va

fi:

W

q q

r

i j

ijji

n

1

2 4 011 (3.60)

În suma dublă ji

n

11 , energia asociată fiecărei perechi de sarcini, apare de

două ori, de aceea în faţa sumei se pune factorul 1/2. Energia potenţială

zero ca şi în primul caz corespunde situaţiei în care toate sarcinile se află la

Fig. 3.13 Sistem de trei sarcini

punctiforme

----- 90 -----

distanţe foarte mari una de alta. Dacă energia potenţială a sistemului este

pozitivă (adică s-a cheltuit lucru mecanic pentru formarea sistemului)

atunci la destrămarea lui se eliberează această energie sub forma unui lucru

mecanic asupra corpurilor din jur. Energia cinetică totală pe care o poate

dezvolta sistemul este aceeaşi în orice situaţie, când sarcinile părăsesc

sistemul simultan şi simetric sau când ele părăsesc sistemul separat una

după alta.

Revenind asupra relaţiei (3.60) se observă, în baza principiului

superpoziţiei, că mărimea

q

r

i

ijj4

1

, nu este altceva decât potenţialul creat

de cele n-1 sarcini din sistem în punctul în care se află sarcina qi, potenţial

care se va nota cu Vi. Atunci energia potenţială a sistemului se poate scrie

ca:

W q Vi i

i

n

1

21 (3.61)

Dacă toate sarcinile qi formează o distribuţie continuă de sarcină şi n tinde

către valori foarte mari atunci expresia de mai sus se va scrie:

W r dq

1

2 V

(3.62)

în care dq poate fi exprimat, în funcţie de tipul distribuţiei de sarcină.

De exemplu în cazul unei distribuţii de sarcină volumică, cu densitatea ,

energia corpului încărcat va fi:

V

dvV2

1W

(3.63)

care arată că energia potenţială a sistemului se găseşte în tot spaţiul şi nu se

poate spune că o anumită regiune din spaţiu conţine o anumită cantitate de

energie. Ulterior, în cadrul paragrafului dedicat studiului energiei într-un

câmp electric, va fi introdusă noţiunea de densitate de energie stocată în

câmpul electrostatic. Dacă câmpul electrostatic are posibilitatea de a

----- 91 -----

înmagazina energie potenţială el devine o realitate fizică şi natura

potenţială a lui este pe deplin justificată.

3.5.2. Variaţia energiei potenţiale.

Deplasându-se între două suprafeţe echipotenţiale o sarcină punctiformă q

străbate diferenţa de potenţial V2 -V1, şi energia potenţială a ei suferă

variaţia: WP = q(V2 -V1), precizând că energia corpului punctiform,

având sarcina q, într-un punct în care potenţialul are valoarea V, este WP =

qV.

Făcând abstracţie de energia potenţială gravitaţională, în câmpul

electrostatic, energia totală a unei sarcini punctiforme aflată în vid se

conservă. Pentru o particulă de masă m şi sarcină q, lăsată să se mişte liber

într-un câmp electric, variaţia de energie potenţială trece în variaţia

energiei cinetice a particulei:

W W q V V

mv mvP c

2 1

22

12

2 2 (3.64)

Relaţia (3.64) scrisă în aproximaţia nerelativistă (m = constant) este utilă la

calculul energiei cinetice a electronilor acceleraţi în tuburile catodice.

Deasemenea, ea se foloseşte la calculul energiei cinetice a particulelor

elementare, accelerate în câmp electrostatic până la valori mari ale energiei

cinetice dar care să nu iasă din limitele nerelativiste.