81

5.2. Probleme rezolvate

Problema 1

Să se studieze convergenţa următoarelor serii:

1. ∑∞

= +1n )1n(n1

2. ∑∞

=++ +

+

1n1n1n

nn

3232

Soluţie:

1. Vom cerceta convergenţa şirului sumelor parţiale de rang n

sn= ∞→→+

−=

+−=

+∑ ∑= =

n,11n

111k

1k1

)1k(k1n

1k

n

1k

Deci (sn)n∈N este convergent, ceea ce înseamnă că seria este convergentă şi are

suma egală cu 1.

2. Deoarece nu putem calcula sn vom calcula limita şirului general

∞→∞→

=nnnlimulim 1n1n

nn

3232

++ ++ =

31

Deoarece un nu tinde la zero, obţinem că seria nu este convergentă.

Problema 2

Folosind criteriile de comparaţie să se studieze convergenţa următoarelor serii:

1. ∑∞

= +1n2 1nn

2.∑∞

= +1n 3 nn

1

82

Soluţie:

1. Se observă că 1n

11n

n2 +

≥+

.

Deoarece seria ∑∑∞

=

∞

= +=

1n1nn 1n

1u este divergentă, obţinem că seria

∑∑∞

=

∞

= +=

1n2

1nn 1n

nv este şi ea divergentă.

2. Metoda I:

Avem 33 n

1

nn

1≤

+. Seria ∑∑

∞

=

∞

=

=1n 31n

nn

1v este convergentă, deci, pe baza

primului criteriu de comparaţie, se obţine că seria ∑∑∞

=

∞

= +=

1n 31nn

nn

1u este convergentă.

Metoda II:

Fie un=nn

13 +

şi vn=3n

1 . Calculând ∞→n

limn

n

vu obţinem că aceasta este egală cu

1, deci aparţine intervalului (0,∞). Conform celui de al doilea criteriu de comparaţie se

obţine că cele două serii au aceeaşi natură. Însă ∑∞

=1nnv este convergentă şi, în acest caz,

şi seria ∑∞

=1nnu va fi convergentă.

Problema 3

Folosind criteriul raportului să se studieze convergenţa următoarelor serii:

1. ∑∞

=1np

n

na , a>0

2. ∑∞

= −⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

1n )1n2(...31)1n3(...52

83

Soluţie:

1. Fie un= p

n

na . Avem:

n

1nn u

ulim +

∞→=

∞→nlim a

p

1nn

+=a

Dacă a<1, atunci seria este convergentă.

Dacă a>1, atunci seria este divergentă.

Dacă a=1, obţinem seria ∑∞

=1npn1 care este convergentă dacă p>1 şi divergentă

dacă p≤1.

2. n

1nn u

ulim +

∞→=

1n22n3lim

n ++

∞→=

23>1, deci seria este divergentă.

Problema 4

Folosind criteriul radicalului să se studieze convergenţa următoarelor serii:

1. ∑∞

=

+

1n

nn

an

1n2

, a>0

2. ∑∞

=1nn

a

2n , a>0

Soluţie:

1. ∞→n

lim nnu =

∞→nlim

n

n11

+ a = ea

Dacă ea<1⇔a<1/e, atunci seria este convergentă.

Dacă ea>1⇔a>1/e, atunci seria este divergentă.

84

Dacă ea=1⇔a=1/e, atunci cu acest criteriu nu putem spune nimic despre natura

seriei.

2. ∞→n

lim nnu =

21< 1, deci seria este convergentă.

Problema 5

Folosind criteriul lui Raabe-Duhamel să se studieze convergenţa seriei ∑∞

=1nn

n

n!na .

Soluţie:

1uunlim

1n

nn

−

+∞→=

∞→nlim n[

a1 n

n11

+ -1]

Se observă că:

10 dacă a>e, atunci limita este -∞, deci seria este divergentă.

20 dacă a<e atunci limita este +∞, deci seria este convergentă.

Cercetăm cazul a=e:

L=e1

∞→nlim n[

n

n11

+ -1]

Fie x=n1→0 când n→∞. Cu această schimbare de variabilă obţinem:

L=e1

∞→nlim

x1[(1+x)1/x-1]

Aplicând regula lui L’Hospital obţinem că L= -21<1, deci seria este divergentă.

În concluzie, dacă a ≥ e seria este divergentă, iar dacă a < e seria este convergentă.

85

Problema 6

Folosind criteriul lui Leibniz să se cerceteze natura următoarelor serii alternante:

1. ∑∞

=

+−1n

1n

n1)1(

2. ∑∞

=

+

++

−1n

1n

2n21n2)1(

Soluţie:

1. Fie un= n1

Se observă că ∞→n

lim un=0, deci un→0 când n→∞.

Pe de altă parte, un+1-un= -)1n(n

1+

< 0, deci (un)n∈N este descrescător. Aşadar, pe

baza criteriului lui Leibniz, obţinem că seria este convergentă.

2. Fie un= 2n21n2

++

un+1-un= )4n2)(2n2(2

++ > 0, deci (un)n∈N este strict crescător, ceea ce înseamnă

că seria este divergentă.

Problema 7

Să se studieze absolut convergenţa şi semiconvergenţa seriilor:

1. ∑∞

=

+

+−

1n

n2n1n

1nxsin2)1( , x∈R

2. ∑∞

=

+

+−

1n

1n

)1n(n1)1(

86

Soluţie:

1. Studiem absolut convergenţa seriei:

∑+

=∑∞

=

∞

= 1n

n2n

1nn 1n

xsin2u

Pentru studiul convergenţei acestei serii, care este o serie cu termeni pozitivi,

vom aplica criteriul raportului.

n

1nn u

ulim +

∞→=2sin2x

Dacă 2sin2x<1, atunci kπ-4π< x <kπ+

4π , k∈Z. Pentru acest x, ∑

∞

=1nnu este

convergentă, deci seria este absolut convergentă.

Dacă 2sin2x>1, atunci kπ+4π< x <kπ+

43π , k∈Z. Pentru acest x, ∑

∞

=1nnu este

divergentă. Studiem convergenţa cu ajutorul criteriului lui Leibniz.

e1=2sin2x>1, pentru kπ+

4π< x <kπ+

43π , k∈Z

Deci seria este divergentă în acest caz.

Să considerăm cazul în care x=kπ+4π :

∑+

=∑∞

=

∞

= 1n1nn 1n

1u care este divergentă.

∑∑∞

=

∞

= +−

=1n

n

1nn 1n

)1(u care este convergentă pe baza criteriului lui Leibniz.

Deci, în acest caz, seria este semiconvergentă.

2. ∑∑∞

=

∞

= +=

1n1nn )1n(n

1u

87

Se observă că )1n(n

1+

>1n

1+

deci, pe baza primului criteriu de comparaţie,

seria ∑∞

=1nnu este divergentă, ceea ce înseamnă că seria ∑

∞

=1nnu nu este absolut

convergentă. Pe de altă parte |un|→0 şi este un şir descrescător deci, pe baza criteriului

lui Leibniz, seria ∑∞

=1nnu este convergentă. Cu alte cuvinte, seria este semiconvergentă.

Problema 8

Să se stabilească natura următoarelor serii:

1. ∑∞

=1n

2

nncosnsin

2.∑∞

=

−2n

nn

nlnn)1( , n≥2

Soluţie:

1. Fie un=sinncosn2, vn= n1

Avem un= 21 (sin(n+n2)+sin(n-n2))

sn= 21)nnsin(

21))nnsin()nn(sin(

21u 2

n

1k

n

1k

22k ≤+=−++=∑ ∑

= =

Pe de altă parte, vn este descrescător convergent la zero deci, pe baza criteriului

lui Dirichlet, obţinem că seria ∑∞

=1nnnvu este convergentă.

2. Fie un= nln)1( 1n+− , vn= n n

88

Seria ∑∞

=1nnu este convergentă pe baza criteriului lui Leibniz, iar vn→1, ceea ce

înseamnă că este monoton şi mărginit. În aceste condiţii, criteriul lui Abel ne spune că

seria ∑∞

=1nnnvu este convergentă.

Problema 9

Să se determine mulţimea de convergenţă pentru următoarele serii de funcţii:

1. ∑≥

−−

+

1n

nn

x21x1

n11

2. ∑≥

+

1nx

n

n)a1ln( ,a≥0

Soluţie:

1. nnn

)x(flim∞→

=x21

x1+−

Rezolvând inecuaţia x21

x1+−

< 1 obţinem x∈(- ∞,0)∪(32 ,+ ∞).

Studiem cazurile x=0 şi x=32 .

Dacă x=0 obţinem seria ∑∞

=

+

1n

n

n11 , al cărei termen general nu tinde la zero, deci

seria este divergentă, iar dacă x=32 obţinem seria ∑

∞

=

+−

1n

nn

n11)1( căreia, dacă îi

studiem convergenţa cu ajutorul criteriului lui Leibniz, obţinem că este divergentă. În

concluzie, domeniul de convergenţă al seriei de funcţii este C =(- ∞,0)∪( 32 ,+ ∞).

89

2. Dacă a=1 avem seria ∑∞

=1nxn2ln care este convergentă pentru x>1.

Dacă a<1, atunci avem:

n

1nn f

flim +

∞→=

++

+

+

∞→ )a1ln()a1ln(

n11

1lim n

1n

xn= a < 1

În acest caz convergenţa seriei nu depinde de x, adică C=R.

Dacă a>1, pe baza inegalităţii ln(1+yn)≤ny, ∀y>1, obţinem că:

fn(x)< 1xnx−

Pe baza primului criteriu de comparaţie obţinem că seria de funcţii este

convergentă dacă x-1>1, adică x>2. În concluzie domeniul de convergenţă este

C=(2,+ ∞).

Problema 10

Să se studieze convergenţa următoarelor serii de funcţii:

1. ∑≥ +

−1n

43

2n

xn1x)1(

2. ∑≥ +1n

n2 2x1

Soluţie:

1. Fie gn=|fn|, gn(x)= 43

2

xn1x

+.

Studiind punctele de extrem ale lui gn obţinem că punctul x=4

3n1 este punct de

maxim pentru gn, deci gn(x)<gn(4

3n1 )=

23

n21 .

90

Avem: |fn(x)|≤ 2

3n21 , ∀x∈C.

Seria ∑∞

=1n2/3n2

1 este convergentă, deci pe baza criteriului lui Weierstrass obţinem

că seria de funcţii dată este convergentă.

2. |fn(x)|= n2 2x1+

< n21 , iar seria ∑

∞

=1nn2

1 este convergentă.

Deci seria de funcţii dată este convergentă.

Problema 11

Să se determine domeniul de convergenţă şi suma următoarelor serii de puteri:

1. ∑≥

+−1n

n1n

nx)1(

2. ∑≥

+0n

nx)1n(

Soluţie:

1. Calculăm mai întâi raza de convergenţă

n

1nn a

alimR1 +

∞→= =

1nnlim

n +∞→=1 ⇒ R=1

Deci I=(-1,1)

Studiem cazurile x= -1 şi x=1

Dacă x=1, obţinem seria alternantă ∑≥

+−

1n

1n

n)1( a cărei convergenţă se

demonstrează cu ajutorul criteriului lui Leibniz.

Dacă x= -1, obţinem seria ∑≥

−

1n n)1( care este divergentă.

În concluzie, domeniul de convergenţă al seriei este I= (-1,1].

91

Fie f(x) suma seriei, f(x) =∑≥

+−1n

n1n

nx)1( .

Derivând egalitatea de mai sus obţinem:

f’(x)= ∑≥

−+−1n

1n1n x)1( =1-x+x2-x3+…+(-1)n+1xn-1+…

Suma acestei serii este:

s=∞→n

lim ∑=

+−n

1k

1k)1( xk-1=∞→n

limx1

)x(1 n

+−− =

x11+

,∀x∈(-1,1]

Deci f’(x)= x1

1+

Integrând de la 0 la x obţinem f(x)=ln(x+1),∀x∈(-1,1].

Seria este convergentă în x=1, deci f este continuă în 1. Astfel obţinem

dezvoltarea în serie a lui ln2=∑≥

+−

1n

1n

n)1( .

2. n

1nn a

alimR1 +

∞→= =

n1nlim

n

+∞→

=1 ⇒ R=1

Deci I=(-1,1). Este clar că seria nu este convergentă pentru x=1 sau x= -1.

Fie f(x)= ∑≥

+0n

nx)1n( . Integrând seria termen cu termen obţinem:

∫ =x

0

)x(f ∑≥

+

0n

1nx =x1

1−

, ∀x∈(-1,1).

f(x)= 2)x1(1−

,∀x∈(-1,1)

Problema 12

Să se determine raza de convergenţă a următoarelor serii de puteri:

1. ∑≥ +1n

nn

n

32x

2. ∑≥

+

1nn

n

n!n)3x(

92

Soluţie:

1. nnn

alimR1

∞→= =1/3

Deci R=3 ⇒ I=(-3,3).

2. Fie x+3=y. Obţinem astfel seria ∑≥1n

n

n

ny!n

n

1nny a

alimR1 +

∞→= =

e1 1/e ⇒ Ry=e ⇒ Iy=(-e,e) ⇒Ix=(-e-3,e-3)

Studiind seria în cazurile x=-e-3 şi x=e-3 se observă că aceasta este divergentă.

Problema 13

Să se dezvolte în serie MacLaurin următoarele funcţii:

1. f(x)=sinx

2. f(x)=arctgx

Soluţie:

1. Calculăm derivata de ordinul n a funcţiei f

f(n)(x)=sin(x+nπ/2)

Avem f(n)(0)=sin(nπ/2)=

+=−

=

1k2n,)1(k2n,0

k

f(x)=∑≥0n

n

!nx

⋅f(n)(0)=∑≥

+

+−

0n

1n2

)!1n2(x)1(

2. Avem f’(x)= 2x11+

=∑≥

−0n

n2n x)1( ⇒ f(x)= ∑≥

+

+−

0n

1n2n

)1n2(x)1(

93

Problema 14

Să se scrie seria lui Taylor şi să se determine domeniul de convergenţă pentru

următoarele funcţii:

1. f(x)=1/x2 ,x0=a≠0

2. f(x)=ln(1+x),x0=a>1

Soluţie:

1. f(x)=∑∞

=

−

0n0

)n(n

0 )x(f!n

)xx(

f(n)(x)= 2n

n

x)!1n()1(

+

+−

f(x)=∑≥

−0n

n)ax( ⋅f(n)(a)=∑≥

+

−+−

0n2n

nn

a)ax()1n()1(

Pentru determinarea domeniului de convergenţă calculăm n

1nn f

flim +

∞→=

aax −<1

Deci C ={x∈R: |x-a|<|a|,a∈R*}.

2. f(n)(x)= n

1n

)x1()!1n()1(

+−− −

(-1)n-1(n-1)!/(1+x)n

f(x)=∑≥ +

−−

0n

nn

a1ax

n)1(

nnn

)x(flim∞→

=a1ax

+−

<1

C ={x∈R : |x-a|<|1+a|,a>1}