cap.4. proiectarea sral

PROIECTAREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT LINIARE

1

Capitolul 4

4. PROIECTAREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT LINIARE

4.1. Obiective urmrite

Proiectarea unui sistem automat liniar i continuu pornete de la un ansamblu de date iniiale care pot fi mprite n dou categorii:

1. datele care exprim caracteristicile procesului automatizat; 2. datele referitoare la performanele impuse funcionrii sistemului automat.

1. n privina datelor iniiale referitoare la proces, aceste date se refer i la

elementul de execuie i la traductor, deoarece alegerea lor este strns legat de cuplarea cu procesul.

Datele iniiale referitoare la ansamblul element de execuie (E), proces (P), traductor (T), denumit i partea fixat din cadrul sistemului automat, sunt exprimate sub forma unui model matematic. Rezultatele proiectrii depind de precizia cu care acest model obinut prin identificare reflect comportarea i caracteristicile reale ale prii fixate.

2. Datele iniiale referitoare la performanele sistemului automat, denumite

i performane de comportare, includ condiii de rapiditate, precizie, sensibilitate. Performanele de comportare includ totdeauna stabilitatea sistemului

automat, deoarece un sistem instabil nu poate funciona. Pentru performanele staionare i tranzitorii impuse trebuie s se specifice pentru ce tip de semnale (treapt, ramp etc.) trebuie asigurate, precum i punctul de aplicare ale semnalelor respective: semnale de referin r sau perturbaii p1, p2, p3, . Asigurarea erorii staionare nule i n condiiile variaiei unor parametri ai procesului automatizat trebuie s nu afecteze stabilitatea sistemului. Este ceea ce se numete reglare robust.


2

n proiectarea SA trebuie avut n vedere condiia de realizabilitate fizic, care se respect prin impunerea unui numr de poli mai mare dect numrul de zerouri ai funciei de transfer pentru sistemul n circuit deschis i n circuit nchis. Orice sistem automat fizic realizabil este caracterizat prin prezena mai multor elemente de ntrziere dect de anticipare, deoarece n caz contrar nu ar fi respectat principiul cauzalitii, conform cruia la ieirea unui sistem automat efectele unor modificri ale semnalelor de intrare se pot resimi numai cu o anumit ntrziere i n nici un caz naintea modificrilor intervenite la intrarea sistemului automat. Principalul element din structura unui sistem automat determinat prin proiectare este regulatorul automat sau compensatorul dinamic. Asigurarea performanelor impuse sistemului automat poate fi considerat o proiectare minimal. Soluia unei proiectri minimale nu este unic, fapt devedit de posibilitile diferite de realizare a sistemului automat. Se poate asigura i o proiectare optimal dac dintre toate soluiile unei proiectri minimale este selectat acea soluie care asigur extremul unui criteriu stabilit pentru compararea soluiilor. 4.2. Tipuri de regulatoare automate ntr-un sistem de reglare automat (SRA), regulatorul elaboreaz algoritmul de reglare a procesului n funcie de abaterea (t) care apare n sistem. Regulatoarele automate care primesc la intrare eroarea (t) i au la ieire mrimea de comand u(t), realizeaz legi de reglare prin intermediul crora mrimea de comand u(t) poate conine componente proporionale cu eroarea (t), cu integrala n timp a erorii i cu prima i a doua derivat n raport cu timpul a erorii.

Schema bloc a unui regulator automat.

Componenta proporional a unui regulator depinde de factorul de amplificare KR al regulatorului. Comanda u(t) se obine din (t) prin nmulire cu KR.

R u(t)(t)


3

Componenta integral este prezent dac funcia de transfer a regulatorului HR(s) conine un pol n origine (p=0). Este important pentru regimul staionar, deoarece asigur eroarea staionar nul a sistemului pentru un semnal de intrare treapt. Dac suplimentar, n funciile de transfer ale elementelor de execuie HE(s) i procesului HP(s) mai apare alt pol n origine (p=0), atunci pentru sistemul respectiv eroarea staionar va fi nul i n cazul unui semnal de intrare ramp. Componenta derivativ mbuntete regimul tranzitoriu datorit efectului de anticipaie pe care l asigur derivata. Se compenseaz astfel parial ntrzierile n transmiterea semnalelor inerente oricrui proces tehnologic.

a) Regulatorul proporional, sau de tip P, este un element proporional care realizeaz o dependen ntre mrimea de comand u i eroarea de forma:

)()( tKtu R =

Rezult funcia de transfer a regulatorului:

RR KsEsUsH ==)()()(

unde KR este factorul de proporionalitate al regulatorului. Rspunsurile indiciale ale regulatoarelor proporional ideal i proporional real sunt perzentate n figur.

Rspunsul indicial al regulatorului P.

u,

u

1

KR

t

real

ideal


4

b) Regulatorul proporionalintegral, sau de tip PI, realizeaz o dependen de forma:

+= dttTtKtu iR

)(1)()(

unde Ti este constanta de timp a componentei integrale. Rezult funcia de transfer:

+==

iRR sT

KsEsUsH 11)()()(

Rspunsul indicial al regulatorului PI este trasat n figura urmtoare.

Rspunsul indicial al regulatorului PI.

c). Regulatorul proporionalderivativ, sau de tip PD, realizeaz o dependen ntre mrimea de comand u i eroarea de forma:

+=

dttdTtKtu dR)()()(

unde dT este constanta de timp de derivare a regulatorului. Funcia de transfer a regulatorului PD este

)1()()()( dRR sTKsE

sUsH +==

u, u

KR

1

t Ti

i

R

TKtg =


5

Rspunsul indicial al regulatorului PD este trasat n figura urmtoare.

Rspunsul indicial al regulatorului PD.

d) Rgulatorul proporionalintegralderivativ, sau de tip PID, realizeaz o dependen ntre mrimea de comand u i eroarea de forma:

++= dt

tdTdttT

tKtu di

R)()(1)()(

unde Ti este constanta de timp de integrare a regulatorului i dT este constanta de timp de derivare a regulatorului. Funcia de transfer a regulatorului PID este

++== d

iRR sTsT

KsEsUsH 11)()()(

Rspunsul indicial al regulatorului PID este trasat n figur.

Rspunsul indicial al regulatorului PID.

t

u

1

t

u,

KR

u

Ideal

KR

Real

t t

u, u

KR

Real

KR

1

u

Ideal


6

4.3. Alegerea i acordarea regulatoarelor pentru structuri convenionale de sisteme de reglare automat Se consider o structur convenional de sistem de reglare automat ca n figur.

Structur convenional de SRA. Se cere s se aleag algoritmul (legea) de reglare adecvat i valorile optime

ale parametrilor de acordare ai regulatorului, astfel nct sistemul automat s aib comportarea dorit n raport cu referina i cu perturbaia.

Regulatorul are o funcie de transfer diferit pentru satisfacerea performanelor sistemului n raport cu variaiile referinei i perturaiei. Din acest punct de vedere, un SA poate funciona n urmtoarele dou regimuri: 1. regim de urmrrire atunci cnd mrimea de ieire y urmrete variaiile

referinei r; 2. regim de stabilizare atunci cnd r = constant i y trebuie meninut astfel nct y=r= constant, indiferent de aciunea perturbaiei p (se rejecteaz efectul perturbaiei). Scriem funcia de transfer ale sistemului n circuit nchis n raport cu referina:

)()()(1)()()(

)(21

210 sHsHsH

sHsHsHsH

FFR

FFR

+=

din care se obine:

021021

210021

)( HHHHHHH

HHHHHHHH

FFFFR

FFRFFR

=

+=

+

-

+ + Y(s)HF1(s) HF2(s)

HF(s)

R(s) E(s) HR(s)

U(s)

P(s)


7

=0

0

21 11

HH

HHH

FFR

funcia de transfer calculat a regulatorului astfel nct sistemul automat s aib comportarea dorit. Scriem acum funcia de transfer a sistemului n circuit nchis n raport cu perturbaia:

)()()(1)()(

21

20 sHsHsH

sHsHFFR

Fp +

=

din care se obine:

21002 FFRppF HHHHHH +=

210

02

FFp

pFR HHH

HHH

=

funcia de transfer calculat a regulatorului pentru a se obine comportarea dorit a sistemului automat n raport cu perturbaia. Funciile de transfer H0(s) i H0p(s) sunt definite astfel nct s asigure comportarea dorit n raport cu cele dou semnale exogene r i p. Deci, sunt necesare regulatoare cu structuri diferite pentru regimurile de urmrire i de stabilizare. Proiectarea regulatorului va ine seama n principal de asigurarea comportrii optime a sistemului n raport cu referina sau cu perturbaia, rmnnd ca n raport cu cealalt mrime extern s se asigure o comportare suboptimal. Este necesar cunoaterea modelului procesului HF(s)=HF1(s)HF2(s) i funciile de transfer dorite [H0(s)]dorit i [H0p(s)]dorit . Alegerea regulatorului se efectueaz astfel nct s aib funcia de transfer HR(s) calculat.

4.4. Proiectarea sistemelor automate prin metoda locului geometric al rdcinilor ecuaiei caracteristice

n cadrul proiectrii prin metoda repartiiei polizerouri (repartiia n planul complex a polilor i a zerourilor funciei de transfer a sistemului), ca i n


8

cadrul analizei sistemelor prin intermediul funciilor de transfer, a luat o anumit extindere metoda locului geometric al rdcinilor ecuaiei caracteristice. Ecuaia caracteristic aferent sistemului n circuit nchis se obine egalnd cu zero polinomul de la numitorul funciei de transfer H0(s). Locul geometric al rdcinilor ecuaiei caracteristice reprezint locul geometric al polilor funciei de transfer H0(s).

0)(10)(1

)(1)(

)(0

=+=++

=

sGksH

sHsH

sH

a

d

d

d

n planul complex se traseaz locul geometric al rdcinilor ecuaiei

caracteristice aferente sistemului n circuit nchis, n funcie de variaiile unui parametru, de cele mai multe ori n funcie de variaia factorului total de amplificare Ka al sistemului n circuit deschis. Factorul total de amplificare se obine prin nmulirea factorilor de amplificare ai tuturor elementelor de automatizare aflate pe calea direct a sistemului. Avantajul metodei locului geometric al rdcinilor const n faptul c ofer o imagine sugestiv de pe grafic asupra performanelor tranzitorii i staionare ale sistemului pentru diferite valori ale parametrului variabil. Variaia factorului total de amplificare Ka are efecte opuse asupra performanelor tranzitorii i staionare ale sistemului automat. Mrirea lui Ka nrutete condiiile de stabilitate i deci performanele tranzitorii, dar totodat micoreaz eroarea staionar. La proiectarea sistemelor automate prin metoda locului rdcinilor ecuaiei caracteristice, n vederea trasrii cu uurin a locului geometric al rdcinilor n planul complex, se utilizeaz o serie de reguli elaborate de Evans. Regula 1. Ramurile locului geometric al rdcinilor pleac din polii funciei de transfer de pe calea direct Hd(s) din punctele unde Ka=0 i se termin n zerourile lui Hd(s) unde Ka ; Regula 2. Punctele de pe axa real avnd n dreapta lor un numr impar de poli i zerouri ai funciei de transfer Hd(s) sunt puncte ale locului rdcinilor;


9

Regula 3. Cnd Ka ramurile locului tind asimptotic ctre linii drepte

cu unghiurile zp nn

k

+ 0180)12( cu k = 0, 1, 2 , pn se obin toate unghiurile n

intervalul 02. S-a notat cu np numrul de poli iar cu nz numrul de zerouri. Regula 4. Dou rdcini prsesc sau ating normal (sub unghiul de +900) axa n punctul de ramificaie. Regula 5. Abscisa punctului de pe axa real din care diverg liniile asimptotice este dat de:

zp

n n

ii

med nn

zpS

p z

=

1 1

Acest punct este denumit centrul de greutate al configuraiei zerourilor i

polilor.

Exemplu de utilizare a metodei locului rdcinilor la un sistem de ordinul doi

Fie funcia de transfer a unui sistem automat n circuit deschis (funcia de

transfer a cii directe)

)101,0()(

+=

ssk

sH ad

n care ka este factorul total de amplificare al cii directe. Funcia de transfer a sistemului n circuit nchis cu reacie unitar (HT(s)=1)

)(1)()(0 sH

sHsHd

d

+=

devine n cazul particular al acestui exemplu

a

a

a

a

kssk

sskss

k

sH++

=

++

+= 20 01,0

)101,0(1

)101,0()(


10

unde factorul de amplificare ka este variabil. Se mparte numrtorul i numitorul cu valoarea 0,01:

Se cunoate faptul c funcia de transfer a sistemului de ordinul doi are forma

general i prin identificare ntre ultimele dou relaii se obine:

aann

aan

kk

kk

5102100

21001002

10100

=

===

==

Din relaiile obinute pentru n i rezult c modificarea lui ka determin

modificri ale lui n i , deci implicit sunt afectate performanele sistemului automat. Rezolvarea ecuaiei caracteristice a sistemului (n circuit nchis) permite determinarea polilor.

10002,02

00

02,004,011

01,0201,0411

001,0

2

1

2,1

2

=

=

==

=

=

=++

s

sk

kks

kss

a

aa

a

a

a

a

a

kssk

kss

k

sH100100

100

01,001,01

01,0)( 22

0 ++=

++=

22

2

0 2)(

nn

n

sssH

++=


11

Se constat c polii funciei de transfer H0(s) coincid cu polii funciei de transfer Hd(s). Regul general: locul rdcinilor ncepe din polii funciei de transfer a sistemului n circuit deschis, considernd c acest loc geometric ncepe de la ka = 0. Deci locul rdcinilor va avea un numr de ramuri egal cu numrul polilor din H0(s) i din Hd(s). Pentru alte valori ale lui ka , alese convenabil pentru acest exemplu, vom avea:

865002,03

02,01

02,031

02,0411

02,010004,011

100

505002,0

1102,0

21102,0

5004,01150

5002,01

02,0111

02,02504,011

25

2,1

2,1

2,1

jjsk

jsk

sk

a

a

a

=

=

=

=

==

=

=

=

==

=

=

=

==

Se poate trasa acum locul geometric al rdcinilor.

Locul geometric al rdcinilor sistemului.

-50j

+j E1

D1

C1

86j

50j

0

Ka=100

Ka=50

-100

Ka=50

Ka=100 -86j

E2

C2

D2

A2 Ka=0 Ka=0 A1 Ka=25

-50

B1B2


12

Analiznd figura locului geometric, se constat c pentru valori ale factorului total de amplificare al cii directe ka cuprinse ntre 0 i , locul geometric obinut n cazul particular al acestui exemplu este urmtorul:

0


13

%16[%]

16,021

=

==

e

Concluzie:

Mrirea factorului de amplificare pe calea direct ka mrete suprareglarea (nrutire a regimului tranzitoriu) i micoreaz eroarea staionar st (mbuntire a regimului staionar).

4.5. Criterii generale de alegere a tipului de regulator Alegerea tipului de regulator pentru un proces dat este determinat de caracteristicile procesului tehnologic i de performanele impuse sistemului de reglare. Pentru un proces caracterizat printr-o constant de timp T i un timp mort TM se recomand un algoritm PI sau un algoritm P. Pentru un raport

2,0

cap.4. proiectarea sral

Documents