Capitolul 2 INDICATORI DE FIABILITATE

Indicatorii de fiabilitate se pot referi la întreaga populaţie de dispozitive sau la un eşantion prelevat dintr-o populaţie de dispozitive.

Organizarea eşantioanelor Reprezentativitatea eşantionului Eficienţă economică Nivel de încredere în rezultate Capacitatea de preluare şi prelucrare a informaţiei

Înregistrarea defecţiunilorÎnregistrarea defecţiunilor eveniment cu eveniment

pe subintervale de observare Se înregistrează momentele în care se produc defecţiunile; Se reţin valorile extreme; Se calculează mărimea unui subinterval de observare:

, mărimea teoretică;

se aleg tmin, tmax şi t, de preferinţă numere naturale, astfel încât numărul subintervalelor de observare să fie natural:

k= t¿max−t

¿min

Δt¿∈N

.

08.03.20112.1 INDICATORI DE FIABILITATE AI DISPOZITIVELOR NEREPARABILE

Dispozitive nereparabile – odată defectate se înlocuiesc, neputând fi reparate.Ex.: becuri, bujii, curele de transmisie, garnituri de etanşare, segmenţi etc.

2.1.1 Funcţia de fiabilitate, R(t)

INDICATORII DE FIABILITATE sunt mărimi caracteristice care permit aprecierea cantitativă a nivelului de fiabilitate al dispozitivelor.

EŞANTIONUL este un grup de dispozitive selectat aleator dintr-o mulţime de dispozitive similare, care formează o populaţie.

POPULAŢIA este orice mulţime de dispozitive similare, având proprietăţi comune care este supusă unui studiu statistic.

FUNCŢIA DE FIABILITATE - probabilitatea ca la momentul considerat, t, un dispozitiv, aflat în condiţii date de utilizare, să-şi îndeplinească funcţiunile specifice.- probabilitatea ca momentul T, la care se produce defecţiunea, să fie mai mare decât momentul curent, t.

Δt=tmax−tmin

1+3 ,322 lg n

9

(în limba engleză Reliability);

unde: N(t) este numărul dispozitivelor aflate în bună stare de funcţionare la momentul t;

N0 – numărul dispozitivelor din care a fost alcătuit iniţial eşantionul supus observaţiei.

În cazul studiilor statistice,

; pentru t = 0, R(0) = 1; pentru t , R() = 0/N0 = 0.

R(t) R(t)

1 1

dispozitive cu rezervă mare de viaţă

0 t 0 t

Funcţia de fiabilitate permite: aprecierea nivelului de încredere în utilizarea unui dispozitiv la un anumit

moment t din viaţa sa; compararea nivelului de fiabilitate al unor dispozitive realizate de

producători diferiţi; compararea condiţiilor de utilizare ale unor dispozitive realizate de acelaşi

producător, dar aflate la utilizatori diferiţi.02.03.20112.1.2 Funcţia de defectare (de repartiţie), F(t)

(în limba engleză Failure);(în limba engleză Failure);

unde: n(t) este numărul dispozitivelor care s-au defectat până în momentul t.

În cazul studiilor statistice:

. Dacă N0 < 20, atunci:

FUNCŢIA DE DEFECTARE - probabilitatea ca momentul T, la care se produce defecţiunea, să fie mai mic decât momentul curent, t.

R( t )=P (T>t )= limN0→∞

N ( t )N0

R( t )=P (T>t )= limN0→∞

N ( t )N0

R( t )=N ( t )N 0

F ( t )=P (T< t )= limN0→∞

n ( t )N 0

F ( t )=n( t )N 0

F ( t )=n ( t )N 0+1

10

În cazul înregistrării defectelor pe subintervale de observaţie:

n (t )=∑

i=1

kt

n (Δt )i, unde n(t)i este numărul dispozitivelor defectate în

subintervalul (t)i ; kt – numărul subintervalelor până la momentul t.Proprietăţi:

t = 0, n(0) = 0; F(0) = 0;

t , n() = N0; F(∞) = 1.

Deoarece n(t) + N(t) = N0

n (t )

N 0

+N (t )

N 0

=1, sau

R(t), F(t)

1

F(t)

0,5

R(t)

0 t

25.03.09 - 2

2.1.3 Densitatea de probabilitate a timpului de bună funcţionare (frecvenţa relativă a defecţiunilor, densitatea defecţiunilor), f(t)

F(t) + R(t) = 1

OBSERVAŢIE:R(t) şi F(t) descriu comportarea dispozitivelor din punct de vedere

al producerii defecţiunilor pe un interval de timp [0, t].

DENSITATEA DE PROBABILITATE A TIMPULUI DE BUNĂ FUNCŢIONARE reprezintă limita raportului dintre probabilitatea ca un dispozitiv să se defecteze în intervalul închis la stânga [t – t, t) şi mărimea intervalului t, atunci când aceasta din urmă tinde către 0.

Statistic, reprezintă raportul dintre numărul de defecţiuni ce apar în unitatea de timp pe parcursul unui subinterval şi numărul de dispozitive luate iniţial în observare.

f (t )= limΔt→0

P (t−Δt≤T <t )Δt

;P (t−Δt≤T<t )=n (Δt )N0

.

11

n(t) = N(t - t) – N(t);

f (t )= N (t−Δt )−N (t )N0⋅Δt

=R (t−Δt )−R (t )

Δt=R (t−Δt )−R (t )t−( t−Δt )

=- ΔR (t )Δt

.

Dacă Δt 0, atunci

Deoarece R(t) = 1 – F(t), rezultă:

Deci f(t) reprezintă viteza de defectare a dispozitivelor.

Conform ultimei relaţii, f(t) dt = dF(t); rezultă:

Aria de sub curba lui f(t) este egală cu unitatea, indiferent de forma curbei.

f(t) f(t)

A =1 A = 1

0 t 0 t

;

.

f (t )=−dR (t )dt

f (t )= n (Δt )N0 Δt

;

f (t )=dF (t )dt

.

∫0

∞

f (t )dt=∫0

∞

dF (t )=F (t )|0

∞

=1−0=1 .

∫0

t x

f ( t )dt=∫0

t x

dF ( t )=F ( t )|0

t x=F (t x )−0=F ( t x )

∫tx

∞

f (t )dt=∫0

∞

f (t )dt−∫0

t x

f (t )dt=1−F (t x)=R (t x)

12

f(t) f(t)

F(tx) R(tx)

F(tx) R(tx)

0 tx t 0 tx t25.03.09Densitatea de probabilitate a timpului de bună funcţionare:

permite aprecierea producţiei dacă se referă la dispozitive realizate de o singură firmă (omogenitatea producţiei);

oferă informaţii privind omogenitatea solicitărilor în utilizare şi a calităţii şi frecvenţei operaţiilor de mentenanţă;

este utilă în planificarea activităţii de mentenanţă.

f(t) A – înlocuire preventivă a dispozitivelor;

B – înlocuirea disp. la apariţia defectelor

A

B

ttx tm tmaxA tmaxB

2.1.4 Rata de defectare (intensitatea momentană a căderilor), z(t)

0

RATA DE DEFECTARE reprezintă limita raportului dintre probabilitatea ca un dispozitiv să se defecteze în intervalul deschis la stânga (t - t, t], cu condiţia ca el să facă parte din dispozitivele care se aflau în bună stare de funcţionare la începutul subintervalului, şi mărimea subintervalului t, când aceasta tinde către zero.

z (t )= limΔt→0

P (t−Δt<T≤t|t−Δt<T )Δt

; P (t−Δt<T≤t|t−Δt<T )=

n ( Δt )N (t−Δt ) .

13

z(t) = const. =

z (t )= n (Δt )N (t−Δt )N 0

⋅N 0⋅Δt=

f (t )R (t−Δt )

.

Dacă t 0, atunci

−∫0

t

z (t )dt=∫0

tdR ( t )R ( t )

= ln R ( t )|0t=lnR (t )−lnR0=ln R ( t )−ln 1=lnR (t ) .

Rezultă: Dacă z(t) = const. = atunci

z(t) Rodaj Îmbătrânire

I II III

Viaţa utilă

Timp

Rata de defectare: permite compararea nivelului de fiabilitate al dispozitivelor realizate de

diferiţi producători; permite compararea condiţiilor de utilizare a aceluiaşi tip de dispozitive; permite identificarea etapei din viaţa dispozitivelor şi, implicit, a naturii

defecţiunilor; Se exprimă în defecţiuni/unitatea de timp.

Statistic, reprezintă raportul dintre numărul de defecţiuni în unitatea de timp produse într-un subinterval de timp şi numărul de dispozitive aflate în bună stare de funcţiune la începutul subintervalului de observare.

z (t )= n (Δt )N ( t−Δt )⋅Δt

z (t )= f ( t )R ( t )

=− 1R (t )

⋅dR ( t )dt

.

R ( t )=e− λtR ( t )=e

−∫0

t

z ( t )dt

14

Enunţ:Care este probabilitatea de bună funcţionare a unei bobine de inducţie la

momentul t2=44 000km, dacă până la t1=40 000 km ea s-a aflat în funcţiune? Pentru lotul de piese din care ea face parte se cunoaşte z(t)= =5*10-5def./km.

Rezolvare:Se aplică relaţia de calcul pentru o probabilitate condiţionată de bună

funcţionare:

R (t2/ t1)=

R ( t2 )R ( t1 )

= e−λ⋅t2

e−λ⋅t1

=e− λ⋅(t2−t 1)=e

−44000−4000020000 =e−0,2=0 ,819

Pentru întreaga populaţie de bobine de inducţie, la momentul t2 = 44 000km probabilitatea de bună funcţionare este:

R (t )pop .=e− λ⋅t2=e

−4400020000 =0 ,111

< R(t).

09.03.2011

Probabilitatea ca un dispozitiv care s-a aflat în bună stare de funcţionare la momentul t1 să se afle în aceeaşi stare şi la momentul t2 > t1

R (t2)=e−∫

0

t2

z ( t )dt

=e−∫

0

t 1

z ( t )dt−∫t 1

t2

z (t )dt

=R (t 1)¿e−∫t 1

t2

z ( t )dt

;

.

R(t) 1

R(t1) R(t2/t1)R(t)

R(t2)

-t1 0 t1 t2 t

t2

R (t2/ t1)=e−∫t 1

t 2

z ( t )dt

=R (t2 )R (t1 )

APLICAŢIE NUMERICĂ

15

ti−1+ti2

=ti−Δt2

n(t)i

2.1.5 Media timpului de bună funcţionare – MTBF

MTBF – în limba franceză: Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement; – în limba engleză: Mean Time Between Failures.

MTBF reprezintă media aritmetică a timpilor de bună funcționare ai dispozitivelor.Când se cunosc momentele producerii fiecărei defecţiuni în parte,

Când observarea se face pe subintervale de timp, se presupune că pentru dispozitivele defectate pe un subinterval de timp media timpului de bună funcționare este mijlocul subintervalului respectiv:

n

t*min t*

max

0 t0 t1 t2 ..... ti-1 ti .... tk-1 tk t

Trecând la intervale de timp infinitesimale:

MTBF este un indicator sintetic care apreciază nivelul global al fiabilităţii dispozitivelor.01.04.09

2.1.6 Dispersia timpului de bună funcţionare, D

a) Se cunoaşte valoarea lui m pentru întreaga populaţie de dispozitive:

;

OBSERVAŢIE: f(t) şi z(t) fiind probabilităţi de defectare în jurul unui punct, ele se vor calcula, în cazul observaţiilor statistice, în raport cu mijlocul fiecărui subinterval de

observare

ti−1+ti2 .

m= 1N0∑i=1

N0

T i

m= 1N0∑i=1

k ti−1+ ti2

⋅n ( Δt )i=∑i=1

k ti−1+t i2

⋅n (Δt )iN0⋅Δt

⋅¿ Δt ¿

D= 1N0∑i=1

N0

(T i−m )2 D= 1N0∑i=1

k

( t i−1+t i2

−m)2

⋅n (Δt )i

m=∫0

∞

t⋅f (t )dt ; t [0, +)

16

Enunţ:La încercarea unor dispozitive s-au înregistrat următoarele momente de

defectare, exprimate în ore de funcţionare: 1121, 1123, 1124, 1125, 1125, 1126, 1126, 1127, 1128, 1135. să se verifice dacă valoarea 1135 a fost înregistrată eronat.

Rezolvare:Se calculează: m = 1126ore; = 3,74ore.

Rezultă:z=1135−1126

3 ,74=2 . 41

ore. Din tabelul funcţiei Laplace se obţine Rezultă=De aici

N0 = 10 * 0,008 = 0,08 < 0,1. Concluzie : Valoarea t = 1135 ore se respinge ca fiind eronat înregistrată.

Trecând la intervale de timp infinitesimale:

b) Nu se cunoaşte valoarea lui m pentru întreaga populaţie de dispozitive, ci doar valoarea lui m pentru eşantionul studiat:

;

2.1.7 Abaterea medie pătratică a timpului de bună funcţionare,

2.1.8 Eliminarea valorilor înregistrate eronat

Se calculează mărimea z=t x−mσ ,

Unde: tx este valoarea suspectată a fi eronată;m – MTBF pentru eşantionul studiat;

σ=√ 1N 0−1

∑i=1

N0

(t i−m )2 sau

σ=√ 1N 0−1∑i=1

k

( t i−1+t i2

−m)2

⋅n (Δt )i.

Din tabelul funcţiei Laplace

Φ ( t )= 1

√2π∫−∞

t

e− x

2

2 dx se determină z

Se calculează mărimea zDacă N0 ∙ < 0,1 se elimină mărimea suspectă tx cu o probabilitate de 99% ca ea

să fie eronată.

D= 1N0−1∑i=1

N 0

( ti−m )2 D= 1N0−1∑i=1

k

( ti−1+ti2

−m)2

⋅n (Δt )i

σ=√D

APLICAŢIE NUMERICĂ

D=∫0

∞

(t−m)2⋅f (t )dt

17

2.2 Indicatori referitori la dispozitivele reparabile

Dispozitive reparabile – în cazul unei defecţiuni sunt reparate, după care pot fi utilizate în continuare.

Ex.: motorul în ansamblul său, schimbătorul de viteze etc.

starea dipozitivului bună funcţ.

tu1 tu2 . . . tun

tr1 tr2 tr n-1

defectt

Se definesc: T u=∑

i=1

n

tui, timpul total de utilizare;

T r=∑i=1

n−1

t ri, timpul total de reparare.

2.2.1 Indicatori referitori la Tu

2.2.1.1 Funcţia de repartiţie a Tu

Pentru calcule statistice:

; dacă N0 < 20, atunci: .

2.2.1.2 Densitatea de probabilitate a Tu

; .

2.2.1.3 Rata ieşirii din utilizare

;

Fu ( t )=P (Tu<t )= limN0→∞

nu ( t )N0

;

Fu (t )=nu (t )N 0

Fu (t )=nu (t )N 0+1

f u (t )= limΔtu→0

P (t−Δtu¿T u¿ t )Δtu

f u ( t )=nu (Δtu)N 0⋅Δtu

zu (t )= limΔtu→0

P ( t−Δtu¿T u ¿ t )|T u¿ t−Δtu )Δtu

zu (t )=nu (Δtu )

N u (t−Δtu )⋅Δtu

18

2.2.1.4 Media Tu

;

unde ku este numărul subintervalelor de observare: ,

unde T*umax, T*

umin şi t*u sunt valorile rotunjite la întreg ale mărimilor

respective.

2.2.1.5 Dispersia Tu

Când se cunoaşte valoarea mediei timpilor totali de utilizare pentru întreaga populaţie de dispozitive:

,

dacă se înregistrează momentele de ieşire din funcţiune ale fiecărui dispozitiv în parte;

,

dacă momentele de ieşire din utilizare sunt înregistrate pe subintervale.Când nu se cunoaşte valoarea mediei timpilor totali de utilizare pentru

întreaga populaţie de dispozitive, ci numai cea corespunzătoare eşantionului studiat:

,

dacă se înregistrează momentele de ieşire din funcţiune ale fiecărui dispozitiv în parte;

,

dacă momentele de ieşire din utilizare sunt înregistrate pe subintervale.

2.2.1.6 Abaterea medie pătratică a Tu

mu=1N 0

⋅∑i=1

N0

T ui mu=1N 0

⋅∑i=1

k u ti−1+ti2

⋅nu (Δtu )i ;

k u=T umax

¿ −Tumin¿

Δtu¿

Du=1N 0∑i=1

N0

(T ui−mu )2

Du=1N 0

⋅∑i=1

k u

( t i−1+ ti2

−mu)2

¿nu (Δtu )i

Du=1

N 0−1∑i=1

N0

(T ui−mu)2

Du=1

N 0−1⋅∑i=1

ku

( ti−1+ti2

−mu)2

¿nu ( Δtu )i

σ u=√Du19

2.2.2 Indicatori referitori la Tr

2.2.2.1 Funcţia de repartiţie a Tr

Pentru calcule statistice:

; dacă N0 < 20, atunci: .

2.2.2.2 Densitatea de probabilitate a Tr

; .

2.2.2.3 Rata ieşirii din reparaţie

;

2.2.2.4 Media Tr

;

unde kr este numărul subintervalelor de observare: ,

unde T*r max, T*

r min şi t*r sunt valorile rotunjite la întreg ale mărimilor

respective.

2.2.2.5 Dispersia Tr

Când se cunoaşte valoarea mediei timpilor totali de reparare pentru întreaga populaţie de dispozitive:

,

F r ( t )=P (T r< t )= limN0→∞

nr (t )N0

;

F r (t )=nr (t )N 0

F r ( t )=nr ( t )N0+1

f r ( t )= limΔtr→0

P (t−Δt r ¿T r ¿ t )Δt r

f r ( t )=nr (Δt r)N0⋅Δtr

zr (t )= limΔtr→0

P (t−Δt r ¿T r ¿ t|T r ¿ t−Δt r )Δt r

zr (t )=nr (Δt r)

N r (t−Δtr )⋅Δtr

mr=1N0

⋅∑i=1

N 0

T ri mr=1N0

⋅∑i=1

kr t i−1+t i2

⋅nr (Δt r )i ;

k r=T rmax

¿ −T rmin¿

Δt r¿

Dr=1N0∑i=1

N0

(T ri−mr )2

20

dacă se înregistrează momentele de ieşire din reparaţie ale fiecărui dispozitiv în parte;

,

dacă momentele de ieşire din reparaţie sunt înregistrate pe subintervale.

Când nu se cunoaşte valoarea mediei timpilor totali de reparare pentru întreaga populaţie de dispozitive, ci numai cea corespunzătoare eşantionului studiat:

,

dacă se înregistrează momentele de ieşire din reparaţie ale fiecărui dispozitiv în parte;

,

dacă momentele de ieşire din reparaţie sunt înregistrate pe subintervale.

2.2.2.6 Abaterea medie pătratică a Tr

2.2.3 Indicatori globali2.2.3.1 Coeficientul de disponibilitate

; A – Availability = disponibilitate (engl.)

2.2.3.2 Frecvenţa lucrărilor profilactice

; unde npi este numărul lucrărilor profilactice efectuate asupra dispozitivului „i” ;

T’ui – timpul de utilizare a dispozitivului „i”

în decursul experimentului.

Dr=1N0

⋅∑i=1

kr

( ti−1+t i2

−mr)2

¿nr (Δtr )i

Dr=1

N0−1∑i=1

N 0

(Tri−mr )2

Dr=1

N0−1⋅∑i=1

k r

( t i−1+t i2

−mr)2

¿nr ( Δt r )i

σ r=√Dr

A=mu

mu+mr⋅100 [% ]

k p=∑i=1

N 0

npi

∑i=1

N0

T ui'

21

2.2.3.3 Timpul specific pentru efectuarea lucrărilor profilactice

; unde T’pi este timpul consumat pentru lucrări

profilactice la dispozitivul „i”, în decursul experimentului.

2.2.3.4 Frecvenţa intervenţiilor corective

; unde nri este numărul intervenţiilor corective efectuate asupra dispozitivului „i”, în decursul experimentului.

2.2.3.5 Timpul specific consumat pentru intervenţii corective

; unde T’ri este timpul consumat pentru intervenţii

corective la dispozitivul „i”, în decursul experimentului.

22.03.2011

t p=∑i=1

N 0

T pi'

∑i=1

N0

T ui'

k r=∑i=1

N0

nri

∑i=1

N0

T ui'

t r=∑i=1

N0

Tri'

∑i=1

N0

Tui'

22