cap 2 electrotehnica

3. Circuite electrice de curent continuu

CUPRINS

2. Circuite electrice de curent continuu ......................................................... 2 2.1. Asocierea sensurilor de referin pentru tensiuni i cureni ................ 2 2.2. Teoremele lui kirchhoff ....................................................................... 4 2.2.1. Prima teorem a lui Kirchhoff....................................................... 4 2.2.2. A doua teorem a lui Kirchhoff..................................................... 5 2.3. Rezistena electric echivalent........................................................... 7 2.3.1. Rezistoare n serie ......................................................................... 7 2.3.2. Rezistoare n paralel ...................................................................... 8 2.3.3. Transfigurarea reelelor pasive cu trei borne de acces .................. 9 2.3.3.1. Transfigurarea triunghi - stea................................................ 10 2.3.3.2. Transfigurarea stea - triunghi................................................ 10 2.4. Gruparea surselor de curent continuu................................................ 11 2.4.1. Legarea n serie a surselor de curent continuu ............................ 11 2.4.2. Legarea n paralel a surselor de curent continuu......................... 12 2.4.3. Legarea mixt a surselor de curent continuu............................... 13 2.5. Teorema transferului maxim de putere.............................................. 14 2.6. Teorema conservrii puterilor ........................................................... 15 2.7. Metode de calcul a circuitelor electrice de curent continuu .............. 16 2.7.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff ................................................ 16 2.7.2. Metoda curenilor ciclici ............................................................. 17 2.7.3. Metoda potenialelor la noduri .................................................... 19 2.7.4. Teorema superpoziiei ................................................................. 22 2.7.5. Teorema reciprocitii ................................................................. 23 2.7.6. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune i de curent.. 23 2.7.6.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (ThveninHelmholtz) ......................................................................................... 24 2.7.6.2. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton).......... 26

1

Electrotehnic

2. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUUCalculul circuitelor electrice de curent continuu se face pe baza schemelor electrice ale acestora, n care elementele componente ale circuitelor (rezistoare i surse) sunt reprezentate prin semnele lor convenionale i sunt caracterizate prin parametrii care le definesc: rezistena pentru rezistoare, respectiv tensiunea electromotoare i rezistena interioar, n cazul surselor de energie. Structura circuitelor se caracterizeaz prin: noduri, laturi i ochiuri. ntr-un nod concur cel puin trei laturi ale circuitului, latura reprezentnd poriunea neramificat cuprins ntre dou noduri. Un ochi de reea este alctuit dintr-o succesiune de laturi care formeaz o linie nchis. Laturile care conin surse de energie se numesc laturi active, iar cele care nu conin surse se numesc laturi pasive. Un circuit este liniar dac rezistenele componente sunt constante, independente de curenii care le strbat. La un circuit filiform dimensiunile seciunii transversale ale conductoarelor sunt mult mai mici dect cele longitudinale, curentul fiind repartizat uniform pe seciunea lor. Circuitele de curent continuu se consider circuite cu parametrii concentrai deoarece parametrii care definesc elementele sale componente sunt localizai n diferite poriuni distincte ale circuitului (de exemplu, rezistena este localizat in rezistor, iar t.e.m. n sursa de energie). n acest capitol, dup prezentarea unor elemente introductive de calcul, se va insista ndeosebi asupra metodelor de calcul pentru circuite liniare, filiforme, cu parametri concentrai. Calculul unei reele const n determinarea curenilor din laturile sale, dac se cunosc parametrii elementelor componente ale acestuia. 2.1. ASOCIEREA SENSURILOR DE REFERIN PENTRU TENSIUNI I CURENI Pentru un conductor parcurs de curent sensul de referin al intensitii curentului electric este sensul elementului de arie ( 1.3.1), iar sensul de referin al tensiunii este sensul elementului de linie ( 1.2.2). Pentru fiecare din aceste mrimi sensul de referin, respectiv de integrare, se poate alege2


n mod arbitrar. Inversarea sensului de referin implic modificarea semnului mrimii respective. Dac tensiunea i curentul intervin mpreun ntr-o relaie, pentru a rezulta expresii simple i convenabile este necesar s se stabileasc o convenie (regul) suplimentar pentru asocierea sensurilor de referin ale acestor mrimi. O astfel de convenie a fost deja adoptat, fr a fi menionat n mod expres, la scrierea legii lui Ohm pentru o latur pasiv de circuit (fig. 2.1, a). Pentru sensurile de referin indicate n i i 1 1 figura 2.1, a s-a dedus expresia legii lui Ohm:ub 2 R ub 2 R

ub = R i

(2.1)

Se observ c pentru curentul i i tensiunea la borne ub s-a adoptat acelai a) b) sens de referin (de la borna 1 spre 2). Fig. 2.1 Dac pentru tensiunea la borne s-ar fi ales sensul opus (de la borna 2 spre 1 ), expresia legii lui Ohm ar fi fost: u b = R i (2.2) mai puim convenabil i mai rar ntlnit. n concluzie, pentru curentul dintr-o latur de circuit i tensiunea la bornele sale se pot adopta dou convenii de asociere a sensurilor de referin pentru aceste mrimi: convenia de la receptoare (fig. 2.1, a), cnd sensul curentului din latur i sensul tensiunii la borne au aceeai orientare faa de cte o born (pornesc de la borna 1 sau ajung n borna 2) i convenia de la generatoare (fig. 2.1, b) cnd sensurile de referin ale celor dou mrimi sunt opuse n raport cu cte o born. Pentru o latur activ de circuit, sensul t.e.m. poate fi identic cu sensul curentului din latur sau opus acestuia. Dac sensul t.e.m. coincide cu sensul curentului din latur i se adopt convenia de la receptoare (fig. 2.2, a), legea conduciei electrice are expresia (1.47):1 i R ub ue 2 a) 2 b) ub ue 2 c) 1 i R ub ue 2 d) 1 i R ub ue 1 i R

Fig. 2.2 3

Electrotehnic

u b + u e = R i,

(2.3)

Dac pentru acelai caz se adopt convenia de la generatoare (fig. 2.2, b), expresia legii conduciei electrice devine: u b + u e = R i (2.4) Pentru sensuri opuse ale t.e.m. i curentului din latur se pot scrie urmtoarele relaii: u b u e = R i, dac se aplic convenia de la receptoare (fig. 2.2, c) i u b u e = R i, (2.6) dac se aplic convenia de la generatoare (fig. 2.2, d). n practic se poate adopta oricare din cele dou convenii, rezultatele obinute fiind aceleai. Se aplic o convenie sau alta, dup cum este mai avantajos n cazul analizat. Laturile unui circuit pot fi receptoare, cnd primesc efectiv energie sau generatoare, cnd cedeaz efectiv energie. Laturile pasive de circuit sunt ntotdeauna receptoare. Laturile active pot fi generatoare, cnd sensul t.e.m. i al curentului coincid sau receptoare, dac sensul curentului este opus sensului t.e.m. (de exemplu un acumulator care se ncarc). Pentru laturile receptoare se adopt, de regul, convenia de la receptoare, iar pentru laturile generatoare, convenia de la generatoare, deoarece puterea la bornele laturii (p=ubi) rezult astfel pozitiv. De altfel, caracterul unei laturi se poate stabili n funcie de convenia i semnul puterii la borne. Aceste precizri justific denumirile date celor dou convenii. 2.2. TEOREMELE LUI KIRCHHOFF 2.2.1. Prima teorem a lui Kirchhoff n regim staionar, conform legii conservrii sarcinii electrice, intensitatea curentului de conducie total i printr-o suprafa nchis este nul (rel. 1.32):i = J ds = 0 .

(2.5)

(2.7)

Se consider cazul n care suprafaa nconjoar un nod al unui circuit (fig. 2.3), ea fiind intersectat de conductoarele care concur n nodul respectiv.4

3. Circuite electrice de curent continuui5 i1

n

i4

i2

Dac sensul de referin al curenilor fa de nod se consider ca fiind sensul normalei exterioare la suprafaa , curenii care ies din nod sunt considerai pozitivi, iar cei care intr n nod sunt negativi. Pentru cazul ilustrat n figura 2.3, se obine expresia: i1 + i 2 i3 i 4 + i5 = 0 . (2.8)

Considernd un nod oarecare n i notnd cu ik curentul dintr-o latur care concur n acest nod, relaia precedent poate fi generalizat:k(n )

i3 Fig. 2.3

ik = 0 .

(2.9)

Aceast relaie reprezint prima teorem a lui Kirchhoff, care se enun astfel: suma algebric a curenilor din laturile care concur ntr-un nod este egal cu zero. n aceast relaie se consider pozitivi curenii care ies din nod i negativi cei care intr. Este evident c dac convenia de semn pentru cureni se inverseaz, considernd pozitivi curenii care intr n nod i negativi cei care ies, rezultatul este acelai. 2.2.2. A doua teorem a lui Kirchhoff Este o consecin a legii conduciei electrice i se refer la tensiunile de-a lungul unui ochi de reea. Se consider un ochi de reea care este constituit din laturi active i pasive (fig. 2.4, a).R1 ue4 i4 R4 R3 i3 ub3 b) (p) i2 R2 i1 ue1 ub1

ue2 ub4 (p) ub2

a)

Fig. 2.4 5

Electrotehnic

Se alege un sens de integrare, care reprezint sensul de referin al ochiului (reprezentat printr-o sgeat). Pentru ochiul considerat se aplic legea conduciei electrice:

( E + E ) dl = (p) i

(p)

Jdl .

(2.10)

Conform teoremei potenialului electrocinetic staionar (rel. 1.7):

(p)

(p)

E dl = 0 ,

(2.11)

iar membrul stng al ecuaiei precedente devine:

Ei dl = u e1 u e2 + u e4

(2.12)

Integrala din membrul drept se efectueaz pe poriuni (laturi), obinndu-se:(p)

Jdl = R i = R1i1 R 2i 2 R 3i3 + R 4i 4 .

(2.13)

n final, rezult ecuaia: u e1 u e2 + u e4 = R1i1 R 2i 2 R 3i3 + R 4i 4 . (2.14) Referindu-ne la un ochi oarecare (p) i notnd cu indicele k mrimile corespunztoare unei laturi ce aparine ochiului (p), se poate scrie relaia general:k(p)

u ek = R k i k ,k(p)

(2.15)

care reprezint a doua teorem a lui Kirchhoff, avnd urmtorul enun: de-a lungul unui ochi de reea, suma algebric a tensiunilor electromotoare este egal cu suma algebric a cderilor de tensiune din laturile ochiului. La scrierea relaiei (2.15) se consider cu semnul (+) tensiunile electromotoare al cror sens coincide cu sensul de referin al ochiului i cu semnul (), n caz contrar. De asemenea, cderile de tensiune Rkik se consider cu semnul (+) dac sensul curentului ik coincide cu sensul de referin al ochiului i cu () n caz contrar. Teorema a doua a lui Kirchhoff se poate exprima i n funcie de tensiunile la bornele laturilor ubk (fig. 2.4, b). Asociind sensul de referin al tensiunilor la borne cu sensul curenilor din laturi dup regula de la receptoare i innd seama de forma integral a legii lui Ohm pentru laturi active, din relaia (2.14) se obine expresia: u b1 u b2 u b3 + u b4 = 0.6

(2.16)


Notnd cu ubk tensiunea la bornele unei laturi oarecare k, care aparine ochiului (p), se poate scrie relaia general:k(p)

u bk = 0 ,

(2.17)

n care tensiunile la borne, avnd sensul de referin identic cu sensul ochiului, se consider cu semnul (+), respectiv cu (), n caz contrar. Ecuaia (2.17) reprezint o alt form a teoremei a doua a lui Kirchhoff, cu urmtorul enun: suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor unui ochi este nul. 2.3. REZISTENA ELECTRIC ECHIVALENT Dou scheme electrice se consider echivalente dac comportarea lor fa de exterior este aceeai, respectiv curenii i tensiunile n exteriorul acestora nu se modific. n figura (2.5) este reprezentat schema electric a unei reele oarecare, avnd dou borne de acces (A i B), de legtur cu exteriorul. Prin definiie, A i A i rezistena echivalent a reelei considerate fa ub ub Re de bornele de acces A i B se determin prin raportul dintre B B tensiunea aplicat Fig. 2.5 la borne (ub) i curentul absorbit (i):ub (2.18) . i n rezolvarea circuitelor electrice se pune problema determinrii rezistenei echivalente n funcie de rezistenele componente. Calculul se efectueaz fr dificultate n cazul conectrii n serie, paralel i mixt (serie i paralel) a rezistenelor. Pentru reele mai complexe se poate apela la metoda transfigurrii. Re =

2.3.1. Rezistoare n serie n acest caz toate rezistoarele sunt strbtute de acelai curent.

7

Electrotehnici ub R1 u1 R2 u2 R3 u3 ub i Res

Fig. 2.6

n figura (2.6) s-au considerat, pentru simplificare trei rezistoare conectate n serie. Se pot scrie urmtoarele relaii: (2.19) (2.20) (2.21)

u b = u1 + u 2 + u 3 = R1 i + R 2 i + R 3 i ; u b = R es i . Din relaiile (2.19) i (2.20), rezult: R es = R1 + R 2 + R 3 sau, generaliznd pentru n rezistoare conectate n serie, se obine:R es = R k ,k =1 n

(2.22)

deci, rezistena echivalent a n rezistoare conectate n serie este egal cu suma rezistenelor componente. Dac cele n rezistoarele sunt identice, R es = n R 2.3.2. Rezistoare n paralel Conexiunea paralel a rezistoarelor se caracterizeaz prin faptul c tensiunea aplicat la i1 R1 bornele tuturor rezistoai relor este aceeai. R2 i i2 Pentru trei rezistoare ub Rep i3 R3 ub conectate n paralel (fig. 2.7), se pot scrie urmtoarele relaii: Fig. 2.7 - pentru curenii din laturi:i1 = ub ; R1 i2 = ub ; R2 i3 = ub ; R3

(2.23)

(2.24)

- pentru curentul total din schema echivalent:

8


i=

ub . R ep

(2.25)

Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff n unul din nodurile reelei, rezult: i = i1 + i 2 + i3 i innd seama de relaiile precedente, se obine: (2.26)

1 1 1 1 = + + . R ep R1 R 2 R 3

(2.27)

Aceast relaie poate fi generalizat pentru n rezistoare conectate n paralel:n 1 1 = , R ep k =1 R k

(2.28)

deci, valoarea reciproc a rezistenei echivalente este egal cu suma valorilor reciproce ale rezistenelor componente. Pentru n rezistoare identice conectate n paralel, se obine:R ep = R n

(2.29)

2.3.3. Transfigurarea reelelor pasive cu trei borne de acces Cele mai simple reele cu trei borne de acces sunt constituite din trei laturi, conectate n triunghi sau n stea (fig. 2.8).i1 1 i1 1 R1 R3 3 i3 R23 2 i2 3 i3 R2 2 i2

R31

R12 0

Fig. 2.8

Considernd cunoscute rezistenele din laturile unei conexiuni se pune problema determinrii rezistenelor din laturile conexiunii echivalente.

9

Electrotehnic

2.3.3.1. Transfigurarea triunghi - stea Se presupun cunoscute rezistenele R12, R23 i R31 din laturile triunghiului i se cere determinarea rezistenelor R1, R2 i R3 din laturile stelei echivalente. Schemele fiind echivalente, curenii i potenialele la cele trei borne de acces trebuie s fie aceleai n ambele scheme. Dac, de exemplu borna (1) este n gol (nu e conectat n exterior), dipolul cu bornele 2 i 3 trebuie s aib aceeai rezisten echivalent n raport cu aceste borne, pentru ambele scheme, deci:R 23 (R 12 + R 31 ) = R2 + R3 . R 12 + R 23 + R 31

(2.30)

Repetnd raionamentul pentru cazurile cnd bornele 2 i 3 sunt n gol, rezult dou relaii analoage, care se pot scrie direct prin permutarea indicilor:R 31 (R 23 + R 12 ) = R 3 + R1; R 12 + R 23 + R 31 R 12 (R 31 + R 23 ) = R1 + R 2 . R 12 + R 23 + R 31

(2.31) (2.32)

Fcnd semisuma celor trei relaii, se obine:R 12 R 23 + R 23 R 31 + R 31 R 12 = R1 + R 2 + R 3 . R 12 + R 23 + R 31

(2.33)

Dac se scad pe rnd relaiile (2.30), (2.31) i (2.32) din relaia (2.33), rezult relaiile de transfigurare triunghi-stea:R1 = R 12 R 31 R 23 R 12 R 31 R 23 ;R2 = ; R3 = R 12 + R 23 + R 31 R 12 + R 23 + R 31 R 12 + R 23 + R 31

(2.34)

2.3.3.2. Transfigurarea stea - triunghi Se presupun cunoscute rezistenele R1, R2 i R3 din laturile stelei i se vor determina rezistenele R12, R23 i R31 din laturile triunghiului echivalent. Se consider cazul particular n care bornele 2 i 3 sunt conectate mpreun n scurtcircuit. Dipolul cu borna 1 i 2 (reunit cu 3) trebuie s aib aceeai conductan echivalent n raport cu aceste borne, pentru ambele scheme, deci:

10


G12 + G 31 =

G1 (G 2 + G 3 ) G1 + G 2 + G 3 G 2 (G 3 + G1 ) ; G1 + G 2 + G 3 G 3 (G1 + G 2 ) . G1 + G 2 + G 3

(2.35)

Alte dou relaii similare se por scrie direct prin permutarea indicilor:G 23 + G12 = G 31 + G 23 =

(2.36) (2.37)

Fcnd semisuma acestor trei relaii i scznd din ea pe fiecare n parte, se obin relaiile de transfigurare stea-triunghi:G12 = G 2G 3 G 3 G1 G1G 2 ; G 23 = ; G 31 = , G1 + G 2 + G 3 G1 + G 2 + G 3 G1 + G 2 + G 3

(2.38)

sau n funcie de rezistene, (Ri=1/Gi):R 12 = R 1 + R 2 + R R R R R 1R 2 ; R 23 = R 2 + R 3 + 2 3 ; R 31 = R 3 + R 1 + 3 1 . (2.39) R3 R1 R2

2.4. GRUPAREA SURSELOR DE CURENT CONTINUU n practic exist situaii n care pentru alimentarea receptoarelor este necesar utilizarea mai multor surse de energie electric, grupate n serie, paralel sau mixt. De exemplu, bateriile de acumulatoare de 12 V utilizate la autovehicule sunt obinute prin legarea n serie a 6 elemente de acumulatoare de cte 2 V fiecare. 2.4.1. Legarea n serie a surselor de curent continuu Aceast conexiune se realizeaz legnd borna pozitiv a unei surse cu borna negativ a sursei urmtoare .a.m.d. (fig. 2.9, a). Curentul debitat de baterie prin rezistena R conectat la bornele ue1, r1 ue2, r2 ue3, r3 uen, rn nue, nr i i sale se determin aplicnd legea lui R R Ohm pentru circuitul a) b) nchis considerat:Fig. 2.9

11

Electrotehnic

i=

uk =1 n

n

ek

R + rkk =1

,

(2.40)

unde uek i rk reprezint t.e.m., respectiv rezistena intern corespunztoare sursei k. Dac cele n surse sunt identice, avnd aceeai t.e.m. ue i aceeai rezisten intern r, se obine:n ue (2.41) . R + nr Din relaia (2.41) se constat c n surse identice conectate n serie sunt echivalente cu o surs avnd t.e.m. i rezistena intern de n ori mai mari dect valorile corespunztoare unei singure surse (fig. 2.9, b). La conectarea n serie, curentul prin circuit nu trebuie s depeasc curentul nominal al sursei cele mai mici. Aceast grupare de surse este necesar dac tensiunea solicitat de receptor este mai mare dect tensiunea la bornele unei surse. i=

2.4.2. Legarea n paralel a surselor de curent continuu Conexiunea n paralel a surselor se realizeaz legnd ntre ele bornele pozitive, respectiv negative ale surselor (fig. 2.10, a). Sursele conectate n paralel trebuie s aib aceeai t.e.m., i i deoarece n caz i1 i2 im contrar, la funcionaR ue, r/m R rea n gol a bateriei, ue, r1 ue, r2 ue, rm (rezistena R deconectat), sursa cu t.e.m. mai mare se va descrca pe cea cu a) b) t.e.m. mai mic, Fig. 2.10 aprnd cureni de circulaie ntre surse nsoiti de pierderi suplimentare de energie. Sursele fiind conectate n paralel, la bornele lor n timpul funcionrii se stabilete aceeai tensiune. Dac sursele au aceeai t.e.m. dar rezistenele interioare sunt diferite, se pot scrie relaiile: u = u e r1 i1 = u e r2 i 2 = = u e rm i m . (2.42)

12


Din aceast relaie rezult c sursa cu rezisten interioar mai mare debiteaz un curent mai mic. Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff n unul din nodurile reelei (i=i1+i2++im) i legea lui Ohm pentru rezistena R (u=Ri), se obine intensitatea curentului debitat de baterie:

i= R+

ue 1

. 1

(2.43)

rue

m

k =1 k

Dac sursele sunt identice, adic au aceeai t.e.m. (ue) i aceeai rezistena r, rezult: (2.44) . r R+ m Se constat din relaia (2.44) c m surse identice conectate n paralel sunt echivalente cu o surs avnd aceeai t.e.m. cu a surselor componente i o rezisten intern de m ori mai mic dect rezistena intern a unei surse .(fig. 2.6,b). n concluzie, curentul debitat de gruparea paralel a surselor (rel. 2.44) este mai mare dect curentul pe care l-ar debita una din surse, deci aceast grupare se utilizeaz cnd curentul cerut de receptor este mai mare dect curentul nominal al unei singure surse.2.4.3. Legarea mixt a surselor de curent continuui=

n

Aceast grupare a surselor (fig. 2.11) se folosete atunci cnd bateria trebuie s asigure att o tensiune ct i m un curent mai mari dect valorile nominale ale unei singure surse. Fie n numrul de surse i ue, r conectate n serie i m, numrul de ramuri conectate n paralel. Expresia R curentului debitat de baterie se deduce ue, r innd cont de relaiile (2.41) i (2.44):ue, r

i=

n ue m n ue = . nr mR + nr R+ m

(2.45)

Fig. 2.11 13

Electrotehnic

2.5. TEOREMA TRANSFERULUI MAXIM DE PUTERE

Se consider o surs de t.e.m. ue i rezisten interioar r, la bornele creia este conectat rezistorul de rezisten R. (fig. 2.12, a).P A ue ub r B a) r b) R R i Pmax

Fig. 2.12

Curentul stabilit n circuit este:ue , (2.46) R+r iar puterea generat de surs i primit efectiv de receptorul R are expresia: i=

P = R i2 =

2 R ue . (R + r) 2

(2.47)

Valoarea maxim a puterii transmise pe la borne receptorului se obine punnd condiia:2 dP u e (r R) = = 0, dR (R + r)3

(2.48)

din care rezult R=r. n concluzie, puterea transmis pe la borne unui receptor este maxim dac rezistena acestuia este egal cu rezistena intern a sursei. O astfel de sarcin se numete adaptat la surs. Puterea maxim este n acest caz: Pmax iar puterea generat de surs:2 ue Pg = U e i = , 2r 2 ue = , 4r

(2.49)

(2.50)

14


randamentul corespunztor transferului maxim de puterea fiind:

=

Pmax = 0,5. Pg

(2.51)

Astfel de adaptri sunt curente n domeniul curenilor slabi. n figura (2.12, b) s-a reprezentat variaia puterii P n funcie de valoarea rezistenei R.2.6. TEOREMA CONSERVRII PUTERILOR

Aceast teorem este o consecin a teoremelor lui Kirchhoff. Se consider un nod oarecare al reelei (a) pentru care se aplic prima teorem a lui Kirchhoff (fig. 2.13):k(a )

i

k

= 0.

(2.52)

Va

ik Rk uek

Se multiplic aceast relaie cu potenialul Va al acestui nod i se nsumeaz expresiile similare scrise pentru toate nodurile reelei, obinndu-se:

ubk

V ( ia =1 a k(a )

n

k

) = 0.

(2.53)

n aceast sum dubl fiecare curent ik apare de dou ori, fiind multiplicat cu potenialele nodurilor de la Vb extremitile laturii prin care circul, intervenind o dat Fig. 2.13 cu semnul (+), cnd iese din nod, i alt dat cu semnul (), cnd intr n nod. n consecin, expresia (2.53) se poate transforma ntr-o sum pe laturi:

i k (Va Vb ) = u bk i k = 0 .k =1 k =1

l

l

(2.54)

Aplicnd tuturor laturilor reelei aceeai convenie de asociere a sensurilor de referin pentru tensiuni i cureni, relaia (2.54) ne arat c: suma algebric a puterilor tuturor laturilor unei reele izolate este nul. Aceasta este prima form a teoremei conservrii puterilor. Dac se adopt convenia de la receptoare pentru asocierea sensurilor de referin, produsul Ubkik are neles de putere primit, fiind pozitiv dac latura este efectiv receptoare i negativ, dac latura este generatoare. Aplicnd legea lui Ohm pentru o latur activ de circuit (fig. 2.13), se obine:

15

Electrotehnic

u bk + u ek = R k i k .

(2.55)

Se multiplic aceast relaie cu ik i se nsumeaz expresia obinut pentru toate laturile reelei:

u bk i k + u ek i k = R k ik2k =1 k =1 k =1

l

l

l

(2.56)

innd seama de relaia (2.54), se obine:

u ek i k = R k i 2k .k =1 k =1

l

l

(2.57)

Aceast relaie reprezint o alt form a teoremei conservrii puterilor, avnd urmtorul enun: suma algebric a puterilor generate de sursele din reea este egal cu suma puterilor disipate n rezistenele laturilor.2.7. METODE DE CALCUL A CIRCUITELOR ELECTRICE DE CURENT CONTINUU 2.7.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Aceast metod de rezolvare a circuitelor se bazeaz pe aplicarea teoremelor lui Kirchhoff care conduc la un numr de ecuaii independente egal cu numrul de necunoscute - curenii din laturi. Aplicarea metodei cuprinde urmtorii pai: - se determin numrul de noduri n, numrul de laturi l i numrul de ochiuri independente p ale circuitului. Un ansamblu de ochiuri formeaz un sistem de ochiuri fundamentale sau independente dac sistemul cuprinde toate laturile circuitului i fiecare ochi are n componena sa cte o latur, care aparine numai ochiului respectiv. La o reea dat se pot considera mai multe sisteme de ochiuri fundamentale, numrul lor fiind ns ntotdeauna acelai. Numrul de ochiuri fundamentale p se determin n funcie de numrul de laturi l i de noduri n cu ajutorul relaiei lui Euler:

p = l n + 1;

(2.58)

- se aleg sensurile de referin ale curenilor din laturi. Se alege sistemul de ochiuri fundamentale i sensul de referin pentru fiecare ochi; - se aplic prima teorem a lui Kirchhoff n (n-1) noduri, alese arbitrar, obinndu-se (n-1) ecuaii independente; - se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff pentru cele p ochiuri fundamentale;16


- se obine n final un sistem de (n-1)+(l-n+1)=l ecuaii cu l necunoscute, care sunt curenii din laturi; - dac prin rezolvarea sistemului unii cureni rezult cu semnul minus, nseamn c sensul acestor cureni este opus sensului de referin ales iniial. Exemplul 2.1. Se consider circuitul din figura 2.14, pentru care se cunosc t.e.m. ale surselor i valorile rezistenelor din laturi. S se rezolve circuitul prin metoda teoremelor lui Kirchhoff. ue1 Schema circuitului are n=4 R2 i1 1 noduri, l=6 laturi i p=ln+1=3 ochiuri independente. Se atribuie i2 sensuri de referin curenilor din R1 R3 (I) (II) laturi i apoi de aleg ochiurile i4 i5 i3 2 4 fundamentale i sensurile lor de 3 R4 R5 ue4 ue5 referin. (III) Aplicnd prima teorem a i6 lui Kirchhoff n nodurile 1, 2 i R6 ue6 3, rezult ecuaiile:Fig. 2.14

i1 i 2 + i3 = 0 i1 + i 4 + i6 = 0 i3 i 4 i5 = 0 A doua teorem a lui Kirchhoff aplicat ochiurilor fundamentale permite scrierea altor trei ecuaii independente: R1 i1 + R 3 i3 R 4 i 4 = u e1 u e4 R 2 i 2 + R 3 i3 R 5 i5 = u e5 R 4 i 4 + R 5 i5 + R 6 i 6 = u e4 + u e5 + u e6 . Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff poate deveni laborioas, n cazul unor reele complexe, datorit creterii numrului de ecuaii ale sistemului. Calculul unor astfel de reele se simplific dac se aplic una din metodele prezentate n paragrafele urmtoare.2.7.2. Metoda curenilor ciclici

Aceast metod permite reducerea numrului de ecuaii necesare pentru determinarea curenilor din laturile unei reele la numrul de ochiuri fundamentale p, ceea ce conduce la simplificarea calculelor fa de metoda teoremelor lui Kirchhoff, deoarece p0); - Rkj=Rjk este rezistena comun ochiurilor k i j. Evident c dac ochiurile k i j nu au o latur comun, Rkj=0; - i este curentul ciclic din ochiul k; k - u reprezint suma algebric a t.e.m. care acioneaz n ochiul k; n ek aceast sum se introduc cu semnul (+) t.e.m. al cror sens de referin coincide cu cel al curentului ciclic i cu semnul () n caz contrar; - cderea de tensiune R kj ij se introduce cu semnul (+) sau () dup cum sensurile curenilor ciclici i i ij prin latura comun coincid sau sunt k opuse. Exemplul 2.2. S se rezolve circuitul din figura 2.15 prin metoda curenilor ciclici. (2.59)

18

3. Circuite electrice de curent continuuue1 i1 1 R3 i3 ue4 3 R2

R1 2

i1i4 R4

i 2i5 R5 ue5 i6 ue6

i2 4

i 3

R6

Circuitul are n=4 noduri, l=6 laturi i p=ln+1=3 ochiuri independente. Se atribuie sensuri de referin curenilor din laturi i curenilor ciclici din ochiurile independente. Se aplic metoda curenilor ciclici (rel. 2.59), innd seama de semnificaia mrimilor care intervin:

Fig. 2.15

(R1 + R 3 + R 4 ) i1 + R 3 i + R 4 i = u e1 u e4 2 3 R 3 i1 + (R 2 + R 3 + R 5 ) i R 5 i = u e5 2 3 R 4 i1 R 5 i + (R 4 + R 5 + R 6 ) i = u e4 + u e5 + u e6 2 3 2 3 Prin rezolvarea acestui sistem se obin cei trei cureni ciclici: i1 , i , i . Curenii din laturi se obin fr dificultate, innd seama de sensurile de referin indicate n figura 2.15, astfel: 2 3 i1 = i1 ; i 2 = i ; i3 = i1 + i ; i 4 = i1 i ; i5 = i + i ; i6 = i 2 2 3 62.7.3. Metoda potenialelor la noduri

Dac se cunosc potenialele nodurilor unui circuit, curenii din laturile acestuia se pot determina cu ajutorul legii conduciei electrice. Metoda potenialelor la noduri const n determinarea acestor poteniale i ulterior a curenilor din laturi. Dac se consider al n-lea nod al reelei ca punct de referin pentru poteniale (Vn=0), cu ajutorul metodei potenialelor la noduri se vor determina potenialele celorlalte (n-1) noduri. Metoda potenialelor la noduri se bazeaz pe aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff celor (n-1) noduri ale reelei. Se consider o latur oarecare a reelei, uejk Rjk ijk cuprins ntre nodurile j i k (fig. 2.16). Curentul k j din aceast latur se determin cu ajutorul legii lui Ohm, obinndu-se: Vk Vjn Vn=0

i jk = G jk [(Vj Vk ) + u ejk ],

(2.60)

Fig. 2.16

n care Gjk este conductana laturii (Gjk=1/Rjk). Aplicnd prima teorem a lui Kirchhoff19

Electrotehnic

nodului j, rezult relaia:

ik =1 n n

n

jk

= 0.

(2.61)

innd seama de expresia curentului (2.60), relaia (2.61) devine:

Vj G jk G jk Vk + G jk u ejk = 0,k =1 k =1 k =1

n

j k

(2.62)

sau:

Vj G jk G jk Vk = G jk u ejk .k =1 k =1 k =1

n

n

n

(2.63)

Relaia (2.63) se poate scrie sub forma:

Gjj Vj Gjk Vj = i , scjk =1

n

j k,

(2.64)

n care:

Gjj = G jkk =1

n

(jk) reprezint suma conductanelor laturilor care

concur n nodul j; Gjk = G jk este suma conductanelor laturilor care leag direct nodurile j i k;

i = Gjk u ejk reprezint suma curenilor de scurtcircuit a laturilor scjk =1

n

care concur n nodul j. Pentru latura j-k curentul de scurtcircuit este (isc ) jk = G jk u ejk . Se observ c dac sensul sursei de t.e.m. uejk este de la nodul j spre nodul k, curentul de scurtcircuit al laturii j-k se consider cu semnul () n suma curenilor de scurtcircuit, iar dac sensul sursei este spre nodul j, curentul de scurtcircuit corespunztor este pozitiv, fiind injectat n nodul j. Considernd nodul n ca nod de referin pentru poteniale (Vn=0), forma general a sistemului de (n-1) ecuaii independente pentru determinarea potenialelor la noduri este urmtoarea:

20


G11 V1 G12 V2 ... G1,n 1 Vn 1 = i sc1 G V1 + G V2 ... G 1 Vn 1 = i 21 22 2,n sc2 G 1,1 V1 G 1,2 V2 ... + G 1,n 1 Vn 1 = i 1 n n n sc,n Prin rezolvarea acestui sistem se obin potenialele celor (n-1) noduri, dup care se determin curenii din laturi, aplicnd corespunztor legea lui Ohm (rel. 2.60). Exemplul 2.3. S se rezolve circuitul din figura 2.17, prin metoda potenialelor la noduri. Circuitul are n=3 noduri, l=5 laturi i u R1 i1 e1 p=l-n+1=3 ochiuri independente. Se consider nodul 3 ca punct de i2 1 2 referin pentru poteniale (V3=0). R2 Aplicnd metoda potenialelor la noduri ue2 se obin relaiile: R3i3 ue3 R4 i4 3 V3=0 R5 ue5

(2.65)

i5

G11 V1 G12 V2 = i sc1 G V1 + G V2 = i 21 22 sc2 n care:

Fig. 2.17

G11 =

1 1 1 1 + + + ; R1 R 2 R 3 R 4

G12 = G = 21

u u u u u u 1 1 + ; i = e1 e2 e3 ; i = e1 + e2 + e5 . sc1 sc2 R1 R 2 R1 R 2 R 3 R1 R 2 R 5

Prin rezolvarea sistemului de ecuaii se obin valorile potenialelor V1 i V2. n final se calculeaz curenii din laturi (rel. 2.60):

i1 = i3 =

V2 V1 + u e1 V = V2 + u e2 ; ; i2 = 1 R1 R2 V1 + u e3 V2 + u e5 V . ; i 4 = 1 ; i5 = R3 R4 R5

Observaie: Dac circuitul din figura 2.17 s-ar fi rezolvat prin metoda teoremelor lui Kirchhoff, ar fi rezultat un sistem de l=5 ecuaii, iar prin metoda curenilor ciclici s-ar fi obinut un sistem de p=3 ecuaii, deci pentru circuitul analizat metoda potenialelor la noduri este cea mai potrivit deoarece conduce la sistemul cu numrul minim de ecuaii.21

Electrotehnic

2.7.4. Teorema superpoziiei

Conform teoremei superpoziiei curentul dintr-o latur oarecare a unui circuit liniar este egal cu suma algebric a curenilor pe care i-ar stabili n acea latur fiecare surs dac ar aciona singur n circuit. Aceast teorem este o consecin a caracterului liniar al ecuaiilor corespunztoare teoremelor lui Kirchhoff aplicate circuitelor liniare. Exemplul 2.4. S se rezolve circuitul, avnd schema electric reprezentat n figura 2.18, a prin metoda superpoziiei.R1 i1 ue1 i3 R3 a) R2 i2 ue2

R1 i11 ue1 i31 R3 b)

R2 i21

R1 i32 i12 R3 c)

R2 i22 ue2

Fig. 2.18

n figura 2.18, b i c sunt reprezentate schemele corespunztoare situaiilor n care acioneaz n circuit cte o singur surs. Se rezolv circuitul din figura 2.18, b.

i11 =

u e1 R3 u e1 R 3 ; i 21 = i11 ; i 21 = . R2 R3 R2 + R3 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R1 + R2 + R3

n mod similar se obine:

i31 =

u e1 R 2 . R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1

n continuare se rezolv circuitul din figura 2.18, c. i 22 = u e2 R3 ; i12 = i 22 ; RR R1 + R 3 R2 + 1 3 R1 + R 3

i12 =22

u e2 R 3 u e2 R1 ; i32 = . R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1


Aplicnd teorema superpoziiei se obin curenii din laturile circuitului (fig. 2.18, a): i1 = i11 i12 ; i1 = u e1 (R 2 + R 3 ) u e2 R 3 ; R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 u e2 (R1 + R 3 ) u e1R 3 ; R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 u e1R 2 + u e2 R1 . R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1

i 2 = i 22 i 21 ; i 2 = i3 = i31 + i32 ; i3 =2.7.5. Teorema reciprocitii

Se consider un circuit electric liniar, n care acioneaz o singur surs de t.e.m. Conform teoremei reciprocitii, curentul pe care l-ar stabili ntr-o latur j a unui circuit o surs de t.e.m. situat n latura k este egal cu curentul pe care l-ar stabili n latura k aceeai surs situat n latura j, deci:

i jk = i kj .

(2.66)

Exemplul 2.5. Pentru circuitul din figura 2.19, a, curentul din latura 1 produs de sursa din latura 3, are expresia:i13 R1 i23 R2 ue a) ue b) i33 R3 i11 R1 R2 R3 i21 i31

i13 =

ue R2 ; R 1R 2 R 1 + R 2 R3 + R1 + R 2 ueR 2 . R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1

i13 =

Fig. 2.19

Dac aceeai surs se mut n latura 1 (fig. 2.19, b), curentul

din latura 3 are expresia: i31 = ue ueR 2 R2 ; i31 = . R 2R 3 R 2 + R 3 R1R 2 + R 2 R 3 + R 3R1 R1 + R2 + R3

Se constat c i13=i31.2.7.6. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune i de curent

Aceste teoreme permit determinarea numai a curentului dintr-o latur, respectiv a tensiunii la bornele acesteia. Se consider o reea liniar i activ Ra, cu dou borne de acces A i B23

ElectrotehnicA iAB

Ra

uAB

R

B

Fig. 2.20

(fig. 2.20), la care se conecteaz o latur pasiv, avnd rezistena R. Teoremele generatoarelor echivalente arat c reeaua activ considerat admite dou scheme echivalente i anume: - schema generatorului echivalent de tensiune; - schema generatorului echivalent de curent.

2.7.6.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thvenin-Helmholtz) Conform acestei teoreme, curentul iAB, debitat de o reea liniar activ ntr-o rezisten R, conectat la bornele sale (fig. 2.20) este egal cu raportul dintre tensiunea uAB0 de mers n gol la bornele A i B (latura AB ntrerupt) i suma dintre rezistena exterioar R i rezistena echivalent RAB0 fa de bornele A i B ale reelei pasivizate. Pentru demonstrarea acestei teoreme, n schema din figura 2.20 se nseriaz n latura exterioar AB, dou surse avnd aceeai t.e.m., u = u = u AB0 dar de sensuri contrare. Se obine schema echivalent din e e figura 2.21, a (aciunea celor dou surse se anuleaz reciproc). Conform teoremei superpoziiei schema din figura 2.21, a poate fi descompus n alte dou scheme (fig. 2.21 b i c).A iAB A i = 0 AB A i AB RAB0 ue=0 B c)

Ra

uAB

R

Ra

uAB0

R

R

B a)

u e

u e

B b)

u = u AB0 e

u = u AB0 e

Se poate demonstra c n schema din figura 2.21, b, curentul i prin AB latura exterioar este nul. Dac se deconecteaz latura exterioar de la bornele reelei active Ra, aceasta funcioneaz n gol, tensiunea la bornele sale AB fiind uAB0. n acelai timp la bornele laturii exterioare tensiunea este tot uAB0 i curentul i = 0 Prin conectarea laturii exterioare la bornele AB AB tensiunea rmne uAB0, iar curentul i va fi n continuare nul. AB n schema din figura 2.21, c reeaua este pasivizat, n circuit acionnd numai sursa cu t.e.m. u = u AB0 . Curentul i se calculeaz n mod simplu, e AB obinndu-se expresia:24

Fig. 2. 21


i = AB

u u AB0 e = , R + R AB0 R + R AB0

(2.67)

n care RAB0 este rezistena echivalent fa de bornele A i B a reelei pasivizate. Aplicnd teorema superpoziiei referitoare la curentul din latura AB, rezult: i AB = i + i = i AB AB AB deoarece i = 0 sau AB (2.68)

i AB =

u AB0 . R + R AB0

(2.69)

Aceast relaie reprezint teorema generatorului echivalent de tensiune; ea coincide formal cu expresia curentului debitat de un generator, avnd t.e.m. uAB0 i rezistena interioar RAB0, pe o rezisten exterioar R (fig. 2.22). A iAB n concluzie, teorema generatorului ue=uAB0 echivalent de tensiune stabilete c o reea uAB liniar i activ poate fi nlocuit n raport cu R ri=RAB0 dou borne printr-un generator echivalent de tensiune, avnd t.e.m. u e = u AB0 i rezistena B interioar ri = rAB0 .Fig. 2.22

Exemplul 2.6. Pentru circuitul din figura 2.23, a, s se determine intensitatea curentului prin rezistena R3, utiliznd teorema generatorului echivalent de tensiune.A R1 ue1 B a) i3 R3 ue2 ue1 B b) R2 R1 uAB0 ue2 B c) i A R2 R1 R2 A

Fig. 2.23

Pentru determinarea tensiunii de mers n gol uAB0 se consider schema din figura 2.23, b.25

Electrotehnic

Curentul din circuit se poate calcula direct astfel:

i=

u e1 u e2 . R1 + R 2

Aplicnd teorema a doua a lui Kirchhoff pentru ochiul indicat n figur se obine:

u e1 = R1 i + u AB0 ; u AB0 = u e1 R1

u e1 u e2 u R + u e2 R1 ; u AB0 = e1 2 . R1 + R 2 R1 + R 2

Reeaua pasivizat are n raport cu bornele AB, rezistena echivalent:

R AB0 =

R 1R 2 R1 + R 2

Curentul i3 se determin cu relaia (2.69), obinndu-se: i3 = u AB0 R 3 + R AB0 u e1R1 + u e2 R 2 u e1R1 + u e2 R 2 R1 + R 2 = = . R 1R 2 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R3 + R1 + R 2

2.7.6.2. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton) Este o teorem dual celei lui Thvenin, avnd urmtorul enun: cderea de tensiune produs pe o rezisten R, conectat la bornele A, B ale unei reele liniare active, este egal cu raportul dintre curentul de scurtcircuit iABsc al reelei la acele borne i suma dintre conductana laturii AB (G=1/R) i conductana echivalent a reelei pasivizate (GAB0=1/RAB0). Curentul de scurtcircuit iABsc se determin cu ajutorul teoremei lui Thvernin (rel. 2.69) n care se consider R=0,

i ABsc =

u AB0 = G AB0 u AB0 R AB0 u AB0 , R + R AB0

(2.70)

Tensiunea uAB n sarcin este:

u AB = R i AB = R

(2.71)

sau innd seama de relaia precedent, se obine:

26


u AB =

1 G

i ABsc 1 1 G AB0 + G G AB0

;

u AB =

i ABsc . G + G AB0

(2.72)

Aceast relaie reprezint teorema generatorului echivalent de curent. Se poate demonstra c aceeai cdere A i de tensiune se produce pe rezistena i exterioar R, dac aceasta este conectat gi=GAB0 uAB ig=iABsc la bornele unui generator de curent, care R debiteaz un curent constant iABsc i are o conductana interioar gi=GAB0 (fig. B 2.24). Pentru schema din figura 2.24 se Fig. 2.24 pot scrie urmtoarele relaii:

i = i ABsc

ri G = i ABsc ; R + ri G + G AB0

u AB = R i =

i ABsc , G + G AB0

(2.73)

identic cu relaia 2.72. n concluzie, teorema generatorului echivalent de curent stabilete c o reea liniar activ poate fi nlocuit n raport cu dou borne printr-un generator echivalent de curent care debiteaz curentul constant iABsc i are o conductana interioar n paralel, gi=GAB0. Exemplul 2.7. S se determine cderea de tensiune pe rezistena R3 (fig. 2.25, a) prin metoda generatorului echivalent de curent.A R1 R3 ue1 B a) uAB ue2 ue1 B b) R2 R1 i1 A i2 R2 R1 ue2 B c) R2 A

iABsc

Fig. 2.25

Se determin curentul de scurtcircuit la bornele A, B (fig. 2.25, b):

i ABsc = i1 + i 2 =

u e1 u e2 + . R1 R 227

Electrotehnic

Reeaua pasivizat (fig. 2.25, c) are n raport cu bornele A i B, conductana:

G AB0 = G1 + G 2 =Cu relaia 2.72 se obine: u AB = i ABsc G + G AB0

RR 1 1 + = 1 2 R1 R 2 R1 + R 2

u e1 u e2 + u e1R 2 + u e2R1 R1 R 2 . = = R3 1 R1 + R 2 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 + R3 R 1R 2

n exemplele2.6 i 2.7 s-au aplicat teoremele generatoarelor echivalente pentru aceeai latur R3 dintr-un circuit. Se verific imediat c uAB=R3iAB. n conformitate cu teoremele generatoarelor echivalente, o surs de energie poate fi reprezentat n schemele electrice fie ca o surs (generator) de tensiune (fig. 2.26, a) fie ca o surs (generator) de curent (fig. 2.26, b), ambele fiind ue scheme echivalente ale sursei reale. gi isc Considerarea surselor de energie ca surse ri de tensiune sau surse de curent este o chestiune de natur teoretic i apare n legtur cu a) b) calculul circuitelor electrice, rezultatele fiind, Fig. 2.26 evident, aceleai n ambele cazuri. O surs de tensiune se consider ideal (fig. 2.27, a) dac rezistena intern ri este nul. n acest caz tensiunea la bornele sursei (ub=ue) este independent de curentul debitat. Analog o surs de curent se isc ue consider ideal (fig. 2.27, b) dac conductana intern gi este nul, curentul debitat de surs n acest caz fiind independent de tensiunea de la a) b) bornele sale (i=iABsc). Fig. 2.27 Existena acestor surse ideale, cu tensiune la borne constant sau curent debitat constant, independent de rezistena receptorului, justific denumirile de surs de tensiune, respectiv surs de curent. n practic nu exist astfel de surse, ele reprezentnd scheme echivalente ideale ale surselor de energie.

28

cap 2 electrotehnica

Documents