CAPITOLUL 12

SOLICITĂRI DINAMICE

12.11. CONSIDERAŢII GENERALE

În foarte multe aplicaţii inginereşti şi în special în construcţiile

de maşini se întâlnesc piese şi sarcini care nu satisfac condiţiile

solicitării statice, admisă până acum. Solicitările dinamice sunt

rezultat al mişcării piesei studiate, sau al altor corpuri, care aplică,

asupra ei sarcini dinamice.

La solicitarea staticǎ se admite că vitezele şi acceleraţiile sunt,

practic, nule, la cea dinamică intervin şi aceste mǎrimi cinematice, în

cele mai variate feluri: constante (un volant în mişcare de rotaţie

uniformă), variabile continuu, variabile cu discontinuităţi.

O sistematizare a modului de variaţie a acestor mărimi

cinematice, după efectul mecanic asupra piesei studiate, permite

gruparea solicitărilor dinamice astfel:

a). Solicitări prin forţe de inerţie, datorate unor acceleraţii mari,

constante sau variabile continuu, întâlnite la: cabluri de ascensoare,

volanţi, discuri de şlefuit, rotori de turbine etc.

b). Solicitări prin şocuri, cauzate de variaţii bruşte (discontinui) ale

vitezelor şi acceleraţiilor.

c). Solicitări la oboseală, datorate unor variaţii periodice (uneori

aleatoare) ale eforturilor, repetate de un număr mare de ori. Studiul

cinematic şi dinamic al mişcărilor ce au loc la aceste solicitări face

obiectul vibraţiilor mecanice.

264

Aceste 4 capitole mari ale mecanicii corpurilor deformabile

au metode proprii de studiu, adesea fac obiectul unor cursuri şi

tratate separate.

În capitolul de faţă se vor studia numai câteva exemple de

solicitări prin forţe de inerţie şi solicitări prin şocuri.

12.2. SOLICITĂRI PRIN FORŢE DE INERŢIE

Piesele solicitate prin forţe de inerţie se studiază la fel cu cele

solicitate static, dacă se adaugă forţele de inerţie, după care se

determină eforturile, prin metodele cunoscute.

12.2.a. CALCULUL CABLULUl DE MACARA SAU ASCENSOR

În cablul de ascensor, efortul cel mai

mare are loc în perioada de pornire de jos in

sus (Fig. 12.1).

Dacă mişcarea are. loc cu o acceleraţie

, forţa axială în capătul superior al cablului

este:

(12.1)

Fig. 12. 1

Când greutatea cablului este mică în comparaţie cu a cabinei,

q se neglijează.

265

12.2.b. BARA ÎN MIŞCARE DE ROTAŢIE

Tija OA, (fig. 13.2), de greutate p N/mm şi lungime l, are

în capăt o bilă de greutate G şi se roteşte, în plan orizontal, cu vite-

za unghiulară , în jurul punctului O. Se cere să se determine forţa

axială maximă din tijă.

Aceasta forţă are loc în punctul O şi este egală cu forţa

centrifugă a bilei:

plus forţa centrifugă a tijei. Pentru un element din tijǎ, la distanţa

de punctul O, forţa

centrifugă este:

Fig. 12. 2

iar pentru întreaga tijă:

Forţa axială din bară, în punctul O este:

(12. 2)

266

12.2.c. ÎNCOVOIEREA PRODUSǍ DE FORŢELE DE INERŢIE ÎN BIELA

MOTOARE

La mecanismul bielă-manivelǎ (Fig. 12.3), în poziţia în care

unghiul dintre bielă şi manivelă este de 90°, acceleraţiile

perpendiculare pe bielǎ variază aproximativ liniar, având valoarea

maximǎ în punctul B

(butonul de manivelǎ). În realitate,

în capătul P acceleraţia nu este

chiar nulă, ci are valoarea:

Fig. 12. 3

Pentru un raport curent; rezultǎ:

adică o valoare, cu totul neglijabilă;

Admiţând distribuţia triunghiularǎ a componentei normale pe

bielă a acceleraţiei, rezultă o distribuţie triunghiularǎ a forţelor de

inerţie, ca în Fig. 12.3. Dacă A este secţiunea tijei bielei, masa pe

unitatea de lungime este:

iar forţa de inerţie pe unitatea de lungime, calculată în capătul B al

bielei, este:

267

(12. 3)

Biela, fiind încărcată cu o sarcină triunghiularǎ, normalǎ pe axa

longitudinală, corespunde schemei, deci are momentul maxim:

(12.4)

unde s-a înlocuit p prin f1. Dacǎ modulul de rezistenţă al secţiunii tijei

este W, efortul unitar produs în tijă este:

(12. 5)

Acest efort unitar, proporţional cu , are valori însemnate în

special la motoare cu turaţie mare.

12.2.d. CALCULUL APROXIMATIV AL VOLANTULUI

Calculul aproximativ al volantului se face în baza următoarelor

ipoteze simplificatoare:

se neglijează existenţa spitelor;

obada are grosime mică, în comparaţie cu raza R (Fig. 12.4);

se ia în considerare numai efectul forţelor de inerţie, neglijând

greutatea.

În aceasta situaţie, volantul este solicitat numai la întindere.

Făcând o secţiune, ca în Fig. 12.4, b şi scriind echilibrul jumătăţii de

268

volant, se află forţa axialǎ. Un element din coroana volantului,

haşurat pe desen, este supus forţei centrifuge:

Proiectând toate forţele pe verticalǎ, rezultă:

(12. 6)

unde s-a notat cu v viteza centrului

de greutate al secţiunii obezii.

Efortul unitar in volant este:

(12.7)

Se vede cǎ acest efort unitar este independent de aria secţiunii

volantului, deci formula (12.7) nu poate servi la dimensionarea

secţiunii. De fapt, masa volantului se calculează ţinând seama de

energia cinetică pe care trebuie să o acumuleze, volantul. În schimb,

dacă se dă rezistenţa admisibilă, formula poate servi la calculul

269

vitezei admisibile v, din care rezultă raza volantului. Astfel, pentru

volanţi de fontă, dacă se ia şi

rezultǎ:

Dându-se rezultǎ R, sau invers. S-a luat pentru o valoare

atât de micǎ din cauza, calculului aproximativ fǎcut. Calculul exact

aratǎ ca eforturile unitare pot atinge valori mult mai mari decât cele

date de formula (12.7). Pentru oţel rezistenţele admisibile sunt mult

mai mari, fapt care justificǎ, utilizarea volantului de oţel atunci când

nu poate fi realizat din fontă, din cauza depăşirii rezistenţei

admisibile.

Se poate determina şi lungirea coroanei volantului sub efectul

forţelor de inerţie:

(12.8)

Dacǎ lungimea coroanei creşte cu , raza R a volantului se

lungeşte cu:

(12.9)

Atunci când grosimea obezii nu mai este neglijabilǎ, în

comparaţie cu R, eforturile unitare nu se mai distribuie uniform pe

270

secţiune. Calculul exact al volantului, ţinând seama de efectul

spiţelor, este făcut în cursurile de organe de maşini.

12.2.e. EFORTURI ÎNTR-UN INEL CARE SE ÎNVÂRTE ÎN JURUL UNEI AXE

DIAMETRALE

Inelul subţire din Fig. 12.5, de diametru mediu 2R şi secţiune A,

se roteşte în jurul diametrului vertical AB eu viteza unghiularǎ .

Dacă se neglijează efectul greutăţii proprii, deformaţia inelului

Fig. 12. 5 Fig. 12. 6

este simetrică, cum se arată în Fig.13.6.

Într-o secţiune oarecare, definită prin unghiul a faţa de

diametrul orizontal, acceleraţia este:

Asupra unui element de masă din jurul punctului M:

271

acţionează forţa de inerţie orizontală:

iar asupra unităţii de lungime din circumferinţa inelului:

Forţele de inerţie

orizontale sunt, echilibrate

de forţele axiale din

secţiunile A şi B:

Fig.12.7

Forţa axială maximă este:

Pentru a determina celelalte eforturi, trebuie rezolvatǎ problema

static nedeterminatǎ. Se. secţionează un sfert din inel, ca în Fig.

12.7. Considerente de simetrie aratǎ cǎ atât în A cât şi în D forţa

272

tăietoare este nulă. Sistemul este simplu static, nedeterminat,

singura Fig. 12. 7necunoscutǎ fiind: (Momentul MA se aflǎ

apoi dintr-o ecuaţie de echilibru). Într-o secţiune oarecare P, la

unghiul , momentul încovoietor în sistemul de bază este:

În aceastǎ expresie, variabila de integrare este , deci:

Dacǎ în punctul D, în sistemul de bază, se aplică un cuplu egal

cu unitatea, în locul lui X1, într-o secţiune oarecare:

Necunoscuta static nedeterminatǎ se află din relaţia:

Se calculează coeficienţii şi :

273

Faptul că s-a obţinut o valoare pozitivă, arată cǎ momentul

are sensul ales în Fig. 12.7.

Pentru a calcula pe se scrie o ecuaţie de momente, de

exemplu faţă de centrul O al arcului,

de unde rezultǎ:

Într-o secţiune oarecare,

momentul încovoietor este:

(12.10)

274

Fig. 12. 8

Se observă că acest moment se anulează pentru:

Diagrama de momente încovoietoare este desenată în Fig.

12.8.

12.2.f. EFECTUL MONTAJULUI ÎNCLINAT AL UNUI VOLANT PE

ARBORE

Se considerǎ volantul

din Fig. 12.9, în ipoteza

calculului aproximativ descris

anterior, montat, din

greşeală, cu o înclinare

faţǎ de planul normal pe

arbore. Din aceastǎ cauzǎ,

forţele de inerţie caută să redreseze volantul, tinzând a-l aduce în

poziţia corectǎ, dar producând asupra arborelui un cuplu , care

se, adaugă solicitărilor cauzate de funcţionarea normală. Se va

calcula mărimea cuplului datorat montajului greşit.

Un element de arc, de. lungime este supus forţei

Fig.12. 9

de inerţie radiale:

275

Această forţǎ are o componentă verticală:

Se calculează rezultanta forţelor , şi poziţia punctului de

aplicaţie al lor, G:

Cuplul forţelor este:

(12.11)

Se mai poate da şi altă expresie cuplului , în funcţie de

energia cinetică a arborelui. Pentru un inel având toată masa m la

distanţa R de axul de rotaţie, momentul de inerţie este:

276

iar energia cinetică în mişcarea de rotaţie:

(12.12)

Comparând (12.9) cu (12.10), rezultǎ:

(12.13)

Cuplul produce asupra arborelui momente încovoietoare

care depind de locul de aplicare al lui şi modul de rezemare a

arborelui.

APLICAŢIE

Să se calculeze secţiunea unul cablu de ascensor, din oţel cu

, pentru o sarcinǎ , dacǎ el trebuie sǎ ajungă la

viteza de ridicare pe o distanţǎ . Se va neglija masa

cablului.

unde este viteza iniţială ( ) şi durata accelerării. Mişcarea de

ridicare fiind uniform acceleratǎ se poate scrie:

277

Se eliminǎ din formulele de mai sus şi rezultǎ valoarea acceleraţiei:

Forţa care întinde cablul este:

Secţiunea cablului este:

12.3. SOLICITǍRI PRIN ŞOC

Solicitarea prin şoc se produce când asupra unui corp intervine

o variaţie bruscă de viteză. Şocul este urmarea contactului între

corpuri produs într-un timp extrem de scurt. În urma şocului, se

produce o forţǎ de contact foarte mare, greu de evaluat.

În zona de contact dintre corpurile care se lovesc se produc

eforturi unitare locale foarte mari, urmate,de obicei, de apariţia

unor deformaţii permanente. În afarǎ de acestea, şocul se propagǎ,

cu efect mai redus. în toata masa corpurilor ce se lovesc. Din cauza

acestor douǎ efecte, local şi general, studiul şocului prezintă

numeroase dificultǎţi şi face obiectul multor cercetări şi în zilele

278

noastre.

Lăsând la o parte fenomenul local din zona de ciocnire,

solicitarea prin şoc poate fi asimilată unei solicitări statice, din

considerente energetice. Se ajunge astfel la o soluţionare

aproximativǎ a problemei, care va f expusă în cele ce urmează.

12.3.a. SOLICITAREA LA ÎNTINDERE SAU COMPRESIUNE PRIN ŞOC.

SOLICITAREA LA ÎNCOVOIERE PRIN ŞOC

Se consideră bara de lungime l şi secţiune A, din fig. 12.11. a,

în lungul căreia cade o greutate F de la înălţimea h. În momentul în

care greutatea loveşte opritorul, se produce solicitarea la întindere

prin şoc în urma căreia bara suferă o lungire . După atingerea

acestei deformaţii corpul F se opreşte, apoi bara începe să se

scurteze şi se produc o serie de oscilaţii longitudinale ale barei.

Solicitarea la compresiune prin şoc se explică prin schema din fig.

12.11, b, unde bara de lungime l este rezemată pe o placǎ rigidă, iar

greutatea F cade de la înălţimea h.

Considerând cǎ întreaga energie cinetică a greutăţii G, egală cu

lucrul mecanic, produs de forţa G

este cedată barei ca energie de

deformaţie şi folosind expresia (10.4)

a energiei de deformaţie, rezultǎ:

279

Luând ca necunoscutǎ pe . se scrie Fig. 12.10

ecuaţia de gradul al doilea:

a cărei soluţie este:

Este valabilă numai soluţia cu plus, deoarece cea cu minus

conduce la valori negative pentru , ceea. ce este imposibil.

Se vede cǎ în expresia lui apare deformaţia pe care ar

produce-o forţa G dacǎ s-ar aplica static:

(12.14)

Cu aceastǎ notaţie, expresia deformaţiei dinamice devine:

Expresia din paranteză se notează:

280

(12.15)

şi poartǎ numele de multiplicator de impact sau multiplicator de

ciocnire.

Cu notaţia , expresia deformaţiei devine:

(12.16)

Coeficientul are in general valori mari, deoarece , este de

obicei foarte mic. În aceste cazuri se neglijează 1 din faţa radicalului

şi de sub radical în formula (12.15) şi rezultǎ formula simplificată, a

lui :

(12.17)

Uneori, în loc de înălţimea de cădere h se dǎ viteza v a şocului.

În aceste cazuri se foloseşte relaţia căderii libere:

expresia lui devenind:

(12.18)

Deformaţiile fiind proporţionale cu eforturile unitare , în baza

relaţiei (12.16) se poate scrie efortul unitar dinamic:

281

(12.19)

Înlocuind expresia, simplificată. (12.17) şi luând , relaţia

(12.19) se poate transforma în formula de dimensionare:

Ridicând la pătrat, rezultă:

(12.20)

Se observǎ cǎ la dimensionare unei bare solicitate prin şoc

intereseazǎ nu numai secţiunea, ci şi lungimea ei, şi anume cu cât

bara are un volum mai mare, cu atât ea rezistă unui şoc mai puternic.

Dacă se porneşte de la formula (12.15) a lui , se găseşte:

(12.21)

Interesant de examinat este cazul în care o sarcină se aplicǎ

brusc, de la înălţimea . Formula (12.15) dă:

Se poate spune deci că: efectul unei sarcini aplicate brusc, fără

înălţime de cădere, este dublu decât al uneia aplicate static, adică cu

282

mărime crescând lent de la zero pînă la valoarea finală. Aceeaşi

constatare se face şi în baza formulei de dimensionare (12.21) care

pentru înălţimea de cădere nulă se transformă în:

În mod complet analog se tratează problema solicitării la

încovoiere prin şoc. Aşa, spre exemplu, la bara din Fig. 12.11,

exprimând energia de deformaţie în funcţie de săgeata f şi scriind

egalitatea între energia cineticǎ a greutăţii F şi cea de deformaţie a

barei, rezultǎ:

Rezolvarea ecuaţiei în raport cu f dǎ soluţia:

Fig. 12.11

Notând:

se găsesc formule similare cu cele stabilite anterior:

283

(12.22)

(12.23)

Examinând expresia lui , se constată cǎ el este cu atât mai

mare cu cât deformaţia statică ( , sau f,) este mai mică. Când

deformaţia statică este extrem de micǎ, coeficientul ia valori foarte

mari şi. ca urmare, efortul unitar prin şoc devine periculos ducând la

ruperea piesei. Astfel de materiale se numesc fragile. Se ştie că

oţelurile de mare rezistenţǎ se deformează mult mai puţin decât cele

de rezistenţa mică, deci sunt mai fragile. Rezultă de aici cǎ pentru

piesele de maşini supuse la şocuri puternice sunt mai indicate

oţelurile de rezistenţǎ mică.

12.3.b. SOLICITAREA LA RǍSUCIRE PRIN ŞOC

Se considerǎ un arbore de diametru d, pe care se aflǎ un volant

cu momentul de inerţie mare J, în mişcare de rotaţie cu viteza

unghiularǎ (Fig. 12.12). La un moment dat se produce o blocare

bruscă a arborelui, într-o secţiune oarecare F, la distanţa l de la

volant. Aceasta blocare se face într-un timp extrem de scurt, ceea,

ce împiedicǎ producerea de cǎldură prin frecare, aastfel încât

întreaga energie cineticǎ a volantului

se transformǎ în energie de

deformaţie a arborelui. Urmează sǎ se

determine efortul unitar de răsucire

284

produs de către şoc în arbore.

Fig. 12.12

În acest scop se va egala energia cinetică a volantului:

cu energia de deformaţie a arborelui:

Se elimină din această relaţie M, spre a se exprima energia în

funcţie de efortul unitar de la periferia secţiunii arborelui:

Făcând înlocuirile:

rezultǎ:

285

Din egalarea celor douǎ energii:

(12.24)

se calculează . Se observă, că acest efort unitar este cu atât mai

mic cu cât volumul V care participǎ la şoc, deci cu cât lungimea l,

este mai mare.

În ceea ce priveşte, momentul de inerţie masic, pentru un

volant de greutate F, având forma unui disc plin de diametru D,

expresia sa este:

(12.25)

iar dacă volantul are forma unei coroane circulare subţiri, de

diametru mediu D:

(12.26)

Un calcul mai exact aratǎ cǎ J trebuie sǎ includă şi momentul de

inerţie masic al arborelui.

APLICAŢIE

Un pilot de lemn, de dimensiuni şi este bătut cu

un berbec de greutate , căzând de la înǎlţimea . Sǎ se

calculeze efortul unitar produs în pilot în urma loviturilor.

286

Se foloseşte formula aproximativǎ a lui , din care rezultǎ:

Se înlocuiesc valorile numerice:

şi rezultǎ:

Dacǎ pilotul este din stejar, cu şi

valoarea obţinută este admisibilǎ.

12.4. EFECTUL MASEI CORPULUI LOVIT ASUPRA SOLICITĂRII PRIN

ŞOC

În stabilirea expresiei multiplicatorului de impact s-a neglijat

energia cinetică pe care o preia masa barei lovite, diminuând în

acest fel energia de deformaţie, deci reducând efortul şocului. În cele

ce urmează se va arăta cum se ia în considerare efectul masei

proprii a corpului lovit, tratând problema in cazul particular al şocului

axial.

Dacǎ greutatea, P, care cade pe bară. are înainte de şoc viteza

v după şoc va avea o viteză, v egală cu viteza capătului lovit al barei.

Se consideră că viteza diferitelor secţiuni ale barei scade, de-a lungul

ei, liniar, de la v până la zero (în capătul fix), astfel ca într-o secţiune

oarecare, la distanţa , x de la capătul lovit, ea este:

287

Energia cineticǎ a unui element de bară, de lungime dx, situat

la distanţa x de la capătul lovit, este:

Integrând pe lungimea barei, rezultǎ:

unde s-a notat cu greutatea proprie a barei.

Expresia poartă numele de greutate redusă a barei; ca

urmare, energia cinetică a barei se mai scrie:

Coeficientul:

(12.27)

care serveşte la calculul greutăţii reduse:

288

(12.28)

se numeşte coeficient de reducere a greutăţii (sau masei) barei.

Se observă că prin introducerea noţiunii de greutate sau masă

redusă se poate considera că întreaga masă a barei lovite se află în

punctul unde s-a produs şocul şi are, după şoc, viteza v1.

Scriind teorema, conservării impulsului, înainte şi după şoc,

rezultă:

de unde se obţine viteza după şoc:

(12.29)

unde h este înălţimea de cădere a greutăţii P.

Energia cinetică totală a greutăţii P şi a greutăţii reduse kQ, în

momentul imediat după şoc, este:

Adăugând la aceasta lucrul mecanic al forţei P, în timpul

deformaţiei dinamice , se găseşte energia totală care va fi cedată,

barei:

289

Această energie se egalează cu cea, de deformaţie a barei:

(12.30)

şi se repetă aceeaşi succesiune de calcule ca la stabilirea formulei

(12.15), Se observă ca relaţia de mai sus revine la cea anterioară

dacă se introduce o înălţime de cădere redusǎ:

ceea ce face ca expresia lui tf sa devină:

(12.31)

S-a arătat că pentru şocul axial . Pentru o bară simplu

rezemată, supusă unui şoc transversal în mijloc, se găseşte

, pentru bara încastrată, lovită în capătul liber, .

La pilotul de stejar de la aplicaţie, dacă se aplică relaţia

(12.31), se obţine un efort unitar dinamic cu 8% mai mic decât cel

290

calculat anterior.

291