Calculul rezistenţelor hidraulice

8.1. Expresii generale de calcul al rezistenţelor hidraulice

8.1.1. Noţiuni generale

La baza calcului practic al rezistenţelor hidraulice, numite adeseori pierderi de sarcină, se află noţiunile, principiile şi ecuaţiile generale expuse în capitolele în care s-au studiat mişcările laminară şi turbulentă.

Determinarea pierderilor de sarcină, definite anterior ca lucrul mecanic rezistiv datorat rezistenţelor vâscoase şi turbulente ale fluidelor reale, este o problemă complicată deoarece, pe de o parte, fenomenele în mişcare în conducte, canale etc.; trebuie studiate în toată complexitatea lor, iar, pe de altă parte, pierderile de sarcină prezintă ca fenomen şi alte aspecte neincluse în definiţia anterioară.

În afara disipărilor de energie distribuite uniform în lungul curenţilor de fluid, numite pierderi liniare sau distribuite, proporţionale cu lungimea curgerii, mai iau naştere şi pierderi locale, hl, care apar pe porţiunile scurte ale curgerii (numite singularităţi) şi car sunt datorate variaţiei mărimii sau direcţiei vitezei sau a ambelor elemente ale acesteia. Aceste variaţii ale mărimii şi direcţiei vitezei sunt provocate de variaţii de secţiune şi de traseu ale curentului, ca de exemplu, îngustarea sau lărgirea de secţiune, coturi, ramificaţii, vane, etc. Pierderile de sarcină liniare definite prin ecuaţiile de mişcare laminară şi turbulentă ale fluidelor reale exprimă corect cauzele interne care le generează, dar cauzele externe, condiţionate de rugozitatea şi natura pereţilor solizi în contact cu fluidul şi influenţa acestor cauze, cantitativă şi calitativă, asupra pierderilor de sarcină nu sunt prinse în ecuaţii. Pierderile de sarcină depind în mare măsură de materialul din care sunt confecţionate conductele, canalele, de felul cum sunt alcătuite din elementele lor constructive, de calitatea execuţiei, de factorii provenind din exploatare, de uzură, etc.

Sunt numeroase cazurile tehnice în care determinarea pierderilor de sarcină este cea mai importantă problemă, ceea ce face ca studiul legăturilor care există între pierderile de sarcină ţi numeroşi alţi factori care se manifestă în mişcările practice ale fluidelor reale să constituie una din problemele fundamentale ale mecanicii fluidelor aplicate.

Pe baza a numeroase studii şi cercetări, s-a convenit ca pierderile de sarcină să se raporteze la energia cinetică a fluidului în mişcare, deci să se admită că structural formula acestora este de forma:

(8.1)

în care r este un coeficient de rezistenţă care depinde de tipul pierderii de sarcină.

Coeficientul rezistenţelor liniare este de forma: , în care l este lungimea, D este

diametrul conductei, iar coeficientul pierderilor de sarcinγ liniară, care depinde, la rândul lui, de regimul de mişcare şi de natura pereţilor conductei sau canalului. Coeficientul

1

rezistenţelor locale l, denumit coeficientul pierderilor de sarcină locală, este, în majoritatea cazurilor, un coeficient experimental.

Se introduce noţiunea de pantă hidraulică sau pierdere de sarcină specifică, pe unitatea de lungime a curentului de fluid, J, definită prin raportul dintre pierderea de sarcină liniară hd , dintredouă puncte 1şi 2 şi lungimea l pe care are loc această pierdere de sarcină

(8.2)

rezultă de asemenea :

(8.3)

Natura regimului de mişcare influenţează în mod direct asupra rezistenţelor hidraulice liniare prin influenţa diferită a vitezei V, care variază în cazul celor două regimuri de mişcare, laminar şi turbulent.

8.1.2. Principiul compunerii rezistenţelor hidraulice

Acest principiu constă în aceea că fiecare pierdere de sarcină (rezistenţă hidraulică) ia naştere în mod complet şi independent de acţiunea pierderilor (rezistenţelor) vecine.

Conform acestui principiu, pierderea de sarcină totală este suma aritmetică a pierderilor de sarcină liniare şi locale. Astfel pentru un curent hidraulic de lungime totală în lungul căruia apar şi pierderi de sarcină locale,

, (8.4)

în care hd este pierderea de sarcină liniară de pe lungimea totală ltot şi este suma tuturor

pierderilor locale de sarcină.

8.1.3. Formule echivalente pentru rezistenţele hidraulice liniare

O primă formulă fundamentală este aceea a lui H.P.G. Darcy, dedusă anterior ca o aplicare a metodelor analizei dimensionale

(8.5)

Această formulă se aplică conductelor cu secţiune circulară constantă. Se poate aplica şi pentru alte forme ale secţiunii înlocuindu-se diametrul D cu diametrul hidraulic DH = 4R, unde R raza hidraulică definită ca raportul dintre secţiunea conductei şi perimetrul udat al

2

secţiunii. Exprimând viteza funcţie de debit, formula (8.5) se mai scrie

sub forma

(8.6)

unde coeficientul 0,0826 corespunde exprimării în sistemul SI.În general, coeficientul rezistenţelor liniare depinde de numărul Reynolds al curgerii

Re = VD/, deci de regimul de mişcare şi de rugozitatea pereţilor conductei.O a doua formulă fundamentală a pierderilor liniare este formula lui A. de Chezy. În

formula (8.5) introducând panta hidraulică şi raza hidraulică R=D/4, se determină viteza

sub forma : ; se notează şi se obţine

formula lui Chezy,

. (8.7)

Cunoscând coeficientul lui Chezy, C, se poate determina . Formula lui Chezy poate fi aplicată şi în studiul mişcărilor cu suprafaţă liberă.

Din formula lui Chezy se obţin relaţiile de calcul

;

(8.8)

se introduce modulul de debit RCAK şi se obţine:

. (8.9)

Modulul de debit K, reprezintă debitul Q pentru panta J = 1 şi are aceeaşi unitate de măsură ca şi Q. Se introduce mărimea numită modulul vitezei , având aceeaşi dimensiune ca şi viteza V, în formula (8.7) şi rezultă

, (8.10)

relaţie cunoscută sub numele de formula echivalentă a lui Chezy.

8.2. Noţiunea de rugozitate

În studiul problemei pierderilor de sarcină în mişcările turbulente în conducte sub presiune şi în canale cu suprafaţă liberă, este necesară definirea unui nou parametru, anume rugozitatea pereţilor solizi.În practica pereţii conductelor sau canalelor prezintă asperităţi sau neregularităţi distribuite uniform pe suprafaţa acestora ,cu înălţimi mici în comparaţie cu dimensiunile secţiunii de curgere . Aceste elemente constituie rugozitatea pereţilor. Influenţa rugozităţii se manifestă în sensul creşterii rezistenţelor hidraulice deci al mărimii disipărilor de energie şi se datorează

3

atât eforturilor tangenţiale de frecare vâscoasă cît şi unor tensiuni normale, ambele generate de mişcarea fluidului în jurul elementelor rugoase .

Rugozitatea conductelor sau canalelor existente în condiţii de uzină sau de şantier se numeşte rugozitate naturală, iar rugozitatea realizată în condiţii de laborator, prin metode speciale, se numeşte rugozitate artificială.

În ce priveşte forma asperităţilor sau neregularităţilor se deosebesc rugozităţile de asperitate şi cele de ondulaţie (fig. 8.1, a, b).

În general structurile cristaline (fontă, oţel, beton) formează o rugozitate de asperitate , iar structurile sticloase sau vâscoase (sticlă, plumb, bitum, material plastic) o rugozitate de ondulaţie . În rugozitatea de ondulaţie este posibil ca filmul laminar să modeleze ondulaţiile fără să se producă dezlipiri şi ruperi ale acestuia aşa cum se întâmplă în cazul rugozităţii de asperitate .

Datorită mărimii diferite a elementelor de rugozitate , a formei neregulate şi a dispunerii lor variate, rugozitatea naturală nu permite o exprimare matematică directă, legată de exemplu de mărimea geometrică şi distribuţia acestor elemente. De aceea în experimentele de laborator se recurge la rugozităţi artificiale . J. Nikuradse a realizat o rugozitate artificială creată cu ajutorul granulelor sferice de nisip calibrat fixat cu un lac de pereţii conductei. În acest caz rugozitatea este exprimată de diametrul k al granulelor (fig. 8.2). În locul mărimii k

se foloseşte în mod obişnuit mărimea , numită rugozitatea absolută ; coeficientul

Fig. 8.1. Rugozitatea naturală:a. rugozitate de asperitate; b. rugozitate de

ondulaţie.

Fig. 8.2. Rugozitate artificială realizată cu granule sferice de nisip.

intervine datorită faptului că granulele nu lucrează decât cu aproximativ jumătate din înălţimea lor. Raportul / , în care este raza conductei , sau raportul /D, în care D = 2 este diametrul conductei sau raportul /R , în care R este raza hidraulică , se numeşte rugozitate relativă. Mărimea inversă rugozităţii relative se numeşte netezime relativă. Rugozitatea naturală se exprimă prin mărimea De, numită rugozitate echivalentă, reprezentând rugozitatea granulară care produce aceeaşi pierdere de sarcină cu rugozitatea naturală cu care se echivalează. Analog se definesc rugozitatea relativă echivalentă şi netezimea relativă echivalentă.

În studiul mişcărilor turbulente în conducte este necesară clasificarea acestora în conducte cu pereţi hidraulic netezi şi conducte cu pereţi hidraulic rugoşi. În prima categorie intră conductele cu pereţi tehnic netezi şi conductele cu înălţimea elementelor de rugozitate suficient de mică, încât aceasta să rămână în timpul curgerii în interiorul substratului filmului laminar. În a doua categorie intră conductele cu înălţimea elementelor de rugozitate relativ mare, mai mare decât grosimea substratului laminar.

4

8.3. Calculul rezistenţelor hidraulice liniare

Modelul clasic al curgerii turbulente în apropierea unui perete rigid constă, după Nikuradse, Karman şi alţii în împărţirea câmpului de curgere în trei domenii în funcţie de

distanţa y de la perete, reprezentând exprimarea adimensională a distanţei de la

perete. Cele trei domenii sânt: pentru , zona substratului (filmului) laminar; pentru , zona de tranziţie ; pentru , zona curgerii deplin turbulente (în care se poate

aplica profilul de viteză logaritmic).

Semnificaţia cea mai importantă a valorii , respectiv obţinut din

prin înlocuirea lui y în şi 0

* v , este aceea că se obţine o indicaţie destul de

exactă în ce priveşte influenţa rugozităţii peretelui. Într-adevăr , rugozităţile peretelui solid cu o înălţime mai mică decât se află în întregime în substratul laminar şi în acest caz peretele se comportă ca un perete neted . În practică se consideră peretele hidraulic neted până la

valoarea . Pentru o înălţime a rugozităţii mai mare decât , acestea pătrund în zona

curgerii turbulente mărind frecarea vâscoasă. Se consideră peretele hidraulic rugos la valori

ale înălţimii rugozităţilor mai mari ca .

În cazul curgerii în conducte cu pereţi netezi, hidraulic sau tehnic , coeficientul depinde numai de numărul Re. Pentru valorile , coeficientul se calculează cu formula lui H. Blasius,

. (8.11)

Pentru valori se poate folosi formula lui Konakov,

, (8.12)

care dă valori satisfăcătoare pentru . Pentru curgerile în conducte rugoase se foloseşte formula lui Nicuradze

2Dlg214,1

, sau , (8.13)

valabile pentru domeniul numerelor Reynolds mari la care coeficientul nu mai depinde decât de rugozitatea peretelui.

8.4. Diagrame practice de calcul ale coeficientului pierderilor de sarcină liniare.

J. Nicuradze a determinat coeficientul pierderilor de sarcină liniare efectuând experienţe cu conducte având o rugozitate artificială omogenă realizată cu granule de nisip de acelaşi diametru R , lipite una lângă alta pe peretele interior al conductei. În funcţie de diametrul conductei şi de mărimea granulelor, rugozitatea relativă K/D a luat valori cuprinse

5

între 1/1014 şi 1/30 . Diagrama lui Nikuradze centralizează rezultatele experimentale obţinute pentru conducte netede şi rugoase.

Fig. 8.3. Diagrama lui Moody.

Diagrama lui Nikuradse are o importanţă principală, deoarece se referă la rugozitatea omogenă (de nisip) , neîntâlnită în practică. Dacă se introduce noţiunea de rugozitate echivalentă, se obţine diagrama lui L. F. Moody (figura 8.3), analogă diagramei lui Nikuradse.

6