Exerciţii propuse.Integrare prin părţiSă se calculeze integralele nedefinite:

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

§ 2. Calculul direct al unor integrale nedefinite

Ne propunem, în continuare, să vedem cum se foloseşte tabelul de mai sus.Să se calculeze următoarele integrale nedefinite:

Exerciţii rezolvate.

R ) + C , ( În formula 4’) am luat

)

R ) (vezi relaţia 1), Teorema II.9.) (vezi relaţia 2), Teorema II.9.)

( C) ( C) + ( + C)

+ C C + C

+ C ;

R ) + C , ;

R ) + C , ;

R ) + C , ;

( În formula 6’) am luat )

R )

+ C , ;

R ) + C , , ;

( În formula 7) am luat )

R ) + C , ;

( În formula 12) am luat )

R )

= + C, ;

R )

=

= =

= + C , , I interval din domeniul

de definiţie al funcţiei f(x) =

Exerciţii propuse.

E ) E )

E ) E )

E ) E )

§ 3. Reguli şi metode de calcul pentru primitive

Aşa după cum am precizat în paragraful anterior, există situaţii când pentru determinarea primitivelor unor funcţii nu poate fi folosit direct tabelul primitivelor imediate. În astfel de cazuri folosim metode speciale de calcul, cum ar fi:

- metoda integrării prin părţi- metoda schimbării de variabilă, etc.

3.1. Metoda integrării prin părţi

TEOREMA III.2. Dacă funcţiile f, g :I sunt derivabile, cu derivatele continue pe intervalul I, atunci funcţiile f g, f’ g şi f g’ admit primitive pe I şi are loc relaţia : Această relaţie se mai numeşte FORMULA DE INTEGRARE PRIN PĂRŢI

Demonstraţie.Funcţiile f şi g fiind derivabile pe I, sunt şi continue pe I, deci funcţiilef g, f’ g şi f g’ sunt continue pe I, ca produse de funcţii continue (vezi ipoteza!).Prin urmare, acestea admit primitive pe I. (vezi teorema II.1.)Pe de altă parte are loc egalitatea (f g)’ = f’ g + f g’ sau f g’= (f g)’- f’ gDacă ţinem cont de aditivitatea integralei nedefinite, obţinem:

, adică

Teorema este complet demonstrată.COMENTARIU În formula de integrare prin părţi intervin patru funcţii: f, f’, g, g’. Funcţiile f şi g’ se aleg convenabil, astfel încât integrala: să fie

mai simplă decât integrala de calculat, adică decât integrala: , iar funcţiile f’ şi g se determină. În principiu, factorul mai complicat se notează cu f(x), iar factorul mai simplu se notează cu g’(x). Se determină apoi f’(x), prin derivarea lui f, respectiv g(x) prin integrarea lui g’(x). Dacă integrala la care s-a ajuns este la fel de complicată, sau mai complicată,

decât integrala iniţială înseamnă că alegerea lui f şi g’ nu este bună şi se va încerca o altă alegere.

Exerciţii rezolvate. Să se calculeze integralele nedefinite:

R ) , xFacem următoarea alegere:

Deci: C ;

R ) , x

Notăm:

Deci: + C ;

R ) , x

Să observăm că:

Notăm:

Deci: +C;

R ) , x ,

Notăm:

Deci:

Adică: C ;

R ) A = , x

A =

Pentru prima integrală notăm:

Deci: , adică:

, de unde:

C ;

R ) şi , x

Vom integra prin părţi fiecare din cele două integrale şi vom ajunge la un sistem de două ecuaţii cu necunoscutele A şi B.Pentru A notăm: || Pentru B notăm:

|| Obţinem sistemul:

După rezolvarea sistemului obţinem: C

C

Cele două integrale A şi B se mai pot calcula, separat, integrând, pe fiecare, de două ori prin părţi, ajungându-se la o ecuaţie în necunoscuta A, respectiv B.

R )

Notăm:

Deci: || Observăm că mai este necesară o

integrare prin părţi pentru integrala . Preluând un rezultat anterior, avem:

+ C

Avem în final: + C

Exerciţii propuse.Să se calculeze integralele nedefinite:

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

3.2. Calculul integralelor de tipul: ,

Să observăm că: , adică:

, unde am notat: . Remarcăm că polinoamele P şi Q au grade egale. Prin urmare:

( ) + C

P şi Q polinoame cu coeficienţi reali de acelaşi grad şi acelaşi coeficient dominant

Relaţia ( ) se poate scrie echivalent: , sau încă:

|| : , deci: (#)

CONCLUZIE:Determinarea polinomului Q din relaţia ( ) se face prin identificare folosind relaţia (#).

Aplicaţie: Să se calculeze integrala:

Rezolvare:

C

Punem condiţia:

deci trebuie să avem: şi . Rezultă şi

Prin urmare:

C

Propunem spre rezolvare cititorului următoarele integrale nedefinite: E )

E )

R ) Notăm:

+ C = + C

R )

= Notăm:

= = + C = + C

R ) Notăm:

= = = + C = + C = + C =

= + C

R ) Notăm:

= = + C = + C

R ) Amplificăm fracţia de sub integrală cu , deci:

Notăm:

- - + C - + C

R ) Notăm:

+ C + C

R ) Notăm:

+ C + C

R )

|| Notăm:

+ C

+ C

R ) ||

2 +C + C

R )

+ C

R ) ||

+ C + C

+ C

R ) || Folosim forma canonică a trinomului de gradul al

II- lea , prin

urmare:

||

|| Vezi exerciţiul R pag 23 !

R ) || Simplificăm forţat fracţia prin şi obţinem:

|| Notăm: şi

+ C + C

R ) || Simplificăm forţat fracţia prin şi obţinem:

Notăm: şi

+ C +

C

R )

+ =

R ) = =

=

Exerciţii propuse.Utilizând prima metodă de schimbare de variabilă, calculaţi integralele nedefinite:

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )

E ) E )