Calculul grinzii așezate pe mediu elastic continuu

prin metoda teoriei elasticității (deformație plană)

Simvulidi

Pentru calculul grinzii așezate pe mediu elastic continuu se folosesc ecuațiile diferențiale de

gradul IV, caracteristice mediului elastic:

unde:

EI – rigiditatea grinzii

y – deplasarea verticală a axei neutre a grinzii

– presiunea pe teren

– sarcina activă dată

Fundația grinzii este considerată un mediu continuu omogen elastic infinit caracterizat de

E0 și µ0.

Grinda este considerată ca un element subțire elastic ce se deformează după lungime. Nu

se stabilesc deformațiile transversale după înălțimea secțiunii și frecarea între grindă și

teren.

Pentru calculul construcțiilor fundate pe mediu elastic este necesar să se cunoască următorii

termeni:

Caracteristicile terenului de fundare: E0 și µ0.

Caracteristicile geometrice ale grinzii: L, b, h

Caracteristicile elastice ale grinzii: E și µ.

Încărcarile (tip, valoare și distribuție).

Calculul grinzii (dimensionarea acesteia) trebuie realizat astfel încât, în toate ipotezele analizate,

să se respecte condiția contactului cu terenul – :

Pentru ca marginea stângă a grinzii să nu se desprindă de teren este necesară îndeplinirea

condiției:

( ) ( )

Pentru ca marginea dreaptă a grinzii să nu se desprindă de teren este necesară îndeplinirea

condiției:

( ) ( )

Pentru ca mijlocul grinzii să nu se desprindă de teren este necesară îndeplinirea condiției:

unde a0, a1, a2 și a3 sunt parametrii ale căror valori depind de rigiditatea și lungimea grinzii, de

modulul de deformație al fundației și de felul și poziția(distribuția) sarcinii. Acestia sunt

prezentați pentru fiecare caz prezentat în parte.

1.Grindă acționată de încărcare uniform distribuită (q)

Parametrii ai:

a0

8252 34( ) 1 ( ) 134401

1201 ( )

5

1

961 ( )

2

1

240 0.5 ( )

4

13440 29

a2 3

5188 63( ) 1 ( ) 134401

1201 ( )

5

1

961 ( )

2

1

240 0.5 ( )

4

13440 29

a1 3

1 ( ) 1280 ( ) 8 0 0.5 ( )1

21 ( )

2

2048

a3 10

1 ( ) 384 ( ) 4 0 0.5 ( )1

21 ( )

2

2048

unde:

α – indicatorul elasticității →

β – coeficient adimensional ce ține cont de poziția încărcării –

– coeficient ce ține seama de poziția încărcării:

Dacă sarcina q acționează pe jumătatea dreaptă a grinzii ( ), atunci

Dacă sarcina q acționează și pe jumătatea stângă a grinzii ( ), atunci

Calcul presiuni reactive

p' a0 2 a1 0.5( ) 4 a2 0.5( )2

8 a3 0.5( )3

Calcul forță tăietoare

Q'a0

22 1( )

1

12010 a1 3 a3

1

21 ( )

2

a1 0.5( )2

4

3a2 0.5( )

3 2 a3 0.5( )

4 b ( )

Calcul moment încovoietor

M'1

24010 a1 5 a2 3 a3

a0

2 1( )

1

12010 a1 3 a3

1

21 ( )

2

a1

3 0.5( )

3

a2

3 0.5( )

4

2 a3

5 0.5( )

5

1

2b ( )

2

unde:

ξ – secțiunea de calcul:

– coeficient ce ține seama de poziția încărcării și de secțiunea de calcul:

→ ξ ≤ β

→ ξ ≥ β

Valorile finale ale presiunii reactive, ale forței tăietoare și ale momentului încovoietor sunt

calculate fară a ține seama de valoarea încărcarii sau de lungimea grinzii. Astfel, pentru a ține

seama de aceste valori se vor folosi următoarele formule (pentru grinda de lățime b = 1m):

Pentru grinda de lățime oarecare – b – se folosesc formulele:

Cazuri particulare 1. Grindă încarcată simetric la capete cu încărcarea distribuită q:

2. Grindă încărcată în partea de mijloc cu o sarcină uniform distribuită asimetrică

Deoarece formulele sunt alcătuite pentru sarcina uniform distribuită aplicată pe capătul drept al

grinzii, atunci când sarcina nu acționează până la capătul acesteia se va proceda în felul următor:

se continuă sarcina dată până la capătul drept al grinzii;

se calculează grinda pe care sarcina uniformă distribuită acționează până la capătul ei;

se studiază apoi grinda pe care se aplică o sarcină uniform distribuită cu sens invers pe

capătul drept al acesteia (pe lungimea pe care a fost prelungită încărcarea);

se aplică principiul suprapunerii efectelor adunând valorile p,Q și M pentru cele 2 ipoteze

analizate.

2.Grindă acționată de forță concentrată (P)

Parametrii ai:

a0

8252 34( ) 134401 ( )

4

24

1

48 0

0.5 ( )3

6

13440 29

a2 3

5188 63( ) 134401 ( )

4

24

1 ( )

48 0

0.5 ( )3

6

13440 29

a1 32 1( ) 1280 ( ) 8 0 1 ( )

2048

a3 102 1( ) 384 ( ) 4 0 1 ( )

2048

unde:

α – indicatorul elasticității →

β – coeficient adimensional ce ține cont de poziția încărcării –

– coeficient ce ține seama de poziția încărcării:

Dacă forța P acționează pe jumătatea dreaptă a grinzii ( ), atunci ;

Dacă forța P acționează pe jumătatea stângă a grinzii ( ), atunci ;

Dacă forța P acționează la jumătatea grinzii ( ), atunci .

Calcul presiuni reactive

p' a0 2 a1 0.5( ) 4 a2 0.5( )2

8 a3 0.5( )3

Calcul forță tăietoare

Q'a0

22 1( )

1

12010 a1 3 a3

1

21 ( )

2

a1 0.5( )2

4

3a2 0.5( )

3 2 a3 0.5( )

4 b ( )

Pentru calculul forței tăietoare în secțiunea în care este aplicată forța concentrată se va alege:

→ pentru Q’st

→ pentru Q’dr

Calcul moment încovoietor

M'1

24010 a1 5 a2 3 a3

a0

2 1( )

1

12010 a1 3 a3

1

21 ( )

2

a1

3 0.5( )

3

a2

3 0.5( )

4

2 a3

5 0.5( )

5

1

2b ( )

2

unde:

ξ – secțiunea de calcul:

– coeficient ce ține seama de poziția încărcării și de secțiunea de calcul:

→ ξ ≤ β

→ ξ ≥ β

Valorile finale ale presiunii reactive, ale forței tăietoare și ale momentului încovoietor sunt

calculate fară a ține seama de valoarea încărcarii sau de lungimea grinzii. Astfel, pentru a ține

seama de aceste valori se vor folosi următoarele formule (pentru grinda de lățime b = 1m):

Pentru grinda de lățime oarecare – b – se folosesc formulele:

În cazul în care grinda este încărcată cu mai multe forțe concentrate, aceasta se va calcula pentru

fiecare forță în parte apoi se vor suprapune efectele.

3.Grindă acționată de moment concentrat (M)

Parametrii ai:

a0

134408 1 ( )

3 1 24 0 0.5 ( )

2

48

13440 29 1( )

a2 3

134408 1 ( )

3 1 24 0 0.5 ( )

2

48

13440 29

a1 32560 10

2048

a3 10768 6

2048

unde:

α – indicatorul elasticității →

β – coeficient adimensional ce ține cont de poziția încărcării –

– coeficient ce ține seama de poziția încărcării:

Dacă momentul Ma acționează pe jumătatea dreaptă a grinzii ( ), atunci

;

Dacă momentul Ma acționează pe jumătatea stângă a grinzii ( ), atunci

;

Calcul presiuni reactive

p' a0 2 a1 0.5( ) 4 a2 0.5( )2

8 a3 0.5( )3

Calcul forță tăietoare

Q'a0

22 1( )

1

12010 a1 3 a3 1 a1 0.5( )

2

4

3a2 0.5( )

3 2 a3 0.5( )

4

Calcul moment încovoietor

M'1

24010 a1 5 a2 3 a3

a0

2 1( )

1

12010 a1 3 a3 1

a1

3 0.5( )

3

a2

3 0.5( )

4

2 a3

5 0.5( )

5 b

unde:

ξ – secțiunea de calcul:

– coeficient ce ține seama de poziția încărcării și de secțiunea de calcul:

→ ξ ≤ β

→ ξ ≥ β

Pentru calculul momentului încovoietor în secțiunea în care este aplicată momentul concentrată

se va alege:

→ pentru M’st

→ pentru M’dr

Valorile finale ale presiunii reactive, ale forței tăietoare și ale momentului încovoietor sunt

calculate fară a ține seama de valoarea încărcarii sau de lungimea grinzii. Astfel, pentru a ține

seama de aceste valori se vor folosi următoarele formule (pentru grinda de lățime b = 1m):

Pentru grinda de lățime oarecare – b – se folosesc formulele:

În cazul în care grinda este încărcată cu mai multe momente concentrate, aceasta se va calcula

pentru fiecare moment în parte apoi se vor suprapune efectele.