3. Metoda deplasrilorMetoda deplasrilor ocup un rol preponderent n calculul structurilor mecanice deoarece permite o algoritmizare relativ simpl. Principial metoda const n considerarea deplasrilor drept necunoscute ale problemei i identificareaacestoranbazaunor ecuaii deechilibru. Metodanueste adecvatcalculului manual deoarececonducelaunsistemdeecuaii cu numr mare de necunoscute.Fazapreliminarametodei pornetedelaideeacoricestructur poate fi studiat descompunnd-o ntr-un numr finit de domenii mai mici a cror geometrie si comportare fizic sunt descrise de funcii continue. Aceste poriuni se numesc elemente. Pentru descrierea fiecrui element este necesar s fie identificate i notate capetele sale, care se numesc noduri. 1 2 56 34 7 P6 P4 P7 I IIIII IV V VI VII VIII IX X XI xyx y Dinpunct devederegeometric, structurapoatefi descrisdeun sistem de axe arbitrar ales, numit sistem global, sau n raport cu un sistem de axe ataat elementului (axa x a sistemului de coordonate coincide cu axa longitudinal a elementului), numit sistem local.Un element poate fi caracterizat din punct de vedere geometric prin:- Lungimea elementului:2 2( ) ( )i j i jL x x y y + - lungime element- Orientarea elementului in raport cu sistemul de axe global:cos cos(90 ) sinj ii jx xlLy ymL ; cosinui directoriEtapele de rezolvare caracteristice metodei deplasrilor sunt:1. Descrierea structurii prin noduri i elementeA 2l5l 4l 6l 2A A 3A 2F 3F F u1=0u2 u3u4 u5=0 X5X1 1IxF 2IxF2IIxF 3IIxF 3IIIxF 5IVxF4IVxF 4IIIxF 1IxF 2IxF2IIxF 3IIxF 3IIIxF 5IVxF 4IVxF 4IIIxF X1 2F 3F F X5 12 3e 45 1 2 3e 4 5 2. Calculul forelor nodale n funcie de deplasrile nodaleuiuj exiF exjF Le xNj Ni i j Solicitarea axial a elementului se poate descrie prin intermediul eforturilor axiale N, fie prin intermediul forelor nodale.( )( ) eejij ie e e ee ee ei xi xi i i jee ee ej xj xj j j ieNLN Ll u uEA EAEAN F F N u uLEAN F F N u uL ( )( )( )( )1 1 22 2 12 2 33 3 2222525IxIxIIxIIxEAF u ulEAF u ulE AF u ulE AF u ul ( )( )( )( )3 3 44 4 34 4 55 5 4443636IIIxIIIxIVxIVxEAF u ulEAF u ulE AF u ulE AF u ul 3. Ecuaii de echilibru ntre forele nodale( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 12 2 2 1 2 33 3 3 2 3 44022222 523 35 4IxI IIx xII IIIx xxEAF X u u XlEA E AF F F u u u u Fl lE A EAF F F u u u u Fl lF+ + + + + ( ) ( )( )4 4 3 4 55 5 5 4 53

4 63 6III IVxIVxEA E AF F u u u u Fl lE AF X u u Xl+ + Condiie iniial 1 50 u u 4. Rezolvarea sistemului de ecuaiin vederea algoritmizrii metodei se prefer ns descrierea metodei n form matricial.1 11 1ee exi ieejxjF uEALuF 1 ' ; ' ; 1 ] Notnd:- Vectorul forelor nodale cu { }eieejFFF ' ; ;- Vectorul deplasrilor nodale cu { }iejuu ' ; ;- Matricea de rigiditate a elementului cu e1 1K1 1e eeEAL1 1 1 ] ],Se poate scrie relaia dintre forele i deplasrile nodale sub forma: { } { }eKe eF 1 ]Daca ns nodurile i ij se pot deplasa pe o direcie oarecare n plan, descompunereadeplasrilornraportcusistemul deaxe local conducela apariia a patru componente n vectorul deplasrilor:{ }Tei i j ju v u v 1 ]Vectorul forelor nodale poate de asemenea s conin cele patru componente plane:{ }Texi yi xj yjF F F F F 1 ]OBS. Intruct bara este solicitat numai axial, proieciile pe axa sunt nule.Matricea de rigiditate completa n coordonate locale devine:e1 0 1 00 0 0 0K1 0 1 00 0 0 0e eeEAL1 1 11 ] 1 1 ]n raport cu sistemulglobalde axe, proieciile forelor nodale se pot scrie sub forma:cos sin 0 0sin cos 0 0cos sin 0 0sin cos 0 0xi xi yi xi yi xj yjyi xi yi xi yi xj yjxj xj yj xi yi xj yjyj xj yj xi yi xj yjF F F Fl Fm F FF F F Fm Fl F FF F F F F Fl FmF F F F F Fm Fl + + + + + + + + + + + + + + +Sub form matricial, relaiile precedente pot fi scrise sub forma:{ }[ ] { }e eF T F ,unde [ ]0 00 0T0 00 0l mm ll mm l 1 1 1 1 1 ]. { } { }eKe eF 1 ]Procednd n mod analog pentru vectorul deplasrilor nodale, se poate scrie: { }[ ] { }e eT .Avnd n vedere c 1[ ] [ ]TT T , se obine: { }{ } 1 ]e e[T] F K [T], ceea ce conduce la{ } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } 11 ] ]1 Te e e e eF T K T T K T. Dacsenoteazcu [ ] [ ] 1 1 ] ]Te eK T K T, seobine:{ } { }1 ]e e eF K, n care 1 ]eK poart numele de matrice de rigiditate n coordonate globale.Pentru cazul particular al solicitrilor axiale, matricea de rigiditate n coordonate globale,pentru bara cu capete articulate, in plan, este: 1 1 1 1 ] 1 1 1 ]2 22 22 22 2eeel lm l lmlm m lm m EAKL l lm l lmlm m lm mRelaiadelegturdintreforelei deplasrilenodalesescriesub forma:11 11 12 13 1411 21 22 23 2431 32 33 34 2241 42 43 44 22exeyexeyFu k k k kFv k k k kk k k k uFk k k k vF 1 1 1 ' ; ' ; 1 1 1 ] .Din ecuaia matricial se obine un sistem de forma:1 11 1 12 1 13 2 14 21 21 1 22 1 23 2 24 22 31 1 32 1 33 2 34 22 41 1 42 1 43 2 44 2exeyexeyF k u k v k u k vF k u k v k u k vF k u k v k u k vF k u k v k u k v + + + + + +' + + + + + +.Dacseconsiderodeplasareegalcuunitateairestul deplasriilor nule, sepoate afirmactermeniikmnai matricii derigiditatereprezintforadinlegaturam, aplicatpe directia legaturii m, ca rezultat (reaciune) al deplasarrii unitate n n. 1 11 1 2 2 11 21 1 2 2 12 31 1 2 2 12 41 1 2 2 11 12 1 2 2 11 22 1 2 2 12 32 pentru=1,0 pentru=1,0 pentru=1,0 pentru=1,0 pentru=1,0 pentru=1,0exeyexeyexeyexF k u u v vF k u u v vF k u u v vF k u u v vF k v u v uF k v u v uF k 1 2 2 12 42 1 2 2 1 pentru=1,0 pentru=1,0...eyv u v uF k v u v u

u1 exiF exjF Le x Nj Ni v1 1 2 u21 2 3 v24 211 22 11 1 1 11 12 2 2 31 2101111 e ee e e ee ee ex xee ee ex xeuuN L NLl u uEA EAEAN F F k NLEAN F F k NL Ecuaiile de echilibru n noduri pot fi scrise n dou moduri:- Metoda echilibrului global se scriu toate ecuaiile de echilibru, corespunztoare tuturor nodurilor structurii, i dup impunerea condiiilor la limit, se rezolv sistemul de ecuaii obinut;- Metoda echilibrului parial se scriu ecuaiile de echilibru pornind de la un element al structurii; deoarece elementul consideratarelegturiicualteelemente, ecuaiilescriseauun caracter parial, ele urmnd a fi completate prin adugarea succesivaurmtoarelor elemente, pnlaparcurgereatuturor elementelor ce formeaz structura. Metoda permite eliminarea pe parcurs a unor necunoscute.nesen, echilibrul nodal implicegalitateadintrevectorul forelor nodale i vectorul forelor exterioare.{ } { }1 ]e e eF K{ } [ ]{ }{ } { } { } [ ] { }1 1 2 21 21 2..............n nx y x y x y nnu v u v u vP P P P P P PP F P K 1 ] n continuare intereseaz modul de asamblare al matricii de rigiditate globala, [K]. Reguladeasamblareesterelativsimpl, urmrindinesent compatibilizarea relaiilor de echilibru nodale. Presupunnd o structur format din 3 noduri si 3 elemente, pentru care s-a stabilit forma matricii de rigiditate pe fiecare element, modalitatea de asamblare a matricii de rigiditate globale este:- Sestabilestedimensiuneamatricii derigiditateglobale, N=nr noduri x nr grade de libertate pe nod (ng) = 3x2=6- Se defineste vectorul deplasrilor nodale (6 componente){ } [ ]1 1 2 2 3 3u v u v u v - Se defineste n mod similar vectorul forelor exterioare (10 componente){ }1 2 31 2 3x y x y x yP P P P P P P 1 ]- Forele nodale din nodul k, Fxk, Fyk, vor ocupa poziiile 2k-1, respectiv 2k n vectorul deplasrilor nodale- Termenii kij din matricea de rigiditate a elementului considerat, vor ocupa poziiile 2i-1, 2i, 2j-1, 2j corespunztoare liniilor si coloanelor matricii de rigiditate globaleExemplu seminar1 11 12 22 23315 0 15 00 0 0 00 20 0 200 0 0 00 20 0 27.68 5.76 7.68 5.765.76 4.32 5.76 4.320 607.68 5.76 7.68 5.765.76 4.32 5.76 4.320 0 0 015 0 15 00 0 0 0xyxyxyP uP vP uEAP v aPP+ +11 11+ + 11 11 + + 11 + + 11 11 11 11 ] + + +] +33uv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]Pentrufiecarenodi direcieestedisponibilosingurinformaie: deplasarea saufora, niciodata amandou. Eliminndliniile si coloanele inutile(produsecudeplasri nule) sistemul deecuaii sepoatesimplifica simitor.n cazul echilibrului parial, se selecteaz, succesiv, noduri n care se stabilesc relaii de echilibru de forma celor prezentate. ncazul nodurilor carenuseleagdealteelementealestructurii (noduri izolate), ecuaiile de echilibru sunt identice cu cele prezentate i au caracter final. ncazul nodurilorlacareseataseazmai multeelemente, carenu sunt avute in vedere iniial, suma forelor are un caracter parial.Deplasrile considerate n calcul se numesc active, forele nodale depinznd numai de acestea.Utilizarea echilibrului parial presupune existena a cel puin unui nod izolat, care ulterior poate fi retras din sistemul de ecuaii. Relaiile de echilibru stabilite n faza incipient a metodei, poart numele de relaiide echilibru parial. Ele vor purta ctre elementul urmtor informaia provenit din sistemul parial iniial.III12312FIx1FIy1FIIx2FIIy2FIIx3FIIy3FIx3FIy3FIx1FIy1FIIy2FIIx2Px1Px23FIIx3FIIy3FIx3FIy334FIIIx3FIIIy33FIIIx3FIIIy3FIIx3FIx3FIy3FIIy3Purtator de informatie din etapa INumrul total denecunoscuteactivedinfiecaresistemparial se numete lime de front. Dimensiunea limii de front reprezint o mrime limitativ n cazul programelor ce folosesc aceast metod de echilibru.Dimensiunile matricei derigiditatesunt diferite nfunciedetipul nodurilor, articulatesaurigide, i detipul structurii, plansauspaial. Dimensiunile matricei de rigiditate sunt n x n, unde 2gn n, ng fiind numrul de grade de libertate (deplasri necunoscute pe nod).Structurile plane formate din bare articulate au drept element component baracuarticulaii laambelecapete; articulaiilenutransmit momente ncovoietoare i fore tietoare, prin urmare elementul este solicitat numai de fore axiale (TRUSS, LINK). e1 0 1 00 0 0 0K1 0 1 00 0 0 0e eeEAL1 1 11 ] 1 1 ]

1 1 1 1 ] 1 1 1 ]2 22 22 22 2eeel lm l lmlm m lm m EAKL l lm l lmlm m lm mStructurile tip cadru plan pot avea drept elemente componente bara cu noduri rigide, ncrcatenplanul ei cu3gradedelibertatepenod: 2 translaii pe direciile sistemului de coordonate i o rotaie dup o direcie perpendicular pe planul sistemului de coordonate (BEAM, FRAME).Pentru determinarea elementelor matricii de rigiditate se ine cont de faptul c termeniikmnai matricii de rigiditate reprezint fora din legatura m, aplicat pe directia legaturii m, ca rezultat al deplasarrii unitate n n.Astfel, pentru elementul din figur, avnd n vedere ecuaia diferenial a fibrei medii deformate, se poate scrie:21 12dvM M V x EIdx Integrnd succesiv se obine:21 1 12 31 1 1 2121 12 6dvEI M x V x CdxEIv M x V x C x C + + +Avnd n vedere i condiiile iniiale :- Pentru x =01 1 12 11dvC EIdxC EIvv v ; - Pentru x = L22 1 1 122 32 2 1 1 1 1121 12 6dv EI M L V L EIdxv v EIv M L V L EI L EIv ; innd seama de ecuaiile de echilibru, 1 21 212 1 2 12 100M 0 0-yM MF V VVLM M V LV V+ + ; + i nlocuind expresia reaciunii V1 n soluia ecuaiei difereniale, rezult dup rearanjri:1 2 1 21 2 1 1 22 22 26 6 62EI EIM ML LEI EI EIM M v vL L L + n final obinndu-se:1 1 2 1 222 1 2 1 222 6(2 ) ( )2 6( 2 ) ( )EI EIM v vL LEI EIM v vL L + + + + Inlocuind expresiile momentelor ncovoietoare n expresia reaciunii, rezult:1 1 2 1 22 32 1 2 1 22 36 12( ) ( )6 12( ) ( )EI EIV v vL LEI EIV v vL L + + + Prin urmare, neglijnd efectul forelor axiale i tietoare, matricea de rigiditate devine: 1 1 1 1 ] 1 1 ]2 232 212 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4L LL L L LEAKL L LL L L Linnd seama i de forele axiale 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 ]3 2 3 22 23 2 3 22 20 0 0 00 12 6 0 12 60 6 4 0 6 20 0 0 00 12 6 0 12 60 6 2 0 6 4EA EAL LEI EI EI EIL L L LEI EI EI EIL L L LKEA EAL LEI EI EI EIL L L LEI EI EI EIL L L Lnsituaiancare, penod, otranslaieestenlocuitdeorotaie (GRID), matricea de rigiditate are o form asemntoare cu forma precedent, cu observaia c termenul corespunztor translaiei este nlocuit de cel determinat de torsiune 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 ]2 22 3 2 32 22 3 2 30 0 0 00 4 6 0 2 6120 6 0 6 120 0 0 040 2 6 0 60 6 12 0 6 12p pp pGI GIL LEI EI EI EIL L L LEI EI EI EIL L L LKGI GIL LEI EI EI EIL L L LEI EI EI EIL L L L