MATHCAD

Introducere Notiuni MathCad Calcule numerice si simbolice in MathCad Programare in MathCad

Introducere

În ultimii ani s-au dezvoltat o serie de produse informatice care pot executa

multe din calculele matematice uzuale. În spatele acestor produse se găseşte un

domeniu de cercetare, aflat într-o accentuată dezvoltare, la intersecţia algebrei şi a

informaticii: calculul simbolic (sau calculul formal sau algebra computaţională).

Pachete de programe dezvoltate pentru anumite probleme devin prin

implementarea unor mecanisme de interpretare a comenzilor limbaje specializate.

Aşa ar fi Maple, Mathematica, MathCad, MuPAD, Matlab, Scilab pentru calcule

matematice.

Orice limbaj de programare conţine:

- un vocabular (totalitatea semnelor ce se pot utiliza în conţinutul unei

propoziţii),

- o sintaxă (totalitatea regulilor utilizate pentru scrierea corectă a propoziţiei),

- o semantică (tematica prin care unor propoziţii li se acordă un

înţeles).MathCad-ul este un produs destinat rezolvării problemelor de calcul

numeric şi formal, cu posibilitatea programării, documentării şi reprezentării

grafice în plan şi în spaţiu.

În MathCad sunt implementaţi algoritmi pentru:

- Calculul oricărei formule matematice, respectând grafia matematicii;

- Reprezentarea grafică a funcţiilor;

- Calculul derivatelor funcţiilor;

- Calculul integralelor şi primitivelor;

- Rezolvarea ecuaţiilor algebrice şi transcendente;

- Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare şi neliniare;

- Calcul matriceal etc.

Notiuni MathCad

1. Documentul MathCad:

MathCad-ul are editor propriu; se obtine un “document Mathcad”. Intr-un

document orice definitie, text – comentariu, reprezentare grafica ocupa un

spatiu numit regiune. Regiunile sunt disjuncte doua cate doua, iar procesul

de calcul consta in evaluarea regiunilor de sus in jos si de la stanga la

dreapta.

2. Operatori in MathCad:

a) Operator de atribuire/ definire: :=

Sintaxa:

Variabila:=expresie

Functie(lista parametri):=expresie

Semantica: Valoarea expresiei din dreapta se atribuie variabilei din

stanga.

b) Operator de afisare: =

Sintaxa:

Variabila=

Functie(lista parametri)=

Expresie=

Semantica: Afisarea valorii membrului stang.

c) Operator de definire globala: ≡

Sintaxa:

Variabila≡expresie

Semantica: Permite fixarea sau modificarea unor parametri MathCad

la nivel global; are domeniul de valabilitate intreg documentul.

3 Formatul de editare al datelor numerice: se poate modifica facand dublu -

clic cu mouse-ul pe valoarea numerica sau utilizand Numerical Format din

meniul Math. Se pot modifica:

− Radix; natura cifrelor afisate (zecimal, octal sau hexazecimal);

− Imaginary: numarul imaginar care poate fi i sau j;

− Displayed Precision: precizia de afisare, implicit este 3; n∈[0,15];

− Exponential Threshold: format exponential de afisare, implicit este 3;

n∈[0,15] (daca 10-n ≤ n ≤ 10n atunci valorile sunt afisate in notatie

exponentiala);

− Complexe Tolerance: implicit n=10, in general n∈[0,63]; pentru

numarul complex a+bi, daca a/b<10-n atunci partea mai mica nu este

afisata;

− Zero Tolerance: implicit 15, n∈[0,307] ; numerele mai mici decat 10-n

sunt afisate 0.

3. Functii predefinite (utile) in MathCad

Functii conditionale

- Functia Until

Sintaxa: until(Expr1,Expr2)

Semantica: Valoarea functiei until este cea a expresiei Expr2 atata timp

cat Expr1 este nenegativa. Daca valoarea Expr1 devine negativa

procesul de calcul inceteaza.

- Functia if

Sintaxa: if(conditie, Expr1, Expr2)

Semantica: Valoarea functiei if este Expr1 sau Expr2 dupa cum conditia

este adevarata sau nu.

Apelarea functiei Semnificatia

sin(x) cos(x) tan(x)

angle(x,y) sinh(x) cosh(x) tanh(x) asin(x) acos(x) atan(x) exp(x) ln(x) log(x) Γ(x)

floor(x) ceil(x) Re(z) Im(z)

mod(x,y) lenght(v)

last(v) max(v) min(v)

root(expr,var) find(var1,var2,…)

minerr(var1, var2,…)

sort(v) csort(M,n)

rsort(M,n)

reverse(v) reverse(M)

sin x cos x tg x

arg. nr. complex z=x+iy sh x ch x th x

arcsin x arccos x arctg x

ex

ln x lg x

functia Γ a lui Euler [x]

[x]+1 Re z Im z

Restul impartirii intregi a lui x la y Numarul elem. vectorului v

Indicele ultimului element al vect. v Cel mai mare elem. al vect. v Cel mai mic elem. al vect. v

Returneaza val. variabilei var care anuleaza expresia expr. Returneaza val. var. var1, var2,…care satisfac blocul Given. Returneaza val. var. var1, var2,…care minimizeaza eroarea

restrictiilor din blocul definit de Given. Ordoneaza crescator elem vectorului v

Aranjeaza liniile matricei M astfel incat elementele coloanei n sa fie in ordine crescatoare

Aranjeaza coloanele matricei M astfel incat elementele liniei n sa fie in ordine crescatoare

Scrie elem. vectorului v in ordine inversa (de la dr. la stanga) Se formeaza o matrice scriind liniile lui M de jos in sus

4. Instrumente de calcul simbolic in MathCad:

Numele comenzii Semnificatia Evaluate Simplify

Expand Expression Factor Expression

Collect on subexpression Polynom Coefficients

Evaluare Simplifica o expresie

Dezvoltarea unei expresii Descompunere in factori Dezvolta dupa o expresie Coeficientii polinomului

Differentiate on variable Integrate on variable

Solve for variable Substitute for variable

Expand to Series Convert to partial fraction

Deriveaza dupa variabila Integreaza dupa variabila

Rezolva ec. dupa necunoscuta Substitue variabila Dezvoltare in serie

Dezvoltare in fractii simple Matrix Operations…

Transpose Matrix Invert Matrix

Determinant of Matrix

Operatii matriceale… Matricea transpusa Matricea inversa

Determinantul matricei Transformations…

Fourier Transform Laplace Transform

Inverse Laplace Transform z Transform

Inverse z Transform

Transformari integrale… Transformarea Fourier inversa

Transformarea Laplace Transformarea Laplace inversa

Transformarea z Transformarea z inversa

5. Rezolvarea ecuatiilor in MathCad:

- Rezolvarea ecuatiei folosind optiunea solve:

- Rezolvarea ecuatiei folosind functia root:

f( )x x3 .3 x 1

x 0

sol root( ),f( )x x

=sol 0.32218288

Reprezentări grafice în plan

Grafice de tip X-Y

Inserarea unui grafic de tip X-Y presupune parcurgerea următoarelor etape:

1. Alegerea câmpului Insert⇒Graph⇒X-Y Plot sau a butonului corespunzător de pe bara de instrumente Graph.

2. Completarea marcatorilor cu elementele corespunzătoare(nume variabilă de reprezentare, limite, nume funcţie sau expresie de reprezentare etc.).

Grafice în coordonate polare

Inserarea unui grafic în coordonate polare presupune parcurgerea

următoarelor etape:

• alegerea câmpului Insert⇒Graph⇒Polar Plot sau a butonului corespunzător de pe bara de instrumente Graph;

• completarea marcatorilor cu elementele corespunzătoare(nume variabilă de reprezentare, respectiv nume funcţie sau expresie de reprezentat).

Exemplul 1: Sa se defineasca urmatoarele functii si sa se reprezinte grafic:

a) şi ⎩⎨⎧

≤≤<≤−⋅−

=40,

04,2)(

xxxx

x daca daca

f

b) ⎩⎨⎧

≤≤−⋅≤≤∪−<≤−

=44),5cos(

}104{}410{),sin()(

xxxxx

x daca

daca g

Solutie:

Exemplul 2: Să se reprezinte grafic următoarea curbă dată în coordonate polare

πθθθρ 2..001,.0,)2cos(2)( == (lemiscata lui Bernoulli).

Soluţie:

Reprezentări grafice în spaţiu

Grafice de tip suprafaţă

Pentru includerea într-un document MathCad a unui grafic de tip suprafaţă

(Surface Plot), se poate utiliza câmpul Insert⇒Graph Surface Plot sau

butonul corespunzător de pe bara de unelte Graph.

⇒

Exemplu:

i 0 100..:= j 0 100..:=

xi 5− i 0.1⋅+:= y j 4− j 0.2⋅+:=

F x y,( )x2

36y2

64+ 3−:=

M i j, F xi y j,( ):=

M

Programarea în MathCad

Programele scrise în MathCad sunt de tipul funcţiilor utilizate în limbajele de

programare avansate. Funcţiile create în MathCad cu ajutorul operatorilor de

programare “primesc” de la documentul în interiorul căruia se găsesc date prin

intermediul unor variabile argument şi “întorc” spre documentul “gazdă”,

rezultatul ultimei evaluări din corpul funcţiei.

Tabel: Instrucţiunile din paleta de programare

Opţiunea Semnificaţia

Add Line Inserează o noua linie de program. if Inserează instrucţiunea IF. for Inserează o bucla FOR LOOP. break Inserează instrucţiunea BREAK. return Inserează instrucţiunea RETURN. ← Atribuire locală. otherwise Inserează instrucţiunea “În celelalte situaţii”. while Inserează o buclă WHILE LOOP. continue Inserează instrucţiunea CONTINUE. on error Inserează instrucţiunea ON ERROR (identifică erorile numerice care ar forţa

MathCad-ul să oprească programul de calcul). Exemple: 1. Definirea unei funcţii cu acoladă:

f x( ) x sin x( )+( ) x<if

sin x( ) 0 x≤ π≤if3 x

0

3π−( ) otherwise

:=

2. Să se calculeze suma elementelor unui vector care sunt cuprinse între a şi b cu a<b

Exercitii

f x( ) ex:=

g x( ) sin x( ):=

h x( ) cos x( ):=

6. Sa se calculeze:

4

20

i

5 i⋅2

i2 3−−⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

∑= 0

15

k

32

k 4++⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

2

∏=

1

13

k

k3 5k

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠∑

= 1

12

i

2 i⋅( )2 3 i3⋅+⎡⎣ ⎤⎦∏=

7. Sa se ev alueze:

1

n

k

k∑= 1

n

k

k2 2 k⋅+k 2+∑

=

8. Sa se calculeze:

x1

x 1−( )3 x 2+( )5⋅

⌠⎮⎮⎮⌡

d xx2 x2 2 x⋅+ 2+⋅⌠⎮⎮⌡

d

x1

x x2 1−+

⌠⎮⎮⎮⌡

d

xx7 x sin x( )⋅+ ln x 2+( )−( )d

d 9xln x 1+( )d

d

9

1. Sa se aduca la forma cea mai simpla expresiile:

a) a2− b2+ c2+a b−( ) a c−( )⋅

a2 b2− c2+b a−( ) b c−( )⋅

+a2 b2+ c2−c a−( ) c b−( )⋅

+

b) x y+( )7 x7− y7−

2. Sa se descompuna in factori:

a) x4 x2+ 1+

b) 4 x3⋅ y⋅ 12 x2⋅ y2⋅+ 12 x⋅ y3⋅+ 4 y4⋅+ 20 x3⋅+ 60 x2⋅ y⋅+ 60 x⋅ y2⋅+ 20 y3⋅+

3. Sa se calculeze: x y+( )3 x2 1+( )2⋅

4. Sa se descompuna in fractii simple:

a) 1

x 1−( )2 x 2+( )⋅b) 5 x⋅ 3+

x 1+( )3 x2 1+( )2⋅

5. Sa se dezvolte in serie Taylor functiile urmatoare in jurul lui x=1:

Exercitii

1. Sa se calculeze:

∑≠= −

10

51 5

1

ii i

; ( )∏

≠=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

20

31

22

31

kk k

k

2. Sa se calculeze urmatoarele limite:

a) x

a x

x

1lim0

−→

b) xtgx

ee xarctgx

x sinlim

arcsin

0 −−

→

c) x

ex x

x

−+→

1

0

)1(lim

3. Sa se reprezinte grafic functiile:

a) f(x)=3x-3-x, g(x)=e2x, h(x)=lnx, x∈[1, 10].

b) g(x,y)=ln(0.01+x2+y2), x∈[-10, 10].

c) ].50,50[,,6436

),(22

−∈+= yxyxyxF

d) ].50,50[,,6436

),(22

−∈−= yxyxyxG

e) Sa se reprezinte pe acelasi grafic functiile F(x,y) si –F(x,y) unde

].50,50[,,16436

3),(22

−∈−+⋅= yxyxyxF

4. Sa se resolve ecuatiile:

a) x4-2x3-x+2=0

b) x3+3x+1=0

c) sinx+2x-1=0

5. Sa se resolve inecuatiile

a) 055 23 ≥−+⋅− xxx b) 0232 ≥+⋅− xx c) 02045 22 >+⋅−⋅− xxx