1

2.5.6. NUMRUL DE ANGAJAI N BANC Brasov City Bank are program de luni pn vineri ntre orele 9.00-17.00. Bazat pe experiena anterioar, necesarul de personal pentru relaia direct cu clienii difer pe parcursul programului, astfel:

Perioada orar Numrul minim de personal necesar

9 10 4 10 11 3 11 12 4 12 13 6 13 14 5 14 15 6 15 16 8 16 17 8

Banca poate avea dou categorii de angajai. Persoanele angajate cu norm ntreag (full-time) lucreaz ntre 9.00-17.00, cinci zile pe sptmn i au pauz zilnic de mas ntre 12-13 sau 13-14. Au un salariu de 25 u.m. pe or (inclusiv pentru ora n care iau pauza de mas). Banca mai poate angaja cel mult 3 persoane (studeni) cu program redus (part-time), care lucreaz 4 ore consecutive n fiecare zi. Aceti angajai sunt pltii cu 20 u.m. pe or. Construii i rezolvai modelul care asigur necesarul de personal la un cost minim. Rezolvare Pentru construcia modelului introducem urmtoarele variabile:

1x - numrul de angajai full-time care au pauz ntre orele 12-13

2x - numrul de angajai full-time care au pauz ntre orele 13-14

1y - numrul de angajai part-time care au programul de lucru ntre orele 9-13

2y - numrul de angajai part-time care au programul de lucru ntre orele 10-14

3y - numrul de angajai part-time care au programul de lucru ntre orele 11-15

4y - numrul de angajai part-time care au programul de lucru ntre orele 12-16

5y - numrul de angajai part-time care au programul de lucru ntre orele 13-17

Grafic, programul angajailor se poate reprezenta astfel: 9 10 11 12 13 14 15 16

1x

2x

1y

2y

3y

4y

5y

2

Din analiza graficului i din condiiile impuse asupra minimului de personal angajat, rezult urmtorul model care conduce la problema de programare liniar: Funcia obiectiv:

5432121 y80y80y80y80y80x200x200min cu 8 restricii rezultate pentru fiecare interval orar:

9-10 : 4yxx 121 (R1)

10-11 : 3yyxx 2121 (R2)

11-12 : 4yyyxx 32121 (R3)

12-13 : 6yyyyx 43212 (R4)

13-14 : 5yyyyx 54321 (R5)

14-15 : 6yyyxx 54321 (R6)

15-16 : 8yyxx 5421 (R7)

16-17 : 8yxx 521 (R8)

La acestea se adaug restricia legat de numrul maxim de angajai: 3yyyyy 54321 (R9)

Cu produsul software QM (modulul Integer Programming) s-a obinut soluia: 3x1 4x2

1y1 1y2 0y3 0y4 1y5

iar valoarea funciei obiectiv este: 1640. Graficul de mai jos d programul celor 10 angajai care constituie soluia optim:

P1, P2, P3 angajai full-time cu pauza de mas ntre orele 12-13 P4, P5, P6, P7 angajai full-time cu pauza de mas ntre orele 13-14 P8 angajat part-time ntre orele 9-13 P9 angajat part-time ntre orele 10-14 P10 angajat part-time ntre orele 13-17

9 10 11 12 13 14 15 16

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

3

2.5.7. PORTOFOLIU FINANCIAR O instituie financiar are o sum S = 100 u.m. pentru a finana diverse investiii. Exist 5 categorii de credite, fiecare categorie avnd asociat un nivel de risc (se consider o scal de la 1 .. 10 cu 1 cel mai mic risc).

Credit / investiia Dobnda (%) Nivelul de risc

Primul credit ipotecar 9 3 Al doilea credit ipotecar 12 6 Credit personal 15 8 Credit comercial 8 2 Titluri de stat 6 1

Eventualele sume neinvestite merg ntr-un cont de economii fr risc i cu o dobnd de 3%. Scopul instituiei este de a aloca suma astfel nct:

a) S se maximizeze dobnda medie; b) Riscul mediu s fie mai mic de 5; c) Suma alocat pentru credite comerciale s fie de cel puin 20% din totalul investiiei; d) Investiiile pentru al doilea credit ipotecar i pentru credite personale nu trebuie s

depeasc investiia pentru primul credit ipotecar. Construii i rezolvai modelul care asigur alocarea optim a sumei. Rezolvare Introducem urmtoarele variabile:

1x - suma alocat pentru primul credit ipotecar

2x - suma alocat pentru al doilea credit ipotecar

3x - suma alocat pentru credite personale

4x - suma alocat pentru credite comerciale

5x - suma alocat pentru achiziionarea de titluri de stat

6x - suma neinvestit care va fi depus ntr-un cont de economii

Modelul care conduce la problema de programare liniar este: - funcia obiectiv va fi dat de maximizarea dobnzii medii care se obine n urma alocrii sumei S: 654321 x03.0x06.0x08.0x15.0x12.0x09.0max supus restriciilor: - riscul mediu s fie mai mic de 5:

5xxxxx

xx2x8x6x3

54321

54321

care conduce la restricia: 0x4x3x3xx2 54321 (R1)

- suma alocat pentru credite comerciale s fie de cel puin 20% din totalul investiiei: 543214 xxxxx2.0x

4

care conduce la restricia: 0x2.0x8.0x2.0x2.0x2.0 54321 (R2)

- investiiile pentru al doilea credit ipotecar i pentru credite personale nu trebuie s depeasc investiia pentru primul credit ipotecar: 132 xxx

care conduce la restricia: 0xxx 321 (R3)

- sumele alocate plus suma neinvestit trebuie s fie egal cu suma total S: 100xxxxxx 654321 (R4)

Cu produsul software QM (modulul Linear Programming) s- a obinut soluia:

40x1 0x2 40x3 20x4 0x5 0x6

iar valoarea funciei obiectiv este: 11.2 Deci suma de 100 u.m. va fi alocat optim astfel:

Credit / investiia Suma alocat

Primul credit ipotecar 40 Al doilea credit ipotecar 0 Credit personal 40 Credit comercial 20 Titluri de stat 0 Cont economii (suma neinvestit) 0

Dobnda total obinut: 11.2