2.5.3. ALEGEREA OPTIM A UNOR OBIECTIVE Modelul general a fost formulat n cadrul paragrafului 2.3.2. Abordm cazul particular al unei instituii publice care trebuie s realizeze 6 obiective (O1, O2,..., O6) n 5 ani. Variabilele modelului (variabile booleene) sunt: ,5,...,2,1j,6,...,2,1i,xij care indic

realizarea 1xij sau non-realizarea 0xij obiectivului i n anul j. Stabilim ce restricii logice trebuiesc adugate modelului n urmtoarele ipoteze independente: I1) Nu se pot realiza mai mult de dou obiective ntr-un an. - pentru primul an avem restricia: 2xxxxxx 615141312111

- analog scriem restriciile pentru ceilali ani: 2xxxxxx 625242322212 - pentru anul 2

2xxxxxx 635343332313 - pentru anul 3

2xxxxxx 645444342414 - pentru anul 4

2xxxxxx 655545352515 - pentru anul 5

Cele 5 restricii pot fi scrise concentrat astfel:

6

1iij 5,...,2,1j,2x

I2) Nu se pot realiza mai mult de 3 obiective n primii 2 ani. 3x...xxx...xx 622212612111 ,

sau mai concentrat putem scrie:

6

1i2i1i 3xx

I3) Obiectivul O2 nu poate fi realizat n acelai an cu obiectivul O1. - scriem cte o restricie de incompatibilitate pentru fiecare an (conform paragrafului 2.4.1): 5,...,2,1j,1xx j2j1

Observm c sunt acceptate situaiile: 110 , 101 , 100 . I4) Dac obiectivele O1 i O2 sunt realizate n acelai an, nici un alt obiectiv nu poate fi realizat n acelai an. - pentrul anul 1 avem:

211131 xx2x (dac O1 i O2 se realizeaz n anul 1, 1xx 2111 i rezult

0x31 , adic O3 nu se realizeaz)

analog:

211141 xx2x - pentru obiectivul 4

211151 xx2x - pentru obiectivul 5

211161 xx2x - pentru obiectivul 6

- aceleai restricii vor fi adugate i pentru anii 2,3, 4 i 5.

Concentrat putem scrie cele 20 de restricii logice astfel: 5,...,2,1j,6,5,4,3i,xx2x j2j1ij

I5) n primul an trebuie realizate obiectivele O1 i O2 sau obiectivele O3 i O4. 2xxxx 41312111 - din cele 4 obiective doar dou se vor realiza

2111 xx - cele dou vor fi (O1 i O2) sau (O3 i O4)

A doua restricie pstreaz numai combinaiile corecte: 20011 , adic se realizeaz O1 i O2 sau 21100 , adic se realizeaz O3 i O4. Dac 1xx 2111 , atunci 0xx 4131 i

dac 0xx 2111 , atunci 1xx 4131 .

I6) Obiectivul O1 poate fi realizat n primul an numai dac acesta este anul de realizare al obiectivelor O2 i O3. - recunoatem situaia analizat la implicaie (paragraful 2.4.4) realizarea proiectului i implic realizarea proiectelor h i k, (relaia 2.18). Vom aduga restricia logic: 312111 xxx2

2.5.4. ALEGEREA PROIECTELOR (1) ntr-un model investiional se poate alege ntre 5 proiecte i exist o sum limitat de 1100 u.m., care poate fi investit. Beneficiul rezultat din realizarea proiectelor este:

Proiect 1 Proiect 2 Proiect 3 Proiect 4 Proiect 5

Beneficiul 75 u.m. 81 85 92 63 Costul 290 u.m. 250 240 330 220

Considerm ipotezele: I1. Alegerea proiectului 3 implic alegerea a cel puin dou din proiectele 1, 4 sau 5. I2. Proiectele 2 i 3 nu se pot realiza n acelai timp, reprezentnd variante tehnice cu aceeai finalitate. Formulai i rezolvai modelul care conduce la un beneficiu maxim. Rezolvare Pentru construcia modelului introducem 5 variabile booleene 5,...,2,1i,xi definite astfel: ,1xi dac proiectul i se realizeaz

,0xi dac proiectul i nu se realizeaz.

Funcia obiectiv este dat de: 54321 x63x92x85x81x75max

cu restriciile: - ncadrarea n costuri:

1100x220x330x240x250x290 54321 (R1)

- ipoteza I1: 5413 xxxx2 (R2)

- ipoteza I2: 1xx 32 (R3)

Rezolvarea cu produsul software QM (modulul Integer Programming) presupune adugarea a 5 restricii suplimentare de forma: 5,...,2,1i,1xi (R4,,R8)

pentru definirea variabilelor booleene. S- a obinut soluia:

iar valoarea funciei obiectiv (beneficiul maxim) este 315 u.m.

1x1 0x2 1x3 1x4 1x5

2.5.5. ALEGEREA PROIECTELOR (2) O instituie public trebuie s aleag ntre 5 proiecte care s-ar putea realiza n urmtorii doi ani. Se pune problema repartizrii pe ani a proiectelor, astfel nct beneficiile obinute s fie maxime, n ipotezele: I1. Realizarea unui proiect dureaz maxim un an. I2. Mai multe proiecte pot fi realizate n acelai an. I3. Nu se pot transfera sume din bugetul de finanare de la un an la altul. Pentru anul 1 exist o sum limitat de 750 u.m., care poate fi investit. Suma care poate fi investit n anul 2 este de 800 u.m. Beneficiul rezultat din realizarea proiectelor este:

Proiect 1 Proiect 2 Proiect 3 Proiect 4 Proiect 5

Anul 1 Beneficiul 75 81 85 92 63

Costul 290 250 240 330 220

Anul 2 Beneficiul 70 85 95 80 75

Costul 300 260 230 345 220

n urma studiului realizat se adaug ipotezele: I4. Proiectul 2 poate fi realizat n primul an, numai dac n acest an se vor realiza proiectele 1 i 4. I5. Alegerea proiectului 2 n al doilea an implic alegerea cel puin a dou din proiectele 1,3 sau 4. I6. Proiectele 3 i 5 nu se pot realiza n acelai an. Formulai i rezolvai modelul care conduce la un beneficiu maxim. Rezolvare Pentru construcia modelului introducem 10 variabile booleene:

2,1j,5,...,2,1i,xij

care indic realizarea 1ijx sau non-realizarea 0ijx proiectului i n anul j. Funcia obiectiv este dat de:

5141312111 x63x92x85x81x75(max

)x75x80x95x85x70 5242322212

cu restriciile: - ncadrarea n costuri:

750x220x330x240x250x290 5141312111 (R1)

800x220x345x230x260x300 5242322212 (R2)

- ipoteza I4: 411121 xxx2 (R3)

- ipoteza I5: 42321222 xxxx2 (R4)

- ipoteza I6:

1xx 5131 (R5)

1xx 5232 (R6)

- un proiect se poate realiza sau nu n cei doi ani: 1xx 1211 (R7)

1xx 2221 (R8)

1xx 3231 (R9)

1xx 4241 (R10)

1xx 5251 (R11)

Rezolvarea cu produsul software QM (modulul Integer Programming) presupune adugarea a 10 restricii suplimentare de forma: 2,1j,5,...,2,1i,1xij (R12,,R21)

pentru definirea variabilelor booleene. S- a obinut soluia: Anul 1: Anul 2:

iar valoarea funciei obiectiv (beneficiul maxim) este 405 u.m. Deci, se vor alege n primul an pentru realizare proiectele 4 i 5, iar n anul al doilea se vor realiza proiectele 1, 2 i 3.

0x11 0x21 0x31 1x41 1x51

1x12 1x22 1x32 0x42 0x52