1Ion Boicu Livia Nistor-Lopatenco Alexandru Pantaz

BAZELE GEOMETRICE ALE

FOTOGRAMMETRIEI

Curs universitar

Chiinu 2013

2CZU:%

Aprobat pentru editare de Senatul Universitii Tehnice a Moldovei

Autori:

Ion Boicu, lector superior Universitatea Tehnic a Moldovei.

Livia Nistor-Lopatenco, dr., conf. univ. Universitatea Tehnic a Moldovei.

Alexandru Pantaz, lector asistent Universitatea Tehnic a Moldovei.

Recenzent:

Gram Vasile, dr. conf. univ. Universitatea Tehnic a Moldovei.

Paginare computerizat:

Ion Boicu

Copert:

Ion Boicu

Aceast ediie a fost realizat n cadrul proiectului TEMPUS 511322-2010-1-SE-TEMPUS-

JPCR, Geographic Information technology for sustainable Development in Eastern

neighbouring Countries (GIDEC).

Acest proiect a fost finanat cu sprijinul Comisiei Europene. Aceast publicaie reflect numai

punctul de vedere a autorului i Comisia nu este responsabil pentru eventuala utilizare a informaiilor

pe care le conine.

Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii:

%D]HOHJHRPHWULFHDOHIRWRJUDPPHWULHL&XUVXQLY,RQ%RLFX/LYLD1LVWRU/RSDWHQFR$OH[DQGUX3DQWD]&KLLQX6Q7LSRJU$UWSROLJUDIS%LEOLRJUSWLW$SDUHFXVSULMLQXOILQDQFLDUDO&RPLVLHL(XURSHQHH[,6%1

3CUPRINS

Introducere .............................................................................................................................................. 5

1. ELEMENTE CONSTRUCTIVE I CONCEPTE DE BAZ .................................................... 6

2. CONSTRUCII GEOMETRICE I REPREZENTRI PROIECTIVE N PLAN .............. 11

2.1. Punctele speciale a dou linii proiectiv corespunztoare ............................................................. 14

2.2. Corespondena proiectiv a fasciculelor de drepte cu puncte centrale ........................................ 15

3. REPREZENTRILE PROIECTIVE A PLANELOR I MNUNCHIURILOR ................. 17

3.1. Reprezentarea perspectiv a planelor ........................................................................................... 17

3.1.1. Elementele constructive de baz ale corespondenei perspective a planelor ........................ 19

3.1.1. Condiiile geometrice al reprezentrii perspective a planului n varianta standard i

varianta nestandard ......................................................................................................................... 20

Varianta standard................................................................................................................................... 20

Reprezentarea dubl i multipl a planelor n perspectiv .................................................................. 22

Obinerea planului afin cu ajutorul perspectivei duble ........................................................................ 25

3.2. Deformarea imaginii n punctele planului proiectiv .................................................................... 28

3.3. Reprezentarea proiectiv a mnunchiurilor cu punct central ....................................................... 31

4. REPREZENTAREA PERSPECTIV N PLANE COMBINATE (OMOLOGIE) ............... 33

4.1 Transformarea omoloag a planului perspectiv cu schimbarea poziiei invariantului perspectivei

n cmpul su ...................................................................................................................................... 34

4.1.1. Perspectiva dubl n omologie .............................................................................................. 36

4.2. Transformarea omoloag general a planului perspectiv ............................................................ 37

5. REPREZENTAREA PERSPECTIV A SPAIULUI PE PLAN ........................................... 44

6. STRUCTURA I SIMETRIA PLANULUI PROIECTIV ........................................................ 46

7. REPREZENTAREA PROIECTIV A PLANULUI CU AJUTORUL FASCICULELOR

COMPLEXE DE RAZE PROIECTIVE MULT MAI COMPLICATE DECT CEL CU PUNCT

CENTRAL ............................................................................................................................................. 48

7.1 Fascicolul biliniar de raze proiective ............................................................................................ 48

7.2 Reprezentarea proiectiv a planului cu ajutorul fascicolului biliniar de raze proiective .............. 51

7.2.1. Reprezentarea fascicolului biliniar pe planul proiectiv ................................................... 51

47.2.2. Principii generale de transformri proiective a planului prin intermediul fascicolului

biliniar de raze proiective ................................................................................................................ 53

Bibliografie ............................................................................................................................................ 56

5

INTRODUCERE

Bazele geometrice ale fotogrammetriei se consider o parte component a fotogrammetrie.

Bazele geometrice ale fotogrammetriei studiaz metodele geometriei proiective de obinere a

unei fotograme.

Din geometria proiectiv se cunoate c avem dou tipuri de proiecii, proiecia central atunci

cnd razele de proiecie pornesc dintr-un singur punct numit centrul de proiecie i proiecia ortogonal

atunci cnd centrul razelor de proiecie este situat la infinit.

Rezolvarea multiplelor probleme cu ajutorul metodelor geometriei proiective care apar la

redresarea fotogramelor, folosind metodele grafice de rezolvare a problemelor de transformare a

imaginei de pe fotogram n imaginea real a obiectului reprezentat ne permite de a rezolva

problemele mult mai simplu de ct dac am folosi metodele analitice de rezolvare a acelorai probleme.

Metodele grafice ne permit de a exclude erorile de aproximare i rotungire ce apar la metodele

analitice.

n cursul respectiv se vor studia conceptele de baz i elementele constructive ale geometriei

proiective. Construciile geometrice i reprezentrile proiective ce apar n plan i spaiu.

6

1. ELEMENTE CONSTRUCTIVE I CONCEPTE DE BAZ

Elementele constructive ale geometriei proiective sunt: punctul, dreapta, planul i suprafeele

riglate de ordinul doi.

Din aceste elemente se pot forma construcii geometrice unidimensionale, plane i spaiale cu

proprieti geometrice specifice numai lor.

Punctul acesta este cea mai mic parte distinct constructiv dintre elementele constructive ale

geometriei proiective. n geometria proiectiv punctele pot fi proprii i improprii (sunt situate la

infinit), singulare i duble (suprapuse), distribuite pe dreapt, n plan sau spaiu, uniform sa-u

neuniform.

Dreapta proiectiv (fig. 1) este format din punctele abcd i se deosebete prin aceia c, n

general punctele pe ea sunt distribuite neuniform, dar conform legii de reprezentare pe ea a fascicolului

de raze. Esena acestei reprezentri const n aceia, c dac unghiurile dintre razele adiacente sunt

egale atunci segmentele ab, bc i cd se raport unul la altul ca diferena tangentelor direciilor

respective, msurate de la direcia perpendicular pe dreapta dat i direciile respective, ce determin

segmentele menionate.

gb

ba

tgtg

tgtg

bc

ab

-

-= ;

ng

gb

tgtg

tgtg

cd

bc

-

-= ....

Dreapta proiectiv are un punct situat la infinit (impropriu), care se afl la intersecia razei paralele

cu dreapta OX, dar fiindc, punctul impropriu, se poate afla n ambele capete ale dreptei OX, n

geometria proiectiv aceasta este tratat ca o nchidere la infinit a dreptei (fig. 2).

S

O a b c d

X

a

b

gn

Fig. 1. Dreapta proiectiv ca rezultat a fasciculului

de raze cu punct central reprezentat pe ea

7

Planul proiectiv este format din puncte i drepte proiective, una dintre care este improprie. Prin

urmare un astfel de plan, ca i dreapta proiectiv are suprafaa unui cilindru, care se nchide pe

generatoarea sa improprie.

Fig. 2. Dreapta proiectiv n concepia geometriei proiective

Suprafaa riglat de ordinul doi(hiperboloidul cu o pnz fig. 3 sau cazul su particular

paraboloidul hiperbolic fig. 4) este format din puncte, drepte,generatoarele sale i o curb improprie

de ordinul doi sau dou drepte improprii.

n geometria proiectiv reprezentarea i transformarea sunt sinonime.

Fig. 3. Hiperboloidul cu o pnz

8

Un mod de a reprezenta dreapta ox (fig. 5) pe dreapta o/x

/ n fascicolul de raze cu centrul S este

reprezentarea n perspectiv.

Analitic aceasta poate fi reprezentat (vezi fig. 5) Prin urmtoarea formul:

j

j

tgxSo

tgSoxoSx

*

*

-

+=

Fig. 4. Paraboloidul hiperbolic

S

O

O/

O1j

j g

( )gj +-090

a

a/

x

x/

Fig. 5. Reprezentarea dreptei Ox pe dreapta O/x/ n fascicolul de raze cu centrul S

9

De asemenea, pot fi efectuate urmtoarele reprezentri: un fascicol de drepte pe o dreapt i invers

o dreapt pe un fascicol de drepte, un fascicol pe alt fascicol, un plan pe alt plan etc.

Reprezentrile proiective pot fi perspective sau corelate (reprezentrile corelate a dreptelor pe un

plan - pot fi efectuate cu fascicolul de raze tangente la o curb de ordinul doi, n spaiu cu fascicolul

de raze tangente la suprafeele riglate de ordinul doi), ele sunt bine definite, de exemplu, la

reprezentarea unei drepte pe alt dreapt, unui punct de pe dreapta iniial i aparine un singur punct

de pe dreapta transformat. Astfel de puncte se numesc corespondente.Dreptele, legate de posibilitatea

de proiectare reciproc, ca i punctele, se numesc drepte corespondente. Trecnd la planele

corespondente, putem vorbi despre o coresponden depuncte i linii, unde este posibil corespondena

dintre punctele i dreptele proprii cu cele improprii.

Dreptele, planele i spaiile se pot afla n coresponden perspectiv sau corelativ. n ultimul caz

apar elemente constructive de ordinul doi curbe plane suprafee riglate spaiale de ordinul doi.

n grupa reprezentrilor proiective, ca un caz particular, sunt reprezentrile perspective i afine.

Transformarea perspectiv se deosebete prin aceia c, la reprezentarea unei drepte pe dreapt,

unul din puncte devine dublu sau neschimbat. La reprezentarea n perspectiv a unui plan pe alt plan

(n spaiu) dubl devine o pereche de drepte congruente ale acestor plane. Drepte congruente se

numesc, dou din dreptele proprii, care se pot suprapune una peste alta n aa fel, nct toate punctele

corespunztoare lor se vor suprapune i vor deveni duble. La reprezentarea n perspectiv au unui plan

pe alt plan ele se vor intersecta dup dreapta dubl menionat, care n cazul dat se va mai numi axa

perspectivei.

Reprezentarea afin, este al doilea caz particular important a reprezentrilor proiective, i se

deosebete prin aceia, c elementele improprii ale construciei n urma transformrii afine rmn

improprii. De aceia orice familie de drepte paralele a planului sau spaiului trec ntr-o familie de trepte

paralele corespunztoare planului sau spaiului transformat, iar orice dreapt cu puncte dispuse ordonat

i uniform pe ia trece ntr-o dreapt cu puncte corespondente dispuse uniform i ordonat. Cu toate

acestea, trebuie de avut n vedere, c dac pe dreapta iniial punctele sunt dispuse neuniform, atunci

n urma transformrii afine neuniformitatea punctelor se pstreaz. Punctele corespunztoare pe

dreapta reprezentat, vor fi amplasate astfelnct raportul dintre lungimile corespunztoare de pe

dreapta iniial i cea transformat va fi o mrime constant constanta acestei transformri. n plan

toate elementele se alungesc i se scurteaz pe dou direcii perpendiculare, numitediametre conjugate

principale atransformrii afine. Astfel de diametre perpendiculare conjugate n spaiu sunt trei. n

termeni metrici pe diametrele conjugate principale deformaiile figurilor sunt extreme.

Cazuri speciale de reprezentri afine sunt: transformri de rudenie, deplasarea pur afin, conform

i congruent.

10

La transformri de rudenie planurile corespunztoare afine trebuie s aib o pereche de drepte,

care sunt corespondent congruente. n raport cu ele toate punctele corespondente cumulate de poziie

trebuie s efectueze o alungire proporional simetric sau strngere a unui plan fa de altul.

La deplasarea pur afin fa de dreapta dubl, punctele planului transformat se deplaseaz pe

direciile, paralele acestei drepte,astfelnctacestea cu ct sunt mai departe de ea, cu att mai mult se

deplaseaz direct proporional fa de ea.

La transformarea conform are loc extensia proporional a figurilor pe toate direciile uniform fa

de un punct dublu. Cu toate acestea direciile i unghiurile, construite de la un punct al planului iniial

(spaiu iniial), i pstreaz valoarea i n planul (spaiul) transformat, dac acestea sunt direciile i

unghiurile respective.

Reprezentarea congruent este un caz particular al reprezentrii conforme, atunci cnd nu are loc

nici un fel de deformaii ale figurilor, dar are loc suprapunerea planelor sau spaiilor prin translaii i

rotaii, n aa fel c elementele corespunztoare planului (spaiului) iniial i transformat se suprapun i

devin duble.

Sub denumirea de fascicul de raze, plane i suprafee riglate de ordinul doi vom conveni s

nelegem combinaiile multiple ale acestor elemente, combinate cu elemente specifice stabile: puncte,

drepte, plane. Fascicolele posed proprieti proiective, fcnd legtur ntre punctele i dreptele

corespunztoare planelor sau spaiilor.

Cel mai cunoscut este fascicolul razelor proiective i planurile imaginei proieciei centrale, care

vom conveni s-l numim fascicol cu punct central, deoarece razele i planele n acest fascicol aparin

unui singur punct centrului de proiecii.

Mai puin cunoscute, dar care vor fi menionate n acest curs, va fi fascicolul biliniar, fascicolul

uniliniar i fascicolul multiliniar al razelor, planelor i suprafeelor riglate de ordinul doi.

Fascicolul biliniar de drepte raze, plane i suprafee riglate de ordinul doi face parte dintr-un

grup special de trei drepte, dou dintre carese ntretaie ntre ele, iar a treia intersecteaz primele dou.

Fascicolul uniliniar de asemenea, este format din aceleai elemente, dar care aparin unei singure

drepte.

Fascicolul multiliniar - de asemenea, este format din aceleai elemente i este totalitatea

fasciculelor biliniare, dreptele speciale ale crora se afl pe dou plane ce se intersecteaz, avnd o

dreapt comun.

Toate transformrile proiective care vor fi studiate mai departe, au o proprietate important, numit

inciden, meninerea apartenenei punctelor dreptelor, dreptelor planelor, planelor spaiului.

n consecin, pstrarea ordinii de dispunere a punctelor pe dreapt, a dreptelor pe plan i a

planelor n spaiu, suprapunerea lor este exclus.

11

2. CONSTRUCII GEOMETRICE I REPREZENTRI PROIECTIVE N

PLAN

Vom studia de la nceput reprezentarea afin a dreptei pe o dreapt n fascicolul de raze proiective.

n fig. 6 sunt reprezentate dou reprezentri afine. Una n fascicol cu punct central cu centrul de

proiecie S perspectiva i a doua n fascicol de drepte, tangente la o curb de ordinul doi, - corelate.

n ultimul caz dreptele corespunztor afine sunt dispuse una fa de alta arbitrar i singure devin

tangente la aceiai curb.

Fig. 6. Reprezentarea afin a dreptei abcd pe dreapta a/b/c/d/ n fascicolul de drepte cu

centrul S i n fascicolul de drepte tangente la o curb de ordinul doi

S

a b c d

a

b

c

d

a/

b/

c/

d/

12

Este uor de observat, c corespondena perspectiv este un caz particular al corespondenei

corelate, cnd dreptele corespunztor afine sunt paralele ntre ele, iar centrul de proiecie S se poate

afla n afara spaiului dintre aceste drepte, ct i n interiorul lui.

Corespondena afin a dreptelor n fascicol se pstreaz i n cazul, cnd centrul de proiecie al

fascicolului de drepte devine impropriu, iar razele de proiecie sunt paralele ntre ele (fig. 7).

a

b

c

d

a/

b/

c/

d/

Fig. 7. Reprezentarea afin a dreptei n fascicolul de raze paralele (centrul este situat la infinit)

Fig. 8. Reprezentarea proiectiv a dreptei de poziie general n fascicolul de raze cu punct central

(perspectiv) i n fascicolul de raze tangente la o curb de ordinul doi (corelativ)

S

ab

c

d

a

b

c

d

a/

b/

c/

d/

13

Corespondena corelativ n fascicolul de drepte, tangente la curba de ordinul doi, se pstreaz i n

cazul general de coresponden proiectiv a dou drepte (fig. 8), aflndu-se la reprezentarea lor n

perspectiv n fascicolul cu punct central, situate neparalel una fa de alta.

Astfel, indiferent care nu ar fi corespondena proiectiv adou drepte, inclusiv i toate cazurile

speciale, la dispunerea lor arbitrar una fa de alta, razele ce unesc punctele corespunztoare ale

acestor drepte, formeaz mpreun cu dreptele respective un set de tangente la o curb de ordinul doi.

n consecin, o curb de ordinul doi n plan se poate de construit cu ajutorul a dou drepte, care se afl

ntr-o coresponden proiectiv, de exemplu ntr-o coresponden congruent (fig. 9).

Fig. 9. Construirea curbei de ordinul doi cu ajutorul a dou drepte congruente

12 3

45

67

8 910

1112

12

34

56

78

910

1112

14

2.1. Punctele speciale a dou linii proiectiv corespunztoare

Dou drepte corespondent proiective au dou puncte specifice V i c (c/), (fig. 10), care sunt uor

de gsit, dac le-ai pus ntr-o coresponden perspectiv ntru-n fascicol de drepte cu punct central.

Unul din puncte se afl la intersecia acestor drepte i este dublu, iar al doilea c i c/sunt situate de la

punctul V la distane egale. Sau

Vc = Vc/

Prin urmare, dou drepte proiectiv corespondente pot fi suprapuse n plan n aa fel nct s

formeze o dreapt dubl cu dou puncte duble V i c.

La corespondena afin a dreptelor n fascicolul de raze cu punct central (vezi fig. 7 sau fig. 6) la

suprapunerea lor punctul dublu propriu va fi unu. Pe fig. 6 punctele, punctele analoage c i c/ (vezi fig.

10), formal se vor afla pe perpendiculara, cobort din centrul de proiecie S, i la intersecia dreptelor

corespunztoare (vezi fig. 7). A doua pereche de puncte, suprapuse n punctul V (vezi fig. 10), se va

afla la infinit.

Prin urmare, rolul punctelor c i c/ (vezi fig. 10) pe dreptele corespondent afine (vezi fig. 6 i 7)

poate juca rolul orice pereche de puncte corespunztoare. Astfel, dou dreptecorespondent afine la

suprapunerea lor n dreapt dubl pot avea un singur punct propriu dublu. Cu toate acestea acest rol

poate juca orce pereche de puncte proprii corespunztoare acestor drepte. n cazul congruenei

dreptelor ele pot fi suprapuse cu toate punctele i n rezultat aceast dreapt dubl, n ntregime va

consta din puncte duble.

S

V

C

C/

Fig. 10. Punctele duble a dreptelor corespondent proiective

15

2.2. Corespondena proiectiv a fasciculelor de drepte cu puncte centrale

Fascicolele de drepte corespondent proiective cu punct central, la fel ca si dreptele corespondent proiective,

se pot afla n coresponden reciproc, attperspectivct i corelativ. Aceasta este condiionat de poziia lor

reciproc n plan.

S

S/

1

2

3

4

ab

cd

d/c

/b

/a/

Fig. 11. Corespondena perspectiv a dou fascicole de drepte cu punct central

Dac dou fascicole de drepte corespondent proiective cu puncte centrale se afl n coresponden

reciprocperspectiv (fig. 11), atunci la intersecia razelor corespunztoare aa/...dd/ se va obine un ir de puncte

coliniare 1, 2, 3, 4 o linie dreapt.

Dac aceleai dou fascicole vor fi, unul fa de altul, dispuse altfel, atunci la intersecia razelor

corespondente aa/...dd

/ se va obine o curb de ordinul doi 1, 2, 3, 4, S, S/ (fig. 12).

ns trebuie de avut n vedere c, dac centrele fascicolelor se afl de ambele pri ale unei drepte, ca pe fig.

11, atunci unul dintre fascicole, de exemplu S, a, b, c, d, trebuies fie amplasat n plan, n vedere invers (n

oglind), ceia ce nsemn c ordinea de amplasare n fascicole, a dreptelor corespunztoare, trebuie s fie

identic dup acele ceasornicului, sau mpotriva acelor ceasornicului.

Curba de ordinul doi, la corespondena reciproc a dou fascicole de drepte corelate, se va obine, indiferent

de orientaia lor, nafar de una, perspectiv, atunci cnd la intersecia razelor corespunztoare se va forma o

dreapt. De aceia perspectiva a dou fascicole de raze proiectiv corespondente, trebuie de considerat ca caz

particular al corespondenei proiective.

16

S/

S

1

23

4

d/

c/b

/a/

ab

cd

Fig. 12. Corespondena corelativ a dou fascicole de raze cu puncte centrale

17

3. REPREZENTRILE PROIECTIVE A PLANELOR I

MNUNCHIURILOR

Reprezentareproiectiv a planelor i mnunchiurilor poate fi efectuat n spaiu i pe plan

(omologie). Reprezentrile proiective a mnunchiurilor cu punct central pot fi puse n aplicare doar n

spaiu pentru c mnunchiul de plane este o construcie spaial.

Sub denumirea de mnunchi n general vom conveni s nelegem construcia din linii, plane i

suprafee riglate de ordinul doi, care asigur o coresponden proiectiv a dou obiecte i elementele

componente ale acestora, n acest caz a planelor, care este legtura dintre punctele lor - cu raze drepte,

dreptelor - cu plane sau suprafee riglate de ordinul doi, planelor - cufascicule monoliniare sau

biliniare.

3.1. Reprezentarea perspectiv a planelor

S

A

B

C

D

a

b

cv

v

P

E

Fig. 13. Corespondena perspectiv a planelor P i E n fascicolul de

raze proiective cu punct central

d

v

v

18

Reprezentarea perspectiv a planelor se efectueaz n mnunchiul de raze proiective cu punct

central, constnd din raze directe i plane, aparinnd unui punct centrul mnunchiului (fig. 13).

Planele corespunztor proiective P i E, puse n coresponden perspectiv n mnunchiul de raze

i plane cu punct central, trebuie s aib dou drepte, care sunt congruent corespondente i n

perspectiv trebuies fie suprapuse cu toate punctele lor, formnd o dreapt dubl, compus n

ntregime din puncte duble. O astfel de dreapt n fig. 13 este dreapta VV. Dreapta dubl VV poate fi

att proprie, ct i improprie.n ultimul caz planele trebuies fie n coresponden conform i plasate

n mnunchiul cu punct central paralel unul fa de altul.

Centrul de proiecie poate fi amplasat pe de o parte a planelor, precum i ntre ele.n cazul n care

centrul de proiecie S este deplasat la infinit, atunci mnunchiul va deveni un set de drepte paralele

ntre ele i plane ce se intersecteaz pe aceste drepte. n acest caz, (fig. 14) este asigurat reprezentarea

planului E pe Pi invers, numit reprezentare de rudenie. Ambele reprezentri menionate ( conform

i de rudenie) sunt cazuri particulare de reprezentare afin.

v

v

A

B C

D

c

ba

d

Fig. 14. Corespondena afin (de rudenie) a planelor P i E n fascicolul de raze proiective

cu punct impropriu

v

v

19

Prin urmare, mnunchiul de raze proiective cu punct central, n special cu centrul propriu, nu

asigur transformarea afin a planelor de poziie general, care nu este ntotdeauna luat n considerare

n lucrrile cunoscute ale geometriei proiective.

Dou plane corespunztor afine de poziie general nu au linii congruent corespondente.

3.1.1. Elementele constructive de baz ale corespondenei perspective a planelor

Elementele constructive de baz ale corespondenei perspective a planelor (fig. 15) sunt: planele

corespondente P i E; planele orizontului EQ i PQ ; planul verticalei principale SiPiEV; urma planului

PQ (n planul E) i EQ (n planul P), care trec prin punctele iE i iP numite liniile orizontului; urma

interseciei reciproce a planelor P i E, care trece prin punctul V, care aparine simultan i planului

verticalei principale; verticalele principale ale planelor P i E iPV i iEV corespunztor; centrul de

proiecie S, care este, de asemenea, centrul mnunchiului de raze proiective cu punct central; punctele

principale ale orizontului iP i iE a planelor P i E; punctele deformaiilor nule cP i cEa planelor P i

E; punctul V baza perspectivei.

S

m

m/

n

n/

E

P

cE

cP

iE

iP

V

Fig. 15. Elementele constructive ale corespondenei perspective a planelor

V1

EQ

PQ

g

g

j

V2

20

Elementele enumerate de mai sus permit s efectum construciile geometrice necesare pentru

obinerea oricrei imagini a unui plan pe altul.

Dac prin centrul de proiecie S i orce punct m a planului P se duce un plan, astfel nct urma lui

n planul P s fie paralel verticalei principale iPV, atunci urma lui n planul E trece prin punctul

principal al orizontului iE, iar raza de proiecie mS, ce aparine acestui plan, la intersecia cu urma

menionat n planul E ne va da punctul m/, care este corespondentul punctului m din planul P.

Punctul m/ se poate de construit i prin alt metod. n cazul n care prin punctul m i raza

deformaiilor nule cPcE vom duce un plan, care n prelungire dincolo de desen se va intersecta cu axa

perspectivei VV, atunci urma acestui plan n planul E, va trece prin punctul cE, la intersecia cu raza mS

ne va da punctul m/.

Astfel, pot fi construite i liniile care trec prin dou puncte. n acest caz , prin oricare dou puncte

ce aparin dreptei mn i centrul de proiecie S se poate duce un planproiectiv pn la intersecia lui cu

axa perspectivei n punctul V1. Din punctul obinut se duce urma acestui planpn la un punct al

dreptei reprezentate (de exemplu m/), obinut prin una din metodele descrise mai sus.Pe aceast urm

se va afla i al doilea punct n/, corespondenta punctului n, care se obine ducnd prin punctul iniial n i

centrul de proiecie S raza proiectiv pn la intersecia ei cu urma planului proiectiv n punctul n/.

3.1.1. Condiiile geometrice al reprezentrii perspective a planului n varianta standard i

varianta nestandard

Varianta standard

n varianta standard a reprezentrii perspective al planelor se ndeplinesc urmtoarele condiii

geometrice.

De exemplu, planurile P i E (vezi fig. 15) sunt scoase din amplasarea perspectiv reciproc i

necesit de a pune din nou aceste plane n alt mnunchi de raze proiective cu punct central cu centrul

S/ (fig. 16).

21

S/

E/

P/

V/(V)

i/E

i/P(iP)

C/E

C/P(CP)

Fig. 16. Varianta standard de reprezentare perspectiv a planului

n aceast figur sunt prezentate elementele principale a perspectivei planelor P/ i E/ inclusiv i

planul verticalei principale S/i/PV

/ , ntruct amplasarea reciproc i comutarea n ele invariantele

perspectivei cPiP cu c/Pi

/P i iPV cu i

/PV

/ ne asigur rezolvarea problemei puse. Unghiul j ntre planele

P/ i E/ (vezi fig.16) nu este egal cu unghiul iniial j dintre planele P i E (vezi fig. 15). Acest fapt are

o importan practic n fotogrammetrie, fiindc se creeaz condiii, care s permit la un singur

dispozitiv optico-mecanic rezolvarea problemei transformrii perspective a fotogramelor, obinute cu

diferite sisteme de fotografiere cu mecanism central.

Mai sus a fost examinat cel mai des ntlnit varianta transformrii perspective a imaginii, de

exemplu aerofotograma. ns n practic destul de des este necesar de recurs la rezolvarea nestandard a

problemei, deoarece rezolvarea standard n cazuri concrete devine imposibil sau inacceptabil.

Vom examina cteva variante de rezolvare.

22

Reprezentarea dubl i multipl a planelor n perspectiv

S

P

i

a

b

c

iP

CP

V

iE

i/

a/

b/

CE

c1

1

1/

2

21

E

Q

Fig. 17. Transformarea planului cu perspectiva direct

c/

23

Presupunem c noi avem reprezentarea planului n perspectiv i trebuie s obinem altul, cu

proprieti prestabilite. Vom numi o astfel de reprezentare perspectiv dubl.

i

V

V/

a

b

c

cP

P

E

S

cE

c/

i/

iP

iE

c1

Q

a/

b/

Fig. 18. Transformarea planului cu perspectiva invers

24

Reprezentarea n perspectiv dubl a planelor se poate ntlni n cmpurile orientate, (orientate se

numesc cmpurile, la care elementele perspectivei sunt paralele ntre ele) n dou versiuni: cu

schimbarea poziiei punctului de deformaii nule i cu pstrarea poziiei sale, adic cu pierderea sau

pstrarea incidenei sale. Punctul n planul E, corespunztor punctului c din planul P, trebuie s

aparin dreptei iEi/, dar punctul nu va avea proprietatea de conformitate, care are punctul c

/ ce nu

coincide cu dreapta menionat. A avut loc pierderea incidenei (apartenenei dreptei corespunztoare).

Cu schimbarea poziiei punctului de deformaii zero, adic cu pierderea incidenei n cmpurile

orientate, pot exista de asemenea dou cazuri. Primul caz (fig.17) este modificarea planului de

perspectiv n condiiile n care poziia liniei de dispariie att n planul iniial, amplasat n planul P,

ct si n planul transformat n planul E, rmne de aceiai parte din care a fost pe planul original.

Consecutivitatea punctelor iab de pe planul original P rmne aceiai i pe planul transformat E. Dac

ne referim la fotogram linia orizontului fa de imaginermnede aceiai parte. Vom numi o astfel de

transformare perspectiv direct.

Al doilea caz (fig.18) difer prin aceia, c perspectiva planului este inversat, adic linia de

dispariie, amplasat pe imaginea original n planul P din partea punctului b (pe fig.18 abi), pe

imaginea transformat n planul E este amplasat din partea punctului a/ (pe aceiai fig. b

/a

/i/). Dac

ne referim la fotogram, linia orizontului fa de imagine se amplaseaz de partea opus. Vom numi o

astfel de transformare perspectiv invers.

Cazul urmtor cu pstrarea poziiei punctului de deformaie zero, mai bine zis cu asigurarea

incidenei acestui punct, n acest caz apartenena lui dreptei, care este verticala principal a planului

perspectiv. Punctul de deformaii zero c n planul transformat coincide cu acelai punct cP a planului P.

Cu toate acestea, punctul principal de fug i nu coincide cu punctul iP a planului P. Ca rezultat, vom

obine o nou perspectiv n planul E cu invariantul c/i/(fig.19).

25

S

P

E

cP(c)

i

iP

V

i/

cE(c/)

Fig. 19. Transformarea perspectiv cu pstrarea poziiei punctului

de deformaii nule n cmpul punctelor imaginii

Ambele aceste cazuri, de transformare perspectiv a planelor pot fi folosite att cu pierderea, ct i

conservarea incidenei punctului c la transformarea dubl i multipl a fotogramelor la primele etape

de transformare i ulterioare, cu excepia ultimei etape, cnd transformarea este efectuat n versiunea

standard.

n cmpurile neorientate de asemenea poate fi obinut perspectiva planului transformat. n

principiu, planul perspectivei nou, poate avea orice localizare a elementelor perspectivei. Metodele de

determinare a localizrii acestor elemente vor fi studiate mai departe n planurile combinate (n

omologie).

Obinerea planului afin cu ajutorul perspectivei duble

n paragrafele anterioare au fost examinate cazurile de obinere a planurilor perspective noi prin

transformarea perspectiv repetat a originalului. Toate aceste planuri sunt diferite prin aceia c au

cte o pereche de linii, care sunt n congruen, i perechi de puncte de deformaii nule

corespunztoare, cu proprietatea de conformitate (unghiuri nedeformate, construite n aceste puncte).

S presupunem c avem o vizualizare n perspectiv a ptratului abed (fig.20) cu invariantul

perspectivei ci plasat n planul P i proiectat n planul E, cu condiia de a combina linia de dispariie a

26

imaginii cu linia de dispariie a planului P.Ca rezultat elementele improprii a planului, n care a existat

un ptrat, reprezentate pe linia de dispariie a imaginei sale, se vor proiecta pe dreapta improprie a

planului E. Aceasta nseamn c laturile paralele ale ptratului, din nou se vor reprezenta n planul E

paralele. Cu toate acestea unghiurile, dintre laturi, vor fi deformate datorit faptului c punctul de

deformaii zero a imaginii c nu este combinat cu punctul similarcP a planului P i imaginea ptratului

n planul E va fi un paralelogram a/b/e/d/. n cazulsuprapunerii n planul P n afara liniei de dispariie i

a verticalelor principale ci i cPiP, imaginea transformat a ptratului n planul E va deveni un

dreptunghi, alungit sau comprimat de-a lungul verticalei principale cEV.

Astfel, un paralelogram, sau cazul su particular un dreptunghi, sunt figuri corespondent afine unui

ptrat. Este clar c, dac n loc de imaginea unui ptrat vom lua imaginea perspectiv a oricrui alt

desen sau imagine i s efectum cu ele transformrile examinate, vom obine ca urmare reprezentarea

afin a desenului sau imaginii.

n corespondena afin de form general lipsete o pereche de drepte, care sunt n congruen, iar

punctul de deformaii nule se transform n punct impropriu.

Reprezentarea perspectiv standard face posibil de a obine trei cazuri speciale de plane

corespondent afine: rudenie, conformitate (similaritate) i congruen, dar exclude obinerea planelor

corespondent afine de form general examinate mai sus.

Corespondena de rudenie este obinut cnd centrul de proiecie devine impropriu, iar razele de

proiecie paralele ntre ele (fig.21). Aceast coresponden are o pereche de drepte proprii ab i a/b/

care sunt n congruen.

Corespondena conform ntre planele P i E (fig. 13) poate fi obinut cnd aceste plane sunt

paralele ntre ele. Atunci axa perspectivei (dreapta dubl VV) devine improprie, i toate punctele

relevante a planelor P i E obin proprietatea de conformitate.

Corespondena congruent este un caz particular a corespondenei conforme, atunci cnd dou

planuri suprapuse unul pe altul coincid cu toate punctele lor. Un astfel de plan va deveni dublu,

constnd din puncte duble i linii duble.

27

a

b

c

d

C

CP

i

iP

V

CE

a/

b/

c/

d/

Fig. 20. Obinerea corespondenei afine prin transformarea perspectiv a planului perspectiv

S

28

3.2. Deformarea imaginii n punctele planului proiectiv

b

a

a/

b/

P

E

Fig. 21. Reprezentarea rudeniei n familia de drepte paralele

Pentru obinerea unei imagini mai complete a naturii de deformare a imaginei pe cmpul planului

perspectiv i afin vom examina indicatorii lor.

n calitate de indicatori de deformare a imaginei vom lua desenul din cartea lui A. H. Lobanov.

Imaginai-v c pe o suprafa plan sunt reprezentate cercuri de acelai diametru, i aceast

suprafa (vom considera c este un plan conform) reprezentat n perspectiv pe alt plan. Ca rezultat a

unei astfel de reprezentare (fig. 22) cercurile planului conform se vor reprezenta pe alt plan n form de

elipse de dimensiuni diferite i orientri diferite. Obinerea elipselor n planul perspectiv este uor de

imaginat, dac prin centrul de proiecie, situat n afara planelor mperecheate proiectiv, si cercurile

planului conform vom construi suprafee conice i vom gsi intersecia lor cu planul perspectivei.

Din analiza indicatorilor de deformare a imaginei n planul perspectivei se pot face urmtoarele

concluzii.

Planul perspectivei are ax de simetrie fa de verticala principal.

29

Alte elemente ale perspectivei, linia de dispariie i orizontalele sunt perpendiculare pe verticala

principal.Exist un punct pe verticala principal a planului perspectiv, care nu este expus

deformaiei. Cercul din planul conform este reprezentat ca un cerc. Nu este greu de neles c acesta

este punctul de deformaii nule.

Pe verticala principal orientarea elipselor de deformaie este identic i una din axele lor coincide

cu verticala principal.

Restul elipselor de deformaie a imaginei n planul perspectiv n dependen de amplasarea lor i

schimb nu numai dimensiunea dar i orientarea.

Fig. 22. Indicatorul de deformaii a planului conform la reprezentarea lui n perspectiv

Indicatorii de deformaie a imaginei n planul afin fa de planul conform pot fi obinui, dac

reprezentarea lor perspectiv n planul P (vezi fig. 20) este apoi proiectat n planul E, cu condiia de

suprapunere liniei de dispariie a imaginei indicatorilor de deformaie cu linia de dispariie a planului

30

P. Ca rezultat n planul E vom obine imaginea, pe care toate elipsele vor fi identice i identic orientate

(fig. 23). Direciile de orientare a axelor elipselor de deformare a imaginei n planul afin sunt reciproc

perpendiculare i reprezint alungirea i comprimarea maximal a imaginei planului conform. Aceste

dou direcii sunt numite diametre conjugate principale la transformarea afin. Un alt detaliu, toate

elipsele planului afin sunt similare i orientate analog elipsei indicatorului planului perspectiv, care

coincide cu punctul de deformaii nule cP a planului P i sunt egale i identice n orientarea imaginei

lor, a crui centru a coincis cu punctul de deformaii nule cE a planului E.

Din analiza indicatorului de deformaie a planului afin reiese, c simetria axial este definit numai

de ctre direcia sa, dar nu de poziie, de aceia ea este aproape de simetria absolut, n special dac nu

este definit de care parte este amplasat linia de dispariie, situat la infinit.

Fig. 23. Indicatorul deformaiei afine a panului conform

31

3.3. Reprezentarea proiectiv a mnunchiurilor cu punct central

Mnunchiurile de raze i plane cu punct central, ca si fasciculele de raze cu punct central se pot

afla n coresponden perspectiv i corelativ.

Pentru simplificare presupunem c avem un plan proiectiv P(fig. 24) i dou mnunchiuri cu

centrele de proiecie S i S/, puse n coresponden perspectiv. Aceste mnunchiuri se vor afla ntre ele

n coresponden proiectiv, fiindc la intersecia razelor S1 i S/1 i planelor (S25 i S/25) se vor

obine puncte i drepte situate n acelai plan P.

n cazul n care planul P este stratificat n dou P i P/ care sunt aranjate n spaiu mpreun cu

mnunchiurile la ntmplare (fig. 25), i apoi s ia orice pereche de raze corespunztoare S2 i S/2 ca

axe a mnunchiurilor de plane, obinnd dou mnunchiuri corespondent proiective, atunci intersecia

planelor corespunztoare n mnunchiuri (S25 i S/2/5/, S23 i S/2/3/ ) ne vor da dreptele lm etc.,

care formeaz suprafee riglate de ordinul doi. Aceast suprafa va trece i prin dreapta ce unete

centrele mnunchiurilor S i S/ i mnunchiurile corespunztoare ei se vor afla nu n coresponden

perspectiv, dar corelativ.

S S/

1

2

34

5

P

Fig. 24. Dou mnunchiuri proiectiv corespondente cu punct central,

sprijinite pe un plan ce le corespunde se afl n coresponden perspectiv

32

Fig. 25. Dou fascicole proiectiv corespondente cu puncte centrale, amplasate

arbitrar una fa de alta, la intersecia fascicolelor de plane

corespondente formeaz suprafee riglate de ordinul doi

S

1

2

3

4

5

S/

1/

2/

3/

4/

5/

P

6

7

l m

Ca axe a perechilorde fascicule, de plane, care se afl n coresponden proiectiv i formeaz

suprafee riglate de ordinul doi, se poate de luat orice pereche de drepte, duse prin centrele de proiecie

S i S/ i punctele corespunztoare i i i/ (i=1,3, i/=1/,3/) a planelor P i P/ obinnd noi suprafee

riglate. Deci n felul urmtor putem obine o infinitate de suprafee riglate de ordinul doi, care trec prin

dreapta SS/, care este linia lor comun.

33

4. REPREZENTAREA PERSPECTIV N PLANE COMBINATE

(OMOLOGIE)

nainte de a trecela analiza reprezentrilor perspective n planele combinate vom examina

condiiile de obinere a planelor combinate.

n fig. 26 din punct de vedere al perspectivei liniare sunt prezentate condiiile de transformare

perspectiv a imaginei ptratului abcd, situat n planul P, n reprezentarea sa conform ABCD, obinut

n planul T cu ajutorul centrului de proiecie S. n acelai plan T, dar cu ajutorul centrelor de proiecie

S1 i S2, situate n planul orizontului H au fost obinute dou reprezentri afine a acestui ptrat

A1B1C1D1-dreptunghi i A2B2C2D2-paralelogram, care sufer o schimbare de afinitate curat n

comparaie cu dreptunghiul A1B1C1D1.

Acestea i alte transformri perspective pot fi efectuate i n planurile combinate, dac planurile P

i T sunt suprapuse prin rotaie n jurul axelor perpendiculare pe planul verticalei principale iSJV i trec

prin punctele i i V (fig. 26, 27).

n fig. 27 prin literele abed este reprezentat imaginea perspectiv a ptratului ABED cu centrul

perspectivei S (punctul de deformaii nule c), linia bazei VV/ i linia de dispariie ii/. La schimbarea

poziiei centrului perspectivei S/(c/), imaginea ptratului sa transformat ntr-un paralelogram A/B/E/D/,

corespondent afin ptratului ABED.

n fotogrammetrie, este de obicei necesar s realizm transformrile proiective cu scopul de a

obine suficient de precis forma geometric a obiectului reprezentat, sau asemnarea obiectului -

modelul su geometric micorat.

La folosirea metodelor optice, optico-mecanice i mecanice de transformare proiectiv a imaginei,

dup cum sa menionat, sunt frecvente situaiile cnd o singur transformare obinuit nu este

suficient i trebuie s efectum dou sau chiar mai multe. n aceste cazuri, o importan deosebit are

amplasarea elementelor perspectivei imaginei transformate fa de cmpul de lucru a imaginei. Vom

examina cteva cazuri de transformare perspectiv a planului proiectiv cu scopul de a obine

modificrile sale cu elementele perspectivei transformat amplasate.

34

4.1 Transformarea omoloag a planului perspectiv cu schimbarea poziiei

invariantului perspectivei n cmpul su

La transformri duble i multiple a planului perspectivei o deosebit importan are nu doar

distorsiunea imaginii n ea, dar i poziia elementelor perspectivei fa de imagine.n practica

transformrii optico-mecanic a planului perspectiv este important faptul, ca n rezultatul acestei

transformri verticala principal s treac aproximativ prin centrul imaginii, iar punctul de deformaii

nule este la mijlocul ei. Un astfel de plan perspectiv uor se transform n conform, care este de obicei

necesar, de exemplu la transformarea optico-mecanic a aerofotogramelor n scopuri cartografice.

35

S S1

S2

i

P

H

a

bc

d

A B

C D

V J

A1

B1

C1 D1

A2

B2

C2

D2Fig. 26. Perspectiva liniar n variantele: conform ABCD

i afin A1B1C1D1 (A2B2C2D2)

36

S(c)

S/(c

/)

A

D

E

B

a

d

e

b

E/

D/

B/

A/

i i/

V V/

Fig. 27. Reprezentarea perspectiv n plane combinate

4.1 Perspectiva dubl n omologie

n primul rnd vom examina perspectiva dubl n cmpurile orientate. n acest scop vom introduce

noiunea de cmpuri a planelor perspective, caracteristicile i condiiile lor de orientare reciproc. Sub

denumirea de cmpuri a planelor perspective vom nelege elementele perspectivei ce le

caracterizeaz: verticalele principale, punctele de deformaie nule i punctele principale de fug,

fiindc de poziia lor fa de imagine de multe ori depinde posibilitatea de transformare a planului

37

perspectiv ntr-un plan conform. Vom conveni de asemenea s mprim cmpurile n iniiale (pasive),

transformabile (active) i rezultate, care sunt obinute n rezultatul transformrilor.

S presupunem c n planul perspectiv cu invariantul perspectivei iniial ci (fig. 28) imaginea este

situat ntr-o zon marcat prin linie punctat i transformarea perspectiv a lui n conform la foto-

transformator poate fi asigurat numai n cazul n care punctul de deformaii nule c/ va fi n centrul

imaginii. n acest scop efectum transformrile necesare.

4.2 Transformarea omoloag general a planului perspectiv

Alegem n fig. 28 cmpul de transformare cu invariantul cnin, baza perspectivei VV i efectum

transformarea cmpului iniial n cel rezultat c/i/. La aceast transformare, vom obine mai nti punctul

i/ printr-o construcie simpl. Imaginea obinut Vin a dreptei ci n cmpul transformat cnini unirea

punctelorcn cu punctul ine dau dou drepte. La intersecia acestor drepte i se afl noul punct principal

de fug i/ a cmpului rezultat. Avnd n vedere c cmpurile iniial ci i transformabil cninsunt reciproc

orientate, atunci n rezultatul transformrii cmpului iniial, noul cmp transformat c/i/ nu ea schimbat

orientaia, fiindc a avut loc numai redistribuirea orizontalelor: 1, 2, 3, 4, 5 n cmpul iniial, 1/, 2/, 3/,

4/, 5

/ - transformabil.Cu literele a, b, e, d, sunt notate punctele duble de intersecie a dreptelor

corespunztoare din fascicolele de raze cu centrele n punctele principale de fug i i i/ respectiv.

Punctul de deformaii nule a cmpului transformabil c/ se afl la intersecia dintre noua vertical

principal care trece prin punctul de fug principal obinut i/ cu dreapta care unete punctele de

deformaii nule a cmpului iniial c i cmpului transformabil cn, fiindc aceast linie pstreaz

orientarea sa unghiular fa de toate trei verticale principale, combinate ntr-un plan al cmpurilor

perspective.

Linia punctat n fig. 28 arat limitele imaginei, n centrul creia a fost obinut noul punct de

deformaii nule c/.

Transformarea cmpului plan perspectiv orientat se poate de efectuat i cu perspectiva invers (fig.

29). Este uor de observat c n acest caz cmpurile iniial ci i transformabil cninsunt reciproc orientate

antitetic.Ca rezultat al construciei, efectuate analog ca n cazul anterior cu perspectiv direct, noul

cmp c/i/fa de cel iniial ci are orientare opus. Prin urmare fa de imaginea, artat n fig.29 prin

linie punctat, linia de dispariie se afl de partea opusfa de cea iniial. Iar pe desen planul apropiat

din cmpul iniial se transform n plan ndeprtat din cmpul transformabil i invers.

n cazul ,cnd linia de dispariie a cmpurilor transformat i transformabil ini coincid (fig. 30),

cmpul rezultat este afin. Punctul principal de fug i/ i punctul de deformaii nule c/ se proiecteaz la

infinit, devin improprii, improprie devine i verticala principal c/i/ a cmpului rezultat.

Dreptunghiurile din planul conform, reprezentate ca patrulatere n cmpul perspectiv transformabil la

38

intersecia fascicolului de raze abed cu orizontalele 1, 2, 3, 4 n cmpul rezultat se reprezint

paralelograme, formate la intersecia dreptelor paralele care trec prin punctele abed i 1/, 2/, 3/, 4/.

Paralelogramele cmpului rezultat pot fi obinute cu ajutorul diagonalei dk trapezelor cmpului

iniial. De aceia punctul k/, obinut cu ajutorul punctelor cn i in, i axa de omologie VV, ne-a permis s

obinem imaginea dk/ a acestei diagonalen cmpul rezultat.

Mai departe, dreapta dk/ la intersecia cu familia de drepte paralele, care trec prin punctele abed, la

rndul ei, ne-a permis s obinem o familie de drepte paralele cu axa VV i care trece prin punctele 1/,

2/, 3

/, 4

/.

Astfel, planul proiectiv-afin format prin transformarea proiectiv-omoloag a planului perspectiv, se

deosebete prin aceia c nu are n cmpul su verticala principal, punctele nsoitoare a verticalei

principale, punctul principal de fug i punctele de deformaii nule.

n cazul mai general de transformare perspectiv a planului, de exemplu, la suprapunerea liniei de

dispariie a planului transformabil ini (fig.31) cu verticala principal ic a planului iniial, patrulaterul

abed care este imaginea ptratului planului conform se va transforma ntr-un nou patrulater anbnendn a

planului transformat. Apare problema determinrii poziiei elementelor perspectivei cmpului rezultat.

n acest scop, vom gsi poziia liniei de dispariie a acestui cmp i punctul de deformaii nule, cu

ajutorul crora vom obine i verticala principal.

39

V VCn ba e d

C/

C

1

2

3

4

5

ik

in

i/

k/

1/

3/4

/5

/

Fig. 28. Obinerea cmpului perspectiv transformat cu noul

invariant c/i/ cu ajutorul perspectivei directe

2/

40

Cn

C/

C

i

VV

in

i/

Fig. 29. Obinerea cmpului perspectiv transformat cu noul

invariant c/i/ cu ajutorul perspectivei inverse

Unul dintre punctele de fug a dreptelor paralele din cmpul iniial i planului conform este

punctul in, al doilea punct de fug a dreptelor laturilor opuse andn i bnen este punctul i1, prin care i

vom trasa linia de dispariieini1, a cmpului final, fiindc patrulaterul anbnendn este o reprezentare

perspectiv dubl a ptratului planului conform. Dac acum vom construi un unghi drept astfel ca

laturile lui s treac prin punctele in i i1 iar pe urm vom puncta vrful su i trasnd prin trei puncte

un cerc, atunci se poate argumenta c punctul de deformaii nule va fi amplasat pe el. n acest caz

particular, la utilizarea unghiului drept, segmentul ini1 este diametrul cercului. Prin urmare, este

suficient de a gsi mijlocul segmentului ini1 i lund-ul ca centrul cercului trasm acest cerc. Pentru

determinarea poziiei exacte a punctului de deformaii nule, a cmpului final, este suficient de a obine

al doilea cerc. n acest scop, vom gsi punctele de fug a familiilor de drepte paralele cu diagonalele

ptratului, reprezentate prin dreptele anen i bndn. Aceste puncte sunt i2 i i3, prin care trasm al doilea

cerc. La intersecia a dou cercuri i vom obine punctul cutat c/. Cobornd din acest punct

perpendiculara pe linia de dispariie ini1, vom obine punctul principal de fug i/ i verticala principal

a cmpului rezultat c/i/.

Pentru a verifica corectitudinea construciilor executate, vom alege n cmpul planului rezultat linia

de baz a perspectivei V/V/ i vom transforma cu ajutorul punctelor i/ i c/ patrulaterul anbnendn n

ptratul a/b/e/d/ similar ptratului planului conform.

41

n cazul general n planul conform ca figur nu trebuie neaprat s fie ptrat. Este suficient pentru a

avea orice triunghiuri (sau paralelogram) cu dou perechi de laturi paralele ntre ele, marcate, de

exemplu, prin punctele din vrfurile lor.

Dup o serie de transformri perspective i afine ele se vor reprezenta de asemenea prin triunghiuri

sau patrulater.

42

k/

k

i/

in

Cn

C/

V V

C

i

1

2

3

4

deba

1/

2/

3/

4/

Fig. 30. Condiia de obinere a cmpului transformat afin n plane combinate

43

iCin

a

b

e

d

i2kst

Vn Cn Vn

i1

i/

i3

C/

an

bnen

dna

/

b/

e/

d/

kdr

V/

V/

Fig. 31. Cazul general de transformare perspectiv a planului perspectiv n plane combinate

44

5. REPREZENTAREA PERSPECTIV A SPAIULUI PE PLAN

La reprezentarea perspectiv a spaiului tridimensional pe plan (fig. 32) n afara punctelor speciale

examinate anterior i i c pe verticala principal iVn mai sunt nc dou puncte importante, punctul

nadiral n i punctul principal o.

Punctul nadiral se deosebete prin aceia, c el este punctul de fug a imaginei tuturor liniilor

verticale fa de planele orizontale T i Tn. aceste linii sunt aan, bbn, een, ddn, care reprezint imaginea

muchiilor prismei AAn, BBn, EEn, DDn. Muchiile inferioare ABED i superioare AnBnEnDn ale prismei

sau reprezentat n planul P trapeze isoscele abed i anbnendn, laturile opuse ale crora ad i be, andn i

bnen sunt convergente n punctul principal de fug, iar imaginea muchiilor prismei perpendiculare pe

planul verticalei principale iVJ sau reprezentat paralele ntre ele i perpendiculare pe verticala

principal iV.

Din fig. 32 reiese de asemenea, c la reprezentarea spaiului cuprins ntre planele T i Tn, fiecare

dintre planele paralele cu ele se reprezint separat, fiindc au axa sa de perspectiv, care trece prin

punctul Vi, situat ntre punctele V i Vn. Cu toate acestea, toate celelalte elemente ale planului

perspectivei P, linia de dispariie, care trece prin punctul i, verticala principal iV, punctul de

deformaii nule c, punctul nadiral n i punctul principalo pentru toate planurile orizontale sunt

aceleai. Ultimul punct, numit principal, este piciorul perpendicularei coborte din centrul de proiecie

S pe planul P i este originea sistemului de coordonate rectangulare n acest plan pentru rezolvarea

problemelor fotogrammetrice.

n cazul n care centrul de proiecie S va fi mutat n planul orizontului H n alt loc i vom proiecta

figura abedanbnendn pe planele corespunztoare T i Tn, vom obine un paralelepiped nclinat.

45

i

P

V J

S

n

Vn

S0

A

B E

D

An

BnEn

Dn

ddn

e

ena

an

bn

b

O

c

Fig. 32. Reprezentarea perspectiv a spaiului T Tn n planul P

T

Tn

46

6. STRUCTURA I SIMETRIA PLANULUI PROIECTIV

Sub denumirea de plan proiectiv, aa cum se obinuiete, ne referim la planul ce const din puncte

i linii, i are o dreapt improprie, dac considerm imaginea abstract, sau a desenului din acest plan,

considerndu-l c const numai din elemente constructive elementare. Dac vom introduce n plan

dreptele i punctele speciale, atunci va fi posibil s se disting i cazurile particulare a planurilor

proiective.

De exemplu, n cazul n care planul proiectiv este format din puncte i linii distribuite absolut

uniform de-a lungul acestuia, dup cum sa menionat mai sus, vom considera c este conform, absolut

simetric i nu are puncte i linii speciale, cu excepia liniei improprii menionate mai sus. Pe acest plan,

toate punctele au proprietatea punctului de deformaii nule, care este proprietatea conformitii.

n cazul n care planul proiectiv are un singur punct conform, atunci el obligatoriu are i punctul

principal de fug, verticala principal i linia de dispariie. Un astfel de plan este perspectiv i are

simetrie axial fa de verticala principal. Punctele i liniile pe el fa de planul conform (ca

reprezentarea sa perspectiv) sunt distribuite neuniform. Cu ct sunt mai aproape de linia de dispariie,

cu att acestea sunt mai dense i mai dense.

n cazul n care planul proiectiv are dou axe de simetrie reciproc perpendiculare i nu are n

cmpul propriu puncte de deformaii nule, atunci el este afin, iar axele de simetrie sunt numite

diametre principale conjugate. Pentru toate direciile elementele structurale ale planului afin sunt

situate uniform.

Pe dou direcii de simetrie principaledensitatea elementelor structuraleeste distribuit diferit, dar

aceasta este diferit cu o valoare constant.

Astfel, toate planurile proiective se mpart n dou clase: perspective i afine. Alte tipuri de plane

proiective n coliniaritate nu exist. Toate celelalte, enumerate mai devreme, sunt cazuri particulare ale

acestora.

La reprezentarea spaiului pe plan, dup cum sa menionat, apar plane perspective cu o locaie

special a punctului nadiral. Punctul nadiral este locul geometric de fug a dreptelor imaginei,

perpendiculare pe planul conform iniial, reprezentat cu ajutorul fascicolelor de raze cu punct central

pe planul perspectivei. Planul perspectiv a obiectului spaial se deosebete de planul perspectiv a

obiectului plan prin aceia, c la reprezentarea elementelor curbe a obiectului spaial, curbele sale plane,

obinute n rezultatul secionrii spaiului cu fascicolul de plane proiective, se vor reprezenta pe lanul

perspectivei ca drepte. Prin urmare, planul perspectiv a obiectului spaial n legtur cu acesta este

doar parial coliniar, deoarece o dreapt din teren se va reprezenta pe el ca o dreapt, iar curba se poate

47

reprezenta i ca dreapt, dac ea se afl n unul din planele fascicolului cu punct central, care

proiecteaz spaiul pe plan.

Planul perspectiv a obiectului spaial are, de asemenea, simetrie axial.

Orice transformare coliniar a planului perspectivei, cu excepia celei conforme, duce la nclcare

condiiilor de proiectare a imaginei transformate pe imaginea spaial, din cauza c punctul nadiral nu

nimerete n locul necesar, care este determinat de proiecia central.

Fascicolul de raze proiective n acest caz, ar trebui s aib o alt construcie geometric, diferit de

construcia geometric a fascicolului de raze proiective cu punct central.

Planul transformriiproiective a planul perspectivei obiectului spaial, cum sa menionat, este

numit proiectiv. Acest plan , n general, nu are o anumit simetrie datorit faptului c punctul nadiral

nu coincide cu verticala principal.

La procesarea fotogrammetric a imaginei, transformarea planului perspectivei fotogramei

proieciei centrale n proiectiv, poate aprea indiferent de dorina specialistului, de exemplu, la

obinerea imaginei mrite sau micorate a microfilmelor, fr a respecta cu precizie condiiile de

fotografiere i de reproducere, la deformarea imaginei substratului, n special neegale pe cele dou

direcii reciproc perpendiculare, etc. n aceste cazuri, teoria, metodele i instrumentele utilizate pentru

fotogramele obinuite a proieciei centrale, pentru prelucrarea stereo i transformarea optometric a

imaginei deformate sunt puin utile i pot duce la o pierdere semnificativ n precizie. La transformarea

acestor imagini este important s se cunoasc noua poziie pe ele a punctului nadiral pentru

introducerea corect a coreciilor pentru influena terenului. Transformarea unor astfel de imagini

poate fi realizat prin oricare dintre metodele cunoscute i din punct de vedere a teoriei, fr nici o

pierdere n precizie, deoarece o astfel de imagine rmne coliniar n raport cu orice suprafa plan a

terenului.

48

7. REPREZENTAREA PROIECTIV A PLANULUI CU AJUTORUL

FASCICULELOR COMPLEXE DE RAZE PROIECTIVE MULT MAI

COMPLICATE DECT CEL CU PUNCT CENTRAL

Este cunoscut faptul c conceptul de fascicul de raze drepte care trec printr-un punct se refer

numai la varianta cu punct central. Cu toate acestea, cu dezvoltarea noilor instrumente de fotografiere

n industria aerospaial, este necesar s se extind acest concept i s fie atribuit la cazurile, n cea mai

mare parte proiectiv-coliniare i ordinul doi de reprezentare. n aceste cazuri, se mai poate o

reprezentare abstract-constructiv de linii geometrice a imaginei care unete punctele corespunztoare

a planului sau spaiul obiectelor cu planul (spaiul) pe care sunt reprezentate. Spre deosebire de

fasciculul cu punct central ntr-un mod generalizat locul geometric de intersecie a razelor de proiecie

pot fi drepte sau chiar plane.

Reprezentarea geometric constructiv a fascicolului de raze proiective, care unesc aceleai puncte

din spaiu i planul lor de reprezentare, iar n continuare i spaiul de reprezentare, ne ofer

posibilitatea de a obine imaginea cea mai exact a unui fenomen abstract, care este relativ uor de

trecut pe viitor ntr-un limbaj matematic.

Noiunea general de mnunchiuri de trepte, a razelor de proiecie poate fi formulat, de exemplu,

n felul urmtor.

Un mnunchi de raze proiective este o construcie geometric abstract de linii (raze) care unesc

punctele cu acelai nume din spaiu i planulimaginei.

Baza geometric a construciei mnunchiului sunt unele dintre liniile sale, care reprezint n sine

locul geometric de intersecie a razelor de proiecie la reprezentarea obiectului plan pe plan i planele

individuale, care reprezint n sine un ansamblu de linii individuale, la reprezentarea spaiului

obiectelor pe planul (spaiul) imaginei.

Razele mnunchiurilor complexe unesc ntre ele punctele corespunztoare a obiectelor i imaginea

lor, iar ansamblu de raze (plane) coplanare i suprafeele riglate de ordinul doi unesc ntre ele dreptele

corespunztoare (dreptele i curbele de ordinul doi) a obiectelor i imaginile lor.

7.1 Fascicolul biliniar de raze proiective

Baza constructiv aproape a tuturor fascicolelor complicate de raze proiective este fascicolul

biliniar. Cel mai evident fascicolul biliniar poate fi artat la reprezentarea afin a planului P pe planul

49

E (fig. 33) sau invers, planului E pe planul P. Principiul general de proiectare a punctelor de pe un plan

pe altul poate fi definit n felul urmtor. Imaginaiv fascicolul biliniar n form de dou mnunchiuri

de plane cu axele as i a/s. Prin orice punct din planul P pot fi trasate planele a

/sa i asa, care n planul

E ne vor da urmele secionrii AAX i AAY. Intersecia acestor plane ne vor da raza proiectiv Aa, care

intersecteaz dreptele as i a/s n punctele S i S1. Liniile, paralele axelor de coordonate ox, oy i OX,

OY i directoarelor fascicolului as i a/s, se proiecteaz cu plane, iar toate celelalte linii cu suprafee

riglate de ordinul doi. n acest caz, orce dreapt, de exemplu cum ar fi diagonala oa a patrulaterului

oaxaay, i dou axe a fascicolelor de plane as a/s, permit s trasm cu ajutorul lor o singur suprafa

riglat de ordinul doi, care n prelungirea acesteia va intersecta planul E dup dreapta corespunztoare

OA. Aceast suprafa este un paraboloid hiperbolic, deoarece dreptele oa, as, a/s, OA i toate celelalte

directoare care formeaz o singur serie vor fi paralele unui singur plan, iar toate razele de proiecie

aparinnd altei serii generatoare, vor fi paralele altui plan, care nu este paralel i nu coincide cu

primul.

50

E

A Ax

Ay O

X

Y

o

x

y

a

ay

ax

S1

Fig. 33. Reprezentarea afin a planului de poziie general cu ajutorul

fascicolului biliniar de raze proiective

P

S

a/s

as

Vom numi axele fascicolelor de plane as i a/s directoare a fascicolului biliniar, iar dreptele aA, a

planului asa i a/sa, ct i suprafeele riglate de ordinul doi, care trec prin oa, as, a

/s, OA raze de

proiecie, plane i suprafee riglate de ordinul doi, respectiv.

51

asa

/s

b

a

P

A

Fig. 34. Reprezentarea fascicolului biliniar pe planul proiectiv: fascicolului de raze i corespund

punctele planului; suprafeelor riglate de ordinul doi - dreptele

7.2 Reprezentarea proiectiv a planului cu ajutorul fascicolului biliniar de raze

proiective

7.2.1. Reprezentarea fascicolului biliniar pe planul proiectiv

Fascicolul biliniar (fig. 34) cu directoarele as i a/s, la fel ca i fascicolul cu punct central, poate fi

reprezentat pe planul proiectiv P. n acest caz razelor proiective a fascicolului le vor corespunde

punctele A, iar planelor i suprafeelor riglate de ordinul doi, care trec prin directoarele as i a/s dreptele

ab. n caz particular , atunci cnd dreapta planului proiectiv devine coplanar uneia din directoarele

fascicolului, suprafaa riglat de ordinul doi corespunztoare ei se transform ntr-un plan.

Spre deosebire de cazul reprezentrii afine a unui plan pe altul, prin intermediul fascicolului

biliniar de raze proiective, directoarele sale nu trebuie s fie paralele planului P i la prelungirea lor l

vor intersecta n punctele V i V/ (fig. 35, a). n cazuri particulare una din directoare, de exemplu as

(fig. 35, b) poate fi paralel planului P (s intersecteze planul n punctul impropriu), iar a dou a/s s-

52

l intersecteze n punctul V/, n sfrit, cum a fost menionat, ambele directoare (fig. 35, c) pot fi

paralele planului proiectiv. Directoarele paralele ambelor plane le vom numi speciale.

n plus fascicolul biliniar se poate transforma i n monoliniar (fig. 36, a i b) cu directoarea as,

care se intersecteaz cu planul P n punctul V (fig. 36, a), sau n punctul impropriu a acesteia (fig. 36,

b).

P

V/

V

V/

P

P

c

a b

as

as

as

a/s

a/s

a/s

Fig. 35. Variantele de amplasare a directoarelor

as i a/s fa de planul proiectiv P

53

P

V

a

as

P

b

as

Fig. 36. Variantele de amplasare a directoarei as fa de planul proiectiv P

7.2.2. Principii generale de transformri proiective a planului prin intermediul fascicolului

biliniar de raze proiective

Fig. 37. Ssuprafee riglate de ordinul doi, ce trec prin as i a/s i proiecteaz

orce dtreapt abcd n dreapta corespondent a/b/c/d/

as

a/s

V

V/a

b

c

da

/

b/

c/

d/

P

P/

54

n caz general, atunci cnd dou plane proiectiv corespondente P i P/ (fig. 37) se intersecteaz

dup dreapta VV/, iar punctele V i V/ sunt duble i n acelai timp puncte de intersecie a dreptei VV/ cu

directoarele fascicolului biliniar as i a/s, transformarea dreptei abcd n dreapta a

/b

/c

/d

/ se efectueaz cu

urmele Va, Vb ... V/c

/, V

/d

/ a planelor proiective (aVa

/, aV

/a

/ etc.) din cele dou fascicole cu axele as i

a/s. Urmele Va i Va

/ ... V

/d i V/d/ planelor fasciculelor sunt drepte corespondente ntre ele, formnd

fascicole de trepte cu centrele V i V/. n fiecare dintre aceste centre se obin cte dou fascicole de raze

Vabcd i Va/b/c/d/, V/abcd i V/a/b/c/d/. O pereche de fascicole cu diferite centre se afl n

coresponden perspectiv i construiesc linii drepte n primul i al doilea plan. Aceste drepte sunt

corespondent proiective, fiindc o pereche de plane, luate din ambele fascicole i trecute prin punctele

corespondente, la intersecie ntre ele dau razele (aa/, bb

/, cc

/, dd

/), care trec prin directoarele

fascicolului as i a/s i formeaz o suprafa riglat de ordinul doi. Succesiunea proiectrii punctelor i

dreptelor de pe un plan pe altul este urmtoarea.

Dou plane corespondent proiective P i P/ (fig. 38) sunt reciproc aranjate n aa fel, nct n

primul rnd, ele s se intersecteze dup dou drepte corespondente, n acest caz dou perechi de puncte

corespondente V i V/ se vor suprapune. n al doilea rnd, prin aceste puncte sunt trasate cte dou

plane ce se intersecteaz, astfel nct urmele lor n planele proiectiv corespondente s coincid cu

dreptele lor corespondente. Atunci la intersecia acestor plane, care sunt proiectante, vom obine

directoarele fascicolului biliniar as i a/s.

Perpendicular pe planele P i P/ trasm planul W, gsim punctele de intersecie S i S

/ a

directoarelor fascicolului cu acest plan i trasm prin ele raza OO/, care se afl n acest plan.

Imaginea oricrui punct din planul P se va proiecta n punctul corespondent din planul P/ n felul

urmtor.

Prin directoarea as i punctul B trasm planul proiectant VSB i gsim intersecia m a urmei sale VB

cu urma planului W (om) n planul P. Din punctul primit m prin centrul S trasm urma Sm a planului

proiectant VSB n planul W. Analog prin directoarea a/s i punctul B trasm al doilea plan proiectant

V/S

/B i de asemenea gsim intersecia e a urmei sale V

/B cu urma planului W. Intersecia dintre urmele

mS i eS/ n planul W ne dau punctul kB de intersecie a razei proiectante BkB cu planul W.

Punctul similar kC pentru raza CkC vom obine la intersecia dreptelor nS i hS/.

Proieciile punctelor B i C n planul P/ (B

/ iC

/) se obin la intersecia urmelor e

/V

/ i h

/V

/ a planelor

proiectante a/se

/ i a

/sh

/ n planul P

/ cu razele proiective BkB i CkC. Urmele planelor proiectante asB

/ i

asC/ n planul P

/, care trec pri directoarea as, se obin cu ajutorul punctelor de intersecie a dreptelor nS

i mS cu urma planului W n planul P/. Unul dintre aceste puncte este notat cu litera n

/, cellalt se afl

n afara desenului la intersecia dreptelor mS i h/O

/.

Dac se efectueaz o astfel de construcie pentru orce punct care aparine dreptei BC, atunci n

dependen de precizia efecturii construciei proiecia lui va nimeri pe dreapta B/C

/.

55

S

O

P/

O/

S/

e

C

B

kB

kC

C/

B/

V

V/h

P

m

m/

n

n/

as

a/s

h/

e/

W

Fig. 38. Pproiectarea punctelor i dreptelor din planul P n puncte i drepte corespondente din planul P/

56

BIBLIOGRAFIE

1. Tudoreanu L., Noaje I., Msurtori terestre Fundamente Fotogrametrie, Bucureti, Matrix

Rom 2002.

2. . ., , . 8-e, ., , 1969.

3. . . , , , 2009.

4. .., , , 1954.

5. Mihileanu N., Elemente de geometrie proiectiv, Editura Tehnic, Bucureti, 1996.