04 caracteristici geometrice ale sectiunilor pdf

7/25/2019 04 Caracteristici Geometrice Ale Sectiunilor PDF

1/33

4.1. Introducere

n Rezistena Materialelor, calculul tensiunilor i deformaiilor din bare,calculul deplasrilor acestora, calculele de stabilitate folosesc o serie de mrimi,care in cont de forma seciunii transversale.

Aceste mrimi se numesc caracteristici geometrice ale seciunilor, naceast categorie fiind: aria seciunii, momentele statice, momentele de inerie,modulele de rezisten, razele de inerie.

innd cont de specificul disciplinei Rezistena Materialelor, n continuaresunt prezentate definiiile caracteristicilor geometrice, relaii de calcul pentru oserie de forme simple de seciune, relaiile de calcul care exprimvariaia relaiilorde calcul n raport cu axe translatate i rotite, studii de caz pe probleme tehnice,metodica rezolvrii problemelor de caracteristici geometrice, aplicaii.

4.2. Definiii

Pentru a rezolva problemele referitoare la mrimi secionale (caracteristici

geometrice, tensiuni, deformaii) trebuie definitseciunea de calcul n care vor fiefectuate calculele.n figura 4.1 este prezentat poziia sistemului de axe pe o bardreapt.

Bara este secionatcu un plan virtual notat cu P. Se considercobservatoruleste plasat la extremitatea din stnga a barei i privete planul P n sensul indicatde sgeat. Din aceastpoziie sistemul de axe din seciune este cel din figura4.1, adicaxa Z este orientatn jos iar axa Y este orientatctre dreapta.

Figura 4.1 - Poziia sistemului de axe n seciunea de calcul

Odatstabilitpoziia sistemului de axe poate fi creatschema de calculpebaza creia se definesc caracteristicile geometrice ale seciunilor. Astfel, n figura4.2 poate fi observat sistemul de axe centrale zGy (prin definiie axele centrale auoriginea n centrul de greutate al seciunii) i sistemul de axe translatate ZOY.

ntre axa Y i y este excentricitatea Ye iar ntre axa Z i z este excentricitatea Ze .Originea sistemului de axe translatate, O, este la distan R fa de centrul de

CARACTERISTICI GEOMETRICEALE SEC

IUNILOR


2/33

24 REZISTENA MATERIALELOR - CURS I APLICAII

greutate G. Se observc, ntre distanele anterior definite este valabilTeoremalui Pitagora, adic 222 YZ eeR += .

n domeniul pozitiv al axelor ( )0,0 >> yz se delimiteazo arie elementardA pentru care, aa cum se va detalia n capitolele urmtoare, sunt valabile oserie de ipoteze simplificatoare (tensiuni constante, etc.). Aceast arie estepoziionat la distan r fa de centrul de greutate G i la distan fa deoriginea sistemului de axe translatate. Considernd oricare dintre sistemele deaxe din figur, ntre coordonate i distana pn la origine exist relaia:

222 ZY += , 222 yzr += .

Figura 4.2 - Schempentru definirea caracteristicilor geometrice

Folosind schema din figura 4.2, pot fi definite urmtoarele caracteristicigeometrice:

1. Aria

Aria reprezint suma ariilor elementare dA care compun acea seciune.Trecnd la limit, suma devine integrali rezultrelaia:

=A

dAA . (4.1)

Unitatea de msureste [L2]. Aria este o mrime strict pozitiv.

2. Momentele statice

Momentul static elementar al ariei dA n raport cu o ax este definit, nprincipiu, ca produsul dintre arie i distana de la centrul de greutate al ariei laacea ax.

Figura 4.3 - Schempentru definireamomentului static SY=AZG

==A

zz dAySdAydS , (4.2.1)

==A

yy dAzSdAzdS . (4.2.2)

Unitatea de msureste [L3].Este cunoscut din mecanic faptul c

n raport cu sistemul de axe centrale,momentele statice sunt nule.


3/33

25CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECIUNILOR

3. Momentul de inerie polar

Momentul de inerie polar elementar PdI al ariei elementare dA n raport cucentrul de greutate G, denumit pol, este definit ca produsul dintre aria elementardA i ptratul distanei dintre aria elementari centrul de greutate.

Figura 4.4 - Schempentru definirea

momentului de inerie polar

Rezultrelaia:

==A

PP dArIdArdI 22 (4.3)

Unitatea de msureste [L4].Momentul de inerie polar este omrime strict pozitiv.

4. Momentele de inerie axiale

Momentul de inerie axial al unei arii elementare este definit ca produsuldintre aria elementarrespectivi ptratul distanei la acea ax.

Figura 4.5 - Schempentru definireamomentului de inerie axial

Rezultrelaiile de calcul:

==A

yy dAzIdAzdI 22 (4.4.1)

==A

zz dAyIdAydI 22 . (4.4.2)

Unitatea de msur este [L4].Momentele de inerie axiale sunt mrimistrict pozitive.

5. Momentul de inerie centrifugal

Momentul de inerie centrifugal al unei arii elementare este definit caprodusul dintre aria elementari distanele la cele douaxe.

==A

yzyz dAzyIdAzydI (4.5)

Unitatea de msureste [L4]. Momentul de inerie centrifugal poate avea o valoarenegativ, nulsau pozitiv.

n cazul seciunilor care au cel puin o axde simetrie poziionatparalel cuuna dintre axele centrale, momentul de inerie centrifugal este nul. Pentru ademonstra aceastafirmaie se considerschema de calcul din figura 4.6.

n acest caz, momentul de inerie centrifugal elementar YZdI al ansamblului

ariilor elementare dA este: ( ) 0=+= dAyzdAzydIzy (4.6)


4/33


Figura 4.6 - Schempentru calculul momentului de inerie centrifugal ncazul unei seciuni care are o axde simetrie paralelcu o axcentral

4.3. Momente de inerie ale corpurilor geometricesimple

n continuare, plecnd de la definiii, sunt determinate relaii de calculdirecte ale caracteristicilor geometrice pentru un ansamblu de forme geometricesimple, frecvent ntlnite n practic.

1. Seciune de form

inelar

Pentru a determina mometele de inerie ale unei seciuni inelare estefolositschema de calcul din figura 4.7.

Figura 4.7 - Schemde calcul pentru determinarea caracteristicilorgeometrice n cazul unei sec

iuni inelare


5/33


Astfel, aria elementar dA se calculeaz ca arie a unui dreptunghicurbiliniu de laturi dr i dr:

drdrdA = . (4.7)nlocuind (4.7) n (4.3) rezult

( ) ( ) 4444

442

2

4

2

0

2

2

322

132

13232

24

1ee

e

i

ie

D

d

D

dAA

P

DkDD

ddDr

ddrrdrdrrdArI

e

i

e

i

=

===

====

. (4.8)

n cazul unei seciuni inelare dimensiunile msurabile sunt diametrulexterior eD i diametrul interior id . n calculul anterior a fost folositnotaia

e

i

D

dk = , ( )8.06.0 Kk (4.9)

frecvent ntlnitn Rezistena Materialelor.

Pentru a determina valoarea momentelor de inerie axiale nlocuim222 zyr += n relaia (4.3) care definete momentul de inerie polar i rezult

( ) zy

I

A

I

AAA

P IIdAydAzdAzydArI

zy

+=+=+== 321321

22222 (4.10)

Dar seciunea inelar prezint o infinitate de axe de simetrie, deci se comportidentic fade cele douaxe. Ca atare, momentele de inerie axiale sunt egale:

( ) 441

642 e

Pzy DkIII === (4.11)

Aria seciunii inelare este:

( ) ( ) 222

222

14

144

e

k

e

ieie DkD

dDdDA =

=

=

321

(4.12)

Pentru o seciune circular 0=id , deci 0=k . Relaiile de calcul anterioaredevin:

32

4e

P

DI

=

, (4.13)

64

4

e

ZY

DII

==

, (4.14)

4

2

eDA

=

. (4.15)


6/33


2. Seciune de formdreptunghiular

Pentru a determina momentele de inerie ale unei seciuni dreptunghiulareeste folositschema de calcul din figura 4.8.

Figura 4.8 - Schemde calcul pentru determinarea caracteristicilorgeometrice n cazul unei seciuni dreptunghiulare

Conform figurii, aria elementar dA este:dzbdA = (4.16)

nlocuind aria elementar n expresiile (4.4) care definesc momentul de inerieaxial obinem:

128833

3332

2

3222 hbhhbz

bdAzbdzbzdAzI

h

hAAA

y

=

+=====

+

(4.17.1)

n mod similar se obine relaia:

12

3bh

Iz

= (4.17.2)

Pentru a reine mai uor expresiile (4.17) se poate observa c laturaperpendicularpe axa n raport cu care se calculeazmomentul de inerie intrn

expresie cu puterea a treia, iar latura paralelcu axa intrcu puterea ntia. Decio formsintetica expresiei (4.17) este:

12

3

=axaI (4.18)

unde reprezintlatura paraleliar reprezintaxa perpendicular.

n cazul unei seciuni de formptratde latur a , expresia (4.17) devine:

12

4a

II ZY == (4.19)


7/33


4.4. Variaia caracteristicilor geometrice n raport cuun sistem de axe translatate

O seciune realpoate avea o formcomplicat, diferitde formele simpleanterior abordate. Ca atare, sistemul de axe n raport cu care vor fi calculatecaracteristicile geometrice va fi un sistem de axe centrale la nivelul ntregii seciunicare poate fi translatat sau rotit n raport cu sistemul de axe centrale la nivel decorp care are o formsimpl. n concluzie trebuie determinate relaiile de variaieale caracteristicilor geometrice n raport cu un sistem de axe translatate i cu unsistem de axe rotite.

Din figura 4.2 se observ c relaia de legtur dintre coordonateleexprimate n cele dousisteme de axe, cel central i cel translatat, este:

+=

+=

z

y

eyY

ezZ

(4.20)

nlocuim coordonatele Z i Y exprimate n sistemul de axe translatate(4.20) n relaiile de definiie ale caracteristicilor geometrice pentru a determinaexpresiile de calcul ale acestora n noul sistem de axe.

Astfel, nlocuim (4.20) n (4.2) i obinem expresiile de calcul pentrumomente statice, exprimate n sistemul de axe translatate:

( ) AedAedAzdAezdAZSy

A

y

AA

y

A

Y =+=+==

3210

(4.21.1)

( ) AedAedAydAeydAYSz

A

z

AA

z

A

Z =+=+==

3210

. (4.21.2)

nlocuind (4.20) n (4.4.1) se obine expresia de calcul pentru momentul deinerie axial n raport cu axa translatatY :

( ) ( )

{

AeIdAedAzedAz

dAeezdAezdAZI

yy

A

A

y

A

y

I

A

A

yy

A

y

A

Y

y

+=++=

=++=+==

=

22

0

2

2222

2

2

321321

(4.22.1)

n mod similar se obine

AeII zzZ += 2 (4.22.2)Relaiile (4.22) poartde numirea de Teorema lui Steinerpentru momente

de inerie axiale.nlocuind (4.20) n (4.5) se obine expresia de calcul pentru momentul de

inerie centrifugal, exprimatn sistemul de axe translatate:( ) ( ) ( )

{

AeeIdAeedAyedAzedAzy

dAeezeyeyzdAeyezdAYZI

zyyz

A

A

zy

A

z

A

y

I

A

A

zyzy

A

zy

A

YZ

yz

+=+++=

=+++=++==

==

32132132100

(4.23)

Relaia (4.23) poartde numirea de Teorema lui Steinerpentru momentede inerie centrifugale.


8/33


nlocuind (4.20) n (4.3) se obine expresia de calcul pentru momentul deinerie polar, exprimatn sistemul de axe translatate:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

ARIdArdAR

dAzydAzedAyedAee

dAzzeeyyee

dAzeyedAZYdAI

p

I

AA

Ar

A

y

A

z

AR

zy

A

yyzz

A

yz

AA

P

p

+=+=

=+++++=

=+++++=

=+++=+==

222

2222

2222

22222

22

0

2

0

2

22

321

43421321321

43421

(4.24)

Relaiile (4.24) poartde numirea de Teorema lui Steinerpentru momentede inerie polare.

n concluzie, relaiile pentru calculul caracteristicilor geometrice aleseciunilor ntr-un sistem de axe translatate sunt:

+=

+=

+=

+=

=

=

ARII

AeeII

AeII

AeII

AeS

AeS

pP

zyyzYZ

zzZ

yyY

zZ

yY

2

2

2

(4.25)

4.5. Variaia caracteristicilor geometrice n raport cuun sistem de axe rotite

Determinarea expresiilor de variaie ale caracteristicilor geometrice n raportcu un sistem de axe rotite este deosebit de utiln cazul unor erori de montaj, de

exemplu n care ogrind este sudat cuo anumit nclinaie(este rotit) n raportcu celelalte grinzi cti n cazul seciunilorde form complicatcare conin corpurisimple poziionatenclinat fa desistemul de axecentrale ale seciunii.Expresiile de variaie

ale momentului de inerie sunt utile pentru determinarea valorilor maxime alemomentelor de inerie axiale.

Sistemul de axe ZGY este rotit cu unghiul n raport cu sistemul zGy(figura 4.9).

Figura 4.9 Sistemul de axe ZGY este rotit cu unghiuln raport cu sistemul de axe centrale zGy


9/33


Prima etap a calculului urmrete determinarea unei relaii care sexprime coordonatele din sistemul de axe rotite ( )ZY, n funcie de coordonateledin sistemul de axe centrale ( )zy, .

Unghiul corespunztor ariei elementare dA n sistemul de axe rotite este =

r

(4.26)unde este unghiul din sistemul de axe centrale.

Exprimm coordonatele ( )zy, i ( )ZY, n funcie de raza r i unghiulcorespunztor propriului sistem de axe i obinem:

( )

( )

=

=

sin

cos

rz

ry (4.27)

( )

( )

=

=

r

r

rZ

rY

sin

cos (4.28)

nlocuind (4.26) n (4.28) obinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

==

+==

sincoscossinsinsinsincoscoscos

rrZrrY (4.29)

Desfacem parantezele ptrate din (4.29) i obinem o expresie, n careidentificm coordonate (4.27):

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

+==

++=+=

cossinsincoscossin

sincossinsincoscos

zyrrZ

zyrrY

yz

zy

4342143421

4342143421

(4.30)

Forma matriciala expresiei (4.30) este:( ) ( )

( ) ( )

+

++=

z

y

Z

Y

cossin

sincos (4.31)

Cea de a doua etap a calculului urmrete identificarea unor relaii decalcul ale caracteristicilor geometrice n sistemul de axe rotite, n funcie decaracteristicile geometrice din sistemul de axe centrale.

Momentele statice n raport cu sistemul de axe rotite sunt:

=

=

A

Y

A

Z

dAZS

dAYS

(4.32)

Introducnd (4.30) n (4.32) rezult

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

+=+=

++=++=

321321

876876

yz

yz

S

A

S

AA

Y

S

A

S

AA

Z

dAzdAydAzyS

dAzdAydAzyS

cossincossin

sincossincos

(4.33)

Rezultrelaiile de calcul:( ) ( )

( ) ( )

+=

++=

yzY

yzZ

SSS

SSS

cossin

sincos (4.34)

Relaia (4.34) poate fi rescrisn forma:


10/33


( ) ( )

( ) ( )

+

++=

y

z

Y

Z

S

S

S

S

cossin

sincos (4.35)

Relaiile (4.35) sunt deosebit de utile n cadrul calculului automat.Relaiile (4.30) sunt ridicate la puterea a doua i se obine:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

+=+=

++=++=

222222

222222

coscossin2sincossinsincossin2cossincos

zzyyzyZzzyyzyY (4.36)

Integrnd (4.36) pe aria A se obine:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+=

++=

43421434214342143421

48476484764847648476

yyzzY

yyzzZ

I

A

I

A

I

A

I

A

I

A

I

A

I

A

I

A

dAzdAzydAydAZ

dAzdAzydAydAY

22222

22222

coscossin2sin

sincossin2cos

(4.37)

n relaia (4.37) identificm momentele de inerie yI , zI , yzI exprimate n

sistemul de axe centrale i obinem:( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++=

+=

yyzzZ

yyzzY

IIII

IIII

22

22

sincossin2cos

coscossin2sin (4.38)

Din trigonometrie avem relaiile de calcul:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

+=

2sincossin22

2cos1sin

2

2cos1cos

2

2

(4.39)

nlocuind (4.39) n (4.38) obinem expresiile momentelor de inerie axialeexprimate n sistemul de axe rotite:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

+

+=

+

+=

22cos2sin

2

22cos2sin

2

zy

yz

zy

Z

zy

yz

zy

Y

III

III

III

III

(4.40)

Calculm momentul de inerie polar n sistemul de axe rotite, pe bazarelaiei (4.10):

pzyZYP IIIIII =+=+= (4.41)

Din relaia (4.41) rezultcmomentul de inerie polar pI este invariant la

rotaia axelor.Fcnd produsul ZY rezult:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

+

+

=

=+++=

=++=

=++=

2cos2

2sin

2

2sin

sincos2

sin

2

sin

cossinsincoscossin

cossinsincos

22

2222

2222

yzzy

yzzy

zzyyzy

zyzyZY

(4.42)

Integrnd (4.42) pe aria A se obine:


11/33


( ) ( )( )

43421434214342143421zyyzYZ I

A

I

A

I

A

I

A

dAyzdAzdAydAZY +

+

=

2cos2

2sin

2

2sin 22 (4.43)

n relaia (4.43) identificm momentele de inerie yI , zI , yzI exprimate n

sistemul de axe centrale i obinem:( ) ( )( )

zyyzYZ IIII +

+

=

2cos

2

2sin

2

2sin (4.44)

n concluzie, relaiile pentru calculul caracteristicilor geometrice aleseciunilor ntr-un sistem de axe translatate sunt:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

=

+

+

=

+

+

=

+

+=

++=

+=

pP

zyyzYZ

zy

yz

zy

Z

zy

yz

zy

Y

yzZ

yzY

II

IIII

II

I

II

I

III

III

SSS

SSS

2cos2

2sin

2

2sin22cos2sin2

22cos2sin

2

sincos

cossin

(4.45)

4.6. Direcii principale. Momente de inerie principale

Pentru a determina valorile maxime ale momentelor de inerie se observc expresia (4.40) reprezint funcii de unghiul . Din analiza matematic este

cunoscut faptul co funcie are extremum local, minim sau maxim, n punctele ncare derivata se anuleaz, derivata fiind interpretatgeometric ca panta funcieiiniiale. Ca urmare, metoda de lucru este urmtoarea: se deriveazexpresia ( )YI n funcie de i se determin soluiile derivatei. Aceste soluii 2,1 reprezint

punctele n care ( )YI admite un extremum local, deci se calculeaz ( )2,1YI .Datoritfaptului c ( ) ( ) ( ) ( )2211 ZYZY IIII +=+ reprezintun invariant, rezultc dac ( )1YI reprezint un maxim, atunci ( )2ZI reprezint un minim ireciproc.

Derivm ( )YI i obinem:

( ) ( ) ( ) ( )2

2sin212cos21 zy

yz

Y III

d

Id +=

(4.46)

Rezolvm ecuaia( )

0=

d

Id Y (4.47)

i rezultecuaia

( ) ( )

( ) ( )zyyz

II

Itg

==

2

cos

sin2

(4.48)

Rezultvalorile 2,1 numite direcii principale:


12/33


( )

+=

=

2

2

2

1

12

1

zy

yz

II

Iarctg

(4.49)

nlocuind 1 n (4.40) rezultvaloarea

( ) ( ) ( )2

2cos2sin2

1111

zy

yz

zy

Y

III

IIII

+

+== (4.50)

Pentru a calcula expresia (4.49) trebuie deduse expresiile ( )sin i ( )cos n funcie de ( )tg , unde =2 tangenta fiind calculatn expresia (4.48).

Pe baza noiunilor de trigonometrie prezentate n anexe avem relaiile:

( ) ( )( )

( )( ) 1

1cos

cos

1sec1

2

22

+

===+

tgtg (4.51)

( ) ( )

( )

( ) 1cos1sin 22

+

==

tg

tg

(4.52)Fcnd substituia 2 i nlocuind (4.48) obinem:

( )( ) 22 4

2cos

yzzy

zy

III

II

+

= (4.53)

( )( ) 22 4

22sin

yzzy

yz

III

I

+

= m (4.54)

nlocuind (4.53) i (4.54) n (4.50) rezult:

( )( )

( )( )

244

2

2

2cos

22

2sin

222,1

zy

yzzy

zy

yz

yzzy

yzzy II

III

II

IIII

III

I

+

+

+

=

444 3444 21444 3444 21

(4.55)

Rezultvalorile 2,1I numite momente de inerie principale:

( ) 222,1 42

1

2 yzzy

zyIII

III +

+= (4.56)

Efectum suma 21 II + i obinem

( ) ( ) zyyzzy

zy

yzzy

zyIIIII

IIIII

IIII +=+

++++

+=+

2222

21 42

1

24

2

1

2

(4.57)Suma momentelor de inerie axiale este un invariant la rotaia axelor i areca valoare suma momentelor de inerie principale.

4.7. Cercul lui Mohr al momentelor de inerie

Momentele de inerie 2,1I , zyI , i zyI pot fi interpretate geometric cu ajutorul

unui cerc prezentat n figura 4.10 numit cercul lui Mohr. Centrul acestui cerc are

coordonata 2221 zy

IIII +=

+

. Rezult imediat c zy IIII +=+

21 . Notaiile folositeau urmtoarele semnificaii:


13/33


1. raza cercului este:2

21 IIR

= ;

2. cateta verticaleste: yzIa = ;

3. cateta orizontaleste:222

zyyzzy

z

IIIIIIIb

=

=

+= .

Rezultc: RII = 221

Se observc:

( )( )

zy

yz

zy

yz

II

I

II

I

b

atg

=

==2

2

2 (4.58)

Din teorema lui Pitagora aplicatn triunghiul de laturi a b R, , rezult:( )

( ) 222

222 42

1

4 yzzy

yz

yz IIIII

IbaR +=+

+=+= (4.59)

Pentru determinarea momentelor de inerie trebuie rezolvat sistemul:

=

+=+

RII

IIII zy

221

21 (4.60)

Rezultvalorile momentelor de inerie principale:

Figura 4.10 - Cercul lui Mohr pentru momente de inerie


14/33


+

=

++

=

RII

I

RII

I

zy

zy

2

2

2

1

(4.61)

Aceste expresii puteau fi dedusei din considerente geometrice, observnd

c termenul2

zy II + corespunde centrului cercului lui Mohr, valorile momentelor

principale de inerie fiind poziionate la distane R fade acesta.Din expresiile (4.61) i (4.59) rezult valorile momentelor de inerie

principale:

( )

( )

++

=

+++

=

22

2

22

1

42

1

2

42

1

2

yzzy

zy

yzzy

zy

IIIII

I

IIIII

I (4.62)

4.8. Module de rezisten

Modulele de rezistenpot fi definite n forma sintetic:

),(

),(

),(maxtan polaxreferine

polaxreferine

polaxreferineimtadis

IW = (4.63)

Trebuie observat c )pol,ax(referineI se obine prin nsumarea algebric (cu

semn) a momentelor de inerie corespunztoare ale corpurilor simple care compunseciunea.

Astfel, pe baza acestei observaii se definete modulul de rezistenpolaral unei seciuni ca fiind:

maxr

IW PP = (4.64)

Pentru o seciune de forma celei prezentate n figura 4.4 se obine:

( ) 34116

2

e

e

P

P Dk

D

IW =

=

(4.65)

Pe baza aceleai relaii generale, modulele de rezistenaxiale sunt:

=

=

max

max

y

IW

zIW

z

z

y

y

(4.66)

Modulul de rezistenaxial pentru seciunea inelardevine:

( ) 34132

2

e

e

y

zy Dk

D

IWW =

==

(4.67)


15/33


4.9. Raze de inerie

Razele de inerie se definesc cu ajutorul relaiilor:

=

=

A

Ii

A

I

i

z

z

y

y

(4.68)

Aceste mrimi se mai numesc raze de giraiei sunt utilizate n calculele destabilitate (flambaj).

4.10. Metodologia de rezolvare a problemelor decaracteristici geometrice ale seciunilor

Etapele de rezolvare ale unei probleme de calcul a caracteristicilorgeometrice ale seciunilor constau din:1. alegerea sistemului iniial de axe ( )00 ,ZY ;2. descompunerea seciunii n corpuri simple din punct de vedere geometric, pline

sau goale - se presupune csunt N corpuri simple;3. asocierea unui semn fiecrui corp, +1 pentru corpuri pline i -1 pentru corpuri

goale - jSemn ;

4. calculul ariei fiecrui corp simplu sau extragerea acesteia din tabele n cazulprofilelor laminate - jA ;

5. calculul ariei totale a seciunii prin nsumarea algebric a ariilor corpurilor

simple - ( )=

=

N

j

jj ASemnA

1

;

6. stabilirea poziiei (deci a coordonatelor) centrului de greutate al tuturorcorpurilor simple care compun seciunea n sistemul iniial de axe - jGjG ZY 00 , ;

7. calculul momentelor statice - jGjjzjGjjY ZASYAS 00 00 ; == ;

8. determinarea poziiei centrului de greutate i verificarea din considerente debun sim tehnic a valorilor obinute (poziionare n cadrul seciunii) -

( )( )

( )( )

=

=

=

=

=

=

N

j

jj

N

jGjjj

GN

j

jj

N

jGjjj

G

ASemn

ZASemnZ

ASemn

YASemnY

1

10

0

1

10

0 , ;

9. calculul excentricitilor -

=

=

GGjyj

GGjzj

ZZe

YYe

00

00 ;

10. calculul momentelor de inerie ale corpurilor simple n raport cu propriul centrude greutate sau extragerea acestuia din tabele n cazul profilelor laminate -

GjzGjy II , ;


16/33


11. calculul momentelor de inerie ale corpurilor simple n raport cu centrul degreutate al ntregii seciuni prin folosirea teoremei lui Steiner - jPI ,

+=

+=

jjzGjzjz

jjyGjyjy

AeII

AeII2

2

, jzjyjGjzyjzy AeeII +=

12. calculul momentelor de inerie ale seciunii prin nsumarea algebric(folosindsemnul asociat fiecrui corp) a momentelor de inerie ale corpurilor simple -

( )=

=

N

j

jPjP ISemnI

1

,( )

( )

=

=

=

=

N

j

jzjz

N

j

jyjy

ISemnI

ISemnI

1

1 , =

=

N

j

jzyjzy ISemnI

1

.

13. calculul distanei maxime fa de axe i/sau fa de centrul de greutate alseciunii - ( )maxmaxmax ,, zyr ;

14. calculul modulelor de rezisten: polar i axiale -maxr

IW P

P

= ,

==

maxmax

,y

IW

z

IW zz

y

y ;

15. interpretarea fizica rezultatelor.Pentru un bun control al rezultatelor pariale i finale, valorile rezultate prin

calcul se concentreazntr-un tabel de tipul celor folosite n continuare.O alt problem care trebuie avut n vedere se refer la aspectul

dimensional al valorilor calculate.n final trebuie amintite i alte verificri care pot fi fcute, de exemplu:

1. momentele de inerie axiale trebuie saibvalori strict pozitive;2. valorile momentelor de inerie extrase din tabele ale profilelor laminate trebuie

s respecte coordonarea dintre sistemul de axe din problema de rezolvat isistemul de axe din figura care nsoete tabelul respectiv de profile laminate;

3. momentele de inerie axiale pentru o seciune omogeni eventual simetrictrebuie s aib valorile momentelor de inerie n general proporionale cudimensiunile geometrice de ansamblu ale seciunii.

4.11. Observaii tehnice

Scopul calculului caracteristicilor geometrice ale seciunilor este de apermite calculul tensiunilor, care duce n final la concluzii de tipul rezist/nurezist deci la evaluarea capacitii portante a sistemului respectiv.

Creterea acestei capaciti n condiii impuse de economicitate presupuneluarea unor msuri specifice. Astfel, n condiiile n care aria seciunii se pstreazconstant (a se nelege consumul de material), trebuie ca n cadrul seciuniimasele s fie plasate n aa fel nct sse obinmomente de inerie i modulede rezistende valoare superioar.

Analiznd relaiile de calcul pentru momente de inerie, se observ cexistdousugestii privind modul n care se pot obine valori superioare. Astfel,conform teoremei lui Steiner valoarea excentricitii intervine cu puterea a doua,

fapt care conduce la concluzia cmasele trebuie mpinse departe de axe pentrua crete valoarea momentului de inerie. Mai mult, n relaia de calcul a


17/33


momentului de inerie pentru o seciune dreptunghiular se observ c laturaperpendicular pe axa n raport cu care se face calculul intervine cu puterea atreia. Concluzia anterioareste regsiti n acest caz.

Pentru o seciune de forminelar, repartizarea maselor departe de centrulde greutate al acesteia duce la scderea grosimii peretelui, ceea ce poate crea o

serie de probleme dac mediul n se face exploatarea este coroziv sau dacsarcinile care ncarc structura se aplic prin oc, pe o suprafa foarte mic.Astfel, n tabelul de mai jos sunt prezentate 3 variante de seciune de tip circular.Toate variantele au aceeai arie 21500 mmA = . Grosimea peretelui este notat

cu t i este egal cu( )

2

ie dD

. Trebuie observat acurateea cu care

dimensiunile calculate ale diametrelor interior i exterior aproximeazdimensiunileSTAS. n final mai trebuie observatvariaia momentelor de inerie i a modulelorde rezistenpentru fiecare variantstudiatct i variaia grosimii peretelui.

Tabelul 4.1 Valorile caracteristicilor geometrice pentru un set deseciuni de tip circular

Nr.Crt

Tipseciune

STAStDe/

eD id t A yz II = yz WW =

[mm] [mm] [mm] [mm] [mm2] [mm4] [mm3]1. Inelar 159/10 160 140 10 1500 I1=4 237 500 W1=52 968. 75 2. Circular - 77.46 - - 1500 I2=562 500 =

=0.13274 I1W2=14 523.687 =

= 0.27419 W1

3. Inelar 219/7 220 205.91 7.044 1500 I3=8 512 500== 2.00885 I1

W3=77 386.364 == 1.46098 W1

O alt soluie de cretere a momentului de inerie este prezentat ncontinuare pentru cazul unei seciuni formate din dreptunghiuri care aproximeazun profil laminat tip I . Astfel, n figura 4.11 este prezentat un profil I nemodificat.n dreapta este prezentat traseul de tiere cu dimensiunile acestuia. Duptiereaacestuia se rearanjeaz cele dou jumti create, astfel nct s creascnlimea profilului rezultat. n final, cele dou jumti sunt sudate. n figura 4.12este prezentat acelai profil, duptiere, repoziionare i sudare.

Figura 4.11 Profil tip I nemodificat


18/33


Procedeul prezentat anterior se numete expandare de profile iar profilulrezultat se numete profil expandat.

Pentru a pune n evidenaspectele cantitative ale creterii caracteristicilorale seciunilor este important de calculat momentul de inerie axial i modulul derezistenpentru cele douseciuni.

Axa n raport cu care determinm caracteristicile geometrice ale seciunilor

este axa orizontal y . n figura 4.13 este prezentatdescompunerea n corpurisimple ale celor douprofile: cel iniial i cel expandat.

Figura 4.13 Descompunerea n corpuri simple ale profilului iniiali ale profilului expandat

Se observ faptul cambele seciuni au douaxe de simetrie. Ca atare,este cunoscut poziia centrului de greutate G. De asemenea, se observ cambele seciuni sunt formate din dreptunghiuri. Pentru acestea au fost deduse

Figura 4.12 Profil tip I realizat prin expandarea profilului tip Idin figura 4.11


19/33


relaiile (4.17) pentru calculul momentelor de inerie. ns momentele de ineriedeterminate cu aceste relaii sunt calculate n funcie de propriul sistem de axecentrale specifice corpului simplu respectiv. Ca atare va trebui aplicatteorema luiSteiner (4.22) considernd caxele centrale la nivel de ntreagseciune sunt axetranslatate n raport cu axele centrale specifice fiecrui corp simplu.

Este urmatmetodologia de calcul prezentat n 4.10 cu observaia c,punctele 1-8 nu mai sunt calculate, deoarece este cunoscutpoziia centrului degreutate.

Pentru corpul din figura 4.11 momentele de inerie se calculeazastfel:

( ) 4

000400144

2

33.333133

3

1 333533144400019012

20200mmI

y =+

=44 344 21

43421

( ) 4

0

2

00088038

3

2 000880383600012

36010mmI

y =+

=43421

43421

( ) 4

000400144

2

33.333133

3

3 333533144400019012

20200 mmIy =++

=44 344 21

43421

( ) 4

0

2

33333313

3

1 333333134000012

20020mmI

z =+

=43421

43421

( ) 4

0

2

00030

3

2 000303600012

10360mmIz =+

=

4342143421

( ) 40

2

33333313

3

3 33333313400001220020 mmIz =+

= 4342143421

Rezultatele calculelor pentru corpul iniial sunt prezentate n tabelul 4.2.

Tabelul 4.2 - Rezultalele calculelor pentru profilul iniial (fig. 4.11)

Nr Semn hj bj Aj yGj zGj ez ey Iy IzCorp mm mm mm

2 mm mm mm mm mm

4 mm

4

1. +1 20 200 4000 0 -190 0 -190 144 533 333 13 333 3332. +1 360 10 3600 0 0 0 0 38 880 000 30 0003. +1 20 200 4000 0 190 0 190 144 533 333 13 333 333

- - - 11600 - - - - 327 946 666 26 696 666

Distanele maxime de la centrul de greutate la extremitile seciunii suntmmz 200max = , respectiv mmy 100max = .

Rezultcmodulele de rezistensunt:

3

max

33.7336391200

666946327mm

z

IW

y

y ===

3

max

67.966266100

66669626mm

y

IW z

z ===


20/33


Pentru profilul expandat din figura 4.12 momentele de inerie se calculeazastfel:

( ) 4

000000250

2

33.333133

3

1 333133250400025012

20200mmI

y =+

=44 344 21

43421

( ) 4

00088038

2

0004401

3

2 00032040120018012

12010mmI

y =+

=44 344 21

43421

( ) 4

00088038

2

0004401

3

3 00032040120018012

12010mmI

y =+

=

443442143421

( ) 4

000000250

2

33.333133

3

4 333133250400025012

20200mmI

y =+

=44 344 21

43421

( ) 4

0

2

33333313

3

1 33333313400001220020 mmIz =+= 43421

43421

( ) 4

0

2

00010

3

2 000101200012

10120mmI

z =+

=43421

43421

( ) 4

0

2

00010

3

3 000101200012

10120mmIz =+

=

4342143421

( ) 4

0

2

33333313

3

4 333333134000012

20020mmIz =+

= 4342143421

Tabelul 4.3 - Rezultalele calculelor pentru profilul expandat (fig. 4.12)

Nr Semn hj bj Aj yGj zGj ez ey Iy IzCorp mm mm mm

2 mm mm mm mm mm

4 mm

4

1. +1 20 200 4000 0 -250 0 -250 250 133 333 13 333 3332. +1 120 10 1200 0 -180 0 -180 40 320 000 10 0003. +1 120 10 1200 0 180 0 180 40 320 000 10 0004. +1 20 200 4000 0 250 0 250 250 133 333 13 333 333

- - - 10400 - - - - 580 906 666 26 686 666

Distanele maxime de la centrul de greutate la extremitile seciunii suntmmz 200max = , respectiv mmy 100max = .

Rezultcmodulele de rezistensunt:

3

max

2562342260

666906580mm

z

IW

y

y ===

3

max

866266100

66668626mm

y

IW z

z ===

Creterea procentuala momentului de inerie yI este:


21/33


%13.77100666946327

666946327666906580=

= yI

Creterea procentuala modulului de rezisten yW este:

%26.36100

7336391

73363912562342=

= yW

n contiuare este prezentat un exemplu n care se dorete cretereacaracteristicilor geometrice ale seciunilor.

Se consider o seciune avnd forma unui ptrat de latur aL 20= . Laextremitile acestuia se sudeazdou tablede nlime ah =20 i de grosime

ab = . Trebuie calculat creterea procentual a momentului de inerie i amodulului de rezisten.

Figura 4.14 Schemde calcul pentru studiul modificrii momentului deinerie i a modulului de rezisten

n ambele variante sistemul prezint dubl simetrie, deci nu se pune

problema determinrii poziiei centrului de greutate. n primul caz, pentruseciunea care are forma uni ptrat, momentul de inerie se calculeazcu relaiadirect(4.19):

( ) 444

33.3331312

20

12a

aLII zy =

===

iar modulul de rezisteneste:

34

max

333.333110

33,33313a

a

a

z

IWW

y

zy =

===

n cazul seciunii compuse putem observa faptul cexist trei corpuri: unptrat i dou dreptunghiuri poziionate simetric. Momentul de inerie

corespunztor ptratului este cel calculat anterior, n cazul seciunii simple.Momentul de inerie corespunztor dreptunghiului superior este:


22/33


( ) ( )( ) ( )[ ] 4

8000

2

67.666

3

67.6668202012

20

4

4

aaaaaa

I

aa

y =+

=

444 8444 7648476

Momentul de inerie corespunztor dreptunghiului inferior este:

( ) ( )( ) ( )[ ] 4

8000

2

67.666

3

67.6668202012

20

4

4

aaaaaa

I

a

a

y =+

=

444 8444 7648476

Momentul de inerie total este:4444 666.66630666.6668333.33313666.6668 aaaaIy =++=

Rezultatele calculelor n cazul seciunii compuse sunt prezentate n tabelulde mai jos

Tabelul 4.4 - Rezultalele calculelor pentru profilul compus dinfigura 4.14

Nr Semn hj bj Aj yGj zGj ez ey Iy IzCorp

1. +1 20 a a 20 a2 0 -20 a 0 -20 a 8 666.67 a4 1.666 a42. +1 20 a 20 a 400 a2 0 0 0 0 13 333.33 a4 13 333.33 a43. +1 20 a a 20 a2 0 20 a 0 20 a 8 666.67 a4 1.666 a4 - - - 440 a2 - - - - 30 666.666 a4 13 336.66 a4

Modulul de rezisten yW are valoarea:

34

max

222.102230

666.66630a

a

a

z

IW

y

y =

==

Creterea procentuala momentului de inerie este:%130100

333.33313

333.33313666.666304

44

=

=

a

aaIy

Creterea procentuala modulului de rezisten yW este:

%333.23100333.3331

333.3331222.10223

33

=

=

a

aaWy

Aparentul paradox mrirea seciunii duce la micorarea modulului de

rezisten yW este explicat prin urmtoarele:initialasectiune

max

compusasectiune

max 3 zz = iar

initialasectiunecompusasectiune 3.2 yy II = . Rezultc:

initialsectiune

initialsectiune

max

initialsectiune

compussectiune

max

compussectiune

compussectiune 766.03

3.2y

yy

y W

z

I

z

IW =

==

Un alt aspect de care trebuie inut cont este direcia de aciune a forelor. ncazul n care aceast direcie este cunoscut se pot folosi seciuni care audimensiunea superioar ca valoare pe direcia paralel cu direcia de aciune aforelor. Un exemplu de acest tip refer la barele orizontale din structurile derezistenale cldirilor (denumite rigle) n care sarcinile care le ncarcsunt defapt fore de greutate.

Dacnu este cunoscutdirecia de aciune a forelor se preferseciunilecirculare sau inelare. n aceast categorie intr catargele, courile de fum ale

centralelor i alte structuri care sunt supuse la ncrcri datorate vntului.


23/33


Trebuie observat faptul cnatura a ales forma inelarpentru proiectareastructurilor de rezisten ale unor plante: bambus, paie, etc. Mai mult, seciuneafiind inelar i nu circular se observ i aspectul legat de maximizareacaracteristicilor geometrice prin plasarea maselor la distane mari fade centrulde greutate al seciunii.

4.12. Cazul seciunilor neomogene - relaii de calcul

n continuare vor fi date pe scurt o serie de relaii de calcul pentrucaracteristicile geometrice ale seciunilor specifice seciunilor neomogene. Acesttip se seciune este caracterizat de prezena unui numr de cel puin doumateriale, fiecare dintre acestea avnd propria densitate - , propriul modul deelasticitate - Ei modul de contracie transversal- .

Coordonatele centrului de greutate n sistemul iniial de axe:

=

=

=

=

=

=

N

j

jjj

N

j

Gjjjj

GN

j

jjj

N

j

Gjjjj

G

ASemn

ZASemn

Z

ASemn

YASemn

Y

1

1

0

0

1

1

0

0 ,

(4.69)

Coordonatele centrului de ncovoiere (centru de lunecare):

=

=

=

=

=

=

N

j

jjj

N

j

Gjjjj

LN

j

jjj

N

j

Gjjjj

L

AESemn

ZAESemn

Z

AESemn

YAESemn

Y

1

1

0

0

1

1

0

0 , (4.70)

Calculul excentricitilor se face n raport cu centrul de lunecare:

=

=

LGjyj

LGjzj

ZZe

YYe

00

00 (4.71)

Momentele de inerie axiale, centrifugal i polar se calculeaz cu relaiileprezentate anterior, folosind excentricitile specifice cazului seciunii neomogene.

Modulul de rigiditate la ntindere este:

=

=

N

j

jjj AESemnS1

(4.72)

Modulele de rigiditate axiale (la ncovoiere) au expresiile:

=

=

=

=

N

j

jzjjz

N

j

jyjjy

IESemnR

IESemnR

1

1 (4.73)

Modulul de rigiditate centrifugal este:

=

=

N

j

jzyjjzy IESemnR1

(4.74)


24/33


4.13. Relaii de calcul ale momentelor de ineriepentru diferite forme simple de seciuni

n continuare sunt date cteva informaii (poziia centrului de greutate,momente de inerie, etc.) pentru o serie de seciuni de forme geometrice simple.

( )

( )00

0

3

223

4

=

sin

sinRzG

( )[ ]002

222

= sinR

A

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )[ ]

+

=

2

000

0

6

000

00

32

916

21

4

cossin

sin

cossin

cossinRAIy

( ) ( )

( ) ( )

=

000

00

32

3

21

4

cossin

cossinRAI

z

hbA =2

1

36

3hbIy

=

4.14. Probleme rezolvate i propuse spre rezolvare

Prima aplicaie rezolvat se refer la un model de calcul al unei seciunitransversale printr-un corp de nav. Acest model de calcul va fi folosit ulterior nstudiul tensiunilor. n final sunt propuse spre rezolvare o serie de astfel deprobleme.

Urmtoarele probleme rezolvate trateaz cazul profilelor laminate. Primaproblemprezintmodalitatea de calcul a momentului de inerie centrifugal cndacesta nu este specificat n tabele. Urmtoarele probleme rezolvate prezintaspectele specifice calcului acestui tip de profile, detaliindu-se considerentele

geometrice folosite pentru determinarea poziiilor centrelor de greutate alecorpurilor aa-zis simple.


25/33


Problemrezolvat- 1

Pentru seciunea din figur care modeleaz o seciune de nav s secalculeze caracteristicile geometrice ale seciunii. Grosimea tablelor este

mmt 15= .

Figura 4.15 - Schemde calcul a unei seciuni transversaleprintr-un corp de nav

Rezolvare

1. Se descompune seciunea n corpuri simple din punct de vedere geometric,corpuri pline sau goale. Corpurile pline au asociat semnul +1 iar corpurile goaleau asociat semnul 1. Corpurile simple sunt corpuri pentru care existrelaii decalcul directe pentru determinarea caracteristicilor geometrice, fr a mai finecesare descompuneri ulterioare. Corpurile simple cele mai des folosite sunt:cercul, dreptunghiul, triunghiul. n acest caz sunt folosite dreptunghiuri pline.

Astfel, seciunea dateste descompusn 11 dreptunghiuri pline. Se noteaznumrul de corpuri simple cu 11=NC . Aceste corpuri, fiind pline, au asociatsemnul: NCjsemnj ..1,1 =+= .

2. Se alege un sistem iniial de axe ( )00 ,ZY , n raport cu care se calculeazpoziiacentrului de greutate. Alegerea acestui sistem iniial de axe trebuie sincontde eventualele simetrii ale seciunii, fapt care duce la micorarea numrului decalcule. n acest caz axa 0Z este axde simetrie iar axa 0Y este poziionatlaextremitatea de sus a seciunii. n figura 4.16 este prezentat seciunea denavfiind pusn evideni grosimea tablelor pentru fiecare corp simplu.

3. Se determin dimensiunile laturilor dreptunghiurilor (corpurilor simple) i secompleteaztabelul n care se concentreazrezultatele studiului.


26/33


Figura 4.16 - Model de calcul format din dreptunghiuri

4. Se determincoordonatele centrelor de greutate jGjG ZY , ale corpurilor simple

n sistemul iniial de axe 0Y , 0Z i se completeaz tabelul. n figura 4.17 este

prezentat schema de calcul pentru determinarea coordonatelor jGZ iar n

figura 4.18 este schema pentru determinarea coordonatelor jGY .

5. Se calculeazaria corpurilor simple. n acest caz, pentru corpul j avem relaiade calcul: jjj bhA = .

Date de intrare Mrimi calculateNr Semnj hj bj ZG j YG j Aj ...Crt mm mm mm mm mm2 ...

1. +1 6000 15 3000 -5000 9 104 ...

2. +1 6000 15 3000 0 9 104 ...

3. +1 6000 15 3000 5000 9 104 ...

4. +1 15 5000 0 -2500 7.5 104 ...

5. +1 15 5000 0 2500 7.5 104 ...

6. +1 15 5000 1000 -2500 7.5 104 ...

7. +1 15 5000 1000 2500 7.5 104 ...

8. +1 15 5000 4000 -2500 7.5 104 ...

9. +1 15 5000 4000 2500 7.5 104 ...

10. +1 15 5000 6000 -2500 7.5 104 ...

11. +1 15 5000 6000 2500 7.5 104 ...

- - - - - 87 104 ...


27/33


6. Se calculeaz momentele statice cu relaiile jGjjY ZAS = ; jGjjZ YAS = i se

completeaztabelul.

Figura 4.17 - Schemde calcul pentru determinarea coordonatelor jGZ

Figura 4.18 - Schemde calcul pentru determinarea coordonatelor jGY

7. Se calculeaz aria total folosind relaia de calcul:

( ) 241

1087 mmAsemnA

NC

j

jj == =


28/33


8. Se calculeaz sumele ( )=

==

NC

j

jYjY mmSSemnS1

36102460 ,

( )=

==

NC

j

jZjZ mmSsemnS

1

30 i se completeaztabelul.

9. Se calculeazpoziia centrului de greutate:( )

( )mm

ASemn

YASemn

A

SY

NC

j

jj

NC

j

jGjj

ZG 0

1087

04

1

1=

=

==

=

= ;

( )

( )mm

ASemn

ZASemn

A

SZ

NC

j

jj

NC

j

jGjj

YG 59.2827

1087

1024604

6

1

1=

=

==

=

= .

Se traseazsistemul de axe centrale (axele care trec prin centrul de greutate alseciunii) i se verific poziia acestuia pe baza considerentelor de bun simtehnic.

Figura 4.19 - Schemde calcul pentru determinarea excentricitilor jZe

Figura 4.20 - Schemde calcul pentru determinarea excentricitilor jYe


29/33


10. Se calculeaz excentricitile, adic distanele de la centrele de greutate alecorpurilor simple la sistemul de axe centrale. Relaiile de calcul folosite sunt:

GjGjZ YYe = ; GjGjY ZZe = . n figurile 4.19 i 4.20 sunt prezentate aceste

distane. Valorile excentricitilor sunt prezentate n tabelul final cu rezultate.

11. Se calculeazmomentele de inerie axiale pentru fiecare corp geometric simplufolosind teorema lui Steiner. Astfel, relaia generalde calcul pentru corpuri de

formdreptunghiulareste: AeI axaaxa +

= 2

3

12. Simbolul reprezint latura

paralelcu axa curent, iar reprezintlatura perpendicularpe aceastax.Succesiunea de calcule este:

( ) 4823

1 107527.27269000041.17212

600015mmIY =+

= ; 132 YYY III == ;

( ) 4823

4

10463.59967500059.282712

155000mmI

Y

=+

= ;45 YY

II = ;

( ) 4823

6 10078.25057500059.182712

155000mmIY =+

= ; 67 YY II = ;

( ) 4823

8 10923.10307500041.117212

155000mmI

Y =+

= ; 89 YY II = ;

( ) 4823

10 10153.75487500041.317212

155000mmI

Y =+

= ; 1011 YY II = ;

( ) 4823

1 100169.2250090000500012

156000mmI

Z =+

= ; 13 ZZ II = ;

( ) 4823

2 100169.090000012

156000 mmIZ =+

= ;

( ) 4823

4 10625075000250012

500015mmI

Z =+

=

4111098765 ZZZZZZZZ IIIIIIII ======= .

Nu este necesar un numr mare de cifre zecimale, deoarece valorile obinutesunt mari, deci partea zecimala acestora este mai puin semnificativ.

12. Se calculeazmomentele de inerie axiale ale ntregii seciuni prin nsumareamomentelor de inerie axiale ale corpurilor simple:

48

1

104921.42341 mmISemnINC

j

jYjY == =

;

48

1

100507.95000 mmISemnINC

j

jZjZ ==

=

.

13. Se calculeazmomentele de inerie centrifugale pentru fiecare corp geometricsimplu folosind teorema lui Steiner. Datorit faptului c toate corpurile simplesunt de formdreptunghiular(deci au cel puin o axde simetrie paralelcuuna dintre axele centrale), momentul de inerie centrifugal n raport cu un

sistem de axe care trece prin propriul lor centru de greutate este zero. Astfel,rmne numai termenul corespunztor teoremei lui Steiner. Astfel, avem:


30/33


jjZjYjYZ AeeI +=0 . Succesiunea de calcule este:

( ) ( ) 481 10845.7759000041.17250000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 42 09000041.17200 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 483 10845.7759000041.17250000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 484 107313.53017500059.282725000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 485 107313.53017500059.282725000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 486 107313.34267500059.182725000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 487 107313.34267500059.182725000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 488 102688.21987500041.117225000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 489 102688.21987500041.117225000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 4810 102688.59487500041.317225000 mmIYZ =+= ;

( ) ( ) 4811 102688.59487500041.317225000 mmIYZ =+= .

14. Se calculeazmomentul de inerie centrifugal al ntregii seciuni prin nsumarea

momentelor de inerie centrifugale ale corpurilor simple: 41

0mmIINC

j

jYZYZ == =

.

Rezultatul este nul, deoarece seciunea are o axde simetrie.

Rezultatele calculelor din etapele 114 sunt concentrate n tabelul de mai jos.

15. Se calculeazdireciile principale i momentele de inerie principale:

( )zy

yz

II

Itg

=

22 =0YZI ( ) 02 =tg

=

=

2

0

2

1

( ) 222,1 42

1

2 yzzy

zyIII

III +

+=

=0YZI

222,1

zyzy IIII

I

+

=

=

+

=

=

++

=

Z

zyzy

Y

zyzy

IIIII

I

IIIII

I

22

22

2

1

==

==

48

2

48

1

100507.00095

104921.34142

mmII

mmII

Z

Y

16. Se calculeazmodulele de rezisten:maxZ

IW YY = ,

maxY

IW ZZ = . Calculm iniial

distanele: ( )( )GTotalG ZHZZ = ,maxmax , ( )( )GTotalG YBYY = ,maxmax .

( )( ) ( )( ) mmZHZZ GTotalG 41.317259.28276000,59.2827max,maxmax === ,

mmBY

Simetrie

Total 50005.0max == 44 344 21.

368

max

106791.334141.1723

104921.34142mm

Z

IW Y

Y =

== ,

36

8

max

10001.90010005

100507.00095 mmYIW Z

Z === .


31/33



32/33


Tema 4.1 - Probleme propuse Modele ale seciunilor de nave

Pentru seciunile formate din dreptunghiuri reprezentate mai jos, seciuni caremodeleaz o seciune transversal printr-o nav s se calculeze caracteristicilegeometrice: IY, IZ, WY, WZ. Se considercgrosimea tablelor este de t = 15..35 mm.

A B

C D

E F

G H


33/33


I J

K L

M N

O P

04 caracteristici geometrice ale sectiunilor pdf

Documents