bac m tehnologic 2014

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,

toate calificările profesionale

Examenul de bacalaureat naţional 2014

Proba E. c)

Matematică M_tehnologic

Model

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;

profilul tehnic, toate calificările profesionale

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul ( )3 4 3 27+ − este natural.

5p 2. Calculaţi (1) (2) ... (10)f f f+ + + pentru funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )27 7log 8 log 6x x+ = .

5p 4. După o scumpire cu 30%, preţul unui obiect este 325 de lei. Determinaţi preţul obiectului înainte de scumpire.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3P şi ( )3,3R . Determinaţi coordonatele

punctului Q , ştiind că R este mijlocul segmentului PQ .

5p 6. Arătaţi că 1

sin10 sin 30 sin1702

° + ° − ° = .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

3 1

2 2A

− = −

şi 0 1

1 0B

=

.

5p a) Calculaţi det A .

5p b) Arătaţi că 1 1

1 1B A A B

⋅ − ⋅ = − −

.

5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care ( )det 0A xB+ = .

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 3( ) 12x y xy x y= − + +� .

5p a) Arătaţi că 3 3 3x x= =� � , pentru orice număr real x . 5p b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x=� .

5p c) Calculaţi 1 2 ... 2014� � � .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) xf x e x= − .

5p a) Calculaţi ( )'f x , x∈ℝ .

5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 0x = , situat pe graficul

funcţiei f .

5p c) Demonstraţi că 1xe x≥ + , pentru orice x∈ℝ .

2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , 1

( ) 3f xx

= − .

5p a) Calculaţi ( )( )2

1

3 f x dx−∫ .

5p b) Determinaţi primitiva ( ): 0,F +∞ →ℝ a funcţiei f pentru care (1) 3F = .

5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei

:[1,2]g → ℝ , ( ) ( )g x xf x= .

Ministerul Educaţiei Naţionale

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model

Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,


1

Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c)


Barem de evaluare şi de notare

Model

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;

profilul tehnic, toate calificările profesionale

• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele

punctajului indicat în barem.

• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat

pentru lucrare.


1. ( )3 4 3 12 3 3+ = +

12 3 3 3 3 12+ − = ∈ℕ

2p

3p

2. ( )(1) (2) ... (10) 2 1 2 ... 10 30f f f+ + + = + + + + =

140=

2p

3p

3. 2 28 6 6 8 0x x x x+ = ⇒ − + =

Rezultă 1 2x = şi 2 4x = , care verifică ecuaţia

2p

3p

4. Se notează cu x preţul înainte de scumpire 30% 325x x⇒ + ⋅ =

250x = 2p

3p

5. R mijlocul lui ( )PQ ⇒

2

P QR

x xx

+= şi

2

P QR

y yy

+=

5Qx =

3Qy =

1p

2p

2p

6. sin170 sin10° = °

1sin10 sin 30 sin170 sin 30

2° + ° − ° = ° =

2p

3p


1.a) 3 1det 6 2

2 2A

−= = − =

−

4=

3p

2p

b) 2 2

3 1B A

− ⋅ = −

1 3

2 2A B

− ⋅ = −

1 1

1 1B A A B

⇒ ⋅ − ⋅ = − −

2p

3p

c) ( ) 2

3 1det 3 4

2 2

xA xB x x

x

− ++ = = − − +

+ −

2

13 4 0 4x x x+ − = ⇔ = − şi 2 1x =

3p

2p

2.a) 3 3 3( 3) 12 3x x x= − + + =� , pentru orice număr real x

3 3 3(3 ) 12 3 3 3 3x x x x x= − + + = ⇒ = =� � � , pentru orice număr real x 2p 3p

b) 2 6 12x x x x= − +� 2 2

6 12 7 12 0x x x x x− + = ⇒ − + =

1 3x = şi 2 4x =

1p

2p

2p

Ministerul Educaţiei Naţionale

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model

Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,


2

c) ( ) ( )1 2 ... 2014 1 2 3 4 5 ... 2014= =� � � � � � � � �

( )3 4 5 ... 2014 3= =� � � �

2p

3p


1.a) ( )''( ) 'xf x e x= − =

1xe= − , pentru orice x∈ℝ

3p

2p

b) ( ) ( )( )0 0 0y f f x′− = −

( )0 1f = , ( )0 0f ′ = ⇒ ecuaţia tangentei este 1y =

2p

3p

c) '(0) 0f = ; ( )' 0f x < , pentru ( ),0x∈ −∞ şi ( )' 0f x > , pentru ( )0,x∈ +∞

( ) ( )0 1xf x f e x≥ ⇒ ≥ + , pentru orice x∈ℝ

3p

2p

2.a)

( )( )2 2

1 1

13 f x dx dx

x− = =∫ ∫

2ln ln 2

1x= =

2p

3p

b) ( ) 1

3f xx

= − ⇒ o primitivă F a funcţiei f este de forma ( ) 3 lnF x x x c= − + , unde c∈ℝ

(1) 3 0 ( ) 3 lnF c F x x x= ⇔ = ⇒ = −

3p

2p

c)

( ) ( ) ( )2 2 2

22 2

1 1 1

3 1 9 6 1V g x dx x dx x x dxπ π π= = − = − + =∫ ∫ ∫

( )3 2 23 3 13

1x x xπ π= − + =

2p

3p


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 1



Simulare pentru elevii clasei a XI-a

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Determinați numărul real m din egalitatea 32 16 2m + = − .

5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 2f x x x= − + . Determinaţi numerele reale x pentru care

( ) 2f x = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 28 2x x−= . 5p 4. O firmă foloseşte pentru publicitate 3000 de lei, ceea ce reprezintă 5% din profitul anual.

Determinaţi profitul anual al firmei. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuaţie 2 1 0x y− + = . Determinaţi numărul

real a , ştiind că punctul ( ),2A a aparține dreptei d .

5p 6. În triunghiul ABC dreptunghic în A , 3AB = şi 4AC = . Determinaţi sinB . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră determinanţii

1 1 1

2 4 1

3 8 1

d = și ( ) 4 1

1 4

a aD a

a a

− −=

+ −, unde a este număr real.

5p a) Arătați că 1d = . 5p b) Determinaţi numărul real a pentru care ( ) 1D a = .

5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )2,4B şi ( )3,C m . Determinaţi numerele

reale m știind că 1

2ABC∆ =A .

2. Se consideră matricea ( ) 1

2 1x

A x =

, unde x este număr real.

5p a) Calculați ( ) ( )2 2A A+ − .

5p b) Determinați numerele reale p și q pentru care ( ) 42

5p

Aq ⋅ =

.

5p c) Arătaţi că matricea ( )A x este inversabilă pentru orice număr întreg x .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1

xf x

x=

+.

5p a) Calculaţi ( )1

limx

f x→

.

5p b) Calculaţi ( )limx

xf x→+∞

5p c) Determinaţi ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 22, 2

4 4, 2

x xf x

x x x

− <= − + ≥

.

5p a) Calculaţi ( ) ( )1 3f f⋅ .

5p b) Arătaţi că funcția f este continuă în punctul 2x = .

5p c) Demonstraţi că ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , pentru orice 2a < și 2b > .


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 2


Matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a



• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 8 4 2m + = − 2p 6m = − 3p

2. 2 23 2 2 3 0x x x x− + = ⇒ − = 3p

1 0x = , 2 3x = 2p 3. 3 22 2x x−= 2p

1x = − 3p 4. 5

3000100

x⋅ = , unde x este profitul anual al firmei 2p

60000x = de lei 3p 5. ( ),2 2 2 1 0A a d a∈ ⇒ − ⋅ + = 2p

3a = 3p 6. 5BC = 3p

4sin

5

ACB

BC= = 2p

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a) 4 16 3 12 8 2d = + + − − − = 3p

23 22 1= − = 2p b)

( ) ( ) ( )( )2 2 24 14 1 1 16 8 1 17 8

1 4

a aD a a a a a a a a

a a

− −= = − − − + = − + − + = −

+ − 3p

1 17 8 2a a= − ⇔ = 2p c) 1 1 1

2 4 1 7

3 1

m

m

= − 2p

7 1 6m m− = ⇒ = sau 8m = 3p 2.a)

( ) 1 22

2 1A

=

și ( ) 1 22

2 1A

− − =

2p

( ) ( ) 2 02 2

4 2A A

+ − =

3p

b) 1 2 4 2 4

2 1 5 2 5

p p q

q p q

+ ⋅ = ⇒ = + 3p

2p = și 1q = 2p c) ( )( )det 1 2A x x= − 2p

1 2x x∈ ⇒ −ℤ este număr impar ( )( )1 2 0 det 0x A x⇒ − ≠ ⇒ ≠ ⇒matricea ( )A x este

inversabilă pentru orice număr întreg x 3p


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XI-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 2 din 2

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a) ( ) 2 21 1

1lim lim

1 1 1x x

xf x

x→ →= = =

+ + 3p

1

2= 2p

b) ( )

2 2

22

2

lim lim lim11 1

x x x

x xxf x

x xx

→+∞ →+∞ →+∞= = =

+ +

3p

2

1lim 1

11x

x

→+∞= =

+

2p

c) ( ) 2lim lim 0

1x x

xf x

x→+∞ →+∞= =

+ 3p

Ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcției f este 0y = 2p 2.a) ( )1 1f = − 2p

( ) ( ) ( ) 3 1 1 3 1f f f= ⇒ ⋅ = − 3p b) ( ) ( )

2 22 2

lim lim 2 0x xx x

f x x→ →< <

= − = 2p

( ) ( )2

2 22 2

lim lim 4 4 0x xx x

f x x x→ →> >

= − + = 2p

( )2 0f f= ⇒ este continuă în punctul 2x = 1p c) ( ) 0 2f x x= ⇒ = 1p

f continuă pe f⇒ℝ are semn constant pe ( ),2−∞ și pe ( )2,+∞ 2p

( ) ( ) ( ) ( )1 3 0 0f f f a f b⋅ < ⇒ ⋅ < pentru orice 2a < și 2b > 2p


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 1


Matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a




5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice ( ) 1n na ≥ , știind că 2 4a = .

5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2014 2013f x x= − . Calculați ( )2014(1)f .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 63 3x x− += . 5p 4. Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să

fie divizor al lui 10. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A şi ( )1,1B − . Determinați ecuația dreptei

AB .

5p 6. Arătați că 53cos30 2 sin 452

° + ° = .


1. Se consideră matricea 1 1 11 2 31 4 9

A =

.

5p a) Calculați detA .

5p b) Determinaţi numărul real m pentru care matricele 3A mI+ și 0 1 11 1 31 4 8

sunt egale, unde

3

1 0 00 1 00 0 1

I =

.

5p c) Rezolvați ecuația matriceală 013

AX =

, unde ( )3,1

xX y

z

= ∈

ℝM .

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie comutativă 5x y x y∗ = + − .

5p a) Arătaţi că ( ) ( )2 2 2014 2014∗ − = ∗ − .

5p b) Verificați dacă legea „ ”∗ este asociativă.

5p c) Calculaţi ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 0 1 2 3 4− ∗ − ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 3( ) 3 7f x x x= − + .

5p a) Arătaţi că ( ) ( )

0

0lim 3x

f x f

x→

−= − .

5p b) Calculaţi ( )

( )( )lim2 1 3 2x

f x

x x x→+∞ + +.

5p c) Demonstraţi că ( ) 5f x ≥ pentru orice [ )1,x∈ − +∞ .

2. Se consideră funcţiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2xf x e x= + și :F →ℝ ℝ , ( ) 2 2014xF x e x= + + .

5p a) Calculaţi ( )( )2

1

xf x e dx−∫ .

5p b) Arătați că funcția F este o primitivă a funcţiei f .

5p c) Calculați ( ) ( )1

0

f x F x dx∫ .


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 2


Matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a


Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. ( ) ( )1 2 3 2 2 2a a a a r a a r+ + = − + + + = 3p

23 12a= = 2p 2. (1) 1f = 2p

( )2014(1) 1f = 3p

3. 2 3 6x x− = + 2p 1x = − 3p

4. Numerele naturale de o cifră, divizori ai lui 10, sunt 1, 2 și 5, deci sunt 3 cazuri favorabile 2p Sunt 10 numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 1p

nr. cazuri favorabile 3

nr. cazuri posibile 10p = = 2p

5. 3 1:

1 3 1 1

y xAB

− −=− − −

3p

: 2AB y x= + 2p 6. 3

cos302

° = , 2

sin 452

° = 2p

3 2 53 cos30 2 sin 45

2 2 2° + ° = + = 3p


1.a) 1 1 1

det 1 2 3 18 4 3 2 12 9

1 4 9

A = = + + − − − = 3p

2= 2p b)

3

1 1 1

1 2 3

1 4 9

m

A mI m

m

+ + = + +

3p

1 1 1 0 1 1

1 2 3 1 1 3 1

1 4 9 1 4 8

m

m m

m

+ + = ⇒ = − +

2p

c) 0

2 3 1

4 9 3

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

2p

1, 1, 0x y z= − = = 3p


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru elevii clasei a XII-a Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 2 din 2

2.a) ( )2 2 5∗ − = − 2p

( ) ( ) ( )2014 2014 5 2 2 2014 2014∗ − = − ⇒ ∗ − = ∗ − 3p b) ( ) ( )5 10x y z x y z x y z∗ ∗ = + − ∗ = + + − 2p

( ) ( ) ( )5 10x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ + − = + + − = ∗ ∗ , pentru orice numere reale x , y și z 3p c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 0− ∗ − ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ = 2p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 15 15 0 40= − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ = − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ = − ∗ − ∗ = − 3p


1.a) ( ) ( ) ( )0

0lim 0x

f x ff

x→

−′= 2p

( ) ( )23 3 0 3f x x f′ ′= − ⇒ = − 3p

b)

( )( )( )

32 3

3

3 71

lim lim1 22 1 3 2

2 3x x

xf x x x

x x xx

x x→+∞ →+∞

− + = =

+ + + +

2p

1

6= 3p

c) ( ) 0 1f x x′ = ⇒ = − sau 1x = 2p

f descrescătoare pe [ ]1,1− , f crescătoare pe [ )1,+∞ și ( ) ( ) [ )1 5 5, 1,f f x x= ⇒ ≥ ∀ ∈ − +∞ 3p 2.a)

( )( )2 2

1 1

2xf x e dx x dx− = =∫ ∫ 2p

22

13x= = 3p

b) ( ) ( )2 2014 2x xF x e x e x

′′ = + + = + = 3p

( )f x= pentru orice x∈ℝ , deci F este o primitivă a funcţiei f 2p c)

( ) ( ) ( )1 2 1

00

2

F xf x F x dx = =∫ 3p

( )2 2 22015 2015 4030

2 2

e e e+ − += = 2p


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 1



Varianta 9




5p 1. Arătați că 2 1

3 13 3

⋅ − =

.

5p 2. Determinați numărul real m știind că ( ) 1f m = , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= − .

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22 1 1x + = . 5p 4. În anul 2013, profitul anual al unei firme a fost de 100000 de lei, ceea ce reprezintă 4% din

valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați valoarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2013. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele (5,6)A , (2,6)B şi (5,2)C . Arătați că triunghiul

ABC este dreptunghic.

5p 6. Arătați că 2 2tg 60 tg 45 4° + ° = .


1. Se consideră matricele

3 1

5 2A

= − −

,

2 1

5 3B

= − −

şi 21 0

0 1I

=

.

5p a) Arătaţi că det 1A = − . 5p b) Arătaţi că 22A B B A I⋅ − ⋅ = .

5p c) Determinaţi numărul real x știind că 2A A xA I⋅ − = . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )2 1x y x y xy∗ = + − − .

5p a) Arătaţi că 1 2 2∗ = . 5p b) Arătaţi că 2 2 2x x∗ = ∗ = pentru orice număr real x . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x∗ = .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 xf x x e= − .

5p a) Arătaţi că ( )0

lim 1x

f x→

= − .

5p b) Arătaţi că ( ) ( )' xf x e f x= + pentru orice număr real x .

5p c) Arătaţi că ( )

0

1lim 0x

f x

x→

+= .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 23 2f x x x= + .

5p a) Arătaţi că 2

2

1

3 7x dx =∫ .

5p b) Determinați primitiva :F →ℝ ℝ a funcției f pentru care ( )1 2014F = .

5p c) Determinaţi numărul natural n , 2n ≥ ştiind că ( )

1

13

2

n f xdx

x=∫ .


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 2


Matematică M_tehnologic Barem de evaluare şi de notare

Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.


1. 2 1 1

3 3 3− = 2p

13 1

3⋅ = 3p

2. 4 1m − = 3p 5m = 2p

3. 22 1 1x + = 3p 0x = , care verifică ecuația 2p

4. 100000 4%x= ⋅ , unde x reprezintă venitul anual al firmei 3p 2500000x = de lei 2p

5. 3AB = , 4AC = și 5BC = 3p 2 2 2AB AC BC+ = , deci ABC∆ este dreptunghic 2p

6. tg60 3° = și tg45 1° = 2p 2 2tg 60 tg 45 3 1 4° + ° = + = 3p


1.a) 3 1det

5 2A = =

− − 2p

( ) ( )3 2 1 5 1= ⋅ − − ⋅ − = − 3p

b) 1 0

0 1A B

⋅ =

2p

2

1 0 2 0 1 0 1 02

0 1 0 2 0 1 0 1B A A B B A I

⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = − = =

3p

c) 4 1 4 3 1

5 1 5 5 1 2

x xA A A A xA

x x

− − ⋅ = ⇒ ⋅ − = − − − + − +

3p

4 3 1 1 01

5 5 1 2 0 1

x xx

x x

− − = ⇒ = − + − +

2p

2.a) ( )1 2 2 1 2 1 1 2∗ = + − − ⋅ = 3p

4 2 2= − = 2p b) ( )2 2 2 1 2 2x x x∗ = + − − ⋅ = 2p

( )2 2 2 1 2 2 2x x x x∗ = + − − = = ∗ pentru orice număr real x 3p c) 2 24 2 3 2 0x x x x x− + − = ⇔ − + = 3p

1 1x = şi 2 2x = 2p



Pagina 2 din 2


1.a) ( ) ( )0 0

lim lim 1 x

x xf x x e

→ →= − = 2p

01 1e= − ⋅ = − 3p

b) ( ) ( )' 1 1x xf x e x e= ⋅ + − = 3p

( )xe f x= + pentru orice număr real x 2p

c) ( ) ( ) ( )0 0

1 0lim lim

0x x

f x f x f

x x→ →

+ −= =

− 2p

( )' 0 0f= = 3p

2.a) 22 3

1

23

1x dx x= =∫ 3p

8 1 7= − = 2p b) O primitivă F a funcţiei f este de forma 3 2( )F x x x c= + + , unde c ∈ℝ 3p

( ) 3 21 2 2012 ( ) 2012F c c F x x x= + ⇒ = ⇒ = + + 2p

c) ( ) ( )2

1 1

3 4 73 2

2

n nf x n ndx x dx

x

+ −= + =∫ ∫ 3p

22

13 4 7 13 10

3 4 20 02 2 3

n nn n n

+ − = ⇔ + − = ⇒ = − nu este număr natural şi 2 2n = 2p



Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) – 2 iulie 2014 Matematică M_tehnologic

Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale



5p 1. Arătați că ( )5 2 3 5 3 10+ − = .

5p 2. Determinați numărul real a ştiind că ( )1f a= , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= + .

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2 2log 2 1 log 5x + = .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A şi ( )3,5B . Calculaţi distanţa de la punctul

A la punctul B .

5p 6. Arătați că 2 2 3sin 30 cos 454

° + ° = .


1. Se consideră matricele 4 81 2

A =

, 1 21 2

B = − − și

32 4

xC =

, unde x este număr real.

5p a) Arătați că det 0A = . 5p b) Determinaţi numărul real x știind că B C A+ = .

5p c) Arătaţi că 2B B B O⋅ + = , unde 20 00 0

O =

.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 4 4 12x y xy x y= + + +� .

5p a) Arătați că ( )0 4 4− = −� .

5p b) Arătaţi că ( )( )4 4 4x y x y= + + −� pentru orice numere reale x şi y .

5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12x x =� .


1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) 1lnf x xx

= − .

5p a) Arătaţi că ( ) 2

1'

xf x

x

+= , ( )0,x ∈ +∞ .

5p b) Arătați că ( ) ( )

2

2 3lim

2 4x

f x f

x→

−=

−.

5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = , situat pe graficul

funcţiei f .

2. Se consideră funcţiile :f →ℝ ℝ , ( ) xf x e x= − şi :F →ℝ ℝ , ( )2

12

x xF x e= − − .

5p a) Arătaţi că 1

0

1xe dx e= −∫ .

5p b) Arătați că funcția F este o primitivă a funcţiei f .

5p c) Calculați ( )1

0

F x dx∫ .



Pagina 1 din 2


Barem de evaluare şi de notare Varianta 1



1. ( )5 2 3 10 5 3+ = + 3p

( )5 2 3 5 3 10 5 3 5 3 10+ − = + − = 2p

2. ( )1 1 3f a a= ⇒ + = 3p 4a = 2p

3. 2 1 5x + = 3p 2x = care verifică ecuația 2p

4. Sunt 9 numere de două cifre care sunt divizibile cu 10, deci sunt 9 cazuri favorabile 2p Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p

nr. cazuri favorabile 9 1

nr. cazuri posibile 90 10p = = = 2p

5. ( ) ( )2 22 3 5 5AB = − + − 3p

1AB = 2p 6. 1

sin302

° = , 2

cos452

° = 2p

2 2 1 2 3sin 30 cos 45

4 4 4° + ° = + = 3p


1.a) 4 8det

1 2A = = 2p

4 2 1 8 0= ⋅ − ⋅ = 3p b) 4 2

1 2

xB C

+ + =

3p

4 2 4 86

1 2 1 2

xx

+ = ⇒ =

2p

c) 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2B B

− − ⋅ = = − − − −

3p

21 2 1 2 0 0

1 2 1 2 0 0B B B O

− − ⋅ + = + = = − −

2p

2.a) ( ) ( ) ( )0 4 0 4 4 0 4 4 12− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =� 3p 16 12 4= − + = − 2p

b) 4 4 16 4x y xy x y= + + + − =� 2p

( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= + + + − = + + − pentru orice numere reale x şi y 3p



Pagina 2 din 2

c) ( )24 4 12x + − = 2p

218 0 8x x x+ = ⇒ = − și 2 0x = 3p


1.a) ( ) 2

1 1'f x

x x

= − − =

3p

2 2

1 1 1x

x x x

+= + = , ( )0,x ∈ +∞ 2p

b) ( ) ( ) ( )2

2lim 2

2x

f x ff

x→

−′= =

− 3p

2

2 1 3

42

+= = 2p

c) ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − 2p

( )1 1f = − , ( )' 1 2f = , deci ecuaţia tangentei este 2 3y x= − 3p 2.a) 1

0

1

0x xe dx e= =∫ 3p

1 0 1e e e= − = − 2p b)

( )'2

' 12

x xxF x e e x

= − − = − =

3p

( )f x= pentru orice număr real x , deci F este o primitivă a funcţiei f 2p c)

( )1 1 1 1 12 2

0 0 0 0 0

12 2

x xx xF x dx e dx e dx dx dx

= − − = − − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2p

31 1 1 1 131 1

0 0 06 6 6x x

e x e e= − − = − − − = − 3p



Pagina 1 din 1


Varianta 5 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale



5p 1. Arătați că 2

1 31 1

2 4 − + =

.

5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficul funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= + cu

axa Oy .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 13 9x− = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să

fie mai mic sau egal cu 3.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )4,1B şi ( )4,4C . Arătați că AB BC= .

5p 6. Determinați aria triunghiului ABC dreptunghic în A știind că 6AB = și 10BC = . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele 1 2

2 4A

=

şi 2

1 0

0 1I

=

.

5p a) Arătaţi că det 0A = . 5p b) Arătaţi că 5A A A⋅ = .

5p c) Determinaţi numerele reale x și y pentru care 23

x yA I

y

+ = −

.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y x y xy= + +� .

5p a) Arătaţi că ( )1 1 1− = −� .

5p b) Arătați că ( )( )1 1 1x y x y= + + −� pentru orice numere reale x și y .

5p c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )1 3 4x x+ − =� .


1. Se consideră funcţia ( ): 2,f +∞ → ℝ ,

1( )

2

xf x

x

−=−

.

5p a) Arătaţi că ( )3

lim 2x

f x→

= .

5p b) Arătaţi că ( )( )2

1'

2f x

x= −

−, ( )2,x∈ +∞ .

5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 3x = , situat pe graficul

funcţiei f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , 2( ) 2 1f x x x= + + .

5p a) Arătați că ( )1

1

2 1 2x dx−

+ =∫ .

5p b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei :[0,1]g →ℝ , ( ) ( ) 2 1g x f x x= − − .

5p c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este o funcţie crescătoare pe ℝ .



Pagina 1 din 2


Barem de evaluare şi de notare Varianta 5



1. 21 1

12 4

− =

3p

1 31

4 4+ = 2p

2. ( )0 4f = 3p Coordonatele punctului de intersecție sunt 0x = și 4y = 2p

3. 3 1 2x − = 3p 1x = 2p

4. Numerele naturale de o cifră mai mici sau egale cu 3 sunt 0, 1, 2 și 3 , deci sunt 4 cazuri favorabile

2p

Sunt 10 numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile 1p nr. cazuri favorabile 4 2

nr. cazuri posibile 10 5p = = = 2p

5. 3AB = 2p 3BC AB BC= ⇒ = 3p

6. 8AC = 2p 6 8

242ABC∆⋅= =A 3p


1.a) 1 2det

2 4A = = 2p

1 4 2 2 0= ⋅ − ⋅ = 3p b) 1 2 1 2 5 10

2 4 2 4 10 20A A

⋅ = = =

3p

1 25 5

2 4A

= ⋅ =

2p

c) 1 2 1 2

3 2 4 3 2 1

x y x y x yA

y y y

+ + + = + = − − +

3p

1 2 1 00, 2

2 1 0 1

x yx y

y

+ + = ⇔ = = − +

2p

2.a) ( ) ( )1 1 1 1 1 1− = − + + − ⋅ =� 3p 0 1 1= − = − 2p

b) 1 1x y x xy y= + + + − =� 2p

( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − pentru orice numere reale x și y 3p



Pagina 2 din 2

c) ( )( ) 22 2 1 4 9 0x x x+ − − = ⇔ − = 3p

1 3x = − și 2 3x = 2p


1.a) ( )3 3

1lim lim

2x x

xf x

x→ →

−= =−

2p

3 12

3 2

−= =−

3p

b) ( ) ( ) ( )( )( )2

1 2 1 2'( )

2

x x x xf x

x

′ ′− − − − −= =

− 2p

( ) ( )2 2

2 1 1

2 2

x x

x x

− − += = −− −

, ( )2,x∈ +∞ 3p

c) ( ) ( )( )3 ' 3 3y f f x− = − 2p

( )3 2f = , ( )' 3 1f = − , deci ecuaţia tangentei este 5y x= − + 3p 2.a)

( ) ( )1

2

1

12 1

1x dx x x

−

+ = + =−∫ 3p

2 0 2= − = 2p b)

( )1 1

2 4

0 0

V g x dx x dxπ π= = =∫ ∫ 2p

5 1

05 5

x ππ= = 3p

c) F este o primitivă a funcţiei ( ) ( )f F x f x′⇒ = 2p

( ) ( )21 0F x x′ = + ≥ pentru oricex ∈ℝ , deci funcţia F este crescătoare pe ℝ 3p

bac m tehnologic 2014

Documents