Fractalii

FRACTALII (ATRACTORII STRANII) Profesor: Cristian-Dan OprianLiceul Regina Maria Dorohoi, jud. Botoani"Se pare ca nimeni nu este indiferent fa de fractali. De fapt, muli privesc prima lor ntlnire cu geometria fractal ca pe o experien cu totul nou, att din punct de vedere estetic, ct i tiinific."B. Mandelbrot- Frumuseea fractalilor, 1986Rigla i compasul au constituit pentru matematicienii antici principalele unelte utilizate n studiul geometriei, al crei printe este considerat i n ziua de azi Euclid din Alexandria, nc din secolul IV . Hr.tim cu toii c geometria euclidian este un ansamblu deleme,corolare,teoremeidemonstraii, care folosete doar patru noiuni fundamentale:punct,dreapta,plansispaiu, i care se bazeaz pe cele cinci axiome, enunate de Euclid n cartea sa "Elementele".Orice obiect al muncii omului era scufundat si reprezentat n spaiul 1D, 2D, 3D. Dar Natura, n imensa ei complexitate, nu s-a limitat la a construi corpuri geometrice doar n acest spaiu att de particular, a crui msur este un numr ntreg i mai mic dect 3.Privind n natur, observm imagini imposibil de ncadrat ntr-o viziune euclidian, precum conturul coastei Normandiei, al crestei munilor, al norilor, chiar si broccoli i conopida, care nu pot fi construite i definite geometric la fel de uor.Apariia calculatorului a permis ptrunderea n acest univers n care rigla i compasul nu mai sunt suficiente pentru reprezentarea unor obiecte prea complexe pentru a putea fi integrate ntr-o lume geometric. Acesta este universul fractalilor, definit in 1975 odat cu apariia primei cri a lui Mandelbrot: "Les objects fractales, forme, hasard et dimension".Fiind primele forme geometrice care nu se bazeaz pe linii drepte sau liniarizabile, fractalii au fost considerate ciudenii i abandonate de matematicieni cci erau dezordonate i complexe, neliniare, deci imposibil de construit prin linii nentrerupte, fiind nevoie de calculator pentru a fi trasai.

Mandelbrot, considerat printele geometriei fractale, a propus i numele defractal, care vine din latinescul frangere = a sparge n fragmente neregulate. El nota patetic:Deoarece "algebra" deriv din cuvntul arab "jabara" (a lega mpreun), ntre cuvintele fractal i algebr este o contradicie etimologic."Fractalii nu ofer n mod neaprat sperana c putem controla aceste fenomene neltoare. Din contr, ncepem sa nelegem c haosul i imprevizibilul sunt mult mai puternic incluse n natur dect ne-am imaginat vreodat. Oricum, fractalii ne ofer instrumente puternice pentru modelarea i vizualizarea sistemelor neliniare. n majoritatea cazurilor, cu ajutorul fractalilor putem modela aspectul i structura lumii reale mult mai uor i mai succint dect cu formele liniare.Ce sunt fractalii?

"n ochii minii, un fractal este un mod de a vedea infinitul."James Glik - Haos, 1986Euclid a construit o geometrie bazata pe logici pe nite adevruri intuitive. El a dezvoltat astfel un set de reguli logice pentru a descrie punctul, dreapta i planul (axiome):

1. Prin oricare dou puncte distincte trece o dreapt i numai una;

2. Orice razpoate fi prelungit lainfinit (sub forma uneidrepte);

3. Dat fiind un segment de dreapt, se poate construi uncerccu centrul la unul din capetele segmentului i care are segmentul dreptraz;

4. Toate unghiurile drepte suntcongruente;

5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singurparalella acea dreapt.n geometria euclidian, trei puncte necoliniaredetermin unplani numai unul, iar patru puncte necoplanaredetermin unspaiu. Simplu i logic. Observaiile nu au avut nici un rol n gndirea euclidian.

Aproape dou milenii mai trziu, n 1600, Rene Descartes a zguduit geometria euclidian, sugernd c spaiul fizic poate fi disecat i msurat cu ajutorul a trei axe perpendiculare, localiznd astfel fiecare punct din spaiu printrei dimensiuni liniare. Ideea c Universul poate fi imaginat ca o multitudine de cuburi mici a format fundamentul tiinei moderne asupra lumii.

Un secol mai trziu, Gottfried Wilhelm von Leibnitz i Sir Isaac Newton au dus lucrurile mai departe, fcnd o presupunere periculoas i revoluionar, pe care nu au putut-o demonstra matematic iniial, si anume c orice curb este de fapt un numr infinit de segmente de dreapt (numitetangente). Astfel, ei au inventatcalculul diferenial. Ideea de baz a acestuia este c orice curb mrit la infinit se aseamn din ce n ce mai mult cu o dreapt, iarlimitaacestui proces este tocmai linia cu care ar semna curba la infinit. Leibnitz nu a putut s i explice ns de ce teoria lui ddea rezultate n majoritatea cazurilor, dar uneori ducea la nepotriviri neateptate. Dei chiar el a abandonat ideea segmentului de dreapt infinitezimal, ea a rmas n folosin, dnd rezultate n majoritatea cazurilor.Presupunerea c, la infinit, curbele de fapt sunt similare dreptelor, rmne n picioare, dei apariia iminent a unor forme imposibil de supus liniaritii avea s zguduie iar matematica.

Fractali celebriTriunghiul lui Sierpinski

Aceia care aud de curbe fr tangente sau de funcii fr derivate, deseori se gndesc la nceput c natura nu prezint asemenea complicaii i c ea nici mcar nu le sugereaz. Totui, contrariul este adevrat i logica matematicienilor i-a inut pe acetia mai aproape de realitate dect reprezentrile practice folosite de fizicieni.Jean Perrin, Revue de Mois, 1906

Triunghiul lui Sierpinski -Necazul a nceput n 1875 cnd genialul matematician german Karll Weierstrass a descris o curb continu care nu putea fi difereniat i astfel, aparent, nu avea nicio tangent. Odat cu schimbarea secolului, un val a tulburat lumea matematicii i brusc a aprut un numr alarmant de curbe ciudate. Probabil cel mai faimos din aceti pre-fractali este i triunghiul lui Sierpinski. Pentru a-l desena, matematicianul polonez Waclav Sierpinski a nceput cu un triunghi. Apoi a divizat acest triunghi n 4 pri egale. n acelai mod n care divizase triunghiul iniial a continuat acest proces la infinit. Dac s-ar putea trasa linii divizare infinit de mici, s-ar putea obine forma matematic descris de Sierpinski.

Totul prea destul de inocent. Ar putea s fie dificil s imaginezi o form cu detalii infinite, dar cu siguran nicio lege matematic nu fusese nclcat.

Un alt mod de construcie a aceleiai forme pornete de la un triunghi plin, n care "decupm" guri identice, n loc de a trasa linii. Rezultatul este acelai, dei este numit n aceasta manier "sita lui Sierpinski".

- Sita lui Sierpinski Sierpinski a avut prima nelmurire atunci cnd a ncercat s gseasc aria acoperit de aceast form. Pe de o parte, un numr infinit de guri acoper n cele din urm fiecare bucic plin din triunghi i forma va acoperi o suprafa nul.Pe de alt parte, la fiecare pas se ndeprteaz doar un sfert din aria care a rmas, lsnd trei ptrimi nc acoperite. Nu conteaz de cte ori se repet aceast operaie, ntotdeauna va rmne mai multe dect s-a luat. Aria nu va ajunge niciodat la zero.

Deci, este sau nu aria zero? Intuiia ar putea spune c este, dar o demonstraie riguroas ne arat c nu poate fi zero. Acest tip de problem l-a tulburat pe Leibnitz i i-a necjit n antichitate chiar i pe greci. Pn n secolul al XX-lea, matematicienii au avut grij s evite paradoxuri ca acestea. Oricum, multe probleme neltoare, precum aria sitei lui Sierpinski au nceput s apar la grania dintre finit i infinit.

Matematicienii au hotrt c rezultatul este zero, n principal pentru c nu puteau rspunde ntrebrii Dac nu este zero, atunci ct este?. n plus, n prima metod de construcie foloseau numai linii, nu i suprafee pline. Pentru c matematic, o dreapt sau un segment de dreapt nu are lime, deci nu are nici arie. Aria formei trebuie s fie ntotdeauna zero, indiferent de numrul de linii care se folosesc pentru construirea ei. Sierpinski i colegii lui nu au putut respinge aceast argumentaie i au declarat scrnind din dini c problema confuz a ariei infinit de mic, dar diferit de zero a fost doar un vis urt.

"Covorul lui Sierpinski" este o alt form care a nedumerit matematicienii, format la fel, prin ambele variante:

- Covorul lui Sierpinski 1-

- Covorul lui Sierpinski 2-Un matematician italian pe nume Giuseppe Peano a inventat aceast form n 1890, n timp ce ndeplinea funcia de profesor extraordinar de calcul infinitezimal al Universitii din Torino. Cu ea a demonstrat c o curb continu, fr lime (i, deci, fr arie), poate umple o poriune de spaiu. Fiecare nivel succesiv las din ce n ce mai puin spaiu ntre micile ptrate. La un nivel infinit, definit prin curba de umplere a spaiului, ntre linii nu va rmne niciun spaiu gol. n consecin, curba va avea o arie egal cu cea a ptratului care o mrginete. Dar ea trebuie totui s aib o arie egal cu zero, deoarece este, n continuare, alctuit din segmente de dreapt. Altfel spus, un set de segmente de dreapt unidimensionale, poate, ntr-un fel sau altul, s umple suprafaa unui plan bidimensional.

Praful lui Cantor

Matematicianul german Georg Cantor, cel care a dezvoltat singur teoria seriilor, a creat n 1877 o form denumit "Praful lui Cantor". Ea este construit prin fragmentarea segmentelor de dreapt unidimensionale, coninnd la sfrit doar puncte de dimensiune zero, dei este n continuare alctuit din segmente de dreapt.

- Praful lui Cantor-Curba lui Koch

Matematicianul suedez Helge Von Koch, fascinat de infinit ca toi colegii si n timpul marii crize din matematic, a construit "curba liniei de coast". El a pornit de la o dreapt pe care a desenat un triunghi exterior. Pe fiecare segment de dreapt al aceleiai forme a desenat cte un triunghi, .a.m.d. Asemntor, se poate crea curba liniei de coast Koch i pornind de la un ptrat, sau de la un triunghi echilateral pe laturile cruia desenm triunghiuri echilaterale.

- Curba lui Koch-

- Fulgul de zpad Koch-Curba lui Koch d natere la un paradox interesant. De fiecare dat cnd un nou triunghi este adugat figurii de mai sus, lungimea liniei evident crete. Totui, aria interioar a curbei lui Koch rmne mai mic dect aria cercului care trece prin vrfurile triunghiului iniial. Obinem astfel linie de lungime infinit, care nconjoar o arie finit.

Lungimea curbelor este diferit, pornind de la tipul de generare. La primul nivel, lungimea curbei din figur va fi de patru treimi din segmentul de dreapt, iar lungimea curbei similare generate cu un ptrat va fi de cinci treimi, adic 133, respectiv 166, daca lungimea segmentului iniial este de 100. Pentru a rezolva aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunea fractal, prezentat n cele ce urmeaz.

La nceputul secolului al XX-lea, cercetarea n domeniul acestor curbe complexe s-a lovit de o mare piedic: calculul laborios. Matematicienii trudeau zile i chiar luni, calculnd i desennd pentru a produce nite aproximaii extrem de inexacte si srace n detalii ale curbelor neliniare infinit detaliate. Din 1925 pn n 1960, limitele calculului manual au mpiedicat orice proces serios n geometria complexitii i infinitului.

Apoi au aprut calculatoarele. La nceput, nimeni nu s-a gndit s foloseasc aceste maini scumpe, construite pentru calcule contabile sau pentru utilizri militare, n cercetarea matematic. Apoi, calculatoarele au nceput s atrag atenia matematicienilor, prin furnizarea sutelor de zecimale ale numerelor iraionale. Dar matematicienii erau nc nelinitii de bazarea calculelor pe "aproximri". Primul care a ndrznit s foloseasc simularea pe calculator a fost un biolog: Aristid Lindenmayer, care a introdus ideea "automatelor celulare" pentru a modela dezvoltarea organismelor vii. El era n special interesat de dezvoltarea celulei i de modele ramificate ale plantelor.

Definiie

Fractalii sunt reprezentri ale planului complex, ntr-o manier recursiv. Un obiect fractal este mai dificil de surprins n complexitatea sa, el necesitnd din partea observatorului un efort imaginativ, o participare mental de natura unui proces nesfrit, care este nsi esena fractalilor -ei i pstreaz forma, indiferent ct de mult am mri o reprezentare. n termenii cei mai generali, un fractal demonstreaz o limit; obiectul fractal este chiar limita acestui proces cu numr infinit de operaii.

Fractalii pot prea foarte complicai fa de formele geometrice clasice. Liniile drepte, arcele graioase, curbele, poligoanele, etc., au un lucru n comun: chiar dac unele nu sunt drepte, ele sunt considerate liniare, datorit diferenierii (mrind la infinit frontiera lor, obinem tangenta). n cazul formelor neliniare, mrind la infinit imaginea lor, obinem n continuare detalii complexe.

nsa, ei sunt de obicei nite procese foarte simple care produc rezultate complicate. Aceasta proprietate se transfer si asupra teoriei haosului. Daca ceva are rezultate complicate, nu nseamn neaprat c a avut i un input complicat. Este posibil ca haosul s se fi strecurat n proces, producnd rezultate complicate.

Fractalii sunt forme auto-similare, aceasta nsemnnd ca structura ntregului sistem e deseori reflectat n fiecare poriune a sa. Un sistem va arta auto-similar cnd fore asemntoare acioneaz la mai multe nivele ale scrii. Natura abund n forme auto-similare, cum ar fi liniile de coast, ramurile care se aseamn cu copacii, vrful munilor care are aceeai form ca ntregul munte, valurile i norii mici sunt o replic a celor mai mari, i astfel putem caracteriza ntr-un mod nou mediul nconjurtor.

Tehnici de reprezentare a fractalilor

"Pentru imaginaie, calculatorul poate fi un prieten foarte puternic. Ca i matematicile, el nu numai ca lrgete orizontul imaginaiei, dar o i disciplineaz i o controleaz."

Richard Dawkins, Ceasornicul Orb,2009n ultimii ani, interesul n teoria haosului i geometria fractal s-a intensificat, pe msur ce oamenii de tiin au descoperit pas cu pas c multe dintre procesele din Univers pot fi descrise utiliznd aceste teorii. Industria graficii pe calculator ncorporeaz rapid aceste tehnici pentru a genera imagini uimitor de frumoase, precum i structuri naturale realiste. Algoritmii variai i rezultate lor afieaz o mare diversitate. O complet apreciere a graficii fractale pe calculator necesit n prealabil prezentarea conceptelor matematice care stau la baza geometriei fractale i o cunoatere a aplicaiilor tiinifice a acestora, aspecte prezentate n capitolele precedente.

Formele fractale sunt aproape imposibil de trasat fr ajutorul calculatorului. Formulele care genereaz fractalii sunt de multe ori relativ simple, dar trebuie calculate repetat, fiecare iteraie utiliznd rezultatul precedentei. Rezultatele cele mai precise sunt atinse cu ajutorul calculatorului. Grafica pe calculator faciliteaz de asemenea comparaiile ntre formele naturale i imitaiile lor computerizate.

Majoritatea fractalilor sunt generai lund un set de date si introducndu-le ca date de intrare ntr-o ecuaie. Rezultatul acestei ecuaii este apoi furnizat ecuaiei din nou, acest feedback repetndu-se de un numr dorit de pai sau pn cnd comportamentul valorilor de intrare este determinat. Criteriile de oprire a procesului sunt diferite n funcie de tipul de fractal.Jocul pisicii

Dick Oliver propune n cartea sa "Fractali" un joc practic bazat pe primele cercetri asupra fractalilor pentru a nelege cum funcioneaz calculatorul.

Pentru aceasta este nevoie de cteva foi de hrtie, un creion, o rigla si o mna sigura pentru a crea un fractal aspectuos. Paii sunt urmtorii:

1. Desenm ceva, de exemplu, o pisic, n mijlocul unei foi de hrtie.

2. Desenm trei copii cu dimensiunile jumtate din cele ale primului desen.

3. Desenm trei copii n jurul acestora, n exact acelai aranjament.

4. Continum.

Pe msur ce copiile devin tot mai mici, ele devin doar puncte. Daca desenul este precis, aceste puncte formeaz binecunoscutul fractal "Triunghiul lui Sierpinski". Jocul pisicii gsete fractalul desennd aproximaii din ce n ce mai apropiate de el. Destul de adecvat, aceasta tehnic este denumit aproximare succesiv.

Jocul pisicii

Jocul haosului

Acest joc, uneori numit algoritmul iteraiei aleatoare, este unul dintre un set de algoritmi care pot fi folosii pentru a genera fractali liniari. A fost inventat de Michael Barnsley la Georgia Tech. Este deseori referit ca un generator pentru Sita lui Sierpinski, dar jocul haosului poate genera orice fractal liniar.

Etapele jocului haosului sunt:

1. ncercuim trei puncte oarecare de pe o foaie de hrtie i n mijloc desenm un punct.

2. Alegem la ntmplare unul din punctele ncercuite i desenm un punct la jumtatea distanei dintre ultimul punct pe care l-am desenat i acest punct.

3. Repetm pasul doi de foarte multe ori. Daca msurm jumtile distanelor cu o precizie considerabil, s-ar putea ca n cele din urma s vedem din nou triunghiul lui Sierpinski.

Jocul haosului gsete fractalul srind aleator printre prile lui, scond la iveal fractalul punct cu punct, pe msur ce jocul avanseaz. Aceasta este denumit iteraia aleatoare. Ambele tehnici folosesc relaiile geometrice dintre pri pentru a defini un fractal. Jocul haosului este un exemplu de proces aleator care duce la un rezultat predeterminat.

Jocul haosului

Dimensiunea fractalEste o ntreag progresie un numr infinit de dimensiuni posibile dar n intervalul dintre ele nu am avut uniti de msur foarte convenabileAlan Norton, citat de Peter Sorensen n Fractals, BYTE, 1984Probleme comparrii lungimilor infinite i ariilor infinitezimale sunt, de fapt, dou fee ale aceleiai monede. Secolul al XX-lea a adus n sine necesitatea unui mod cu totul nou de a msura spaiul i dimensiunea. Doi matematicieni, pe nume Felix Hausdorff i Abram S. Beiscovith au rspuns acestei chemri. Nu numai c ei au descoperit, n sensul strict al cuvntului, dimensiuni noi, dar ei au redefinit cu adevrat dimensiunea n sine.

n mod obinuit, orice form are dimensiunea zero (punctul), unu (dreptele i curbele), doi (planele i suprafeele) sau trei (spaiul). Aceste dimensiuni au fost extinse pentru a include a patra dimensiune teoretic i au fost vag imaginate dimensiuni ntregi mai mari.

Beiscovith, dezvoltnd lucrrile anterioare a lui Hausdorff, a afirmat c formele ar putea avea ntr-adevr dimensiuni fracionare, cum ar fi 1,5 sau 2,3. Curbe precum cele ale lui Sierpinski i Koch ar cdea ntre dimensiunile normale i ar putea fi explicat o mare parte din comportarea lor ciudat. Aceast nou dimensiune fracionar ar putea fi calculat precis pe baza msurtorilor de la aproximrile simple ale unei curbe. n mod concret, dimensiunea Hausdorff/ Beiscovith este definit ca raportul dintre logaritmul numrului de copii i logaritmul mrimii seminei corespunztoare fiecrei copii. Pentru linia de coast Koch triunghiular, vei gsi log4/log3, egal cu aproximativ 1,2618, deoarece sunt patru copii i fiecare este o treime din mrimea seminei.

Dimensiunea fractal a prafului lui Cantor este log2/log3=0.63, deci acest obiect are dimensiunea mai mare dect punctul (0) si mai mica dect linia (1).

Dimensiunea fractal a triunghiului lui Sierpinski estelog3/log2 = 1.585.

Pentru a fi clasificat oficial ca fractal, o form trebuie s aib dimensiunea Hausdorff- Beiscovith mai mare ca dimensiunea sa topologic tradiional.

Munii, norii, copacii, florile au dimensiuni ntre 2 si 3, i putem deduce multe doar din dimensiunea unui corp. Dimensiunea fractal, aa cum a denumit-o mai trziu Mandelbrot, a devenit un instrument nou de msurare a spaiului.

Fractalii sunt utili pentru a privi mai de aproape i pentru a vedea mai multe.Tim Wagner i Mark Peterson, Creaii fractale, 1991 Geometria fractal a naturiiDe ce geometria este deseori descris ca rece i arid? Unul din motive const n neputina ei de a descrie forma unui nor, a unui munte, a unei linii de coast sau a unui copac. Norii nu sunt sfere, munii nu sunt conuri, liniile de coast nu sunt cercuri, scoara copacului nu este neted i nici fulgerul nu se propag n linie dreapt.B. Mandelbrot, Geometria fractal a naturii, 1982n 1982, Mandelbrot i-a extins dou eseuri anterioare, crend lucrarea sa deschiztoare de drumuri, Geometria fractal a naturii.

Prin 1980, grafica pe calculator a progresat ntr-att nct forme ca Linia de coast Koch i Covorul lui Sierpinski puteau fi reprezentate cu detalii explicite. Geometria fractal a naturii era o galerie a acestora i a altor forme geometrice, dintre care multe nu fuseser vzute niciodat. Multe dintre ele erau simple automate celulare n care fiecare linie era transformat repetat n linii mai mici.

Frumuseea tiineiO parte din emoia care nconjoar aceste picturi se datoreaz faptului c ele demonstreaz c, fr a cuta o conexiune interioar, poate fi construit o legtur ntre nelegerea tiinific raional i atracia estetic emoional; aceste dou moduri de cunoatere a speciei umane ncep s colaboreze n ncercarea lor de a afla din ce este alctuit natura.Gert Eilerberg, Frumuseea fractalilor, 1986n timp ce fractalii ctigau toate premiile la expoziiile de grafic pe calculator, aproape toate disciplinele tiinifice descopereau frumoasele lor modele haotice. Fizicienii, trasnd grafic starea particulelor, gseau tulburtoare opera de art aprnd pe imprimantele lor. Atractorii stranii, cu turbulen fractal, apar n mecanica cereasc.

Biologii i psihologii diagnosticheaz boli dinamice, care apar cnd ritmurile fractale devin desincronizate. Seismologii chiar au descoperit valuri fractale care strbat scoara terestr. Meteorologii, ecologitii, chimitii, hidrologii i aproape toate ramurile inginereti se ntlneau cu forme care erau mai mult frumoase dect previzibile. n anii 1980, fractalii rsreau din fiecare ecuaie matematic sau procedur bine cunoscut, de la metoda lui Newton pn la banala funcie cosinus.

rm cu fiorduriFractalii astzi

La urma urmelor, cine ar putea descrie, darmite s mai i neleag profilul unui munte sau forma unui nor? Cu geometria fractal, cutarea nelegerii tiinifice i a imaginii grafice reale pe calculator se putea ntoarce n lumea natural obinuitRichard Voss, tiina imaginilor fractale, 1988 ncepnd cu anii 1990, fractalii sunt larg folosii. Producii cinematografice importante i folosesc pentru efecte speciale, sistemele de redare grafic pe calculator l folosesc pentru a crea structuri naturale, oamenii de tiin i matematicienii i-au transformat ntr-o unealt indispensabil pentru munca lor. Pe msur ce potenialul acestei noi geometrii este recunoscut din ce n ce mai mult i calculatoarele, din ce n ce mai rapide, fac interaciunea mai uoar, instrumentele de desenare fractal vor deveni parte a majoritii sistemelor de grafic pe calculator.

Aplicaii curente ale fractalilor"...ntotdeauna au existat zone mari ale tiinei n care metodele analitice simple puteau fi cu greu aplicate. Fenomenele naturale erau prea complexe.n legtur cu ele, oamenii ridicau din umeri a zdrnicie i enunau teorii calitative sau aproximaii grosolane, sau nu emiteau nici o prere. Acestea sunt domeniile n care fractalii i gsesc o mulime de aplicaii."D. E. Thomsen, Science News, 1987Avantajele utilizrii fractalilor

Fractalii prezint anumite avantaje datorit crora sunt larg folosii n modelarea aspectului i comportamentului unor sistemelor naturale:Fractalii pot reprezenta cu uurin fore similare, acionnd la mai multe niveluri ale scrii, n timp ce geometria liniara nu poate.

Fractalii ofer deseori o metod mai compact de nregistrare a imaginilor i datelor complexe dect vectorii liniari.

Cu ajutorul fractalilor, se pot gsi curbe fractale care s aproximeze un set de date (precum temperaturi nregistrate ntr-o anumit perioad de timp, preurile unei aciuni la burs ntr-un interval de timp, etc.)

Fractalii pot fi folosii pentru a construi modele folositoare ale unor sisteme imprevizibile i haotice, unde ecuaiile liniare dau gre.Fractalii sunt folosii n diverse discipline, precum: economie, astronomie, fizica i dinamica fluidelor, chimie, cardiologie, ornitologie, etc.Astronomie

Unul dintre cei mai frumoi fractali matematici a fost inventat de un astronom. La nceputul anilor 1960, Michel Henon de la observatorul din Nisa din Frana a observat o comportare tulburtoare ntr-un simplu model al stelelor care orbiteaz ntr-o galaxie. Cteva dintre orbiteerau line si stabile, n timp ce altele preau aproape aleatoare. La nceput, a ignorat orbitele anormale, creznd ca ele apar datorita unor erori de calcul inexplicabile.

n cele din urma, Henon a descoperit c acest tip de comportare haotic era o parte esenial a dinamicii orbitelor stelare. Planetele, ca orice obiect din Univers, se supun legii gravitaionale a lui Newton. nsa dei legea lui Newton pare relativ simpl, poate fi greu de pus n practic, deoarece ntr-un univers real, atraciile gravitaionale ale altor planete i stele fac ca orbita planetei analizate sa fie mai puin previzibil. Folosind aproximaii, astronomii pot prezice care va fi traiectoria orbitelor corpurilor cereti din sistemul nostru solar sptmna viitoare sau peste douzeci de ani, ns nu putem afirma sigur unde se vor afla ele peste un milion de ani.

Trebuie specificat nsa ca orbitele planetelor nu sunt fractali; ele se apropie sensibil de elipse perfecte. Daca plasm nsa poziia planetei noastre sub anumite condiii, descoperim c se ncadreaz n limitele unei curbe numite ciclu limit. Acesta, de cele mai multe ori, este un fractal.

Henon, dup ce a studiat modele care explicau comportarea turbulent a fenomenelor terestre, a elaborat un model i pentru orbitele planetare. Dei n trecut nu era folosit, denumim acum atractori stranii acel tip de modele pe care Henon l-a folosit. Spre deosebire de modelele liniare clasice, care par sa prezic pentru totdeauna traiectoria fiecrui corp ceresc, ei ofer un amestec de comportri nesigure. Vechile modele i pstreaz capacitatea de a previziona pe termen scurt, dar cercetri recente au artat c, pe termen lung, modul de comportare al sistemului nostru solar este cel puin incert.

Atractorul HenonMeteorologieMeteorologii, ca i economitii, investesc o cantitate enorm de efort, bani i energie, ncercnd s prezic ce se va ntmpla mine i sptmna urmtoare. Ambele categorii fac sute de previziuni zilnic, folosind teorii binecunoscute, bazate pe secole de calcule i cercetri, dar dau gre, previziunile economice i cele meteorologice fiind cunoscute pentru inexactitatea lor. Vremea poate fi previzionat suficient de bine pentru cel mult doua zile, dar dincolo de aceasta, prediciile sunt slabe. Fractalii nu au fost de mare ajutor n jocul previziunii meteorologice, dar au ajutat explicnd de ce aceasta nu d rezultate.

nregistrrile pe termen lung ale datelor climatice deseori prezint cicluri auto-reflectoare: valuri de ari care dureaz civa ani, un deceniu sau chiar secole de cldur. nregistrrile fcute pe fluviul Nil dezvluie perioade uscate de un mileniu. Viaa de zi cu zi ne sugereaz c ciclurile neregulate de temperatur au loc i n perioade de o lun sau o sptmn. Figura urmtoare confirm acest lucru:

- nregistrrile pe o perioad de 600 de zile ale temperaturilordin Middlesex, statul Vermont-Acest tip de date este greu de caracterizat prin metodele liniare tradiionale. Modelarea printr-un val sinusoidal ar pierde aparena de cicluri mbinate unul n altul, i acesta este tocmai aspectul cel mai interesant de modelat. Acest lucru se poate face aproximnd datele cu o curb fractal, nu n scopuri anticipative, predictive, ci pentru a sugera caracterul esenial al curbei.

- Aproximare fractal a nregistrrii temperaturilor din- Middlesex, statul Vermont -n 1961, Eduard Lorenz, meteorolog i matematician la MIT, pasionat de studiul vremii, a descoperit i a introdus n istorie, pornind de la modelarea vremii pe calculator,"efectul fluturelui" i atractorul Lorenz, prezentate mai jos..

Atractorul Lorenz

Graficele fractale sunt cele mai adecvate reprezentri ale formelor neregulate ciclice, prezente n seriile de date complexe, privind evoluia n timp a fenomenelor naturale i economice. Cutremurele evideniaz de asemenea prin seismograma lor complexitate i forme autosimilare, deoarece undele de avertizare i replicile lui sunt nite cutremure n miniatur, iar cutremurul principal este o perioad de activitate intens constituit din sub perioade similare. Activitatea seismic este greu de modelat cu ajutorul curbelor tradiionale.

Alte fenomene uor de modelat cu ajutorul fractalilor sunt: debitele rurilor, evoluia preului unei aciuni la burs, cursul valutar, fluctuaiile politice, etc.

Dinamica fluidelor i chimia

Turbulena n dinamica fluidelor reprezint starea de micare a unui fluid, caracterizat de schimbri haotice i stochastice (care pot fi modelate statistic). Aceasta include difuzii, convecii i variaii rapide ale presiunii i vitezei n timp i spaiu. Turbulena reprezint nc un domeniu puin controlat de ctre savani, ea rezistnd tuturor aproximrilor liniare i consumnd foarte mult din timpul calculatoarelor.

Lorenz a fost unul dintre cei mai nverunai exploratori ai analizei neliniare a fluidelor, prin atractorul Lorenz, prezentat anterior. Sistemul de ecuaii din care a derivat atractorul Lorenz este neliniar, tridimensional,i determinist. n dinamica fluidelor, atractorul Lorenz este un model realist al "climei" turbulente dintr-un cilindru mic de fluid nchis, pe msur ce i se aplic o nclzire continu la partea inferioar a cilindrului. Cele trei variabile ale sistemului corespund: vitezei fluidului, temperaturii i vitezei de modificare a temperaturii.O metod de simulare a mai multe fenomene diferite din fizic, chimie i electricitate esteagregarea limitat de difuzie. La nceputul simulrii pe calculator, se plaseaz n centrul unui cerc o bucat mic de materie artificial. Apoi calculatorul lanseaz aleator, una dup alta, particule din jurul cercului care rtcesc la ntmplare, pn ies din cerc sau ader la alt particul ntlnit. Treptat, particulele virtuale formeazdendrite fractaleorientate din centrul cercului spre circumferin. Acestea prezint trei proprieti de baz ale fractalilor: auto-similaritate, dimensiune fractal i lacune. Ele pierd din densitate pe msur ce cresc n dimensiune.

- Dendrite fractale formate prin agregarea limitat de difuzie -Procesele fizice care dau natere la astfel de forme sunt: agregarea cenuii n couri, depunerea zincului n celulele electrolitice, difuzia bulelor de gaz prin lichidele vscoase i descrcrile electrice n atmosfer. Aceste sisteme sunt departe de echilibru, ele primind i disipnd cantiti importante de energie. Simularea pe calculator ntoarce cumva procesul real pe dos, particulele artificiale deplasndu-se lent din exterior spre interior, n timp ce structura dendritica real se formeaz rapid din interior spre exterior.

FizicaExist patru clase fundamentale de sisteme fizice:- sisteme liniare conservative (pendul fr frecri care oscileaz liber)- sisteme neliniare conservative (pendul fr frecri, mpins)- sisteme liniare disipative (pendul care oscileaz liber ntr-o atmosfer care i opune rezisten)- sisteme neliniare disipative (pendul mpins ntr-o atmosfer care i opune rezisten).Sistemele neliniare au fost mereu considerate ciudate i mai puin importante. Sistemele neliniare disipative sunt chiar ireversibile. Dar lumea real este alctuit tocmai din astfel de sisteme, iar modelarea acestora se face tocmai prin atractori fractali haotici. Fizicienii au ajuns la concluzia c o gam larg de comportri complexe, unele de o mare regularitate, apar din ceea ce nainte era doar haos. Multe sisteme fizice si chimice fluctueaz printr-o serie de schimbri majore de la ordinea liniar la complexitatea haotic i napoi. A doua lege a termodinamicii are i o faet surprinztoare: multe sisteme se autoorganizeaz si creeaz spontan o ordine proprie acolo unde nu era nici un fel de ordine.

Concluzii

"Geometria fractal v va determina s vedei totul diferit. Riscai s pierdei imaginea din copilrie a norilor, pdurilor, galaxiilor, frunzelor, pietrelor, torentelor, covoarelor, crmizilor i a multor alte lucruri."Michael Bansley, Fractalii pretutindeni, 1988Geometria fractal este fr ndoial "una dintre marile evoluii ale matematicii secolului XX. Ea ofer oamenilor de tiin un model matematic care abordeaz neregularitile din natura. Numrul mare al fractalilor din natur este suficient pentru a justifica studiul fractalilor. Recunoaterea unui obiect ca fiind un fractal poate ajuta la nelegerea comportamentului su. Multe fenomene naturale pot fi descrise prin conceptele geometriei fractale. Prin urmare, fractalii au devenit din ce n ce mai importani. Ceea ce a nceput ca un pur concept matematic are acum numeroase aplicaii n tiin.

Fractalii au o plaj larg de modele vizuale fascinante, dintre care multe au aplicaii tiinifice practice. Unele sunt denumite "curbe ale dragonului", n timp ce altele imit exact lanuri de muni. Fractalii pot imita suiurile si coborurile pieei bunurilor, serviciilor i bursei de valori, micrile neregulate ale particulelor moleculare, activitile seismice, traiectoriile corpurilor cereti, temperaturile pe o perioad ndelungat de timp sau creterea plantelor. Ei i-au gsit aplicabilitatea n domenii diverse, precum fizica, biologia, sociologia, meteorologia, astronomia, teoria haosului i mai ales, economia. Mandelbrot a folosit geometria fractal chiar n studiul transmisiei acustice a zgomotelor i a grupurilor galactice.

Multe dintre tehnicile matematice au gsit un teren solid n industria graficii computerizate pentru crearea unor imagini uimitoare, precum si a unor structuri care imit fidel realitatea. Din anii 1990 fractalii sunt larg folosii n informatic. Producii cinematografice importante i folosesc pentru efecte speciale, sistemele de redare grafic pe calculator i folosesc pentru a crea structuri naturale, oamenilor de tiin i matematicienilor le sunt indispensabili. Interesul crescnd n grafica fractal a fost de asemenea influenat de proliferarea microcalculatoarelor puternice. Numeroase articole despre fractali au aprut n publicaii tehnologice. Parte din acest interes pornete din natura imprevizibil a anumitor fractali; un pasionat poate petrece ore n ir explornd varietatea formelor pe care le poate crea un singur program. Fizica, matematica i tehnologia nu mai sunt domenii plictisitoare, inestetice i rigide, ci capt o frumusee care intr n competiie cu arta.

Atractorul Mandelbrot

Bibliografie

1. F. Cramer- Haos si ordine. Structura complex a viului, Ed. All., 2005

2. N. Gavrilu- Fractalii i timpul social, Ed. Dacia, 2003. 3. Rodica Ionescu Andrei, Cristina Oanea, Ion Toma- Manualul de fizic pentru clasa a XI a (F1), Ed. Art, 2009

4. B. Mandelbroit- Obiecte fractale, Ed. Nemira, 1998.

5. Dominica Moise, Brndua Bogdan, Doina Dru- Algoritmi, numere si fractali , Editura Printech, Bucureti, 2007

6. Dick Oliver- Fractali, Ed. Teora, 1996.7. Octavian Rusu, Livia Dinic, Constantin Tristaru, Constantin Gavril- Manualul de fizic pentru clasa a XI a (F1+F2), Ed. Corint, 20098. Z. Sardar, I .Abrams- Cte ceva despre haos, Ed. Curtea Veche,2001.

9. Nicolae-Adrian Secelean- Msur ifractali,EdituraUniversitii Lucian Blaga din Sibiu, 200210. http://ro.wikipedia.org/wiki/Fractal11. www.fractali.org12. http://www.scritube.com/stiinta/informatica/LUCRARE-DE-DIPLOMA-Teoria-frac15110711.php 13. http://www.complexity.ro/fractali.html 14. www.scientia.roPAGE SHAPE \* MERGEFORMAT